2021年四川省自贡市中考数学压轴题总复习(附答案解析)
6．阅读材料：
若a，b都是非负实数，则a+b ．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
证明：∵（ ）2≥0，∴a b≥0．
∴a+b ．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．
9．【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；
（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF ，BC＝5 ，求DM的值．
3．在平面直角坐标系xOy中，过点N（6，﹣1）的两条直线l1，l2，与x轴正半轴分别交于M、B两点，与y轴分别交于点D、A两点，已知D点坐标为（0，1），A在y轴负半轴，以AN为直径画⊙P，与y轴的另一个交点为F．
（1）求二次函数y x2+bx+c的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．
（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．
（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．
①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝9图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．
7．如图，二次函数y x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．
2021年四川省自贡市中考数学压轴题总复习
中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。
1．在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q（x1，y1）与P（x2，y2）．若Q，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记做DPQ．特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，﹣1），点Q（3，﹣2），此时点Q与点P之间的“折距”DPQ＝3．
（1）①已知O为坐标原点，点A（3，﹣2），B（﹣1，0），则DAO＝，DBO＝．
②点C在直线y＝﹣x+4上，请你求出DCO的最小值．
（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y＝3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”DEF的最小值．
2．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．
（1）求M点坐标；
（2）如图1，若⊙P经过点M．
①判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；②求弦AF的长；
（3）如图2，若⊙P与直线l1的另一个交点E在线段DM上，求 NE+AF的值．
4．如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．
举例应用：
已知x＞0，求函数y＝2x 的最小值．
解：y＝2x 4．当且仅当2x ，即x＝1时，“＝”成立．
当x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4．
问题解决：
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（ ）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．
（1）当点P与点B重合时，求t的值．
（2）用含t的代数式表示线段CE的长．
（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．
（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．
5．[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求 的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
四川省自贡市中考数学压轴题总复习含答案解析
（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．
（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．
7．如图，二次函数y x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．
举例应用：
已知x＞0，求函数y＝2x 的最小值．
解：y＝2x 4．当且仅当2x ，即x＝1时，“＝”成立．
当x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4．
问题解决：
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（ ）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．
（1）当点P与点B重合时，求t的值．
（2）用含t的代数式表示线段CE的长．
（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．
（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．
5．[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为；
③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．
2021年-四川省自贡市中考数学试卷及解析
2021年四川省自贡市中考数学试卷一。
选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．22．（4分）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C． D．（﹣a3）2=﹣a63．（4分）2021年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（）A．44。
58×107B．4。
458×108C．4。
458×109D．0。
4458×10104．（4分）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°5．（4分）下面几何的主视图是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．167．（4分）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是568．（4分）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合B．类比C．演绎D．公理化9．（4分）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．10．（4分）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（）A．B．C．D．11．（4分）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．二。
2021年自贡市中考数学试卷含答案解析
2021年自贡市中考数学试卷含答案解析2021年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 计算的结果是A. B. C. 4 D. 2 【答案】A【解析】解：；故选：A．利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2. 下列计算正确的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：原式，故A错误；原式，故B错误；原式，故D错误；故选：C．根据相关的运算法则即可求出答案．本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3. 2021年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：，故选：B．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是非负数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4. 在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若，则的度数是A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由题意可得：，．故选：D．直接利用平行线的性质结合已知直角得出的度数．第1页，共15页此题主要考查了平行线的性质，正确得出的度数是解题关键．5. 下面几何的主视图是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，故选B．主视图是从物体正面看所得到的图形．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．E分别是AB、AC的中点，6. 如图，在中，点D、若的面积为4，则的面积为 A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D【解析】解：在中，点D、E分别是AB、AC的中点，，，∽，，，的面积为4，的面积为：16，故选：D．，直接利用三角形中位线定理得出，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出∽是解题关键．80、98、7. 在一次数学测试后，随机抽取九年级班5名学生的成绩单位：分如下：98、83、91，关于这组数据的说法错误的是 A. 众数是98 B. 平均数是90 C. 中位数是91 D. 方差是56 【答案】D第2页，共15页【解析】解：98出现的次数最多，这组数据的众数是98，A说法正确；，B说法正确；这组数据的中位数是91，C说法正确；，D说法错误；故选：D．根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键．8. 回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是A. 数形结合B. 类比C. 演绎D. 公理化【答案】A【解析】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．故选：A．从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．9. 如图，若内接于半径为R的，且，连接OB、OC，则边BC的长为 A.B. C.D.【答案】D【解析】解：延长BO交于D，连接CD，则，，，，，，故选：D．延长BO交圆于D，连接CD，则，；又，根据第3页，共15页锐角三角函数的定义得此题综合运用了圆周角定理、直角三角形角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．2、3、n，这四个数中任取两数，10. 从、分别记为m、那么点在函数图象的概率是A.【答案】BB.C.D.【解析】解：点在函数的图象上，．列表如下： m n mn 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 62 2 6 6 6 mn的值为6的概率是．故选：B．根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，列表找出所有mn的值，根据表格中所占比例即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出的概率是解题的关键．11. 已知圆锥的侧面积是，若圆锥底面半径为，母线长为，则R关于l的函数图象大致是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意得，，则，故选：A．根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断即可．本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．第4页，共15页12. 如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则的面积为A.B. C.D.【答案】C【解析】解：作于G，于H，则，，，，，，，由旋转变换的性质可知，是等边三角形，，由题意得，，，，，，的面积，故选：C．作于G，于H，根据旋转变换的性质得到是等边三角形，根CH，据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共24分） 13. 分解因式： ______．