(人教版B版2019)高中数学必修第三册 第七章综合测试卷01(含答案)
人教B版高中数学必修第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大．( × ) (2)圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等．( × ) (3)用弧度表示的角都是正角．( × )
2．做一做
(1)在半径为 5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为(
)
4π A. 3 cm
解析 答案
题型二 弧度制与角度制的换算
例 2 把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－51π2； 3.5.
[解] 112°30′＝2225×1π80＝58π. 36°＝36×1π80＝π5. －51π2＝－51π2×1π80°＝－75°. 3．5＝3.5×1π80°≈3.5×57.3°＝200.55°(或 200°33′)．
x轴
{α|α＝kπ，k∈Z}
y 轴正半轴 y 轴负半轴
y轴 坐标轴
α|α＝π2＋2kπ，k∈Z α|α＝－π2＋2kπ，k∈Z
α|α＝π2＋kπ，k∈Z α|α＝k·2π，k∈Z
5．与角 α 终边相同的角的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 注意：(1)用弧度表示区域角的实质是角度表示区域角在弧度制下的应 用，必要时，需进行角度与弧度的换算，注意单位要统一． (2)用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并， 这一点容易出错．
[跟踪训练 1] 下列叙述中正确的是( ) A．1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧 B．1 弧度是长度为半径的弧 C．1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和 D．大圆中 1 弧度的圆心角与小圆中 1 弧度的圆心角一样大 解析 弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1 弧 度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选 D.
(人教版B版最新)高中数学必修第三册 第七章综合测试02-答案
7 2
12
3 2
，
3
，
f
x
sin
2x
3
；
将函数 f (x) 的图像向左平移 个单位长度得到函数 g(x) 的图像， 6
2
g(x)
sin 2 x
6
3
sin 2x
3
；
故①错误③正确；
2
x 时 2x 是对称轴，②正确；
12
32
g(
x)
在区间
2
,
上先增后减，④错误；故答案选
25
1 由①②可得 cos sin ③ ，
5
3
4
由①③得 sin ， cos ，
5
5
所以角 为第二象限角，
所以 为第一、三象限角， 2
tan
2
1 cos
1 cos
4 1
5 3 ，故选 A。 4 1 5
9.【答案】D
高中数学 必修第三册 2/8
【解析】因为 f x cos2 x sin2 x cos 2x ，故 A 正确；当 x 0 时， f (0) 1 ，所以函数 f (x) 的图象关于
B。
二、
24 13.【答案】
25
1
24
24
【解析】 sin cos 平方得 2sin cos ，sin 。
2 25
2 2 25
25
42 14.【答案】
7
1
2
2 tan 4 2
42
【解析】
2
,
，由sin
3
tan
4
， tan 2
1 tan2
7
，故答案为：
(人教版B版2019课标)高中数学必修第三册 第七章综合测试(含答案)
第七章综合测试A 卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面各组角中，终边相同的是（ ） A.390︒，690︒B.330-︒，750︒C.480︒，420-︒D.3 000︒，840-︒2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A.2B.sin 2C.2sin1D.2sin 1-3.设α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan α=（ ） A.43B.34C.34-D.43-4.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确的是（ ） A ()g x 的最小正周期为πB.6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭C.6x π=是()g x 图像的一条对称轴 D.()g x 为奇函数 5.如果sin 2cos 53sin 5cos αααα-︒︒︒=-+，那么tan α的值为（ ）A.2-B.2C.2316D.2316-6.函数tan 2y x =是（ ） A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 7.设1cos 6α=-，(0,)απ∈，则α的值可表示为（ ）A.1arccos 6B.1arccos 6-C.1arccos 6π+D.1arccos 6π-8.关于函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A.是奇函数B.在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.,06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为其图像的一个对称中心 D.最小正周期为π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9.对于函数()sin 2f x x =，下列选项中错误的是（ ）A.()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是递增的B.()f x 的图像关于原点对称C.()f x 的最小正周期为2πD.()f x 的最大值为2 10.下列化简正确的是（ ） A.t tan(1)tan1π+=B.()sin()cos tan 360ααα-︒-=C.sin()tan cos()πααπα-=+D.cos()tan()1sin(2)παπαπα---=-11.已知函数 ()sin (R)2f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下面结论正确的是（ ） A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数C.函数()f x 的图像关于直线0x =对称D.函数()f x 是奇函数12.将函数()sin y x ϕ=＋的图像F 向左平移6π个单位长度后得到图像F '，若F '的一个对称中心为,04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ϕ的取值可能是（ ）A.12πB.512π-C.56πD.712π三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13.若函数3tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是2π，则ω=________。
人教版高中数学选择性必修第三册7.4.1 二项分布B组能力提高训练(含解析)
人教版高中数学选择性必修第三册7.4.1二项分布B 组能力提高训练（原卷版）一、选择题1．（2021·辽宁大连市·辽师大附中高二月考）下列说法正确的个数是（）①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且()10,0.6X B ；②某福彩中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且()8,XB p ；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．（2021·辽宁高二月考）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（）A ．2764B ．964C ．364D ．343．（2021·安徽蚌埠市高二月考）若随机变量13,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()1E X =B ．()23D X =C ．()22E X =D ．()423D X =4．（2021·江苏省丰县中学高二期末）某人射击一发子弹的命中率为0.8，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率()f n 如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（）n1…k (19)()f n 190.21118190.80.2C …19190.80.2kk kC -…190.8A ．14发B ．15发C ．16发D ．15或16发5．（多选题）（2021·全国高二课时练）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，则下列结论中正确的是（）A ．1234P P P P ===B ．312P P =C ．12341P P P P +++=D ．423P P =6．（多选题）（2021·山东菏泽市高二期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =（例如10100）其中A 的各位数中()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，则当程序运行一次时（）A ．X 服从二项分布B ．()8181P X ==C ．X 的期望()83E X =D ．X 的方差()83D X =二、填空题7．（2021·湖北黄冈市·高二期末）唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为______________.8．（2021·江苏扬州市高二月考）根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于58-︒，能在扬州的夜空中看到它.下表列出了10颗恒星的“赤纬”数值：星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四赤纬16.7-︒52.7-︒60.8-︒19.2︒38.8︒46︒8.2-︒ 5.2︒57.2-︒7.4︒现有四名学生从这10颗恒星中各随机选择1颗进行观测，其中有X 人能在扬州的夜空中看到观测目标，则X 的数学期望为___________.9．（2021·辽宁高二月考）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为______________.10．（2021·全国高二专题练习）随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为_________.三、解答题11．（2021·浙江高二期末）2021年4月3日我校学生在浙江省首届少年诗词大会比赛中喜获佳绩，荣获初中组总冠军．海选环节，进入预赛的条件为：电脑随机抽取5首古诗，参赛者能够正确背诵3首及以上的进入预赛．若同学甲参赛，他背诵每一首古诗正确的概率均为2 3．（1）求甲进入预赛的概率；（2）甲同学进入了预赛，此后的比赛采用积分制计算个人成绩，电脑随机抽取3首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分．由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为25，设甲的得分为X，请写出X的分布列，并求出甲得分的数学期望．12．（2021·天津高二月考）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为2 3，1,2现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用ξ表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求ξ的分布列和数学期望．人教版高中数学选择性必修第三册7.4.1二项分布B 组能力提高训练（解析版）一、选择题1．（2021·辽宁大连市·辽师大附中高二月考）下列说法正确的个数是（）①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且()10,0.6X B ；②某福彩中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且()8,XB p ；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【详解】①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且()10,0.6XB ，所以该命题正确；②某福彩中奖概率为p ，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为p ，相当于做了8次独立重复试验，中奖张数X 是一个随机变量，且()8,XB p ，所以该命题正确；③从装有5个红球、5个白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当1X =时，概率为12，当2X =时，概率为111=224⨯，当3X =时，概率为1111=2228⨯⨯，依次类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以X 不服从1,2B n ⎛⎫⎪⎝⎭,所以该命题错误.故选：C2．