【全国百强校】山东省济南第一中学2017-2018学年高一入校检测数学试题
高一数学入校检测试题(2021学年)
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２017级高一新生入校检测数学试题注意事项：考试时间4０分钟,数学满分40分，选择题用2B 铅笔填涂,填空题用黑色签字笔答在答卷纸上.一． 选择题(共11个小题,每题2分）1。
已知集合A ＝｛a ，b ,ｃ }，下列可以作为集合A 的子集的是 ( )A 。
ａB 。
{ａ,c ｝ C. ｛a ,e ｝ D 。
{ａ,ｂ,ｃ,d }2。
设集合A={x ｜x 参加自由泳的运动员}，Ｂ＝{x|x 参加蛙泳的运动员},对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) Ａ.Ａ∩B B 。
A ⊇B Ｃ.Ａ∪B D 。
Ａ⊆B ３. 二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-,则当1x =时,y 的值为 （ )A ．7- Ｂ。
1 C.1７ Ｄ.254。
设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数,则有 （ ） Ａ。
12a > B.12a < Ｃ。
12a ≥ D 。
12a ≤ 5。
函数()41-=-x f x x 的定义域为 （ ) Ａ.（-∞，4) B ．［４,+∞） C.(－∞，4] D ．(－∞,1)∪(1,4］６。
下列叙述正确的是（ )A 。
若a b =,则a b =B ． 若a b >,则a b >C 。
【数学】山东省济南第一中学2017-2018学年高二4月阶段考试(文)
参考答案一、选择题（每题5分）二、填空题（每小题5分） 13. 1a <- 14.15. 1(0,)e16. 17. 7-三、解答题 18.(本小题10分)解：（Ⅰ）的图象与轴的交点坐标是，依题意，得 ① 又，，与在点处有公切线，∴即 ②由①、②得， （Ⅱ）令，则∴∴在上为减函数当时，，即． 综上可知，当时，即．x x f ln )(=x )0 ,1(0)1(=+=b a g x x f 1)(='2)(xb a x g -=')(x f )(x g )0 ,1(1)1()1(='='f g 1=-b a 21=a 21-=b )()()(x g x f x F -=xx x x x x x F 2121ln )2121(ln )(+-=--=0)11(2121211)(22≤--=--='x x x x F )(x F ) ,0(∞+1>x 0)1()(=<F x F )()(x g x f <1>x )()(x g x f <19.（本小题满分12分）解：设容器底面短边长为xm ，则另一边长为（x+0.5）m ， 高为332221214.844(0.5)3.22.343.2200,0 1.64(0.5)(3.22)(0 1.6).62 2.2 1.6,0,64.4 1.60,4151140,1,()10151x x x x x x ym y x x x x y x x x y x x x x x x x y --+=-⋯⋯⋯⋯->><<⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+-<<⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-++'=-++-=--===⋯⋯⋯⋯=分由和得分设容器的容积为,则有分即令有即解得舍去分当时,取得max 32 2.2 1.6 1.8,3.221 1.2.1.2 1.8.12y m m =-++=-⨯=⋯⋯⋯⋯最大值,即这时,高为所以容器的高为时容积最大,最大容积为分法二：解：设容器底面短边长为xm ，则另一边长为（x-0.5）m ，高为[ 332221214.844(0.5)4.22.34.2200.5,0.5 2.14(0.5)(4.22)(0.5 2.1).62 5.2 2.1,0,610.4 2.10,30.710.4 2.1)0,,()23x x x x x x ym y x x x x y x x x y x x x x x x ---=-⋯⋯⋯⋯->><<⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+-<<⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-+-'=-+-=-+===⋯⋯⋯分由4和得分设容器的容积为则有分即令有即-(6解得舍去max 31031.8,23.22 1.2.21.2 1.8.12x y y m m ⋯==-⨯=⋯⋯⋯⋯分当时,取得最大值即这时高为4所以容器的高为时,容积最大,最大容积为分20. 解：，x ＞0（I ）a=2，当x ∈（0，1），f'（x ）＞0，f （x ）递增； x ∈（1，+∞），f'（x ）＜0，f （x ）递减，无极小值，（II ）定义域(0,)x ∈+∞， （1）因为定义域x>0,当0a ≤时，10ax x--<成立。
山东省济南第一中学2018届高三上-期中考试数学(理)试卷(含答案)
济南一中2017—2018学年度第一学期期中考试高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．第I 卷(选择题 共75分)一、选择题（本大题共15 小题，每小题5 分，共75 分． ）1. 集合(){}lg 10M x x =-<，集合{}11N x x =-≤≤，则M N ⋂= A. ()0,1B. [)0,1C. []1,1-D. [)1,1-2．设(,3)a b x ==-r r ，且a b ⊥，则向量a b -r r 与向量b r夹角为A. 30oB. 60oC. 120oD.150o3.下列各式中错误的是A ． 330.80.7>B ． 0..50..5log 0.4log 0.6>C ． 0.10.10.750.75-<D ． lg1.6lg1.4>4．若cos sin 3θθ+=-，则cos(2)2πθ-的值为 A49 B 29 C 29- D 49- 5.已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1100f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于A. －lg2B.－1lg2 C ．lg2 D ．1lg26. 已知命题:p 对于x R ∈恒有222x x -+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是（ ） A ．p q ∧为真 B ．()p q ⌝∨为真 C ．()q ⌝为假 D ． ()p q ∧⌝为真7．函数()xx x f 2log 12-=定义域为A. ()+∞,0B. ()+∞,1C. ()1,0D. ()()+∞,11,0Y 8.要得到函数的图像，只需将函数的图像A .向左平移12π个单位 B .向右平移12π个单位C .向左平移6π个单位 D .向右平移6π个单位0013xx x x =-9、若是方程2的解，则属于区间2A.,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12B.23⎛⎫ ⎪⎝⎭， 11C.32⎛⎫ ⎪⎝⎭，1D.3⎛⎫ ⎪⎝⎭0，10．函数2cos )(xxx f π=的图象大致是ABC D11．若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使3AB AD =u u u r u u u r，E F 、为另一直径的两个端点，则DE DF ⋅=u u u r u u u rA.3-B.4-C. 8-D. 6-yO 12 3 1- 2-3- x 121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x 121-2-3yO12 3 1- 2-3- x 121- 2-33- x O 12 3 1- 2-121- 2-3y12．下列四个结论中正确的个数是(1) 2"20"x x +->是"1"x >的充分不必要条件；(2)命题：",sin 1"x R x ∀∈≤的否定是00",sin 1"x R x ∀∈>；(3)"若4x π=则tan 1"x =的逆命题为真命题；(4)若()f x 是R 上的奇函数，则32(log 2)(log 3)0f f +=A ． 0 B. 1 C. 2 D.313.()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．32-B ．62-C 3D ．3-14. 在ABC V 中，,P Q 分别是,AB BC 的三等分点，且1,3AP AB =1,3BQ BC =若,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则PQ =uuu rA. 1133a b -r rB. 1133a b -+r rC. 1133a b +r rD.1133a b --r r15(),(1)2,,()2,()24f x R f x R f x f x x '-=∈>>+、函数定义域为对任意则的解集为A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．若ABC ∆的面积S=2221)4b c a +-（，则A =17． 已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩，则5()6f 的值为323y x P αα=-+18、设点P 是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是____19．已知||||||2a b a b ==-=r r r r ，则|32|a b -r r= . 20. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S______三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）21.（本题满分12分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=3cos 3cos sin 3)(πωπωωx x x x f ，R x ∈，（其中0>ω）． （1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的最小正周期为2π，则当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的单调递减区间．22.（本题满分12分）设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．43.（本题满分12分）在△ABC 中a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，.0),cos ,(cos ),,2(=⋅=+=C B b c a 且（1）求角B 的大小；（2）设()2sin cos cos()2,2f x x x A C x =+-()f x 求的最小正周期及()f x 取得最大值时的x 的值.24.（本题满分14分）已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数，2.71828e =…）.（I ）当a e =时，求函数()f x 的极值； （II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥；（III ）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.济南一中2017—2018学年度第一学期期中考试高三数学试题（理科）答案二、选择题（本大题共15 小题，每小题5 分，共75 分． ）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16．