七年级初一数学数学第五章相交线与平行线的专项培优练习题(及答案

七年级初一数学数学第五章相交线与平行线的专项培优练习题(及答案一、选择题1．下列命题是真命题的有（）个①对顶角相等，邻补角互补②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行③垂直于同一条直线的两条直线互相平行④过一点有且只有一条直线与已知直线平行A．0 B．1 C．2 D．32．甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE 的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（）A．只有甲的画法正确B．只有乙的画法正确C．甲，乙的画法都正确D．甲，乙的画法都不正确3．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（）A．∠B与∠2是同旁内角B．∠A与∠1是同位角C．∠3与∠A是同旁内角D．∠3与∠4是内错角4．在如图所示的四个汽车标识图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是（）A．B．C．D．5．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④6．如图，ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，90A ∠=︒，//EG BC ，且CG EG ⊥于G ，下列结论：①2CEG DCB ∠=∠；②CA 平分BCG ∠；③ADC GCD ∠=∠；④12DFB CGE ∠=∠.其中正确的结论是( )A ．①③④B ．①②③C ．②④D ．①③ 7．如图，25AOB ︒∠=，90AOC ︒∠=，点B ，O ，D 在同一直线上，则COD ∠的度数为（）A ．65B ．25C ．115D ．155 8．如图，将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF 若5BC cm =，则EC 的长为（）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm9．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（）A ．61°B ．58°C ．48°D ．41°10．下面命题中是真命题的有（）①相等的角是对顶角②直角三角形两锐角互余③三角形内角和等于180°④两直线平行内错角相等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝76°，∠CDE ＝150°，则∠BCD 的度数为__°．12．如图，AB ∥CD ，∠1=64°，FG 平分∠EFD ，则∠EGF=__________________°．13．如图，//AB CD ，FN AB ⊥，垂足为点O ，EF 与CD 交于点G ，若130∠=︒，则2∠=______．14．如图，△ABC 中，∠C =90︒，AC =5cm ，CB =12cm ，AB =13cm ，将△ABC 沿直线CB 向右平移3cm 得到△DEF ，DF 交AB 于点G ，则点C 到直线DE 的距离为______cm ．15．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对．16．如图，两直线AB 、CD 平行，则12345∠+∠+∠+∠+∠=__________．17．如图，已知AB ∥CD,∠EAF =14∠EAB,∠ECF=14∠ECD ,则∠AFC 与∠AEC 之间的数量关系是_____________________________18．如图，直线a ∥b ，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC ＝_______．19．如图所示，AB ∥CD ，EC ⊥CD ．若∠BEC ＝30°，则∠ABE 的度数为_____．20．观察下列图形：已知a b ，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：112n P P ∠+∠+∠++∠=…_________度．三、解答题21．已知//AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，连接EG 、FG ．（1）如图，当点G 在AB 、CD 之间时，请直接写出AEG ∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系__________．（2）如图，当点G 在AB 上方时，且90EGF ︒∠=，求证：90︒∠-∠=BEG DFG ；（3）如图，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ， FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，延长GE 、FT 交于点R ，若ERT TEB ∠=∠，请你判断FR 与HK 的位置关系，并证明．（不可以直接用三角形内角和180°）22．如图①，已知AB ∥CD ，一条直线分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠EFB ＝∠B ，FH ⊥FB ，点Q 在BF 上，连接QH ．(1)已知∠EFD ＝70°，求∠B 的度数；(2)求证： FH 平分∠GFD ．(3)在(1)的条件下，若∠FQH ＝30°，将△FHQ 绕着点F 顺时针旋转，如图②，若当边FH 转至线段EF 上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH 与△EBF 的某一边平行?23．已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 相交于点E ．（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，①若∠ABC =50º，∠ADC =70º，求∠BED 的度数；②请直接写出∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系；（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，试猜想∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系，并说明理由．24．[感知发现]：如图，是一个“猪手”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE ，我们发现：∠E=∠B+∠D证明如下：过E点作EF∥AB．∴∠B=∠1(两直线平行，内错角相等．）又AB∥CD(已知）∴CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．）∴∠2=∠D(两直线平行，内错角相等．）∴∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质1．）即：∠E=∠B+∠D[类比探究]：如图是一个“子弹头”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE．试探究∠E+∠B+∠D=360°．写出证明过程．[创新应用]：(1)．如图一，是两块三角板按如图所示的方式摆放，使直角顶点重合，斜边平行，请直接写出∠1的度数．(2)．如图二，将一个长方形ABCD按如图的虚线剪下，使∠1=120o，∠FEQ=90°．请直接写出∠2的度数．25．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：；所有与∠C相等的角：．(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．①求∠B的度数；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．26．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC 的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．B解析：B【分析】根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可．【详解】解：对顶角相等，邻补角互补，故①是真命题；两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故②是假命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故③是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④是假命题；故正确的个数只有1个，故选：B．【点睛】本题考查的是平行的公理和应用，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．C解析：C【分析】利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确．【详解】∵CD＝CE，∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，∴甲，乙的画法都正确．故选C．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3．B解析：B【分析】根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可．【详解】解：A．∠B与∠2是BC、DE被BD所截而成的同旁内角，故本选项正确；B．∠A与∠1不是同位角，故本选项错误；C．∠3与∠A是AE、DE被AD所截而成的同旁内角，故本选项正确；D．∠3与∠4是内错角AD、CE被ED所截而成的内错角，故本选项正确；故选：B．本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．4．D解析：D【分析】根据平移作图是一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图设计出的图案进行分析即可．【详解】解：A、不能用平移变换来分析其形成过程，故此选项错误；B、不能用平移变换来分析其形成过程，故此选项错误；C、不能用平移变换来分析其形成过程，故此选项正确；D、能用平移变换来分析其形成过程，故此选项错误；故选：D．【点睛】本题考查利用平移设计图案，解题关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向．5．D解析：D【分析】根据E点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.【详解】E点有4中情况，分四种情况讨论如下：由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=β-α过点E2作AB的平行线，由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α,∠2=∠DCE2=β∴∠AE2C=α+β由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=α-β由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°-α-β∴∠AEC的度数可能是①α+β，②α﹣β，③β-α，④360°﹣α﹣β，故选D.【点睛】此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论. 6．A解析：A【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】解：①∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；③∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，∴∠AEB+∠ADC＝90°+12（∠ABC+∠ACB）＝135°，∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠DFB＝45°＝12∠CGE，故本选项正确．故选：A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．7．C【分析】先求出∠BOC ，再由邻补角关系求出∠COD 的度数．【详解】∵∠AOB=25°，∠AOC=90°，∴∠BOC=90°-25°=65°，∴∠COD=180°-65°=115°．故选：C ．【点睛】本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是解题的关键．8．A解析：A【分析】由平移性质可得：BC=EF ，CF=3,cm 可得EC=EF-CF ．【详解】因为将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF所以EF=5BC cm ，CF=3,cm所以EC=5-3=2(cm)故选：A【点睛】考核知识点：平移性质．抓住平移性质：对应边相等，是解题关键．9．B解析：B【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．【详解】如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条折射光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．10．C解析：C【分析】利用平行线的性质、三角形的内角和、直角三角形的性质、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故不符合题意；②直角三角形两锐角互余，故符合题意；③三角形内角和等于180°，故符合题意；④两直线平行内错角相等，故符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及三角形的内角和等知识，难度不大．二、填空题11．46【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠AB C＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠解析：46【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．【详解】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，∴∠BCD＝46°，故答案为：46．【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．12．【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．【详解】解：∵AB∥CD，∠1=64°，∴∠EFD=∠1=64°，∵解析：【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．【详解】解：∵AB∥CD，∠1=64°，∴∠EFD=∠1=64°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=12∠EFD=12×64°=32°，∵AB∥CD，∴∠EGF=∠GFD=32°．故答案为：32．考点：平行线的性质．13．120°【分析】过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.【详解】过点F作PT//AB，如图，∴∠OFP=∠N解析：120°【分析】过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.【详解】过点F作PT//AB，如图，∴∠OFP=∠NOA∵FN AB∴∠NOA=90゜∴∠OFP=90゜∵AB//CD∴CD//PT∴∠DGF=∠GFP∵∠DGF=∠1=30゜∴∠GFP=30゜∴∠2=∠OFP+∠GFP=90゜+30゜=120゜故答案为：120゜【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等．14．【分析】根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．【详解】解：如图，连接AD、CD，作CH⊥DE于H，依题意可得AD=BE=3cm，∵梯形ACED解析：75 13【分析】根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．【详解】解：如图，连接AD 、CD ，作CH ⊥DE 于H ，依题意可得AD=BE=3cm ，∵梯形ACED 的面积()()2131235452S cm =⨯++⨯=， ∴()1153134522ADC DCE S S CH +=⨯⨯+⨯⋅=，解得7513CH =；故答案为：7513．【点睛】本题考查的是图形的平移和点到直线的距离，注意图形平移前后的形状和大小不变，以及平移前后对应点的连线相等．15．24【解析】【分析】根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.【详解】解：如图所示观测点A 和点B ，同旁内角有2对；A 和C 有2对；A 和D ，没有同旁内角；A 和解析：24【解析】【分析】根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.【详解】解：如图所示观测点A 和点B ，同旁内角有2对；A 和C 有2对；A 和D ，没有同旁内角；A 和E 有2对；A 和F 有2对.B 和C 有2对；B 和D 有2对；B 和E 有2对；B 和F 没有同旁内角.C 和D 有2对，C 和E 没有同旁内角，C 和F 有2对.D 和E 有2对；D 和F 有2对.E 和F 有2对.共有2×12=24对.故答案是：24.【点睛】本题主要考察三线八角中的同旁内角，正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键.16．【分析】根据题意，通过添加平行线，利用内错角和同旁内角，把这五个角转化成4个的角．【详解】分别过F 点，G 点，H 点作，，平行于AB利用内错角和同旁内角，把这五个角转化一下，可得，有4个的角，解析：720【分析】根据题意，通过添加平行线，利用内错角和同旁内角，把这五个角转化成4个180的角．【详解】分别过F 点，G 点，H 点作2L ，3L ，4L 平行于AB利用内错角和同旁内角，把这五个角转化一下，可得，有4个180的角，1804720∴⨯=．故答案为720．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线是解题关键． 17．4∠AFC=3∠AEC【解析】【分析】连接AC ，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=18解析：4∠AFC=3∠AEC【解析】【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．【详解】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）=180°-[180°-（4x°+4y°）]=4x°+4y°=4（x°+y°），∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-[180°-（3x°+3y°）]=3x°+3y°=3（x°+y°），∴∠AFC=34∠AEC，即：4∠AFC=3∠AEC，故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．18．78°【解析】解：过点B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．点睛：此题考查了平行线的性质：两直线解析：78°【解析】解：过点B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．点睛：此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解此题的关键是辅助线的作法．19．120°．【分析】先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．【详解】过点E作EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEC=90°，解析：120°．【分析】先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．【详解】过点E作EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEC=90°，所以∠GEB=90°﹣30°=60°，因为EG∥AB，所以∠ABE=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．20．（n﹣1）×180【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=18解析：（n﹣1）×180【分析】分别过P 1、P 2、P 3作直线AB 的平行线P 1E ，P 2F ，P 3G ，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，∠1+∠P 1+∠2=2×180，∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．【详解】解：如图，分别过P 1、P 2、P 3作直线AB 的平行线P 1E ，P 2F ，P 3G ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥P 1E ∥P 2F ∥P 3G ．由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180° ∴（1）∠1+∠2=180°，（2）∠1+∠P 1+∠2=2×180，（3）∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，（4）∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，∴∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．故答案为：（n+1）×180．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．三、解答题21．（1）∠G=∠AEG+∠CFG ；（2）见解析；（3）FR ⊥HK ，理由见解析【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；（2）过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质得角相等和互补，即可得证；（3）根据平行线的性质得角相等，即可求解．【详解】解：（1）如图：过点G 作//GH AB ，∵//AB CD ，∴//GH CD ，∴AEG EGH ∠=∠，CFG FGH ∠=∠，EGF AEG CFG ∴∠==∠+∠AEG ∴∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系为G AEG CFG ∠=∠+∠．故答案为：G AEG CFG ∠=∠+∠．（2）如图，过点G 作//GP AB ，180BEG EGP ∴∠+∠=︒，180EHG HGP ∠+∠=︒，90180EHG EGP ∴∠+︒+∠=︒，90EHG EGP ∴∠+∠=︒，//AB CD ，DFG EHG ∴∠=∠，180180()1809090BEG DFG EGP EHG EGP EHG ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（3）FR 与HK 的位置关系为垂直．理由如下： FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，GFT KFT ∴∠=∠，90EGF ∴∠=︒，90GFT ERT ∴∠+∠=︒，90KFT ERT ∴∠+∠=︒，ERT TEB ∠=∠，90KFT TEB ∴∠+∠=︒，//AB CD ，FKT TEB ∴∠=∠，90KFT FKT ∴∠+∠=︒，90FTK ∴∠=︒，KT FR ∴⊥，即FR HK ⊥．∴FR 与HK 的位置关系是垂直．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．22．（1）35°；（2）见解析；（3）30°或65°或175°或210°【分析】(1)利用AB∥CD，得到∠B＝∠BFD，又∠B=∠EFB，由此得到∠EFB=∠BFD=12∠EFD=35°；(2)由(1)知∠EFB＝∠BFD，利用FH⊥FB，得到∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°，再由等角的余角相等得到∠DFH＝∠GFH即可求解；(3)按QH分别与△EBF的三边平行三种情况分类讨论即可．【详解】解：(1)AB∥CD，∴∠B＝∠BFD．∵∠EFB＝∠B，∴∠EFB=∠BFD=12∠EFD=35°，∴∠B＝35°，故答案为：35°；(2)∵FH⊥FB，∴∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°∵∠EFB＝∠BFD，由等角的余角相等可知，∴∠DFH＝∠GFH．∴FH平分∠GFD．(3)分类讨论：情况一：QH与△EFB的边BF平行时，如下图1和图4所示：当为图1时：∵BF与HQ平行，∴∠H+∠BFH=180°，又∠H=60°，∴∠BFH=120°，此时旋转角α=∠BFQ=120°-∠HFQ=120°-90°=30°，当为图4时：此时∠HFB=∠H=60°，旋转角α=∠1+∠2+∠3=360°-(∠HFB+∠HFQ)=360°-(60°+90°)=210°；情况二：QH与△EFB的边BE平行时，如下图2所示：此时∠1=∠3=35°，∠2=∠4=30°，∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2=35°+30°=65°；情况三：QH与△EFB的边EF平行时，如下图3所示：此时∠3=∠Q=30°，∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2+∠3=35°+110°+30°=175°，综上所述，旋转角α＝30°或65°或175°或210°．故答案为：α＝30°或65°或175°或210°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，周角的定义等，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．23．（1）①∠BED=60º；②∠BED=12∠ABC+12∠ADC；（2）∠BED=180º-1 2∠ABC+12∠ADC，理由见解析．【分析】（1）①过点E作EF∥AB，然后说明AB∥CD∥EF，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．（2）过点E作EF∥AB，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．【详解】（1）①如图1，过点E作EF∥AB．∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABC=50º，∠ADC=70º∴∠ABE=12∠ABC=150252⨯=°°，∠EDC=12∠ADC=170352⨯︒=︒，∴∠BEF=25º，∠DEF=35º，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25º+35º=60º；②∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠ABE=∠BEF=12∠ABC，∠EDC=∠DEF=12∠ADC；．∴∠BED=∠BEF +∠DEF =12∠ABC+12∠ADC∴∠BED=12∠ABC+12∠ADC（2）如图2，过点E作EF∥AB．∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠EDC=∠DEF，∵∠ABE+∠BEF=180º，∴∠BEF=180º-∠ABE．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC，∠DEF=12∠ADC，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180º-12∠ABC+12∠ADC．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．24．类比探究：见解析；创新应用：(1)：1105.∠=︒创新应用：(2)：2150.∠=︒【分析】[类比探究]：如图，过E 作//,EF AB 结合已知条件得//,FE CD 利用平行线的性质可得答案，[创新应用]：(1)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EF AB 得到//,CD EF 利用平行线的性质可得答案，(2)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EG AB 得到 //,EG CD 利用平行线的性质可得答案．【详解】解：类比探究：如图，过E 作//,EF AB//,AB CD//,FE CD ∴//,EF AB180,B BEF ∴∠+∠=︒//,FE CD180,D DEF ∴∠+∠=︒360,B BEF DEF D ∴∠+∠+∠+∠=︒360.B BED D ∴∠+∠+∠=︒[创新应用]：(1)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EF AB//,CD EF ∴//,EF AB,B BEF ∴∠=∠//,CD EF,D DEF ∴∠=∠,B D BEF DEF BED ∴∠+∠=∠+∠=∠30,45,B D ∠=︒∠=︒75,BED ∴∠=︒90,AEB DEC ∠=∠=︒1360909075105.∴∠=︒-︒-︒-︒=︒(2)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EG AB//,EG CD ∴2180,GEQ ∴∠+∠=︒//,EG AB1180,GEF ∴∠+∠=︒1212360GEF GEQ FEQ ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ ，∠1=120o ，∠FEQ=90°，2150.∴∠=︒【点睛】本题考查平行公理及平行线的性质，掌握平行公理及平行线的性质是解题关键．25．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．【详解】（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠DFE ＝90°，∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，∴∠C ＝∠FDE ，∴AC ∥DE ，∴∠CAF ＝∠E ，∴∠CAF ＝∠E ＝∠B故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°∴∠BAF ＝∠C又AC ∥DE ，∴∠C ＝∠CDE ，∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；（2）①∵90BAC ∠=︒∴90B C ∠+∠=︒又∵50C B ∠∠︒-=，∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）；当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）；综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．26．（1）∠AEC＝130°；（2）∠A1EC＝130°；（3）∠A1EC＝40°．【解析】【分析】(1)由直线PQ∥MN，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，可得∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；(2)先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，再求出∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，再由∠CEA1=∠1+∠2即可求得答案.【详解】(1)如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE＝75°，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；(2)如图2所示：∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；(3)如图3所示：过点E作FE∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义，熟练运用平行线性质和角平分线定义推出角的度数是解题的关键.。

