2021届安徽省皖南八校高三上学期第二次联考数学(文)试题 PDF版
k 4 1 5, S 2 26 5 57 ；第六次循环：k 5 1 6, S 2 57 6 120 ，满足条件则输出 S 的
值，而此时 k 6 ，因此判断框内应填入的条件是 k 5．故选 B．
6．D 设阴影部分的面积为 S，结合几何概型公式可得：
S
4 ，解得 S 4 3 ．故选：D．
A． 2 e
B． 1 e
C． 1 2e
D． 1 3e
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2x y 2 0
13．已知
x，y
满足不等式组
x
2
y
1„
0
，则点 P(x, y) 所在区域的面积等于_________．
x 0
uuur uuur
uuuur uuur uuur ruuru
y sin a
为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
2 2
cos
4
2
．
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 60°的直线 m，直线 m 与直线 l 交于点 A，求 | PA | 的取值范围．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
21．（12 分）抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，准线为 l，点 P 为抛物线上一点， PA l ，垂足为 A，
若直线 AF 的斜率为 3 ，且| PF | 4 ．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若过 F 的直线与曲线 C 交于 P，Q 两点，直线 OP,OQ 与直线 x 1 分别交于 A，B 两点，试判断以 AB
60
q
y
总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 2 ． 3
（1）能否有 99.5%的把握认为注射此疫苗有效？ （2）在未感染病毒的小白鼠中，按木注射疫苗和注射疫苗的比例抽取 5 只进行病理分析，然后从这 5 只小 白鼠中随机抽取 3 只对注射疫苗的情况进行核实，求恰有 1 只为未注射过疫苗的概率． 附：下面的临界值表仅供参考．
1．已知集合
A
x|x2„
1 4
，集合
B
y|y
1 x2
，则 A B （
）
A．
1 2
,
1 2
B．
1 2
,1
C．
1 2
,
D．
0,
1 2
2．若复数 z 满足 z i(1 3i) ，则复数 z 的虚部为（ ）
A．1 B．2 C．i D． 2i
3．已知
a
1
23
,
b
log2
1 3
,
c
log3
3
6
锥 SO 中，E 为线段 SC 上一点，且 EC 1 ． SE 8
（1）求证： SC 平面 OAE ； （2）求点 O 到平面 SEA 的距离．
20．（12 分）已知函数 f (x) x2 2ax ln x x2 3ax ．
（1）求函数 f ( x) 的单调递增区间；
（2）若 f ( x) 极大值大于 2，求 a 的取值范围．
P K 2…k0 0.15
k0
2.072
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
参考公式： K 2
n(ad bc)2
,n a bcd ．
(a b)(c d )(a c)(b d )
19．（12 分）已知圆锥 SO 的侧面展开图为如图所示的半径为 3，圆心角为 2 的扇形，扇形中 ASC ．圆
A． 10 B． 5 C．3 D．5
11．抛物线 x2
2 py( p
0) 的焦点
F
恰好是双曲线
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0) 的上焦，且两条曲线的交
点连线过 F，则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 2 1 B． 2 2 C． 2 1 D． 2 2 1
12．已知函数 f (x) aex 与 g(x) ln x 1存在公切线，则实数 a 的最小值（ ）
x2 b2
1得|
AB
|
2b2 a
将
y
c 代入
x2 2 py( p 0) 得 | AB | 2 p ，∴ 2b2 2 p 即 b2 p 由两曲线共焦点，∴ p c ，∴ b2 2c ．∴
a
a
2
a
c2 a2 2ca 0 ．∴ e2 2e 1 0 ．∴ e 1 2 ，故选 C．
12．B 设 f (x) aex 和 g(x) ln x 1的切点分别为 m, aem ,(n,ln n 1) ，则 f (x) 和 g(x) 切线方程分
B． 34 3
C． 31 5
D． 27 4
9．已知函数
f
(x)
cos
x sin x e|x|
x5
，则函数
f
( x) 的大致图像为（
）
A．
B．
C．
D．
10．若过原点 O 的动直线 l 将圆 E : (x 1)2 ( y 2)2 10 分成的两部分面积之差最大时，直线 l 与圆 E
的交点记为 A，B，则三角形 ABE 的面积为（ ）
（1）设函数 f (x) | x 2 | | x a | ，若关于 x 的不等式 f (x)…3 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围；
（2）已知正数 x，y，z 满足 x 2 y 3z 1，求 3 2 1 的最小值． xyz
“皖南八校”2021 届高三第二次联考·数学（文科） 参考答案、解析及评分细则
选项符合条件．
10．D 动直线 l 将圆 E 分成的两部分面积之差最大，即过原点的弦最短，弦心距最大，则 l OE 此时
| AB | 2 10 OE2 2
5 ，则
SVABE
1 2
|
AB
|| OE
|
1 2
2
5
5 5，故选 D．
11．C
设抛物线与双曲线的两个交点分别为
A，B．将
y
c 代入
y2 a2
寸）
A．5362.5 尺和 7270 尺 C．5662.5 尺和 7270 尺
B．5362.5 尺和 7470 尺 D．5662.5 尺和 7470 尺
8．已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心 O 的距离等于球半径的一半， AB 2,ACB 45 ，则球 O
的表面积为（ ）
A． 32 3
和城市的东南角 C 和东北角 B 平齐．面向标杆 E 退 5 步到达 G 处，从 G 处向城市西北角 A 看，视线交绳
索 EF 于距离东端的标杆 E2 丈 2 尺 6.5 寸的 H 处．从 G 处再退到距离标杆 E13 步 2 尺的 I 处，再向城市西
北角 A 望去，刚好和西边的标杆 F 重合．问城市的长 AB 和 BE 有多远？（1 丈=10 尺，1 步=6 尺，1 尺=10
“皖南八校”2021 届高三第二次联考 数学（文科）
2020.12
考生注意： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、草．稿．纸．上．作．答．无．效．． 3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选題目的题号涂黑． 一、选择题：本题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，已知曲线
C
:
x
3 cos a （a 为参数），在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴
2
，则（
）
A． a b c B． c a b C． c b a D． a c b
4．若等差数列an 各项都是正数， a1 a2 a3 21 ，且 a3 a4 a5 45 ，则 a1 的值为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．2 5．执行如下图所示的程序框图，若输出的 S 120 ，则判断框内应填入的条件是（ ）
x 30 30
①
y 22.65
x 80 80 ② y 60
得 x 7470, y 5662.5
故选：D ．
8．A 如图所示 O1 ，O 分别为的三角形 ABC 外接圆圆心和球的球心，设三角形 ABC 外接圆半径和球的球
的半径分别为 r，R，由正弦定理 2r AB 2 sin ACB
2 ，∴ r
2
，由图可知
R2
R 2
2
r2
，∴
R2
8 3
，
∴球的表面积 S 4 R2 32 ． 3
9．B
f
(x)
cos x sin x e|x|
x5
f
(x)
，得函数
f
( x) 为奇函数，可排除
C
选项；且
f
6
cos 6
sin 6
| |
e6
6
5
0，
2024-2025学年安徽省“皖南八校”高三上学期第二次联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省“皖南八校”高三上学期第二次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 是虚数单位，复数z 满足(2−i)z =3−i ，那么z 的虚部是( ) A. 15B. 75C. 75iD. 15i2.已知集合A ={x|x 2−8x −20<0}，B ={x|x−13x−3≤0}，则(∁R B)∩A =( )A. [−2,3]B. (−2,3]C. (−2,3)D. (−2,13]3.已知样本数据x 1，x 2，x 3，x 4的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本的方差是( ) A.107B. 4C. 52D. 474.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH ，其中OA =2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GF⃗⃗⃗⃗⃗ )=( )A. 4B. 4√ 2C. 8D. 8√ 25.已知抛物线x 2=2py(p >0)，点A(4,4)在抛物线上，点B(0,3)，若P 点是抛物线上的动点，则|PB|的最小值为( ) A. 8B. 2√ 2C. 9D. 36.已知函数f(x)=x(lnx +ax)的图象与x 轴相切，则a 的值为( ) A. 1eB. −1eC. eD. −e7.已知正方体ABCD −A′B′C′D′的棱长为4，AC′是正方体的一条体对角线，P 为正方体表面上的动点，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则点P 的轨迹曲线长度总和为( ) A. 2πB. 12πC. 12√ 2πD. 12√ 3π8.若关于x 的方程(cos2x −sinx +2)⋅cosωx =0(ω>0)在[0,2π]上有且仅有3个解，则ω的取值范围为( )A. [34,54)B. [54,74)C. [54,32)∪(32,74)D. [34,1)∪(1,54)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021届安徽省皖南八校高三上学期第二次联考数学(文)试题及答案
易知 | BG | | EG | , | BI | | EI | ． | AB | | HE | | AB | | EF |
设 BE x, AB y ，则
x 30 30
①
y 22.65
x 80 80 ② y 60
得 x 7470, y 5662.5
故选：D．
8．A 如图所示 O1 ，O 分别为的三角形 ABC 外接圆圆心和球的球心，设三角形 ABC 外接圆半径和球的
尺=10 寸）
2
A．5362.5 尺和 7270 尺 B．5362.5 尺和 7470 尺 C．5662.5 尺和 7270 尺 D．5662.5 尺和 7470 尺
8．已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心 O 的距离等于球半径的一半， AB 2, ACB 45 ，则球 O
的表面积为（ ）
3．D
∵
a
20
，∴
a
1 ，∵
log2
1 3
log2
1
，∴
b
0
，∴
log3
1
log3
2
log3
3
，∴
0
c
1
．∴
a c b ．故选择 D．
4．B ∵an 为等差数列， a1 a2 a3 21 ，∴ 3a2 21，∴ a2 7 ．∵ a3 a4 a5 45 ，∴
3a4
45 ，∴ a4
15, d
_____．
15．函数 f ( x) 的导数为 f ( x) ，且 f ( x) x2 2 f (0)x tan x ，则 f (0) f (0) ______．
16．an 为公差不为 0 的等差数列，且 ak1 , ak2 , ak3 , akn 恰为等比数列，其中 k1 3, k2 5, k3 9 ，则 kn
安徽省皖南八校2021届高三第二次(12月)联考数学(文科)试题
本题主要考查了几何概型，属于中档题.
4．A
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质，估算三个数的大致范围，即可比较大小.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 .
故选A.
【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的增减性，属于中档题.
5．C
【分析】
由三角形面积公式可求b,再根据余弦定理可求c.
【详解】
A． B． C． D．
9．已知曲线 ，则过点 ，且与曲线 相切的直线方程为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
10．已知函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则
A． B． C． D．
11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为 ，且长为 的棱与长为 的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）
（Ⅰ）在侧棱 上找一点 ，使 平面 ，并证明你的结论；
（Ⅱ）若 ， ，求四棱锥 的体积.
19．如图，已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，过原点 的直线与椭圆 相交于 、 两点，且 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ， ，过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 、 两点，证明： .
20．已知函数 .
（Ⅱ）若函数 的最小值为 ，且 ，求 的最小值.
参考答案
1．B
【分析】
化简集合A,根据交集求解.
【详解】
因为 ,
所以 .
故选B.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集，属于中档题.
2．C
【解析】
【分析】
计算 ，根据实部，虚部确定复数 对应的点所在的象限.
