高一数学必修一幂函数PPT课件
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3.3幂函数(7大题型)高一数学(人教A版必修第一册)课件
D ． p 为 偶 数 ， q为奇 数且 < 0
）
典型例题
题型四：幂函数的图象、定点问题
【对点训练8】（2023·全国·高一假期作业）已知 ( ) = (2 − 1) + 1，则函数 = ( )的图象恒过的定点
的坐标为
．
【答案】 (1,2)
【解析】令 2 − 1 = 1 ，得 = 1, = 2 ，
故选：C.
2 ；⑤
= ，其中幂函
典型例题
题型二：求函数解析式
【例2】若 = 2 − 4 + 5 − + + 1 是幂函数，则 2 ＝
【答案】
1
4
2
− 4 + 5 = 1 ，解得 ቊ = 2 ，
【解析】由题意得 ቊ
= −1
+1=0
故 = −2 ，所以 2 = 2 −2 =
典型例题
题型二：求函数解析式
1
2
【对点训练3】已知 ∈ −2, −1, − , 2 ，若幂函数 = 为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则
=
．
【答案】 -2
【解析】因为函数在 0, +∞ 上单调递减，所以 < 0 ，
当 = −2 时， = −2 是偶函数，成立
当 = −1 时， = −1 是奇函数，不成立，
1
1
当 = − 时， = − 2 的定义域是 0, +∞ ，不是偶
2
函数，故不成立，
综上， = −2.
故答案为：−2
典型例题
题型三：定义域、值域问题
4
【例3】（1）函数 = 5 的定义域是
高一数学《幂函数》PPT课件
根据n, m, p的取值不同，图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公 式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公 式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半 径，利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正 方形边长，利用幂函数表 示面积与边长关系。
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
高一数学简单的幂函数PPT优秀课件
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
(2)g(x) 3x3 4x2 3x 2
(3)h(x) x3 1 1 x3
(4)u(x) ( x)2
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断这个偶 函性 .数
x2 1,x0.
拓展性训练题
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
图像关于原点对称的函数 叫作奇函数
问题2：观察y=x2的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称的函数 叫作偶函数
示范：判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2 的奇偶性
方法小结
基本训练题
讨论下列函数的奇偶性：
（1）f (x)
4 x2
x2 6x 9 3
简单的幂函数
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
幂函数 的图像
y1
图
y x2
问题1：观察y=x3的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=-f(x)
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
拓展性训练题
THANKS
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演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
(2)g(x) 3x3 4x2 3x 2
(3)h(x) x3 1 1 x3
(4)u(x) ( x)2
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断这个偶 函性 .数
x2 1,x0.
拓展性训练题
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
图像关于原点对称的函数 叫作奇函数
问题2：观察y=x2的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称的函数 叫作偶函数
示范：判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2 的奇偶性
方法小结
基本训练题
讨论下列函数的奇偶性：
（1）f (x)
4 x2
x2 6x 9 3
简单的幂函数
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
幂函数 的图像
y1
图
y x2
问题1：观察y=x3的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=-f(x)
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
拓展性训练题
4.1.3幂函数(课件)-高一数学(湘教版2019必修第一册)
解：∵设() =
,则2
= 2
∴=2.即() = 2 .
同理可得，() = −2 .
画出() = 2 和() = −2 的函数图象，
则由图象可知：当 < −1或 > 1时，() > () ；
当 = ±1时，() = ()；
当−1 < < 1时，() < ().
由于底数1.5 < 1.6，所以1.51.4 < 1.61.4 .
(2)1.50.4 ，1.60.4 可看作幂函数 = 0.4 的两个函数值.该函数在[0, +∞)上递增，由
于底数1.5 < 1.6，所以1.50.4 < 1.60.4 .
(3)1.5−1.5 ，1.6−1.5 可看作幂函数 = −1.5 的两个函数值.该函数在(0, +∞)上递减，
新知探索
上面的讨论中用到的自变量， 2 和 3 ，都是自变量的函数.这三种函数我
们已经很熟悉了.
一般来说，当为自变量而为非零实数时，函数 = 叫作(次)幂函数.上
面提到的1，2，3次幂函数，都是正整数次幂函数 = ( ∈ ， ∈ + )的例子.