（2021·辽宁高二月考）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（）A ．2764B ．964C ．364D ．34【答案】B【详解】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B3．（2021·安徽蚌埠市高二月考）若随机变量13,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()1E X =B ．()23D X =C ．()22E X =D ．()423D X =【答案】D【详解】因为随机变量13,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1313E X ⨯==，()11231333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以()()222E X E X ==，()()8243D X D X ==，D 项错误，故选：D.4．（2021·江苏省丰县中学高二期末）某人射击一发子弹的命中率为0.8，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率()f n 如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（）n1…k (19)()f n 190.21118190.80.2C …19190.80.2kk kC -…190.8A ．14发B ．15发C ．16发D ．15或16发【答案】D【详解】根据题意，设第k 发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率()19190.80.2k k k P n k C -⋅⋅==（0k =，1，2，，19），则有()()1f k f k ≥+且()()1f k f k ≥-，即191118191919112019190.80.20.80.20.80.20.80.2k k k k k k k k k k k kC C C C -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，解可得1516k ≤≤，即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发.故选：D ．5．（多选题）（2021·全国高二课时练）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，则下列结论中正确的是（）A ．1234P P P P ===B ．312P P =C ．12341P P P P +++=D ．423P P =【答案】CD【详解】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，根据独立重复试验的概率计算公式，可得：3322121233431111113113(),(,()(1,(1)2828228228P P P C P C =====-==⋅-=，由1234P P P P =<=，故A 是错误的；由313P P =，故B 是错误的；由12341P P P P +++=，故C 是正确的；由423P P =，故D 是正确的.故选：CD6．（多选题）（2021·山东菏泽市高二期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =（例如10100）其中A 的各位数中()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，则当程序运行一次时（）A ．X 服从二项分布B ．()8181P X ==C ．X 的期望()83E X =D ．X 的方差()83D X =【答案】ABC【详解】解：由于二进制数A 的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：①后4个数出现0，X 0=，记其概率为411(0)()381P X ===；②后4个数位只出现1个1，1X =，记其概率为134218(1)()()3381P X C ===；③后4位数位出现2个1，2X =，记其概率为22242124(2)()()3381P X C ===，④后4个数为上出现3个1，记其概率为3342132(3)()(3381P X C ===，⑤后4个数为都出现1，4X =，记其概率为4232(4)()381P X ===，故2~(4,)3X B ，故A 正确；又134218(1)()()3381P X C ===，故B 正确；2~(4,3X B ，28()433E X ∴=⨯=，故C 正确；2~(4,3X B ，X ∴的方差218D()4339X =⨯⨯=，故D 错误．故选：ABC ．二、填空题7．（2021·湖北黄冈市·高二期末）唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为______________.【答案】2027【详解】该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，有两天出现大潮概率为223214339C ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，有三天出现大潮概率为33328327C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以至少有两天出现大潮的概率为482092727+=，故选：A.8．（2021·江苏扬州市高二月考）根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于58-︒，能在扬州的夜空中看到它.下表列出了10颗恒星的“赤纬”数值：星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四赤纬16.7-︒52.7-︒60.8-︒19.2︒38.8︒46︒8.2-︒ 5.2︒57.2-︒7.4︒现有四名学生从这10颗恒星中各随机选择1颗进行观测，其中有X 人能在扬州的夜空中看到观测目标，则X 的数学期望为___________.【答案】3.6【详解】大于58-︒的有9个，小于58-︒的有1个在扬州能看到的概率为910，9~4,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()94 3.610E X =⨯=.9．（2021·辽宁高二月考）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为______________.【答案】35【详解】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则()2,XB p ，由题可知：()()160125P X P X =+==，即()()201220161125C p p C p p -+-=，解得35p =.10．（2021·全国高二专题练习）随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为_________.【答案】572【详解】解：首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为255522011206C A ⨯==，其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为16P =,故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为223155()6672C ⨯⨯=.三、解答题11．（2021·浙江高二期末）2021年4月3日我校学生在浙江省首届少年诗词大会比赛中喜获佳绩，荣获初中组总冠军．海选环节，进入预赛的条件为：电脑随机抽取5首古诗，参赛者能够正确背诵3首及以上的进入预赛．若同学甲参赛，他背诵每一首古诗正确的概率均为23．（1）求甲进入预赛的概率；（2）甲同学进入了预赛，此后的比赛采用积分制计算个人成绩，电脑随机抽取3首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分．由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为25，设甲的得分为X ，请写出X 的分布列，并求出甲得分的数学期望．【答案】(1)6481；(2)见解析；甲得分的数学期望为35.【详解】解：(1)记“甲进入预赛”为事件A ，则324153455552121264()++3333381P A C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故甲进入预赛的概率的概率为6481.(2)X 的所有可能取值为6，3，0，3-，则3033238(6)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21232336(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；12132354(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；03032327(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X 633-P8125361255412527125所以83654273()630(3)=1251251251255E X =⨯+⨯+⨯+-⨯.12．（2021·天津高二月考）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性呼吸综合征(SARS )等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV )是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为23，1,2现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用ξ表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）49；（2）分布列见解析；期望为43．【详解】解（1）设i A 表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数i 人”，0,1,2i =，i B 表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有i 人”，0,1,2i =依题意有()()121242339,224339,P A P A =⨯⨯==⨯=()()01111224,1112222,P B P B =⨯==⨯⨯=所求的概率为()()()01021214141444949299P P B A P B A P B A =++=⨯+⨯+⨯=（2）ξ的可能值为0,1,2,3，且43,9B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0303441250199729P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()213441001199243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22344802199243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()303344643199729P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ξ的分布列为ξ0123p1257291002438024364729数学期望()1251008064401237292432437293E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。
高中数学人教B版必修第三册 第七章 7.1.1
