勾股定理的证明和应用
勾股定理的证明与应用
勾股定理的证明与应用勾股定理是数学中的一条重要定理，它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
本文将对勾股定理的证明方法进行探讨，并结合实际应用场景进行具体分析。
一、勾股定理的证明勾股定理最早可以追溯到中国古代。
相传，公元前11世纪的周朝时期，中国古代数学家祖冲之发现了勾股定理，并给出了一种证明方法。
他的证明方法基于图形的几何性质，被称为“割弦法”。
具体来说，首先假设有一个直角三角形，三边分别为a、b、c。
利用割弦法，我们可以得到如下等式：sin A = a / ccos A = b / c根据三角函数的定义，我们可以将上述两个等式相加：sin^2 A + cos^2 A = (a^2 / c^2) + (b^2 / c^2) = (a^2 + b^2) / c^2由于在直角三角形中，sin A 和 cos A 的平方和等于1，即 sin^2 A + cos^2 A = 1，因此可以得到：1 = (a^2 + b^2) / c^2进一步变换得：c^2 = a^2 + b^2因此，勾股定理得证。
二、勾股定理的应用勾股定理在数学和实际生活中都有广泛的应用。
下面将以几个实际场景为例，介绍勾股定理的应用。
1. 测量直角三角形的边长勾股定理可以用于测量一个直角三角形的边长。
假设我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，我们可以利用勾股定理计算出斜边的长度：c^2 = 3^2 + 4^2= 9 + 16= 25因此，斜边的长度为5。
2. 解决几何问题勾股定理在解决几何问题中有重要作用。
例如，我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果三条边的长度满足勾股定理的条件，即c^2 = a^2 + b^2，那么该三角形就是直角三角形。
3. 工程应用勾股定理在工程中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确保房间的角度为直角。
通过测量房间的两个边长，可以利用勾股定理来判断是否满足直角条件。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法
1. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜
边为c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
将三条边的
长度代入该等式，进行计算验证即可证明。
2. 几何证明：通过绘制直角三角形，并利用几何原理证明。
例如，可以画一个正方形，然后在其两条相对边上各画一个相等的直角三角形，再使用平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2
= c^2。
3. 相似三角形证明：假设两个直角三角形，已知其斜边比例为m:n，利用相似三角形的性质可以得出直角边的比例也是m:n，进而得到a^2 + b^2 = c^2。
4. 平行四边形法证明：利用平行四边形的性质，可通过画出一个具有相等对边的平行四边形来证明勾股定理。
通过平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2 = c^2。
5. 微积分证明：利用微积分的知识可以证明勾股定理。
通过对直角三角形边长进行微分，并进行适当的运算，可以得到a^2 + b^2 = c^2。
这种证明方法比较复杂，需要较高的数学知识和
技巧。
勾股定理的证明及应用
勾股定理在特殊三角形中的应用
勾股定理
9.如图:一工厂的房顶为等腰 ABC ,AB=AC
,AD=5米,AB=13米,求跨度BC的长.
A
B
D
C
求三角形的边长
勾股定理
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， ∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
D
C
8
A
30°
B
勾股定理
8.如图：在Rt ABC中，AD是斜边的高，AB 24， AC 7，求AD的长。 .