注：幂函数的表达式 = 中，的系数必须为“1”.
练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
1
1
−2
−2
(1)1.5 与1.4 ；
(2)2
−
3
−4
1
2
3 3
与( )4 .
2
解：(1)∵幂函数 = 在(0, +∞)上是单调递减的，
又1.5 > 1.4，∴1.5
(2)∵2
1
,则2
= 2
∴=2.即() = 2 .
同理可得，() = −2 .
画出() = 2 和() = −2 的函数图象，
则由图象可知：当 < −1或 > 1时，() > () ；
当 = ±1时，() = ()；
当−1 < < 1时，() < ().
由于底数1.5 < 1.6，所以1.51.4 < 1.61.4 .
(2)1.50.4 ，1.60.4 可看作幂函数 = 0.4 的两个函数值.该函数在[0, +∞)上递增，由
于底数1.5 < 1.6，所以1.50.4 < 1.60.4 .
(3)1.5−1.5 ，1.6−1.5 可看作幂函数 = −1.5 的两个函数值.该函数在(0, +∞)上递减，
新知探索
上面的讨论中用到的自变量， 2 和 3 ，都是自变量的函数.这三种函数我
们已经很熟悉了.
一般来说，当为自变量而为非零实数时，函数 = 叫作(次)幂函数.上
面提到的1，2，3次幂函数，都是正整数次幂函数 = ( ∈ ， ∈ + )的例子.
注：幂函数的表达式 = 中，的系数必须为“1”.
练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
1
1
−2
−2
(1)1.5 与1.4 ；
(2)2
−
3
−4
1
2
3 3
与( )4 .
2
解：(1)∵幂函数 = 在(0, +∞)上是单调递减的，
又1.5 > 1.4，∴1.5
(2)∵2
1
3.3幂函数-高一数学课件(人教A版必修第一册)
称，且在(0,+∞)上是减函数.
3
3
(2)求满足不等式( + 1) <(3 − 2) 的实数a的取值范围.
• 值域：(-∞,0)∪(0,+∞)
• 奇偶性：奇函数
• 单调性：在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
R↑
(-∞,0) ↓
(0,+∞) ↑
称，且在(0,+∞)上是减函数.
(1)求m的值；
解：(1)因为幂函数y=x3m-9在(0,+∞)上是减函数，
所以3m-9<0，所以m<3，
因为m∈N*，所以m=1或2，
又因为函数图象关于y轴对称，
所以3m-9是偶数，所以m=1.
题型三 利用幂函数的性质比较大小
巩固练习5 已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对
要支付p=____元；
w
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=____；
a2
（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=____；
b3
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长
c=____；
（5）如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度
v=_____.
这些函数解析式有什么共同特征？
4.奇偶性：当α为奇数时,幂函数为奇函数,
3
3
(2)求满足不等式( + 1) <(3 − 2) 的实数a的取值范围.
• 值域：(-∞,0)∪(0,+∞)
• 奇偶性：奇函数
• 单调性：在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
R↑
(-∞,0) ↓
(0,+∞) ↑
称，且在(0,+∞)上是减函数.
(1)求m的值；
解：(1)因为幂函数y=x3m-9在(0,+∞)上是减函数，
所以3m-9<0，所以m<3，
因为m∈N*，所以m=1或2，
又因为函数图象关于y轴对称，
所以3m-9是偶数，所以m=1.
题型三 利用幂函数的性质比较大小
巩固练习5 已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对
要支付p=____元；
w
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=____；
a2
（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=____；
b3
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长
c=____；
（5）如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度
v=_____.