7．1任意角的概念与弧度制7．1.1角的推广学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念．知识点一角的相关概念1．角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．2．角的分类：名称定义图示正角按照逆时针方向旋转而成的角负角按照顺时针方向旋转而成的角零角一条射线没有旋转而成的角由于角是旋转生成的，所以也常称为转角．知识点二角的加法与减法(β>0°)1．α＋β：把角α的终边逆时针方向旋转角β.2．α－β：把角α的终边顺时针方向旋转角β.知识点三象限角在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．思考“锐角”，“第一象限角”，“小于90°的角”三者有何不同？答案锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可组成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同．1．第二象限角是钝角．(×)2．经过6个小时，时针旋转180°.(×)3．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(√)4．始边与终边重合的角是零角．(×)一、任意角的概念例1下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③角α与－α的终边关于x轴对称；④第一象限的角一定不是负角．其中正确的结论为________(填序号)．答案②③解析①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③角α与－α，旋转的绝对量相同，只是旋转方向不同，故③正确；④－300°是第一象限角，故④不正确．反思感悟理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A.120°B．－120°C．－60°D．60°答案 B解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.二、终边相同的角及象限角例2将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.解(1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)1 020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．反思感悟首先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限即可．跟踪训练2(1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B(2)与－460°角终边相同的角可以表示成()A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z答案 C解析因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故选C.三、区域角的表示例3如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．解(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝105°＋k·360°，k∈Z}．(2)由(1)及图知，阴影部分的角的集合为{θ|30°＋k·360°≤θ<105°＋k·360°，k∈Z}．延伸探究把本例中的图改为写出终边落在阴影部分的角的集合．解方法一(并集法)在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°≤α<105°和210°≤α<285°，所以α∈{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．方法二(旋转法)终边落在直线l1上的角可看成将终边落在x轴上的角逆时针方向旋转30°角得到，故终边落在直线l1上的角的集合为{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}，同理终边落在直线l2上的角的集合为{α|α＝105°＋n·180°，n∈Z}．故终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋n·180°≤α<105°＋n·180°，n∈Z}．反思感悟表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°(或0°～360°)范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．跟踪训练3 如图所示，写出顶点在原点，始边落在x 轴的正半轴，终边落在阴影部分的角的集合．解 如题图(1)所示，以OB 为终边的角有225°角，可看成是－135°， ∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|－135°＋k ·360°≤θ≤135°＋k ·360°，k ∈Z }． 如题图(2)所示，以OB 为终边的角有330°角， 可看成是－30°，∴以OA ，OB 所在直线为终边的角的集合分别是： S 1＝{θ|θ＝75°＋k ·180°，k ∈Z }， S 2＝{θ|θ＝－30°＋k ·180°，k ∈Z }． ∴终边落在阴影部分的角的集合为 {θ|k ·180°－30°<θ<k ·180°＋75°，k ∈Z }．确定nα及αn所在的象限典例 已知α是第二象限角，求角α2，2α所在的象限．解 方法一 ∵α是第二象限角， ∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )． ∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z )． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得 n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 方法二 如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．又因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )． ∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z )．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．[素养提升] 分类讨论时要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．1．下列说法正确的是( ) A ．不相等的角终边必不同 B ．终边与始边均相同的角一定相等 C ．第三象限的角不一定大于第二象限的角 D ．第四象限的角一定是负角 答案 C解析30°与390°角不相等，但终边与始边均相同，故A，B说法错误；460°是第二象限角，200°是第三象限角，200°小于460°，故C说法正确；300°是第四象限角，也是正角，故D说法错误．2．与－30°终边相同的角是()A．－330°B．150°C．30°D．330°答案 D解析因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.3．－2 020°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 B解析－2 020°＝－6×360°＋140°，因为140°角的终边落在第二象限，故选B.4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}答案 D解析终边落在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．故选D.5.已知角α的终边落在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是___________．答案{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}解析观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．1．知识清单：(1)任意角的概念．(2)终边相同的角与象限角．(3)区域角的表示．2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.1．－870°角的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C.2．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}答案 C3．下列说法正确的个数为()①第二象限角大于第一象限角；②终边在x轴正半轴上的角是零角；③钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故①错；360°的整数倍的角终边都在x轴正半轴上，故②错；③中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．4．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°答案 B解析 因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， 所以－330°与750°终边相同．5．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 C解析 可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．6．50°角的始边与x 轴的正半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________． 答案 －1 030°解析 顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°. 又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.7．终边落在第一、三象限的角平分线上的角的集合为______________________． 答案 {α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }解析 第一、三象限的角平分线可以看成把x 轴逆时针旋转45°得到，故所求的角的集合为{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }．8．若时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为________． 答案 －480°解析 时针走了1小时20分，则分针顺时针走了113圈，即转过的角度为－360°×43＝－480°.9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°.解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．解 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．11．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是()A．第一或第三象限角B．第一或第二象限角C．第二或第四象限角D．第三或第四象限角答案 A解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．故α在第一或第三象限．12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α答案 C解析特例法，取α＝30°，可知C正确．作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．13．已知角α的终边落在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是________．答案{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}解析方法一(并集法)在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°和210°<α<330°.所以α∈{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋150°，k ∈Z }∪{α|k ·360°＋210°<α<k ·360°＋330°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°<α<2k ·180°＋150°，k ∈Z }∪{α|(2k ＋1)·180°＋30°<α<(2k ＋1)·180°＋150°，k ∈Z }＝{α|n ·180°＋30°<α<n ·180°＋150°，n ∈Z }．方法二 (旋转法)观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆(或顺)时针旋转180°，恰好与另一个区域重合，由此可知α∈{α|n ·180°＋30°<α<n ·180°＋150°，n ∈Z }．14．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________. 答案 270°解析 ∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k ·360°＋α，k ∈Z ，得4α＝k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z ，又180°<α<360°，∴当k ＝3时，α＝270°.15．已知α是第三象限角，则α2是第________象限角． 答案 二或四解析 ∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，∴k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°，k ∈Z ， 当k ＝2n 时，n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°，n ∈Z ， ∴α2为第二象限角； 当k ＝2n ＋1时，n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°，n ∈Z ， ∴α2为第四象限角． 综上，α2为第二或第四象限角． 16.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.解 ∵0°<θ<180°，且k ·360°＋180°<2θ<k ·360°＋270°，k ∈Z ，则一定有k ＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n ·360°(n ∈Z )，∴θ＝n ·180°7，从而90°<n ·180°7<135°，n ∈Z ， ∴72<n <214，n ∈Z ，∴n ＝4或5. 当n ＝4时，θ＝720°7； 当n ＝5时，θ＝900°7.。
2019年人教版高中数学必修三综合测试题(含答案)
