高考文科解三角形大题
2022全国二卷文科数学真题文科数学2022-2022高考真题分类训练专题四三角函数与解三角形第十一
2022全国二卷文科数学真题文科数学2022-2022高考真题分类训练专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用—后附解析答案专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用一、选择题1．（2022年天津）已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是A．B．C．D．2．（2022全国II卷）函数的最大值为A．4B．5C．6D．73．（2022年陕西高考）如图，港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为A．5B．6C．8D．104．（2022浙江）存在函数满足，对任意都有A．B．C．D．5．（2022新课标2）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=．将动点P到A，B两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为ABCD6．（2022新课标1）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为A．B．C．D．二、填空题7．（2022浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度。
祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，=．8．（2022浙江）已知向量，满足，则的最小值是，最大值是．9．（2022年浙江）已知，则______．10．（2022陕西）设，向量，若，则____．三、解答题11．（2022江苏）农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．12．（2022江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．13．（2022山东）设．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角△中，角，的对边分别为，若，求△面积的最大值．14．（2022湖北）实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，。
解三角形高考典型例题汇编
《解三角形》 一、 正弦定理：s in s in s in a b c ABC===2R推论：(1)::sin :sin :sin a b c A B C =(2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC(3) s in =,s in =,s in =222abcA B C RRR1. 在△A B C 中，若B a b sin 2=，则A =2. 在△A B C 中，23,a= b=6,A=300 ,则B=3. 【2013山东文】在A B C ∆中，若满足2B A=，1a =，3b=，则c =4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a =2，b=2，sinB+cosB =2，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin(sin co s )0B AC C +-=，a =2，c =2，则C =？6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则a b c+的取值范围是？二、余弦定理：2222222222c o s 2c o s 2c o s a b c b c Ab ac a c Bc b a b a C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩推论 222222222c o s 2c o s 2c o s 2b c a A b ca cb B ac b a c C a b ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值2. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A=3. 【2012上海高考】在ABC ∆中，若CB A 222sinsinsin<+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4.【2016山东文科】A B C △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,bc =222(1s in )ab A =-,则A =? （A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6三、三角形面积公式111s in s in s in 222Sa b C a c B b c A===【2014山东理科填空】在△A B C 中，ta n A B A C A⋅=，当6Aπ=时，△A B C 的面积为？【2018全国文16】A B C △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a+-=，则A B C △的面积为 .【2011山东文科17题】△ABC 中，A,B,C 的对边分别为a ,b ,c 。
高考文科数学大题专题练习 (2)
2．(2019·安徽省八校摸底考试)在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知(sinA＋sinB)(a－b)＝(sinC－sinB)c.
(1)求A； (2)已知a＝2，△ABC的面积为 23，求△ABC的周长．
第22页
解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得(a＋b)(a－b)＝ (c－b)c，化简得b2＋c2－a2＝bc.
第34页
(2)因为f(A)＝sin2A＋π6 ＋1＝2，所以sin2A＋π6 ＝1. 因为0<A<π，所以π6 <2A＋π6 <136π，
ππ
π
所以2A＋ 6 ＝ 2 ，即A＝ 6 .
由S△ABC＝12bcsinA＝12，得bc＝2.
又因为b＋c＝2 2 ，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA
第33页
解析 (1)由题知f(x)＝cos2x＋ 3sinxcosx＋12＝sin2x＋π6 ＋
1.令2x＋
π 6
∈
－π2 ＋2kπ，π2 ＋2kπ
，k∈Z，解得
x∈－π3 ＋kπ，π6 ＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间
为－π3 ＋kπ，π6 ＋kπ，k∈Z.
sinBsinC，得b2＋c2－2bc＝a2－bc，
所以bc＝b2＋c2－a2，所以cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12.
π 由A∈(0，π)，得A＝ 3 .
第3页
(2)由 2a＋b＝2c，得 2a＝2c－b，即2a2＝4c2＋b2－4bc. 将bc＝b2＋c2－a2代入2a2＝4c2＋b2－4bc，得2a2＝3b2， 所以sinB＝ 36sinA＝ 22，B＝π4 ， 所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sinAcosB＋cosAsinB＝ 6＋ 2 4.