【详解】
安徽省皖南八校高三第二次联考试卷
20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：2021届安徽省皖南八校高三第二次联考试卷可能用到的原子量：H－1 C－12 N－14 O－16 Na－23 Mg－24 Al－27 S－32 Cl－35．5 P－31第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本题包括16小题，每小题3分，共48分。
每小题只有1个选项符合题意）1．20XX年8月28日上午，我国首条纤维乙醇生产线——河南天冠集团3000吨级纤维乙醇项目，在镇平开发区开工奠基。
这一项目打破了过去单纯以粮食类原料生产乙醇的历史，使利用秸秆类纤维质原料生产乙醇成为现实。
下列有关说法中不正确．．．的是：A．用这种纤维乙醇部分替代成品油，有助于缓解日益增长的成品油需求。
B．这一项目不仅使秸秆类废物得到科学利用，而且能为国家节约大量粮食。
C．乙醇能部分替代汽油作车用燃料是因为乙醇与汽油组成元素相同，化学成分相似。
D．掺入10％燃料乙醇的乙醇汽油可以使汽车尾气中一氧化碳排放量下降。
2．下列各组中的物质，互为同位素的是：A．16O2与17O3B．甲醇与乙醇C．2—甲基丁烷与戊烷D．重氢与超重氢3．物质氧化性、还原性的强弱，不仅与物质的结构有关，还与物质的浓度和反应温度有关，下列各组物质：①Cu与浓硝酸；②Fe与浓硫酸；③Na与氧气；④P2O5与水，由于反应温度不同而能发生不同氧化还原反应的是：A．②③④ B．②③ C．①②③ D．③④4．要提纯下列物质（括号内物质为杂质），实验操作最合理的是：A．CO2（SO2）：通入盛有品红溶液的冼气瓶后收集B．Fe+2（Fe+3）：加KSCN溶液后过滤C．Cl2（HCl）：通过盛有饱和氯化钠水溶液的洗气瓶后收集D．氯化铵溶液（FeCl3）：加足量NaOH溶液后过滤5．下列反应的离子方程式书写正确的是：A．向NH4HSO4稀溶液中逐滴加入Ba（OH）2稀溶液至刚好沉淀完全：Ba2＋2OH-＋NH+4＋H+＋SO-24====BaSO4↓＋NH3H2O＋H2OB．碳酸钙溶于醋酸：CaCO3＋2H+====Ca+2＋CO2↑＋H2OC．向硅酸钠溶液中通入过量的CO2：SiO-23＋CO2＋H2O====H2SiO3↓＋CO-23D．澄清石灰水与少量苏打溶液混合：Ca+2＋OH-＋HCO-3====CaCO3↓＋H2O6．设NA为阿伏加德罗常数，下列说法正确的是：A．lmol甲基正离子（CH3）所含电子数为8NAB．标准状况下将0.5 molSO2气体与0.5molH2S气体混合后，气体的分子总数为NAC．500mL 0．5mol／L的Ca（ClO）2溶液中，含有ClO-的数目为0．5NAD．31g自磷分子中有NA个P—P键7．20XX年10月8日，贵州省余庆县龙溪镇发生因为亚硝酸盐引起的食品中毒事件，17人被确定为亚硝酸盐中毒，其中一人死亡。
安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学文试题含答案
“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则A B =（ ）A.(],1-∞-B.[]0,1C.(][),01,-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞2.已知命题:0p x ∀>，33x x >.则p ⌝为（ ） A.0x ∀>，33x x ≤B.0x ∀≤，33x x ≤C.00x ∃>，0303xx ≤D.00x ∃≤，0303xx ≤3.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 值分别为3，4，5，则输出的a 值为（ ）A.2B.3C.4D.54.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A.()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A.10B.26.函数2sin 2xy x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.7.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A.x =B.2x =-C.y =D.2y =-8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A.72里B.60里C.48里D.36里9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A.)122π+B.)122π+C.32π+2 10.若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A.)41B.)41C.12D.411.若曲线()()21x f x ax e -=+在点()()2,2f 处的切线与40x y +=垂直，则a 的值为（ ）A.0B.1C.2D.312.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A.1010B.-2020C.2020D.4040第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(),a b 是平面区域2001x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，内的任意一点，则3a b -的最小值为_____________.14.已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________.15.已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3564a a =，则10S 的值为___________. 16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE DCF -和一个四棱锥P ABCD -组合而成的，其中2EF EA EB ===，AE EB ⊥，PA PD ==//PAD 平面EBCF .（1）证明：平面//PBC 平面AEFD .（2）若直三棱柱ABE DCF -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V . 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知函数()22xf x e mx x =--（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，讨论()f x 的单调性； （2）若[)0,x ∈+∞时，()12ef x >-恒成立，求m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线30x y -+=上，且2a b +=+（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（文科）参考答案、解析及评分细则1.C ∵(][),11,A =-∞-+∞，故选C.2.C 命题p 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“00x ∃>，0303xx ≤”.3.D4B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +，所以42222x+=， 所以1x =，所以2b =.6.D 令()2sin 2xf x x =， 因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xxf x x x f x --=--=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ； 因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 7.B由题意2221322a b ⎛=== ⎝⎭，∴b = 8.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为()2111122S ππ=⨯⨯+⨯⨯)1122222π+⨯⨯=+.10.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =-+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.11.B 由题意()()21x ax a e f x -+'=+，()()023131f a e a '=+=+，直线40x y +=的斜率为14-，∴()11431a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭+，解得1a =. 12.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称， 即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点； 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++-+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y -+++-+-++++-+-=⎤⎦.13.-2 作出不等式组2001a b a b +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩表示的可行域，当0a =，2b =时，目标函数3z a b =-取得最小值-2.42122iz i i+==-，故12z i =-=. 15.1023 由3564a a =，得2464a =，又数列{}n a 的各项都为正数，所以48a =.设等比数列{}n a 的公比为q，则2q ===.所以()1010112102312S -==-.16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ 由题意，函数满足()()20f x f x -+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点，此时31e k =-，解得13e k +=.直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点，此时51e k =-，解得15e k +=.