4π 17. 1218.203πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，2 19. 4 三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）21. [解]（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=6sin 2cos sin 3)(πωωωx x x x f ∴)(x f 的值域为]2,2[-（2）∵)(x f 的最小正周期为2π，∴22πωπ=，即4=ω ∴)64sin(2)(π+=x x f ∵]2,0[π∈x ，∴]613,6[64πππ∈+x ∵)(x f 递减，∴]23,2[64πππ∈+x 由23642πππ≤+≤x ，得到312ππ≤≤x ，∴)(x f 单调递减区间为]3,12[ππ22. 解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞． （Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++．当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加， 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 23.解：（1）由0cos cos )2(,0=++=⋅C b B c a n m0cos cos cos 2=++∴c b B c B a由正弦定理，得0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A即0)sin(cos sin 2=++B C B A 0)1cos 2(sin =+∴B A在0sin ,≠∆A ABC 中01cos 2=+∴B .32π=∴B （2）因为,32π=B 3π=+∴C A )32sin(2cos 232sin 21)(π-=-=∴x x x x f ()f x π∴的周期为 ，22,32x k k Z πππ-=+∈令，得125ππ+=k x （k Z ∈）即当时125ππ+=k x （k ∈Z ）时)(x f 取最大值 24.。
【全国百强校】山东省济南第一中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年度第一学期期末考试高一数学试题本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分120分，考试时间120分钟．注意事项：1．选择题答案涂写在答题纸上相应位置2．填空题答案、解答题解答过程填写在答题纸相应位置第Ⅰ卷(选择题共48分)一、选择题：本大题共12小题，每小题4分.共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体的名称是（）A. 圆柱B. 圆锥C. 圆台D. 圆柱的一部分【答案】B【解析】根据等腰三角形的对称性可知，一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形，相当于一个直角三角形绕着一直角边所在的直线旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形，符合圆锥的定义和结构特点，故几何体的名称：圆锥.故选B.2. 下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）A. y=B. y=()2C. y=lg10xD. y=【答案】C【解析】试题分析：选项A、B、D中定义域与值域均不相同，只有选项C正确．故答案选C．考点：函数的三要素．3. 过点且平行于直线的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可设所求的直线方程为x−2y+c=0∵过点(−1,3)代入可得−1−6+c=0则c=7∴x−2y+7=0故选A.4. 已知函数为偶函数，则m的值是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函数为偶函数，则满足，即，解得，即.故选C.5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )立方尺A. B. C. D.【答案】B【解析】设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，则，解得：，所以米堆的体积为，所以米堆的斛数是，故选B.6. 圆与直线的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 直线过圆心【答案】A【解析】圆的圆心为：，半径为：1所以直线与圆相交.故选A.7. 棱长为2的正方体的外接球体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】棱长为2的正方体的外接球的直径为正方体的体对角线. 所以球半径为，从而得外接球体积为.故选D.8. 若是幂函数，且满足，则f ()＝( )A. -4B. 4C. -D.【答案】D【解析】是幂函数，设（为常数）.由，解得.所以故选D.9. 设、是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：①若则；②若则；③若则④若，则其中正确命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】①a⊥b，a⊥α，可得出此b∥α或b⊂α，故；①不正确；②若只有当与和交线垂直时才有，故②不正确；③若a⊥β，α⊥β，由图形即可得出a∥α或a⊂α，③不正确；④由a⊥b，a⊥α可推出b∥α或b⊂α，再有b⊥β，可得出α⊥β，故是真命题.故选B.10. 如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式的解集是( )A. {x|－1＜x≤0}B. {x|－1≤x≤1}C. {x|－1＜x≤1}D. {x|－1＜x≤2}【答案】C【解析】在同一坐标系中画出函数f(x)和函数y=的图象，如图所示：由图可得不等式f(x)⩾的解集是：(−1,1]，故选C.11. 若对于任意[－1,1], 函数的值恒大于零，则的取值范围是( )A. (-∞‚1)∪(3,+∞)B.C.D.【答案】A【解析】原问题可转化为关于a的一次函数在a∈[−1,1]上恒成立，只需，∴，∴x<1或x>3.故选A.点睛：不等式恒成立问题的一般思路是转化为函数的最值来处理，解此类型的一般思路是：（1）观察函数的变量是哪个，函数形式是二次，还是指数，还是对勾函数，函数结构较为复杂时可以利用求导，根据函数的单调性，求出函数最值即可；（2）对于一次函数恒大与0或恒小于0的问题，可以直接转化为两个端点值恒大于0或恒小于0即可. 12. 实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设=k，即kx−y=0，由圆方程,得到得到圆心坐标为(-2,0)，半径r=1，由题意,圆心到直线的距离d⩽r,即，解得：，则k的取值范围是，故选：C.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
山东省济南第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题
【全国百强校】山东省济南第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）AB ．2 C．D2．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常3．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ）A ．18B ．38C ．58D ．784．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ）A ．310B ．25C ．35D ．7105．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为2S b cr a =++.将此结论类比到空间四面体：设四面体S ABC -的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝（ ）A ．1234V S S S S +++B ．12342V S S S S +++ C ．12343V S S S S +++ D ．12344V S S S S +++6．由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是（ ）A ．4B ．92C ．5D ．1127．函数2()cos x f x e x x x =+++，则()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．220x y -+= B ．220x y ++=C ．220x y ++=D ．220x y8．在二项式3n x ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A “取出的两个球颜色不同”，事件B “取出一个黄球，一个蓝球”，则(|)P B A =（ ）A ．1247B ．1547C ．2047D ．21110．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，'()f x y e =的图象如图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,2)-∞C ．(0,1)D ．(1,2)11．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ）A ．30B ．36C ．48D ．5412．已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞二、填空题 13．随机变量1~(10,)2X B ，变量204Y X =+，是()E Y =__________．14．二项式10展开式中含3x 项的系数是__________． 15．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'()ln f x xf e x =+，则()f e =__________．16．设01P <<，若随机变量ξ的分布列是：则当P 变化时，()D ξ的极大值是______.三、解答题17．已知数列{}n a 满足12a =，()131n n na n a +=+，()n n a b n N n *=∈. （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由.18．已知函数32()2f x ax bx x =+-，且当1x =时，()f x 取得极值为56-. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()6f x x m =--在[2,0]-上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19．对某种书籍的成本费y （元）与印刷册数x （千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中6111,6i i i i x ωωω===∑. 为了预测印刷20千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：,d y a bx y c x=+=+. （1）根据散点图，拟认为选择哪个模型预测更可靠?（只选出模型即可）（2）根据所给数据和（1）中的模型选择，求y 关于x 的回归方程，并预测印刷20千册时每册的成本费.