【答案】【解析】解：原式提取公因式完全平方公式先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解完全平方公式：．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要分解要彻底．第5页，共15页14. 化简结果是______．【答案】【解析】解：原式故答案为：根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型．15. 若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为______．【答案】【解析】解：函数的图象与x轴有且只有一个交点，，解得：．故答案为：．由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．16. 六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为______、______个【答案】10；20【解析】解：设甲玩具购买x个，乙玩具购买y个，由题意，得，解得，甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，故答案为：10，20．根据二元一次方程组，可得答案．本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．17. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2021个图形共有______个．第6页，共15页【答案】6055【解析】解：观察图形可知：第1个图形共有：，第2个图形共有：，第3个图形共有：，，第n个图形共有：，第2021个图形共有，故答案为：6055．每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化． 18. 如图，在中，，，将它沿AB翻折得到，则四边形ADBC的形状是______形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则的最小值是______．【答案】菱；【解析】解：沿AB翻折得到，，，，，四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图第7页，共15页作出F关于AB的对称点M，再过M作，交ABA于点P，此时最小，此时，过点A作，，，作，，，由勾股定理可得，，，可得，，，最小为，故答案为．根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作，交ABA于点P，此时最小，求出ME即可．此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19. 计算：．【答案】解：原式．故答案为2．第8页，共15页【解析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．20. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【答案】解：解不等式，得：；解不等式，得：，不等式组的解集为：．将其表示在数轴上，如图所示．【解析】分别解不等式、求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键．21. 某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：在这次调查中，一共调查了______名学生；补全条形统计图；若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有______人；在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是______．【答案】100；600；【解析】解：爱好运动的人数为40，所占百分比为共调查人数为：爱好上网的人数所占百分比为爱好上网人数为：，爱好阅读人数为：，补全条形统计图，如图所示，爱好运动所占的百分比为，估计爱好运用的学生人数为：第9页，共15页。
2021年中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何(压轴题2)(学生版)
中考真题分类汇编（函数）----函数与几何（2）1.（2021•四川省眉山市）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积．2.（2021•四川省南充市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2021•遂宁市）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴x=-，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，交于C（0，－3），对称轴为直线1与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．4. (2021•四川省自贡市) 如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5. （2021•天津市）已知抛物线22y ax ax c =-+（a ，c 为常数，0a ≠）经过点()0,1C -，顶点为D ．（Ⅰ）当1a =时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当0a >时，点()0,1E a +，若22DE DC =，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当1a <-时，点()0,1F a -，过点C 作直线l 平行于x 轴，(),0M m 是x 轴上的动点，()3,1N m +-是直线l 上的动点．当a 为何值时，FM DN +的最小值为10，并求此时点M ，N 的坐标．6. 2021•湖北省恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点B ，D （﹣4，5）两点，且与直线DC 交于另一点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2021•浙江省金华市）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．8.（2021•湖北省荆门市）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO|+|QA|的最小值；（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接P A，PB，记△P AQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．9.（2021•江苏省盐城市）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P ′也随之运动，并且点P ′的运动轨迹能形成一个新的图形． 试根据下列各题中所给的定点A 的坐标、角度α的大小来解决相关问题． 【初步感知】如图1，设A （1，1），α＝90°，点P 是一次函数y ＝kx +b 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P 1（﹣1，1）．（1）点P 1旋转后，得到的点P 1′的坐标为 （1，3） ；（2）若点P ′的运动轨迹经过点P 2′（2，1），求原一次函数的表达式． 【深入感悟】如图2，设A （0，0），α＝45°，点P 是反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上的动点，过点P ′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M ，求△OMP ′的面积． 【灵活运用】 如图3，设A （1，﹣），α＝60°，点P 是二次函数y ＝x 2+2x +7图象上的动点，已知点B （2，0）、C （3，0），试探究△BCP ′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．10. （2021•重庆市A ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．11.（2021•重庆市B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求△P AD 面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4（a ≠0）沿射线AD 平移4个单位，得到新的抛物线y 1，点E 为点P 的对应点，点F 为y 1的对称轴上任意一点，在y 1上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．12. （2021•湖北省十堰市） 已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．13. （2021•湖南省张家界市）如图，已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点)3,2(-C ，且与x 轴交于原点及点)0,8(B .(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式； （3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为⊙O 上的动点，且⊙O 的半径为 22，一动点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值.14. （2021•海南省）已知抛物线y ＝ax 2+x +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且点A 的坐标为（﹣1，0）、点C 的坐标为（0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P ，求△PBC 的面积；（3）如图2，有两动点D 、E 在△COB 的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C 和点B 同时出发，点D 沿折线COB 按C →O →B 方向向终点B 运动，点E 沿线段BC 按B →C 方向向终点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，请解答下列问题： ①当t 为何值时，△BDE 的面积等于；②在点D 、E 运动过程中，该抛物线上存在点F ，使得依次连接AD 、DF 、FE 、EA 得到的四边形ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标．_y _x _ A_ B _ O _ C _ P15. （2021•广西玉林市）已知抛物线：234y ax ax a =--（0a >）与x 轴交点为A ，B（A 在B 的左侧），顶点为D ．（1）求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）若直线32y x =-与抛物线交于点M ，N ，且M ，N 关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D 在直线7:8l y =上，设直线l 与y 轴的交点为O '，原抛物线上的点P 平移后的对应点为点Q ，若O P O Q ''=，求点P ，Q 的坐标．16. （2021•广西贺州市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，且()1,0A -，对称轴为直线2x =．（1）求该抛物线的函数达式；（2）直线l 过点A 且在第一象限与抛物线交于点C ．当45CAB ∠=︒时，求点C 的坐标； （3）点D 在抛物线上与点C 关于对称轴对称，点P 是抛物线上一动点，令(,)P P P x y ，当1P x a ≤≤，15a ≤≤时，求PCD 面积的最大值（可含a 表示）．17. 2021•山东省济宁市）如图，直线y ＝﹣x +分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点D （0，3），抛物线的对称轴l 交AD 于点E ，连接OE 交AB 于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE ⊥AB ；（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．18 . (2021•内蒙古包头市) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，点(,)M m n 是抛物线上一动点．（1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时，①求点M 的坐标： ②若点15,4B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM ，BM ，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M ，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D ，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K ，点7,3E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM 于点N ，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接GF ．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．19. （2021•齐齐哈尔市） 综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为2x =，点D 为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．20.（2021•内蒙古通辽市）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
