《平方差公式》整式的乘除PPT下载-北师大版七年级数学下册
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北师大版七年级数学下册《平方差公式》整式的乘除PPT课件(第1课时)
探究新知
方法总结
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全 相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
巩固练习
变式训练
利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1)原式=(3x)2-52=9x2-25；
2
2
2
2
( 1 ab)2 c2 1 a2b2 c2 .
2
4
(2)原式=(a+3)(a-3)(a2+9) =(a2-9)(a2+9) =(a2)2-92 =a4-81.
探究新知 素养考点 2
利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)， 其中x=1，y=2.
探究新知
素养考点 1
利用平方差公式Байду номын сангаас行运算
例1 利用平方差公式计算：（1）( 5+ 6x) ( 5-6x)；
（2）( x-2y) ( x+2y)；
（3）(- m+n) (-m-n)
解：（1）( 5 + 6 x) ( 5- 6 x) = 52 - ( 6 x )2 = 25- 36x2； （2）( x - 2y ) ( x + 2 y ) = x2 - ( 2 y )2 = x2 - 4y2； （3）( -m+n ) ( -m-n ) = ( - m )2 - n2 = m2 -n2．
探究新知
七年级数学下册 1.5 平方差公式课件1 (新版)北师大版
利用平方差公式计算：
（1）( 1 x y ) ( 1 x y )
4
4
（2）(ab+8)(ab－8)
利用平方差公式计算：
（1） ( x 1 y ) ( x 1 y )
3
3
（2）(－mn+3)(－mn－3)
(a−b)(−a−b)=？你是怎样做的？
计算 1、 (5m－n)(－5m－n) 2、 (a+b)(a－b)(a2+b2)
义务教育教科书（北师）七年级数学下册
第一章 整式的乘除
1.5平方差公式 1.5.1平方差公式（一）
1、多项式乘多项式法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式 的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加
（m+b)(n+a)=mn+ma+bn是两项吗？ 请你举例说明。
2
2
2
（2）(3x－y)(－3x+y)=9x2－y2
（× ） （× ）
×
（3）(m+n)(－m－n)=m2－n2 （ )
利用平方差公式计算：
（1）(5+6x)(5－6x) （2）(x－2y)(x+2y) （3）(－m+n)(－m－n)
利用平方差公式计算： （1） (a+2)(a－2)
（2）(3a+2b)(3a－2b)
计算下列各题： （1）(x+2)(x－2) （2）(1+3a)(1－3a) （3）(x+5y)(x－5y) （4）(2y+z)(2y－z) 观平察方以差上公算式式：及其运算结果， 你(a有+什b)(么a−发b)现＝？a2−b2 再举两例验证你的发现。
新北师大版七年级数学下册《一章 整式的乘除 5 平方差公式 平方差公式的应用》课件_15
=4x2－25－4x2+6x =6x－25
题组训练
题组训练
课堂小结
内容
平方差 符 号 公 式 表示
特征
两个数的和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差。
(a+b)(a－b)=a2－b2
左边是两个二项式相乘，并且这两个 二项式有一项完全相同，另一项互为 相反数；右边是左边的相同项的平方 减去互为相反数的项的平方．
（2）请用字母表示这一规律，并说明它的正确性 （a+1）(a-1)=a2-1
验证：（a+1）(a-1) =a2-12 =aБайду номын сангаас-1
典例精析
例题 计算: (1) 103×97; 解: 原式=(100+3)(100－3)
= 1002－32
=10000 – 9 =9991；
(2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) 解：原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
七年级数学下（BS） 教学课件
第一章 整式的乘除
1.5 整式的乘法
第2课时 平方差公式的运用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
一 平方差公式的几何验证 合作探究一
现有一个边长为a的正方形纸板，减去一个边长为b的小 正方形（a>b ），如图所示，你能把这个纸板通过剪拼后得 到新的图形，并通过剪拼过程中的发现来验证平方差公式吗？ 试试看？
(a+b)(a－b)
a
(a+b)(a－b)
b
a2－b2
(a+b)(a－b)=a2－b2
二 平方差公式的应用
合作探究二
1.计算下列各式，并观察他们的共同特点： 7×9= 63 11×13= 143 79×81= 6399
题组训练
题组训练
课堂小结
内容
平方差 符 号 公 式 表示
特征