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归方程ˆˆˆv u αβ=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆn i i i n i i u v nuv u nuβ==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 20．某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级100名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占70%.这100名学生中南方学生共80人．南方学生中有20人不喜欢甜品.（1）完成下列22⨯列联表：（2）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（3）已知在被调查的南方学生中有6名数学系的学生，其中2名不喜欢甜品；有5名物理系的学生，其中1名不喜欢甜品.现从这两个系的学生中，各随机抽取2人，记抽出的4人中不喜欢甜品的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.21．已知函数()2ln m f x x x x=--+，m R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：22()1f x x >-.22．在直角坐标系中，l 是过点(1,0)P -且倾斜角为4π的直线.以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，求PA PB +.23．已知函数()21f x x a x =+--.（1）当1a =时，解不等式()2f x >；（2）当0a =时，不等式2()7f x t t >--对任意x ∈R 恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案1．D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi2．B【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯=所以上午生产情况正常，下午生产情况异常,选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.3．C【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率. 详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ==== 所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+== 选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)k k n k n C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率.4．C【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有2510C =种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有11236C C =,所以所求概率为63.105= 选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．C【分析】由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：()123413V S S S S r =+++，所以12343V S S S S r =+++. 故选：C【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，属于中档题.6．B【解析】分析：先求曲线交点，再确定被积上下限，最后根据定积分求面积.详解：因为22{y x y x =+=，所以21{,{41x x y y ==-== 所以由直线2y x =+与曲线2y x =围成的封闭图形的面积是23221218119(2)(2)|2421233232x x x dx x x -+-=+-=+--+-=-⎰, 选B.点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．7．A【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.详解：因为()21sin x f x e x x +-'=+，所以(0)112,(0)112k f f '==+==+=所以切线方程为22220,y x x y -=∴-+=选A.点睛：求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 8．A【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n详解：因为各项系数之和为(13)4n n +=，二项式系数之和为2n ,因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=,选A.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.9．C【分析】求出()P A ，()P AB ，由此利用条件概率计算公式能求出(|)P B A ．【详解】因为()11542121033C C P AB C ==， ()1111115453432124766C C C C C C P A C ++==， 故()()20(|)47P AB P B A P A ==， 故选：C ．【点睛】 本题考查概率的求法，条件概率计算公式，是基础题．10．B【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果.详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤，所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.11．D【解析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.详解：先排乙，有3种，再排甲，有3种，最后排剩余三人，有33A 种因此共有333354A ⨯⨯=， 选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”. 12．A 【解析】分析：先构造函数()()xf xg x e =，再根据函数单调性解不等式. 详解：令()()x f x g x e=，因为()()()0xf x f xg x e '-'=<，(0)2g = 所以()2()(0)0xf x eg x g x >⇒>⇒< 因此解集为(),0-∞ ， 选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 13．40 【解析】分析：先根据二项分布得()E X ,再根据204Y X =+，得().E Y详解：因为1~10,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1()1052E X =⨯=，因为204Y X =+，所以()204()202040.E Y E X =+=+= 点睛：二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()E X np =.14．210.【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得含3x 项的项数，再代入得系数详解：因为1130101211010((1)r rr r r rr T C C x --+==-，所以11303612r r -=∴= 因此含3x 项的系数是6610(1)210C -=.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 15．-1 【解析】分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e .详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e=-+=-，点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 16．12【解析】分析:先求出()E ξ,再求()D ξ,利用二次函数的图像求()D ξ的极大值. 详解:由题得113()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-, 所以2222311111()()()()(01)2222224p p D p p p p p p ξ-=-+-++=-++<< 所以当12p =时,() D ξ的极大值是12. 故答案为12.点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅17．(1) 12b =，26b =，318b =.(2) {}n b 是首项为2，公比为3的等比数列；理由见解析. 【解析】分析：（1）先根据递推关系式求1a ，2a ，3a ；，再求1b ，2b ，3b ；（2）根据等比数列定义证明{}n b 为等比数列. 详解： (1）由条件可得：()131n n n a a n++=，将1n =代入，得216a a =，而12a =，∴212a =，将2n =代入，得3292a a =，∴354a =， ∴1121a b ==，21262b ==，33183a b ==. （2）{}n b 是首项为2，公比为3的等比数列. 由条件可得：131n n a an n+=⨯+，即13n n b b +=， 又12b =，∴{}n b 是首项为2，公比为3的等比数列.点睛：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 等比数列的判定方法 18．（1）321()2323b f x x x x =-+-（2）13[0,)6【解析】分析：(1)先根据导数几何意义得()'10f = ，再与函数值()516f =- 联立方程组解得()f x 的解析式；(2)先化简方程得32134032x x x m ---=，再利用导数研究函数()3213432g x x x x m =---在[]2,0-上单调性，结合函数图像确定条件，解得结果.详解：（1）()2'322f x ax bx =+-，由题意得，()()'10516f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即3220526a b a b +-=⎧⎪⎨+-=-⎪⎩， 解得1332a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴()3213232f x x x x =-+-. （2）由()()620f x x m x =---≤≤有两个不同的实数解，得32134032x x x m ---=在[]2,0-上有两个不同的实数解， 设()3213432g x x x x m =---，由()2'34g x x x =--，由()'0g x =，得4x =或1x =-，当()2,1x ∈--时，()'0g x >，则()g x 在[]2,1--上递增， 当()1,0x ∈-时，()'0g x <，则()g x 在[]1,0-上递减，由题意得()()()201000g g g ⎧-≤⎪->⎨⎪≤⎩，即231360m m m ⎧≥-⎪⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩，解得1306m ≤<， 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 19．