2021年四川省自贡市中考数学试卷
2021年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2021•自贡）自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一．今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为( )A ．50.88710⨯B ．38.8710⨯C ．48.8710⨯D ．388.710⨯2．（4分）（2021•自贡）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是( )A ．百B ．党C ．年D ．喜3．（4分）（2021•自贡）下列运算正确的是( )A ．22541a a -=B ．23246()a b a b -=C ．933a a a ÷=D ．222(2)4a b a b -=-4．（4分）（2021•自贡）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2021•自贡）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是( )A ．72︒B ．36︒C ．74︒D ．88︒6．（4分）（2021•自贡）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示： 人数（人) 9 16 14 11时间（小时） 7 8 9 10 这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是( )A ．16，15B ．11，15C ．8，8.5D ．8，97．（4分）（2021•自贡）已知23120x x --=，则代数式2395x x -++的值是( )A ．31B ．31-C ．41D ．41-8．（4分）（2021•自贡）如图，(8,0)A ，(2,0)C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为( )A ．(0,5)B ．(5,0)C ．(6,0)D ．(0,6)9．（4分）（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：)A 与电阻R （单位：)Ω是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是( )A ．函数解析式为13I R =B ．蓄电池的电压是18VC ．当10I A 时， 3.6R ΩD ．当6R =Ω时，4I A = 10．（4分）（2021•自贡）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是( )A ．9.6B ．45C ．53D ．1011．（4分）（2021•自贡）如图，在正方形ABCD 中，6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =．将BM A ∆沿BM 对折至BMN ∆，连接DN ，则DN 的长是( )A ．52B ．958C ．3D ．65512．（4分）（2021•自贡）如图，直线22y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线3y x =-+于点Q ，OPQ ∆绕点O 顺时针旋转45︒，边PQ 扫过区域（阴影部分）面积的最大值是( )A ．23πB ．12πC ．1116πD ．2132π 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）（2021•自贡）请写出一个满足不等式27x +>的整数解 ．14．（4分）（2021•自贡）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%，小彤的这两项成绩依次是90，80．则小彤这学期的体育成绩是 ．15．（4分）（2021•自贡）化简：22824a a -=-- ． 16．（4分）（2021•自贡）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI 密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ．17．（4分）（2021•自贡）如图，ABC ∆的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出ABC ∆的角平分线BD （不写作法，保留作图痕迹）．18．（4分）（2021•自贡）当自变量13x -时，函数||(y x k k =-为常数）的最小值为3k +，则满足条件的k 的值为 ．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2021•自贡）计算：025|7|(23)--+-．20．（8分）（2021•自贡）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点．求证：DE BF =．21．（8分）（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53︒，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30︒，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan 370.75︒≈，tan 53 1.33︒≈，3 1.73)≈22．（8分）（2021•自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A ，B 两种型号的无人机都被用来运送快件，A 型机比B 型机平均每小时多运送20件，A 型机运送700件所用时间与B 型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？23．（10分）（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A （优秀）、B （良好）、C （合格）、D （不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．24．（10分）（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数284x y x =-+的图象，并探究其性质．列表如下： x ⋯ 4- 3- 2- 1- 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 85 2413 a 85 0 b 2-2413- 85- ⋯ （1）直接写出表中a 、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数284x y x =-+的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当22x -时，函数图象关于直线y x =对称；②2x =时，函数有最小值，最小值为2-；③11x -<<时，函数y 的值随x 的增大而减小．其中正确的是 ．（请写出所有正确命题的番号）（3）结合图象，请直接写出不等式284x x x >+的解集 ．25．（12分）（2021•自贡）如图，点D 在以AB 为直径的O 上，过D 作O 的切线交AB 延长线于点C ，AE CD ⊥于点E ，交O 于点F ，连接AD ，FD ．（1）求证：DAE DAC ∠=∠；（2）求证：DF AC AD DC ⋅=⋅；（3）若1sin 4C ∠=，410AD =，求EF 的长．26．（14分）（2021•自贡）如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1)a >与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC ∆的外心，且BCD ∆与ACO ∆的周长之比为10:4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2021年四川省自贡市中考数学试卷参考答案一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2021•自贡）自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一．今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为( )A ．50.88710⨯B ．38.8710⨯C ．48.8710⨯D ．388.710⨯【考点结题分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详细解答】解：4887008.8710=⨯．故选：C ．【分析评价】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．（4分）（2021•自贡）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是( )A ．百B ．党C ．年D ．喜【考点结题分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详细解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“迎”与“党”相对，面“建”与面“百”相对，“喜”与面“年”相对．故选：B ．【分析评价】本题考查了正方体的展开图，注意正方体是空间图形，找到相对的面是关键．3．（4分）（2021•自贡）下列运算正确的是( )A ．22541a a -=B ．23246()a b a b -=C ．933a a a ÷=D ．222(2)4a b a b -=-【考点结题分析】按照合并同类项的运算方法、整数指数幂的运算法则、完全平方公式逐个验证即可．【详细解答】解：A 、22254a a a -=，故A 错误；B 、2322223246()(1)()()a b a b a b -=-=，故B 正确；C 、99363a a a a-==，故C 错误； D 、由完全平方公式可得：222(2)44a b a ab b -=-+，故D 错误；故选：B ．【分析评价】本题考查了合并同类项、完全平方公式、整数指数幂的运算法则，熟练掌握运用以上性质和法则是解题关键．4．（4分）（2021•自贡）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是( )A ．B ．C ．D ．【考点结题分析】根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详细解答】解：A ．是轴对称图形，共有1条对称轴；B ．不是轴对称图形，没有对称轴；C ．不是轴对称图形，没有对称轴；D ．是轴对称图形，共有2条对称轴．故选：D ．【分析评价】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（4分）（2021•自贡）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是( )A．72︒B．36︒C．74︒D．88︒【考点结题分析】先求出正五边形每个内角的度数，再由等腰ABC∆，求出BCA∠即可．【详细解答】解：正五边形ABCDE，∴每个内角为1803605108︒-︒÷=︒，AB BC=，36BCA BAC∴∠=∠=︒，1083672ACD BCD BCA∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A．【分析评价】本题考查的正多边形外角和定理，以及等腰三角形的性质，求出正五边形每个内角的度数是解题的关键．6．（4分）（2021•自贡）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是()A．16，15B．11，15C．8，8.5D．8，9【考点结题分析】直接根据众数和中位数的定义求解即可．【详细解答】解：由于一共有50个数据，其中8小时的人数最多，有14人，所以这组数据的众数为8小时，这50个数据的第25、26个数据分别为8、9，所以这组数据的中位数为898.52+=（小时），故选：C．【分析评价】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7．（4分）（2021•自贡）已知23120x x--=，则代数式2395x x-++的值是() A．