这些函数解析式有什么共同特征？
4.奇偶性：当α为奇数时,幂函数为奇函数,
高一数学人必修一课件第二章幂函数
感谢观看
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性质
一次幂函数具有比例性质 ，即y/x=n（常数），且 增减性与n的正负有关。
二次幂函数
定义
形如y=ax^2+bx+c（a≠0 ）的函数。
图像
二次幂函数的图像是一条 抛物线，对称轴为x=b/2a，顶点坐标为(b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
性质
二次幂函数具有对称性、 有界性和单调性等性质， 其增减性取决于a的正负和 x的取值范围。
自由落体运动的位移
自由落体运动中，物体下落的位移h与时间t的关系可以表示为h=1/2gt^2（g为 重力加速度）。这个关系式是一个幂函数，其中指数为2。
经济生活中应用举例
复利计算
在金融领域，复利是一种计算利息的方法。假设本金为P，年利率为r，经过n 年后，本金和利息的总和为A=P(1+r)^n。这个公式中的(1+r)^n部分就是一 个幂函数。
06
练习题与课堂互动环节
练习题选讲
题目一
求函数$y = x^{2}$在 区间$[1,2]$上的最大值 和最小值。
题目二
判断函数$y = x^{3}$ 在$R$上的单调性，并 证明。
题目三
已知函数$y = x^{-2}$ ，求其在点$(1,1)$处的 切线方程。
学生自主函数的奇偶性？
高一数学人必修一课
件第二章幂函数
汇报人：XX
20XX-01-22
• 幂函数基本概念与性质 • 常见幂函数类型及其特点 • 幂函数在生活中的应用举例 • 幂函数与指数、对数等其他类型
函数关系探讨 • 求解幂函数相关数学问题方法技
巧总结 • 练习题与课堂互动环节
目录
01
3.3幂函数概念-高一上学期数学人教A版必修第一册课件
r(x) = x 2 s(x) = x 2
8
6
6 y=x3
y=x2
y=x-2 5
y=x
1
4
y x2
3
2
1
(1,1)
y=x-1
4
2
2
4
6
8
10
1
2
3
这节课你收获到了什么？
幂函数的概念 幂函数的性质
1 2
,
2 2
∴
2 2
1 2
a 1
∴ a= 1 则f(x)解析式 f (x) x2
2
幂函数解析式辨析
例题
已知函数 f (x) (m2 2m) xm2m1 ，m为何值时，
f(x)是：（1）正比例函数？
（2）反比例函数？
（3）二次函数？
（4）幂函数？
(1)若f(x)为正比例函数,则
m2
m
2 1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
10
12
R
｛x|x>0｝ ｛x|x≠0｝
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞） ｛yIy≠0｝
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
定点
（1，1） （0，0）
探究二
4
2
将上面的五个函数画在同一个直角坐标系内
4 y x3 yx2 y x
3
1
2
y x2
1
y x1
2
4
6
1
2
3
类比
幂函数的图像及性质
（1）xa 前系数均为1 （2）底数为自变量，指数为常数 （3）项数为1项
8
6
6 y=x3
y=x2
y=x-2 5
y=x
1
4
y x2
3
2
1
(1,1)
y=x-1
4
2
2
4
6
8
10
1
2
3
这节课你收获到了什么？
幂函数的概念 幂函数的性质
1 2
,
2 2
∴
2 2
1 2
a 1
∴ a= 1 则f(x)解析式 f (x) x2
2
幂函数解析式辨析
例题
已知函数 f (x) (m2 2m) xm2m1 ，m为何值时，
f(x)是：（1）正比例函数？
（2）反比例函数？
（3）二次函数？
（4）幂函数？
(1)若f(x)为正比例函数,则
m2
m
2 1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
10
12
R
｛x|x>0｝ ｛x|x≠0｝
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞） ｛yIy≠0｝
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
定点
（1，1） （0，0）
探究二
4
2
将上面的五个函数画在同一个直角坐标系内
4 y x3 yx2 y x
3
1
2
y x2
1
y x1
2
4
6
1
2
3
类比
幂函数的图像及性质
（1）xa 前系数均为1 （2）底数为自变量，指数为常数 （3）项数为1项
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是偶数，幂函数是偶函数, 是奇数，幂函数是奇函 数.
>0时, <0时,
(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）
(2)函数在x 0， 是增函数.
(1)图象都经过点（1，1）；
(2)函数在x 0， 是减函数;
(3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限
地接近,向右与X轴无限地接近.