（1）模型dy c x =+更可靠.（2）8ˆ 1.2yx=+，1.6分析: (1)根据散点图的形状得到选择模型d y c x =+更可靠.(2) 令1xω=，则建立y 关于x 的线性回归方程y d c ω=+，求得y 关于ω的线性回归方程为 1.28ˆyω=+，再求出求y 关于x 的回归方程，令x=20，求出ˆy的值，得到印刷20千册时每册的成本费. 详解：（1）由散点图可以判断，模型dy c x=+更可靠. （2）令1xω=，则建立y 关于x 的线性回归方程y d c ω=+， 则12214.880ˆ.60ni i i ni i y n yd n ωωωω==-===-∑∑， ∴ 4.2ˆˆ20.37758 1.2cy d ω=-=-⨯= ∴y 关于ω的线性回归方程为 1.28ˆyω=+， 因此，y 关于x 的回归方程为81.2ˆyx=+ 当20x =时，该书每册的成本费8ˆ 1.2 1.620y=+=元. 点睛：（1）本题主要考查线性回归方程的求法，考查非线性回归方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）建立非线性回归模型的基本步骤：①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； ④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；⑥消去新元，得到非线性回归方程；⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 20．(1)列联表见解析.(2) 有95%的把认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”. (3)分布列见解析；()1615E X =. 【解析】分析：（1）根据数据填写表格，（2）根据卡方公式得2K ，再与参考数据比较得可靠率，（3）先列随机变量可能取法，再利用组合数求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.（2）由题意，()2210060102010 4.762 3.84170308020K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”. （3）X 的所有可能取值为0，1，2，3，()224422656025C C P X C C ===，()2111244424226512125C C C C C P X C C +===， ()1112242424226519275C C C C C P X C C +===， ()212422652375C C P X C C ===，则X 的分布列为所以X 的数学期望()1238616025757515E X =+++=. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值. 21．（1）见解析.（2）见解析. 【解析】分析：(1)先求导数，再根据二次方程22x x m -- =0根得情况分类讨论：当1m ≤-时，()'0f x ≤.∴()f x 在()0,+∞上单调递减. 当1m >-时，根据两根大小再分类讨论对应单调区间， (2)先化简不等式222ln 1mx x ->，消m 得222ln 1x x ->-，再利用导数研究()2ln h x x x =-，()1,2x ∈单调性，得其最小值大于-1，即证得结果.详解：（1）由()2ln mf x x x x=--+，得 ()22222'1m x x m f x x x x -++=-++= 222x x mx--=，()0,x ∈+∞. 设()22g x x x m =--，()0,x ∈+∞.当1m ≤-时，即440m ∆=+≤时，()0g x ≥，()'0f x ≤. ∴()f x 在()0,+∞上单调递减. 当1m >-时，即440m ∆=+>时，令()0g x =，得11x =，21x =12x x <. 当10m -<<时，120x x <<，在()()120,,x x ⋃+∞上，()'0f x <，在()12,x x 上，()'0f x >， ∴()f x 在()20,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减. 综上，当1m ≤-时，()f x 在()0,+∞上单调递减，当10m -<<时，()f x 在(0,1-，()1+∞上单调递减，在(1上单调递增，当0m ≥时，()f x在(0,1+上单调递增，在()1++∞上单调递减.（2）∵()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，∴由（1）知()22g x x x m =--有两个不同的零点1x ，2x ，11x =，21x =10m -<<，此时，22220x x m --=，要证明()222222ln 1m f x x x x x =--+>-，只要证明222ln 1mx x ->. ∵2222m x x =-，∴只要证明222ln 1x x ->-成立.∵()1,0m ∈-，∴()211,2x =. 设()2ln h x x x =-，()1,2x ∈， 则()2'1h x x=-， 当()1,2x ∈时，()'0h x >， ∴()h x 在()1,2x ∈上单调递增，∴()()11h x h >=-，即222ln 1x x ->-，∴()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x >时，()221f x x >-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．（1）直线l的参数方程为122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）;22(2)4x y -+=；（2）【详解】分析：(1)先根据倾斜角写直线l 的参数方程，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程，(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数几何意义以及韦达定理得12P t t A PB +==+详解：（1）直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.由曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入得曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）把1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C的方程得223422⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得250t -+=，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12125t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩∴10t >，20t >，则12P t t A PB +==+点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos {sin x x t y y t αα=+=+.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +. (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.23．（1）2{|4}3x x x <->或；（2）(2,3)- 【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法解不等式2112x x +-->.(2)先利用分段函数求得()()min 01f x f ==-，再解不等式217t t ->--得到实数t 的取值范围.详解：（1）当1a =时，由()2f x >得2112x x +-->，故有122112x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩或1122112x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或()12112x x x >⎧⎨+-->⎩ ∴4x <-或213x <≤或1x >， ∴4x <-或23x >，∴()2f x >的解集为{|4x x <-或2}3x >.（2）当0a =时()1,02131,011,1x x f x x x x x x x --<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪+>⎩∴()()min 01f x f ==- 由217t t ->--得260t t --<∴23t -<<∴t 的取值范围为()2,3-.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的最值的求法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论的思想方法.(2)解题的关键是求()21f x x x =--的最小值，这里要利用分段函数的图像求解.。
2017-2018学年山东省济南第一中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年山东省济南第一中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．下列四组中， ()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A. ()f x x =, ()g x = B. ()f x x =, ()2g x =C. ()2f x x =， ()3x g x x = D. ()f x x =, ()g x = (),0{ ,(0)x x x x ≥-<【答案】D【解析】 对于A 中，可知()g x x ==， ()f x x =，所以两个函数不是同一函数；对于B 中， ()f x x =， ()()20g x x =≥，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于C 中， ()2f x x =， ()()30x g x x x=≠，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于D 中， (),0{ ,0x x f x x x x ≥==-<与(),0{,0x x g x x x ≥=-<的定义域和解析式都相同，所以是同一函数，故选D.2．已知函数()()22,2{log 1,2x x f x x x ≤=->，则()()5f f 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】 由函数()()22,2{ log 1,2x x f x x x ≤=-> ，可得()()225log 51log 42f =-==，所以()()()25224ff f ===，故选D.3．若()()2212f x x a x =--+在(],5-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. 6a > B. 6a ≥ C. 6a < D. 6a ≤ 【答案】B【解析】 由函数()()2212f x x a x =--+的对称轴方程为()2112a x a -==-，4．