勾股定理的证明

D N E K A b M H C a c B G F
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赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法，最早的形式见于公元三、 割补法，最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》 世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这 篇短文中， 篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 c 弦图” “弦图”，其中每一个直角三角形称 朱实” 为“朱实”，中间的一个正方形称为 中黄实” “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 弦实” 所以，如果以a、 、 分别 “弦实”，所以，如果以 、b、c分别 表示勾、 弦之长， 表示勾、股、弦之长， 那么： 那么： c2 = 4⋅
总统巧证勾股定理
C D
a
c
b
c
b
A
E a B
美国第二十任 总统伽菲尔德
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向常春的证明方法
S 梯 形 ABCD = 1 1 1 ( a − b + b )( a + b ) = a 2 + ab 2 2 2
S梯形ABCD = S四边形AECD + S∆EBC 1 2 1 = c + (a − b)b 2 2 1 2 1 1 2 = c + ab − b 2 2 2
D E K A H C b c a B F
传说中毕达哥拉斯的证法
证明： 的三边向外各作一个正方形（ ），作 ⊥ 证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE △ 的三边向外各作一个正方形 如图）， 被分成两个矩形． 交AB于M，那么正方形 于 ，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结 和KB． 被分成两个矩形 连结CD和 ． 即平行线AD和 间的距离 间的距离)， ∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高 即平行线 和CN间的距离 ， 由于矩形 和 同 ） 等高(即平行线 ∴S矩形 矩形ADNM＝2S△ADC． ． 同底（ ） 等高（ 又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即 正方形 和 同底 平行线AK和BH间的距离）， 间的距离）， 平行线 和 间的距离 ∴S正方形 正方形ACHK＝2S△ABK． ． ＝ ， ＝ ， ∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， ＝ ∴△ADC≌△ABK． ≌ 由此可得S矩形ADNM＝S正方形 由此可得 矩形 正方形ACHK ． 同理可证S矩形MNEB＝S正方形 同理可证 矩形 正方形CBFG． ． ∴S矩形 矩形ADNM＋S矩形 矩形MNEB＝S正方形 正方形ACHK＋S正方形 正方形CBFG． ． 即S正方形 正方形ADEB＝S正方形 正方形ACHK＋S正方形 正方形CBFG ， 也就是 a2+b2=c2．
1 2 1 1 2 1 1 2 ∴ a + ab = c + ab − b 2 2 2 2 2
b
A
a c c
D
E
a-b
B
b
C
从而得到 : a + b = c
2 2
2
注:这一方法是向常春 这一方法是向常春 于1994年3月20日构想发 年 月 日构想发 现的新法． 现的新法．
试
一
试
b a c c b c a b a
朱实 中黄实 b a
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( b- a) 2 - )
a b +(b−a)2 2
得： c2 =a2+ b2．
刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明： 刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明： 勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补， 勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各 从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂， 从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也． 方除之，即弦也．
我们用拼图的方法来说明 勾股定理是正确的． 勾股定理是正确的．
1 证明:上面的大正方形的面积为 上面的大正方形的面积为： 证明 上面的大正方形的面积为：c + 4 ⋅ ab 2
2
c b
a
1 2 2 下面大的正方形的面积为： 下面大的正方形的面积为：a + b + 4 ⋅ ab 2
从右图中我们可以看出， 从右图中我们可以看出，这两个正方形的 边长都是a＋ ，所以面积相等， 边长都是 ＋b，所以面积相等，即
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！ 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理． 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明， 关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的 文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几 年左右） 文字资料是欧几里得（公元前 年左右 所著的《 何原本》第一卷中的命题47： 何原本》第一卷中的命题 ：“直角三角形斜边上的正 方形等于两直角边上的两个正方形之和” 方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用 面积来进行的． 面积来进行的． G 已知：如图，以在 △ 已知：如图，以在Rt△ABC中， 中 ∠ACB=90°，分别以 、b、c ° 分别以a、 、 为边向外作正方形． 为边向外作正方形． 求证： 求证：a2 +b2=c2．
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法 3．刘徽的证法 美国第20 20任总统茄菲尔德的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法 5．其他证法
A
B
Байду номын сангаас
这棵树漂亮吗？ 这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人， 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树． 是更像一棵圣诞树． 也许有人会问： 也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？ 有什么关系吗？” 仔细看看，你会发现， 仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上， 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的： 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形． 的正方形．
I
令正方形ABCD为朱方，正方 为朱方， 令正方形 为朱方 为青方． 间取一点H， 形BEFG为青方．在BG间取一点 ， 为青方 间取一点 使AH=BG，裁下△ADH，移至 ，裁下△ ， △CDI，裁下△HGF，移至△IEF， ，裁下△ ，移至△ ， 是为“出入相补，各从其类” 是为“出入相补，各从其类”，其 余不动， 余不动，则形成弦方正方形 DHFI．勾股定理由此得证． ．勾股定理由此得证．
勾股定理的证明
32 42
52
勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣， 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定 理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓， 理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上 至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明． 至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出现关于勾股 定理的新证法． 定理的新证法．
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E D C
F
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理， 学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广 迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽 余种． 泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有 余种 其中， 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话． 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话． 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？ 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是 否定的．事情的经过是这样的： 否定的．事情的经过是这样的： 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 年一个周末的傍晚， 年一个周末的傍晚 在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去， 论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个 小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角 小孩到底在干什么． 于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说： 请问先生， 形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为3和 ，那么斜边长为多少呢？ 伽菲尔德答到： 如果直角三角形的两条直角边分别为 和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到： 小男孩又问道： 如果两条直角边分别为5和 ， “是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 和7，那么这个直角三角形的 呀 斜边长又是多少？ 伽菲尔德不加思索地回答到： 那斜边的平方一定等于5的平方 斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 的平方 加上7的平方 的平方． 小男孩又说道： 先生，你能说出其中的道理吗？ 加上 的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时 语塞，无法解释了，心理很不是滋味． 语塞，无法解释了，心理很不是滋味． 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题． 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法． 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．
a
a a a b c b c
b a b b b
1 1 2 2 c + 4 ⋅ ab = c + b + 4 ⋅ ab 2 2 c 2 = a 2 + b2
2