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七年级初一数学数学第五章相交线与平行线的专项培优练习题(及解析

七年级初一数学数学第五章相交线与平行线的专项培优练习题(及解析一、选择题1．能说明命题“若a＞b，则3a＞2b“为假命题的反例为（）A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝﹣2 2．如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，添加一个条件，仍不能判定AB∥CD，添加的条件可能是（）A．∠BOE＝55°B．∠DOF＝35°C．∠BOE+∠AOF＝90°D．∠AOF＝35°3．如图，修建一条公路，从王村沿北偏东75︒方向到李村，从李村沿北偏西25︒方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（）．A．100︒B．80︒C．75︒D．50︒4．如图，直角三角形ABC的直角边AB=6，BC=8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交AC于点G，BE=2，三角形CEG的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC平移的距离是4；②EG=4.5；③AD∥CF；④四边形ADFC的面积为6．其中正确的结论是A．①②B．②③C．③④D．②④5．如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6．如图，点E 在CD 的延长线上，下列条件中不能判定AB ∥CD 的是（）A ．∠1=∠2B ．∠3=∠4C ．∠5=∠BD ．∠B +∠BDC =180° 7．下列说法中，正确的是（）A ．从直线外一点到这条直线的垂线叫点到直线的距离B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．不相交的两直线一定互相平行8．下列命题中，是真命题的是（）A ．对顶角相等B ．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等C ．等腰直角三角形都全等D ．如果a b >，那么22a b > 9．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（） A ．垂直B ．两条直线互相平行C ．同一条直线D ．两条直线垂直于同一条直线 10．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB ∥CE ，且∠ADC ＝∠B ：④AB ∥CE ，且∠BCD ＝∠BAD ．其中能推出BC ∥AD 的条件为（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．②③④二、填空题11．如图，点О为直线AB 上一点，,,135OC OD OE AB ⊥⊥∠=︒．（1）EOD ∠= °，2∠= °；（2）1∠的余角是_ ，EOD ∠的补角是__ ．12．如图，已知∠1＝（3x +24）°，∠2＝（5x +20）°，要使m ∥n ，那么∠1＝_____（度）．13．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点,B D 重合，若固定三角形AOB ，将三角形ACD 绕点A 顺时针旋转一周，共有 _________次出现三角形ACD 的一边与三角形AOB 的某一边平行．14．如图，AB ∥CD ，CF 平分∠DCG ，GE 平分∠CGB 交FC 的延长线于点E ，若∠E ＝34°，则∠B 的度数为____________．15．如图，Rt △AOB 和Rt △COD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠B ＝40°，∠C ＝60°，点D 在边OA 上，将图中的△COD 绕点O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第________秒时，边CD 恰好与边AB 平行．16．规律探究：同一平面内有直线1a 、2a 、3a ，⋯，100a ，若12//a a ，23a a ⊥，34//a a ，45a a ⊥，⋯，按此规律，1a 与100a 的位置关系是______．17．α∠与β∠的两边互相垂直，且o 50α∠=，则β∠的度数为_________.18．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．19．如图,点A 、B 为定点,直线l ∥AB,P 是直线l 上一动点，对于下列各值:①线段AB 的长；②△PAB 的周长；③△PAB 的面积；④∠APB 的度数，其中不会随点P 的移动而变化的是(填写所有正确结论的序号)______________.20．如图，AD 平分,34BDF ∠∠=∠，若150,2130∠=︒∠=︒，则CBD ∠=________︒．三、解答题21．问题情境（1）如图1，已知AB ∥CD ，∠PBA ＝125°，∠PCD ＝155°，求∠BPC 的度数．佩佩同学的思路：过点P 作PG ∥AB ，进而PG ∥CD ，由平行线的性质来求∠BPC ，求得∠BPC ＝问题迁移（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB ＝90°，DF ∥CG ，AB 与FD 相交于点E ，有一动点P 在边BC 上运动，连接PE ，PA ，记∠PED ＝∠α，∠PAC ＝∠β．①如图2，当点P 在C ，D 两点之间运动时，请直接写出∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系；②如图3，当点P 在B ，D 两点之间运动时，∠APE 与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；拓展延伸（3）当点P 在C ，D 两点之间运动时，若∠PED ，∠PAC 的角平分线EN ，AN 相交于点N ，请直接写出∠ANE 与∠α，∠β之间的数量关系．22．已知//AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，连接EG 、FG ．（1）如图，当点G 在AB 、CD 之间时，请直接写出AEG ∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系__________．（2）如图，当点G 在AB 上方时，且90EGF ︒∠=，求证：90︒∠-∠=BEG DFG ；（3）如图，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ， FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，延长GE 、FT 交于点R ，若ERT TEB ∠=∠，请你判断FR 与HK 的位置关系，并证明．（不可以直接用三角形内角和180°）23．问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是：如图2，过P 作PE AB ，通过平行线性质，可得APC ∠=______．问题迁移：如图3，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．（1）当点P 在A 、B 两点之间运动时，CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系．24．如图1所示，AB ∥CD ，E 为直线CD 下方一点，BF 平分∠ABE ．（1）求证：∠ABE +∠C ﹣∠E ＝180°．（2）如图2，EG 平分∠BEC ，过点B 作BH ∥GE ，求∠FBH 与∠C 之间的数量关系．（3）如图3，CN 平分∠ECD ，若BF 的反向延长线和CN 的反向延长线交于点M ，且∠E +∠M ＝130°，请直接写出∠E 的度数．25．问题情境：我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC 中，60,30,90BAC B C ∠=∠=︒∠=︒︒，长方形DEFG 中，DE GF ．问题初探：（1）如图（1），若将三角板ABC 的顶点A 放在长方形的边GF 上，BC 与DE 相交于点M ，AB DE ⊥于点N ，求EMC ∠的度数．分析：过点C 作CH GF ∥，则有CH DE ∥，从而得,CAF HCA EMC MCH ∠=∠∠=∠，从而可以求得EMC ∠的度数．由分析得，请你直接写出：CAF ∠的度数为____________，EMC ∠的度数为___________．类比再探：（2）若将三角板ABC 按图（2）所示方式摆放（AB 与DE 不垂直），请你猜想写出CAF ∠与EMC ∠的数量关系，并说明理由．26．已知：∠1＝∠2，EG 平分∠AEC ．(1)如图1，∠MAE ＝50°，∠FEG ＝15°，∠NCE ＝80°．试判断 EF 与 CD 的位置关系，并说明理由．(2)如图2，∠MAE ＝135°，∠FEG ＝30°，当 AB ∥CD 时，求∠NCE 的度数；(3)如图2，试写出∠MAE 、∠FEG 、∠NCE 之间满足什么关系时，AB ∥CD ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】本题每一项代入题干命题中，不满足题意即为反例．【详解】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），即a ＞b 时，3a ＝2b ，∴命题“若a ＞b ，则3a ＞2b ”为假命题，故选：B ．【点睛】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理判断即可．【详解】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE=55°，∴∠BOD=2∠BOE=110°，∵∠D=110°，∴∠BOD=∠D，∴CD∥AB，故A不符合题意；∵OF⊥OE，∴∠FOE=90°，∠DOF=35°，∴∠DOE=55°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOB=2∠DOE=110°，∵∠D=110°，∴∠DOB=∠D，∴AB∥CD，故B不符合题意；∵∠BOE+∠AOF=90°，∴∠EOF=90°，但不能判断AB∥CD，故C符合题意；∵OF⊥OE，∴∠FOE=90°，∠AOF=35°，∴∠BOE=55°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOB=2∠BOE=110°，∵∠D=110°，∴∠DOB=∠D，∴AB∥CD，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理即可得到结论．3．B解析：B【分析】根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．【详解】∵王村沿北偏东75︒方向到李村∴175∠=∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西25︒方向到张村 ∴()()2180125180752580∠=-∠+=-+=∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为80︒故选：B ．【点睛】本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．4．B解析：B【解析】分析：(1)对应线段的长度即是平移的距离；(2)根据EC 的长和△CEG 的面积求EG ；(3)平移前后，对应点的连线平行且相等；(4)根据平行四边形的面积公式求.详解：(1)因为点B ，E 是对应点，且BE ＝2，所以△ABC 平行的距离是2，则①错误； ②根据题意得，13.5×2＝(8－2)EG ，解得EG ＝4.5，则②正确；③因为A ，D 是对应点，C ，F 是对应点，所以AD ∥CF ，则③正确；④平行四边形ADFC 的面积为AB ·CF ＝AB ·BE ＝6×2＝12，则④错误.故选B .点睛：本题考查了平移的性质，平移的性质有：①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等.5．B解析：B【分析】由平行线的性质，可知与∠A 相等的角有∠ADC 、∠AFE 、∠EGC 、∠GCD ．【详解】∵AB∥CD，∴∠A=∠ADC；∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE；∵AF∥CG，∴∠EGC=∠AFE=∠A；∵CD∥EF，∴∠EGC=∠DCG=∠A；所以与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD四个，故选B．6．A解析：A【分析】运用平行线的判定方法进行判定即可.【详解】解：选项A中，∠1=∠2，只可以判定AC//BD（内错角相等，两直线平行），所以A错误；选项B中，∠3=∠4，可以判定AB//CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项C中，∠5=∠B，AB//CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项D中，∠B +∠BDC=180°，可以判定AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；故答案为A.【点睛】本题考查平行的判定,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.7．C解析：C【解析】试题分析：从直线外一点到这条直线的垂线的长度叫点到直线的距离，故A不正确；在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B不正确；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C正确；在同一平面内，不相交的两直线一定互相平行，故D不正确.故选：C.8．A解析：A【分析】分别利用对顶角的性质、平行线的性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A.对顶角相等，正确，是真命题；B.两直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，是假命题；C.等腰直角三角形不一定都全等，是假命题；D.如果0＞a＞b，那么a2＜b2，是假命题．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质及不等式的性质，难度不大．9．D解析：D【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．故选：D．【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断．10．D解析：D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【详解】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC∥AD，符合题意；③∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；④∵AB∥CE，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；故能推出BC∥AD的条件为②③④．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．二、填空题11．（1）35，55；（2）与，【分析】（1）由，可得，，所以，，，所以，已知的度数，即可得出与的度数；（2）由（1）可得的余角是与，要求的补角，即要求的补角，的补角是．【详解】（1），，，解析：（1）35，55；（2）COE ∠与2∠，COB ∠【分析】（1）由OC OD ⊥，OE AB ⊥可得=90COD ∠︒，=90AOE ∠︒，所以1290∠+∠=︒，190COE ∠+∠=︒，90EOD COE ∠+∠=︒，所以1=EOD ∠∠，已知1∠的度数，即可得出2∠与EOD ∠的度数；（2）由（1）可得1∠的余角是COE ∠与2∠，要求EOD ∠的补角，即要求1∠的补角，1∠的补角是COB ∠．【详解】（1）OC OD ⊥，OE AB ⊥，∴=90COD ∠︒，=90AOE ∠︒，∴1290∠+∠=︒，190COE ∠+∠=︒，90EOD COE ∠+∠=︒，∴1=EOD ∠∠，135∠=︒，∴255∠=︒，35=EOD ∠︒；（2）由（1）可得1∠的余角是COE ∠与2∠，1180COB =∠∠+︒，∴1∠的补角是COB ∠，∴EOD ∠的补角是COB ∠．故答案为：（1）35，55；（2）COE ∠与2∠，COB ∠．【点睛】本题主要考查余角、补角以及垂直的定义，熟记补角、余角以及垂直的定义是解题关键． 12．75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m∥n，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180解析：75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m∥n，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180，解得：x=17，则∠1=（3x+24）°=75°．故答案为75．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠1+∠2=180°是解题关键．13．【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．【详解】解：分8种情况讨论：（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°；（2）如图2，解析：8【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．【详解】解：分8种情况讨论：（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°；（2）如图2，当AC边与OB平行时，∠BAD＝90°+45°＝135°；（3）如图3，DC边与AB边平行时，∠BAD＝60°+90°＝150°，（4）如图4，DC边与OB边平行时，∠BAD＝135°+30°＝165°，（5）如图5，DC边与OB边平行时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；（6）如图6，DC边与AO边平行时，∠BAD＝15°+90°＝105°（7）如图7，DC边与AB边平行时，∠BAD＝30°，（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°；综上所述：∠BAD的所有可能的值为：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键．14．68°【分析】如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．【详解】解：如图，延长DC交BG于M．由题意解析：68°【分析】如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．【详解】解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．则有22x y GMCx y E=+∠⎧⎨=+∠⎩①②，①-2×②得：∠GMC=2∠E,∵∠E=34°，∴∠GMC=68°，∵AB∥CD，∴∠GMC=∠B=68°，故答案为:68°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的能力题．15．10或28【解析】【分析】作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠解析：10或28【解析】【分析】作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角∠AOD，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解；②两三角形在点O的异侧时，延长BO与CD相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得∠CEO=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解．【详解】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°-60°=30°，∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，∵每秒旋转10°，∴时间为100°÷10°=10秒；②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°-60°=30°，∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，∴旋转角为270°+10°=280°，∵每秒旋转10°，∴时间为280°÷10°=28秒；综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．故答案为10或28．【点睛】本题考查了平行线的判定，平行线的性质，旋转变换的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．16．互相垂直．【解析】【分析】依据，，，，，可得，即可得到与的位置关系是互相垂直．【详解】解：，，，，按此规律，，又，，，以此类推，，，故答案为：互相垂直．【点睛】本题主要解析：互相垂直．【解析】【分析】依据12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，45a a ⊥，⋯，可得14n a a ⊥，即可得到1a 与100a 的位置关系是互相垂直．【详解】解：12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，14a a ∴⊥，按此规律，58a a ⊥，又45a a ⊥，⋯，18a a ∴⊥，以此类推，14n a a ⊥100425=⨯，1100a a ∴⊥，故答案为：互相垂直．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是根据已知条件得出规律：14n a a ⊥． 17．130°或50°【解析】【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，∴α+β=180°故β=130°，在上述情解析：130°或50°【解析】【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，∴α+β=180°故β=130°，在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=50；综上可知：∠β=50°或130°，故正确答案为：【点睛】本题考核知识点：四边形内角和. 解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.18．40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=4解析：40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵110α∠=+︒，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．19．①③【分析】求出AB 长为定值，P 到AB 的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB 不断发生变化、∠APB 的大小不断发生变化．【详解】解：∵A、B 为定点，∴AB 长解析：①③【分析】求出AB 长为定值，P 到AB 的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB 不断发生变化、∠APB 的大小不断发生变化．【详解】解：∵A 、B 为定点，∴AB 长为定值，∴①正确；∵点A ，B 为定点，直线l ∥AB ，∴P 到AB 的距离为定值，故△APB 的面积不变，∴③正确；当P 点移动时，PA+PB 的长发生变化，∴△PAB 的周长发生变化，∴②错误；当P 点移动时，∠APB 发生变化，∴④错误；故选A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记定理是解题的关键．20．65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】∵∠1=50°，∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，∵∠2=130°，解析：65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】∵∠1=50°，∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，∵∠2=130°，∴∠DBE=∠2，∴AE∥CF，∴∠4=∠ADF，∵∠3=∠4，∴∠EBC=∠4，∴AD∥BC，∵AD平分∠BDF，∴∠ADB=∠ADF，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠4=∠CBD，∴∠CBD=∠EBC=12∠DBE=12×130°=65°．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．三、解答题21．（1）80°；（2）①∠APE＝∠α+∠β；②∠APE＝∠β﹣∠α，理由见解析；（3）∠ANE＝12（∠α+∠β）【分析】（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，即可得到∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；（3）过P和N分别作FD的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝12（∠α+∠β）．【详解】解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，故答案为：80°；（2）①如图2，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；理由如下：作PQ∥DF，∵DF∥CG，∴PQ∥CG，∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，∴∠APE＝∠APQ+∠EPQ＝∠β+∠α；②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由如下：过P作PQ∥DF，∵DF∥CG，∴PQ∥CG，∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；（3）如图4，∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝12（∠α+∠β）．理由如下：作NQ ∥DF ，∵DF ∥CG ，∴NQ ∥CG ，∴∠DEN ＝∠QNE ，∠CAN ＝∠QNA ，∵EN 平分∠DEP ，AN 平分∠CAP ，∴∠DEN ＝12∠α，∠CAN ＝12∠β， ∴∠QNE ＝12∠α，∠QNA ＝12∠β， ∴∠ANE ＝∠QNE +∠QNA ＝12∠α+12∠β=12（∠α+∠β）；【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．22．（1）∠G=∠AEG+∠CFG ；（2）见解析；（3）FR ⊥HK ，理由见解析【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；（2）过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质得角相等和互补，即可得证；（3）根据平行线的性质得角相等，即可求解．【详解】解：（1）如图：过点G 作//GH AB ，∵//AB CD ，∴//GH CD ，∴AEG EGH ∠=∠，CFG FGH ∠=∠，EGF AEG CFG ∴∠==∠+∠AEG ∴∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系为G AEG CFG ∠=∠+∠．故答案为：G AEG CFG ∠=∠+∠．（2）如图，过点G 作//GP AB ，180BEG EGP ∴∠+∠=︒，180EHG HGP ∠+∠=︒，90180EHG EGP ∴∠+︒+∠=︒，90EHG EGP ∴∠+∠=︒，//AB CD ，DFG EHG ∴∠=∠，180180()1809090BEG DFG EGP EHG EGP EHG ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（3）FR 与HK 的位置关系为垂直．理由如下： FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，GFT KFT ∴∠=∠，90EGF ∴∠=︒，90GFT ERT ∴∠+∠=︒，90KFT ERT ∴∠+∠=︒，ERT TEB ∠=∠，90KFT TEB ∴∠+∠=︒，//AB CD ，FKT TEB ∴∠=∠，90KFT FKT ∴∠+∠=︒，90FTK ∴∠=︒，KT FR ∴⊥，即FR HK ⊥．∴FR 与HK 的位置关系是垂直．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．23．110︒；（1）CPD αβ∠=∠+∠；理由见解析；（2）当点P 在B 、O 两点之间时，CPD αβ∠=∠-∠；当点P 在射线AM 上时，CPD βα∠=∠-∠．【分析】问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE ∥AB ∥CD ，通过平行线性质来求∠APC ．（1）过点P 作PQ AD ，得到PQ AD BC 理由平行线的性质得到ADP DPQ ∠=∠，BCP CPQ ∠=∠，即可得到CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠（2）分情况讨论当点P 在B 、O 两点之间，以及点P 在射线AM 上时，两种情况，然后构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．【详解】解：问题情境：∵AB ∥CD ，PE AB∴PE ∥AB ∥CD ， ∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；（1）CPD αβ∠=∠+∠过点P 作PQ AD .又因为AD BC ∥,所以PQ AD BC则ADP DPQ ∠=∠，BCP CPQ ∠=∠所以CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠（2）情况1:如图所示，当点P 在B 、O 两点之间时过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β情况2：如图所示，当点P 在射线AM 上时，过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α【点睛】本题主要借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理．24．（1）见解析；（2）2∠FBH +∠C ＝180°；（3）80°【分析】（1）过点E 作//EK AB ，由平行线的性质得出,180ABE BEK CEK C ∠=∠∠+∠=︒，进而得出答案；（2）设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=，由平行线的性质得出,HBE BEG FBH FBE HBE βαβ∠=∠=∠=∠-∠=-，由（1）知180ABE C BEC ∠+∠-∠=︒，即可得出答案；（3）设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=，由（1）知2()180E x y ∠=+-︒，过M 作////PQ AB CD ，由平行线的性质得出,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=，求出130E FMN x y ∠+∠=+=︒，即可得出答案．【详解】（1）如图1，过点E 作//EK AB∴ABE BEK ∠=∠∵//AB CD∴//EK CD∴180CEK C ∠+∠=︒∴180ABE C E BEC CEK C BEC CEK C ∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒；（2）∵BF 、EG 分别平分ABE ∠、BEC ∠∴,ABF EBF BEG CEG ∠=∠∠=∠设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=∵//BH EG∴HBE BEG β∠=∠=∴FBH FBE HBE αβ∠=∠-∠=-由（1）知，180ABE C BEC ∠+∠-∠=︒即222()180C C αβαβ+∠-=-+∠=︒∴2180FBH C ∠+∠=︒；（3）∵CN 、BF 分别平分ECD ∠、ABE ∠∴,ABF EBF ECN DCN ∠=∠∠=∠设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=由（1）知：180ABE C E ∠+∠-∠=︒即2()180E x y ∠=+-︒如图3，过M 作////PQ AB CD则,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=∴180180()FMN PMF QMN x y ∠=︒-∠-∠=︒-+130E FMN ∠+∠=︒∴2()180180()130x y x y +-︒+︒-+=︒130x y ∴+=︒∴2()180213018080E x y ∠=+-︒=⨯︒-︒=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、角的和差等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行线是解题关键．25．（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析【分析】（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC 求出∠CAF 度数，求∠EMC 度数转化到∠MCH 度数；（2）过点C 作CH ∥GF ，得到CH ∥DE ，∠CAF 与∠EMC 转化到∠ACH 和∠MCH 中，从而发现∠CAF 、∠EMC 与∠ACB 的数量关系．【详解】（1）过点C 作CH ∥GF ，则有CH ∥DE ，所以∠CAF=∠HCA ，∠EMC=∠MCH ，∵∠BAF=90°，∴∠CAF=90°-60°=30°．∠MCH=90°-∠HCA=60°，∴∠EMC=60°．故答案为30°，60°．（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：过点C 作CH ∥GF ，则∠CAF=∠ACH ．∵DE ∥GF ，CH ∥GF ，∴CH ∥DE ．∴∠EMC=∠HCM ．∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．【点睛】考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定．26．（1）//EF CD ，证明见解析（2）75° （3）2FEG NCE MAE +=∠∠∠，证明见解析【分析】（1）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据角的和差关系和角平分线的性质可得80CEF NCE ==︒∠∠，从而得证//EF CD ；（2）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据平行线的性质以及角平分线的性质可得18075NCE GEC FEG =︒--=︒∠∠∠；（3）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据平行线的性质可得180AEG FEA FEG MAE FEG =+=︒-+∠∠∠∠∠，再根据角平分线的性质可得1802FEC MAE FEG =︒-+∠∠∠，再根据平行线的性质即可得2FEG NCE MAE +=∠∠∠．【详解】（1）//EF CD∵12∠=∠∴//MB EF∴50AEF MAE ==︒∠∠∴501565AEG AEF FEG =+=︒+︒=︒∠∠∠∵EG 平分∠AEC∴65CEG AEG ==︒∠∠∴651580CEF CEG FEG =+=︒+︒=︒∠∠∠∴80CEF NCE ==︒∠∠∴//EF CD ；（2）∵12∠=∠∴//MB EF∵∠MAE ＝135°∴18045AEF MAE =︒-=︒∠∠∵∠FEG ＝30°∴75AEG AEF FEG =+=︒∠∠∠∵EG 平分∠AEC∴75GEC =︒∠∵//AB CD∴18075NCE GEC FEG =︒--=︒∠∠∠；（3）2FEG NCE MAE +=∠∠∠∵12∠=∠∴//MB EF∴180MAE FEA +=︒∠∠∴180FEA MAE =︒-∠∠∴180AEG FEA FEG MAE FEG =+=︒-+∠∠∠∠∠∵EG 平分∠AEC∴GEC AEG =∠∠∴FEC GEC FEG =+∠∠∠∴180FEC MAE FEG FEG =︒-++∠∠∠∠∴1802FEC MAE FEG =︒-+∠∠∠∵//,//AB CD AB EF∴//EF CD∴180FEC NCE +=︒∠∠∴1802180MAE FEG NCE ︒-++=︒∠∠∠∴2FEG NCE MAE +=∠∠∠．【点睛】本题考查了平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的性质、角的和差关系是解题的关键．。