函数()ln 26f x x x =+-的零点所在的区间为 （ ） A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4 【答案】C【解析】 由函数()ln 26f x x x =+-，则()2ln2226ln220f =+⨯-=-<， ()3ln3236ln30f =+⨯-=>， 所以()()230f f <，所以函数()f x 在区间()2,3内至少一个零点，故选C. 5．下列函数中,是偶函数又在区间()0,+∞上递增的函数为 （ ） A. 3y x = B. 2log y x = C. y x = D. 2y x =- 【答案】C【解析】试题分析： y x =， 2y x =-，为偶函数， 3y x =为奇函数， 2log y x =为非奇非偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增的是： 3y x =， 2log y x =， y x =，而2y x =-在区间(0,+∞)上单调递减，综上所述，答案选C ．【考点】函数的单调性与函数的奇偶性，学生的逻辑推理能力及对基本函数图像的掌握. 6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()()31f f >，则下列各式一定成立的是( ) A. ()()06f f < B. ()()32f f > C. ()()13f f -< D. ()()20f f > 【答案】C 【解析】略7．、若方程()2250x m x m ++++=只有负根，则m 的取值范围是（ ）A. 4m ≥B. 54m -<≤-C. 54m -≤≤-D. 52m -<<- 【答案】A【解析】 若方程()2250x m x m ++++=只有负根，则()()(450{20 50m m m m ∆=-+≥-+>+< ，解得4m ≥，故选A.8．设0.2611log 7,,24a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是【答案】A 【解析】解：首先，b,c都小于1，又.2266111log 7log 61,224a b c a b c ⎛⎫⎛⎫=>==>==∴>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故选A9．若0m >， 0n >， 01a a >≠且，则下列等式中正确的是（ ） A. ()nmm n a a += B. 11mm a a=C. ()log log log a a a m n m n ÷=-D. ()43mn =【答案】D 【解析】 由()nmmn a a =，所以A 是错误的；由1ma=B 是错误的；由log log log a a n m n m ÷=，所以C 是错误的，故选D.点睛：本题主要考查了实数指数幂的运算法则和对数的运算法则，试题比较基础，属于基础题，解题时要认真审题，注意实数指数幂和对数的运算法则的合理运用，其中熟记实数指数幂的运算法则和对数的运算公式是解答此类问题的关键.10．对于任意实数x ，符号 [x ]表示不超过x 的最大整数(如][][1.52,00,2.32⎡⎤-=-==⎣⎦，则][][][][2222211log log log 1log 3log 443⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值为（ ）A. 0B. 2-C. 1-D. 1 【答案】C 【解析】由题意得][][][][()2222211log log log 1log 3log 422012143⎡⎤++++=-+-+++=-⎢⎥⎣⎦， 故选C.点睛：本题主要考查了对数的运算法则的应用，其中解答中熟记对数的运算法则和对数的运算性质，估算出每个式子的近似值是解答的关键，同时要认真审题，仔细作答和正确理解函数[]x 的定义，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题11．若集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，则集合M N 的真子集个数为 . 【答案】112．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时， ()()1f x x x =-，则当0x <时， ()f x ＝_____【答案】()()1f x x x =+ 【解析】 设0x <，则0x ->，因为当0x >时， ()()1f x x x =-，所以()()1f x x x -=-+， 又因为函数()f x 是奇函数，所以()()()1f x f x x x =--=+， 所以0x <时， ()()1f x x x =+.13．已知幂函数的图象过点((),9f =则 .【答案】3【解析】试题分析：设函数，代入点，解得，所以，【考点】幂函数14．021.10.5lg252lg2-++=__________． 【答案】5【解析】原式()2162lg 254325=+-+⨯=+=.15．给出下列结论：2=±；②[]21,1,2y x x =+∈-， y 的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限； ④函数()12(0,1)x f x aa a +=->≠的图象过定点()1,1-- ；⑤若ln 1a <成立，则a 的取值范围是(),e -∞. 其中正确的序号是 ___________ 【答案】③ ④【解析】2=；②y 的值域是[1，5]；⑤忽略了真数的取值范围，的取值范围应为()0,e .③考查了幂函数的性质，正确；由10x +=，即1x =-时1x a +恒等于1，此时()1f x =-，即过函数的图象过定点()1,1--故④正确.【考点】（1）根式的运算；（2）二次函数的值域；（3）幂函数的性质；（4）指数函数及对数函数的性质.三、解答题16．已知集合{|17}A x x =≤<，{|210}B x x =<<，{|}C x x a =<，全集为实数集R ．（1）求A B ，()R C A B ；（2）如果A C φ≠ ，求a 的取值范围．【答案】（1）{|110}A B x x =≤< ，(){|710}R C A B x x =≤< ；（2）1a >． 【解析】试题分析：（1）根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解A B ，()R C A B ；（2）根据集合A C φ≠ ，利用交集的运算，即可求解a 的取值范围． 试题解析：（1）{|110}A B x x =≤< ，(){|17}{|210}{|710}R C A B x x x x x x x =<≥<<=≤< 或．（2）当1a >时满足A C φ≠ ． 【考点】集合的运算．17．已知()y f x = 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥ 时， ()22f x x x =-（1）求()()1,2f f -的值； （2）求()f x 的解析式；（3）画出()y f x =简图；写出()y f x =的单调递增区间(只需写出结果，不要解答过程).【答案】（1）()()()11,220f f f =--==；（2）()[)222,0,{ +2,,0x x x f x x x x -∈+∞=∈-∞（）；（3）][)1,01,⎡-⋃+∞⎣【解析】试题分析：利用函数的奇偶性，直接代入即可求解相应的函数值，利用二次函数的图象和性质，确定二次函数的单调性和值域，即可得到结论.解： （1） ()()()11,220f f f =--== （2）()[)222,0,{+2,,0x x x f x x x x -∈+∞=∈-∞（）（3）（图略）单调增区间为： []1,0-， [)1,+∞18．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】(1)88；（2）每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．【解析】试题分析：对于第（1）问，当租金定为3 900元时，租金增加了900元，按月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，可知未租出的车有15辆，故一共租出了100-15=85辆车。
山东省济南市2017-2018学年高一下学期收心数学试卷Word版含解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈}，则A∩B=（）A． B．（1，3）C． D．（1，3）5．函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+7．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（）A．B．C．D．8．如图所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是如图中的（）A．四个图形都正确B．只有②③正确C．只有④错误D．只有①②正确9．如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．过点A（3，﹣1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．无数多条11．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．112．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），则对角线AC1的长为（）A．9 B． C．5 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l1：x+2ay﹣1=0与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是．14．已知P（﹣1，1），Q（2，2），若直线l：y=mx﹣1与射线PQ（P为端点）有交点，则实数m的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．16．下列命题中：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；②已知函数y=f（3x）的定义域为，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）；③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数；④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合，B={x|m+1≤x≤3m﹣1}．（1）求集合A；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．18．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．20．如图，射线OA、OB分别与x轴成45°角和30°角，过点P（1，0）作直线AB分别与OA、OB交于A、B．（Ⅰ）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；（Ⅱ）当AB的中点在直线y=x上时，求直线AB的方程．21．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有．（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0对任意x∈}，则A∩B=（）A． B．（1，3）C．}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C2．a=log0.76，b=60.7，c=0.70.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数式和对数式的性质，分别比较三个数与0或1的大小得答案．