必修3综合模拟测试卷A（含答案）一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、用冒泡排序算法对无序列数据进行从小到大排序，则最先沉到最右边的数是A、最大数B、最小数C、既不最大也不最小D、不确定2、甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是A、16B、12C、13D、233、某单位有老年人28 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A、6，12，18B、7，11，19C、6，13，17D、7，12，174、甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是A、甲B、乙C、甲、乙相同D、不能确定5、从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是A、16B、C、13D、6、如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为A 、34B 、38C 、14D 、187、阅读下列程序：输入x ；if x ＜0， then y ：＝32x π+；else if x ＞0， then y ：＝52x π-+；else y ：＝0； 输出 y ．如果输入x ＝－2，则输出结果y 为A 、3＋πB 、3－πC 、π－5D 、－π－5 8、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是 A 、31 B 、32 C 、41 D 、529、根据下面的基本语句可知，输出的结果T 为 i:=1; T:=1;For i:=1 to 10 do; Begin T:=T+1;End 输出T开始 S ：＝0 i ：＝3 i ：＝i ＋1S ：＝S ＋ii ＞5 输出S结束是 否A 、10B 、11C 、55D 、56 10、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、11 B 、12 C 、13 D 、15二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） 11、一个容量为20的样本数据,分组后，组距与频数如下：(]10,20，2；(]20,30， 3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4 ；(]60,70，2。
高一上学期数学人教B版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)
高一上学期数学人教B 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，若，则实数a 取值集合的真子集的个数为( )A.2B.3C.7D.82.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在上单调递增，若关于x 的不等式，则不等式的解集为( )A. B.C. D.3.已知函数，若恒成立，则的最大值为( )A.4.若函数，在上单调递增，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.5.已知函数的定义域为R ，对任意的，且，都有成立.若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.6.“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分281{50}A x x x =-+={10}B x ax =-=B A ⊆()f x [)0,+∞()f x ][),22,-∞-+∞ ()232f x x >()(),22,-∞-+∞ ()2,2-()(),44,-∞-+∞ ()4,4-()()212e 1b x f x a x -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()0f x ≤ab ()2log 1,13(),3x x f x ax x x ⎧+-<≤⎪=⎨+>⎪⎩(1,)-+∞[]3,9-[)3,-+∞[]0,9(],9-∞()f x 1x 2x 12x x ≠()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦()()22326f x x a f x a a -+>--x ∈R ()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,10别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是( )A.该组数据的中位数为7B.该组数据的平均数为7.5C.该组数据的第60百分位数为7.5D.该组数据的极差为57.口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”则下列说法正确的是( )A.A 与B 互斥B.C 与D 互为对立C.D.A 与D 相互独立8.已知，若A.-2B.-1C.二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若非空实数集M 满足任意，都有， ，则称M 为“优集”.已知A ，B 是优集，则下列命题中正确的是( )A.是优集B.是优集C.若是优集，则或D.若是优集，则是优集10.已知函数是定义域为R 的偶函数，满足，当时，，则( )A.的最小值是的周期为4C. D.11.已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，.则( )A.任意交换，，的顺序，不影响X 的取值A =B =C =D =B C⊆0a ≠20212021()20a b a a b ++++=,x y M ∈x y M +∈x y M -∈A B A B A B A B ⊆B A⊆A B A B ()f x (2)(2)f x f x +=-02x ≤≤2()f x x x =-()f x ()f x (2025)2f =20271()1014i f i ==∑1x 2x 5x 6x {}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x ={}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =1x 2x 3xB.满足及的排列有20个C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.2，0.25，，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.13.已知函数，若恒成立，则实数k 的取值范围为__________.14.已知不等式对于恒成立，则实数a 的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.（1）求实数a 的值：（2）探究的单调性，并证明你的结论；（3）解关于x 的不等式.17.（15分）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计解题思路，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.123x x x <<456x x x <<X =X >4:3:3(01)p p <<p ()()221f x x x kx x =-+-∈R ()0f x ≥4220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞()f x ()()42322x xf f +-⨯>(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差..记两组，则总体样本方差）18.（17分）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化某条河上游水域的水质.省环保局于2022年年底在该河上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2023年2月底测得蒲草覆盖面积为，2023年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型（，）与可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2022年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，）.19.（17分）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；lg30.48≈[)60,70[)60,80[)70,80122()()222221122m ns s x w s x wm n m n⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++236m248m2m xy ka=0k>1a> 2(0)y mx n m=+>220m2810mlg20.30≈否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.答案以及解析1.答案：C解析：由，得，解得或，所以.当时，，满足；当时，，因为，解得，所以实数a 取值集合的真子集的个数为，故选C.2.答案：B解析：令为偶函数，且在上递增，，结合题设知，在上，在上，令上递增，，若上，则有，在上，则有，综上，结合题设的性质，不等式的解集为.故选：B 3.答案：C解析：由，解得，令，解得，则，，不符合题意；当，则，，不符合题意；所以，则当时等号成立，4.答案：A解析：当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，28150x x -+=(3)(5)0x x --=3x =5x ={3,5}A =0a =B =∅B A ⊆0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B ⊆=5=a ==110,,35⎫⎬⎭3217-=()3||g x x =()0,+∞(2)6g =(2)6f =(,2)(2,)-∞-+∞ ()()g x f x >()2,2-()()g x f x <3()2h x =)0,+∞(2)(2)(2)6h g f ===23()()3||3||2y h x g x x x x =-=-=(,2)(2,)-∞-+∞ 0y >()()()h x g x f x >>()2,2-0y <()()()h x g x f x <<()f x ()232f x x >()2,2-120a x --=12x a =-2e10bx --=x =2a ->,122b x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x -->2e 10b x -->12a -<12,2b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x --<2e10bx --<12a -=24a =-()21124444ab a a a ⎛⎫=-=--+≤ ⎪⎝⎭a =1=13x -<≤2log (1)y x =+(,2]-∞()f x (1,)-+∞在，即；综上，.故选：A5.答案：C解析：不妨设，又，所以，即，所以在R上单调递增，所以对任意恒成立，即，即对任意恒成立，所以，解得或，故选：C.6.答案：B解析：首先对10位市民的幸福感指数按从小到大的顺序进行排序：4，5，5，6，7，7，8，8，9，9，该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，因此A说法正确；，因此B说法不正确；，因此C说法正确；又该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，因此D说法正确；故选：B.7.答案：D解析：令2个红球和2个白球分别为从中随机不放回地依次摸出2个球有：，共12种，事件A对应事件为，有6种，事件B对应事件为，有6种，23aa+≥⇒≥-)+∞ay xx=+309a<≤39a-≤≤12x x<()()()1212f x f x x x-->⎡⎤⎣⎦()()12f x f x-<()()12f x f x<()f x()()22326f x x a f x a a-+>--x∈R 22326x x a x a a-+>--224270x x a a-++>x∈R()()2244270a a∆=--+<4a<-a>()1,4,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭7.5=945-=1,2,1,2R R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),(1,2),R R R W R W R R R W R W W R W R W W(2,1),(2,2),(2,1)W R W R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2)R R R W R W R R R W R W(1,2),(2,1),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R R R R W R W R W R W R事件C对应事件为，有2种，事件D对应事件为，有8种，综上，A与B不互斥，C与D互斥但不对立，，且事件对应事件为，有4种故故A、B、C错，D对故选：D8.答案：A，则，所以由，得，即，亦即.当且，即时，等式显然成立.当时，则有，所以.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则.这与矛盾，所以不成立.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则，这与矛盾，所以不成立.综上可知，.故选A.9.