【课件-高等数学】_第五章 微分方程-1_
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高数微分方程PPT课件
Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
湘潭大学数学与计算科学学院
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第21页/共53页
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x) (1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
四、设圆柱形浮 筒,直径为 0.5m , 铅直放在水中, 当 稍
向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的 周期为 2s ,求浮筒的质量 .
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第18页/共53页
练习题答案
一、1、 y C1 C2e4 x ；
2、
x
(C1
C2t
)e
5t 2
；
3、 y e 3 x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ；
Dn
a Dn1 1
an1 D an
是D
的多项式
可进行相加和相乘的运算．
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3、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 若是k重根r
4、 y C1e2 x C2e2 x C3 cos 3 x C4 sin 3 x .
二、1、
y
e
x 2
(2
x)；
2、 y e2 x sin 3 x .
三、 y y 0 . (提示: 1, e x 为两个 线性无关的解)
四、M 195kg.
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难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
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设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x) (1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
四、设圆柱形浮 筒,直径为 0.5m , 铅直放在水中, 当 稍
向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的 周期为 2s ,求浮筒的质量 .
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练习题答案
一、1、 y C1 C2e4 x ；
2、
x
(C1
C2t
)e
5t 2
；
3、 y e 3 x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ；
Dn
a Dn1 1
an1 D an
是D
的多项式
可进行相加和相乘的运算．
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3、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 若是k重根r
4、 y C1e2 x C2e2 x C3 cos 3 x C4 sin 3 x .
二、1、
y
e
x 2
(2
x)；
2、 y e2 x sin 3 x .
三、 y y 0 . (提示: 1, e x 为两个 线性无关的解)
四、M 195kg.
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高等数学之微分方程课件
精品课程
序言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程
8-2 可分离变量法
一般地，形如 dy f (x)g( y) 的微分方程称为
dx
可分离变量的微分方程。
求解基本方法是：先变形、后积分。
8-3 微分方程应用（1）
增长与衰减 用分离变量法解实际中经常出现的方程 dy ky
dx
分离变量，得 dy kdx
y
两边积分，得
dy y
kdx
即
ln y kx c
y ekxc ekxec Aekx
其中，于是系数A为正值，所以 y Aekx Bekx
所以，微分方程 dy ky 总是联系于指数增长(k 0) 或
解 设所求运动规律为s=s ( t ) ，根据导数的力学意义，未知
函数s=s ( t ) 应满足方程 d 2s g (4)
dt2
由于自由落体的初始位置和初始速度均为零，未知函数
s=s
(
t
)满足条件
s
t 0
0, ds dt
t 0
0
把方程（4）两边积分，得
ds dt
gt
C1
(5)
再积分一次，得
y x2 1
精品课程
序言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程
8-1 什么是微分方程
引例2：质量为M的物体，受重力作用自由下降，试求物体下 落的运动规律?
常微分方程的基本概念ppt课件
其中 P(x) cos x, q(x) esin x
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 ： y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2
m
d
dt
g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)
gt C1,
再积一次分得：S
1 2
gt2
C1t
C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 ： y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2
m
d
dt
g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)
gt C1,
再积一次分得：S
1 2
gt2
C1t
C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.
