河北省石家庄市2019-2020学年高二12月联考数学(文)试卷Word版含答案
河北省石家庄市2019-2020学年高二12月联考
数学（文）试卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.
1．抛物线28y x =的焦点坐标为
A. ()0,2
B. ()0,4
C. ()2,0
D. ()4,0
2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
3.已知命题:"0,1"x p x ∀>>总有2，则p ⌝为
A. 0,1x x ∀>≤总有2
B. 0,1x
x ∀≤≤总有2
C. 000,1x x ∃≤≤使得2
D. 000,1x x ∃>≤使得2
4. ""p q ∨为真命题是""p q ∧为真命题的
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.与双曲线22-22=y x 有相同渐近线且过点M （2，—2）的双曲线的标准方程是 A.14-222=y x B. 12-422=y x C. 14-222=x y 或14-222=y x D. 14
-22
2=x y 6．过椭圆的左焦点1F 做x 轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为P, 2F 为右焦点，若︒=∠6021PF F 则其离心率为 A.22 B. 33 C. 21 D. 3
1 7曲线y= xlnx 在点(1，0)处的切线方程为( )
A.y=2x ＋2
B.y=2x －2
C.y=x －1
D.y=x ＋1
8. 一物体的运动方程是s =3+t 2，则t =2时刻的瞬时速度是（ ）。
A. 3
B. 7
C. 4
D. 5
9.曲线192522=+y x 与曲线19-252
2=-+k
y k x （k<9）的 A.长轴长相等 B. 短轴长相等 C 离心率相等 D.焦距相等
10.在区间【0，3】上任取一个数，则此数不大于2的概率是
A.97
B. 32
C. 21
D. 3
1 11.右图是某公司10个销售店某月销售某产品数量的茎叶图，则数据落在【22，30】的频率为
A.0.2 B0.4 C0.5 D.0.6
12. 已知a 、b ∈R ，命题“若a+b=1，则a 2+b 2
≥12”的否命题是（） A.若a 2+b 2＜12，则a+b ≠1 B.若a+b=1，则a 2+b 2＜12
C.若a+b ≠1，则a 2+b 2＜12
D.若a 2+b 2≥12，则a+b=1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片（卡片大小形状均相同），今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为 .
14. 已知f(x)=2x+e^x,则f'(0)= .
15. 下列程序执行后输出的结果是______.
i =11
s =1
DO
s =s ∗i
i =i −1
LOOP UNTIL i <9
PRINT s
END .
16.双曲线19
-42
2 y x 的渐近线方程是 。
河北省石家庄市2019-2020学年高二12月联考
数学（文）试卷参考答案
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示。
(1)求图中x 的值；
(2)试估计这50名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
18. 求函数f(x)=x ³-4x-3x 在区间[1,4]上的最大值和最小值求函
数f(x)=x ³-4x-3x 在区间[1,4]上的最大值和最小值
19.已知中心在坐标原点的椭圆C 经过A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点。
（1）求椭圆的方程
（2）若B(1,-1)为椭圆的弦MN 的中点，求直线MN 的方程。
20.若抛物线)0(2-2
>=p px y 上有一点M 其橫坐标为—9，它到焦点的距离为10，求抛物线的方程和M 点的坐标。
21.