两个数的和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差。
(a+b)(a－b)=a2－b2
左边是两个二项式相乘，并且这两个 二项式有一项完全相同，另一项互为 相反数；右边是左边的相同项的平方 减去互为相反数的项的平方．
（2）请用字母表示这一规律，并说明它的正确性 （a+1）(a-1)=a2-1
验证：（a+1）(a-1) =a2-12 =aБайду номын сангаас-1
典例精析
例题 计算: (1) 103×97; 解: 原式=(100+3)(100－3)
= 1002－32
=10000 – 9 =9991；
(2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) 解：原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
七年级数学下（BS） 教学课件
第一章 整式的乘除
1.5 整式的乘法
第2课时 平方差公式的运用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
一 平方差公式的几何验证 合作探究一
现有一个边长为a的正方形纸板，减去一个边长为b的小 正方形（a>b ），如图所示，你能把这个纸板通过剪拼后得 到新的图形，并通过剪拼过程中的发现来验证平方差公式吗？ 试试看？
(a+b)(a－b)
a
(a+b)(a－b)
b
a2－b2
(a+b)(a－b)=a2－b2
二 平方差公式的应用
合作探究二
1.计算下列各式，并观察他们的共同特点： 7×9= 63 11×13= 143 79×81= 6399
北师大版《平方差公式》ppt精美课件2
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
(2)992－1;
解：原式＝(99＋1)×(99－1)＝100×98＝4 000 000－1 ＝9 800．
数学·北师大版·七年级下册
(3)1.03×0.97;
解：原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝1－0.032＝1－0.000 9＝0.999 1．
7．小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题：
C．(－m－n)(m－n)
D．(m－n)(－m＋n)
C．(－m－n)(m－n) 知识点2 平方差公式的应用
A．4c2－1 B．1－4c2
D．(m－n)(－m＋n)
B．－a2－12b2
C．－a2－14b2
D．a2－14b2
3．计算：(a＋5b)(a－5b)＝__a_2_－__2_5_b_2___.
(D)
数学·北师大版·七年级下册
【第二关】 4．(2020年遵义红花岗区期中)如图1，边长为m的正方形剪去边长 为n的正方形得到①②两部分，再把①②两部分拼接成图2所示的长方 形，根据阴影部分面积不变，
于还能继续计算的算式要继续计算)”．
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
A．x3＋x3＝2x6
B．x3＋x3＝x3
方法点拨：当a或b表示一个数字与字母乘积的形式时，容易出现的错误是，只对字母平方而忘记对数字平方．
(4)136×138－1372．
数学·北师大版·七年级下册
解：(1)原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2．
(2)992－1;
解：原式＝(99＋1)×(99－1)＝100×98＝4 000 000－1 ＝9 800．
数学·北师大版·七年级下册
(3)1.03×0.97;
解：原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝1－0.032＝1－0.000 9＝0.999 1．
7．小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题：
C．(－m－n)(m－n)
D．(m－n)(－m＋n)
C．(－m－n)(m－n) 知识点2 平方差公式的应用
A．4c2－1 B．1－4c2
D．(m－n)(－m＋n)
B．－a2－12b2
C．－a2－14b2
D．a2－14b2
3．计算：(a＋5b)(a－5b)＝__a_2_－__2_5_b_2___.
(D)
数学·北师大版·七年级下册
【第二关】 4．(2020年遵义红花岗区期中)如图1，边长为m的正方形剪去边长 为n的正方形得到①②两部分，再把①②两部分拼接成图2所示的长方 形，根据阴影部分面积不变，
于还能继续计算的算式要继续计算)”．
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
A．x3＋x3＝2x6
B．x3＋x3＝x3
方法点拨：当a或b表示一个数字与字母乘积的形式时，容易出现的错误是，只对字母平方而忘记对数字平方．
(4)136×138－1372．
数学·北师大版·七年级下册
解：(1)原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2．
【初中课件】最新北师大版数学七年级下册《平方差公式》(1)课件ppt.ppt
如图1-3，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.