【解答】解：∵a=log0.76＜0，b=60.7＞1，0＜c=0.70.6＜0.70=1，∴b＞c＞a．故选：D．3．已知函数f（x）=，则f（f（﹣4））+f（log2）=（）A．B．3 C．8 D．9【考点】函数的值．【分析】由已知利用分段函数及对数函数的性质求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣4）=24=16，f（f（﹣4））=f（16）=log416=2，f（）==6，f（f（﹣4））+f（log2）=2+6=8．故选：C．4．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A．B．（2﹣，2+）C． D．（1，3）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．【解答】解：∵f（a）=g（b），∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+故选B5．函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点．【分析】根据分段函数分段的标准分别研究函数在每一段上的零点的个数，然后得到整个函数的零点个数．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x2+2x﹣3，令f（x）=0解得x=﹣3或1（正值舍去）当x＞0时，f（x）=lnx﹣2，令f（x）=0解得x=e2故函数的零点个数为2，分别为﹣3、e2故选C．6．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+【考点】斜二测法画直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C7．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（）A．B．C．D．【考点】球内接多面体．【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算．【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=，△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×（2）2=2，∴h=，∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为=．故选：C．8．如图所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是如图中的（）A．四个图形都正确B．只有②③正确C．只有④错误D．只有①②正确【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】按照三视图的作法：上下、左右、前后三个方向的射影，四边形的四个顶点在三个投影面上的射影，再将其连接即可得到三个视图的形状，按此规则对题设中所给的四图形进行判断即可．【解答】解：因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影．四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图②所示；四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确故选B．9．如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD的中点E，连接C1E，CE，根据已知中AB=AD=2，CC1=，我们易得△C1BD及△CBD 均为等腰三角形，进而得到C1E⊥BD，CE⊥BD，则∠C1EC即为二面角 C1﹣BD﹣C的平面角，解△C1EC即可求也二面角 C1﹣BD﹣C的大小．【解答】解：取BD的中点E，连接C1E，CE由已知中AB=AD=2，CC1=，易得CB=CD=2，C1B=C1D=根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得C1E⊥BD，CE⊥BD则∠C1EC即为二面角 C1﹣BD﹣C的平面角在△C1EC中，C1E=2，CC1=，CE=故∠C1EC=30°故二面角 C1﹣BD﹣C的大小为30°故选A10．过点A（3，﹣1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．无数多条【考点】直线的截距式方程．【分析】设所求的直线方程为y=k（x﹣3）+1，求出横截距，纵截距，再由过点A（3，﹣1）的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，求出k，由此能求出过点A（3，﹣1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的条数．【解答】解：设所求的直线方程为y=k（x﹣3）﹣1，当y=0时，得横截距x=3+，当x=0时，得纵截距y=﹣1﹣3k，∵过点A（3，﹣1）的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴|3+|=|﹣1﹣3k|，∴﹣1﹣3k=3+或﹣1﹣3k=﹣，∴k=﹣1，或k=﹣或k=1，∴过点A（3，﹣1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有3条．故选：B．11．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，可得当底面面面最大值，底面为正方形，求出几何体体积的最大值，可得结论．【解答】解：当底面面面最大值，底面为正方形，此时V=×1×1×2=，1＞，故该几何体的体积不可能是1，故选：D12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），则对角线AC1的长为（）A．9 B． C．5 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由题意，求出C1坐标，然后利用距离公式求解即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），∴A1A⊥平面A1B1C1D1，C1（0，2，3）．则对角线AC1的长为： =．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l1：x+2ay﹣1=0与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是0或．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由=≠1，解得a的值．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由=≠1，解得：a=．综上，a=0或，故答案为：0或；14．已知P（﹣1，1），Q（2，2），若直线l：y=mx﹣1与射线PQ（P为端点）有交点，则实数m的取值范围是m≤﹣2或m＞．【考点】直线的斜率．【分析】利用直线l：y=mx﹣1与经过定点，A（0，﹣1），求得直线AQ的斜率k AQ，直线AP的斜率k AP即可得答案．【解答】解：∵直线l：y=mx﹣1与恒过定点A（0，﹣1），线段PQ两端点的坐标分别为P（﹣1，1）和Q （2，2），∴直线AQ的斜率k AQ=，直线AP的斜率k AP=﹣2，k PQ=，依题意有：m≤﹣2或m＞．故答案为：m≤﹣2或m＞．15．在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：．16．下列命题中：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；②已知函数y=f（3x）的定义域为，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）；③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数；④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．所有正确命题的序号是③④（请将所有正确命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当k=0时，A={﹣1}，即可判断①；由函数的定义域的定义，以及指数函数的单调性即可解得f（x）的定义域，即可判断②；通过函数y=的图象的平移和单调性即可判断③；运用函数与方程的转换，作出函数的图象，通过观察即可判断方程根的个数，即可判断④．【解答】解：对于①，当k=0时，A={﹣1}，也符合题意，则①错；对于②，函数y=f（3x）的定义域为，即有﹣1≤x≤1，则，则y=f（x）的定义域应该是[，3]，则②错；对于③，y=的图象可由函数y=的图象向右平移1个单位得到，由于y=在（﹣∞，0）递增，则y=在（﹣∞，1）递增，则③对；对于④，在同一坐标系中作出y=2|x|，y=log2（x+2）+1的图象，由图可知有两个交点．故方程的实根的个数为2．则④对．故答案：③④．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合，B={x|m+1≤x≤3m﹣1}．（1）求集合A；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）利用指数函数y=2x的单调性即可求出集合A．（2）先对集合B分B=∅与B≠∅两种情况讨论，再利用B⊆A即可求出答案．【解答】解：（1）∵，∴2﹣3≤2x+1≤24，∴﹣3≤x+1≤4，∴﹣4≤x≤3，∴A={x|﹣4≤x≤3}．（2）若B=∅，则m+1＞3m﹣1，解得m＜1，此时满足题意；若B≠∅，∵B⊆A，∴必有，解得．综上所述m的取值范围是．18．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．【解答】解：（1）f（x）=k1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC==．由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．由△COG∽△CPA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．20．如图，射线OA、OB分别与x轴成45°角和30°角，过点P（1，0）作直线AB分别与OA、OB交于A、B．（Ⅰ）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；（Ⅱ）当AB的中点在直线y=x上时，求直线AB的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）由题意直线AB的斜率不为0，因为过点P，故可设为：x=my+1，分别与射线OA、OB联立，求出A、B点坐标，因为AB的中点为P，由中点坐标公式列方程求解即可．（Ⅱ）同（Ⅰ）求出A、B点坐标，求出中点坐标，因为AB的中点在直线y=x上，代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在直角坐标系中，射线OA、OB分别与x轴成45°角和30°角，可得射线OA：x﹣y=0（x≥0），OB： x+3y=0（x≥0），由题意直线AB的斜率不为0，因为过点P，故可设为：x=my+1，分别与射线OA、OB联立，得A（，），B（，﹣）因为AB的中点为P，由中点坐标公式﹣=0，解得m=所以直线AB的方程为：2x﹣（1﹣）y﹣2=0（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB的中点M坐标为：（，），因为AB的中点在直线y=x上，所以=×，解得：m=，所以直线AB的方程为：3x﹣（3﹣）y﹣3=021．