ACB
第1题
90
2.已知直角三角形ABC中, 15 (1)若AC=12,BC=9,则AB=______ (2)若AB=13,BC=5,则AC=_______ 12
A B
C
常见的直角三角形
2
1
勾股定理
5 3
1
1
2
3
13 7
4
25
5 24 12 41 9
40
常见勾股数
勾股定理
3 ,4 ,5 5, 12 ,13 7, 24 ,25 9 ,40 ,41 11, 60 ,61 13, 84, 85 15, 112 ,113
C D B
A
A
平面展开问题
勾股定理
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个 台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点 出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A A
B C B
平面展开问题
勾股定理
1.在Rt△ABC中，∠C=90°， 2．下列各组数中，以a，b，c 为边的三角形 １３ ①若 a=5 ， b=12 ，则 c=___________ ； 不是Rt△的是（ ）
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
勾股定理常见的证明方法
勾股定理常见的证明方法摘要：一、引言二、勾股定理的定义及应用三、常见的证明方法1.欧几里得证明法2.切比雪夫证明法3.平方差证明法4.三角函数证明法5.切线证明法四、证明方法的比较与选择五、结论正文：一、引言勾股定理是数学领域中一条著名的定理，距今已有约2500年的历史。
它在我国古代称为“方圆之术”，在几何学中具有广泛的应用。
本文将对勾股定理的常见证明方法进行详细介绍，以帮助大家更好地理解和应用这一定理。
二、勾股定理的定义及应用勾股定理是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。
用数学公式表示为：a + b = c。
其中a、b为直角边，c为斜边。
勾股定理的应用十分广泛，如在建筑、航海、测量等领域都有涉及。
三、常见的证明方法1.欧几里得证明法：利用勾股定理的逆定理，即如果一个三角形的三边满足a + b = c，那么这个三角形一定是直角三角形。
此证明方法简单易懂，适用于初学者。
2.切比雪夫证明法：利用切比雪夫不等式，即对于任意实数x，有(x +1/x) ≥ 4。
将勾股定理中的斜边c看作x，直角边a、b分别看作1和1/x，代入切比雪夫不等式，可得到a + b ≥ c，从而证明勾股定理。
3.平方差证明法：利用(a + b)(a - b) = a - b，将勾股定理中的a、b、c 分别代入，可得到(a + b)(a - b) + 2ab = a - b + 2ab = (a + b) - c，进而证明勾股定理。
4.三角函数证明法：利用正弦函数和余弦函数的定义，设直角三角形ABC 的角A、B、C分别为90°、45°、45°，可得sinA = a/c，sinB = b/c，从而证明勾股定理。
5.切线证明法：在直角三角形ABC中，作斜边c上的任一点D，连接AD、BD。
利用切线的性质，可得到AD + BD = AB，即a + b = c，证明勾股定理。
四、证明方法的比较与选择以上五种证明方法各有特点，适用于不同层次的学生和学习阶段。
勾股定理的简单证明与应用
勾股定理的简单证明与应用勾股定理，又称直角三角形定理，是三角学中最基础和重要的定理之一。
它描述了直角三角形斜边的长度与两条直角边长度的关系。
在这篇文章中，我们将简要介绍勾股定理的证明以及一些实际应用。
一、勾股定理的证明勾股定理的证明可以通过几种方法进行，其中最著名的是毕达哥拉斯的几何证明和代数证明。
这里我们将介绍一种简单的几何证明方法。
假设有一个直角三角形，其中较短的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
根据勾股定理，我们要证明的是：a² + b² = c²首先，以边长a和b为邻边，画两个正方形，如下图所示：（插入图片1）正方形的边长分别为a和b，通过连接这两个正方形的顶点和斜边的两个顶点，形成一个大正方形。
根据几何知识，我们可以知道大正方形的边长为：（a+b）（1）然后，我们将这个大正方形分成四个小三角形，同时将直角三角形从大正方形中取出，如下图所示：（插入图片2）根据几何知识，我们可以知道四个小三角形的面积和等于大正方形的面积，即：a² + b² = （a+b）²（2）将式（1）代入式（2），得到：a² + b² = a² + 2ab + b²化简后得：0 = 2ab由于直角三角形的两条直角边长度不可能为0，所以上式不可能成立。
因此，我们得出结论：a² + b² = c²这就完成了勾股定理的证明。
二、勾股定理的应用勾股定理作为数学中的基础定理，广泛应用于各个领域。
下面我们将介绍一些勾股定理的实际应用。
1. 测量直角三角形的边长和角度勾股定理可以用于测量直角三角形的边长和角度。
通过测量两条直角边的长度，可以计算出斜边的长度。
反过来，如果已知斜边的长度和一条直角边的长度，也可以计算出另一条直角边的长度。
此外，勾股定理还可以用于计算三角形的角度，通过已知的边长可以借助三角函数求解。
勾股定理的证明及应用(教案)
在讲解勾股定理的应用时，重点强调如何将实际问题转化为数学模型，例如给出一个直角三角形的两个直角边长度，要求计算斜边的长度，学生需要明确应用勾股定理的公式a² + b² = c²来解决问题。
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的证明过程理解，以及在实际问题中的应用。
-难点突破：
-证明过程的理解：学生对数学归纳法和图形面积法的证明过程可能感到抽象和难以理解，需要通过具体图形的演示和步骤的详细解释来帮助学生。
-对于应用题的难点，可以采取以下策略：
-设计不同类型的练习题，如选择题、填空题和解答题，让学生在不同情境下应用勾股定理，增强其解决问题的灵活性。
-在小组合作中，鼓励学生相互讨论解题思路，通过同伴互助来理解和掌握勾股定理的应用方法。
-对于难以理解的问题，教师应提供详细的解题步骤和思路分析，帮助学生建立解题的框架和思维模式。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的发现、证明和应用。