七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典习题(课后培优)

一、选择题1．下列命题中是真命题的有（）①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；A．1个B．2个C．3个D．4个B解析：B【分析】根据补角和邻补角的定义可判断①，根据平行公理可判断②，根据平行线的性质和判定可判断③，根据平移的性质可判断④，进而可得答案．【详解】解：两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，故命题①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故命题②是假命题；两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，故命题③是真命题；图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，故命题④是真命题．综上，真命题有2个．故选：B．【点睛】本题考查了真假命题、平行线的判定和性质以及平移的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．2．下列语句是命题的是（）A．平分一条线段B．直角都相等C．在直线AB上取一点D．你喜欢数学吗？B解析：B【分析】根据命题的定义分别进行判断．【详解】A.平分一条线段，为描述性语言，不是命题；B.直角都相等，是命题；C.在直线AB上取一点，为描述性语言，不是命题；D.你喜欢数学吗？是疑问句，不是命题．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．3．下列命题：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行．其中假命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A解析：A【分析】根据平行线的性质、八个基本事实、平行线的判定等知识分别判断即可．【详解】解：同位角不一定相等，①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行，④是真命题，故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质、八个基本事实，熟记八个基本事实，会判断命题的真假是解答的关键．4．如图，直线a ，b 被直线c 所截，则1∠与2∠是（）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．对顶角A 解析：A【分析】根据同位角的定义求解．【详解】解：直线a ，b 被直线c 所截，∠1与∠2是同位角．故选：A ．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．5．如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是（）A ．βαγ∠=∠+∠B ．180αβγ∠+∠+∠=︒C ．90αβγ∠+∠-∠=︒D ．90βγα∠+∠-∠=︒C解析：C【分析】分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【详解】如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，∵AB//EF ，∴AB//CM //DN //EF ，∴αBCM ∠∠=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，∴αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠+=++=++，又∵BC CD ⊥，∴BCD 90∠=，∴αβ90γ∠∠∠+=+，即αβγ90∠∠∠+-=，故选C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．6．如图，下列条件：13241804523623∠=∠∠+∠=∠=∠∠=∠∠=∠+∠①，②，③，④，⑤中能判断直线12l l 的有( )A．5个B．4个C．3个D．2个B 解析：B【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【详解】解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．故选B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．7．（2017•十堰）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（）A．40°B．50°C．60°D．70°B 解析：B【解析】试题分析：由AB∥DE，∠CDE=40°，∴∠B=∠CDE=40°，又∵FG⊥BC，∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，故选B．考点：平行线的性质8．如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，若∠1=55°，则∠2等于（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．125°C解析：C【解析】试题分析：根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.考点：平行线的性质9．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点E ，且,40BE AF BED ⊥∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒B解析：B【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，∴50FED ∠=︒，∵AB CD ∕∕，∴50A FED ∠=∠=︒．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键． 10．如图，将△ABE 向右平移50px 得到△DCF ，如果△ABE 的周长是400px（1px=0.04cm ），那么四边形ABFD 的周长是（）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．21cm C解析：C【分析】根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．注意：1px = 0.04cm ．【详解】∵1px = 0.04cm，∴50px=2cm，400px=16cm，∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，∴DF=AE，∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF=AB+BE+AE+AD+EF=△ABE的周长+AD+EF．∵平移距离为2cm，∴AD=EF=2cm，∵△ABE的周长是16cm，∴四边形ABFD的周长=16+2+2=20cm．故选：C．【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．二、填空题11．高兴同学在学习了全等三角形的相关知识后发现：只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB且与射线OA交于点M，另一把直尺压住射线OA且与第一把直尺交于点P，则OP平分∠AOB．若∠BOP＝32°，则∠AMP＝_____°．64【分析】由长方形直尺可得MP//OB再根据作图过程可知OP平分∠AOB进而可得∠AMP的度数【详解】解：∵OP平分∠AOB∴∠MOB＝2∠BOP＝64°由长方形直尺可知：MP//OB∴∠AMP＝解析：64【分析】由长方形直尺可得MP//OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数．【详解】解：∵OP 平分∠AOB ，∴∠MOB ＝2∠BOP ＝64°，由长方形直尺可知：MP //OB ，∴∠AMP ＝∠MOB ＝64°，故答案为：64．【点睛】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法．12．已知A ∠与B （A ∠，B 都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且227A B ∠-∠=︒，则A ∠的度数为_________．或【分析】分两种情况：①如图1作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B=∠BEF ∠A=∠AEF 根据∠A+∠B=求出∠A=；②如图2作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B+∠BEF=∠A 解析：39︒或99︒．【分析】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B=∠BEF ，∠A=∠AEF ，根据∠A+∠B=90︒，227A B ∠-∠=︒，求出∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B+∠BEF=180︒，∠A+∠AEF=180︒，根据∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，227A B ∠-∠=︒，计算得出答案．【详解】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，∴∠B=∠BEF ，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A=∠AEF ，∴∠A+∠B=∠AEF+∠BEF=90︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，∴∠B+∠BEF=180︒，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A+∠AEF=180︒，∴∠A+∠AEB+∠B=360︒，∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，∴∠A+∠B=270︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=99︒；故答案为：39︒或99︒．．【点睛】此题考查平行线的性质，平行公理的推论，根据题意作出图形，引出恰当的辅助线解决问题是解题的关键．13．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移2个单位后，得到A B C '''，连接A C '，则A B C ''的周长为________．12【分析】根据平移的性质得则可计算则可判断为等边三角形继而可求得的周长【详解】平移两个单位得到的又是等边三角形的周长为故答案为：12【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动会解析：12【分析】根据平移的性质得2BB '=，4A B AB ''==，=60A B C B ∠''∠=︒，则可计算624B C BC BB '=-'=-=，则4A B B C ''='=，可判断A B C ''△为等边三角形，继而可求得A B C ''△的周长．【详解】 ABC 平移两个单位得到的A B C '''，2BB ∴'=，AB A B =''，4AB =，6BC =，4A B AB ∴''==，624B C BC BB '=-'=-=，4A B B C ∴''='=，又60B ∠=︒，60A B C ∴∠''=︒，A B C ∴''是等边三角形，A B C ∴''的周长为4312⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．14．如图，//,//,62AC ED AB FD A ∠=︒，则EDF ∠度数为___________．62°【分析】首先根据两直线平行同位角相等求出∠DEB 的度数再根据两直线平行内错角相等求出∠EDF 的度数【详解】解：∵AC//DE ∠A=62°∴∠DEB=∠A=62°（两直线平行同位角相等）∵DF/解析：62°【分析】首先根据两直线平行，同位角相等求出∠DEB 的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EDF 的度数．【详解】解：∵AC//DE ，∠A=62°，∴∠DEB=∠A=62°（两直线平行，同位角相等），∵DF//AB ，∴∠EDF=∠DEB=62°（两直线平行，内错角相等）．故答案为：62°．【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟记平行线的性质．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． 15．“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是________________．（填真命题或假命题）真命题【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题根据等腰三角形的定义判断即可【详解】等腰三角形的两条边相等的逆命题是：两条边相等的三角形是等腰三角形；它是真命题故答案为：真命题【点睛】本题考解析：真命题【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题，根据等腰三角形的定义判断即可．【详解】“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是：两条边相等的三角形是等腰三角形；它是真命题，故答案为：真命题．【点睛】本题考查了命题的真假判断、逆命题的概念，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 16．如图，请你添加一个条件．．．．使得AD ∥BC ，所添的条件是__________．∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B时根据同位角相等两直线平行可得AD//BC；当∠DAC＝∠C时根据内错角相等两直线平行可得AD//BC；当∠DAB+∠B=180°时根据同旁内角解析：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC；当∠DAC＝∠C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC；当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC，故答案是：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.17．如图,点A、B为定点,直线l∥AB,P是直线l上一动点，对于下列各值:①线段AB的长；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的度数，其中不会随点P的移动而变化的是(填写所有正确结论的序号)______________.①③【分析】求出AB长为定值P到AB的距离为定值再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化∠APB的大小不断发生变化【详解】解：∵AB为定点∴AB长为定值∴①正确；∵点A解析：①③【分析】求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．【详解】解：∵A、B为定点，∴AB长为定值，∴①正确；∵点A，B为定点，直线l∥AB，∴P到AB的距离为定值，故△APB的面积不变，∴③正确；当P点移动时，PA+PB的长发生变化，∴△PAB的周长发生变化，∴②错误；当P点移动时，∠APB发生变化，∴④错误；故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记定理是解题的关键．18．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．如果两个角相等那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面把命题的结论部分写在那么的后面即可【详解】解：命题等角的余角相等写成如果…那么…的形式为：如果两个角是相等角的余角那么这两个角相解析：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．19．如图，AD∥BC，∠D=100°，CA平分∠BCD，则∠DAC=________度．40°【分析】本题主要利用两直线平行同旁内角互补两直线平行内错角相等以及角平分线的定义进行做题【详解】∵AD∥BC∴∠BCD=180°-∠D=80°又∵CA平分∠BCD∴∠ACB=∠BCD=40°∴解析：40°【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．【详解】∵AD∥BC，∴∠BCD=180°-∠D=80°，又∵CA平分∠BCD，∠BCD=40°，∴∠ACB=12∴∠DAC=∠ACB=40°．【点睛】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．20．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为8，则阴影部分的面积是_______________．64【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得出两个三角形大小一样阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB根据线段的和差关系可求出HE的长度再根据梯形的面积公式即可得答案【详解】解析：64【分析】根据平移变化只改变图形的位置，不改变图形的形状，可得出两个三角形大小一样，阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB，根据线段的和差关系可求出HE的长度，再根据梯形的面积公式即可得答案．【详解】∵两个三角形大小一样，∴S△ABC=S△DEF，∴S△ABC-S△HEC=S△DEF-S△HEC，∴S阴影=S梯形ABEH，∵其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，∴DE=AB=10，∵DH=4，∴HE=DE-DH=6，∵平移距离是8，∴BE=8，∴S阴影=S梯形ABEH=12（HE+AB）·BE=12×（10+6）×8=64，故答案为：64【点睛】本题主要考查了平移的性质，通过观察图形把阴影部分的面积转化为熟知图形的面积是关键的一步．三、解答题21．利用网格画图，每个小正方形边长均为1（1）过点C 画AB 的平行线CD ；（2）仅用直尺,过点C 画AB 的垂线，垂足为E ；（3）连接CA 、CB ，在线段CA 、CB 、CE 中，线段______最短，理由___________．（4）直接写出△ABC 的面积为 _________．解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）CE ，垂线段最短；（4）8．【分析】(1)取点D 作直线CD 即可;(2)取点F 作直线CF 交AB 与E 即可;(3)根据垂线段最短即可解决问题;(4)用割补法，大长方形的面积减去三个小三角形的面积即可;【详解】解：（1）直线CD 即为所求；（2）直线CE 即为所求；（3）在线段CA 、CB 、CE 中，线段CE 最短，理由：垂线段最短；故答案为CE ，垂线段最短；（4） S △ABC =18﹣12×1×5﹣12×1×3﹣12×2×6=8， ∴△ABC 的面积为8.【点睛】本题主要考查垂线、平行线及其做图，注意作图的准确性.22．如图，已知AC BC ⊥，CD AB ⊥，DE AC ⊥，1∠与2∠互补，判断HF 与AB 是否垂直，并说明理由（填空）．解：垂直，理由如下：∵DE AC ⊥，AC BC ⊥，∴90AED ACB ==︒∠∠（垂直的意义）∴//DE BC （_____）∴1DCB ∠=∠（_____）∵1∠与2∠互补（已知）∴DCB ∠与2∠互补∴_________//________（_____）∴BFH CDB ∠=∠（_____）∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴90HFB ︒∠=∴HF AB ⊥．解析：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CD ；FH ；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【分析】根据平行线的性质及平行线的判定解答．【详解】解：垂直，理由如下：∵DE AC ⊥，AC BC ⊥，∴90AED ACB ==︒∠∠（垂直的意义）∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）∴1DCB ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵1∠与2∠互补（已知）∴DCB ∠与2∠互补∴CD //FH （同旁内角互补，两直线平行）∴BFH CDB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴90HFB ︒∠=∴HF AB ⊥．故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CD ；FH ；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【点睛】此题考查平行线的判定及性质定理，熟记定理并熟练应用解决问题是解题的关键． 23．如图，已知：∠DGA=∠FHC ，∠A=∠F ．求证：DF ∥AC ．（注：证明时要求写出每一步的依据）解析：见解析．【分析】先根据∠DGA=∠EGC 证出AE ∥BF ，再根据平行证明出∠F=∠FBC 即可求证出结论．【详解】证明：∵∠DGA=∠EGC(对顶角相等)又∵∠DGA=∠FHC （已知）∴∠EGC=∠FHC （等量代换）∴AE ∥BF (同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠FBC (两直线平行，同位角相等)又∵∠A=∠F （已知）∴∠F=∠FBC (等量代换)∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行)．【点睛】此题考查平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．24．如图，有三个论断：①12∠=∠；②B C ∠=∠；③A D ∠=∠，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．解析：答案见解析【分析】先从①②③中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，然后根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明即可．【详解】已知：12∠=∠，B C ∠=∠求证：A D ∠=∠证明：如图：13∠=∠ 又12∠=∠32∴∠=∠//EC BF ∴AEC B ∴∠=∠又B C ∠=∠AEC C ∴∠=∠//AB CD ∴A D ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质以及命题与定理的证明问题，证明的一般步骤包括写出已知、求证、画出图形和证明．25．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在BC 上，EF ⊥AB ，垂足为F ．（1）CD 与EF 平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，∠A=30°，求∠B 的度数．解析：（1）CD与EF平行．理由见解析；（2）∠B=35°【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠CDB=∠EFB=90°，然后根据同位角相等，两直线平行可判断EF∥CD；（2）由EF∥CD，根据平行线的性质得∠2=∠BCD，而∠1=∠2，所以∠1=∠BCD，根据内错角相等，两直线平行得到DG∥BC，所以∠ACB=∠3=115°，根据三角形的内角和即可得到结论．【详解】（1）CD与EF平行．理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDB=∠EFB=90°，∴EF∥CD；（2）∵EF∥CD，∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB=∠3=115°，∵∠A=30°，∴∠B=35°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．26．平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′．解析：见解析【分析】先分别确定A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′，然后再顺次连接即可．【详解】解：如图：连接AA′，在AA′在一条直线上CC′＝AA′，得到C′；再作BB′∥AA′且BB′=AA′，最后顺次连接得到△A′B′C′即为所求三角形．【点睛】本题主要考查了平移作图，根据题意确定A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′是解答本题的关键．27．如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．解析：（1）证明见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2，证明见详解；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．【分析】此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，即可得出∠1、∠2、∠3的数量关系．【详解】解：（1）如图（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，可得：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1；证明：如图2，过P作直线PQ∥l1∥l2，则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．证明：如图（3），过P作PQ∥l1∥l2；∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．证明：如图（4），过P作PQ∥l1∥l2；∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；∴∠3＝∠1﹣∠2．【点睛】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键． 28．如图1所示的是北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，并顺次首尾连接，若AF 恰好经过点G ，且//AF DE ，105D E ∠=∠=︒．（1）求F ∠的度数．（2）连接AD ，当ADE ∠与CGF ∠满足怎样的数量关系时，//BC AD ，并说明理由．解析：（1）75°；（2）当∠ADE+∠CGF=180°时，BC ∥AD ．【分析】（1）根据平行线的性质解答即可；（2）根据平行线的判定和性质解答即可．【详解】解：（1）∵AF ∥DE ，∴∠F+∠E=180°，∵105E ∠=︒∴∠F=180°-105°=75°；（2）如图，当∠ADE+∠CGF=180°时，BC ∥AD ，∵AF∥DE，∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，∴∠GAD=∠CGF，∴BC∥AD．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．。