《高等数学》教学课件：第三节 微分方程在生物医学中的应用实例
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics
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把M(t)=V·C(t)代入上式，得一阶线性微分方程
dC(t) dt
kAC(t) V
kA V
c0
初始条件是 C(t) |t0 C(0) ,解该线性微分方程，得特解
kAt
C(t) c0(c0 C(0))e V
从特解可以看出，当初始时刻细胞的浓度C(0)高于细胞
细胞c0内的浓度是随时间变化的，记为C(t)，又假
设细胞体积不变，记为V，细胞膜面积为A，那 么细胞内的浓度C(t)与质量M(t)的关系是 M(t)=V·C(t).细胞内的质量随时间的变化率与细
胞膜的面积和细胞膜内外的浓度差的乘积成正
比，比例系数为k，得微分方程
dM (t) dt
kA(c0
C(t))
(1)静脉注射给药
在快速静脉注射给药时，血药浓度C(t)下降率 与浓度成正比，比例系数k为消除速率常数， C(t)满足下面一阶微分方程和初始条件
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dC (t )
kC(t)
dt
C(0) C0
它是一阶可分离变量的微分方程，求特解得：
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14
注：使用微分方程描述生理过程时，有两种提法，一是解
正问题，另一是解反问题.解正问题指：用微分方程和初始 值求出问题的解，研究解随时间的变化，预言生理指标在 不同时刻的值.在解正问题时，必须要知道微分方程中各种 参数，可是，有时某些参数是不能事先知道的，而是要靠 实验数据决定的.因此，求解正问题有时是受到限制的，不 能实现.解反问题指：用实验数据决定微分方程中的参数， 所用的方法是拟合方法(关于拟合方法参见 ).拟合出微分 方程中的参数，就回到了解正问题.因为，微分方程是驱动 过程的本质，如果从专业知识知道了生理过程所满足的微 分方程，那么，根据微分方程的解的形式，选择拟合函数 就容易了. 总之，这里介绍的是最简单的一阶常微分方程在生理学和 医学中的部分应用，描述更复杂的问题时，还要用到诸如 常微分方程组(如肾透析问题)和高阶常微分方程，甚至用 到偏微分方程.请参考有关书籍.
高等数学微分方程总结ppt课件.pptx
y py qy 0,
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
高等数学 常微分方程PPT课件
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【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
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【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
高等数学：微分方程
两边积分,得
用lnC 表示任意常数,考虑到R >0,得积分结果
即
微分方程
微分方程
二、 一阶线性微分方程
我们把形如
的方程称为一阶线性微分方程.当q(x)≡0时,方程
称为一阶线性齐次微分方程;当q(x)≠0时,方程(6-15)称为一阶
线性非齐次微分方程.
微分方程
一阶线性齐次微分方程(6-16)是可分离变量的微分方程,
当p2-4q=0时,特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根,即
r1=r2=- ,此时
2
可得到方程(6-30)的一个特解y=er1x .容易验证
y=xer1x 也是方程(6-30)的一个特解, 且y1 =er1x 与y2 =xer1x 是线
性无关的.由定理6-1可知,齐次方程(6-30)的通解为
微分方程
1.f(x)=Pm (x)eλx 型
f(x)=Pm (x)eλx 型时,Pm (x)为m 次多项式,λ 为常数.此时,可
以证明方程(6-29)具有形如y* =xkQm (x)eλx 的特解,其中Qm (x)
静止状态下沉,所受阻力与下 沉速度成正比(比例系数为k 的
常数).试求潜水艇下沉深度s与时间t的函数关系式.
微分方程
解 潜水艇下沉过程中所受的力有重力、水对潜艇的浮
力及下沉时遇到的阻力.前两个 力都是常量,其合力称为下沉
力,即下沉力F= 重力-浮力;下沉时遇到的阻力大小为
由牛顿第二定律,有
即
微分方程
假设 y=erx是方程(6-30)的特解,其中r为待定常数.将y=erx 、
y'=rerx 、y″=r2erx代入 方程(6-30),得
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
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《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
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方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F (x, y, y,, y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
7
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20 t
8
三、物理实例
例3. 质点的弹性振动
介质中质量为m的质点，假定处在弹性约束之下
作一维振动(即仅需一个位置参数就可完全描述 质点状态的运动)，我们常以弹簧作为这类一维 弹性振动的代表模型(图5-3)
解：令质点的运动参数为 x x(t) 质图5-3 弹簧振子的振动
4
例2. 一质点在重力作用下自由下落(不计空气
阻力)，求质点在任意时刻t所在的位置.
解. 把质点初始位置取为坐标原点，并沿质点运
动方向取为轴正方向(如图5-1).设质点在时刻所
在t位置为，则质点的加速度为
O
d2x dt 2
g.
还应满足条件 x t0 0
dx dt
t0
0.