幂函数的概念,图象与性质
以下函数中的函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1
（1）均是以自变量为底； （2）指数为常数； （3）自变量前的系数为1;
上述问题中涉及的函数，都是形如 y x 的函数。
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中x为自变量，为常数。
中学教育在线
例1 比较下列各组数的大小
(1)
3
5 2
和
3.1
5 2
<
(2)
8
7 8
和
(
1
)
7 8
>
9
(3) 31.4 和 51.5
<
练习比较下列各组数的大小
1
1
(1) 1.53 和 1.73
<
(2)
(
2 )
2 3
和
(
3
)
2 3
<
3
5
2
2
(3) 4.15 和 5.83
<
利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调 性比较两个数的大小；
(2) 若能化为同底数，则用指数函数的单 调性比较两个数的大小；
(3)当不能直接进行比较时，可在两个数 中间插入一个中间数，间接比较上述 两个数的大小.
例1： 已知幂函数的图象过点 (2, 的解析式.
解:设 f (x) x 由题意得
2 ) ,试求出此函数
所以
2 2
1 2
1
所以 f (x) x2
总结: 理解并掌握幂函数的定义。
幂函数的应用
例2 证明幂函数 fx x 在［0，+∞）上是增函数.
证明: 任取x1 ,x2 ∈ ［0，+∞）,且x1< x2
fx 1 fx 2x 1x 2
均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，如 y＝x2 是幂函数，
y＝2x 是指数函数．
幂函数图象的画法 函数图象的画法是：列表、描点、连线，那
么幂函数也用此法。
我们主要学习下列几种函数.
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3
(4) y=x1/2 (5) y=x-1
y x2
y x1
(1,1) (1,1)
(1,1)
(0,0) (0,0)
(0,0)
(1,1)
图像
x y 1
{x|x∈R,x≠0}
{y|y∈R,y≠0}
奇 x∈[0,+∞] 减
x∈[-∞,0] 减
(1,1)
结合以上特征得幂函数的性质如下:
所有的幂函数在 x 0， 都有定义,并且图象都通过点
(1,1).
y x3y x2 yx
1
y x2
y x1
下一张幻灯片
定义域 值域
y=x y=x² y=x³
R
RR
R
[ 0,+∞] R
1
y x2
[ 0 , +∞ ]
[0 , +∞ ]
奇偶性
奇
偶
奇 非奇非偶
x∈[0,+∞]
单调性
增增
增
增
x∈[- ∞,0]
减
定点
(1,1) , (0,0)
公共点
(1,1) (0,0)
(
x1
x2)(
x1
x2)
x1 x2
x1 x2
x1 x2
0 x 1 x 2 , x 1 x 2 0 ,x 1 x 2 0
fx1fx2
fx x 在［0，+∞）上是增函数.
注意：在解题中对分子或分母有理化的灵活运用
1－1.已知幂函数 f(x)＝x3-m，其中 m>－1，且 m∈Z，若 f(x) 是偶函数，且 f(3)<f(5)，求 m 的值．
4) 2
(3
1
2m) 2
，求
m
的取值范围．
思维突破：利用单调性，把不等式转化为简单不等式．
解：∵y＝
x
1 2
的定义域为(0，＋∞)，且为减函数．
∴原不等式化为m3－＋24m>>00 m＋4>3－2m
，解得－13<m<32.
的范围扩大．
注意定义域的约束条件，否则就会导致所求
3－1.若(a－1)-1<(3－2a)-1，求 a 的取值范围．
解：∵f(3)<f(5)， ∴3－m>0，∴m<3. 又∵－1<m，且 m∈Z，∴m＝0,1,2. 当 m＝0 时，f(x)＝x3 不是偶函数； 当 m＝1 时，f(x)＝x2 是偶函数； 当 m＝2 时，f(x)＝x 不是偶函数． ∴m＝1.
单调性、奇偶性的应用——求范围问题
例
3：已知(m
1
例1，判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y
3x; (2)y
1 x2
; (3) y
2x2;
(4) y
x2
1N; o
(5)y 1;(6)y
1 x
；(7)
y
x0
答案（2Im）（a6g）e（7）
形如 y＝xα 的函数叫幂函数，这里需有：①系数为 1，②指
数为常数，③后面不加任何项．例如：y＝3x、y＝xx+1、y＝x2+1
>0时, <0时,
(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）
(2)函数在x 0， 是增函数.
(1)图象都经过点（1，1）；
(2)函数在x 0， 是减函数;
(3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限
地接近,向右与X轴无限地接近.