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有．（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．【分析】（1）由a＞b，得，所以f（a）+f（﹣b）＞0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）．（2）由f（x）在R上是单调递增函数，利用奇偶性、单调性可把f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0中的符号“f”去掉，分离出参数k后转化为函数最值即可解决．【解答】解：（1）∵对任意a，b，当a+b≠0，都有．∴，∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴f（a）+f（﹣b）＞0，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）﹣f（b）＞0，∴f（a）＞f（b）；（2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0，得f（9x﹣2•3x）＞﹣f（2•9x﹣k）=f（k﹣2•9x），故9x﹣2•3x＞k﹣2•9x，即k＜3•9x﹣2•3x，令t=3x，则t≥1，所以k＜3t2﹣2t，而3t2﹣2t=3﹣在[1，+∞）上递增，所以3t2﹣2t≥3﹣2=1，所以k＜1，即所求实数k的范围为k＜1．22．求圆关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】设已知圆的圆心（，﹣1）关于直线x﹣y+1=0对称的点的坐标为（m，n），利用垂直、以及中点在轴上这2个条件，求得（m，n）的值，可得对称圆的方程．【解答】解：设圆的圆心（，﹣1）关于直线x﹣y+1=0对称的点的坐标为（m，n），由，求得，可得对称圆的圆心为（﹣2，），故对称圆的方程为（x+2）2+=．。
【精品】2017-2018学年山东省济南一中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年山东省济南一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列四组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x，B．f（x）=x，C．f（x）=x2，D．f（x）=|x|，g（x）=2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）若f（x）=x2﹣2（a﹣1）x+2在（﹣∞，5]上是减函数，则a的取值范围是（）A．a＞6 B．a≥6 C．a＜6 D．a≤64．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x﹣6，则它的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．（5分）下列函数中，是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（）A．y=x3 B．y=|log2x|C．y=|x|D．y=﹣x26．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（3）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（3）＞f（2）C．f（﹣1）＜f（3）D．f（2）＞f（0）7．（5分）若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，则m的取值范围是（）A．m≥4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣5≤m≤﹣4 D．﹣5＜m＜﹣28．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＜c＜a C．b＞c＞a D．a＜b＜c9．（5分）若m＞0，n＞0，a＞0且a≠1，则下列等式中正确的是（）A．（a m）n=a m+n B．=C．log a m÷log a n=log a（m﹣n）D．=10．（5分）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数（如[﹣1.5]=﹣2，[0]=0，[2.3]=2，则++[log21]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，则M∩N 等于．12．（4分）y=f（x）为奇函数，当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=．13．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=．14．（4分）计算：1.10++lg25+2lg2=．15．（4分）给出下列结论：①=±2；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，e）．其中正确的序号是．三、解答题（本大题共5个小题.共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（8分）已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（?R A）∩B；（2）若A∩C≠?，求a的取值范围．17．（10分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x （1）求f（1），f（﹣2）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）画出y=f（x）简图；写出y=f（x）的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）．18．（10分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？19．（10分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]（1）若y=f（x）在[﹣5，5]上是单调函数，求实数a取值范围．（2）求y=f（x）在区间[﹣5，5]上的最小值．20．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．2017-2018学年山东省济南一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列四组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x，B．f（x）=x，C．f（x）=x2，D．f（x）=|x|，g（x）=【分析】利用函数的三要素：定义域、对应关系、值域进行判断，从而进行求解；【解答】解：A、可知g（x）=，f（x）=x，两个函数对应关系不一样，故不是同一函数，故A错误；B、f（x）=x，x∈R，g（x）=（）2=x，x＞0，定义域不一样，故B错误；C、f（x）=x2，x∈R，g（x）=，x≠0，f（x）与g（x）定义域不一样，故C 错误；D、f（x）=|x|=，与g（x）定义域，解析式一样，故f（x）与g（x）表示同一函数，故D正确；故选：D．【点评】此题主要考查函数的三要素，判断一个函数为同一函数要看，定义域、对应法则和值域，此题是一道基础题；2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用分段函数直接代入求值即可．【解答】解：∵f（5）=log24=2，∴f（f（5））=f（2）=22=4．故选：D．【点评】本题主要考查分段函数的求值问题，注意分段函数中变量的取值范围．3．（5分）若f（x）=x2﹣2（a﹣1）x+2在（﹣∞，5]上是减函数，则a的取值范围是（）A．a＞6 B．a≥6 C．a＜6 D．a≤6【分析】函数f（x）=x2﹣2（a﹣1）x+2的图象是开口朝上，且以直线x=a﹣1为对称轴的抛物线，进而得到答案．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2（a﹣1）x+2的图象是开口朝上，且以直线x=a﹣1为对称轴的抛物线，若f（x）=x2﹣2（a﹣1）x+2在（﹣∞，5]上是减函数，则a﹣1≥5，解得：a≥6，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答的关键．4．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x﹣6，则它的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】结合函数的单调性，判断函数在每个区间端点处函数值的符号，再利用零点定理进行判断即可．【解答】解：易知函数f（x）=lnx+2x﹣6，在定义域R+上单调递增．因为当x→０时，f（x）→﹣∞；f（1）=﹣4＜0；f（2）=ln2﹣2＜0；f（3）=ln3＞0；f（4）=ln4+2＞0．可见f（2）?f（3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点．故选：C．【点评】本题考查了函数零点的存在性定理，一般是从函数的单调性、函数在区间端点处的函数值符号等方面进行分析，最后利用零点存在性定理确定零点所在区间．5．（5分）下列函数中，是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（）A．y=x3 B．y=|log2x|C．y=|x|D．y=﹣x2【分析】对各个选项一一判断奇偶性和单调性，即可得到所求结论．【解答】解：函数y=x3为奇函数，不符题意；函数y=|log2x|的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不为偶函数；函数y=|x|为偶函数，在区间（0，+∞）上递增，符合题意；函数y=﹣x2为偶函数，在区间（0，+∞）上递减，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，考查分析和判断能力，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（3）＞f（1），则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（3）＞f（2）C．f（﹣1）＜f（3）D．f（2）＞f（0）【分析】利用函数是偶函数，将结论转化为f（3）和f（1）的大小关系进行判断即可．【解答】解：因为函数是偶函数，所以f（﹣1）=f（1），因为f（3）＞f（1），所以f（3）＞f（﹣1）．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，比较基础．7．（5分）若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，则m的取值范围是（）A．m≥4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣5≤m≤﹣4 D．﹣5＜m＜﹣2【分析】若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，则，解得m的取值范围．【解答】解：若方程x2+（m+2）x+m+5=0只有负根，则，解得：m≥4，故选：A．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．8．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＜c＜a C．b＞c＞a D．