河北省石家庄市2019-2020学年高二12月联考
数学（文）试卷参考答案
1-5 CBDBD 6-10 BCCDB 11-12 DC 13. 6
1 14. 3 15. 990 16. 023=±y x 17. (1) 0.018 (2) 74
18.6-，-18 19. 112
162
2=+y x ，07-4-3=y x 20. x y 42-=，M(6,9±-)
21. y=x+3, 185。
2019-2020学年河北省石家庄市数学高二第二学期期末经典试题含解析
2019-2020学年河北省石家庄市数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（ ） A ．40B ．28C ．24D ．162．已知点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24,4x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则||PF 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知12x xe ax a -≥-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．321,14e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．22,23e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．321,22e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．21,13e ⎛⎤⎥⎝⎦4．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则 A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 5．下列命题中正确的个数是（ ） ①命题“若,则”的逆否命题为“若，则;②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题，则，为假命题;④若命题,则，. A ． B ．C ．D ．6．已知圆的圆心为，点是直线上的点，若圆上存在点使，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数2(21)x y x -=-≤<的值域是 A ．1(,4]2B ．1[,2)2C ．1[,9]3D ．1[,4)28．设lg 2lg5a =+，e (0)x b x =<，则a 与b 大小关系为( )A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a b ≤9．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．28π+B ．88π+C ．48π+D ．68π+10．已知函数()y f x =是奇函数，当[0,1]x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集时（ ）A ．(,1)(2,3)-∞-⋃B ．(1,0)(2,3)-UC ．(2,3)D ．(,3)(2,3)-∞-⋃11．在等比数列{}n a 中，已知5712411,8a a a a a +==+，则5a 的值为（ ）A．12B ．14 C ．18D ．11612．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u uv u u u vB ．1344AB AC -u u uv u u u vC ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m +++=++++++L L ，则m =__________. 14．2位老师和3位同学站成一排合影，要求老师相邻且不在两端的排法有______种.（用数字作答） 15．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的概率为_______. 16．命题：“0x R ∃∈，使得200104x x -+>”的否定是_______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数22()(2)ln (21)(1)f x x x x a x a x b =+-+-++ （1）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若()0f x ≥恒成立，求b-a 的最小值.18．已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32e =，过椭圆的上顶点A 和右顶点B 的直线与原点O 的距离为255， （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在直线l 经过椭圆左焦点与椭圆E 交于M ,N 两点，使得以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 方程；若不存在,请说明理由. 19．（6分）如图，已知圆心为()4,3C 的圆经过原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线340x y m -+=与圆C 交于A ，B 两点．若8AB =，求m 的值．20．（6分）如图，已知AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，23SO =，4AB =，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，60AOC ∠=︒．（1）求直线PC 与底面所成的角的大小； （2）求异面直线PC 与SB 所成的角．21．（6分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率； (2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)2300X ∈，27时，没有影响；当[)270310X ∈，时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．22．（8分）已知函数()ln (0)bf x a x x a =+≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数. 详解：分两种情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有1414C ⨯=种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有244312A =⨯=种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有244312A =⨯=种方法.故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.2．D 【解析】分析：欲求PF ，根据抛物线的定义，即求()3,P m 到准线1x =-的距离，从而求得PF 即可. 详解：抛物线24y x =，准线1x =-，∴PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离，即为4，故选：D.点睛：抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化． 3．A 【解析】分析：先设1()x g x xe -=，再求导求出函数g(x)的单调性和最小值，再数形结合分析得到a 的取值范围.详解：设11(),)(1).x x g x xeg x x e （--==+'=∴ 所以当x ∈（-∞，-1）时，()0,g x '<则函数1()x g x xe -=单调递减.当x ∈（-1，+∞）时，()0g x '>，函数1()x g x xe-=单调递增.21()(1)0g x g e ≥-=-<, 当a<0时，y=a(2x-1)单调递减，与题设矛盾. 当a=0时，10x xe -≥，与21()(1)0g x g e ≥-=-<矛盾. 当a>0时，121)x xea x -≥-（.直线y=a(2x-1)过点（1,02）. 设010(,)x x e-为曲线1()x g x xe -=上任意一点，则过点010(,)x x e -的曲线1()x g x xe -=的切线方程为0011000(1)()x x y x e x e x x ---=+-.又因为切线过点（1,02），所以001100010(1)()2x x x e x e x ---=+-， 解得0011-.2x x ==或故切线的斜率k=111+12e -=（）或k=1123211(1)22e e ---+=. 所以32122,2a e ≤≤即a ∈321,14e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数研究函数的问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出过点（1,02）的切线的斜率k=2或k 3212e=.4．B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由21i =-可得，2i S ∈，i S ∉，3i i S =-∉，22i S i=-∉. 考点：复数的计算，元素与集合的关系. 5．B 【解析】 【分析】根据逆否命题的概念、必要不充分条件的知识、含有简单逻辑联结词命题真假性的知识、特称命题的否定是全称命题的知识，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于①，根据逆否命题的概念可知，①正确.对于②，当“”时，可能成立，当“”时，“”，故“”是“”的必要不充分条件，即②正确.对于③，若为假命题，则，至少有一个假命题，故②错误.对于④，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知④正确.综上所述，正确命题个数为个，故选B. 【点睛】本小题主要考查逆否命题、必要不充分条件、含有简单逻辑联结词命题真假性、全称命题与特称命题等知识的运用，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】问题转化为到直线的距离.【详解】如图所示：过作圆的切线，切点为，则，，即有解，，则到直线的距离，，解得，故选：．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．7．A【解析】分析：由于函数122xxy-⎛⎫== ⎪⎝⎭在R上是减函数，且21x-≤<，利用单调性求得函数的值域详解：Q函数122xxy-⎛⎫== ⎪⎝⎭在R上是减函数，且21x-≤<，∴当1x=时，函数取得最小值为1 2当2x=-时，函数取得最大值为4故函数的值域为14 2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选A点睛：本题主要考查的是指数函数的单调性，求函数的值域，较为基础。
河北省石家庄市河北正中实验中学2024-2025学年高二上学期月考一数学试题
的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机抽取
2 ．名学生进行问卷调查，求抽取的这 2 名学生至少有1人成绩在[50, 70) 内的概率．
21．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
2
，再由余弦定理求得
b
=
5
，结合
b sin
B
=
2R
，
即可求解.