a
b 图1-3
（1）请表示图1-3中阴影部分的面积
a
a
b
b
图1-3
图1-4
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，
如图1-4，这个长方形的长和宽分别是多
少？你能表示出它的面积吗？
a
a
b
b
图1-3
图1-4
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证
计算： 1） 2001×1999 -20002
2）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
3） ( 1 x 2) ( 1 x 2) - 1 x（x+8）
224来自平方差公式吗？1、计算下列各组算式，并观察它们的共同
特点
7×9=
11×13=
79×81=
8×8=
12×12=
80×80=
2、从以上过程中，你发现了什么规律？
3、请用字母表示这一规律，你能说明它的 正确性吗？
用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （2）118×122 （100+3）（100-3） （120-2）（120+2）
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1
计算： （1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（2）x(x-1)- (x 1) (x 1) 33
本节课你有哪些收获？ 还有那些困惑？
第一章 整式的乘除
1、平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
a
b 图1-3
（1）请表示图1-3中阴影部分的面积
a
a
b
b
图1-3
图1-4
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，
如图1-4，这个长方形的长和宽分别是多
少？你能表示出它的面积吗？
a
a
b
b
图1-3
图1-4
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证
计算： 1） 2001×1999 -20002
2）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
3） ( 1 x 2) ( 1 x 2) - 1 x（x+8）
224来自平方差公式吗？1、计算下列各组算式，并观察它们的共同
特点
7×9=
11×13=
79×81=
8×8=
12×12=
80×80=
2、从以上过程中，你发现了什么规律？
3、请用字母表示这一规律，你能说明它的 正确性吗？
用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （2）118×122 （100+3）（100-3） （120-2）（120+2）
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1
计算： （1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（2）x(x-1)- (x 1) (x 1) 33
本节课你有哪些收获？ 还有那些困惑？
第一章 整式的乘除
1、平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
【精选课件】北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》1课件.ppt
作业
1. 必做题：教材习题1.9
2. 选做题： 你能用图形来验证平方差公式吗？
( 1 x 1)
2练一练
判断下面计算是否正确
（1） (1 x 1)(1 x 1) = 1 x2 1 （× ）
2
2
2
（2）(3x－y)(－3x+y)=9x2－y2 （× ）
（3）(m+n)(－m－n)=m2－n2 （× )
例1
利用平方差公式计算：
（1）(5+6x)(5－6x) （2）(x－2y)(x+2y) （3）(－m+n)(－m－n)
练一练
利用平方差公式计算： （1） (a+2)(a－2) （2）(3a+2b)(3a－2b)
例2
利用平方差y)
4
4
（2）(ab+8)(ab－8)
练一练
利用平方差公式计算：
（1） (x 1 y)(x 1 y)
3
3
（2）(－mn+3)(－mn－3)
初中各学科优质课件
初中课件
第一章
整式的乘除
5 平方差公式（第1课时）
知识回顾
1、多项式乘多项式法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式 的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加
（m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba
探究规律
计算下列各题： （1）(x+2)(x－2) （2）(1+3a)(1－3a) （3）(x+5y)(x－5y) （4）(2y+z)(2y－z) 观平察方以差上公算式式：及其运算结果， 你(a有+什b)(么a−发b)现＝？a2−b2 再举两例验证你的发现。
北师大版七年级下册数学《平方差公式》整式的乘除说课课件教学
a b
2
2
b
a
1 (a+b)(a-b)
2
a
1 (a+b)(a-b)
2
b
b
合作探究2
探究新知
探究：平方差公式的运用
数据的特点可
运用平方差公
式简化计算
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:
7×9= 63
8×8= 64
11×13=143
12×12=144
79×81= 6399
80×80= 6400
第一章 整式的乘除
平方差公式
第1课时
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2＋5x＋3x＋15
=x2＋8x＋15.
情景引入
从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为20米的正方形土
地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地
4
(2)原式=(ab)2－82
=a2b2－64.
1 2
x
16
y2 ;
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中
x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：在探究整除性或倍数问
＝10n2-10.
因为(10n2-10)÷10=n2-1. 题时，一般先将代数式化为最简，
n为正整数，
2
2
b
a
1 (a+b)(a-b)
2
a
1 (a+b)(a-b)
2
b
b
合作探究2
探究新知
探究：平方差公式的运用
数据的特点可
运用平方差公
式简化计算
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:
7×9= 63
8×8= 64
11×13=143
12×12=144
79×81= 6399
80×80= 6400
第一章 整式的乘除
平方差公式
第1课时
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2＋5x＋3x＋15
=x2＋8x＋15.
