数学理高考真题分类汇编专题 导数(理科)

导数

1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） （A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x = 【答案】

A

考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.

【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等. 2.【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,

ln ,1,

x x x x -<<⎧⎨

>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1

与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( ) （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A 【解析】

试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为1212

11

,.k k x x =

=-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为

()1111ln y x x x x -=

-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫

-=-- ⎪⎝

⎭.分别令

0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221

1

21,ln 11x x P x x x ⎛⎫

-+ ⎪++⎝⎭，11x >，

2112211

211

1211PAB

A B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.

【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．

3.【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =． 【答案】1ln2- 【解析】

考点：导数的几何意义.

【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．

注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的不同．

4.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在 点(1,3)-处的切线方程是_______________．

【答案】21y x =--

考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．

【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．

5.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数()()()2

21x

f x x e a x =-+-有两个零点.

(I)求a 的取值范围；

(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞ 【解析】

试题分析：(I)求导,根据导函数的符号来确定,主要要根据导函数零点来分类；(II)借组第一问的结论来证明,

由单调性可知122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<．设2()(2)x x

g x xe x e -=---,则

2'()(1)()x x g x x e e -=--．则当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<．学优高考网

试题解析;（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x

x

f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点．

（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．

又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln

2

a b <,则 223

()(2)(1)()022

a f

b b a b a b b >

-+-=->, 故()f x 存在两个零点．