【详解】由三角形的面积公式，可得
1 2
ac
sin
B
=
1 2
c
´
2 2
=
2 ，解得 c
=
4
2，
又由 b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 1+ 32 - 2´1´ 4
2´
2 2
=
25
，可得 b
=
5
，
b 由正弦定理 sin B
若 A，B 为两个互斥事件，则 P ( A U B) = P ( A) + P ( B) ，B 正确； 对于 C，事件 A 与 B 相互对立，则 P ( A) + P ( B) = 1 ，正确；
河北省石家庄市河北正中实验中学 2024-2025 学年高二上学
期月考一数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数
z
河北省石家庄市大营联合中学2019-2020学年高二数学文联考试卷含解析
河北省石家庄市大营联合中学2019-2020学年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “x=30°”是“”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】通过前者推出后者，后者推不出前者，利用充要条件的判断方法，得到结果．【解答】解：因为“x=30°”?“”正确，但是解得x=k?360°+30°或x=k?360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，所以“x=30°”是“”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．2. 已知命题直线过不同两点，命题直线的方程为，则命题是命题的（）A.充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C当时，过不同两点的直线方程为，即，又当时，直线为，也满足上式，当时，直线为，也满足上式，所以，过不同两点的直线方程为.反过来，直线的方程为，则当时，，所以直线过点同理，当时，，所以直线过点即直线过不同两点.所以命题是命题的充要条件.本题选择C选项.3. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )A. B. C.2 D.参考答案：A4. 有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，就可以中奖，若希望中奖的机会最大，则应该选择的游戏是（）A5. 对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（）A．92% B．24% C．56% D．5.6%参考答案：C【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距，求出这次测验的优秀率．【解答】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为0.032×10+0.024×10=0.56故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%故选C【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．6. 已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．B【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选B．【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查．在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握．7. 已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为，则实数a的值为（）A．－3 B．－6 C．2 D．1参考答案：A8. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A. B. C. D.参考答案：C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】则．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．9. 下列各组向量不平行的是（）A. B.C. D.参考答案：B10. 已知全集，，，则为（）A. B. C.D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则的值等于▲ ．参考答案：12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A=．参考答案：【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵，∴cosA===，A∈（0，π），∴A=．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 若命题“存在x∈R，使得2x2﹣3ax+9＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣2，2]【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】将条件转化为2x2﹣3ax+9≥0恒成立，通过△=9a2﹣72≤0，从而解出实数a的取值范围．【解答】解：命题“?x∈R，使2x2﹣3ax+9＜0成立”是假命题，即“2x2﹣3ax+9≥0恒成立”是真命题．△=9a2﹣72≤0，解得﹣2≤a≤2，故答案为：[﹣2，2]【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化数学思想，属中档题．14. 命题“?∈R，使得x2+1＞1”的否定为．参考答案：?x∈R，都有x2+1≤1【考点】命题的否定．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题．即命题的否定是：?x∈R，都有x2+1≤1，故答案为：?x∈R，都有x2+1≤1．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．15. 当时，的最小值为．参考答案：16. 过直线上一点作圆的切线、关于直线对称，则点到圆心的距离为。
河北省石家庄市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
河北省石家庄市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在同一平面直角坐标系中，曲线2yx 按213x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩变换后的曲线的焦点坐标为（ ）A ．()6,0B ．()0,6C ．3,0D ．()0,3【答案】D 【解析】 【分析】把伸缩变换的式子变为用','x y 表示,x y ，再代入原方程即可求出结果. 【详解】由213x xy y ='='⎧⎪⎨⎪⎩可得23x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，将其代入2yx可得：232xy，即212xy故其焦点为：()0,3. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关伸缩变换后曲线方程的求解问题，涉及到的知识点有伸缩变换规律对应点的坐标之间的关系，属于基础题2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C . 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题. 3．复数211z i i=+-在平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】分析：先化简复数z,再判断其在平面内对应的点在第几象限. 详解：由题得1111111(1)(1)2222i z i i i i +=-=+-=-+-+，所以复数z 在平面内对应的点为11(,22-），所以在平面内对应的点在第二象限. 