情景引入
从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为20米的正方形土
地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地
4
(2)原式=(ab)2－82
=a2b2－64.
1 2
x
16
y2 ;
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中
x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：在探究整除性或倍数问
＝10n2-10.
因为(10n2-10)÷10=n2-1. 题时，一般先将代数式化为最简，
n为正整数，
1.5平方差公式-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)
另一项互为相反项；算式的运算结果为相同项的平方减去互为
相反项的平方.举例略.
二、新知探究
知识归纳
平方差公式：
(a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
平方差公式的结构特征:
（1）左边是两个二项式的乘积,并且这两个二项式有一项完全相同,
另一项互为相反项；
（2）右边是这两项的平方差,即相同项的平方减去相反项的平方.
+
)(
+
+
−
2 2
= b- a.
+
);
(2)(-4x2-3y3)(4x2-3y3).
-
(2) (-4x2-3y3)(4x2-
-
3y3)=(-3y3)2-
(4x2)2=9y6-16x4.
四、当堂练习
10.计算:(1)a(1-2a)+2(a+1)(a-1);
(2)(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y);
解:(1)原式=(10-0.2)×(10+0.2)
(2)20242-20162;
(2)20242-20162
=102-0.22
=(2024+2016)(2024-2016)
=100-0.04
=4040×8
=99.96.
=32320.
三、典例精析
例2 计算:20242-2023×2025.
解:20242-2023×2025
=1002-32
=1202-22
相反项的平方.举例略.
二、新知探究
知识归纳
平方差公式：
(a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
平方差公式的结构特征:
（1）左边是两个二项式的乘积,并且这两个二项式有一项完全相同,
另一项互为相反项；
（2）右边是这两项的平方差,即相同项的平方减去相反项的平方.
+
)(
+
+
−
2 2
= b- a.
+
);
(2)(-4x2-3y3)(4x2-3y3).
-
(2) (-4x2-3y3)(4x2-
-
3y3)=(-3y3)2-
(4x2)2=9y6-16x4.
四、当堂练习
10.计算:(1)a(1-2a)+2(a+1)(a-1);
(2)(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y);
解:(1)原式=(10-0.2)×(10+0.2)
(2)20242-20162;
(2)20242-20162
=102-0.22
=(2024+2016)(2024-2016)
=100-0.04
=4040×8
=99.96.
=32320.
三、典例精析
例2 计算:20242-2023×2025.
解:20242-2023×2025
=1002-32
=1202-22
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平方 = 25 − 36x2 ；
= x2 − ( 2y )2 = x2 −4y2 ；
(3) (−m+n)(−m−n ) = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当“第一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积时，要 用括号把这个数整个括起来, 再平方；最后的结果又要去 掉括号。
思考:
(1)找出相同的两项和互为相反数的两项; (2)化为平方差公式的标准形式; (3)按平方差公式的法则进行计算．
平方差公式
多项式与多项式相乘
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
• 计算下列各题： (1) (x+3)(x−3) (2) (1+2a)(1−2a) (3) (x+4y)(x−4y) (4) (y+5z)(y−5z) 用式子表示, 即: (a+b)(a−b)= a2−b2．
例2 利用平方差公式计算:
观察下列各式, 然后解答问题: 1×3+1=4=22, 3×5+1=16=42, 5×7+1=36=62, … （1）请用含n的等式表示上述等式的规律（n为正整数）; （2）请证明你写出的等式.
（1）解:∵1×3+1=4=22, 3×5+1=16=42, 5×7+1=36=62, …, ∴用含n的等式表示上述等式的规律为:（2n-1）（2n+1）+1=（2n）2; （2）证明:（2n-1）（2n+1）+1 =（2n）2-1+1 =（2n）2.
两数和与这两数差的积， 等于 这两数的平方的差．
特征 结构
(a+b)(a−b)=x2−b2
(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘; 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)]；
(2) 公式右边是这两个数的平方差;
即右边是左边括号内的第一项的平方 减去第二项的平方．
(3) 公式中的 a和b 可以代表数, 也可以是代数式.
例1 利用平方差公式计算:
(1) (5+6x)(5−6x); (2) (x+2y)(x−2y)； (3) (−m+n)(−m−n)．
第一数a
平方
解： (1) (5+6x)(5−6x)= 52 − ( 6x)2
第二数b (2) (x+2y) (x−2y)