31B．31-C．41D．41-【考点结题分析】由已知可得：2312x x -=，将代数式适当变形，利用整体代入的思想进行运算即可得出结论． 【详细解答】解：23120x x --=，2312x x ∴-=．原式23(3)5312536531x x =--+=-⨯+=-+=-． 故选：B ．【分析评价】本题主要考查了求代数式的值．利用整体代入的方法可使运算简便． 8．（4分）（2021•自贡）如图，(8,0)A ，(2,0)C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为( )A ．(0,5)B ．(5,0)C ．(6,0)D ．(0,6)【考点结题分析】根据已知可得10AB AC ==，8OA =．利用勾股定理即可求解． 【详细解答】解：根据已知可得：10AB AC ==，8OA =． 在Rt ABO ∆中，226OB AB OA =-． (0,6)B ∴．故选：D ．【分析评价】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．9．（4分）（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：)A 与电阻R （单位：)Ω是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是( )A ．函数解析式为13I R=B ．蓄电池的电压是18VC ．当10I A 时， 3.6R ΩD ．当6R =Ω时，4I A =【考点结题分析】根据函数图象可设kI R=，再将(4,9)代入即可得出函数关系式，从而解决问题．【详细解答】解：设k I R=， 图象过(4,9)，36k ∴=，36I R∴=， A ∴，B 均错误；当10I =时， 3.6R =，由图象知：当10I A 时， 3.6R Ω，C ∴正确，符合题意；当6R =时，6I =，D ∴错误，故选：C ．【分析评价】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握运用函数图象上点的坐标必能满足解析式．10．（4分）（2021•自贡）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是( )A ．9.6B ．45C ．53D ．10【考点结题分析】根据垂径定理求出AE 可得AC 的长度，利用AEO AFC ∆∆∽，求出CF ，即可求解．【详细解答】解：OE AC ⊥于点E ．AE EC ∴=． 3OE =，5OB =．224AE AO OE ∴-．8AC ∴=．A A ∠=∠，AEO AFC ∠=∠．AEO AFC ∴∆∆∽．∴AO EO AC FC =，即：538FC=． ∴245FC =． CD AB ⊥．4829.65CD CF ∴===． 故选：A ．【分析评价】本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．11．（4分）（2021•自贡）如图，在正方形ABCD 中，6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =．将BM A ∆沿BM 对折至BMN ∆，连接DN ，则DN 的长是( )A ．52B ．958C ．3D ．655【考点结题分析】连接AN 交BM 于点O ，作NH AD ⊥于点H ，根据已知可求出AM 、BM ．的长度，利用面积法求出AO ，再结合折叠性质，找到AN 长度．结合勾股定理建立2222AN AH MN MH -=-等式，即可求出M H ．最后即可求解．【详细解答】解：连接AN 交BM 于点O ，作NH AD ⊥于点H ．如图：6AB =，:1:2AM MD =．2AM ∴=，4MD =．四边形ABCD 是正方形．22210BM AB AM ∴=+=．根据折叠性质，AO BM ⊥，AO ON =．2AM MN ==． ∴1122AB AM BM AO ⋅=⋅． ∴310210AO ==610AN ∴=NH AD ⊥．2222AN AH MN MH ∴-=-． ∴2222610((2)2MH MH -+=-．∴85MH =． ∴2222862()55HN MN MH =-=-=．∴125HD AD AM MH =--=． 222212665()()555DN HD HN ∴=+=+=．故选：D ．【分析评价】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理，面积法求三角形的高等知识．本题关键在于利用勾股定理建立等式，求出边M H 的长度．12．（4分）（2021•自贡）如图，直线22y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线3y x =-+于点Q ，OPQ ∆绕点O 顺时针旋转45︒，边PQ 扫过区域（阴影部分）面积的最大值是( )A ．23πB ．12πC ．1116π D ．2132π 【考点结题分析】设(,22)P m m -+，则(,3)Q m m -+，根据图形可表示出PQ 扫过区域（阴影部分）面积是两个扇形面积之差，将面积表示出来，利用二次函数性质即可求最大值． 【详细解答】解：设(,22)P m m -+，则(,3)Q m m -+．2222(22)584OP m m m m ∴=+-+=-+，2222(3)269OQ m m m m =+-+=-+．OPQ ∆绕点O 顺时针旋转45︒．OPQ OBC ∴∆≅∆．45QOC POB ∠=∠=︒． PQ∴扫过区域（阴影部分）面积()22224545312325()3603608833OQC OPB S S S OQ OP m m m πππππ=-=⨯⋅-⨯⋅=-++=--+扇扇． 当13m =时，S 的最大值为：23π．故选：A ．【分析评价】本题考查了一次函数性质，二次函数的性质，扇形面积等知识，关键在于理解旋转前后的两个图形全等，从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积之差． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）（2021•自贡）请写出一个满足不等式27x >的整数解 6（答案不唯一） ． 【考点结题分析】直接解不等式，再利用估算无理数的方法得出x 的取值范围，即可得出答案．【详细解答】解：27x +>，72x ∴> 122<<， 221∴-<--， 727217∴-<-+ 5726∴<，故满足不等式27x >的整数解可以为：6（答案不唯一）．故答案为：6（答案不唯一）．【分析评价】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确估算出无理数的大小是解题关键．14．（4分）（2021•自贡）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%，小彤的这两项成绩依次是90，80．则小彤这学期的体育成绩是 83 ．【考点结题分析】将小彤体育课外活动、期末考试的成绩分别乘以对应的百分比，再求和即可．【详细解答】解：小彤这学期的体育成绩是9030%8070%83⨯+⨯=， 故答案为：83．【分析评价】本题主要考查加权平均数，加权平均数：若n 个数1x ，2x ，3x ，⋯，n x 的权分别是1w ，2w ，3w ，⋯，n w ，则112212()()n n n x w x w x w w w w ++⋯+÷++⋯+叫做这n 个数的加权平均数．15．（4分）（2021•自贡）化简：22824a a -=--22a + ． 【考点结题分析】先把分子分母因式分解，进行通分，计算即可． 【详细解答】解：22824a a --- 282(2)(2)a a a =--+- 2(2)8(2)(2)(2)(2)a a a a a +=-+-+-24(2)(2)a a a -=-+2(2)(2)(2)a a a -=-+22a =+． 故答案为：22a +． 【分析评价】本题考查了分式的化简，把分子分母因式分解是解题的关键．16．（4分）（2021•自贡）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI 密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 244872 ．【考点结题分析】根据前面三个等式，寻找规律解决问题． 【详细解答】解：由三个等式，得到规律：5*3⊕6301848=可知：56⨯36⨯6(53)⨯+， 2*6⊕7144256=可知：27⨯67⨯7(26)⨯+， 9*2⊕5451055=可知：95⨯25⨯5(92)⨯+， 4*8∴⊕64686=⨯⨯6(48)244872⨯+=．故答案为：244872．【分析评价】本题考查了有理数的混合运算，由前面三个等式发现规律是解题的关键． 17．（4分）（2021•自贡）如图，ABC ∆的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出ABC ∆的角平分线BD （不写作法，保留作图痕迹）．【考点结题分析】取格点F ，连接AF ，取AF 的中点D ，作射线BD 即可． 【详细解答】解：如图，射线BD 即为所求作．【分析评价】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18．（4分）（2021•自贡）当自变量13x -时，函数||(y x k k =-为常数）的最小值为3k +，则满足条件的k 的值为 2- ．【考点结题分析】分x k 及x k <两种情况去绝对值，再根据函数的增减性，结合最小值为3k +列出方程，即可得答案．【详细解答】解：当x k 时，函数||y x k x k =-=-，此时y 随x 的增大而增大， 而13x -时，函数的最小值为3k +，1x ∴=-时取得最小值，即有13k k --=+，解得2k =-，（此时13x -，x k 成立），当x k <时，函数||y x k x k =-=-+，此时y 随x 的增大而减小， 而13x -时，函数的最小值为3k +，3x ∴=时取得最小值，即有33k k -+=+，此时无解， 故答案为：2-．【分析评价】本题考查去绝对值及一次函数的最小值，解题的关键是分x k 和x k <去绝对值．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2021•自贡）计算：025|7|(23)--+-．【考点结题分析】利用算术平方根，绝对值和零指数幂的意义进行运算． 【详细解答】解：原式5711=-+=-．【分析评价】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，绝对值的意义，零指数幂的意义．熟练应用上述法则是解题的关键．20．（8分）（2021•自贡）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点．求证：DE BF =．【考点结题分析】根据矩形的性质和已知证明DF BE =，//AB CD ，得到四边形DEBF 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到答案． 【详细解答】解：四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，AB CD =，又E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，DF BE ∴=，又//AB CD ，∴四边形DEBF 是平行四边形，DE BF ∴=．【分析评价】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（8分）（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53︒，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30︒，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan 370.75︒≈，tan 53 1.33︒≈，3 1.73)≈【考点结题分析】由题意可知24AB =米，53BDA ∠=︒，因为tan ABBDA AD∠=，可求出AD ，又由tan30CDAD︒=，可求出CD ，即得到答案． 【详细解答】解：由题意可知24AB =米，53BDA ∠=︒， 24tan 1.33AB BDA AD AD∴∠===， 2418.051.33AD ∴=≈． 3tan tan 3018.05CD CD CAD AD ∠=︒=== 318.0510.4CD ∴=≈（米)． 故办公楼的高度约为10.4米．【分析评价】本题考查的是解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，掌握运用仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．22．（8分）（2021•自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A ，B 两种型号的无人机都被用来运送快件，A 型机比B 型机平均每小时多运送20件，A 型机运送700件所用时间与B 型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？