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点是（a,b ）,点（a,b ）所在的象限就是复数z a bi =+(),a b ∈R 对应的点所在的象限.复数(,)z a bi a b R =+∈和点（a,b ）是一一对应的关系. 4．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，原不等式等价于()(),f f αβ>两次求导可证明()sin xf x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，从而可得结论. 【详解】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()2cos sin ',0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭， 设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减， ()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>αβ∴<，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出()'f x ；（2）令 ()'0f x >求出x 的范围，可得增区间；（3）令()'0f x <求出x 的范围， 可得减区间.5．甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用 三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为，所以甲队获胜的概率等于，故选A.考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.6．已知向量(2,)a x =-，(1,)b x =，若2a b -与a 垂直，则b =（ ） A ．2 B ．3C ．22D ．3【答案】B 【解析】分析：先求出2a b -的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x ，再求b 即可. 详解：由题可得：()222(4,),2808183a b x a b ax x b -=---⊥∴-=⇒=⇒=+=故选B.点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x 是解题关键，属于基础题.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为 （ ）A ．5B ．43C ．52 D．62【答案】 C 【解析】分析：由三角形面积公式可得c ，再由余弦定理可得b ，最后结合正弦定理即可得结果.详解：根据三角形面积公式得，11sin4522c ⋅⋅⋅︒=，得42c =，则2222cos 25b a c ac B =+-=，即5b =，2522R ==，故正确答案为C. 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一. 8．已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先弄清楚阴影部分集合表示的含义，并解出集合、，结合新定义求出阴影部分所表示的集合。
河北省石家庄市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
河北省石家庄市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）1.为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔k 为（ ） A. 40 B. 30C. 20D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果. 【详解】由总数为1200，样本容量为40， 所以抽样距为：12003040k == 故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.2.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，則x y +的值为（ ）A. 7B. 10C. 9D. 8【答案】D 【解析】甲班众数为85，故5x =，乙班中位数为83，故3y =，所以8x y +=.3.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A.14B.12C. 2D. 4【答案】A 【解析】【详解】试题分析：将其方程变为标准方程为2 211yxm＋＝，根据题意可得，11m>，且14m=，解得14m=，故A正确．考点：椭圆的方程及基本性质4.若x，y满足{1x yx yx-≤+≤≥，，，则2z x y=+的最大值为（）A. 0B. 1C.32D. 2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y=+，则1122y x z=-+，令0Z=，作直线12y x=-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2，故选D.考点：本题考点为线性规划的基本方法5.七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A.116B.18 C. 38D. 316【答案】B 【解析】 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.6.已知曲线1y x x =+上一点52,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 处的切线方程为（ ）A. 4340x y -+=B. 3440x y ++=C. 3440x y -+=D. 4330x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果. 【详解】由曲线1y x x =+，则21'1y x=- 所以2213'124x y ==-= 所以切线方程为：()53224y x -=-即：3440x y -+= 故选：C【点睛】本题主要考查曲线在某点处切线方程的求法，属基础题. 7.设命题p ：函数1()2x f x -=在R 上为单调递增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数，则下列命题中真命题是（ ） A. p q ∧B. ()p q ⌝∨C. ()()p q ⌝∧⌝D.()p q ∧⌝【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数以及余弦型函数的性质，可得命题p 、命题q 真假，然后根据真值表，可得结果.【详解】由函数()2x f x =在R 上单调递增函数所以函数1()2x f x -=在R 上为单调递增函数故命题p 为真命题，由()cos 2f x x =的定义域为R 且()()()cos 2cos2f x x x f x -=-== 故可知函数()cos 2f x x =为偶函数 所以命题q 为假命题. 所以()p q ∧⌝为真命题. 故选：D【点睛】本题考查函数的单调性，奇偶性的判断以及真值表的应用，属基础题.8.正四棱锥P ABCD -底面ABCD 边长为2,E 为AD 的中点,则BD 与PE 所成角的余弦值为（ ）A.4B.13C.4D.4【答案】D【解析】 【分析】取AB 中点为F ，连接EF ，得到 BD 与PE 所成角为PEF ∠，在PEF ∆中，利用余弦定理得到答案.【详解】如图所示：取AB 中点为F ，连接EF ，易知EF BD ‖ 故BD 与PE 所成角为PEF ∠PEF ∆中，12,22PE PF EF BD ==== 利用余弦定理得到：2222cos PF PE EF PE EF PEF =+-⋅∠ 解得2cos PEF ∠= 故选D【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 9.设x ∈R ，“命题1:2p x >”是“命题:(12)(1)0q x x -+<”的（ ） A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果. 