7-7二重积分的应用举例

− ( x2 + y2 )
dσ = ∫0 dθ∫0 e rdr
a −r2
2π
= π(1 − e
−a2
).
例3 计算积分 ∫∫ ( x + y ) d σ , 其中 D由
2 2 D
r = 2 a cos θ , ( −
π
2
≤θ ≤
π
2
π
)所围成.
π
解 D = {(r ,θ ), 0 ≤ r ≤ 2a cos θ , −
( x, y) dσ
y
柱面， 柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 Σ 为 dA， 则有 dA ≈ ds .
Q dσ 为 dA 在 xoy 面上的投影 , ∴ dσ = dA ⋅ cos γ ,
1 Q cos γ = , 2 2 1 + fx + fy
∴ dA = 1 + f x2 + f y2 dσ 曲面S的面积元素 曲面 的面积元素
D
π
2
0
dθ ∫
1
1 sin θ + cosθ
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
例2
解
计算 ∫∫ e D
− ( x2 + y2 )
dσ
，其中 D 是由中心在
原点， 原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.
在极坐标系下
D： D： 0 ≤ r ≤ a ，0 ≤ θ ≤ 2π .
∫∫ e
D
β ϕ 2 (θ ) α ϕ1 ( θ )
ϕ (θ ) β = ∫α dθ ∫0 f ( r cosθ , r sinθ )rdr . 2π = dθ ϕ (θ ) f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
∫
0
∫
0
（在积分中注意使用对称性） 在积分中注意使用对称性） 对称性
r = ϕ (θ )
D
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
o
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
0
2π
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
∫∫ rdrdθ .
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
Dyz
1+ (
∂x 2 ∂y
) + ( ) dydz;
∂x 2 ∂z
３．设曲面的方程为：y = h( z , x ) 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 曲面面积公式为：A =
∫∫
Dzx
1+ (
∂y 2 ∂z
) + ( ) dzdx.
∂y 2 ∂x
例 1 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ，含在圆柱体 x 2 + y 2 = ax 内部的那部分面积 内部的那部分面积.
得
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫ dx ∫
a D
b
y = ϕ1(x)
ϕ1 ( x )
f ( x , y )dy .
如果积分区域为： 如果积分区域为： c ≤ y ≤ d , ϕ 1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ). ［Y－型］ －
d d
x = ϕ1 ( y )
D
x = ϕ2 ( y)
∴ A = ∫∫ 1 + f x2 + f y2 dσ ,
D
∂z ∂z A = ∫∫ 1 + (∂x )2 + (∂y )2dxdy 曲面面积公式为： 曲面面积公式为： Dxy
同理可得 ２．设曲面的方程为：x = g ( y , z ) 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 曲面面积公式为：A =
∫∫
x = ϕ1 ( y )
D
c
c
x = ϕ2 ( y)
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫
D
d
c
dy ∫
ϕ2 ( y)
ϕ1 ( y )
f ( x , y )dx .
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 轴的直 型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点：穿过区域且平行于 轴的直 型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 线与区域边界相交不多于两个交点 若区域如图， 则必须分割 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = r cosθ 解 在极坐标系下 y = r sinθ
x2 + y2 = 1
1 直线方程为r = , sinθ + cosθ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy= ∫
= 4 ∫∫
D1
π 2
a dxdy 2 2 2 a −x −y
a cos θ 0 0
= 4 a ∫ dθ ∫
2
1 rdr 2 2 a −r
= 2 πa − 4 a .
2
例 2 求由曲面 x 2 + y 2 = az 和 z = 2a − (a > 0)所围立体的表面积 所围立体的表面积.
x2 + y2
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
β
o
D
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
π 0 ≤ θ ≤ 2π,
D3
D 1
D2
∫∫
D
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ .
D1 D2 D3
三、利用极坐标系计算二重积分
1 1 2 2 ∆σ i = ( ri + ∆ri ) ⋅ ∆θ i − ri ⋅ ∆θ i 2 2 r = ri + ∆ri 1 r = ri = ( 2ri + ∆ri )∆ri ⋅ ∆θ i 2 ri + ( ri + ∆ri ) = ∆ri ⋅ ∆θ i 2
2y zy = , a
1+ z + z =
2 x 2 y
2x 2 y 1+ + a a
2
2
2 1 + z x + z 2 = 2, 由 z = 2a − x + y 知 y
2 2
1 2 a + 4 x2 Байду номын сангаас 4 y2 , = a
1 2 2 2 a + 4 x + 4 y dxdy + ∫∫ 2dxdy 故S = ∫∫ D xy a D xy
7-7 二重积分的应用
一、问题的提出
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U对于闭区域 具有可加性 若要计算的某个量 对于闭区域D具有可加性 对于闭区域 (即当闭区域 分成许多小闭区域时，所求量 相应 即当闭区域D分成许多小闭区域时 即当闭区域 分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量， 等于部分量之和)， 地分成许多部分量，且U等于部分量之和 ，并且 等于部分量之和 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 在闭区域 内任取一个直径很小的闭区域 dσ 时， 的形式， 相应地部分量可近似地表示为 f ( x , y )dσ 的形式， (在 y ) 内dσ这个 x, f ( x , y )dσ 称为所求量U 其中 ． 称为所求量 元素， 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 dU
7-6 二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为： 如果积分区域为： a ≤ x ≤ b, ［X－型］ －
y = ϕ2 ( x )
ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ).
y = ϕ2 ( x )
D
y = ϕ1 ( x)
a
b
D
y = ϕ1 ( x )
a
b
上连续. 其中函数ϕ 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续 ϕ
由元素法
∫∫ xρ ( x, y )dσ x= , ∫∫ ρ ( x , y )dσ
D
D
∫∫ yρ ( x, y )dσ y= . ∫∫ ρ ( x , y )dσ
D D
当薄片是均匀的，重心称为形心. 当薄片是均匀的，重心称为形心 形心
1 x = ∫∫ xdσ , AD 1 y = ∫∫ ydσ . 其中 A = ∫∫ dσ AD D
Q ∫∫ f ( x , y )dσ 的值等于以 D 为底，以曲面 z = 为底，
D
f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积． 为曲顶柱体的体积．
z
z = f (x, y)
应用计算“平行截 应用计算“ 面面积为已知的立 体求体积”的方法, 体求体积”的方法
y
A(x0 )
x
ϕ2 ( x)
y = ϕ2 (x)
解
x 2 + y 2 = az , 解方程组 2 2 z = 2a − x + y
x2 + y2 = a2 , 得两曲面的交线为圆周 z = a 2 2 2 在 xy 平面上的投影域为 Dxy : x + y ≤ a ,