直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =.所以要使得函数()()2g x f x kx k =--有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=， 所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，.……………………………………4分 因为0B π<<，所以3B π=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sina c bA CB====，三角形ABC面积112sin 4sin sin sin cos 22232S ac B A C A A A A π⎛⎛⎫==⨯⋅=-=+ ⎪⎝⎭⎝13sin sin 222246A A A A π⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分 当且仅当3Aπ=时，262A ππ-=，此时ABC △.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+-⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分 （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH .由题知，PH AD ⊥，且2PH =，又因为AE EB ⊥，三棱柱ABE DCF -为直三棱柱，所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD .因为平面//PAD 平面EBCF ，所以AE ⊥平面PAD ，因为PH ⊂平面PAD ，所以AE PH ⊥，又因为AEAD A =，所以PH ⊥平面AEFD ，所以//PH BE ，又因为2PH BE ==，所以四边形PHEB 为平行四边形，所以//PB HE ，因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD ，所以//PB 平面AEFD ，同理可证//PC 平面AEFD ，又因为PBPC P =，所以平面//PBC 平面AEFD .…………………6分（2）由题知，直三棱柱ABE DCF -的体积1142V EB EA EF =⨯⨯⨯=，四棱锥P ABCD -的体积2118222323P ABD B PAD V V V AD PH AE --==⨯⨯⨯⨯==⨯，所以1243823V V ==.………………12分20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分 所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）当0m =时，()2xf x e x =-，()2xf x e '=-，.…………………………………………1分 令()20xf x e '=-≤，得ln 2x ≤，令()20xf x e '=-≥，得ln 2x ≥.………………………….3分所以函数()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增.………………………………4分（2）()12e f x >-恒成立，即2212x ee x mx --+>恒成立. 当0x =时，对于任意的m R ∈，202e->恒成立；.…………………………………………5分当0x >时，即2212x ee x m x--+<恒成立.……………………………………………………6分 令()2212x e e x g x x--+=，则()()2422212x x e e x x e x g x x ⎛⎫----+⎪⎝⎭'=. 整理得()()3222x x e x e g x x -++-'=，.……………………………………………………7分令()()222xh x x e x e =-++-，注意到()10h =，()()12xh x x e '=-+，再令()()12xx x e ϕ=-+，则()0xx xe ϕ'=>，.…………………………………………8分所以()x ϕ在()0,+∞单调递增，()()010x ϕϕ>=>，即()0h x '>.所以()h x 在()0,+∞单调递增.……………………………………………………9分 又()10h =，故知在()0,1上()0h x <，在()1,+∞上()0h x >.从而()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增.………………………………………………10分故()()min 2121112ee e g x g --+===-，.……………………………………………………11分因为2212x ee x m x --+<在[)0,+∞恒成立， 所以12em <-.……………………………………………………………………12分22.解析：（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分 （2）若直线l的斜率不存在，则1322S ==.1 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++-= 设()11,A x y ，()22,C x y ， 则122412km x x k +=-+，()21222212m x x k -⋅=+，()121222212my y k x x m k +=++=+.由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y++=，所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m ===.综上可得，PAC△面积S .………………………………………………12分。
安徽省皖南八校2021届高三上学期12月联考数学试卷(文科) Word版含解析
安徽省皖南八校2021届高三上学期12月联考数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．复数z 满足=i，则z=( )A．﹣i B．i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z 满足=i，∴==﹣i﹣1．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．集合A={x|x2﹣2x＞0}，集合B是函数y=lg（2﹣x）的定义域，则A∩B=( )A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用不等式的性质、对数函数的定义域和交集性质求解．解答：解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，集合B是函数y=lg（2﹣x）的定义域，即B={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，∴A∩B={x|x＜0}=（﹣∞，0）．故选：A．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意不等式的性质、对数函数的定义域和交集性质的合理运用．3．已知函数f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=sin2x，则f （﹣）=( )A ．B ．﹣C ．D ．﹣考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用偶函数的定义，再由已知区间上的函数解析式，结合诱导公式和特殊角的三角函数值，即可得到．解答：解：函数f（x）是偶函数，则f（﹣x）=f（x），则f （﹣）=f （），且x≥0时，f（x）=sin2x，则有f （）=sin=sin（4）=sin =．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查三角函数的求值，考查运算力量，属于基础题．4．为调查某中学同学平均每人每天参与体育熬炼时间X（单位：分钟），按熬炼时间分下列四种状况统计：①0～10分钟；②10～20分钟；③20～30分钟；④30分钟以上．有2000名中同学参与了此项活动．下表是此次调查中的频数分布表．国家规定中同学每天参与体育熬炼时间达到30分钟以上者，才能保持良好健康的身体进展，则平均每天保持良好健康的身体进展的同学的频率是( )组距[0，10） [10，20）[20，30）[30，+）频数400 600 800 200A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4考点：频率分布表．专题：概率与统计．分析：依据频率分布表，利用频率=，求出频率即可．解答：解：依据频率分布表，得；每天保持良好健康的身体进展的同学的频率，即每天参与体育熬炼时间达30分钟以上的同学的频率是=0.1．故选：A．点评：本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，解题时应熟记公式，是基础题．5．已知等比数列{a n}的公比为q，且a1＞0，则“q＞0”是“数列{a n}为递增数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：分充分性和必要性考虑，留意q的范围q＞0且q≠1．解答：解：等比数列{a n}的公比为q，且a1＞0，为大前提，且q＞0，且q≠1，充分性：“q＞0”时，例如0＜q＜1，推不出“数列{a n}为递增数列”，充分性不成立；必要性：“数列{a n}为递增数列”，则q＞1，可推出“q＞0”，必要性成立；综上，“q＞0”是“数列{a n}为递增数列”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题考查充要条件，综合等比数列的相关学问求解．6．设a=log5（2π），b=log 5，c=log 6( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较；方根与根式及根式的化简运算．专题：函数的性质及应用．分析：由于（2π）2≈39.4＞39，可得a＞b ．又＞=c，即可得出．解答：解：∵（2π）2≈39.4＞39，∴a=log5（2π）＞log 5=b．又∵＞=c，∴a＞b＞c．故选：A．点评：本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式，考查了计算力量，属于基础题．