答案：ACD解析：对于A中，任取，，因为集合A，B是优集，则，，则，，，则，所以A正确；对于B中，取，，则或，令，，则，所以B不正确；对于C中，任取，，可得，因为是优集，则，，若，则，此时；若，则(1,2),(2,1)R R R R(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),R W R W R W R W W R W R(2,1),(2,2)W R W RC B⊆1(),2P A P=AD(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R W R W R W R W()P AD=()()()P A P D P AD=k=b ak=20212021()20a b a a b++++=20212021()20a ak a a ak++++=20212021[(1)1](2)0a k a k++++=20202021(1)1(2)0a k k⎡⎤++++=⎣⎦2021(1)10k++=20k+=2k=-2021(1)10k++≠2020a=0≠202020212(1)1kak+=->++20k+<2021(1)10k++>20212021(1)(1)k+>-2021y x=20212021(1)(1)k+>-11k+>-20k+>20k+<2021(1)10k++> 20k+>2021(1)10k++<20212021(1)(1)k+<-2021y x=20212021(1)(1)k+<-11k+<-20k+<20k+>2021(1)10k++<2k=-x A B∈ y A B∈ x y A+∈x y B+∈x y A B+∈ x y A-∈x y B-∈x y A B-∈{|2,}A x x k k==∈Z{|3,}B x x m m==∈Z{|2A B x x k==3,}x k k=∈Z 3x=2y=5x y A B+=∉x A∈y B∈,x y A B∈ A Bx y A B+∈x y A B-∈ x y B+∈()x x y y B=+-∈A B⊆x y A+∈，此时，所以C 正确；对于D 中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D 正确.故选：ACD.10.答案：ABD解析：由于，所以的图象关于直线对称，由于是定义在R 上的偶函数，所以的图象关于y 轴对称，所以是周期为4的周期函数，故B 正确.当时，的图象开口向上，对称轴为直线，，，，的周期性、图象的对称性可知，的最小值是，故C 错误.因为，，，，所以，所以，故D 正确.故选ABD.11.答案：ABD解析：对于A ，注意到当，，被确定后，，，的取值也被固定，因此满足条件的条件组数即满足条件的，，的组数，即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即.注意到任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，A 正确，B 正确；因此不妨设及.注意到，整体交换，，和，，也不影响X ，Y 的取值，因此不妨设，即，，将满足以上条件的排列列举如下：()y x y x A =+-∈B A ⊆A B A B ⊆A B A = B A ⊆A B B = A B (2)(2)f x f x +=-()f x 2x =()f x ()f x ()f x 02x ≤≤2()f x x x =-12x =(0)0f =(2)2f =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭max ()(2)2f x f ==min 1()2f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x ()f x 2(2025)(50641(1)110)f f f =⨯+==-=(1)0f =(2)2f =(3)(1)(1)0f f f =-==(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)2f f f f +++=202712024()2(1)(2)(3)101202010144i f i f f f ==⨯+++=+++=∑1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 36C 20=1x 2x 3x 4x 5x 6x 123x x x <<456x x x <<1x 2x 3x 4x 5x 6x 14x x <4Y x ={}36min ,X x x =12.答案：解析：若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得.因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以.故p 的取值范围是.13.答案：解析：由题意得，当时，由恒成立，得，解得；当时，由上单调递增，所以，解得；当时，由恒成立，得，即，所以.综上，实数k 的取值范围是.故答案为：14.答案：解析：不等式对于恒成立，即不等式对于恒成立，令，则，所以不等式对于恒成立，所以恒成立，令，函数在上单调递减，所以，即[0.2,0.26]4330.20.250.1550.30.233433433433p p ⨯+⨯+⨯=+≤++++++0.26p ≤0.2p ≥[]0.2,0.26[]1,1-()221,111,11x kx x x f x kx x ⎧--≥≤-=⎨-+-<<⎩或1x ≥()2210x f x kx --≥=2k x ≤-2y =11x x-≥1k ≤1x ≤-()2210x f x kx --≥=],1-∞-121x x -≤-1k ≥-11x -<<()0f x ≥()()1010f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩1010k k +≥⎧⎨-+≥⎩11k -≤≤[]1,1-[]1,1-()1,-+∞4220xxa ⋅-+>(],0x ∈-∞()22220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞2x t =(]0,1t ∈220at t -+>(]0,1t ∈22212t a t t -⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭(]0,1∈m =[)1,∈+∞221224y m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭[)1,+∞()2max21m m-+=-，所以，即实数a 的取值范围是.故答案：为2max 1121t t ⎡⎤⎛⎫-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1a >-()1,-+∞()1,-+∞16.答案：（1）（2）增函数，证明见解析（3）解析：（1）因为函数的图像关于点中心对称，所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，即函数的图像关于点中心对称，因此函数是奇函数，于是有，即因为，所以符合题意；（2）因为设，是任意两个实数，且，因为，所以，因此，所以函数（3）因为函数的图像关于点中心对称，所以，即，所以由，因为函数所以，或，解得，或，因此原不等式的解集为.2a =()(),01,-∞+∞ ()f x a =-x ∈R ()0,1()0,0()2121x g x a =--+()0,0()2121x g x a =--+()2010211g a a =--=⇒=+()1g x =()()222221*********x x x x g x g x -⨯+-+=-+-=-=+++()1g x =a =1x 2x 12x x <()()121222222121x x f x f x -=--+=++12x x <1222x x <()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<()2f x =(f x ()0,1()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-()()()()()4232242232232x x x x x f f f f f ⎡⎤+-⨯>⇒>--⨯=--⨯⎣⎦()2f x =()()()42322122022x x x x x --⨯⇒-->⇒>>21x <1x >0x <()(),01,-∞+∞17.答案：(1)平均数为71，众数为75；(2)88；(3)平均数为76，方差为12.解析：（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，平均数.由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.（2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，第分位数落在第5组，设为x ，则，解得.“防溺水达人”的成绩至少为88分.（3）)的频率为0.15，)的频率为0.30，的频率与的频率之依题意有，，解得，所以内的平均成绩为76，方差为12.18.答案：（1）；（2）至少到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到解析：（1）若选择模型（，），则解得.若选择模型，则解得，450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.100.150.150.300.700.90+++=<0.700.250.950.90+=>90%()0.70800.0250.90x +-⨯=88x =[60,70[70,80=)70,80[)60,8012736733=⨯+76=()222212299(6773)767333s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦2212s =[)70,8081443xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭21213255y x =+2810m x y ka =0k >1a >2336,48,ka ka ⎧=⎨=⎩a ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭2(0)y mx n m =+>436,948,m n m n +=⎧⎨+=⎩1205m =>n =故函数模型为（2）把代入，可得，把代入，因为26.4与20相差比较大，故选择模型更合适.，可得，两边取对数可得，即，所以，至少要到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到.解析：(1)甲同学所有可能的选择答案有11种：，，，，，，，，，，，其中正确选项只有一个，样本空间，共11个基本事件，所以他猜对本题得5分的概率为(2)由题意得乙得0分的概率为乙比丙刚好多得5分的情况包含：事件B ：乙得10分，丙得5分，则事件C ：乙得7分，丙得2分，则AB AC AD 2125y x =+0x =81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭8120.254y ==0x =2125y x =+13226.45y ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭48103x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4403x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4lg lg 403x ≥lg 402lg 2120.3113.3342lg 2lg 320.30.48lg 3x +⨯+≥=≈≈-⨯-14x ≥2810m BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD {},,,,,,,,,,AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD Ω=P =11124--=1162--=()111111226336P B ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()1111111124422323P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭事件D ：乙得5分，丙得0分，则所以乙比丙总分刚好多得5分的概率()111111244233P D ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()111361236P P B C D =++=++=。
人教B版高中数学必修第三册精品课件 第7章 三角函数 7.2.1 三角函数的定义
-1
0
不存在
3.若cos α>0,tan α<0,则角α是第四象限角.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“ ”,错误的画“×”.
(1)三角函数也是函数,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
(
(2)若sin α=sin β,则α=β.( × )
(3)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0.(
.
解析:由 1 125°=1 080°+45°,知 1 125°角是第一象限角,所以 sin 1 125°>0;
37π
13π
37π
因为 12 =2π+ 12 ,所以 12 是第三象限角,所以
37π
37π
tan 12 >0,sin 12 <0,故
37π
37π
tan ·sin <0;
12
12
因为 3 弧度的角在第二象限,所以 sin 3>0,tan
α<0,求x的值.
思想方法
用分类讨论的思想求三角函数值
【典例】 已知角θ的终边经过点P(3t,-4t),t≠0,求sin θ,cos θ,tan θ的值.
解: 设 x=3t,y=-4t,则 r= 2 + 2 =5|t|.由题意知,t≠0.当 t>0 时,r=5t,
∴sin
θ=
=
-4 4
三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”,即按象限依次为:第一象限
全为正;第二象限正弦为正;第三象限正切为正;第四象限余弦为正.