【详解】由(12)(1)0x x -+<，则1x <-或12x >所以“12x >”可推出“1x <-或12x >” 但“1x <-或12x >”不能推出“12x >” 故命题p 是命题q 充分且不必要条件 故选：A【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题. 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1312π+B.134π+ C. 14π+D. 112π+【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【详解】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体， 四分之一圆锥的底面半径为1，高为1， 故体积为：1113412ππ⨯⨯=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：1 12112⨯⨯⨯=， 故组合体的体积112V π=+，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键，属于中档题.11.设P 是椭圆221259x y +=上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为 （ ） A. 9,12 B. 8,11C. 10,12D. 8,12【答案】D 【解析】 【分析】椭圆的焦点恰好是两圆的圆心，利用椭圆的定义先求出点P 到两焦点的距离|PF 1|+|PF 2|，然后|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成|PF 1|+|PF 2|减去两个半径和加上两个半径．【详解】∵两圆圆心F 1（﹣4，0），F 2（4，0）恰好是椭圆221259x y +=的焦点，∴|PF 1|+|PF 2|＝10，两圆的半径r ＝1，∴（|PM |+|PN |）min ＝|PF 1|+|PF 2|﹣2r ＝10﹣2＝8． （|PM |+|PN |）max ＝|PF 1|+|PF 2|+2r ＝10+2＝12． 故选D ．【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解决本题的关键是把|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成与两圆的半径差与和问题．12.已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且(('))f x f x <恒成立，其中e是自然对数的底，则（ ） A. (2019) (2020)f e f < B. (2019)(2020)ef f < C. (2019)(2020)ef f = D. (2019)(2020)e f f >【答案】B 【解析】【分析】构造新函数()()xx f F x e =，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，可得结果. 【详解】令()()x x f F x e =，则()()('')x f x F x ef x =- 由(('))f x f x <，所以()'0F x >故函数()F x 为R 上的单调递增，所以()()20202019F F > 故20202019(2020)(2019)f ef e > 即(2019)(2020)ef f < 故选：B【点睛】本题主要考查利用函数单调性比较式子大小，难点在于构造函数()()x x f F x e=，属中档题.13.函数()33f x x x =-的极小值为_______．【答案】2-. 【解析】试题分析：()233f x x ='-，令()0f x '=得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以当1x =时，函数()f x 有极小值，且极小值是()311312f =-⨯=-．考点：导数研究函数的极值．14.在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P(m ，n)，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________． 【答案】13【解析】由题意得点P(m,n)有:(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6个,在圆x 2+y 2=9内部的点有(2,1),(2,2),即所求概率为=.15.已知椭圆2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，经过点F 且斜率为1的直线l 与该椭圆交于C ，D 两点，则线段CD 的长为__________. 【答案】247【解析】 【分析】根据椭圆焦点可得a ，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得结果. 【详解】设()()1122,,,C x y D x y 由椭圆的一个焦点为(1,0)F -， 所以222314a b c =+=+=，则可知椭圆方程为22143x y +=，又直线l 的方程为：1y x =+22217880431x y x x y x ⎧+=⎪⇒+-=⎨⎪=+⎩121288,77x x x x =-+=-由247CD ==故答案为：247【点睛】本题主要考查椭圆中弦长公式的应用，属基础题. 16.已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与其准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________. 1 【解析】 【分析】采用数形结合，找到当m 取最小值时，得到直线PA 与抛物线相切，进一步可得点P 坐标，然后根据双曲线的定义，可得结果. 【详解】如图所示：作PB 垂直准线交于点B ，则PF PB = 所以||||==sin ||||PF PB m PAB PA PA =∠ 故当直线PA 与抛物线相切时，m 最小. 设直线PA 方程为：1y kx =-则2214404y kx x kx x y=-⎧⇒-+=⎨=⎩ 所以0∆=，即1k =±，不妨令1k = 则可得()2,1P ，所以22,2PA PF则221a PAPFa所以21c ea21【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，难点在于得到直线PA 与抛物线相切，属难题.17.为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录孩子们三分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，跳绳个数的数值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4:2:1.（计算结果保留小数点后面3位）（Ⅰ）求这些学生跳绳个数的数值落在区间[75,85]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个学生，求这2个学生跳绳个数的数值都在区间[45,65)内的概率. 【答案】（Ⅰ）0.05；（Ⅱ）23. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率之比，可假设数值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]的频率，然后利用所有频率之和为1，可得结果.（Ⅱ）根据区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率之比为：3：2：1，按分层抽样的方法将这三个区间的所抽取的人数分别进行标号，采用列举法，然后利用古典概型，可得结果. 【详解】（Ⅰ）设区间[75,85]内的频率为x ，则区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x 和2x ，依题意得： (0.0040.0120.0190.030)10421x x x +++⨯+++=.