【考点结题分析】设A 型机平均每小时运送快递x 件，则B 型机平均每小时运送快递(20)x -件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合A 型机运送700件所用时间与B 型机运送500件所用时间相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详细解答】解：设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递(20)x-件，根据题意得：70050020x x=-，解得：70x=，经检验，70x=是原分式方程的根，且符合题意，702050∴-=，答：A型机平均每小时运送快递70件，B型机平均每小时运送快递50件．【分析评价】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（10分）（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是100，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．【考点结题分析】（1）由已知C等级的人数为25人，所占百分比为25%，2525%÷可得样本容量；利用样本容量可求B，D等级的人数；（2）依据题意列出表格后求得概率；（3）利用样本估计总体的思想，用样本的优秀率估计总体的优秀率可得结论．【详细解答】解：（1）由条形统计图可得C等级的人数为25人，由扇形统计图可得C等级的人数占比为25%，∴样本容量为25%，2525%100÷=．补全条形统计图如下：故答案为：100．（2）D等级的学生有：1005%5⨯=（人)．由题意列表如下：由表格可得，共有20种等可能，其中恰好回访到一男一女的等可能有12种，∴恰好回访到一男一女的概率为123 205=．（3）样本中A（优秀）的占比为35%，∴可以估计该校2000名学生中的A（优秀）的占比为35%．∴估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为：200035%700⨯=（人)．【分析评价】本题主要考查了统计的相关知识，包括总体，个体，样本，样本容量，利用列表法或画树状图求事件的概率，用样本估计总体的思想，条形统计图等，准确的理解相关的数量指标，并熟练的应用是解题的关键．24．（10分）（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数284xy x =-+的图象，并探究其性质． 列表如下： x⋯4-3-2-1-0 12 3 4 ⋯y⋯852413a85b2-2413- 85- ⋯（1）直接写出表中a 、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察函数284xy x =-+的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当22x -时，函数图象关于直线y x =对称； ②2x =时，函数有最小值，最小值为2-； ③11x -<<时，函数y 的值随x 的增大而减小． 其中正确的是 ②③ ．（请写出所有正确命题的番号） （3）结合图象，请直接写出不等式284xx x >+的解集 ．【考点结题分析】（1）利用函数解析式分别求出2x =-和1x =对应的函数值；然后利用描点法画出图象即可；（2）观察图象可知当0x <时，y 随x 值的增大而增大； （3）利用图象即可解决问题．【详细解答】解：（1）把2x =-代入284x y x =-+得，16244y -=-=+， 把1x =代入284x y x =-+得，88145y =-=-+， 2a ∴=，85b =-，函数284xy x =-+的图象如图所示：（2）观察函数284xy x =-+的图象， ①当22x -时，函数图象原点对称；错误； ②2x =时，函数有最小值，最小值为2-；正确； ③11x -<<时，函数y 的值随x 的增大而减小，正确． 故答案为②③；（3）由图象可知，函数284xy x =-+与直线y x =-的交点为(2,2)-、(0,0)、(2,2)- ∴不等式284xx x >+的解集为2x <-或02x <<． 【分析评价】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．25．（12分）（2021•自贡）如图，点D 在以AB 为直径的O 上，过D 作O 的切线交AB 延长线于点C ，AE CD ⊥于点E ，交O 于点F ，连接AD ，FD ． （1）求证：DAE DAC ∠=∠； （2）求证：DF AC AD DC ⋅=⋅； （3）若1sin 4C ∠=，410AD =EF 的长．【考点结题分析】（1）连接OD，证明//AE OD，推出EAD ADO∠=∠，再证明ADO OAD∠=∠即可解决问题．（2）如图，连接BF．证明DAF CAD∆∆∽，可得结论．（3）过点D作DH AC⊥于H．由1sin4ODCOC∠==，假设OD k=，4OC k=，则OA OD k==，15CD k，在Rt ADH∆中，利用勾股定理求出k，再利用（2）中结论求出DF，再根据sin sinEDF DAH∠=∠，推出EF DHDF AD=，可得结论．【详细解答】（1）证明：如图，连接OD．CD是O的切线，OD EC∴⊥，AE CE⊥，//AE OD∴，EAD ADO∴∠=∠，OA OD=，ADO DAO∴∠=∠，DAE DAC∴∠=∠．（2）证明：如图，连接BF．BF是直径，90AFB∴∠=︒，AE EC⊥，90AFB E∴∠=∠=︒，//BF EC∴，ABF C∴∠=∠，ADF ABF ∠=∠，ADF C ∴∠=∠， DAF DAC ∠=∠， DAF CAD ∴∆∆∽，∴AD DFCA CD=， DF AC AD DC ∴⋅=⋅．（3）解：过点D 作DH AC ⊥于H ．CD 是O 的切线，90ODC ∴∠=︒，1sin 4OD C OC ∠==，∴可以假设OD k =，4OC k =，则OA OD k ==，CD ，1122OD DC OC DH ⋅⋅=⋅⋅，DH ∴=，14OH k ∴=，54AH OA OH k ∴=+=，222AD AH DH =+，2225())4k ∴=+8k ∴=或8-（舍弃），DH ∴=540AC k ==，DC =DF AC AD DC ⋅=⋅，DF ∴=，ADE DAC C ADF EDF ∠=∠+∠=∠+∠，ADF C ∠=∠， EDF DAC ∴∠=∠， sin sin EDF DAH ∴∠=∠，∴EF DH DF AD=，∴215 46410 EF=，6EF∴=．【分析评价】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．26．（14分）（2021•自贡）如图，抛物线(1)()y x x a=+-（其中1)a>与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．（1）直接写出OCA∠的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为ABC∆的外心，且BCD∆与ACO∆的周长之比为10:4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a=+-上是否存在一点P，使得CAP DBA∠=∠？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点结题分析】（1）直接利用抛物线的解析式求出A，B，C的坐标即可解决问题．（2）证明DBC OAC∆∆∽，推出10BCAC=，由此构建方程，即可解决问题．（3）作点C关于抛物线的对称轴12x=的对称点C'，连接AC'．证明ABD CAC∠=∠'，推出当点P 与点C '重合时满足条件．作点P 关于直线AC 的对称点(0,1)E -，则EAC PAC ABD ∠∠=∠，作直线AE 交抛物线于P '，点P '满足条件，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．【详细解答】解：（1）定义抛物线(1)()y x x a =+-，令0y =，可得1x =-或a ， (1,0)B ∴-，(,0)A a ，令0x =，得到y a =-， (0,)C a ∴-，OA OC a ∴==，1OB =， 1AB a ∴=+． 90AOC ∠=︒， 45OCA ∴∠=︒．（2）AOC ∆是等腰直角三角形，45OAC ∴∠=︒，点D 是ABC ∆的外心，290BDC CAB ∴∠=∠=︒，DB DC =， BDC ∴∆也是等腰直角三角形， DBC OAC ∴∆∆∽，∴BC AC =，∴=， 解得2a =或2-（舍弃），∴抛物线的解析式为2(1)(2)2y x x x x =+-=--．（3）作点C 关于抛物线的对称轴12x =的对称点C '，连接AC '．(0,2)C -，(1,2)C '-，//PC AB ∴，BC ，AC '关于直线12x =对称， CB AC ∴='，∴四边形ABCP 是等腰梯形，CBA C AB ∴∠=∠'， 45DBC OAC ∠=∠=︒， ABD CAC ∴∠=∠'，∴当点P 与点C '重合时满足条件，(1,2)P ∴-．作点P 关于直线AC 的对称点(0,1)E -，则EAC PAC ABD ∠=∠=∠，作直线AE 交抛物线于P '，点P '满足条件，(2,0)A ，(0,1)E -， ∴直线AE 的解析式为112y x =-， 由21122y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或1254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 1(2P ∴'-，5)4-，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1,2)-或1(2-，5)4-．【分析评价】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是证明BDC ∆是等腰直角三角形，学会添加辅助线，寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．微信公众号：中考数学压轴题。
四川省自贡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类
四川省自贡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共2小题）1．（2023•自贡）计算：|﹣3|﹣（+1）0﹣22．2．（2021•自贡）计算：﹣|﹣7|+（2﹣）0．二．一元一次方程的应用（共1小题）3．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．三．解一元一次不等式组（共1小题）4．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．四．一次函数与一元一次不等式（共1小题）5．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…a0b﹣2﹣﹣…（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是 ．（请写出所有正确命题的序号）（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 ．五．平行四边形的判定与性质（共1小题）6．（2023•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：DM＝BN．六．矩形的性质（共1小题）7．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝ ，EF＝ ；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC 之间的距离．七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）8．（2023•自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：（1）测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB 方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．（2）测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（≈1.41，结果精确到1米）（3）测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）9．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）八．条形统计图（共1小题）10．（2023•自贡）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．（1）补全学生课外读书数量条形统计图；（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．九．列表法与树状图法（共1小题）11．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．四川省自贡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共2小题）1．（2023•自贡）计算：|﹣3|﹣（+1）0﹣22．【答案】﹣2．【解答】解：原式＝3﹣1﹣4＝﹣2．2．（2021•自贡）计算：﹣|﹣7|+（2﹣）0．【答案】﹣1．【解答】解：原式＝5﹣7+1＝﹣1．二．一元一次方程的应用（共1小题）3．