(3)
角α
sin α
cos α
tan α
人教B版(2019)高中数学必修第三册第七章《三角函数》检测卷(含答案)
人教B 版（2019）高中数学必修第三册第七章《三角函数》检测卷一、单选题（本题有12小题，每小题5分，共60分）1．已知角α的终边经过点(12,)5-，则sin α等于（ ）A ．15B ．15-C ．513D ．513-2．已知24tan 7θ=，且θ为第三象限角，则cos π2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-3．函数2()sin 2f x x x =在区间[],ππ-上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若函数()()sin f x A x =+ωϕ的部分图像如图所示，则()f x 图像的一条对称轴是（ ）A ．65x π=-B ．1124x π=-C ．1112π=x D ．116x π=5．如图，一个半径为2的水轮，圆心O 距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分钟逆时针旋转4圈．水轮上的点P 到水面的距离y （米）与时间x （秒）满足()sin y A x k ωϕ=++（0A >），则（ ）A ．2π15ω=B ．3A =C ．2k =D ．0ϕ=6．函数()()lg tan 1f x x =-的定义域为（ ）A ．ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ZB ．ππππ,22x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ZC ．πππ,2x k x k k ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭ZD ．ππππ,42x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z7．已知sin 2cos 1sin 3cos 6αααα-=+，则22cos 3sin 24sin cos αααα-=+（ ）A ．1316-B ．1118-C ．712-D ．9148．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若将该函数的图象向左平移6π个单位长度后得到的函数图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的解析式是（ ）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭C ．()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．要得到函数2cos2y x =的图象﹐只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移3π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度10．已知tan 2α=，则sin cos αα=（ ） A ．27B ．310 C ．25D ．71111．若函数()sin(3)f x x ϕ=+是偶函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()sin 2g x x ϕ=+的图象（ ）A ．关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称B ．可由函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到 C ．关于直线512x π=对称 D ．可由函数sin 2y x =的图象向左平移12π个单位得到 12．如果函数()cos 2y x ϕ=+的图像关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，那么ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．3π D ．23π二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分） 13．满足πsin 2sin6x >的x 的取值范围________ 14．函数()12sin2f x x =-的最小正周期是________15．已知()1sin 753α+=，则()cos 15α-的值为________．16．设12,αα∈R ，且()121202020212sin 2sin 2αα+=++，则()12tan αα+=________．三、解答题（本题有6小题，共70分）17．（10分）已知函数()()sin 0,0,,R 2f x A x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的图象的一部分如图所示：（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 图象的对称轴方程及对称中心．18．（12分）已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意的1x D ∈，都存在2x D ∈，满足()()121f x f x =，则称函数()f x 为“L 函数”． （1）判断函数()3sin ,2f x x x R =+∈是否为“L 函数”，并说明理由；（2）已知“L 函数”()f x 是定义在[,]a b 上的严格增函数，且()0,()0f a f b >>，求证：()()1f a f b ⋅=19．（12分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为04,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中00y >．（1）求0y 和sin α，cos α，tan α的值； （2）求()()πcos cos 2π2sin cos αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭--的值．20．（12分）已知函数2()sin cos cos f x x x x =+． （Ⅰ）若02πα<<，且sin α=()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．21．（12分）已知函数2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅰ）求函数()f x 的周期及图象的对称中心；（Ⅱ）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域22．（12分）已知函数()22sin cos 222x x xf x =+（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若不等式()3f x m -≤对任意ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求整数m 的最大值；（3）若函数()π2g x f x =-⎛⎫ ⎪⎝⎭，将函数()g x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移π12个单位，得到函数()y h x =的图像，若关于x 的方程()()1sin cos 02h x k x x -+=在π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围．参考答案1．D 【分析】由任意角三角函数的定义可得结果. 【详解】 依题意得5sin 13α==-.故选：D. 2．C 【分析】由题得πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再解方程sin 24cos 7θθ=，22sin +cos =1θθ，即得解. 【详解】由题得πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为24tan 7θ=，所以sin 247sin cos cos 724θθθθ=∴=，， 因为22227sin +cos =1sin +(sin )=124θθθθ∴，， 因为θ为第三象限角，所以24sin 0,sin 25θθ<∴=-. 所以cos π2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2425. 故选：C 3．B 【分析】利用奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，且()02f π=，即可排除A 、C 、D.【详解】由22()()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-，即()f x 是奇函数，排除C 、D ； 当2x π=时，2()sin 024f πππ==，故排除A ； 故选：B4．B 【分析】本题首先可根据图像得出函数()f x 的最小正周期以及周期的14，然后求出函数()f x 的对称轴，最后与四个选项对比，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，函数()f x 的最小正周期为253πππ362， 周期的14为38π，结合图像易知，函数()f x 的对称轴为533113πππππ682242x k k k Z 或23373πππππ382242xk k k Z ，与四个选项对比易知，1124x π=-是函数()f x 的一条对称轴， 故选：B 5．A 【分析】先根据h 的最大和最小值求得A 和k ，利用周期求得ω，由题意ϕ的值无法确定由此得解． 【详解】解：水轮的半径为2，水轮圆心O 距离水面1m ，由题意可得31A kA k =+⎧⎨-=-+⎩，∴解得2A =，1k =，可得B ，C 选项错误，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒， 215T πω∴==，215πω∴=，可得A 正确， 又由题意，未指明初始位置ϕ的值无法确定，故D 错误． 故选：A ． 6．D 【分析】先根据对数函数定义域的求法得到tan 1x >，再利用三角不等式的解法求解. 【详解】若函数有意义， 则tan 10x ->， tan 1x ∴>， ππππ,42k x k k ∴+<<+∈Z 所以函数的定义域为ππππ,42x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选：D 7．A 【分析】已知式分子分母同除以cos α求得tan α，待求式应用平方关系后分子分母同除以2cos α化为tan α的式子，代入tan α可得．【详解】 由sin 2cos 1sin 3cos 6αααα-=+可得tan 21tan 36αα-=+，所以tan 3α=，则222222cos 3sin cos 3sin 24sin cos 2sin 2cos 4sin cos αααααααααα--==+++ 2213tan 127132tan 24tan 1821216ααα--==-++++. 故选：A ． 8．A 【分析】 由最小正周期2T ππω==，知2ω=，再结合图象平移变换和对称性，可得3k πϕπ=+，k Z ∈，从而得解． 【详解】解：最小正周期2T ππω==且0>ω，2ω∴=，()sin(2)ϕ∴=+f x x ，将其向左平移6π个单位长度后得sin 2sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，该函数的图象关于点(,0)3π-对称，sin 2sin 0333πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，3k πϕπ∴-+=，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，又||2ϕπ<，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π∴=+．故选：A ． 9．D 【分析】先将2cos2y x =化为(2sin 2)2y x π=+，进而按照平移的方法得到答案.【详解】因为2cos 22sin 22sin 226(6)y x x x πππ⎡⎤⎛⎫==+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数2cos2y x =的图象﹐只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度. 故选：D. 10．C 【分析】利用同角三角函数的性质及同角三角函数间符号的关系，求sin α、cos α，进而求sin cos αα. 【详解】 ∵tan 20α=>，∴sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2sin cos 5αα=.故选：C 11．D 【分析】根据函数()f x 是偶函数，可知0x =是函数()f x 的对称轴，代入对称轴方程可求出ϕ的值，从而可得()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭代入()g x 求值即可判断A ；求出平移后的解析式可判断B ；将512x π=代入函数解析式求值可判断C ；求出平移后的解析式可判断D. 