-重点讲解：
-勾股定理的概念及其表述，即直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
-勾股定理的数学证明，包括数学归纳法和图形面积法的步骤和逻辑。
-勾股定理在实际问题中的应用，如求斜边或直角边的长度，以及判断一个三角形是否为直角三角形。
（2）已知直角三角形的一个直角边和斜边，求另一个直角边；
（3）判断一个三角形是否为直角三角形。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下核心素养：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过勾股定理的证明过程，使学生掌握数学归纳法和图形面积法的推理方法，提高逻辑思维水平。
2.培养学生的空间想象力和直观想象力：通过观察直角三角形的图形，引导学生发现勾股定理，并能够运用定理解决实际问题。
勾股定理的证明及应用
自由讨论：勾股定理的应用。
（1）在生活中许许多多的事物都是三 角形组成，而这些三角形的物体许多 都需要是直角三角形，而你手中只有 卷尺，那么此时勾股定理可以帮助你 证明他是不是三角形。 （2， ∠C＝ 90°， AC:BC:AB＝__________；
（2）如图 3－ 153 ∠ACB ＝90°， ∠A= 30°，则BC:AC:AB＝
___________；若AB＝8,则AC＝ _____________；又若CD⊥AB，
则CD=______________.
（3）等边出△ABC的边长为 a，则 高AD＝__________， S △ABC＝
______________
勾股定理
• 勾股定理又名华氏定理：在一个直角三角 形中，斜边边长的平方等于两条直角边边 长的平方之和。
• 据考证 ，人类对这条定理的认识，少说也 有4000年！又据记载 ，现世界上一共有超 过300个对这定理的证明！
古人的方法：
如图，将图中4个直角三角形涂上红色中间的 小正方形涂上白色，以弦为边的正方形成为弦 实，然后经过拼补搭配：令出入相补，各从其 类。他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定 理的。而赵爽对勾股定理的证明显示了我国数 学家高超的证题思想，较为简明，直观。
课后练习
（1）了解自己身边的直角三角形，并且可以 熟悉的应用好勾股定理。
（2）完成书后本课时练习以及练习册上的练 习。
随着下课铃声的响起，我们该下课了，请记 住我们这堂课的内容并可以运用自如。
再见！
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第3章勾股定理知识结构：勾股定理1.勾股定理（1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方（2）勾股定理的验证-------用拼图法,借助面积不变的关系来证明（3）应用1.在直角三角形中已知两边求第三边2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高2.勾股定理的逆定理（1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形（2）勾股数1.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数2.常见的勾股数（1）3,4,5（2）5,12,13（3）8,15,173.应用（1）勾股定理的简单应用求几何体表面上两点间的最短距离解决实际应用问题（2）勾股定理逆定理的应用---------判定某个三角形是否为直角三角形勾股定理一、求网格中图形的面积求网格中图形的面积，通常用两种方法：“割”或“补”。
二、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
拓展延伸：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，所以必须注意“在直角三角形中”这一前提。
（2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。
三、勾股定理的验证运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。
勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说“斜边”“直角边”。
（2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。
当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所对的角是直角。
勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别，又有联系，如下表所示：二、勾股数满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数。
详解：（1）如：32+42=52，所以3,4,5是一组勾股数，常见的勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10等。
（2）勾股数必须是正整数。
（3）一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。
（4）记住常用的勾股数可以提高做题速度。
勾股定理的简单应用一、勾股定理的应用运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。
在应用勾股定理解决实际问题时，应先构造出直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。
注意：应用勾股定理解决实际问题时，先弄清直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角边，以便进行计算或推理。
对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形，以便正确运用勾股定理。
二、勾股定理的逆定理的应用在日常生活中，经常遇到要求一些不规则图形的面积问题。
解决这样的问题常常需要借助辅助线将其转化成三角形的相关问题。
