二重积分对称性定理的证明及应用

目 录 摘 要…………………………………………………………………………………...…1

关键词…………………………………………………………………………………..……..1

Abstract ………………………………………………………………………………..…1

Keywords………………………………………………………………………………….1

前言………………………………………………………………………………………...1

1．预备知识……………………………………………………………………………….1

2．二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用…………………….…2 2.1 积分区域D关于坐标轴对称………………………………………………………….2 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称…………………………………….….5 2.3 积分区域D关于坐标原点对称………………………………………………….……9 2.4 积分区域D关于坐标区域内任意一点对称…………………………………...……11 2.5 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称………………………………..…….12 结束语…………………………………………………………………………………….12

参考文献……………………………………………………………………………...….13 1

二重积分对称性定理的证明及应用 摘 要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题． 关键词：对称性；积分区城；被积函数

The Application of Symmetry in Double Integral Calculating Abstract：It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords：Symmetry; Integral region; Integrated function 前言

利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误．在一般情况下，必须是积分区域D具有对称性，而且被积函数对于区域D也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域D没有对称性，或者关于对称区域D被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都是很值得我们探讨的问题． 1 预备知识

对于二重积分(,)Dfxydxdy的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在

定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论： 当()fx在区间上为连续的奇函数时，()0aafxdx．

当()fx在区间上为连续的偶函数时，0()2()aaafxdxfxdx． 这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分． 在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的．下面，我们将此结论类似地推广到二重积分． 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 2

定理11 若二重积分(,)Dfxydxdy满足 (1) 区域D可分为对称的两部分1D和2D，对称点P1D，P2D； (2) 被积函数在对称点的值()fP与()fP相同或互为相反数； 则

1()()(,)2(,)()()DDfPfPfxydxdyfxydxdyfPfP 0 , , ．

其中P的坐标根据D的对称性的类型而确定． 2.1 积分区域D关于坐标轴对称 2.1.1 积分域D关于ｘ轴对称，(,)fxy为D上的连续函数 定理2 如果积分域D关于x轴对称，(,)fxy为y的奇偶函数，则二重积分

1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy 0 ， ， ，

其中1D为D在x轴的上半平面部分．

证明 12(,)(,)(,)DDDfxydxdyfxydxdyfxydxdy (1)

若区域D对称于x轴(图1)，对任意(,)Pxy1D，其对称点(,)Pxy2D 1D0(),yxaxb，2D

()0,xyaxb，令 3

xxyt



，

则2D变换为xot坐标面上的10()Dtxaxb，，且雅可比行列式 (,)(,)xyxt10

101．

故

2(,)Dfxydxdy1(,)1Dfxtdxdt•1(,)Dfxydxdy

11

(,),(,)(,)(,),(,)(,)DDfxydxdyfxyfxyfxydxdyfxyfxy





，

于是，代入（1）式得：

1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy 0 , , ．

例1 计算22ln(1)Dyxydxdy，其中区域D：221,0xyx 解 (,)fxy22ln(1)yxy是关于y的奇函数且D关于x轴对称， 所以 22ln(1)Dyxydxdy

0

．

例2 计算22sin()Dxydxdy，其中区域D：224,0xyx 解 因为(,)fxy22sin()xy是关于y的偶函数，且D关于x轴对称， 所以 22sin()Dxydxdy

2222

40.02sin()xyxyxydxdy



222240.02sin()xyxyxydxdy

222

002sindrr

采用极坐标 4

(1cos4)2 2.1.2 积分域D关于y轴对称，(,)fxy为D上的连续函数 定理3 如果积分域D关于y轴对称，(,)fxy为x的奇偶函数，则二重积分

1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy 0 ， ， ，

其中1D为D在y轴的右半平面部分．

证明 若区域D对称于y轴(图2)，对任意(,)Pxy1D，对称点(,)Pxy2D，类似定理2的证明可得

1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy 0 , , ．

例3 计算232()Dxxydxdy，其中D：224,0xyy 解 32(,)fxyxxy， 3232(,)()(,)fxyxxyxxyfxy，

且区域D关于y轴对称，所以 32()Dxxydxdy

0．

例4 计算2Dxydxdy，其中区域D：11,01xy 5

解 2(,)fxyxy是关于x的偶函数，且区域D关于y轴对称， 所以 2Dxydxdy



112002dyxydx112

002ydyxdx

1

3．

2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 将积分区域D关于坐标轴对称的情况推广到积分区域D关于坐标区域内任意直线对称，则有下面定理： 定理4 如果积分域D关于直线yaxb对称，则二重积分

1222222

2()(1)()(,)(.)11(,)2()(1)()2(,)(,)(.)11DDayaxbayaxbfxaxbfxyaafxydxdyayaxbayaxbfxydxdyfxaxbfxyaa 0 ,

, 其中1D为D在以直线yaxb为轴的右半平面部分

图3 证明 若区域D对称于直线yaxb，不妨设0a，即倾斜角为锐角． 首先，平移坐标轴，得坐标系xoy,如(图3) bxxayy







，

即