解得0.05x =.所以区间[75,85]内频率为0.05.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率依次为0.3，0.2，0.1. 用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本.则在区间[45,55)内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++人，记为1A ，2A ，3A在区间[55,65)内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++人，记为1B ，2B ，在区间[65,75)内应抽取0.16110.30.20.1⨯=++人，记为C .设“从中任意选取2个孩子，这2个孩子跳绳数值都在区间[45,65)内”为事件M ， 则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ， {}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ， {}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ， {}1,B C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种.事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ， {}32,A B ，{}12,B B ，共10种.所以这2个孩子跳绳数值都在区间[45,65)内的概率为102153=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属基础题.18.已知圆C 过三点(2,4)，直线:20l ax y a ++=. （Ⅰ）求圆C 的方程（Ⅱ）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且||AB =l 的方程.【答案】（Ⅰ）228120x y y +-+=；（Ⅱ）7140x y =+=或20x y =+=.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程，解方程组，可得结果.（Ⅱ）利用圆的弦长公式. 【详解】（Ⅰ）设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=所以393041624032550E F D E F E F ⎧+++=⎪++++=⎨⎪++++=⎩故0812D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩圆C 的方程228120x y y +-+=. （Ⅱ）过圆心C 作CD AB ⊥，则可得2222||||2,12CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪==⎪⎩解得7a =-或1a =-. 故所求直线方程为7140x y =+=或20x y =+=.【点睛】本题考查圆的方程以及弦长公式，属基础题.19.现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量x 与单位成本y 统计数据如下：（Ⅰ）试确定回归方程y bx a =+；（Ⅱ）指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少？ （Ⅲ）假定单位成本为70元/件时，产量应为多少件？（参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,()nii iii i nni ii i xx y y x ynxybay bx x x xn x ====---===---∑∑∑∑.） （参考数据11481niji x==∑ 2179ni i x ==∑）【答案】（Ⅰ） 1.81877.363y x =-+;（Ⅱ）1818元;（Ⅲ）4050件. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据回归系数公式，可得结果. （Ⅱ）根据回归系数b 的几何意义，可得结果. （Ⅲ）根据回归方程，代值计算，可得结果.【详解】（Ⅰ）设x 表示每月产量（单位：千件），y 表示单位成本（单位：元/件），作散点图. 由图知y 与x 间呈线性相关关系，（不画图不扣分）设线性回归方程为y bx a =+，其中 3.5x =，71y = 由公式可求得 1.818b ≈-， 77.363a ≈， ∴回归方程为 1.81877.363y x =-+.（Ⅱ）由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降1.818元. （Ⅲ）当70y =时，70 1.81877.363x =-+，得 4.050x ≈千件. ∴单位成本是70元/件时，产量约为4050件.【点睛】本题主要考查线性回归直线方程及其应用，属基础题. 20.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，22,AB BC PA PB ===，.侧面PAB ⊥底面ABCD .（1）证明：PC BD ⊥；（2）设BD 与平面PAD 所成角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）1021.过抛物线2:2(0)C y p x p =⋅>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且||2MN =.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线:l y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（A ，B 均不与点Q 重合）.设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212k k =-.直线l 是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）直线l 恒过定点，定点为(3,1)-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）假设直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理以及抛物线的焦点弦性质，可得结果.（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得Q ，然后联立直线l 与抛物线的方程，结合韦达定理，利用1212k k =-，可得,k m 之间的关系，最后根据直线方程特点，可得结果.【详解】（Ⅰ）由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭设直线MN 方程为：2p y x =-代入抛物线方程得：22304p x px -+=设(),M M M x y ，(),N N N x y ∴3M N x x p +=∴||42M N MN x x p p =++==， 解得：12p =∴抛物线方程为：2y x =（Ⅱ）由（1）知：抛物线2:C y x = ∴()1,1Q ，设()11,A x y ，()22,B x y 由2y kx m y x=+⎧⎨=⎩得：20ky y m -+=， 则140km ∆=-> ∵0k ≠ ∴121y y k +=，12m y y k= ∴12121222121211111111y y y y k k x x y y ----=⋅=⋅---- 12k k ()()1211112y y ==-++即：()121230y y y y +++= ∴130m k k++=，解得31m k =-- 当31m k =--时，21414(31)12410km k k k k -=++=++>∴31(3)1y kx k k x =--=--， 恒过定点(3,1)- ∴直线l 恒过定点(3,1)-【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何应用，第二问中，难点在于找到,k m 之间的关系，重点在于韦达定理的应用以及计算，属中档题. 22.