有时图形中并没有明显地给出直角三角形，但是其中一些已知的边长满足直角三角形的条件，所以可考虑利用勾股定理的逆定理解决。
【勾股定理的证明】例1如图，是用硬纸版作成的两个小直角三角形和一个大直角三角形，两个小直角三角形直角边长分别为a和b，斜边为c，大直角三角形直角边都为c，请你动动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
(1)画出所拼图形的示意图，说出图形的名称。
(2)用这个图形证明勾股定理。
例2数学实验室：实验材料：硬纸板、剪刀、三角板实验方法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理，拼图填空。
操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。
(1)拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和图③中小正方形的面积(填“大于”“小于”“等于”)，用关系式可表示为；(2)拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为S 大、S 中、S 小，其关系是 ，用a 、b 、c 可表示为 ；(3)拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为S 大、S 中、S 小，其关系是 ，用a 、b 、c 可表示为 .（思考题）如图，在△ABC 中AB 2=AC 2=3，D 是BC 上一点，且AD=1，则BD?DC= . 【勾股定理的应用】例1 （基础题）利用勾股定理求三角形的边长已知△ABC 中，∠C=90°，AB=c ，AC=b （c 为斜边、a 、b 为直角边） （1）如果a=7，b=24，求c ； （2）如果a=15，c=17，求b.例2 已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边的长 填空：（1）直角三角形的一条直角边和斜边的比是3:5，已知这条直角边的长是12，则斜边长为 .（2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，b=6（c 为斜边，a 、b 为直角边）则c= ，a= .例3 利用勾股定理说明边的关系如图，AD 是△ABC 的中线，试说明：AB 2＋AC 2=2（AD 2＋CD 2） 例4 利用勾股定理求面积：EDCBA如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，求△ACD 的面积是多少? 例5 求等腰三角形底边上的高如图，在△ABC 中，AB=AC=5,BC=6,AD 是BC 边上的中线，求AD 的长。
例6 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2＋b 2＋c 2＋338=10a ＋24b ＋26c 试说明：这个三角形是直角三角形。
例7 勾股定理及其逆定理的综合应用：（1）如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积。
（2）、下列几组数中是勾股数的是 （填序号）①32、42、52 ②5、12、13 ③31、41、51④、、（3）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 、BE 、CF 分别是三边上的中线.①若AC ＝1，BC ＝2．求证：AD 2＋CF 2＝BE 2；②是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD 、BE 、CF 的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a 2＋b 2＝c 2的3个正整数a 、b 、c 称为勾股数．） 例8 构造直角三角形求角的度数如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3.把△ACP 绕C 点逆时针旋转90°使点A 和点B 重合，得到四边形ABDC ，求∠BPC 的度数。
例9 勾股定理在实际生活中的应用BACDA市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125 km的B处，正以15km/h的速度沿BC方向移动。
（1）已知A市到BC的距离AD=35 km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间?（2）如果在距台风中心40 km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长(结算结果精确到1分钟)?例10 最短路径问题1、有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 .2、如图1，长方体的长为20，宽为10，高为25，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 .4、如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。
总结1：利用勾股定理求最短路径问题都转化为两个方面：（1）两点之间线段最短；（2）垂线段最短。
总结2：利用勾股定理求最短路径问题一般步骤：（1）画出展开图；（2）确定点的位置；（3）连接线段；（4）用勾股定理求解。
简化步骤是：①画图②定点③连线④求解注意：如果不是两个相对顶点的最短路径，不能用之前给的公式去求解。
例11 探究题1、探索与研究：方法1：如图(a)，对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图(b)，是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？2、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3；（1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；（3）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．。