X
地面
将上式两端对t积分，得
t ln 24
T 20 480e 2 19
令 t 10, 代入即得10分钟后的温度
T (10)
5ln 24
20 480e 19
20 480 (19 )5
169.3C
24
13
生死人生数 英国诗人捷尼逊写过一首诗，
其中几行是这样写的：“每分钟都有一个人
在死亡，每分钟都有一个人在诞生……”
数
有个数学家读后去信质疑，信上说： “尊敬的阁下，读罢大作，令人一快，但有
海
几行不合逻辑，实难苟同。根据您的算法，
拾
每分钟生死人数相抵，地球上的人数是永恒
贝
不变的。但您也知道，事实上地球上的人口 是不断地在增长。确切地说，每分钟相对地
有1.6749人在诞生，这与您在诗中提供的数
字出入甚多。为了符合实际，如果您不反对，
我建议您使用7/6这个分数，即将诗句改为：
“每分钟都有一个人死亡，每分钟都有一又
六分之一人在诞生......”
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
通解:
dy dx
2x
y x1 2 y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
两次积分，即得
y(t)
1 2
gt 2
v0t
y0
11
例5.牛顿冷却定律
一温度为5000C物体置于200C的环境中，2分钟后温 度降为4000C，问5分钟后温度降至多少度？
解.本问题为物体冷却过程，该过程的状态参数为温 度，根据牛顿冷却定律，即物体温度下降速率和物体 与环境温差成正比，将定律表示成数学形式即得
dT k(T 20) dt
其中k为比例常数，由此即得时间t与温度T的
微元关系
kdt dT T 20
12
积分后即解得 T 20 Cekt
将初始状态数据 t 0,T 500 以及 t 2,T 400
代入，即可确定 C 480, k 1 ln 24
2 19
于是即得物体降温过程的定量描述
fi ma 将上述各力的数学式代入，可得
m
d2x dt 2
r
dx dt
ky
F (t)
上式即为有阻尼的质点弹性振动的微分方程.
10
例4. 落体运动
解：由牛顿第二定律 F mg ，则微分方程为
d2y dt 2
g
t 0 若当
时， 又由 v(0) v0, y(0) y0 得
再应用如上初始数据对方程式在区间上作
一、引例
例1. 一曲线过点(1, 2)，且曲线上任意点M(x,y)处
线的斜率为2x，求曲线方程.
解. 设所求曲线方程为根据导数的几何意
义，由题设可得
dy 2x, dx
对方程两端积分，得 y x2 C
其中C为任意常数.因为曲线过点(1,2)，所以
曲线方程应当满足条件 y x1 2
得C=1.于是所求曲线方程为 y x2 1.
第五章 微分方程
第一节 一些物理规律的数学描 述－微分方程 第二节 求解微分方程的积分法 第三节 微分方程在生物医学中 的应用实例
f (b) f (a) f '( )(b a)
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
2020年8月11日星期二
第一节 一些物理规律的数学描述－微分方程
2
3
点离开平衡位置的距离，于是质点
运动的瞬时速度 振动，瞬时加速
度
a(t)
dv dt
d2x dt 2
9
已知质点在介质中运动所受阻力与
质点速度成正比，f1
rv
r
dv dt
(r
为阻力系数)
根据胡克定律，质点受到的弹性恢复力
与位移成正比， f2 kx(k 为弹性系数)
再设质点受到外力 f3 F (t) 根据牛顿第二定律，
图5-1 物体自由下落
x'(t) gt C1
5
再积分，即得
x(t)
1 2
gt 2
C1t
C2.
由前面条件可定出 C1 C2 0. 因此，所求质点在时刻
t的位置为
x(t) 1 gt 2 2
6
二、微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F (x, y, y,, y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
7
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20 t
8
三、物理实例
例3. 质点的弹性振动
介质中质量为m的质点，假定处在弹性约束之下
作一维振动(即仅需一个位置参数就可完全描述 质点状态的运动)，我们常以弹簧作为这类一维 弹性振动的代表模型(图5-3)
解：令质点的运动参数为 x x(t) 质图5-3 弹簧振子的振动
4
例2. 一质点在重力作用下自由下落(不计空气
阻力)，求质点在任意时刻t所在的位置.