a＜b＜c【分析】根据函数y=log6x是（0，+∞）上的增函数可得a＞1，再根据函数y=2x 在R上是增函数，b=2﹣0.2 ，c=2﹣2，故有1＞b＞c，从而得出结论．【解答】解：∵函数y=log6x是（0，+∞）上的增函数，7＞6，∴a=log67＞log66=1，即a＞1．∵函数y=2x在R上是增函数，且=2﹣0.2 ，c==2﹣2，﹣0.2＞﹣2，∴1=20＞2﹣0.2＞2﹣2，∴1＞b＞c．综上可得a＞b＞c，故选：A．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，指数函数的单调性的应用，属于基础题．9．（5分）若m＞0，n＞0，a＞0且a≠1，则下列等式中正确的是（）A．（a m）n=a m+n B．=C．log a m÷log a n=log a（m﹣n）D．=【分析】利用指数和对数的运算法则求解．【解答】解：（a m）n=a mn，故A错误；=，故B错误；log a m÷log a n=log n m≠log a（m﹣n），故C错误；=（mn），故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意指数和对数的运算法则的合理运用．10．（5分）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数（如[﹣1.5]=﹣2，[0]=0，[2.3]=2，则++[log21]+[log23]+[log24]的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】由对数性质得++[log21]+[log23]+[log24]=﹣2﹣2+0+1+2，由此能求出结果．【解答】解：∵对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，∴++[log21]+[log23]+[log24]=﹣2﹣2+0+1+2=﹣1．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，则M∩N 等于{（3，﹣1）} ．【分析】集合M，N实际上是两条直线，其交集即是两直线的交点．【解答】解：联立两方程解得∴M∩N={（3，﹣1）}．故答案为{（3，﹣1）}．【点评】本题主要考查了集合的交运算，注意把握好各集合中的元素．12．（4分）y=f（x）为奇函数，当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=x2+x．【分析】由f（x）为奇函数且x＞0时，f（x）=x（1﹣x），设x＜0则有﹣x＞0，可得f（x）=﹣f（﹣x）=x（1+x）．【解答】解：∵f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x（1﹣x），∴当x＜0时，﹣x ＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x（1+x））=x（1+x），即x＜0时，f（x）=x（1+x），故答案为：x2+x．【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，要注意求哪区间上的解析式，要在哪区间上取变量．13．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3．【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．14．（4分）计算：1.10++lg25+2lg2=5．【分析】根据指数和对数的运算性质，可得答案．【解答】解：1.10++lg25+2lg2=1+6﹣4+2=5，故答案为：5．【点评】本题考查的知识点是指数的运算性质，和对数的运算性质，难度不大，属于基础题．15．（4分）给出下列结论：①=±2；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，e）．其中正确的序号是③④．【分析】①=2；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，函数y（x）在[﹣1，0]内单调递减，在[0，2]内单调递增，即可得出值域．③利用幂函数的性质可得：幂函数图象一定不过第四象限；④由于当x=﹣1时，f（﹣1）=a0﹣2=﹣1，即可得出函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e）．【解答】解：①=2，因此不正确；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[1，5]，因此不正确；③幂函数图象一定不过第四象限，正确；④当x=﹣1时，f（﹣1）=a0﹣2=﹣1，∴函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1），正确；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e），因此不正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了根式的运算性质、指数函数与对数函数幂函数的单调性，考查了推理能力，属于基础题．第11页（共15页）三、解答题（本大题共5个小题.共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（8分）已知集合A={x|3≤x ≤7}，B={x|2＜x ＜10}，C={x|x ＜a}，全集为实数集R ．（1）求A ∪B ，（?R A ）∩B ；（2）若A ∩C ≠?，求a 的取值范围．【分析】（1）根据并集与交集、补集的定义计算即可；（2）根据交集与空集的定义，写出a 的取值范围．【解答】解：（1）因为A={x|3≤x ≤7}，B={x|2＜x ＜10}，所以?R A={x|x ＜3或x ＞7}，因此A ∪B={x|2＜x ＜10}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（?R A ）∩B={x|2＜x ＜3或7＜x ＜10}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）因为集合A={x|3≤x ≤7}，C={x|x ＜a}，若A ∩C ≠?，则a ＞3，即a 的取值范围是a ＞3．（注：有等号扣1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．17．（10分）已知y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x（1）求f （1），f （﹣2）的值；（2）求f （x ）的解析式；（3）画出y=f （x ）简图；写出y=f （x ）的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）．。
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绝密★启用前
【全国百强校】山东省济南第一中学2017-2018学年高一入
校检测数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx ；考试时间：51分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1、已知函数，则
＝ ( )．
A ．4
B ．
C ．－4
D ．－
2、下列函数是幂函数的是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3、下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是 ( )．
A ．
B ．
C ．
D ．
4、函数
的顶点坐标是 （ ）
5、等式成立的条件是（）
A． B． C． D．
6、下列叙述正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7、函数的定义域为()
A．(－∞，4) B．[4，＋∞) C．(－∞，4] D．(－∞，1)∪(1,4]
8、设函数是上的减函数，则有（）
A． B． C． D．
9、二次函数的对称轴为，则当时，的值为（）A． B．1 C．17 D．25
10、设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为( )
A．A∩B B．A B C．A∪B D．A B
11、已知集合A ={a，b，c },下列可以作为集合A的子集的是（）
A．a B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d }
第II卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
12、不等式的解集是_______________
13、不等式的解集是__________．
14、分解因式：=______________
15、分解因式：=_______________
16、方程的两根为和，则＝_________
17、方程的两根之和为－2，则＝__________
参考答案1、B
2、D
3、D
4、C
5、C
6、D
7、D
8、B
9、D
10、A
11、B
12、
13、
14、（x+3y）（x-2y）
15、（3x-2）（4x+1）
16、
17、2
【解析】
1、
2、幂函数的形式为：y=x a（a为常数），特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数，所以选项中A，B，C不正确；D正确；
故选D．
3、，，在区间(0,1)上是增函数，在区间(0,1)上是减函数。
故选：D
4、∵
∴顶点坐标是(－1，2)
点睛：二次函数的定点坐标为.
5、等式成立的条件是,即.
故选：C
6、A. 令a=2，b=−2，此时，而a≠b，故本选项错误；
B. 令a=−3，b=2，此时，而a<b，故本选项错误；
C. 令a=−3，b=2，此时，而，故本选项错误；
D. 若，则，故本选项正确。
故选D.
7、要使解析式有意义需满足：
，即且
所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]
故选：D
点睛：,
8、由题意，解得，故选B
9、试题分析：因为，二次函数的对称轴为，即，
所以，m=16，，当时，的值为25，选D。
考点：二次函数的图象和性质
点评：简单题，首先确定二次函数式，再求函数值。
10、因为集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}
所以“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A∩B
故选：A
11、由集合的子集的定义可知：集合A={a，b，c}的子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，对应选项，则可以作为集合A的子集的是{a，c}.
故选B.
点睛：集合A=的子集个数为，非空真子集个数为.
12、∵，∴
∴不等式的解集是
点睛：解不等式步骤：10检验二次项系数是否为正；20判断一元二次方程的判别式是否>0,<0,=0；30解出一元二次方程的根；40写出一元二次不等式的解集（用集合或区间表示）。
13、,所以不等式解集为
故答案为：.
点睛：解一元二次不等式的步骤：
①将二次项系数化为“”： (或)．
②计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ．时，求根，
ⅱ．时，求根，
ⅲ．时，方程无解，
③写出解集．
14、由十字相乘法可得：
=（x+3y）（x-2y）
15、由十字相乘法可得：
=（3x-2）（4x+1）
16、方程的两根为和，∴
＝
故答案为：
点睛：韦达定理的应用，
.
17、由韦达定理可得：，即
故答案为：2。