7．执行如图所示的程序框图，输出的Z值为( )A．80 B．480 C．1920 D．3840考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：依据题意，模拟程序运行的过程，即可得出输出的结果是什么．解答：解：模拟程序运行的过程，如下；第1次运行时，S=log210，a=8；第2次运行时，S=log210+log28，a=6；第3次运行时，S=log210+log28+log26，a=4；第4次运行时，S=log210+log28+log26+log24=log21920，a=2；此时恰好满足a＜3，∴输出Z==1920．故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序运行的过程，以便得出正确的结果．8．已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为( )A ．B ．C ．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：依据几何体的三视图，得出该几何体是底面为钝角三角形，高为2的直三棱柱，求出它的体积即可．解答：解：依据几何体的三视图得，该几何体是一个直三棱柱，底面三角形是钝角三角形，其三边长分别为1、、；且底面三角形的面积为S=×1×1=，棱柱的高为h=2，∴该三棱柱的体积为V=Sh=×2=1．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应依据三视图得出几何体是什么图形，是基础题．9．设x，y 满足约束条件，若目标函数z=的最大值为2，则z的最小值为( )A ．B ．C ．D．1考点：简洁线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：作出约束条件，从而得z1=﹣，z2=﹣，z3=﹣；z4=﹣；故最大值为﹣=2，从而求得．解答：解：作出约束条件，表示的可行域如右图的阴影部分所示，阴影部分四边形四顶点为（0，0），（1，0），（2，3），（0，1）；则z1=﹣，z2=﹣，z3=﹣；z4=﹣；由条件知m＜0，故﹣=2，则m=﹣6；故z 的最小值为．故选C．点评：本题考查了简洁线性规划的应用，属于中档题．10．直线l过抛物线y2=4x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点B在x轴下方，若直线l的倾斜角θ≤，则|FB|的取值范围是( )A．（1，4+2]B．（1，3+2]C．（2，4+2]D．（2，6+2]考点：抛物线的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，抛物线y2=4x的焦点F（1，0）．当θ=时，直线l的斜率k=﹣1，直线l的方程为y=﹣（x﹣1），与抛物线方程联立可得x2﹣6x+1=0，解得x=3±2，取x=3+2，可得|FB|的最大值为3+2+1．由于直线l的倾斜角θ≤，即可得出|FB|的取值范围．解答：解：如图所示，抛物线y2=4x的焦点F（1，0）．当θ=时，直线l的斜率k=﹣1，直线l的方程为y=﹣（x﹣1），联立，化为x2﹣6x+1=0，解得x=3±2，取x=3+2，可得|FB|的最大值为3+2+1=4+2．∵直线l的倾斜角θ≤，∴|FB|的取值范围是（1，4+2]．故选：A．点评：本题考查了直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题，考查了计算力量，属于基础题．二、填空题：每小题5分，共25分．11．曲线y=在x=处切线与x 轴交点坐标为（π，0）．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程求得切线方程，再令y=0，即可得到交点坐标．解答：解：y=的导数为y′=，在x=处切线的斜率为：=﹣，则曲线在点（）处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0，可得，x=π，即交点为（π，0）．故答案为：（π，0）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，留意导数的运算，考查点斜式方程及运用，考查运算力量，属于基础题．12．设向量=（4，1），=（1，﹣cosθ），若∥，则cos2θ=﹣．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，求出cosθ的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，代入即可求出值．解答：解：∵=（4，1），=（1，﹣cosθ），∥，∴1=﹣4cosθ，∴cosθ=﹣，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及平面对量的数量积运算法则，娴熟把握公式及法则是解本题的关键，属于基本学问的考查．13．已知等差数列{a n}中，a2=2，a4=8，若a bn=3n﹣1，则b 2021=2022．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a n=﹣1+（n ﹣1）×3=3n﹣4，从而a n+1=3n﹣1，由此得到b n=n+1，进而能求出b2021．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=2，a4=8，∴d=（8﹣2）=3，a1=2﹣3=﹣1，a n=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4，a n+1=3n﹣1，∵a bn=3n﹣1，∴b n=n+1，∴b2021=2021+1=2022．故答案为：2022．点评：本题考查数列的第2021项的求法，是基础题，解题时要留意等差数列的性质的合理运用．14．已知在直角坐标平面中，圆C的方程为x2+y2﹣4x+2y+4=0，若在直线y=kx+2上存在点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由已知得圆心C（2，﹣1）到直线y=kx+2的距离：d=≤2，由此能求出实数k的取值范围．解答：解：圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的圆心C（2，﹣1），半径r==1，∵在直线y=kx+2上存在点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴圆心C（2，﹣1）到直线y=kx+2的距离：d=≤2，解得k≤﹣．∴实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意点到直线的距离公式的合理运用．15．设函数f（x）=A（sinωx+cosωx）（A＞0，ω＞0），则在“①f（x）的最大值为A；②f（x）的最小值正周期为；③函数f（x）在区间[0，]上是增函数；④若f（x）在区间[，]上是单调的；⑤若f （）=f（），则f（x）的图象关于直线x=对称”中，正确的有②⑤．．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的最值、周期性、图象的对称性、单调性，对各个结论的正确性作出推断，从而得出结论．解答：解：f（x）=A（sinωx+cosωx）=Asin（），①f（x）的最大值为A，故不正确；②由周期公式可得T=，故f（x）的最小值正周期为，正确；③取ω=3时，f（0）=A，f（）=0，故不正确；④由f（x）在区间[，]上是单调的，可得﹣≤，即0＜ω≤8，若f（x）的图象的一条对称轴是直线x=，则ω•+=kπ+，即ω=4k+1，k∈z；故④不正确．⑤若f（）=f（），则f（x）的图象关于直线x==对称，故⑤正确故答案为：②⑤．点评：本题主要考查正弦函数的最值、周期性、图象的对称性、单调性，属于基本学问的考查．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，sinA=，•=﹣3（Ⅰ）求b和c，（Ⅱ）求sin（A﹣B）的值．考点：三角形中的几何计算；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由条件利用余弦定理、两个向量的数量积的定义，分别得到一个等式，列方程组求得b、c的值．（Ⅱ）由条件利用正弦定理求得sinB 的值，再利用同角三角函数的基本关系求出cosB的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（A﹣B）的值．解答：解：（Ⅰ）△ABC中，∵sinA=，•=﹣3，可得A为钝角，故cosA=﹣，且bc•（﹣）=﹣3 ①．再依据a=2，利用余弦定理可得a2=24=b2+c2+=（b+c）2﹣②．由①②求得b=c=3，（Ⅱ）由b=c=3，a=2，可得B=C，再由正弦定理可得=，即，求得sinB=，∴cosB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=•﹣（﹣）•=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，两个向量的数量积的定义，属于基础题．17．某超市在一次促销活动中，设计一则玩耍：一袋中装有除颜色完全相同的2各红球和4个黑球．规定：从袋中一次模一球，获二等奖；从袋中一次摸两球，得一红，一黑球或三等奖，得两红球获一等奖，每人只能摸一次，且其他状况没有奖．（Ⅰ）求某人一次只摸一球，获奖的概率；（Ⅱ）求某人一次摸两球，获奖的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，依据古典概型的概率公式求解即可．解答：解：（Ⅰ）由于六个球中共有2个红球，故某人一次摸一球获奖的概率是p=．（Ⅱ）将六个球分别记为a，b，c，d，m，n，其中m，n两个是红球，从这袋中任取两球取法有（a，b），（a，c），（a，d），（a，m），（a，n），（b，c），（b，d），（b，m），（b，n），（c，d），（c，m），（c，n），（d，m），（d，n），（m，n），共15种，其中含红球的有9种，故求某人一次摸两球，获奖的概率是．点评：本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．18．已知数列{a n}是等差数列，a1=﹣6，a3，a5，a6成等比数列且互不相等．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，k是整数，若不等式S n＞a n对一切n≥k的正整数n都成立，求k的最小值．