人教版七年级数学下册培优好卷：第5章《相交线与平行线》含答案

2021年人教版七年级数学下册培优好卷：第5章《相交线与平行线》一．选择题1．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线（）A．互相垂直B．互相平行C．相交或平行D．不相等2．下列命题中，是真命题的有（）①同位角相等；①对顶角相等；①同一平面内，如果直线l1①l2，直线l2①l3，那么l1①l3；①同一平面内，如果直线l1①l2，直线l2①l3，那么l1①l3．A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，直线AB①DE，AB与DF相交于点C，CE①DF，①FCB＝33°，则①E的度数是（）A．33°B．47°C．53°D．57°4．如图，①1＝①2，AC平分①DAB，且①D：①DAB＝2：1，则①D的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°5．如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm6．如图，把一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，若①2＝132°，则①1的度数为（）A．48°B．84°C．24°D．96°7．如图，AB①DE，那么①BCD＝（）A．180°+①1﹣①2B．①1+①2C．①2﹣①1D．180°+①2﹣2①18．如图，①BCD＝90°，AB①DE，若①a＝40°，则①β的大小为（）A．40°B．50C．130°D．140°二．填空题9．“等角的补角相等”的条件是，结论是．10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO①AB，垂足为点O，若①AOD＝132°，则①EOC ＝°．11．如图，①1和①3是直线和被直线所截而成的角；图中与①2是同旁内角的角有个．12．如图，若①1＝①3，①2＝60°，则①4的大小为度．13．如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①①1＝①2；①①3＝①4：①①A＝①DCE；①①D+①ABD＝180°．其中能判断AB①CD的有．（填写所有满足条件的序号）14．如图，a①b，①2＝95°，①3＝150°，则①1的度数是．15．直线AB与射线OC相交于点O，OC①OD于O，若①AOC＝60°，则①BOD＝度．三．解答题16．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．有一个①ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）将①ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到①A1B1C1．请在方格纸中画出①A1B1C1；（2）求出①A1B1C1的面积．17．如图所示，①B＝25°，①D＝42°，①BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．18．完成下面的证明：如图，BE平分①ABD，DE平分①BDC，且①α+①β＝90°，求证：AB①CD．证明：①BE平分①ABD（）①①ABD＝2①α （）①DE平分①BDC（已知）①①BDC＝（）①①ABD+①BDC＝2①α+2①β＝2（①α+①β）（）①①α+①β＝90°（已知）①①ABD+①BDC＝180°（）①AB①CD（）19．如图，已知AD①EF，①2＝50°．（1）求①3的度数；（2）若①1＝①2，问：DG①BA吗？请说明理由；（3）若①1＝①2，且①DAG＝20°，求①AGD的度数．20．如图，直线CB①OA，①C＝①OAB＝100°，E、F在CB上，且满足①FOB＝①AOB，OE 平分①COF（1）求①EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么①OBC：①OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使①OEC＝①OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题1．解：如图，①①APE＝①CQE，①AB①CD，①①BPQ+①DQP＝180°，①PM平分①BPQ，QN平分①DQP，①①BPQ＝2①MPQ，①DQP＝2①NQP，①①MPQ+①NQP＝90°，①①POQ＝90°，即PM①QN，故选：A．2．解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；①对顶角相等，是真命题；①同一平面内，如果直线l1①l2，直线l2①l3，那么l1①l3；是真命题；①同一平面内，如果直线l1①l2，直线l2①l3，那么l1①l3．是真命题；故选：D．3．解：①AB①DE，①FCB＝33°，①①D＝①FCB＝33°，又①CE①DF，①①DCE＝90°，①①D+①E＝90°，则①E＝90°﹣①D＝57°，故选：D．4．解：①AC平分①DAB，①①1＝①CAB，①①1＝①2，①①CAB＝①2，①DC①AB，①①D+①DAB＝180°，又①①D：①DAB＝2：1，①①D＝180°×＝120°，故选：A．5．解：①①ABE的周长＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性质可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，①四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）．故选：A．6．解：①一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，①①1＝180°﹣2（180°﹣132°）＝84°．故选：B．7．解：过点C作CF①AB，如图：①AB①DE，①AB①DE①CF，①①BCF＝①1①，①2+①DCF＝180°①，①①+①得，①BCF+①DCF+①2＝①1+180°，即①BCD＝180°+①1﹣①2．故选：A．8．解：过C作CF①AB，①AB①DE，①AB①CF①DE，①①1＝①α＝40°，①2＝180°﹣①β，①①BCD＝90°，①①1+①2＝40°+180°﹣①β＝90°，①①β＝130°．故选：C．二．填空题9．解：等角的补角相等的条件是如果两个角都是某一个角的补角，结论是这两个角相等．故答案为两个角都是某一个角的补角，这两个角相等．10．解：①①AOD＝132°，①①COB＝132°，①EO①AB，①①EOB＝90°，①①COE＝132°﹣90°＝42°，故答案为：42．11．解：①1和①3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与①2 是同旁内角的角有①6、①5、①7，共3个，故答案为：AB、AC、DE、内错，3．12．解：①①1＝①3，①AB①CD，①①2＝①5，①①2＝60°，①①5＝60°，①①4＝180°﹣①5＝120°，故答案为：120．13．解：①①①1＝①2，①AB①BC，根据内错角相等，两直线平行即可证得AB①BC；①①3＝①4，根据内错角相等，两直线平行即可证得BD①AC，不能证AB①CD；①①A＝①DCE，根据同位角相等，两直线平行即可证得AB①CD；①①D+①ABD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB①CD．故答案为：①①①．14．解：过点C作CD①a，①a①b，①CD①a①b，①①1+①ECD＝180°，①3+①DCF＝180°，①①2＝95°，①3＝150°，①①1+①2+①3＝360°，①①1＝360°﹣①2﹣①3＝360°﹣150°﹣95°＝115°，故答案为：115°．15．解：根据题意画图如下，情况一：如图1，①OC①OD，①AOC＝60°，①①AOD＝①COD﹣①AOC＝90﹣60°＝30°，①①COD＝180°﹣①AOD＝180°﹣30°＝150°；情况二：如图2，①OC①OD，①AOC＝60°，①①AOD＝①COD+①AOC＝90°+60°＝150°，①①COD＝180°﹣①AOD＝180°﹣150°＝30°，故答案为：150或30．三．解答题16．解：（1）如图，①A1B1C1即为所求．（2）＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝8﹣1﹣2﹣2＝3．17．解：AB①ED，理由：如图，过C作CF①AB，①①B＝25°，①①BCF＝①B＝25°，①①DCF＝①BCD﹣①BCF＝42°，又①①D＝42°，①①DCF＝①D，①CF①ED，①AB①ED．18．证明：BE平分①ABD（已知），①①ABD＝2①α（角平分线的定义）．①DE平分①BDC（已知），①①BDC＝2①β （角平分线的定义）①①ABD+①BDC＝2①α+2①β＝2（①α+①β）（等量代换）①①α+①β＝90°（已知），①①ABD+①BDC＝180°（等量代换）．①AB①CD（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：已知，角平分线的定义，2①β，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．19．解：（1）①AD①EF，①①3＝①2＝50°；（2）DG①BA，理由如下：①①1＝①2，①3＝①2，①①3＝①1，①DG①BA；（3）①①1＝①2＝50°，①3＝①2，①①3＝①1＝50°，①DG①BA，①①AGD＝①CAB，①①CAB＝①DAG+①3＝20°+50°＝70°，①①AGD＝①CAB＝70°．20．解：（1）①CB①OA，①①AOC＝180°﹣①C＝180°﹣100°＝80°，①OE平分①COF，①①COE＝①EOF，①①FOB＝①AOB，①①EOB＝①EOF+①FOB＝①AOC＝×80°＝40°；（2）①CB①OA，①①AOB＝①OBC，①①FOB＝①AOB，①①FOB＝①OBC，①①OFC＝①FOB+①OBC＝2①OBC，①①OBC：①OFC＝1：2，是定值；（3）在①COE和①AOB中，①①OEC＝①OBA，①C＝①OAB，①①COE＝①AOB，①OB、OE、OF是①AOC的四等分线，①①COE＝①AOC＝×80°＝20°，①①OEC＝180°﹣①C﹣①COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某种情况，使①OEC＝①OBA，此时①OEC＝①OBA＝60°．。