【详解】因为函数()sin(3)f x x ϕ=+是偶函数，所以0x =是函数()f x 的对称轴， 所以3,2k k πϕπ=+∈Z ，所以,63k k ππϕ=+∈Z ， 又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将3x π=-代入可得()2sin sin 10362g x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 不关于点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭对称，故A 错误；将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到函数sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故B 错误； 当512x π=时，55sin 2sin 012126g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是1-或1，故直线512x π=不是函数()g x 的对称轴，故C 错误； 将函数sin 2y x =的图象向左平移12π个单位得到函数sin 2sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 正确. 故选: D 12．B 【分析】由题意有3cos()0πϕ+=，根据余弦函数的性质求ϕ，即可知ϕ的最小值.【详解】由题意，3cos()0πϕ+=，则32k ππϕπ+=+，解得6k πϕπ=+()k ∈Z ，∴当0k =时，ϕ的最小值为6π. 故选：B13．5,1212x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】根据正弦函数性质求解．【详解】 由πsin 2sin6x >得522266k x k ππππ+<<+，即51212k x k ππππ+<<+，k Z ∈．故答案为：5,1212x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 14．π 【分析】直接利用正弦型函数的周期公式计算可得； 【详解】因为()12sin2f x x =-所以()12sin2f x x =-的最小正周期22T ππ==， 故答案为：π 15．13【分析】由三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】()()()1cos 15cos 9075sin 753ααα⎡⎤-=-+=+=⎣⎦， 故答案为：13.16．1 【分析】根据正弦函数的性质，结合已知等式求得1α和2α，然后代入计算可得． 【详解】11sin 1α-≤≤，()2sin 211α≤≤-， 所以112sin 3α≤+≤，()2sin 2312α≤+≤，1112sin α≤+，()21sin 122α≤+，所以()12120201202020212sin 2sin 2αα+≤+=++， 又已知()121202020212sin 2sin 2αα+=++，所以1sin 1α=-，2sin 21α=-，1122k παπ=-，22222k παπ=-，12,k k Z ∈，1212122(21)244k k k k πππααπππ+=-+-=+-+，而1221k k Z +-∈，所以12tan()tan 14παα+==．故答案为：1．17．（1）()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）对称轴41x k =+，()k Z ∈；对称中心为(41,0)k -，()k Z ∈． 【分析】（1）根据图形的最高点最低点，得到2A =，以及观察到一个周期的长度为8，求出4πω=，在代入点(1,2)的坐标即可求出4πϕ=，从而得到表达式；（2）利用正弦曲线的对称轴和对称中心，将44x ππ+看作整体进行计算即可.【详解】解：（1）由题图知2A =，8T =，28T πω==，4πω∴=，又图象经过点(1,2)，2sin 24πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭．||2πϕ<，4πϕ∴=，()2sin 44f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（2）令442x k ππππ+=+，k Z ∈．41x k ∴=+，()Z k ∈()f x 图象的对称轴41x k =+，()k Z ∈令44x k πππ+=，k Z ∈．()41x k k Z ∴=-∈．()f x 图象的对称中心为()41,0k -，()k Z ∈18．（1）不是，理由见解析 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据“L 函数”的定义直接判断即可；（2）设()0,x a b ∀∈由题意可得()()()00f a f x f b <<<，利用反证法假设()()1f a f b ⋅<、()()1f a f b ⋅>，根据题意得出与“L 函数”的定义矛盾，即可求证.【详解】（1）由()3sin ,2f x x x R =+∈可得()113sin 2f x x =+，对于任意的x ∈R ，11sin 1x -≤≤，所以()11315sin ,222f x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，所以()112,25f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 同理可得()22315sin ,222f x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，若函数()f x 是定义域内的“L 函数”，则有对任意的1x D ∈，都存在2x D ∈，()()121f x f x =， 即都有()()211f x f x =，当()1121,52f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，并不存在()2f x 的值与之对应， 比如当1π2x =时，()1135sin 22f x x =+=，若是“L 函数”则()()121f x f x =，可得()2232sin 25f x x =+=，解得211sin 10x =-，此时2x 不存在， 所以函数()3sin ,2f x x x R =+∈不是“L 函数”．（2）反证法证明如下：因为“L 函数”()f x 是定义在[,]a b 上的严格增函数，设()0,x a b ∀∈ 则有()()()00f a f x f b <<<， 假设()()1f a f b ⋅<，()0,x a b ∀∈有0()()()()1f a f x f a f b ⋅<⋅<，这与“L 函数”的定义矛盾， 假设()()1f a f b ⋅>，()0,x a b ∀∈，有0()()()()1f b f x f a f b ⋅>⋅>，这与“L 函数”的定义矛盾， 所以假设不成立，所以()()1f a f b ⋅=成立.19．（1）035y =，3sin 5α=，4cos 5α=-，3tan 4α=-；（2）17-．【分析】（1）根据题意求得0y 的值，结合三角函数的定义，即可求解； （2）根据三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解. 【详解】（1）由题意知1OP =，所以220415y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得035y =±，因为00y >，所以035y =，根据三角函数的定义，可得则3sin 5α=，4cos 5α=-，3tan 4α=-． （2）由三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，可得：()()π3cos cos 2π1sin cos tan 11243sin cos sin cos tan 1714αααααααααα⎛⎫-++-+ ⎪++⎝⎭====-------．20．（Ⅰ）1；（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 【分析】（Ⅰ）根据特殊角的三角函数值知4πα=，故cos α=，代入求值即可； （Ⅱ）利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式得到1())42f x x π=++，则利用正弦函数的单调性解答． 【详解】解：（Ⅰ）因为02πα<<，sin α=4πα=．所以cos α=．所以()1f α==． （Ⅱ）因为211cos 21111()sin cos cos sin 2sin 2cos 2)2222242x f x x x x x x x x π+=+=+=++=++， 由222242k x k πππππ-++，k Z ∈，得388k x k ππππ-+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为3[,]88k k ππππ-+，k Z ∈． 21．（I ）π；(,0)122k ππ-+，k Z ∈.（II ）[1,2]- 【分析】（I ）对三角函数化简求得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而求得周期及对称中心；（II ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72[,]666x πππ+∈，根据三角函数的性质，求得函数值域.【详解】（I ）2()2sin 212cos 26333f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 22sin 2366x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则函数()f x 的周期为π，对称中心满足26x k ππ+=，即122k x ππ=-+， 对称中心为(,0)122k ππ-+，k Z ∈. （II ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72[,]666x πππ+∈，由正弦函数的性质知，()2sin 2[1,2]6f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-22．（1）5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）4；（3）⎡⎢⎣⎦． 【分析】（1）利用辅助角公式化简()f x ，然后整体代入法求()f x 的单调区间；（2）先整体代入法求出()f x 的值域，由题意可知：()3f x m -≤等价于()33m f x m -≤≤+恒成立，则有()min 3m f x -≤，()max 3m f x +≥，列出不等式求解可得m 的最大值；（3）由三角函数的平移变换求出函数()h x 解析式，代入方程， 令sin cos t x x =+∈⎣，则方程可转化为210t kt --=在t ∈⎣内有解，分离k 根据单调性可求出k 的范围. 【详解】解：（1）由题意得，()22sin cos 222x x xf x =+2sin 2cos 12x x ⎫=-⎪⎭sin x x =π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由22232πππππk x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得5ππ2π2π66k x k -+≤≤+，k ∈Z ，可得函数()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）因为ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π633x ≤+≤，所以1πsin 123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当π6x =-时，()f x 的最小值为1；当π6x =时，()f x 的最大值为2， 所以()12f x ≤≤．由题意得，()33f x m -≤-≤，所以()33m f x m -≤≤+对一切ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，所以3132m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得14m -≤≤，所以整数m 的最大值为4．（3）由题意知，()ππππ2sin 2sin 2236g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将函数()g x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）， 得π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移π12个单位得()ππ2sin 22sin 2126h x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为关于x 的方程()()1sin cos 02h x k x x -+=在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，整理得：()sin2sin cos 0x k x x -+=，即()2sin cos sin cos 0x x k x x -+=（*）在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭⎣，（*）式可转化为：210t kt --=在t ∈⎣内有解，所以1k t t =-，t ∈⎣，又因为y t =和1y t =-在t ∈⎣为增函数，所以1y t t =-在⎣为增函数，所以当t =1k t t =-取得最小值2-；当t =1k t t =-所以k ⎡∈⎢⎣⎦，综上所述：k 的取值范围为⎡⎢⎣⎦．。