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，由a3，a5，a6成等比数列列式求得等差数列的公差，则等差数列的通项公式可求；（Ⅱ）求出等差数列的前n项和，由S n＞a n求得n的范围，再结合不等式对一切n≥k的正整数n都成立求得k的最小值．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d．由已知得，即（﹣6+4d）2=（﹣6+2d）•（﹣6+5d），解得：d=0（舍去）或d=1，故a n=﹣6+（n﹣1）•1=n﹣7；（Ⅱ）．不等式S n＞a n ，等价于．∴n2﹣15n+14＞0，解得n＜1或n＞14，n∈N．又对一切n≥k的正整数n都成立，∴正整数k的最小值为15．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是中档题．19．四棱锥P﹣ABCD中，DC∥AB，AB=2DC=4，AC=2AD=4，平面PAD⊥底面ABCD，M为棱PB上任一点．（Ⅰ）证明：平面MAC⊥平面PAD；（Ⅱ）若△PAD为等边三角形，平面MAC把四棱锥P﹣ABCD分成两个几何体，当着两个几何体的体积之比V M﹣ACD：V M﹣ABC=11：4时，求的值．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由勾股定理可得AC⊥AD，进而由面面垂直的性质得到：AC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到：平面MAC⊥平面PAD；（Ⅱ）取AD的中点E，连接PE，BE，易证平面PBE⊥平面ABCD，过M作MN⊥BE于点N，则MN⊥平面ABCD，由V M﹣ACD：V M﹣ABC=11：4可得：V M﹣ABCD：V M﹣ABC=15：4，进而可得MN的长，最终由在△PAE 中，=得到答案．解答：证明：（Ⅰ）在△ACD中，由AC=2AD=4，2DC=4，可得：AC2+AD2=CD2，∴AC⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，AC⊂底面ABCD，∴AC⊥平面PAD，又∵AC⊂平面MAC，∴平面MAC⊥平面PAD；解：（Ⅱ）取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD，则PE⊥平面ABCD，且PE=，连接BE，则平面PBE⊥平面ABCD，过M作MN⊥BE于点N，则MN⊥平面ABCD，∴S△ACD =×AC×AD=×2×4=4，S△ABC =×AC×AB•sin∠BAC=×4×4×=8，故V p﹣ABCD =（S△ACD+S△ABC）PE=×（4+8）×=4，V M﹣ABC =S△ABC•MN=，由V M﹣ACD：V M﹣ABC=11：4得：V M﹣ABCD：V M﹣ABC=15：4，即4：=15：4，解得：MN=在△PAE 中，==点评：本题考查的学问点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，娴熟把握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答本题的关键．20．已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F ，离心率为，长轴长小于4，点A在直线x=2上，且FA的最小值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P（x0，y0）是椭圆C上第一象限内的点，O是坐标原点，直线OP与椭圆C的另一交点为Q，点T 在C上，且PT⊥PQ；①若PT的斜率为k，QT的斜率为k1，问kk1是否为定值，若为定值，求出kk1；若不是定值，说明理由．②若QT交x轴于M，求△PQM的面积的最大值，并写出此时T点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出右焦点，运用离心率公式，得到b=c，由点到直线的距离公式，得到方程，解得即可得到c，再由a，b，c的关系，即可得到a，b，进而得到椭圆方程；（2）①运用斜率公式和点差法，即可得到定值；②运用直线方程，求出M，再由面积公式，即可得到△PQM的面积，再由椭圆的参数方程，结合二倍角公式，即可得到最大值，进而得到点P的坐标，再由PT的方程，联立椭圆方程，即可解得交点T．解答：解：（1）设右焦点为F（c，0），由于离心率为，则b=c，a=c，由于长轴长小于4，即a＜2．由于点A在直线x=2上，且FA的最小值为1，则|c﹣2|=1，解得，c=3或1．由于c＜2，则c=1，a=，b=1，则椭圆方程为：=1；（2）①点P（x0，y0）是椭圆C上第一象限内的点，则x02+2y02=2，直线OP与椭圆C的另一交点为Q，则为Q（﹣x0，﹣y0），设T（x1，y1），则k=，k1=，则kk1=由于x02+2y02=2，x12+2y12=2，两式相减可得，（x12﹣x02）+2（y12﹣y02）=0，则有kk1=﹣，则kk1为定值，且为﹣；②直线OP的方程为：y=﹣x，k=﹣，直线QT：y+y0=﹣（x+x0），令y=0，则x=﹣2ky0﹣x0=x0，即M（x0，0），则△PQM的面积为△POM和△QOM的面积之和，即为S=x0（y0+y0）=x0y0，由椭圆方程的参数式，x0=cosα，y0=sinα，则有S==，当sin2α=1，即有，x0=1，y0=，即P（1，），由PT：y ﹣=﹣（x﹣1），联立椭圆方程：=1，解得T （，）此时△PQM 的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线的斜率公式及运用，考查联立直线方程和椭圆方程求交点，运用点差法求斜率之积，考查运算力量，属于中档题．21．已知函数f（x）=x3+x2+|x﹣a|．（a是常数，且a ≤）（Ⅰ）争辩f（x）的单调性；（Ⅱ）当﹣2≤x≤1时，f（x）的最小值为g（a），求证：对任意x∈[﹣2，1]，f（x）≤g（a）+9成立．考点：函数单调性的推断与证明；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）去确定值，通过求导，推断导数符号从而推断f（x）的单调性，并最终得出：a≤﹣1时，f（x）在R上是增函数；﹣1＜a ≤时，f（x）在（﹣∞，﹣1），[a，+∞）上是增函数，在（﹣1，a）上是减函数；（Ⅱ）依据上面的结论，分别求在a≤﹣1，﹣1＜a ≤时的最小值g（a），和最大值，只要证明g（a）+9大于等于f（x）的最大值即可．解答：解：（Ⅰ）①当x≥a时，f（x）=x3+x2+x﹣a，f′（x）=3x2+2x+1＞0；∴此时f（x）是增函数；②当x＜a时，f（x）=x3+x2﹣x+a，f′（x）=3x2+2x﹣1；解3x2+2x﹣1=0得，x=﹣1，或；∴x＜﹣1，或x时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数；﹣1＜x ＜时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；∴当a≤﹣1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；当时，f（x）在（﹣∞，﹣1），[a，+∞）上是增函数，在[﹣1，a）上是减函数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）当a≤﹣1时，f（x）在[﹣2，1]上是增函数；∴g（a）=f（﹣2）=|a+2|﹣4；最大值为f（1）=2+|1﹣a|=3﹣a；①当﹣2＜a≤﹣1时，a+2＞0，2a+4＞0；∴g（a）+9﹣f（x）≥g（a）+9﹣f（1）=a+7﹣3+a=2a+4＞0；∴对任意x∈[﹣2，1]，f（x）＜g（a）+9；②当a≤﹣2时，a+2≤0；g（a）+9﹣f（x）≥g（a）+9﹣f（1）=﹣a+3﹣3+a=0；∴对任意x∈[﹣2，1]，f（x）≤g（a）+9；（2）当﹣1＜a ≤时，f（x）在[﹣2，﹣1]，[a，1]上是增函数，在[﹣1，a]上是减函数；f（a）﹣f（﹣2）=a3+a2+2﹣a=a2（a+1）+（2﹣a）＞0；f（1）﹣f（﹣1）=3﹣a﹣1﹣a=2﹣2a=2（1﹣a）＞0；∴g（a）=a﹣2，最大值为f（1）=3﹣a；∴g（a）+9﹣f（x）≥g（a）+9﹣f（1）=a+7﹣3+a=2（a+2）＞0；∴对任意x∈[﹣2，1]，f（x）＜g（a）+9；由（1）（2）知对任意x∈[﹣2，1]，f（x）≤g（a）+9成立．点评：考查处理含确定值函数的方法：去确定值，依据函数导数符号推断函数单调性的方法，依据函数的单调性求函数的最值．。
安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学文科 含答案
安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则A B =（ ）A.(],1−∞−B.[]0,1C.(][),01,−∞+∞D.(][),11,−∞−+∞2.已知命题:0p x ∀>，33x x >.则p ⌝为（ ） A.0x ∀>，33x x ≤B.0x ∀≤，33x x ≤C.00x ∃>，0303x x ≤D.00x ∃≤，0303x x ≤3.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 值分别为3，4，5，则输出的a 值为（ ）A.2B.3C.4D.54.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A.()2sin 212g x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A.10B.26.函数2sin 2xy x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.7.已知双曲线()222210,0y x a b a b−=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A.x =B.x =C.y =D.y = 8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A.72里B.60里C.48里D.36里9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A.)122π+B.)122π+C.32π+D.22+ 10.若正实数x ，y 满足260x y xy ++−=，则2x y +的最小值为（ ）A.)41B.)41C.12D.411.