数值分析实验插值与拟合

《数值分析》课程实验一：插值与拟合

一、实验目的

1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性；

2. 编写MA TLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象；

3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理；

4. 编写MA TLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。

二、实验内容

1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。

2. 设

]5,5[,11

)(2

-∈+=

x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。

(2) 编写MA TLAB 程序绘制出曲线拟合图。

三、实验步骤

1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件：

⎩⎨

⎧≠===j

i j i x l ij j i ,

0,

,

1)(δ 的一组基函数{}n

i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为

∏

≠==--=

n

i

j j j

i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()(

有了基函数{}n

i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为

∑==n

i i i n x l y x L 0

)()(

(2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为

1102110]

,,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=

-

则n 次多项式

)

())(](,,[)

)(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N

差商表的构造过程：

MATLAB 程序实现：

试验结果：

2. MATLAB程序实现：

试验结果：

3. 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：

（1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n ； （2）列表计算

)2,,1,0(0

n j x

m

i j

i

=∑=和∑==m

i i j i n j y x 0

),,1,0( ；

（3）写出正规方程组，求出),,1,0(n k a k =； （4）写出拟合多项式∑==n

k k

k n x

a x p 0

)(。

MATLAB 程序实现：

试验结果：