2020年高考文科数学大题专项二 高考中的三角函数与解三角形
二
考情分析
典典例例剖剖析析
专题总结提升
-7-
题型一
题型二
题型三
题型四
对点训练 1(2018 山东潍坊期中联考)设函数 f(x)=sin ωx·cos
ωx- 3cos2ωx+ 23(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为
π2 + 4.
(1)求 ω 的值;
(2)若函数
y=f(x+φ)
0
<
������
高考大题专项二 高考中的三角函数与解三角形
高考大题专项 高考中的三角函数与解三角形
二
考情分析
典例剖析
专题总结提升
-2-
从近五年的高考试题来看,高考对三角函数与解三角形的考查都 呈现出较强的规律性,每年的题量和分值要么三个小题共15分,要 么一个小题和一个大题共17分.在三个小题中,分别考查三角函数 的图象与性质、三角变换、解三角形;在一个小题和一个大题中, 小题要么考查三角函数的图象与性质,要么考查三角变换,大题考 查的都是解三角形.
题型三
题型四
解 (1)在△ABD 中,由正弦定理得si���n������∠��������� = sin∠������������������������������. 由题设知,sin545°= sin∠2������������������,所以 sin∠ADB= 52.
由题设知,∠ADB<90°,所以 cos∠ADB=
<
π 2
是奇函数,求函数 g(x)=cos(2x-φ)
在[0,2π]上的单调递减区间.
高考大题专项 高考中的三角函数与解三角形
二
考情分析
典典例例剖剖析析
解三角形高考真题汇总(汇编)
精品文档2017高考真题解三角形汇编1.（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.2．（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.3．（2017全国卷1文科）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，cC =BA ．π12B ．π6C ．π4D ．π34.（2016全国卷2理科）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b5.（2017全国卷2文科16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=6．（2017全国卷3理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin Acos A =0，a,b =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．7．（2017全国卷3文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知C =60°，b，c =3，则A =_________。
8.（2017山东高考题理科）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（ ）（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9.（2017山东高考题文科）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .精品文档10.（2017天津高考题理科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 11.（2017天津高考题文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.12.（2017浙江高考题）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是___________,cos ∠BDC =__________.13.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值.精品文档14.设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+。
人教B版2020高考文科数学教材高考审题答题二三角函数与解三角形问题
核心热点真题印证核心素养三角函数的图象与性质2018·全国Ⅱ，10；2018·全国Ⅰ，8；2018·全国Ⅲ，6；2017·浙江，17；2017·山东，16；2017·全国Ⅱ，14直观想象、逻辑推理三角恒等变换2018·浙江，18；2018·江苏，16；2018·全国Ⅱ，15；2018·全国Ⅲ，4；2017·全国Ⅰ，15；2016·全国Ⅰ，14逻辑推理、数学运算解三角形2018·全国Ⅰ，17；2018·全国Ⅱ，6，2017·全国Ⅰ，17；2018·北京，15；2018·天津，15；2016·全国Ⅰ，17逻辑推理、数学运算教材链接高考——三角函数的图象与性质[教材探究](引自人教A版必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)题目9已知函数y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x.(1)求函数的递减区间；(2)求函数的最大值和最小值.题目10已知函数f(x)＝cos4x－2sin x cos x－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.[试题评析]两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.探究提高 1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π(k ∈Z )， 故ω＝6k ＋2(k ∈Z ). 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32. 教你如何审题——三角恒等变换、三角函数与平面向量【例题】 (2019·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. [审题路线][自主解答]解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ， 所以b ＝3a ，故b ＝3.由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12.由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC→＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【尝试训练】 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x ，1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值.解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ). (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②得b ＝3，c ＝2. 满分答题示范——解三角形【例题】 (12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A . (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长. [规范解答][高考状元满分心得]❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出12ac sin B ＝a 23sin A 就有分，第(2)问中求出cos B cos C －sin B sin C ＝－12就有分.❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A ；第(2)问由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9.❸计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos B cos C －sin B sin C ＝－12化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.[构建模板]【规范训练】(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin 45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝2 5.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝2 5.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC＝5.1.已知函数f(x)＝sin x－23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.2.(2019·济南调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B ，及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)及A ∈(0，π)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35， 故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.3.已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17且B ∈(0，π)，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314，在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72.在△ABD 中，由余弦定理得， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，因此△ABC 的中线AD ＝1292.4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长.解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12.(2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3.又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ，∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7.5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值. 解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ， ∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立， 即S △ABC 的最大值为 3.6.(2019·信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.解(1)∵(a＋b＋c)(sin B＋sin C－sin A)＝b sin C，∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12.又A∈(0，π)，所以A＝2 3π.(2)根据a＝3，A＝23π及正弦定理得bsin B＝csin C＝asin A＝332＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C.∴S＝12bc sin A＝12×2sin B×2sin C×32＝3sin B sin C.∴S＋3cos B cos C＝3sin B sin C＋3cos B cos C ＝3cos(B－C).故当B＝C＝π6时，S＋3cos B cos C取得最大值 3.。
专题06三角函数与解三角形选择填空题(解析版)
大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（新课标文科）
专题06三角函数与解三角形选择填空题
本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质、正弦定理和余弦定理，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，三角变换为重点较佳.