幂函数的概念,图象与性质
以下函数中的函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1
（1）均是以自变量为底； （2）指数为常数； （3）自变量前的系数为1;
上述问题中涉及的函数，都是形如 y x 的函数。
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中x为自变量，为常数。
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例1 比较下列各组数的大小
(1)
3
5 2
和
3.1
5 2
<
(2)
8
7 8
和
(
1
)
7 8
>
9
(3) 31.4 和 51.5
<
练习比较下列各组数的大小
1
1
(1) 1.53 和 1.73
<
(2)
(
2 )
2 3
和
(
3
)
2 3
<
3
5
2
2
(3) 4.15 和 5.83
<
利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调 性比较两个数的大小；
(2) 若能化为同底数，则用指数函数的单 调性比较两个数的大小；
(3)当不能直接进行比较时，可在两个数 中间插入一个中间数，间接比较上述 两个数的大小.
例1： 已知幂函数的图象过点 (2, 的解析式.
解:设 f (x) x 由题意得
2 ) ,试求出此函数
所以
2 2
1 2
1
所以 f (x) x2
总结: 理解并掌握幂函数的定义。
幂函数的应用
例2 证明幂函数 fx x 在［0，+∞）上是增函数.
证明: 任取x1 ,x2 ∈ ［0，+∞）,且x1< x2
fx 1 fx 2x 1x 2
均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，如 y＝x2 是幂函数，
y＝2x 是指数函数．
幂函数图象的画法 函数图象的画法是：列表、描点、连线，那
么幂函数也用此法。
我们主要学习下列几种函数.
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3
(4) y=x1/2 (5) y=x-1
y x2
y x1
(1,1) (1,1)
(1,1)
(0,0) (0,0)
(0,0)
(1,1)
图像
x y 1
{x|x∈R,x≠0}
{y|y∈R,y≠0}
奇 x∈[0,+∞] 减
x∈[-∞,0] 减
(1,1)
结合以上特征得幂函数的性质如下:
所有的幂函数在 x 0， 都有定义,并且图象都通过点
(1,1).
y x3y x2 yx
1
y x2
y x1
下一张幻灯片
定义域 值域
y=x y=x² y=x³
R
RR
R
[ 0,+∞] R
1
y x2
[ 0 , +∞ ]
[0 , +∞ ]
奇偶性
奇
偶
奇 非奇非偶
x∈[0,+∞]
单调性
增增
增
增
x∈[- ∞,0]
减
定点
(1,1) , (0,0)
公共点
(1,1) (0,0)
(
x1
x2)(
x1
x2)
x1 x2
x1 x2
x1 x2
0 x 1 x 2 , x 1 x 2 0 ,x 1 x 2 0
fx1fx2
fx x 在［0，+∞）上是增函数.
注意：在解题中对分子或分母有理化的灵活运用
1－1.已知幂函数 f(x)＝x3-m，其中 m>－1，且 m∈Z，若 f(x) 是偶函数，且 f(3)<f(5)，求 m 的值．
4) 2
(3
1
2m) 2
，求
m
的取值范围．
思维突破：利用单调性，把不等式转化为简单不等式．
解：∵y＝
x
1 2
的定义域为(0，＋∞)，且为减函数．
∴原不等式化为m3－＋24m>>00 m＋4>3－2m
，解得－13<m<32.
的范围扩大．
注意定义域的约束条件，否则就会导致所求
3－1.若(a－1)-1<(3－2a)-1，求 a 的取值范围．
解：∵f(3)<f(5)， ∴3－m>0，∴m<3. 又∵－1<m，且 m∈Z，∴m＝0,1,2. 当 m＝0 时，f(x)＝x3 不是偶函数； 当 m＝1 时，f(x)＝x2 是偶函数； 当 m＝2 时，f(x)＝x 不是偶函数． ∴m＝1.
单调性、奇偶性的应用——求范围问题
例
3：已知(m
1
例1，判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y
3x; (2)y
1 x2
; (3) y
2x2;
(4) y
x2
1N; o
(5)y 1;(6)y
1 x
；(7)
y
x0
答案（2Im）（a6g）e（7）
形如 y＝xα 的函数叫幂函数，这里需有：①系数为 1，②指
数为常数，③后面不加任何项．例如：y＝3x、y＝xx+1、y＝x2+1