初中数学数学第五章相交线与平行线的专项培优练习题(含答案

初中数学数学第五章相交线与平行线的专项培优练习题(含答案一、选择题1．把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式析叠，若∠EFB＝35°，则下列结论错误的是（）A．∠C'EF＝35°B．∠AEC＝120°C．∠BGE＝70°D．∠BFD＝110°2．在下列命题中，为真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．平行于同一条直线的两条直线互相平行C．同旁内角互补D．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直3．（2017•十堰）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A．30°B．32°C．42°D．58°5．如图，AB∥CD，∠1=120°，则∠2＝（）A ．50°B ．70°C ．120°D ．130°6．下列图形中，1∠与2∠是同位角的是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，90A ∠=︒，//EG BC ，且CG EG ⊥于G ，下列结论：①2CEG DCB ∠=∠；②CA 平分BCG ∠；③ADC GCD ∠=∠；④12DFB CGE ∠=∠.其中正确的结论是( )A ．①③④B ．①②③C ．②④D ．①③8．下列命题：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行．其中假命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB ∥CE ，且∠ADC ＝∠B ：④AB ∥CE ，且∠BCD ＝∠BAD ．其中能推出BC ∥AD 的条件为（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．②③④10．已知：如图AB//EF ，BC CD ⊥，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是( )A ．βαγ∠∠∠=+B ．αβγ180∠∠∠++=C ．αβγ90∠∠∠+-=D ．βγα90∠∠∠+-=二、填空题11．如图，已知∠1＝（3x +24）°，∠2＝（5x +20）°，要使m ∥n ，那么∠1＝_____（度）．12．如图，//AB CD ，GF 与AB 相交于点H ，与CD 于F ，FE 平分HFD ∠，若50EHF ∠=︒，则HFE ∠的度数为______．13．如图，已知//AB CF ，//CF DE ， 90BCD ∠=︒，则D B ∠-∠=_________14．如图，Rt △AOB 和Rt △COD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠B ＝40°，∠C ＝60°，点D 在边OA 上，将图中的△COD 绕点O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第________秒时，边CD 恰好与边AB 平行．15．一个七边形棋盘如图所示，7个顶点顺序从0到6编号，称为七个格子．一枚棋子放在0格，现在依逆时针移动这枚棋子，第一次移动1格，第二次移动2格，…，第n 次移动n 格．则不停留棋子的格子的编号有_____．16．规律探究：同一平面内有直线1a 、2a 、3a ，⋯，100a ，若12//a a ，23a a ⊥，34//a a ，45a a ⊥，⋯，按此规律，1a 与100a 的位置关系是______．17．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．18．如图，直线a ∥b ∥c ，直角∠BAC 的顶点A 在直线b 上，两边分别与直线a ，c 相交于点B ，C ，则∠1＋∠2的度数是___________．19．如图，AD 平分,34BDF ∠∠=∠，若150,2130∠=︒∠=︒，则CBD ∠=________︒．20．如图，直线////a b c ，直角三角板的直角顶点落在直线b 上，若135∠=︒，则2∠等于_______．三、解答题21．综合与探究综合与实践课上，同学们以“一个含30角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a ，b ，且//a b ，三角形ABC 是直角三角形，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒操作发现：（1）如图1．148∠=︒，求2∠的度数；（2）如图2．创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，请说明理由．实践探究：（3）填密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请写出1∠与2∠的数量关系并说明理由．22．如图1，AB CD ∥ ，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒ ，求APC ∠的度数．小明的思路是：过P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．（1）按小明的思路，求APC ∠的度数；（问题迁移）（2）如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P在B、D两点之间运动时，问APC∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（问题应用）：（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出APC∠与α、β之间的数量关系．23．已知：直线//AB CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M为两平行线内部一点．（1）如图1，∠AEM，∠M，∠CFM的数量关系为________；(直接写出答案)（2）如图2，∠MEB和∠MFD的角平分线交于点N，若∠EMF等于130°，求∠ENF的度数；（3）如图3，点G为直线CD上一点，延长GM交直线AB于点Q，点P为MG上一点，射线PF、EH相交于点H，满足13PFG MFG∠=∠，13BEH BEM∠=∠，设∠EMF=α，求∠H的度数(用含α的代数式表示)．24．如图1所示，AB∥CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE．（1）求证：∠ABE+∠C﹣∠E＝180°．（2）如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH∥GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系．（3）如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M＝130°，请直接写出∠E的度数．25． [问题解决]：如图1，已知AB∥CD，E是直线AB，CD内部一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，∠CDE=60°，求∠BED的度数．嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程：解：过点E作EF∥AB，∴∠ABE=∠BEF=40°∵AB∥CD，∴EF∥CD，…请你补充完成嘉淇的解答过程：[问题迁移]：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：如图3，AB ∥CD ，射线OM 与直线AB ，CD 分别交于点A ，C ，射线ON 与直线AB ，CD 分别交于点B ，D ，点P 在射线ON 上运动，设∠BAP=α，∠DCP=β．（1）当点P 在B ，D 两点之间运动时(P 不与B ，D 重合)，求α，β和∠APC 之间满足的数量关系．（2）当点P 在B ，D 两点外侧运动时(P 不与点O 重合)，直接写出α，β和∠APC 之间满足的数量关系．26．点C ，B 分别在直线MN ，PQ 上，点A 在直线MN ，PQ 之间，//MN PQ ．（1）如图1，求证：A MCA PBA ∠=∠+∠；（2）如图2，过点C 作//CD AB ，点E 在PQ 上，ECM ACD ∠=∠，求证：A ECN ∠=∠；（3）在（2）的条件下，如图3，过点B 作PQ 的垂线交CE 于点F ，ABF ∠的平分线交AC 于点G ，若DCE ACE ∠=∠，32CFB CGB ∠=∠，求A ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据平行线的性质即可求解．【详解】A ．∵AE ∥BF ，∴∠C 'EF ＝∠EFB ＝35°（两直线平行，内错角相等），故A选项不符合题意；B．∵纸条按如图所示的方式析叠，∴∠FEG＝∠C'EF＝35°，∴∠AEC＝180°﹣∠FEG﹣∠C'EF＝180°﹣35°﹣35°＝110°，故B选项符合题意；C．∵∠BGE＝∠FEG+∠EFB＝35°+35°＝70°，故C选项不符合题意；D．∵AE∥BF，∴∠EGF＝∠AEC＝110°（两直线平行，内错角相等），∵EC∥FD，∴∠BFD＝∠EGF＝110°（两直线平行，内错角相等），故D选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．2．B解析：B【分析】分别利用对顶角的性质以及平行线的性质和推论进而判断得出即可．【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；C、两直线平行，同旁内角互补，故此选项错误；D、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故此选项错误．故选B．【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．3．B解析：B【解析】试题分析：由AB∥DE，∠CDE=40°，∴∠B=∠CDE=40°，又∵FG⊥BC，∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，故选B．考点：平行线的性质4．B解析：B【解析】试题分析：如图，过点A作AB∥b，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°﹣∠3=32°，∵a∥b，AB∥B，∴AB∥b，∴∠2=∠4=32°，故选B．考点：平行线的性质．5．C解析：C【分析】由平行线性质和对顶角相等可以得到解答．【详解】解：如图，由对顶角相等可以得到∠3＝∠1=120°又AB∥CD，∴∠2＝∠3=120°．故选C．【点睛】本题考查平行线和对顶角的综合应用，由题意发现角的相等关系是解题关键．6．C解析：C【分析】根据同位角的定义可以判断对错．【详解】解：两条直线a、b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截直线a、b同一侧的角称为同位角，根据这个定义，A选项的两角不在被截线的同侧，错误；B选项的两角不是两条直线被第三条直线所截形成的角，错误；C选项的角符合同位角的定义，正确；D 选项的两角不是两条直线被第三条直线所截形成的角，错误．故选C．【点睛】本题考查同位角的意义，通过同位角的意义进行灵活判断是解题关键．7．A解析：A【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】解：①∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；③∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，∴∠AEB+∠ADC＝90°+12（∠ABC+∠ACB）＝135°，∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠DFB＝45°＝12∠CGE，故本选项正确．故选：A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．8．A解析：A【分析】根据平行线的性质、八个基本事实、平行线的判定等知识分别判断即可．【详解】解：同位角不一定相等，①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行，④是真命题，故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质、八个基本事实，熟记八个基本事实，会判断命题的真假是解答的关键．9．D解析：D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【详解】解：①∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC ∥AD ，符合题意；③∵AB ∥CD ，∴∠B+∠BCD ＝180°，∵∠ADC ＝∠B ，∴∠ADC+∠BCD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意； ④∵AB ∥CE ，∴∠B+∠BCD ＝180°，∵∠BCD ＝∠BAD ，∴∠B+∠BAD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意；故能推出BC ∥AD 的条件为②③④．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．10．C解析：C【分析】分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【详解】解：如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，AB//EF ，AB//CM //DN //EF ∴，αBCM ∠∠∴=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠∴+=++=++，又BC CD ⊥，BCD 90∠∴=，αβ90γ∠∠∠∴+=+，即αβγ90∠∠∠+-=，故选C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．二、填空题11．75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m∥n，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180解析：75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m ∥n ，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180，解得：x=17，则∠1=（3x+24）°=75°．故答案为75．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠1+∠2=180°是解题关键．12．65°【分析】由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE．【详解】∵∴∠EHF+∠HFD=180°∵∴∠HFD=130°∵平分，∴∠HFE=∠HFD=解析：65°【分析】由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE ．【详解】∵//AB CD∴∠EHF+∠HFD=180°∵50EHF ∠=︒∴∠HFD=130°∵FE 平分HFD ∠，∴∠HFE=12∠HFD=1130652⨯︒=︒ 故答案为：65°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．13．90°【分析】根据AB∥CF，可得出∠B 和∠BCF 的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED 和∠D 的关系，合并即可得出∠D―∠B 的大小【详解】∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠解析：90°【分析】根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小【详解】∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠FCD+∠D=180°∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化简得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°∴∠D―∠B=90°故答案为：90°【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．14．10或28【解析】【分析】作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠解析：10或28【解析】【分析】作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角∠AOD，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解；②两三角形在点O的异侧时，延长BO与CD相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得∠CEO=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解．【详解】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°-60°=30°，∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，∵每秒旋转10°，∴时间为100°÷10°=10秒；②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°-60°=30°，∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，∴旋转角为270°+10°=280°，∵每秒旋转10°，∴时间为280°÷10°=28秒；综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．故答案为10或28．【点睛】本题考查了平行线的判定，平行线的性质，旋转变换的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．15．2，4，5【解析】【分析】因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝12n（n+1），然后再根据题目中所给的第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.【详解】解：因棋解析：2，4，5【解析】【分析】因棋子移动了n 次后走过的总格数是1+2+3+…+n ＝n （n +1），然后再根据题目中所给的第n 次依次移动n 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.【详解】解：因棋子移动了n 次后走过的总格数是1+2+3+…+n ＝n （n +1），应停在第n （n +1）﹣7p 格，这时p 是整数，且使0≤n （n +1）﹣7p ≤6，分别取n ＝1，2，3，4，5，6，7时， n （n +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停留棋子，若7＜n ≤10，设n ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得， n （n +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1），由此可知，停棋的情形与n ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停留棋子．故答案为：2，4，5．【点睛】此题主要考查推理与论证，解题的关键是根据题意分析运动规则，再列出式子来解答. 16．互相垂直．【解析】【分析】依据，，，，，可得，即可得到与的位置关系是互相垂直．【详解】解：，，，，按此规律，，又，，，以此类推，，，故答案为：互相垂直．【点睛】本题主要解析：互相垂直．【解析】【分析】依据12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，45a a ⊥，⋯，可得14n a a ⊥，即可得到1a 与100a 的位置关系是互相垂直．【详解】解：12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，14a a ∴⊥，按此规律，58a a ⊥，又45a a ⊥，⋯，18a a ∴⊥，以此类推，14n a a ⊥100425=⨯，1100a a ∴⊥，故答案为：互相垂直．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是根据已知条件得出规律：14n a a ⊥． 17．40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=4解析：40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵110α∠=+︒，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．18．270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．【详解】解：如图所示，∵a∥b，∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，∵解析：270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．【详解】解：如图所示，∵a∥b，∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，∵b∥c∴∠2+∠4=180°，则∠4=180°-∠2，∵∠BAC是直角，∴∠3+∠4=180°-∠1+180°-∠2，∴90°=360°-（∠1+∠2），∴∠1+∠2=270°．故答案为：270°【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．19．65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】∵∠1=50°，∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，∵∠2=130°，解析：65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】∵∠1=50°，∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，∵∠2=130°，∴∠DBE=∠2，∴AE∥CF，∴∠4=∠ADF，∵∠3=∠4，∴∠EBC=∠4，∴AD∥BC，∵AD平分∠BDF，∴∠ADB=∠ADF，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠4=∠CBD，∴∠CBD=∠EBC=12∠DBE=12×130°=65°．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．20．【分析】如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.【详解】如图所示，∵，，∴，∴∠4=90°−∠3=55°，∵，∴∠2解析：55【分析】如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.【详解】如图所示，∵//a b ，135∠=︒，∴335∠=︒，∴∠4=90°−∠3=55°，∵////a b c ，∴∠2=∠4=55°.故答案为：55°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.三、解答题21．（1）242∠=︒；（2）理由见解析；（3）12∠=∠，理由见解析．【分析】（1）由平角定义求出∠3＝42°，再由平行线的性质即可得出答案；（2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2＋∠ABD ＝180°，∠1＝∠DBC ，则∠ABD ＝∠ABC−∠DBC ＝60°−∠1，进而得出结论；（3）过点C 作CP ∥a ，由角平分线定义得∠CAM ＝∠BAC ＝30°，∠BAM ＝2∠BAC ＝60°，由平行线的性质得∠1＝∠BAM ＝60°，∠PCA ＝∠CAM ＝30°，∠2＝∠BCP ＝60°，即可得出结论．【详解】解：（1）如图1148∠=︒，90BCA ∠=︒，3180142BCA ∴∠=︒-∠-∠=︒，//a b ，2342∴∠=∠=︒；图1（2）理由如下：如图2．过点B 作//BD a ，图22180ABD ∴∠+∠=︒，//a b ，//b BD ∴，1∴∠=∠DBC ，601ABD ABC DBC ∴∠=∠-∠=︒-∠，2601180∴∠+︒-∠=︒，21120∴∠-∠=︒；（3）12∠=∠，图3理由如下：如图3，过点C 作//CP a ， AC 平分BAM ∠，30CAM BAC ∴∠=∠=︒，260BAM BAC ∠=∠=︒，又//a b ，//CP b ∴，160BAM ∠=∠=︒，30PCA CAM ∴∠=∠=︒，903060BCP BCA PCA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，又//CP a ，260BCP ∴∠=∠=︒，12∠∠∴=．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．22．（1）110°；（2）∠APC=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）∠APC=∠α+∠β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA=∠α-∠β；如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA=∠β-∠α．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．23．（1）M AEM CFM ∠=∠+∠；（2）115ENF ∠=︒；（3）1603H α∠=︒-．【分析】（1）过点M 作//ML AB ，利用平行线的性质可得1AEM ∠=∠，2CFM ∠=∠，由12EMF ∠=∠+∠，经过等量代换可得结论；（2）过M 作//ME AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．（3）如图②中设BEH x ∠=，PFG y ∠=，则3BEM x ∠=，3MFG y ∠=，设EH 交CD 于K ．证明H x y ∠=-，求出x y -即可解决问题．【详解】（1）如图1，过点M 作//ML AB ，//AB CD ，////ML AB CD ∴，1AEM ∴∠=∠，2CFM ∠=∠，12EMF ∠=∠+∠，M AEM CFM ∴∠=∠+∠；（2）过M 作//ME AB ，//AB CD ，//ME CD ∴，24180BEM DFM ∴∠+∠=∠+∠=︒，1802BEM ∴∠=︒-∠，1804DFM ∠=︒-∠，EN ，FN 分别平分MEB ∠和DFM ∠， 112BEM ∴∠=∠，132DFM ∠=∠， 111113(1802)(1804)180(24)1801301152222∴∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒， 36013360115130115ENF EMF ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒；（3）如图②中设BEH x ∠=，PFG y ∠=，则3BEM x ∠=，3MFG y ∠=，设EH 交CD 于K ．//AB CD ，BEH DKH x ∴∠=∠=，PFG HFK y ∠=∠=，DKH H HFK ∠=∠+∠，H x y ∴∠=-，EMF MGF α∠=∠=，180BQG MGF ∠+∠=︒，180BQG α∴∠=︒-，QMF QMF EMF MGF MFG ∠=∠+∠=∠+∠，3QME MFG y ∴∠=∠=，BEM QME MQE ∠=∠+∠，33180x y α∴-=︒-，1603x y α∴-=︒-， 1603H α∴∠=︒-．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，作出平行线，利用参数解决问题是解题的关键．24．（1）见解析；（2）2∠FBH +∠C ＝180°；（3）80°【分析】（1）过点E 作//EK AB ，由平行线的性质得出,180ABE BEK CEK C ∠=∠∠+∠=︒，进而得出答案；（2）设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=，由平行线的性质得出,HBE BEG FBH FBE HBE βαβ∠=∠=∠=∠-∠=-，由（1）知180ABE C BEC ∠+∠-∠=︒，即可得出答案；（3）设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=，由（1）知2()180E x y ∠=+-︒，过M 作////PQ AB CD ，由平行线的性质得出,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=，求出130E FMN x y ∠+∠=+=︒，即可得出答案．【详解】（1）如图1，过点E 作//EK AB∴ABE BEK ∠=∠∵//AB CD∴//EK CD∴180CEK C ∠+∠=︒∴180ABE C E BEC CEK C BEC CEK C ∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒；（2）∵BF 、EG 分别平分ABE ∠、BEC ∠∴,ABF EBF BEG CEG ∠=∠∠=∠设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=∵//BH EG∴HBE BEG β∠=∠=∴FBH FBE HBE αβ∠=∠-∠=-由（1）知，180ABE C BEC ∠+∠-∠=︒即222()180C C αβαβ+∠-=-+∠=︒∴2180FBH C ∠+∠=︒；（3）∵CN 、BF 分别平分ECD ∠、ABE ∠∴,ABF EBF ECN DCN ∠=∠∠=∠设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=由（1）知：180ABE C E ∠+∠-∠=︒即2()180E x y ∠=+-︒如图3，过M 作////PQ AB CD则,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=∴180180()FMN PMF QMN x y ∠=︒-∠-∠=︒-+130E FMN ∠+∠=︒∴2()180180()130x y x y +-︒+︒-+=︒130x y ∴+=︒∴2()180213018080E x y ∠=+-︒=⨯︒-︒=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、角的和差等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行线是解题关键．25．[问题解决]见解析；[问题迁移]（1）∠APC=α+β；（2）当点P在BN上时，∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．【分析】问题解决：过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED的度数；问题迁移：（1）过P作PQ∥AB，依据平行线的性质，即可得出α，β和∠APC之间满足的数量关系．（2）分两种情况讨论：过P作PQ∥AB，易得当点P在BN上时，∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．【详解】问题解决：如图2，过点E作EF∥AB，∴∠ABE=∠BEF=40°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，∴∠BED=∠B+∠D=40°+60°=100°；问题迁移：（1）如图3，过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，∴∠APC=∠BAP+∠DCP，即∠APC=α+β；（2）如图4，当点P在BN上时，∠APC=β-α；如图5，当点P在OD上时，∠APC=α-β．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠A=72°．【分析】（1）根据题意过点A作平行线AD//MN，证出三条直线互相平行并由平行得出与ACM∠和ABP∠相等的角即可得出结论；（2）由题意利用垂直线定义以及三角形内角和为180°进行分析即可证得A ECN∠=∠；（3）根据题意设MCA ACE ECD x∠=∠=∠=，由（1）列出关系式2702 CFB x ∠=︒-和11352CGB x∠=︒-，解出方程进而得出结论．【详解】证明：（1）过点A作平行线AD//MN，∵AD//MN ，//MN PQ ,∴AD//MN//PQ,∴,MCA DAC PBA DAB ∠=∠∠=∠,∴A DAC DAB MCA PBA ∠=∠+∠=∠+∠.（2）∵//CD AB∴180A ACD ∠+∠=︒∵180ECM ECN ∠+∠=︒又ECM ACD ∠=∠∴A ECN ∠=∠（3）证得MCA ACE ECD ∠=∠=∠ ABP NCD ∠=∠设MCA ACE ECD x ∠=∠=∠=由（1）可知CFB FCN FBQ ∠=∠+∠列出关系式2702CFB x ∠=︒-由（1）可知CGB MCG GBP ∠=∠+∠ 列出关系式11352CGB x ∠=︒- 312702(135)22x x -=︒- 解得：54x =︒结论：72A ∠=︒【点睛】本题考查平行线的性质与判定，结合平行线的性质与判定运用数形结合思维分析是解题的关键.。