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．【答案】该客车的载客量为40人．【解答】解：设该客车的载客量为x人，根据题意得：4x+30＝5x﹣10，解得：x＝40．答：该客车的载客量为40人．三．解一元一次不等式组（共1小题）4．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【答案】﹣1＜x＜2．【解答】解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为：﹣1＜x ＜2，∴在数轴上表示不等式组的解集为：四．一次函数与一元一次不等式（共1小题）5．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y ＝﹣的图象，并探究其性质．列表如下：x …﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…ab﹣2﹣﹣…（1）直接写出表中a 、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数y ＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当﹣2≤x ≤2时，函数图象关于直线y ＝x 对称；②x ＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；③﹣1＜x ＜1时，函数y 的值随x 的增大而减小．其中正确的是 ②③ ．（请写出所有正确命题的序号）（3）结合图象，请直接写出不等式＞x 的解集 x ＜﹣2或0＜x ＜2 ．【答案】（1）2，﹣；（2）②③；（3）x＜﹣2或0＜x＜2．【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝﹣＝2，把x＝1代入y＝﹣得，y＝﹣＝﹣，∴a＝2，b＝﹣，函数y＝﹣的图象如图所示：（2）观察函数y＝﹣的图象，①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于原点对称；错误；②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；正确；③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，正确．故答案为②③；（3）由图象可知，函数y＝﹣与直线y＝﹣x的交点为（﹣2，2）、（0，0）、（2，﹣2）∴不等式＞x的解集为x＜﹣2或0＜x＜2．五．平行四边形的判定与性质（共1小题）6．（2023•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：DM＝BN．【答案】见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AM＝CN，∴AB﹣AM＝CD﹣CN，即BM＝DN，又∵BM∥DN，∴四边形MBND是平行四边形，∴DM＝BN．六．矩形的性质（共1小题）7．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝ CD ，EF＝ AD ；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC 之间的距离．【答案】（1）CD，AD；（2）见解析过程；（3）EF与BC之间的距离为64cm．【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，故答案为：CD，AD；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四边形BEFC是平行四边形，∴EF∥BC，∴EF∥AD；（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，∴CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），∵EG⊥BC，∴CH∥EG，∴△BCH∽△BGE，∴，∴＝，∴EG＝64，∴EF与BC之间的距离为64cm．七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）8．（2023•自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：（1）测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB 方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．（2）测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（≈1.41，结果精确到1米）（3）测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）【答案】（1）α+β＝90°；（2）约为69米；（3）（+1.6）米．【解答】解：（1）∵铅直线与水平线垂直，∴α+β＝90°，故α，β之间的数量关系为：α+β＝90°；（2）在Rt△ABH中，∵AB＝40米，∠BAH＝24°，sin∠BAH＝，∴sin24°＝，在Rt△TKS中，∵KT≈5cm，TS≈2cm，∠TKS＝24°，sin∠TKS＝，∴sin24°＝，∴＝，解得BH＝16米，在Rt△CBQ中，∵BC＝50米，∠CBQ＝30°，∴CQ＝CB＝25米，在Rt△DCR中，∵CD＝40米，∠DCR＝45°，sin∠DCR＝，∴DR＝CD•sin∠DCR＝40•sin45°＝（米），∴DF＝BH+CQ+DR＝16+25+≈69（米），答：山高DF约为69米；（3）由题意，得tanβ1＝，tanβ2＝，在Rt△DNL中，∵tanβ1＝，∴，∴NL＝，在Rt△DCR中，∵tanβ2＝，∴，∴N'L＝，∵NL﹣N'L＝NN'＝40（米），∴﹣＝40，解得DL＝，∴山高DF＝DL+LF＝+1.6（米），答：山高DF为（+1.6）米．9．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，∴tan∠BDA＝＝≈1.33，∴AD＝≈18.05（米）．∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，∴CD＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．八．条形统计图（共1小题）10．（2023•自贡）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．（1）补全学生课外读书数量条形统计图；（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．【答案】（1）图形见解析过程；（2）众数为4本，中位数为3.5本，平均数为本；（3）本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450名．【解答】解：（1），（2）本次所抽取学生课外读书数量的众数为4本，中位数为（本），平均数为＝（本），（3）（名），答：本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450名．九．列表法与树状图法（共1小题）11．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．【答案】（1）100；（2）900；（3）．【解答】解：（1）n＝＝100，∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），条形统计图补充如下：（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，∴所求概率＝＝．。
2021年四川省自贡市中考数学押题试卷及答案解析
2021年四川省自贡市中考数学押题试卷
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．（4分）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（）
A．15°B．25°C．35°D．65°
2．根据国家气象局统计，全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示为（）
A．1.6×108B．1.6×107C．16×106D．1.6×106
3．（4分）如图所示几何体的左视图正确的是（）
A．B．C．D．
4．（4分）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2
5．（4分）已知A（1，﹣3），B（2，﹣2），现将线段AB平移至A1B1，如果A1（a，1），B1（5，b），那么a b的值是（）
A．32B．16C．5D．4
6．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，是学校举行“爱国主义教育”比赛活动中获得前10名学生的参赛成绩，对于这些成绩，下列说法正确的是（）
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专题14二次函数解答压轴题-2021年中考数学真题分项汇编(原卷版)【全国通用】(第01期)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题14二次函数解答压轴题（共32题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上． （1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值：x … 1- 0 1 2 3 …y 03 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 为直线AB 上一动点，连接OC ，AOC ∠为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE t =． （1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当22t =时，求抛物线的解析式．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当55D N CN '+的值最小时，求MN 的长．10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为112100z x =-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出） 11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标． 12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表： 进货批次 A 型水杯（个） B 型水杯（个） 总费用（元）一100 200 8000 二 200 300 13000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；①当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．16．（2021·湖北黄冈市·中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．17．（2021·新疆中考真题）已知抛物线223(0)y ax ax a =-+≠． （1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y 轴向下平移3a 个单位，若抛物线的顶点落在x 轴上，求a 的值；（3）设点()1,P a y ，()22,Q y 在抛物线上，若12y y >，求a 的取值范围．18．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 19．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2021·陕西中考真题）已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B （其中A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似且PC 与PO 是对应边？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）．（1）若该函数的图象经过()1,0和()2,1两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当,x p q =（p ，q 是实数，p q ≠）时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证6P Q +>．22．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线24(0)y ax bx a =+-≠沿射线AD 平移42得到新的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 23．