已知函数()()22xf x esinx axa e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减. (2)证明见及解析. 【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可判定函数的单调性． (2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <． 详解：(1) ()()0,xa f x esinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减 (2)要证()220xesinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立 令()()22g a xa sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立∵sin 1x e +< ∴①式成立 现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()220000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-,=200sin 7sin 44x x x e ++-∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-<综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题．。
河北省石家庄市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含解析
石家庄市2019~2020学年度第二学期期末检测高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分，在题目给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}6U x N x =∈<，集合{1,3}A =，{2,4}B =，则()UA B 等于（ ）A. {1,2,3,4}B. {5}C. {0,5}D. {2,4}【答案】C 【解析】 【分析】 先根据集合{1,3}A =，{2,4}B =，求得A B ，再根据全集{}{}60,1,2,3,4,5U x N x =∈<=求解.【详解】因为集合{1,3}A =，{2,4}B =， 所以{}1,2,3,4AB =，又全集{}{}60,1,2,3,4,5U x N x =∈<=， 所以{}()0,5UA B =故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2. 设复数3i12iz -=-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A. (1,1)B.C. 1(,1)5D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应点的坐标即可．【详解】因为3i (3i)(12i)32i 6i1i 12i (12i)(12i)5z --++-+====+--+，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1). 故选A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的运算及其几何意义，属于基础题. 3. 已知命题0:p x R ∃∈，060x +>，则p ⌝是（ ） A. 0x R ∃∈，060x +≥ B. 0x R ∃∈，060x +≤ C. x R ∀∈，60x +≥ D. x R ∀∈，60x +≤【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题0:p x R ∃∈，060x +>是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题即：x R ∀∈，60x +≤ 故选：D【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. 22x y =-B. 3y x =C. ln y x =D.21y x =-【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性判断和函数的零点的求法求解. 【详解】A. 因为()()2222xx f x f x --=-≠-=，所以是非奇非偶函数，故错误；B. 因为()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，故错误； C.因为函数ln y x =的定义域为()0,∞+，所以是非奇非偶函数，故错误；D.因为()()()2211f x x x f x -=--=-=，所以是偶函数，令()0f x =，解得1x =±，故正确； 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的零点，属于基础题. 5. 若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】A 【解析】 因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．6. 为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（ ） A. 20 B. 18 C. 36 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先将四位专家选取两人分配到同一病区，再与另二位专家一起做全排列，分配到三个病区，可得选项.【详解】由题目知，将甲乙丙丁分配重症监护病区、普通病区、监测病区这三个病区，要求每人去一个病区，有23436636C A ⨯=⨯=种分配方法，故选：C.【点睛】本题考查分组分配问题，一般采用先分组后分配的方法，属于基础题. 7. 某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布()290,5N ，若()80900.3P ξ≤<=，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ） A. 12 B. 20C. 30D. 40【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布曲线关于90x =对称，从而求得()90100P ξ≤<的值，进而求得()100P ξ>的概率值，即可得到答案.【详解】因为ξ服从正态分布()290,5N ，所以()8090P ξ≤<=()90100P ξ≤<0.3=， 所以()()18010010.61000.222P P ξξ-≤<->===，所以该班数学成绩在100分以上的人数为600.212⨯=（人）. 故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的应用，求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点值不影响概率值，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 8. 若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（ ）A. 2B.C. 5D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得33333333b b a b b a a b a b a b++=+=++，结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意，若正实数,a b ，满足1a b +=，则333332353333b b a b b a b a b a b a b a ++=+=++⨯⨯=， 当且仅当334b a ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5； 故选：C【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.9. 