初中数学数学第五章相交线与平行线的专项培优练习题(附解析

初中数学数学第五章相交线与平行线的专项培优练习题(附解析一、选择题1．如图，直线AC 和直线BD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°2．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF ∥CG ，则图中与∠A （不包括∠A ）相等的角有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．如图，五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，则∠C +∠D +∠E 的度数为（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．450°4．如图，AB ∥CD ，∠B ＝20°，∠D ＝40°，则∠BED 为（）A ．20°B ．30°C ．60°D ．40°5．如图，OC 是∠AOB 的平分线，直线l ∥OB ．若∠1＝50°，则∠2的大小为（）A ．50°B ．60°C ．65°D ．80°6．如图，//AB CD ，PF CD ⊥于F ，40AEP ∠=︒，则EPF ∠的度数是（）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒7．如图，∠1=70°，直线a 平移后得到直线b ，则∠2-∠3（）A ．70°B ．180°C ．110°D ．80°8．如图，已知AB ∥CD, EF ∥CD ，则下列结论中一定正确的是( )A ．∠BCD= ∠DCE;B ．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360︒;C ．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;D ．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180︒.9．下列命题：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行．其中假命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是（）A ．βαγ∠=∠+∠B ．180αβγ∠+∠+∠=︒C ．90αβγ∠+∠-∠=︒D ．90βγα∠+∠-∠=︒二、填空题11．如图，已知AB 、CD 相交于点O,OE ⊥AB 于O ，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；12．如图，//AB CD ，GF 与AB 相交于点H ，与CD 于F ，FE 平分HFD ∠，若50EHF ∠=︒，则HFE ∠的度数为______．13．已知直线AB ∥CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转至QD 停止，此时射线PB 也停止旋转．（1）若射线PB 、QC 同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC 先转45秒，射线PB 才开始转动，当射线PB 旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．14．如图，已知AB ∥CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E 1，第二次操作，分别作∠ABE 1和∠DCE 1的平分线，交点为E 2，第三次操作，分别作∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，…，第n 次操作，分别作∠ABE n ﹣1和∠DCE n ﹣1的平分线，交点为E n ．若∠E n =1度，那∠BEC 等于________度15．设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，（1）若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；（2）若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；a b，bc ，则a与c的位置关系是________．（3）若//16．如图，请你添加一个条件．．．．使得AD∥BC，所添的条件是__________．17．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，垂足分别是点A、C，如果∠CDB=130°，那么直线AB与BD 的夹角是________度．18．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD=120°，则∠BOD=__________°．19．如图,AC∥BD,AE平分∠BAC交BD于点E,若∠1=62°，则∠2=______.20．如图，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．三、解答题21．如图1，D是△ABC延长线上的一点，CE//AB．（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．（3）如图3，AH//BD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN 平分∠AQG交AH于N，QM//GR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．22．如图1，//,AB CD 直线MN 分别交AB CD 、于点,E F BEF ∠、与EFD ∠的角平分线交于点P EP ，与CD 交于点G GH EG ⊥,交MN 于H ．（1）求证：// ;PF GH （2）如图2，连接PH K ,为GH 上一动点，PHK HPK PO ∠=∠,平分EPK ∠交MN 于,Q 则HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．23．如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=︒．（1）求证：//AD BC ；（2）连结CF ，当//CF AB ，且32CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数；（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．24．如图1．已知直线AB ED ．点C 为AB ，ED 内部的一个动点，连接CB ，CD ，作ABC ∠的平分线交直线ED 于点E ，作CDE ∠的平分线交直线BA 于点A ，BE 和DA 交于点F ．（1）若180FDC ABC ∠+∠=︒，猜想AD 和BC 的位置关系，并证明；（2）如图2，在（1）的基础上连接CF ，则在点C 的运动过程中，当满足CF AB ∥且32CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数． 25．问题情境（1）如图①，已知360B E D ∠+∠+∠=︒，试探究直线AB 与CD 有怎样的位置关系？并说明理由．小明给出下面正确的解法：直线AB 与CD 的位置关系是//AB CD ．理由如下：过点E 作//EF AB （如图②所示）所以180B BEF ∠+∠=︒（依据1）因为360B BED D ∠+∠+∠=︒（已知）所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=︒所以180FED D ∠+∠=︒所以//EF CD （依据2）因为//EF AB所以//AB CD （依据3）交流反思上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？“依据1”：________________________________；“依据2”：________________________________；“依据3”：________________________________．类比探究（2）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件________时，有//AB CD ．拓展延伸（3）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件_________时，有//AB CD ．26．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD ，使点A 的对应点C 在x 轴的正半轴上，点D 在第一象限．（1）若点C 的坐标（k ，0），求点D 的坐标（用含k 的式子表示）；（2）连接BD 、BC ，若三角形BCD 的面积为5，求k 的值；（3）如图2，分别作∠ABC 和∠ADC 的平分线，它们交于点P ，请写出∠A 、和∠P 和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到∠BOC的度数，再根据角平分线即可得出∠3的度数．【详解】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，∴∠1＝∠2＝40°，∴∠BOC＝140°，又∵OE平分∠BOC，∴∠3＝70°．故选：D．【点睛】本题考查了邻补角、对顶角、角平分线的应用，解题时注意运用：对顶角相等，邻补角互补，即和为180°．2．B解析：B【分析】由平行线的性质，可知与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD．【详解】∵AB∥CD，∴∠A=∠ADC；∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE；∵AF∥CG，∴∠EGC=∠AFE=∠A；∵CD∥EF，∴∠EGC=∠DCG=∠A；所以与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD四个，故选B．3．C解析：C【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．【详解】过点D作DF∥AE，交AB于点F，∵AE∥BC，∴AE∥DF∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．C解析：C【分析】过点E作EF∥AB，得∠B=∠BEF=20°，结合AB∥CD知EF∥CD，据此得∠D=∠DEF=40°，根据∠BED=∠BEF+∠DEF可得答案．【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF=20°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF=40°，则∠BED=∠BEF+∠DEF=20°+40°=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行内错角相等的性质和平行与平面内同一直线的两直线平行的性质．5．C解析：C【分析】根据平行线的性质可求∠AOB，再根据角平分线的定义求得∠BOC，再根据平行线的性质可求∠2．【详解】∵l∥OB，∴∠AOB+∠1=180°∴∠AOB＝180°﹣∠1＝130°，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠BOC＝65°，∴∠2＝∠BOC＝65°．故选：C．【点睛】考查了角平分线，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补的知识点．6．B解析：B【分析】过点P作MN∥AB，结合垂直的定义和平行线的性质求∠EPF的度数．【详解】解：如图，过点P作MN∥AB，∵∠AEP=40°，∴∠EPN=∠AEP=40°∵AB∥CD,PF⊥CD于F，∴PF⊥MN，∴∠NPF=90∴∠EPF=∠EPN+∠NPF=40°+90°=130°故答案为B【点睛】本题考查了平行线的判定定理和性质，作出辅助线构造平行线是解答本题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】作AB∥a,先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3，变形可得结果.【详解】作AB∥a,由直线a平移后得到直线b，所以，AB∥a∥b所以，∠2=180°-∠1+∠3，所以，∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.故选：C【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.8．D解析：D【解析】分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.详解：延长DC到H∵AB∥CD，EF∥CD∴∠ABC+∠BCH=180°∠ABC=∠BCD∠CE+∠DCE=180°∠ECH=∠FEC∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.故选D.点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.9．A解析：A【分析】根据平行线的性质、八个基本事实、平行线的判定等知识分别判断即可．【详解】解：同位角不一定相等，①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行，④是真命题，故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质、八个基本事实，熟记八个基本事实，会判断命题的真假是解答的关键．10．C解析：C【分析】分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【详解】如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，∵AB//EF ，∴AB//CM //DN //EF ，∴αBCM ∠∠=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，∴αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠+=++=++，又∵BC CD ⊥，∴BCD 90∠=，∴αβ90γ∠∠∠+=+，即αβγ90∠∠∠+-=，故选C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．二、填空题11．62【详解】∵，，∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.解析：62【详解】∵OE AB ⊥，28EOC ∠=，∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.12．65°【分析】由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE ．【详解】∵∴∠EHF+∠HFD=180°∵∴∠HFD=130°∵平分，∴∠HFE=∠HFD=解析：65°【分析】由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE ．【详解】∵//AB CD∴∠EHF+∠HFD=180°∵50EHF ∠=︒∴∠HFD=130°∵FE 平分HFD ∠，∴∠HFE=12∠HFD=1130652⨯︒=︒ 故答案为：65°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．13．PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E 作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF 和∠QEF 的度数，进而得结论；解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【详解】（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．故答案为：15秒或63秒或135秒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．14．2n ．【解析】如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠解析：2n ．【解析】如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=12∠ABE1+12∠DCE1=12∠CE1B=14∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=12∠ABE2+12∠DCE2=12∠CE2B=18∠BEC；…以此类推，∠E n=12n∠BEC．∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．故答案为2n ．点睛：本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．15．平行平行垂直【解析】根据平行公理的推论，可由，得出a∥c；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由，得到a∥c；根据，，得到a⊥c.故答案为平行，平行，垂直.点睛：由平解析：平行平行垂直【解析】根据平行公理的推论，可由//,//a b b c ，得出a ∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由,a b b c ⊥⊥，得到a∥c；根据//a b ，b c ⊥，得到a⊥c.故答案为平行，平行，垂直.点睛：由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（1）,因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（2），再根据平行线的性质可求解（3）．16．∠EAD＝∠B 或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B 时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAC＝∠C 时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAB+∠B解析：∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C【解析】当∠EAD ＝∠B 时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAC ＝∠C 时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC ，故答案是：∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C 或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.17．50【分析】先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．【详解】∵，，∴，∵，∴，∴直线AB 与BD 的夹角是50度，故答案为：50．【点睛】本题考查了平解析：50【分析】先根据平行线的判定可得//AB CD ，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．【详解】∵AC AB ⊥，AC CD ⊥，∴//AB CD ，∵130CDB ∠=︒，∴18050ABD CDB ∠=︒-∠=︒，∴直线AB 与BD 的夹角是50度，故答案为：50．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、两直线的夹角的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．18．30°【分析】先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．【详解】解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．∵OA 平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=解析：30°【分析】先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．【详解】解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．∵OA 平分∠EOC ，∴∠AOC=12∠EOC=30°（角平分线定义）， ∴∠BOD=30°（对顶角相等）．故答案为：30．【点睛】本题考查由角平分线的定义，结合补角的性质，易求该角的度数．19．121°【分析】由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B 的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC 的度数；又由AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，即可求得∠BAE 的度数，根据三角形外角的性质即解析：121°【分析】由AC ∥BD ，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B 的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC 的度数；又由AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，即可求得∠BAE 的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．【详解】∵AC ∥BD ，∴∠B=∠1=64°，∴∠BAC=180°-∠1=180°-62°=118°，∵AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，∴∠BAE=12∠BAC=59°， ∴∠2=∠BAE+∠B=62°+59°=121°．故答案为121°．【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．20．12【解析】分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的解析：12【解析】分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．故答案为12．点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN ＝12∠ACB ；理由见解析．【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ACE ＝∠A ，∠ECD ＝∠B ，然后通过等量代换即可得出答案；（2）首先根据角平分线的定义得出∠FCD ＝12∠ECD ，∠HAF ＝12∠HAD ，进而得出∠F ＝12（∠HAD+∠ECD ），然后根据平行线的性质得出∠HAD+∠ECD 的度数，进而可得出答案；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义得出12QGR QGD ∠=∠，12NQG AQG ∠=∠，180MQG QGR ∠+∠=︒ ，再通过等量代换即可得出∠MQN ＝12∠ACB ．【详解】解：（1）∵CE //AB ，∴∠ACE ＝∠A ，∠ECD ＝∠B ，∵∠ACD ＝∠ACE+∠ECD ，∴∠ACD ＝∠A+∠B ；（2）∵CF 平分∠ECD ，FA 平分∠HAD ，∴∠FCD ＝12∠ECD ，∠HAF ＝12∠HAD ， ∴∠F ＝12∠HAD+12∠ECD ＝12（∠HAD+∠ECD ）， ∵CH //AB ，∴∠ECD ＝∠B ，∵AH //BC ，∴∠B+∠HAB ＝180°，∵∠BAD ＝70°，110B HAD ∴∠+∠=︒，∴∠F ＝12（∠B+∠HAD ）＝55°；（3）∠MQN ＝12∠ACB ，理由如下： GR 平分QGD ∠，12QGR QGD ∴∠=∠． GN 平分AQG ∠，12NQG AQG ∴∠=∠． //QM GR ，180MQG QGR ∴∠+∠=︒ ．∴∠MQN ＝∠MQG ﹣∠NQG＝180°﹣∠QGR ﹣∠NQG＝180°﹣12（∠AQG+∠QGD ）＝180°﹣12（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC ）＝12（∠CQG+∠QGC ）＝12∠ACB ．【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．22．（1）详见解析；（2）HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．【分析】（1）利用平行线的性质推知180BEF EFD ∠+∠=︒；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥，故结合已知条件GH EG ⊥，易证//PF GH ；（2）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得49039022∠=︒-∠=︒-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知14522QPK EPK ∠=∠=︒+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得HPQ ∠的大小不变，是定值45︒．【详解】解：（1）证明：如图1，//AB CD ，180BEF EFD ∴∠+∠=︒．又BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，1()902FEP EFP BEF EFD ∴∠+∠=∠+∠=︒， 90EPF ∴∠=︒，即EG PF ⊥．GH EG ⊥，//PF GH ∴；（2）HPQ ∠的大小不发生变化，理由如下：如图2，12∠=∠， 322∠=∠∴．又GH EG ⊥，49039022∠=︒-∠=︒-∠∴．18049022EPK ∠=︒-∠=︒+∠∴．PQ ∵平分EPK ∠，14522QPK EPK ∴∠=∠=︒+∠． ∴245HPQ QPK ∠=∠-∠=︒，∴HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④//a b ，////b c a c ⇒．23．（1）证明见解析；（2）∠BCD ＝108°；（3）70°【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF ＝∠DAB ，由角平线的定义得出∠EDF ＝∠FDC ，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；（2）设∠DCF ＝x ，则∠CFB ＝1.5x ，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF ＝1.5x ，由角平分线的定义得出∠ABC ＝3x ，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x 的方程，求解即可；（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF ＝∠CBF ，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC 与∠FDC ，由平移的性质与平行公理的推论得出AD ∥PQ ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．【详解】解：（1）证明：∵AB ∥DE ，∴∠EDF ＝∠DAB ，∵DF 平分∠EDC ，∴∠EDF ＝∠FDC ，∴∠FDC ＝∠DAB ，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（2）∵32CFB DCF∠=∠，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，∵CF∥AB，∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，∵AD∥BC，∴∠FDC+∠BCD＝180°，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠BCD＝∠ABC＝3x，∴∠BCF＝2x，∵CF∥AB，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴3x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠BCD＝3×36°＝108°；（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，∴BF∥CD，∴∠CDF +∠BFD＝180°，∵AD∥BC，∴∠CBF +∠BFD＝180°，∴∠CDF＝∠CBF，∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠FDC＝60°，∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，∴BC∥PQ，∵AD∥BC，∴AD∥PQ，∵∠PQD﹣∠QDC＝20°，∴∠QDC＝∠PQD﹣20°，∴∠FDC+∠QDC +∠PQD＝60°+∠PQD﹣20°+∠PQD＝180°，∴∠PQD＝70°，即∠DQP＝70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．24．（1）AD BC ∥，见解析；（2）108°【分析】（1）//AD BC ，根据角平分线的性质可知EDF FDC ∠=∠，又因为//AB ED ，因此EDF DAB ∠=∠，推出FDC DAB ∠=∠，再结合已知条件即可得出结论；（2）设DCF x ，则32CFB x ∠=，根据平行线的的性质有32ABF CFB x ∠=∠=，再根据角平分线性质可得23ABC ABF x ∠=∠=，又因为//AD BC ，推出3BCD ABC x ∠=∠=，2BCF x ∠=，由//CF AB 得180ABC BCF ∠+∠=︒，从而可解得x 的值，即可得出答案．【详解】解：（1）//AD BC ．证明如下：∵//AB ED ，∴EDF DAB ∠=∠，∵DF 平分EDC ∠，∴EDF FDC ∠=∠，∴FDC DAB ∠=∠，∵180FDC ABC ∠+∠=︒，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∴//AD BC ．（2）∵32CFB DCF ∠=∠， ∴设DCF x ，则32CFB x ∠=， ∵//CF AB ， ∴32ABF CFB x ∠=∠=， ∵BE 平分ABC ∠，∴23ABC ABF x ∠=∠=，由（1）得//AD BC ，∴180FDC BCD ∠+∠=︒，∵180FDC ABC ∠+∠=︒，∴3BCD ABC x ∠=∠=，∴2BCF x ∠=，∵//CF AB ，∴180ABC BCF ∠+∠=︒，即32180x x +=︒，解得36x =︒，∴3108BCD x ∠==︒．【点睛】本题考查的主要知识点是平行线的判定及性质以及角平分线的性质，根据图形找准角与角之间的关系是解此题的关键．25．（1）两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）∠B ＋∠E ＋∠F ＋∠D ＝540°；（3）∠B ＋∠E ＋∠D －∠F ＝180°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定，平行公理的推论回答即可；（2）过点E 、F 分别作GE ∥HF ∥CD ，根据两直线平行，同旁内角互补及已知条件求得同旁内角∠ABE ＋∠BEG ＝180°，得到AB ∥GE ，再根据平行线的传递性来证得AB ∥CD ；（3）过点E 、F 分别作ME ∥FN ∥CD ，根据两直线平行，内错角相等及已知条件求得同旁内角∠B ＋∠BEM ＝180°，得到AB ∥ME ，再根据平行线的传递性来证得AB ∥CD ．【详解】解：（1）由题意可知：“依据1”：两直线平行，同旁内角互补；“依据2”：同旁内角互补，两直线平行；“依据3”：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）当∠B 、∠E 、∠F 、∠D 满足条件∠B ＋∠E ＋∠F ＋∠D ＝540°时，有AB ∥CD ．理由：如图，过点E 、F 分别作GE ∥HF ∥CD ，则∠GEF ＋∠EFH ＝180°，∠HFD ＋∠CDF ＝180°，∴∠GEF ＋∠EFD ＋∠FDC ＝360°；又∵∠B ＋∠BEF ＋∠EFD ＋∠D ＝540°，∴∠ABE ＋∠BEG ＝180°，∴AB ∥GE ，∴AB ∥CD ；（3）当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B＋∠E＋∠D－∠F＝180°时，有AB∥CD．如图，过点E、F分别作ME∥FN∥CD，则∠MEF＝EFN，∠D＝∠DFN，∵∠B＋∠BEF＋∠D－∠EFD＝180°，∴∠B＋∠BEM＋∠MEF＋∠D－∠EFN－∠DFN＝180°，∴∠B＋∠BEM＝180°，∴AB∥ME，∴AB∥CD．【点睛】本题考查平行线的判定和性质的综合应用，作出合适的辅助线，灵活运用平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．26．（1）D（k+2，2）；（2）k＝2；（3）∠BPD＝12∠BCD+12∠A，理由详见解析【分析】（1）由平移的性质可得出答案；（2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案；（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出∠PBA＝12∠ABC，∠PDC＝12∠ADC，即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，∴D（k+2，2）；（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，∴1(12)(k4)2⨯+⨯+＝111(k2)22522⨯⨯++⨯⨯+，解得：k＝2．（3）∠BPD＝12∠BCD+12∠A；理由如下：过点P作PE∥AB，如图2所示：∴∠PBA＝∠EPB，∵线段AB平移至线段CD，∴AB∥CD，∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠PBA＝12∠ABC，∠PDC＝12∠ADC，∴∠BPD＝12∠ABC+12∠ADC＝12∠BCD+12∠A．【点睛】本题考查了平移的综合问题，掌握平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键．。

七年级下册相交线与平行线培优训练(含答案)