若曲线()()21x f x ax e −=+在点()()2,2f 处的切线与40x y +=垂直，则a 的值为（ ）A.0B.1C.2D.312.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x −=−，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A.1010B.-2020C.2020D.4040第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(),a b 是平面区域2001x y x y +−≤⎧⎪≥⎨⎪≥−⎩，内的任意一点，则3a b −的最小值为_____________.14.已知复数z 满足：()27142i z i +=−，则z =_________________.15.已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3564a a =，则10S 的值为___________. 16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x −+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3−内，函数()()21g x f x kx k =−−+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +−=. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求三角形ABC 面积的最大值. 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE DCF −和一个四棱锥P ABCD −组合而成的，其中2EF EA EB ===，AE EB ⊥，PA PD ==，平面//PAD 平面EBCF .（1）证明：平面//PBC 平面AEFD .（2）若直三棱柱ABE DCF −的体积为1V ，四棱锥P ABCD −的体积为2V ，求12V V . 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知函数()22xf x e mx x =−−（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，讨论()f x 的单调性； （2）若[)0,x ∈+∞时，()12ef x >−恒成立，求m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线30x y −+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（文科）参考答案、解析及评分细则1.C ∵(][),11,A =−∞−+∞，故选C.2.C 命题p 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“00x ∃>，0303x x ≤”.3.D4B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +，所以42222x+=， 所以1x =，所以2b =.6.D 令()2sin 2xf x x =， 因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xx f x x x f x −−=−−=−=−，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A ，B ； 因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 7.B由题意222132a b ===⎝⎭，∴b =. 8.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫− ⎪⎝⎭==−，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为()2111122S ππ=⨯⨯+⨯⨯)1122222π+⨯⨯=+.10.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =−+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫−+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.11.B 由题意()()21x ax a ef x −+'=+，()()023131f a e a '=+=+，直线40x y +=的斜率为14−，∴()11431a ⎛⎫⨯−=− ⎪⎝⎭+，解得1a =. 12.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x −=−，即为()()2f x f x +−=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称， 即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y −−也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y −−也为交点； 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++−+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y −+++−+−++++−+−=⎤⎦.13.-2 作出不等式组2001a b a b +−≤⎧⎪≥⎨⎪≥−⎩表示的可行域，当0a =，2b =时，目标函数3z a b =−取得最小值-2.42122iz i i+==−，故12z i =−=. 15.1023 由3564a a =，得2464a =，又数列{}n a 的各项都为正数，所以48a =.设等比数列{}n a 的公比为q，则2q ===.所以()1010112102312S −==−.16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭由题意，函数满足()()20f x f x −+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈−时，()()xf x f x x e −=−=−⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+−经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3−内两个函数有2个交点，此时31e k =−，解得13e k +=.直线()21y k x =+−经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3−内两个函数有4个交点，此时51e k =−，解得15e k +=.直线()21y k x =+−经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3−内两个函数有3个交点，此时12k =.所以要使得函数()()2g x f x kx k =−−有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +−=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+−=， 所以222a c ac b +−=，即222a c b ac +−=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +−==，.……………………………………4分 因为0B π<<，所以3Bπ=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sina c bA C B====，三角形ABC面积112sin 4sin sin sin cos 22232S ac B A C A A A A π⎛⎛⎫==⨯⋅=−=+ ⎪⎝⎭⎝13sin sin 2222444264A A A A π⎫⎛⎫=+−=−+⎪ ⎪⎭⎝⎭，.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分当且仅当3A π=时，262A ππ−=，此时ABC △.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+−⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+−⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分 （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++− ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++−+−++− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++−=+−<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH .由题知，PH AD ⊥，且2PH =，又因为AE EB ⊥，三棱柱ABE DCF −为直三棱柱，所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD .因为平面//PAD 平面EBCF ，所以AE ⊥平面PAD ，因为PH ⊂平面PAD ，所以AE PH ⊥，又因为AEAD A =，所以PH ⊥平面AEFD ，所以//PH BE ，又因为2PH BE ==，所以四边形PHEB为平行四边形，所以//PB HE ，因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD ，所以//PB 平面AEFD ，同理可证//PC 平面AEFD ，又因为PBPC P =，所以平面//PBC 平面AEFD .…………………6分（2）由题知，直三棱柱ABE DCF −的体积1142V EB EA EF =⨯⨯⨯=，四棱锥P ABCD −的体积2118222323P ABD B PAD V V V AD PH AE −−==⨯⨯⨯⨯==⨯，所以1243823V V ==.