(人教版B版最新)高中数学必修第三册 第七章综合测试01-答案
第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】A【解析】根据任意角的三角函数定义可得tan 3α=，所以πsin(π)sin sin cos 22cos(2π)2cos αααααα⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭=-1131tan 12222α=-=-=.故选A . 8.【答案】A 【解析】由sin 3cos 53cos sin αααα+=-，得12cos 6sin αα=， 即tan 2α=，所以222222sin sin cos tan tan 2sin sin acos sin cos tan 15αααααααααα---===++. 9.【答案】A【解析】根据三角函数图像中点的变换关系求解. 因为点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上，所以. πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，所以π1,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将成P 向左平移(0)s s ＞个单位长度得π1,42'P s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为'P 在函数sin 2y x =图像上，所以π1sin 242s ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即1cos 22s =，所以π22π3s k =+或522ππ()3s k k =+∈Z ，即ππ6s k =+或5ππ()6s k k =+∈Z ，所以s 的最小值为π6. 10.【答案】B11.【答案】C【解析】由图易得3A =，函数()f x 的最小正周期2π7ππ4123T ω⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()3sin(2)f x x ϕ=+. 又因为点π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数图像上， 所以ππ3sin 2333f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π32π2π32k ϕ⨯+=+，k ∈Z ， 解得5π2π6k ϕ=+，k ∈Z . 又因为0πϕ＜＜，所以5π6ϕ=，所以5π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当π0,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5π5π3π2,662a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 又因为5π()3sin 216f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以5π1sin 2063α⎛⎫+= ⎪⎝⎭＞， 所以5π5π2,π66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5πcos 26α⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故选C . 12.【答案】D【解析】先求出()g x ，表示出()()12f x g x -，再结合三角函数的性质求解.因为()sin 2()sin(22)g x x x ϕϕ=-=-，所以()()()1212||sin 2sin 22|2f x g x x x ϕ-=--=.因为11sin 21x - ，()21sin 221x ϕ-- ，所以1sin 2x 和()2sin 22x ϕ-的值中，一个为1，另一个为1-，不妨取1sin 21x =，()2sin 221x ϕ-=-，则11π22π2x k =+，1k ∈Z ， 22π222π2x k ϕ-=-，2k ∈Z ，()12122222ππx x k k ϕ-+=-+，()12k k -=Z ，得()1212ππ2x x k k ϕ-=-+-. 因为π02ϕ＜＜，所以ππ022ϕ-＜＜， 故当120k k -=时，12min ππ23x x ϕ-=-=，则π6ϕ=，故选D . 二、 13.【答案】【解析】ππ2tan 33f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭∵，(98)(1002)lg1002f f -=-+==，2(98)23f f π⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭∴. 14.【答案】9【解析】因为函数()*π()sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 在区间ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以有πππ2π,662πππ2π,462k k ωω⎧+-⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ 即412483k k ω-+ ，k ∈Z .由412483k k -+ ，得43k . 当1k =时，288,3ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以正整数ω的最大值为9. 15.【答案】5ππ2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【解析】设函数解析式为()0sin()0,0y A x A ωϕω=+＞＞.由图像知2A =，0.8T =，所以2π2π5π0.82T ω===.又函数图像过点(0.1,2)，所以π22sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以π2π4k ϕ=+，k ∈Z . 不妨取π4ϕ=，则其函数解析式为5ππ2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 16.【答案】③④【解析】画出()f x 在[0,2π]上的图像，如图所示.由图像知，函数()f x 的最小正周期为2π，在当π2π()x k k =+∈Z 和3π2π()2x k k =+∈Z 时，该函数都取得最小值1-；故①②错误.由图像知，函数图像关于直线5π2π()4x k k =+∈Z 对称，在当π2π2π()2k x k k +∈Z ＜＜时，0()f x ＜，故③④正确. 三、17.【答案】解：（1）原式==== （2）原式222222sin 3sin cos sin cos sin cos ααααααα---=+ 2222tan 3tan tan 1189911tan 19110αααα------===-++. 18.【答案】解：（1）0A ∵＞，0ω＞，∴由函数图像可知2A =，002ππ2π2T x x ω⎡⎤⎛⎫==--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2ω=. 又∵函数图像过点13π,212⎛⎫⎪⎝⎭，13π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭∴， 13ππ22π122k ϕ⨯+=+∴，k ∈Z ，即52ππ3k ϕ=-，k ∈Z . 又π||2ϕ＜，π3ϕ=∴，π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴.由函数图像可得0π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴0ππ22π34x k +=+，k ∈Z ，即0ππ24x k =-，k ∈Z . 又013ππ13π12412x -∵＜＜，023π24x =∴. （2）由ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得ππ5π2,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 当ππ236x +=-，即π4x =-时，min π()14f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； 当ππ232x +=，即π12x =时，max π()212f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.19.【答案】解：（1）因为π1πππ()102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 又024t ＜ ，所以πππ7π31233t +＜ ，ππ1sin 1123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ . 当2t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当14t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 于是()f t 在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.（2）依题意，当()11f t ＞时实验室需要降温. 由（1）得ππ()102sin 123f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 故有ππ102sin 11123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞，即ππ1sin 1232t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜. 又024t ＜ ，因此7πππ11π61236t +＜，即1018t ＜＜. 故在10时至18时实验室需要降温.20.【答案】解：（1）白星时间最长的一天，即()D t 取得最大值的一天，此时170t =，对应的是6月20日（间年除外）.类似地，353t =时，()D t 取得最小值，即12月20日白昼最短.（2）()10.5D t ＞，即2π3sin (79)1210.5365t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦＞， 2π1sin (79)3652t ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∴＞，[0,365]t ∈， 49292t ∴＜＜，29249243-=.∴该地一年中约有243天的白昼时间超过10.5小时.21.【答案】解（1）因为π()24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. 由ππ2π22π4k x k -+-≤ ，k ∈Z ， 得3ππππ88k x k -++ ，k ∈Z . 故函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π()88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间ππ,82⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数.又π08f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππππ1244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当k ∈时方程()f x k =恰有两个不同的实数根.（3）3π()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵ππ2248x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ()22284g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴， 由题意得π2π4m k -=，k ∈Z ， kππ28m =-+∴，k ∈Z . 又0m ＞，∴当0k =时，min π8m =，此时()2g x x =的图像关于原点中心对称.22.【答案】解：（1）π()213f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵， 又函数()f x 的最小正周期为π2， 2ππ22ω=∴，2ω=∴，π()413f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴. 令π4π3x k +=，k ∈Z ，得ππ412k x =-， 其图像对称中心为ππ,1()412k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z . （2）由题意得23sin 3sin 2022x x m m --- . [0,2π]x ∈∵，[0,π]2x ∈∴， sin [0,1]2x ∈∴，23sin 223sin 12x m x -+ .设3sin 12x t =+，[1,4]t =，则1sin 23x t -=.设23sin 223sin 12y x x -=+， 则2213(1)225159233t t t t y t t t ⨯----⎛⎫===-- ⎪⎝⎭在[1,4]t ∈上是增函数. ∴当1t =时，min 2y =-，∴2m - .故实数m 的取值范围是(,2]-∞-.。