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ． （1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与①AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y ＝1上有M 、N 两点（M 在N 的左侧），且MN ＝2，若将线段MN 在直线y ＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．24．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点 （1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．25．（2021·云南中考真题）已知抛物线22y x bxc 经过点()0,2-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22y x bxc 与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-． （1）求b 、c 的值：（2）求证：2242160r r r -+=；（3）以下结论：1,1,1m m m <=>，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．26．（2021·山东泰安市·中考真题）二次函数2()40y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式； （3）请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由． 27．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，抛物线()223(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标； （3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．28．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ①AB ，垂足为D ，PE ①x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当①PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和①PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．29．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有,A B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？30．（2021·湖北武汉市·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．31．（2021·四川乐山市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在13x ≤≤时，y 的最大值为1，求a 的值；（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．32．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式； （3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2021年全国中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何(压轴题2)(无答案)
中考真题分类汇编（函数）----函数与几何（2）1.（2021•四川省眉山市）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积．2.（2021•四川省南充市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3. （2021•遂宁市）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ． （1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y ＝1上有M 、N 两点（M 在N 的左侧），且MN ＝2，若将线段MN 在直线y ＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．4. (2021•四川省自贡市) 如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5. （2021•天津市）已知抛物线22y ax ax c =-+（a ，c 为常数，0a ≠）经过点()0,1C -，顶点为D ．（Ⅰ）当1a =时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当0a >时，点()0,1E a +，若22DE DC =，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当1a <-时，点()0,1F a -，过点C 作直线l 平行于x 轴，(),0M m 是x 轴上的动点，()3,1N m +-是直线l 上的动点．当a 为何值时，FM DN +的最小值为10，并求此时点M ，N 的坐标．6. 2021•湖北省恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点B ，D （﹣4，5）两点，且与直线DC 交于另一点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2021•浙江省金华市）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．8.（2021•湖北省荆门市）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO|+|QA|的最小值；（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接P A，PB，记△P AQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．9.（2021•江苏省盐城市）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P 在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．【初步感知】如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为（1，3）；（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．【深入感悟】如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．【灵活运用】如图3，设A （1，﹣），α＝60°，点P 是二次函数y ＝x 2+2x +7图象上的动点，已知点B （2，0）、C （3，0），试探究△BCP ′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．10. （2021•重庆市A ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．11.（2021•重庆市B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求△P AD 面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4（a ≠0）沿射线AD 平移4个单位，得到新的抛物线y 1，点E 为点P 的对应点，点F 为y 1的对称轴上任意一点，在y 1上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．12. （2021•湖北省十堰市） 已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．13. （2021•湖南省张家界市）如图，已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点)3,2(-C ，且与x 轴交于原点及点)0,8(B . (1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式； （3）判断ABO ∆的形状，试说明理由；（4）若点P 为⊙O 上的动点，且⊙O 的半径为 22，一动点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值.14. （2021•海南省）已知抛物线y ＝ax 2+x +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且点A 的坐标为（﹣1，0）、点C 的坐标为（0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P ，求△PBC 的面积；（3）如图2，有两动点D 、E 在△COB 的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C 和点B 同时出发，点D 沿折线COB 按C →O →B 方向向终点B 运动，点E_y _x _ A _ B _ O _ C _ P沿线段BC 按B →C 方向向终点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，请解答下列问题： ①当t 为何值时，△BDE 的面积等于；②在点D 、E 运动过程中，该抛物线上存在点F ，使得依次连接AD 、DF 、FE 、EA 得到的四边形ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标．15. （2021•广西玉林市）已知抛物线：234y ax ax a =--（0a >）与x 轴交点为A ，B（A 在B 的左侧），顶点为D ．（1）求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）若直线32y x =-与抛物线交于点M ，N ，且M ，N 关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D 在直线7:8l y =上，设直线l 与y 轴的交点为O '，原抛物线上的点P 平移后的对应点为点Q ，若O P O Q ''=，求点P ，Q 的坐标．16. （2021•广西贺州市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，且()1,0A -，对称轴为直线2x =． （1）求该抛物线的函数达式；（2）直线l 过点A 且在第一象限与抛物线交于点C ．当45CAB ∠=︒时，求点C 的坐标； （3）点D 在抛物线上与点C 关于对称轴对称，点P 是抛物线上一动点，令(,)P P P x y ，当1P x a ≤≤，15a ≤≤时，求PCD 面积的最大值（可含a 表示）．17. 2021•山东省济宁市）如图，直线y ＝﹣x +分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点D （0，3），抛物线的对称轴l 交AD 于点E ，连接OE 交AB 于点F ． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：OE ⊥AB ；（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．18 . (2021•内蒙古包头市) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，点(,)M m n 是抛物线上一动点．（1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时，①求点M 的坐标： ②若点15,4B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM ，BM ，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M ，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D ，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K ，点7,3E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM 于点N ，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接GF ．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．19. （2021•齐齐哈尔市） 综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为2x =，点D 为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．。
四川省自贡市2021年中考数学试题(word版含答案)