………………12分20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ；应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分 所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）当0m =时，()2xf x e x =−，()2xf x e '=−，.…………………………………………1分 令()20xf x e '=−≤，得ln 2x ≤，令()20xf x e '=−≥，得ln 2x ≥.………………………….3分所以函数()f x 在(),ln 2−∞上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增.………………………………4分（2）()12e f x >−恒成立，即2212x ee x mx −−+>恒成立. 当0x =时，对于任意的m R ∈，202e−>恒成立；.…………………………………………5分当0x >时，即2212x ee x m x−−+<恒成立.……………………………………………………6分 令()2212x e e x g x x −−+=，则()()2422212x x e e x x e x g x x⎛⎫−−−−+⎪⎝⎭'=. 整理得()()3222x x e x e g x x −++−'=，.……………………………………………………7分令()()222xh x x e x e =−++−，注意到()10h =，()()12xh x x e '=−+，再令()()12xx x e ϕ=−+，则()0xx xe ϕ'=>，.…………………………………………8分所以()x ϕ在()0,+∞单调递增，()()010x ϕϕ>=>，即()0h x '>.所以()h x 在()0,+∞单调递增.……………………………………………………9分 又()10h =，故知在()0,1上()0h x <，在()1,+∞上()0h x >.从而()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增.………………………………………………10分故()()min 2121112ee e g x g −−+===−，.……………………………………………………11分 因为2212x ee x m x−−+<在[)0,+∞恒成立，11所以12e m <−.……………………………………………………………………12分 22.解析：（1）∵直线30x y −+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分 （2）若直线l的斜率不存在，则132S ==. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++−= 设()11,A x y ，()22,C x y ， 则122412km x x k +=−+，()21222212m x x k−⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =−+=+，()0122212m y y y k =−+=−+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =−⋅ 1232x x m =−⋅m =m=2==. 综上可得，PAC△面积S 为定值2.………………………………………………12分。
安徽省皖南八校高三第二次联考(12月)数学文试卷(word版).pdf
皖南八校2013届高三第二次联考 数学试卷（文） 考生注意： 1. 本试卷分第I卷（选择）和第II卷（非选择）两部分，满分150分.考试时间120分钟. 2. 答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时,请将答案答在答题卷上.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答卷上对应目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答 第I卷(选择题共50分） 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等于A.1+iB.—1+i C i-1 D.－1—i 2. 已知全集U=R，，集合I,则等于 A. B. c. d 3. 某地区共有10万户居民,该地区城市住户与农村住户之比为4：6，根据分层抽样方法，调查 了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户 中无冰箱的总户数约为 城市农村有冰箱356(户）440(户)无冰筘户）160(户)A. 0. 24万户 B 1. 6万户 C. 1. 76万户 D. 4. 4万户 4. 已知向量i=(l,0)，=(0,1),则与垂直的向量是A i—2jB 2i-jC 2i+j D. i+2j 5. 双曲线的渐近线与圆相切,则正实数a的值为 A, B. C. D. 6. 已知变量x,y满足条件，则的最小值是A. 6B. 4C. 3D.2 7. 函数是 A 周期为的奇函数B.周期为的偶函数 C,周期为的奇函数D.周期为的偶函数 8. 如图,三棱锥A—BCD的底面为正三角形，侧面ABC与底面垂直且 AB=AC,已知其正(主)视图的面积为2,则其侧(左)视图的面积为 a. B C. D. 9. 定义：数列{an}前n项的乘积，数列，则下面的等式中正确的是 A. B C D. 10. 已知函数是上的奇函数且满足，则 的值为 a.0 B 1C. 2d.4 第II卷(非选择题共100分） 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷中的横线上. 11. 已知角a的终边经过点P(x,- 6),且tan a=,则x的值为 __▲__. 12. 若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为__▲__ . 13. 如图所示是一个箅法的流程图，则输出s的值是__▲__. 14. 若随机事件A、BA、B,则实数z的取值范围为__▲__. 15. 若函数对定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2,使:y=成立,则称此函数为“滨湖函数”.下列命题正确的是__▲__ (把你认为正确的序号都填上） ①y=x是“滨湖函数、 ②y=是“滨湖函数”； ③是“滨湖函数”； ④是“滨湖函数”； ⑤都是“滨湖函数”,且定义域相等,则是“滨湖函数”. 三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答 题卷上的指定区域内. 16. (本小题满分12分） 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填人的部分数据如下表： (1)请将上表数据补全,并直接写出函数f(x)的解析式； (2)在ΔABC中,角A,B,C的对边分别是a,b，c,,求b,c 17. (本小题满分12分） 某市举行了“高速公路免费政策”满意度测评,共有1万人参加了这次测评(满分100分，得 分全为整数).为了解本次测评分数情况,从中随机抽取了部分人的测评分数进行统计，整理 见下表： 组分组频数频率1[50,60)600.122[60,70〉1200. 243[70,80)1800. 364[80,90)130c5[90,100]a0.02合计b1.00(1)求出表中a,b,r的值； (2)若分数在60分以上(含60分)的人对“高速公路免费政策”表示满意，现从全市参加了这 次满意度测评的人中随机抽取一人，求此人满意的概率； (3)请你估计全市的平均分数. 18 (本小题满分13分） 如图,在边长为a的菱形ABCD中，PC平面ABCD，,E是PA的中点. (1)求证：平面PBD平面PAC (2)求三棱锥P-ECB的体积. 19.(本小题满分12分） 已知函数 (1)求函数f(x)在处的切线方程. (2)若方程在上有两个不同的解,求t的取值范围. 20.(本小题满分13分） 已知椭圆的离心率，长轴长为6,0为坐标原点.f1 ,F2分别为椭圆的左，右焦点. (1)求椭圆c的方程； (2)若P为椭圆C上的一点，直线PF2交椭圆于另一点Q,试问是否存在P点使|PF1|=|PQ|，若存在求ΔPF1Q的面积；否则说明理由. 21.(本小题满分13分） 已知函数，设曲线y=f(x)在点处的切线与X轴的交点为为正数). (1)试用xn表示xn+1； (2)若，记，证明{an}是等比数列，并求数列{xn}的通项公式.。
安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学文试题含答案
18.（本小题满分 12 分）
已知等差数列an 的公差为 d d 0 ，等差数列bn 的公差为 2d ，设 An ，Bn 分别是数列an ，bn 的
前 n 项和，且 b1 3 ， A2 3 ， A5 B3 .
（1）求数列an ，bn 的通项公式；
（2）设 cn
bn
an
1 an1
，数列
A.0
B.1
C.2
D.3
12. 已 知 函 数 f x x R 满 足 f x 2 f x ， 若 函 数 y x 1 与 y f x 图 象 的 交 点 为
x
x1, y1 , x2 , y2 ,, x2020 , y2020 ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A.1010
各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.
4
（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）若用分层抽样的方式从第 1 组和第 5 组中抽取 5 个零件，再从这 5 个零件中随机抽取 2 个，求抽取的 零件中恰有 1 个是第 1 组的概率. 21.（本小题满分 12 分）
（1）证明：平面 PBC// 平面 AEFD .
（2）若直三棱柱
ABE
DCF
的体积为V1 ，四棱锥
P
ABCD
的体积为 V2
，求
V1 V2
.
20.（本小题满分 12 分）
某工厂生产了一批零件，从中随机抽取 100 个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成 10,15 ，
15, 20 ， 20, 25 ， 25,30 ， 30,35 5 组，得到如图所示的频率分布直方图.以这 100 个零件的长度在