七年级下册相交线与平行线培优训练1．如图，若∠1＝∠2，∠A＝∠3．则可以推出AC∥DE．请完成下面的推理过程：因为∠1＝∠2，所以AB∥所以∠A＝∠4又因为∠A＝∠3，所以∠3＝∠所以AC∥DE2．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2+∠3＝180°（1）证明：AD∥EF．（2）若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．3．如图，AB∥CD，AB＝CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠BAE＝∠DCF．（1）求证：AE＝CF；（2）连结AF、EC，若AE＝AF，试猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的结论．4．【问题原型】如图①，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，则∠M＝∠B+∠D，小明解决上述问题的过程如下：如图②，过点M作MN∥AB则∠B＝（）∵AB∥CD，（已知）MN∥AB（辅助线的做法）∴MN∥CD（）∴∠＝∠D（）∴∠B+∠D＝∠BMD请完成小明上面的过程．【问题迁移】如图③，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，猜想∠M、∠B、∠D之间有怎样的数量关系，并加以说明．【推广应用】（1）如图④，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N，∠M＝96°，则∠N＝°；（2）如图⑤，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N，∠N＝25°，则∠M＝°；（3）如图⑥，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠G＝78°，∠F＝64°，∠E＝64°，则∠M＝°．5．感知：如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠P、∠A、∠C满足的数量关系是．探究：如图②，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则∠APC、∠A、∠C满足的数量关系是．请补全以下证明过程：证明：如图③，过点P作PQ∥AB∴∠A＝∵AB∥CD，PQ∥AB∴∥CD∴∠C＝∠∵∠APC＝∠﹣∠∴∠APC＝应用：（1）如图④，为北斗七星的位置图，如图⑤，将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，其中B、C、D三点在一条直线上，AB∥EF，则∠B、∠D、∠E满足的数量关系是．（2）如图⑥，在（1）问的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E 分别作射线BP和EP，交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝25°，则∠D﹣∠P＝°．6．如图，直线AB与CD相交于点O，OD平分∠BOE．（1）图中∠AOD的补角是（把符合条件的角都填出来）；（2）若∠AOC＝28°，求∠BOE的度数．7．如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）．（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，则∠BEC＝°；（2）在（1）的条件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；（3）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝m°（m＞90°）（如图2），则∠AEG﹣∠CEG ＝°（用m的代数式表示）．8．如图，射线OA∥射线CB，∠C＝∠OAB＝120°．点D、E在线段BC上，且∠DOB＝∠BOA，OE平分∠DOC．（1）说明AB∥OC的理由；（2）求∠BOE的度数；（3）平移线段AB，若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC＝∠OBA，试求此时∠OEC 的度数．9．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D、E是边AB上的点，DG∥AC，EF∥BC，DG、EF 相交于点H．（1）∠HDE与∠HED是否相等？并说明理由．解：∠HDE＝∠HED．理由如下：∵DG∥AC（已知）∴＝（）∵EF∥BC（已知）∴＝（）又∵∠A＝∠B（已知）∴＝（）．（2）如果∠C＝90°，DG、EF有何位置关系？并仿照（1）中的解答方法说明理由．解：．理由如下：10．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的角平分线．（1）若∠AOC＝25°，求∠BOD和∠COE的度数；（2）若∠AOC＝α，求∠EOM的度数（用含α的代数式表示）．参考答案1．解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CE，∴∠A＝∠4（两直线平行，内错角相等，∵∠A＝∠3，∴∠3＝∠4，∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行），故答案为：CE，（内错角相等，两直线平行），4，（内错角相等，两直线平行）．2．（1）证明：∵∠1＝∠BDE，∴AC∥DE，∴∠2＝∠ADE，∵∠2+∠3＝180°，∴∠3+∠ADE＝180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1＝∠BDE，∠1＝40°，∴∠BDE＝40°，∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝BDE＝20°，∴∠2＝∠ADE＝20°，∵∠2+∠3＝180°∴∠3＝160°，∵FE⊥AF，∴∠F＝90°，∴∠B＝360°﹣90°﹣160°﹣40°＝70°，在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠1﹣∠B＝180°﹣40°﹣70°＝70°．3．（1）证明：∵AB∥CD∴∠B＝∠D又∵AB＝CD，∠BAE＝∠DCF∴△BAE≌△DCF（ASA）∴AE＝CF（2）四边形AECF是菱形，证明如下：由（1）△BAE≌△DCF得：∠AEB＝∠CFD∴∠AEF＝∠CFE∴AE∥CF又∵AE＝CF∴四边形AECF为平行四边形∵AE＝AF∴四边形AECF为菱形．4．解：【问题原型】如图①，过点M作MN∥AB，则∠B＝∠BMN（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，（已知）∴MN∥AB（辅助线的做法）∴MN∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠NMD＝∠D（两直线平行，内错角相等）∴∠B+∠D＝∠BMD，故答案为：∠BMN，两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两直线平行，∠NMD，两直线平行，内错角相等，【问题迁移】过点M作MN∥AB，∴∠1＝∠B，∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴∠NMD＝∠D，∵∠NMD＝∠1+∠BMD，∴∠BMD＝∠D﹣∠B；【推广应用】如图④，由如图①的结论可得，∠ABM+∠CDM＝∠M＝96°，∠N＝∠ABN+∠CDN，∵BN，DN分别平分∠ABM，∠CDM，∴∠ABN+∠CDN＝＝（∠ABM+∠CDM）＝48°，∴∠N＝48°；如图⑤，由如图②的结论可得，∠M＝∠CDM﹣∠ABM，∵BN，DN分别平分∠ABM，∠CDM，∴∠CDN﹣∠ABN＝∠CDM﹣∠ABM＝（∠CDM﹣∠ABM）＝M＝∠N＝25°，∴∠M＝50°；如图⑥，过G，F，E分别作GN∥AB，FH∥AB，EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD，∴∠2＝∠GFH，∠3＝∠EFH，∴∠2+∠3＝∠GFE＝64°，∴∠1+∠4＝∠BGF+∠DEF﹣∠GFE＝78°，∵AB∥GN，EP∥CD，∴∠ABG＝∠1，∠CDE＝∠4，∴∠ABG+∠CDE＝78°，∵BM，DM分别平分∠ABG，∠CDE，∴∠ABM＝∠ABG，∠CDM＝∠CDE，由如图①中的结论可得∠M＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABG+∠CDE）＝78°＝39°，故答案为：48，50，39．5．解：感知：如图①，过点P作PQ∥AB∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，PQ∥AB∴PQ∥CD，∴∠C＝∠QPC，∴∠APQ+∠QPC＝∠A+∠C，∠APC＝∠A+∠C．故答案为∠P＝∠A+∠C；探究：证明：如图③，过点P作PQ∥AB∴∠A＝∠APQ∵AB∥CD，PQ∥AB∴PQ∥CD∴∠C＝∠CPQ∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ∴∠APC＝∠A﹣∠C．故答案为：∠APC＝∠A﹣∠C，∠APQ，PQ，∠CPQ，∠APQ，∠CPQ，∠A﹣∠C．应用：（1）如图⑤，过点D作DH∥EF，∴∠HDE＝∠E，∵AB∥EF，DH∥EF∴AB∥DH，∴∠B+∠BDH＝180°，即∠BDH＝180°﹣∠B，∴∠HDE+∠BDH＝∠E+180°﹣∠B，即∠BDE+∠B﹣∠E＝180°，故答案为∠D+∠B﹣∠E＝180°，（2）如图⑥，过点P作PH∥EF，∴∠EPH＝∠NEP，∵AB∥EF，PH∥EF，∴AB∥PH，∴∠MBP+∠BPH＝180°，∵BD平分∠MBP，∠MBD＝25°，∠MBP＝2∠MBD＝2×25°＝50°，∠BPH＝180°﹣50°＝130°，∵EN平分∠DEP，∴∠NEP＝∠DEN∴∠BPE＝∠BPH﹣∠EPH＝∠BPH﹣∠NEP＝∠BPH﹣∠DEN＝130°﹣（180°﹣∠DEF）＝∠DEF﹣50°由①∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180°，∵∠MBD＝25°，∴∠ABD＝155°，∴∠D+∠155°﹣∠DEF＝180°，∴∠DEF＝∠D﹣25°∴∠BPE＝∠DEF﹣50°＝∠D﹣25°﹣50°＝∠D﹣75°∠D﹣∠BPE＝75°即∠D﹣∠P＝75°，故答案75．6．解：（1）由图示可得，∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD+∠BOD＝180°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠DOE，∴∠AOD+∠DOE＝180°，故∠AOD的补角是∠AOC、∠BOD、∠EOD；故答案为：∠AOC、∠EOD、∠DOB．（2）∵直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝28°，∴∠BOD＝∠AOC＝28°．又∵OD平分∠BOE，∴∠BOE＝2∠BOD＝56°．答：∠BOE的度数是56°．7．解：（1）设∠BEC＝x°，根据题意，可列方程：180﹣x＝3（90﹣x），解得x＝45°，故∠BEC＝45°故答案为：45°（2）∵∠CEG＝∠AEG﹣25°∴∠AEG＝180°﹣∠BEC﹣∠CEG＝180°﹣45°﹣（∠AEG﹣25°）＝160°﹣∠AEG ∴∠AEG＝80°（3）∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，设∠AEF＝∠DEF＝α，∠AEG＝∠FEG﹣∠AEF＝m﹣α，∠CEG＝180°﹣∠GEF﹣DEF ＝180﹣m﹣α，∴∠AEG﹣∠CEG＝m﹣α﹣（180﹣m﹣α）＝2m﹣180故答案为：2m﹣1808．解：（1）∵OA∥CB，∴∠OAB+∠ABC＝180°，∵∠C＝∠OAB＝120°，∴∠C+∠ABC＝180°，∴AB∥OC（2）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°，∵OE平分∠COD，∴∠COE＝∠EOD，∵∠DOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB＝∠AOC＝×60°＝30°；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OD是∠AOC的四等分线，∴∠COE＝∠AOC＝×60°＝15°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝45°9．解：（1）∠HDE＝∠HED．理由如下：∵DG∥AC（已知）∴∠A＝∠HDE（两直线平行，同位角相等）∵EF∥BC（已知）∴∠B＝∠HED（两直线平行，同位角相等）又∵∠A＝∠B（已知）∴∠HDE＝∠HED（等量代换）．（2）DG⊥EF．理由如下：∵EF∥BC∴∠AFE＝∠C＝90°∵AC∥DG∴∠DHE＝∠AFE＝90°∴DG⊥EF．故答案为：∠A，∠HDE，两直线平行，同位角相等；∠B，∠HED，两直线平行，同位角相等；∠HDE，∠HED，等量代换．DG⊥EF．10．解：（1）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝25°，∴∠BOD＝∠AOC＝25°，∠COE＝90°﹣∠AOC＝65°；（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOD＝α，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠BOE＝∠DOF＝90°，∴∠BOF＝90°﹣α，∵OM是∠BOF的角平分线，∴∠BOM＝∠BOF＝45°﹣α，∴∠EOM＝90°﹣∠BOM＝45°+α．。

七年级数学(下)第五章《相交线与平行线——平行线的判定》练习题含答案

七年级数学（下）第五章《相交线与平行线——平行线的判定》练习题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面几种说法中，正确的是A．同一平面内不相交的两条线段平行B．同一平面内不相交的两条射线平行C．同一平面内不相交的两条直线平行D．以上三种说法都不正确【答案】C2．如图所示，若∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，则A．l3∥l4B．l2∥l5C．l1∥l5D．l1∥l2【答案】D【解析】因为∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，可知∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°，所以∠1=∠4，根据内错角相等，两直线平行可得l1∥l2，故选D．3．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140°D．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°【答案】D4．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等【答案】A【解析】三角板的∠CAB，沿着FE进行平移后角的大小没变，而平移前后的两个角是同位角，所以画图原理是“同位角相等，两直线平行”．5．如图，给出下面的推理：①∵∠B=∠BEF，∴AB∥EF；②∵∠B=∠CDE，∴AB∥CD；③∵∠B+∠BEC=180°，∴AB∥EF；④∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF.其中正确的是A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B二、填空题：请将答案填在题中横线上．6．在同一平面内有四条直线a、b、c、d，已知：a∥d，b∥c，b∥d，则a和c的位置关系是__________．【答案】a∥c【解析】∵a∥d，b∥c，b∥d，∴a∥c．故答案为：a∥c．7．如图，直线a、b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件__________（填一个即可）．【答案】答案不唯一，如∠1=∠3．【解析】∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故答案为：∠1=∠3.8．如图所示，若∠1=70°，∠2=50°，∠3=60°，则________________∥________________.【答案】DE；AC三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．如图，已知∠1=∠3，AC平分∠DAB，你能推断出哪两条直线平行？请说明理由．【解析】可以推断出DC∥AB，理由如下：∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2(角平分线的定义)，又∵∠1=∠3，∴∠2=∠3(等量代换)，∴DC∥AB(内错角相等，两直线平行).10．如图，若∠1与∠B互为补角，∠B=∠E，那么直线AB与直线DE平行吗？直线BC与直线EF平行吗？为什么？【解析】BC∥EF，理由如下：∵∠1+∠B=180°，∴AB∥DE，∵∠1+∠B=180°，∠B=∠E.∴∠1+∠E=180°，又∠1=∠2，∴∠2+∠E=180°，∴BC∥EF.11．如图，已知∠A+∠ACD+∠D=360°，试说明:AB∥DE.12．如图，∠1=65°，∠2=65°，∠3=115°.试说明:DE∥BC，DF∥AB．根据图形，完成下面的推理:因为∠1=65°，∠2=65°，所以∠1=∠2.所以__________∥__________．（__________）因为AB与DE相交，所以∠1=∠4（__________），所以∠4=65°.又因为∠3=115°，所以∠3+∠4=180°.所以__________∥__________.（__________）。

2024-2025学年人教版数学七年级下学期《第5章相交线与平行线》测试卷及答案解析

A．3.5
B．4
10．如图，下列说法错误的是（）
C．5.5
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D．6.5
A．∠A 与∠B 是同旁内角
B．∠1 与∠3 是同位角
C．∠2 与∠A 是同位角
D．∠2 与∠3 是内错角
11．下列所示的四个图形中，∠1 和∠2 是同位角的是（）
A．①②
B．②③
12．如图，∠BAC 和∠BCA 是（）
A．A 点
B．B 点
C．C 点
8．下列图形中，线段 MN 的长度表示点 M 到直线 l 的距离的是（
D．D 点）
A．
B．
C．
D．
9．如图，A 是直线 l 外一点，过点 A 作 AB⊥l 于点 B，在直线 l 上取一点 C，连结 AC，使
AC＝2ABLeabharlann P 在线段 BC 上连结 AP．若 AB＝3，则线段 AP 的长不可能是（）
循反射定律发生反射，当光线 PQ 经过 n 次反射后与边 OA 或 OB 平行时，称角为定角α
的 n 阶平行逃逸角，特别地，当光线 PQ 直接与 OA 平行时，称角β为定角α的零阶平行
逃逸角．
（1）已知∠AOB＝α＝20°，
①如图 1，若 PQ∥OA，则∠BPQ＝
°，即该角为α的零阶平行逃逸角；
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25．已知，如图，∠1＝∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠5，∠2＝∠4，∠ABC+∠BCD＝180°，
C．110°
D．100°
3．如图，若 AB，CD 相交于点 O，∠AOE＝90°，则下列结论不正确的是（）
A．∠EOC 与∠BOC 互为余角
B．∠EOC 与∠AOD 互为余角

人教版数学七年级下册第五章相交线与平行线单元提优训练(答案)