解. 把质点初始位置取为坐标原点，并沿质点运
动方向取为轴正方向(如图5-1).设质点在时刻所
在t位置为，则质点的加速度为
O
d2x dt 2
g.
还应满足条件 x t0 0
dx dt
t0
0.
X
地面
将上式两端对t积分，得
t ln 24
T 20 480e 2 19
令 t 10, 代入即得10分钟后的温度
T (10)
5ln 24
20 480e 19
20 480 (19 )5
169.3C
24
13
生死人生数 英国诗人捷尼逊写过一首诗，
其中几行是这样写的：“每分钟都有一个人
在死亡，每分钟都有一个人在诞生……”
数
有个数学家读后去信质疑，信上说： “尊敬的阁下，读罢大作，令人一快，但有
海
几行不合逻辑，实难苟同。根据您的算法，
拾
每分钟生死人数相抵，地球上的人数是永恒
贝
不变的。但您也知道，事实上地球上的人口 是不断地在增长。确切地说，每分钟相对地
有1.6749人在诞生，这与您在诗中提供的数
字出入甚多。为了符合实际，如果您不反对，
我建议您使用7/6这个分数，即将诗句改为：
“每分钟都有一个人死亡，每分钟都有一又
六分之一人在诞生......”
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
通解:
dy dx
2x
y x1 2 y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
两次积分，即得
y(t)
1 2
gt 2
v0t
y0
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例5.牛顿冷却定律
一温度为5000C物体置于200C的环境中，2分钟后温 度降为4000C，问5分钟后温度降至多少度？
解.本问题为物体冷却过程，该过程的状态参数为温 度，根据牛顿冷却定律，即物体温度下降速率和物体 与环境温差成正比，将定律表示成数学形式即得
dT k(T 20) dt
其中k为比例常数，由此即得时间t与温度T的
微元关系
kdt dT T 20
12
积分后即解得 T 20 Cekt
将初始状态数据 t 0,T 500 以及 t 2,T 400
代入，即可确定 C 480, k 1 ln 24
2 19
于是即得物体降温过程的定量描述
fi ma 将上述各力的数学式代入，可得
m
d2x dt 2
r
dx dt
ky
F (t)
上式即为有阻尼的质点弹性振动的微分方程.
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例4. 落体运动
解：由牛顿第二定律 F mg ，则微分方程为
d2y dt 2
g
t 0 若当
时， 又由 v(0) v0, y(0) y0 得
再应用如上初始数据对方程式在区间上作
一、引例
例1. 一曲线过点(1, 2)，且曲线上任意点M(x,y)处
线的斜率为2x，求曲线方程.
解. 设所求曲线方程为根据导数的几何意
义，由题设可得
dy 2x, dx
对方程两端积分，得 y x2 C
其中C为任意常数.因为曲线过点(1,2)，所以
曲线方程应当满足条件 y x1 2
得C=1.于是所求曲线方程为 y x2 1.
第五章 微分方程
第一节 一些物理规律的数学描 述－微分方程 第二节 求解微分方程的积分法 第三节 微分方程在生物医学中 的应用实例
f (b) f (a) f '( )(b a)
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
2020年8月11日星期二
第一节 一些物理规律的数学描述－微分方程
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点离开平衡位置的距离，于是质点
运动的瞬时速度 振动，瞬时加速
度
a(t)
dv dt
d2x dt 2
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已知质点在介质中运动所受阻力与
质点速度成正比，f1
rv
r
dv dt
(r
为阻力系数)
根据胡克定律，质点受到的弹性恢复力
与位移成正比， f2 kx(k 为弹性系数)
再设质点受到外力 f3 F (t) 根据牛顿第二定律，
图5-1 物体自由下落
x'(t) gt C1
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再积分，即得
x(t)
1 2
gt 2
C1t
C2.
由前面条件可定出 C1 C2 0. 因此，所求质点在时刻
t的位置为
x(t) 1 gt 2 2
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二、微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程