四川省自贡市中考数学试卷一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分1．计算1﹣（﹣1）的结果是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣22．将0.00025用科学记数法表示为（）A．2.5×104B．0.25×10﹣4C．2.5×10﹣4D．25×10﹣53．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣45．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°6．若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．27．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤18．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（）A．B．C．D．9．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2D．（4+16）πcm210．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题：共5个小题，每小题4分，共20分11．若代数式有意义，则x的取值范围是．12．若n边形内角和为900°，则边数n=．13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是．14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为cm2．15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=，tan∠APD的值=．三、解答题：共2个题，每小题8分，共16分16．计算：（）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+|﹣1|17．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得：；（2）解不等式②，得：；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）不等式组的解集为：．四、解答题：共2个体，每小题8分，共16分18．某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品；若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，5支钢笔和1本笔记本共需90元，问购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？19．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7）五、解答题：共2个题，每题10分，共20分20．我市开展“美丽自宫，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度？（3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．六、解答题：本题12分22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；（3）求△AOB的面积；（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．七、解答题23．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、O A．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．八、解答题24．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和P C．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．⑶.是否存在实数a，使AP1PN2,若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题：1．计算1﹣（﹣1）的结果是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2解：1﹣（﹣1），=1+1，=2．故选A．2．将0.00025用科学记数法表示为（）A．2.5×104B．0.25×10﹣4 C．2.5×10﹣4D．25×10﹣5解：0.00025=2.5×10﹣4，故选：C．3．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．解：因为==2，因此不是最简二次根式．故选B．4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．5．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故选C．6．若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2解：由+b2﹣4b+4=0，得a﹣1=0，b﹣2=0．解得a=1，b=2．ab=2．故选：D．7．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]≥0，解得m≥1，故选C．8．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（）A．B．C．D．解：主视图，如图所示：．故选：B．9．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2 D．（4+16）πcm2解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．解：由y=ax2+bx+c的图象开口向下，得a＜0．由图象，得﹣＞0．由不等式的性质，得b＞0．a＜0，y=图象位于二四象限，b＞0，y=bx图象位于一三象限，故选：C．二、填空题：共5个小题，每小题4分，共20分11．若代数式有意义，则x的取值范围是x≥1．解：由题意得，x﹣1≥0且x≠0，解得x≥1且x≠0，所以，x≥1．故答案为：x≥1．12．若n边形内角和为900°，则边数n=7．解：根据题意得：180（n﹣2）=900，解得：n=7．故答案为：7．13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是．解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为．14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为16cm2．解：如图所示．∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3．∵∠CAB=90°，BC=5，∴AC=4．∴A′C′=4．∵点C′在直线y=2x﹣6上，∴2x﹣6=4，解得x=5．即OA′=5．∴CC′=5﹣1=4．∴S▱BCC′B′=4×4=16 （cm2）．即线段BC扫过的面积为16cm2．故答案为16．15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=3，tan∠APD的值=2．解：∵四边形BCED是正方形，∴DB∥AC，∴△DBP∽△CAP，∴==3，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2，故答案为：3，2．三、解答题：共2个题，每小题8分，共16分16．计算：（）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+|﹣1|解：原式=2+1﹣+﹣1=2．17．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得：x＜3；（2）解不等式②，得：x≥2；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）不等式组的解集为：2≤x＜3．解：（1）不等式①，得x＜3；（2）不等式②，得x≥2；4）原不等式组的解集为2≤x＜3．故答案分别为：x＜3，x≥2，2≤x＜3．四、解答题：共2个体，每小题8分，共16分18．某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品；若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，5支钢笔和1本笔记本共需90元，问购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？19．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7）解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3．即生命迹象所在位置C的深度约为3米．五、解答题：共2个题，每题10分，共20分20．我市开展“美丽自宫，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度？（3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数．解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人），∴学生劳动时间为“1.5小时”的人数为100﹣（12+30+18）=40（人），补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：40%×360°=144°，则扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是144°；（3）根据题意得：抽查的学生劳动时间的众数为1.5小时、中位数为1.5小时．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．证明：（1）∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；（2）连接BO，∵∠ABC=90°，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．六、解答题：本题12分22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；（3）求△AOB的面积；（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为y=﹣．∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，∴n=2．∴A（﹣4，2）．∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴．解得：．∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．（2）：∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，∴方程kx+b﹣=0的解是x1=﹣4，x2=2．（3）∵当x=0时，y=﹣2．∴点C（0，﹣2）．∴OC=2．∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×4+×2×2=6；（4）不等式kx+b﹣＜0的解集为﹣4＜x＜0或x＞2．七、解答题23．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、O A．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB=，∴EF=PB=2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．八、解答题24．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和P C．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．⑶.是否存在实数a，使AP1PN2,若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，∴b=0，∵a=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x，∵x=2时，y=8，∴点B坐标（2，8），∵对称轴x=3，B、C关于对称轴对称，∴点C坐标（4，8），∴BC=2．（2）∵AP⊥PC，∴∠APC=90°，∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，∴∠CPB =∠PAM ， ∵∠PBC =∠PMA =90°， ∴△PCB ∽△APM ， ∴=， ∴=，整理得a 2﹣4a +2=0，解得22a = ∵a ＞0， ∴22a =（3）∵A （4a ，0），∴OA =4a ，∵P （2，2a ），∴OM =2，∴AM =4a -2，∵PM ∥ON ，∴12AP AM PN OM ==， ∴42122a -=，解得：34a =．。