人教版数学七年级下册第五章相交线与平行线单元提优训练一、选择题1.下列选项中能由下图平移得到的是（）A. B. C.D. 2.如图，经过直线l 外一点A 作l 的垂线，能画出（）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条 3.如图所示，在这些四边形AB 不平行于CD 的是（）A .B. C. D. 4.将一直角三角板与两边平行纸条按如图所示的方式放置，有下列结论：（1）12∠=∠；（2）34∠=∠；（3）2490∠+∠=︒；（4）45180∠+∠=︒.其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.下列说法正确的有( ) ①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在同一平面内，过一点可以画一条直线垂直于已知直线；④在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图所示，若∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，则（）A. 3l∥4lB. 2l∥5lC. 1l∥5lD. 1l∥2l7.如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（）A.14°B. 15°C. 16°D. 17°8.下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是( ) A. B. C. D. 9.如图,有以下四个条件：①∠B+∠BCD=180°,②∠1=∠2,③∠3=∠4,④∠B=∠5.其中不能判定AB∥CD的条件是( )A. ①B. ②C. ③D. ④10.下列命题中，是假命题的是( )A. 相等的角是对顶角B. 若|x|＝3，则x＝±3C. 同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种D. 两点确定一条直线二、填空题11.工人师傅在架设电线时，为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可，这样做的道理是______________________________．12.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x＝_____．13.如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1=50°，则∠A= ．14.如图，在A，B两地挖一条笔直的水渠，从A地测得水渠的走向是北偏西42°，A，B两地同时开工，B 地所挖水渠走向应为南偏东______.15.如图：（1）如果∠1＝∠B，那么_______∥_______，根据是___________________________．（2）如果∠3＝∠D，那么_______∥_______，根据是___________________________．（3）如果要使BE∥DF，必须∠1＝∠_______，根据是___________________________．16.如图所示，FE⊥CD，∠2＝25°，猜想当∠1＝______时，AB∥C D.三、解答题17.如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．18.如图，已知：∠B=∠D+∠E，试说明：AB∥CD．19.如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C 的度数．20.如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．21.已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°..求证：AB∥CD解：过点P作PE∥AB.∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠1＋∠A＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∠2＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠1＋∠A＋∠2＋∠C＝360°.又∵∠APC＝∠1＋∠2，∴∠APC＋∠A＋∠C＝360°.如图乙和图丙，AB∥CD，请根据上述方法分别探索两图中∠P与∠A，∠C之间的关系．23.填写推理理由，将过程补充完整：如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，AD平分∠BAC.求证：∠E＝∠1.证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴∠ADC＝∠EFC＝90°(垂直的定义)．∴____________(_____________)．∴∠1＝_____(_____________)，∠E＝_____(_______________)．又∵AD平分∠BAC(已知)，∴_____＝________．∴∠1＝∠E(等量代换)．人教版数学七年级下册第五章相交线与平行线单元提优训练一、选择题1.下列选项中能由下图平移得到的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平移的性质，图形只是位置变化，其形状与方向不发生变化进而得出即可．【详解】能由左图平移得到的是：选项C.故选C.【点睛】考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键.2.如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条【答案】D【解析】【分析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．【详解】经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，故选D．【点睛】本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 3.如图所示，在这些四边形AB 不平行于CD 的是（） A. B. C. D.【答案】D【解析】A 是平行四边形，由此可以判定对边AB 平行于CD ；B 是梯形，由此可以判定上底AB 平行于下底CD ；C 是正方形，由此可以判定对边AB 平行于CD ；D 是一般的四边形，AB 不平行于CD ．故选:D.4.将一直角三角板与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，有下列结论：（1）12∠=∠；（2）34∠=∠；（3）2490∠+∠=︒；（4）45180∠+∠=︒.其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】根据平行线性质可知（1）（2）（4）正确，根据平角定义可知（3）正确.【详解】解：∵纸条两边平行，∴12∠=∠，34∠=∠，45180∠+∠=︒∵直角三角板，∴2418090=90∠+∠=︒-︒︒，∴（1）（2）（3）（4）均正确，故选D.【点睛】本题主要考查了平行线的性质和平角的定义，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键.5.下列说法正确的有( )①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在同一平面内，过一点可以画一条直线垂直于已知直线；④在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题强调过一点作已知直线的存在性和唯一性．点的位置可以在直线上，也可以在直线外，且只有一条．【详解】解：由垂线的性质可知①②③正确．故选C【点睛】本题主要考查了垂线的性质，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，属于基础题，正确把握相关知识是解题关键．6.如图所示，若∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，则（）A. 3l∥4lB. 2l∥5lC. 1l∥5lD. 1l∥2l【答案】C【解析】解：∵∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，∴∠1=∠4（同角的补角相等），∴l1∥l5（内错角相等，两直线平行）．故选C．7.如图，有一块含有30°角直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（）A. 14°B. 15°C. 16°D. 17°【答案】C【解析】【分析】依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°．【详解】如图，∵∠ABC=60°，∠2=44°，∴∠EBC=16°，∵BE∥CD，∴∠1=∠EBC=16°，故选C．【点睛】考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．8.下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】根据邻补角的意义，可知两个角有一条公共边，有一个角的边是另一角的边的延长线，因此可知D 符合条件，且∠1+∠2=180°.故选D.9.如图,有以下四个条件：①∠B+∠BCD=180°,②∠1=∠2,③∠3=∠4,④∠B=∠5.其中不能判定AB∥CD的条件是( )A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．【详解】①∵∠B+∠BDC=180∘，∴AB∥CD；②∵∠1=∠2，∴AD∥BC；③∵∠3=∠4，∴AB∥CD；④∵∠B=∠5，∴AB∥CD；∴能得到AB∥CD的条件是①③④．故选B【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理10.下列命题中，是假命题的是( )A. 相等的角是对顶角B. 若|x|＝3，则x＝±3C. 同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种D. 两点确定一条直线【答案】A【解析】【分析】根据命题与定理进行一一判断可得答案.【详解】解:A.相等的角不一定是对顶角.是假命题.B为真命题；C为真命题；D为真命题；故选A.【点睛】本题主要考查命题与定理的定义与判断.二、填空题11.工人师傅在架设电线时，为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可，这样做的道理是______________________________．【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行【解析】【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，∴为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可．故答案为平行于同一条直线的两条直线互相平行．【点睛】本题考查平行线的判定，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题关键．12.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x＝_____．【答案】40或80【解析】当这两个角是对顶角时，(2x-10) =(110-x)，解之得x=40;当这两个角是邻补角时，(2x-10) +(110-x) =180，解之得x=80;∴x的值是40或80.点睛：本题考查了两条直线相交所成的四个角之间的关系及分类讨论的数学思想，两条直线相交所成的四个角或者是对顶角的关系，或者是邻补角的关系，明确这两种关系是解答本题的关键.13.如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1=50°，则∠A= ．【答案】50°【解析】试题分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠A．∵AB∥CD，∴∠A=∠1，∵∠1=50°，∴∠A=50°，考点：平行线的性质14.如图，在A，B两地挖一条笔直的水渠，从A地测得水渠的走向是北偏西42°，A，B两地同时开工，B 地所挖水渠走向应为南偏东______.【答案】42°【解析】试题解析：因为两个北方向是平行的,即AC∥BD,所以A点北偏西的角与B点南偏东的角是内错角,因此它们都等于42°.故答案为42°.15.如图：（1）如果∠1＝∠B，那么_______∥_______，根据是___________________________．（2）如果∠3＝∠D，那么_______∥_______，根据是___________________________．（3）如果要使BE∥DF，必须∠1＝∠_______，根据是___________________________．【答案】（1）AB；CD；同位角相等，两直线平行；（2）BE；DF；内错角相等，两直线平行；（3）∠D；同位角相等，两直线平行.【解析】解：（1）如果∠1=∠B，那么AB∥CD，根据是同位角相等，两直线平行；（2）如果∠3=∠D，那么BE∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；（3）如果要使BE∥DF，必须∠1=∠D，根据是同位角相等，两直线平行．故答案为（1）AB，CD，同位角相等，两直线平行；（2）BE，DF，内错角相等，两直线平行；（3）∠D，同位角相等，两直线平行．16.如图所示，FE⊥CD，∠2＝25°，猜想当∠1＝______时，AB∥C D.【答案】65°【解析】【分析】根据平行线的判定方法得出∠1=∠NED的位置关系即可得出答案．【详解】解：∵FE⊥CD，∠2=25°，∴∠NED=65°，当∠1=65°时，则AB∥CD．故答案为65°．【点睛】本题考查平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定得出角之间的关系．三、解答题17.如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．【答案】37°【解析】试题分析：根据已知直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE=127°，由邻补角互补、对顶角相等，可以求得∠AOF的度数．试题解析：解：∵AB⊥CD，∴∠DOB＝90°．∵∠DOE＝127°，∴∠BOE＝∠DOE－∠DOB＝127°－90°＝37°，∴∠AOF ＝∠BOE＝37°．18.如图，已知：∠B=∠D+∠E，试说明：AB∥CD．【答案】说明见解析.【解析】试题分析：根据三角形的外角的性质可得∠BFD=∠D+∠E，则∠B=∠BFD，根据内错角相等，两直线平行，即可证得．试题解析：∵∠BFD=∠D+∠E，又∵∠B=∠D+∠E，∴∠B=∠BFD，∴AB∥CD．考点：平行线的判定．19.如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C 的度数．【答案】50°【解析】试题分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．试题解析：解：∵EF∥BC，∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，∵AC平分∠BAF，∠BAF=50°，∴∠CAF=12∴∠C=∠CAF=50°．考点：平行线的性质．20.如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．⑴连结AD，BC，交于点H，则H为所求的蓄水池点．于K，沿HK开挖，可使开挖的渠最短，依据是：“点与直线的连线中，垂线段最短”．（如⑵过H作HK EF图）21.已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.求证：AB∥CD.【答案】证明见解析【分析】要证AB∥CD，只需证∠1=∠4，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得∠4=60°，进而可证出AB∥CD.【详解】∵GH⊥CD，∴∠CHG＝90°.又∵∠2＝30°，∴∠3＝60°.∴∠4＝60°.又∵∠1＝60°，∴∠1＝∠4.∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).22.阅读下列解答过程：如图甲，AB∥CD，探索∠P与∠A，∠C之间的关系．解：过点P作PE∥AB.∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠1＋∠A＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∠2＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠1＋∠A＋∠2＋∠C＝360°.又∵∠APC＝∠1＋∠2，∴∠APC＋∠A＋∠C＝360°.如图乙和图丙，AB∥CD，请根据上述方法分别探索两图中∠P与∠A，∠C之间的关系．【答案】图乙：∠APC＝∠A＋∠C；图丙：∠C－∠A＝∠APC.【解析】【分析】图乙中，过P作PE∥AB.则AB∥CD∥PE，接着利用内错角相等转化角之间的关系；图丙中，过点P作PF∥AB. 接着利用内错角相等转化角之间的关系.【详解】解：如图乙，过点P作PE∥AB.∵AB∥CD(已知)，∴PE∥AB∥CD(平行于同一直线的两条直线平行)．∴∠A＝∠EPA，∠EPC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．∵∠APC＝∠EPA＋∠EPC，∴∠APC＝∠A＋∠C(等量代换)．如图丙，过点P作PF∥AB.∴∠FPA＝∠A(两直线平行，内错角相等)．∵AB∥CD(已知)，∴PF∥CD(平行于同一直线的两条直线平行)．∴∠FPC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．∵∠FPC－∠FPA＝∠APC，∴∠C－∠A＝∠APC(等量代换)．【点睛】本题的解题关键是正确的作出辅助线，利用平行线的性质找到角之间的关系.23.填写推理理由，将过程补充完整：如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，AD平分∠BAC.求证：∠E＝∠1.证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴∠ADC＝∠EFC＝90°(垂直的定义)．∴____________(_____________)．∴∠1＝_____(_____________)，∠E＝_____(_______________)．又∵AD平分∠BAC(已知)，∴_____＝________．∴∠1＝∠E(等量代换)．【答案】见解析【解析】分析】由AD垂直于BC，EF垂直于BC，得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到AD与EF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AD角平分线得到一对角相等，等量代换即可得证．【详解】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴∠ADC＝∠EFC＝90°(垂直的定义)．∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．∴∠1＝∠BAD(两直线平行，内错角相等)，∠E＝∠CAD(两直线平行，同位角相等)．又∵AD平分∠BAC(已知)，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠1＝∠E(等量代换)．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．。

部编数学七年级下册第五章相交线与平行线提优测试卷(解析版)含答案

第五章相交线与平行线提优测试卷（解析版）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题要求的）1．下列说法不正确的是（）A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．直线外一点到这条直线的垂线段长，叫做点到直线的距离C．在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交D．直线c外一点A与直线c上几点连接而成的线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm思路引领：本题强调过一点作已知直线的存在性和唯一性．点的位置可以在直线上，也可以在直线外，且只有一条．解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，这是垂线的性质，故本选项不符合题意；B、直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故本选项不符合题意；C、在同一平面内，如果两条直线相交成直角，则我们就说这两条直线互相垂直；所以两条直线互相垂直，这两条直线一定相交，故本选项不符合题意；D、直线c外一点A与直线C上几点连接而成的线段中，最短线段的长是3cm，但是该线段不一定是垂线段，所以点A到直线c的距离不一定是3cm，故本选项符合题意；故选：D．总结提升：本题主要考查了点到直线的距离，垂线．垂线的性质：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．2．如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等思路引领：作图时保持∠1＝∠2，则可判定两直线平行．解：∵∠1＝∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故选：A．总结提升：本题主要考查了平行线的判定．平行线的判定方法有：（1）定理1：同位角相等，两直线平行；（2）定理2：内错角相等，两直线平行；（3）定理3：同旁内角互补，两直线平行；（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．3．如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2思路引领：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠2和∠3是对顶角，正确；B、∠1和∠3是同旁内角，错误；C、∠1和∠4是同位角，错误；D、∠1和∠2不是对顶角，错误．故选：A．总结提升：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．4．如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（）A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位思路引领：根据网格结构，可以利用一对对应点的平移关系解答．解：根据网格结构，观察对应点A、D，点A向左平移5个单位，再向下平移2个单位即可到达点D的位置，所以平移步骤是：先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位．故选：A．总结提升：本题考查了生活中的平移现象，利用对应点的平移规律确定图形的平移规律是解题的关键．5．如图所示，同位角共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对思路引领：根据两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角进行判断．解：如图，∠1与∠2，∠3与∠4分别是两对同位角．故选：B．总结提升：本题主要考查了同位角的定义，是需要识记的内容．6．如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（）A．50°B．60°C．140°D．160°思路引领：因∠1和∠2是邻补角，且∠1＝40°，由邻补角的定义可得∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°．解：∵∠1+∠2＝180°又∠1＝40°∴∠2＝140°．故选：C．总结提升：本题考查了利用邻补角的概念计算一个角的度数的能力．7．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130思路引领：首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案．解：如图：故选：A．总结提升：此题考查了平行线的判定．注意数形结合法的应用，注意掌握同位角相等，两直线平行．8．如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角有（）个．A．2B．4C．5D．6思路引领：根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等，找出与∠1是同位角和内错角的角或与∠1相等的角的同位角或内错角即可．解：根据两直线平行，同位角相等、内错角相等，与∠1相等的角有：∠2、∠3、∠4、∠5、∠6共5个．故选：C．总结提升：本题主要考查两直线平行，内错角相等、同位角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．9．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（）A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°C．x+y+z＝180°D．y+z﹣x＝90°思路引领：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，则∠CDE＝∠E+∠CNE，即∠CNE＝y﹣z∵CM∥AB，AB∥EF，∴CM∥AB∥EF，∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，∵∠BCD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y﹣z＝90°．故选：B．总结提升：本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．10．如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．68°B．58°C．48°D．32°思路引领：因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE得∠2＝∠3；平角构建∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．解：如图所示：∵AD∥FE，∴∠2＝∠3，又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠1＝32°，∴∠3＝58°，∴∠2＝58°，故选：B．总结提升：本题综合考查了平行线的性质，直角，平角和角的和差相关知识的应用，重点是平行线的性质．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）11．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等　．思路引领：命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．总结提升：本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．12．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝　20　°．思路引领：本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和进行做题．解：∵直尺的两边平行，∴∠2＝∠4＝50°，又∵∠1＝30°，∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°．故答案为：20．总结提升：本题重点考查了平行线的性质及三角形外角的性质，是一道较为简单的题目．13．如图，已知AB∥CD，∠α＝　85°　．思路引领：过∠α的顶点作AB的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后求解即可．解：如图，过∠α的顶点作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＝180°﹣120°＝60°，∠2＝25°，∴∠α＝∠1+∠2＝60°+25°＝85°．故答案为：85°．总结提升：本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．14．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于　50　°．思路引领：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF＝∠FED′，最后求得∠AED′的大小．解：∵AD∥BC，∴∠EFB＝∠FED＝65°，由折叠的性质知，∠DEF＝∠FED′＝65°，∴∠AED′＝180°﹣2∠FED＝50°．故∠AED′等于50°．总结提升：此题考查了翻折变换的知识，本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．15．如图，a∥b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝　360　°．思路引领：首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．解：过点P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故答案为：360．总结提升：此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a是解决问题的关键．16．如图，∠C＝120°，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是　∠BEC＝60°（答案不唯一）　．思路引领：欲证AB∥CD，在图中发现AB、CD被一直线所截，且已知一同旁内角∠C＝120°，故可按同旁内角互补两直线平行补充条件．解：因为∠C＝120°，要使AB∥CD，则要∠BEC＝180°﹣120°＝60°（同旁内角互补两直线平行）．故答案为：∠BEC＝60°（答案不唯一）．总结提升：此题考查平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．17．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是　74°　．思路引领：过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1＝∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1＝∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数．解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．∵入射角等于反射角，∴∠1＝∠3，∵CD∥OB，∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2＝∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°，∴∠2＝90°﹣37°＝53°；∴在△DEF中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝74°．故答案为：74°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．18．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积是　36　cm2．思路引领：根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．解：∵平移的距离是边BC长的两倍，∴BC＝CE＝EF，∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；∴四边形ACED的面积＝12×3＝36cm2．总结提升：本题的关键是得出四边形ACED的面积是三个△ABC的面积．然后根据已知条件计算．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOB＝90°，OC平分∠AOF，∠AOF＝40°，求∠EOD的度数．思路引领：根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等求出∠BOD的度数，根据互余的性质计算即可．解：∵OC平分∠AOF，∠AOF＝40°，∴∠AOC=12∠AOF＝20°，∴∠BOD＝20°，∵∠EOB＝90°，∴∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝70°．总结提升：本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键．20．将直角梯形ABCD平移得梯形EFGH，若HG＝10，MC＝2，MG＝4，求图中阴影部分的面积．思路引领：根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFDM的面积．解：∵阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，等于梯形EFGH的面积减去梯形EFDM的面积，∴阴影部分的面积等于梯形DHGM的面积，∵HG＝10，MC＝2，MG＝4，∴S阴＝S DHGM=12×（8+10）×4＝36．总结提升：主要考查了梯形的性质和平移的性质．要注意：平移前后图形的形状和大小不变．本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的面积，恰好等于梯形EFGH 的面积减去梯形EFDM的面积．21．如图，已知：∠1＝∠2，∠D＝50°，求∠B的度数．思路引领：此题首先要根据对顶角相等，结合已知条件，得到一组同位角相等，再根据平行线的判定得两条直线平行．然后根据平行线的性质得到同旁内角互补，从而进行求解．解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠EHD，∴∠1＝∠EHD，∴AB∥CD；∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°．总结提升：综合运用了平行线的性质和判定，难度不大．22．如图，长方形ABCD，E为AB上一点，把三角形CEB沿CE对折，设GE交DC于点F，若∠EFD＝80°，求∠BCE的度数．思路引领：由于AB∥CD，那么∠DFE＝∠BEF，即可得到∠BEF的度数，由折叠的性质知：∠BEC的度数是∠BEF的一半，进而可在Rt△BEC中，根据互余角的性质求得∠BCE的度数．解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，∠B＝90°，∴∠BEF＝∠DFE＝80°，根据折叠的性质知：∠BEC＝∠FEC＝40°，则∠BCE＝90°﹣∠BEC＝50°．总结提升：此题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及平行线的性质，难度不大．23．已知：EF∥AD，AB∥DG，求证：∠BEF＝∠ADG．思路引领：根据两直线平行内错角相等、同位角相等，即可得出结论．解：∵EF∥AD，∴∠BEF＝∠BAD，∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠ADG，∴∠BEF＝∠ADG．总结提升：本题考查了平行线的性质，两直线平行内错角相等、同位角相等，同胖内角互补，是需要同学们熟练记忆的内容．24．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．思路引领：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCE的度数，再根据角平分线的定义求出∠BCN的度数，然后再根据CM⊥CN即可求出∠BCM的度数．解：∵AB∥CD，∠B＝40°，∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°，∵CN是∠BCE的平分线，∴∠BCN=12∠BCE=12×140°＝70°，∵CM⊥CN，∴∠BCM＝20°．总结提升：本题利用平行线的性质和角平分线的定义求解，比较简单．25．如图，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠P＝90°，设∠BAP＝α．（1）用α表示∠ACP；（2）求证：AB∥CD；（3）若AP∥CF，求证：FC平分∠DCE．思路引领：（1）由角平分线的定义可得∠PAC＝α，在Rt△PAC中根据直角三角形的性质可求得∠ACP；（2）结合（1）可求得∠ACD，可证明∠ACD+∠BAC＝180°，可证明AB∥CD；（3）由平行线的性质可得∠ECF＝∠CAP，∠ECD＝∠CAB，结合条件可证得∠ECF＝∠FCD，可证得结论．（1）解：∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP＝α，∵∠P＝90°，∴∠ACP＝90°﹣∠CAP＝90°﹣α；（2）证明：由（1）可知∠ACP＝90°﹣α，∵CP平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠ACP＝180°﹣2α，又∠BAC＝2∠BAP＝2α，∴∠ACD+∠BAC＝180°，∴AB∥CD；（3）证明：∵AP∥CF，∴∠ECF＝∠CAP＝α，由（2）可知AB∥CD，∴∠ECD＝∠CAB＝2α，∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝α，∴∠ECF＝∠DCF，∴CF平分∠DCE．总结提升：本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．26．（1）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．证明：如图①过点E作EF∥AB．∴∠A＝∠1（　两直线平行，内错角相等　）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（辅助线作法）∴CD∥EF（　平行于同一直线的两条直线平行　）∴∠2＝∠DCE（　两直线平行，内错角相等　）∵∠AEC＝∠1+∠2∴∠AEC＝∠A+∠DCE（　等量代换　）（2）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°（3）如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为　70°　．（请直接写出答案）思路引领：（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠A＝∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2＝∠DCE，即可得出结论；（2）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，即可得出结论；（3）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∵EF∥AB（辅助线作法），∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）证明：过点E作EF∥AB，如图②所示：∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．总结提升：本题考查了平行线的判定与性质；正确作出辅助线和平行线的判定和性质是解题的关键．。

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