1．【2020年全国1卷文科07】设函数f(x)=cos (ωx +π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）
A ．10π9
B ．7π6
C ．4π3
D ．3π2 【答案】C
【解析】
由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，
将它代入函数f (x )可得：cos (−
4π9⋅ω+π6)=0 又(−4π9,0)是函数f (x )图象与x 轴负半轴的第一个交点，
所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32
所以函数f (x )的最小正周期为T =
2πω=2π32=4π3 故选：C。
高考文科数学真题汇编解三角形高考题学生版(最新整理)
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2 3 . 5
→→ (1)求 cos A 的值； (2)若 a＝4 2，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影．
33.（2017 新课标 1 理） △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 △ABC 的面积为 a2 3sin A
．（1）求 sin B sin C ；（2）若 6 cos B cos C 1 ， a 3 ，求 △ABC 的周长． 5 /8
（1）求角 C 的大小；（2）已知 b 4 ， ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.
30.（2013 湖北理）在△ ABC 中，角 A ，B ，C 对应的边分别是 a ，b ，c . 已知 cos 2A 3cos(B C) 1 . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若△ ABC 的面积 S 5 3 ， b 5 ，求 sin B sin C 的值. 4 /8
28.(2013 浙江文)在锐角△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2asin B＝ 3b. (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝6，b＋c＝8，求△ABC 的面积．
29.(2014 浙江文)在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a,b,c ，已知
4sin2 A B 4sin Asin B 2 2 2
（1）求 cos B ；（2）若 a c 6 ， ABC 的面积为 2 ，求 b ．
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3 41、 (2017 年北京卷理) 在△ABC 中， A =60°，c= 7 a.（Ⅰ）求 sinC 的值；（Ⅱ）若 a=7，求△ABC 的
面积.
42、 (2017 年 天 津 卷 文 )在 △ABC 中 ， 内 角 A, B,C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ． 已 知 a sin A 4b sin B ， ac 5(a2 b2 c2 ) ．
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高考文科解三角形大题
1. 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知b
a c B C A -=-2cos cos 2cos . （1）求
A
C sin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .
2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2
sin
1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；
（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.
3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.
（1）若A A cos 2)6
sin(=+π
，求A 的值；
（2）若c b A 3,3
1cos ==，求C sin 的值.
4.ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，5
3cos ,135sin ,33=∠=
=ADC B BD ，求AD .
5.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知4
1cos ,2,1=
==C b a . （1）求ABC ∆的周长；
（2）求)cos(C A -的值.
6在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=.
（1）求A 的值；
（2）求C B sin sin +的最大值.
7在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知412cos -
=C . （1）求C sin 的值；
（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长.
8在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足3,5522cos
=⋅=A . （1）求ABC ∆的面积；
（2）若6=+c b ，求a 的值.
9在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，2
2)4cos()4cos(=-++
ππC C . （1）求角C 的大小；
（2）若32=c ，B A sin 2sin =，求b a ,.
b c C a =+
2
1cos
10在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；
（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.
11在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(2222ab c b a =-+ （1）求2
sin 2
B A +； （2）若2=c ，求AB
C ∆面积的最大值.
12在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2
=+⋅+C C C C ，且5=+b a ，7=c .
（1）求角C 的大小；
（2）求ABC ∆的面积.
13在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2
1)cos sin 3(cos =
-⋅A A A . （1）求角A 的大小；
（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.
14在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=.
（1）求B sin 的值；
（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.
15在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=
+. （1）求a
b ； （2）若2223a b
c +=，求角B .。