函数f (x )＝21xx e -的图象大致为()A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项.【详解】因为f (－x )＝21x x e--≠f (x )知f (x )的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f (2)＝214e -＝－23e<0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题. 10. 若定义在[,]a b 上的函数()|ln |f x x =的值域为[0,1]，则b a -的最小值为（ ） A. 1e - B. 1e -C. 11e-D.11e- 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数性质确定()f x 的单调性，然后得出,a b 的取值（或范围），可得结论．【详解】ln ,01()ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，∴()f x 在(0,1]单调递减，在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)0f x f ==，又1()1f f e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意11a e ≤≤，1b e ≤≤，且1a e=和b e =中至少有一个取到．即1a e =，1b e ≤≤，此时111b a e e e-≤-≤-， 若11a e <≤，则b e =，11e b a e e-≤-<-， ∴b a-的最小值是11e-． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的值域问题，掌握对数函数的性质是解题关键．基本方法是：去掉绝对值符号后确定函数的单调性，由单调性得出函数值域．11. 已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. [)1,+∞C. [)1,-+∞D. (],3-∞【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简命题p ，再利用集合间的基本关系，求得参数a 的取值范围. 【详解】由2:230p x x +->，知3x <-或1x >， 则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1{|}3x x ≤≤-{|}x x a ≤∴1a ≥.故选：B.【点睛】本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系. 12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21x f x =-，则2(log 9)f =（ ） A. 79-B. 8C. 10-D. 925-【答案】A【解析】 【分析】先利用()()2f x f x +=-得到()()2f x f x +=-，从而得到图像的对称轴为1x =，再次利用()()2f x f x +=-把函数值的计算归结为29log 4f ⎛⎫⎪⎝⎭，最后利用对称轴为1x =把函数值的计算归结为216log 9216log 219f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【详解】()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图像的对称轴为1x =，()229log 9log 4f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因291log 24<<，故2229916log 2log log 449f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2160log 19<<，所以216log 92167log 2199f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()27log 99f =-.选A. 【点睛】一般地，如果奇函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，则()f x 的周期为2a 且()f x 图像有对称轴2ax =.不在给定范围上的自变量的函数值的计算，应根据给定的关系式（必要时利用周期性和对称性转化）把要求的值转化到给定的区间上的自变量的函数值.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数()2log 030xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】19【解析】 【分析】先求1()4f 的值，再求14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由题得211()=log 244f =-，所以211(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为19【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14. 曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 【答案】2y x e =- 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到f '（e ），再求出f （e ）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．【详解】由()f x xlnx =，得()1f x lnx '=+， f ∴'（e ）12lne =+=．即曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线的斜率为2， 又f （e ）elne e ==．∴曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线方程为2()y e x e -=-，即2y x e =-． 故答案为2y x e =-【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．15. 若函数2()2ln 3f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围是________．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】求出导数()'f x ，确定函数的极值点，由极值点可得a 的范围．【详解】函数定义域是(0,)+∞，2141()4x f x x x x '-=-=114()()22x x x+-=，当102x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当12x >时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 只有一个极值点，极小值点12， 由1(1,1)2a a ∈-+，则112112a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1322a <<，又10a -≥，即1a ≥，∴312a ≤<．故答案：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值点，注意函数的极值点是在函数定义域内，一般先求出函数定义域，才能得出正确结果．16. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是________． 【答案】25【解析】 【分析】由于该密码的最后一位数字是奇数,应该在“1,3,5,7,9”中选数，求出按前2次的所有基本事件个数，再求出其中有密码的基本事件的个数，从而可得概率．【详解】根据题意,密码的最后一位数字是奇数,所以此人在按最后一位数字时,有“1,3,5,7,9”5种可能，由此可得此人在按前两次,所有的基本事件有255420n A ==⨯=个，若此人不超过2次就按对,说明前2次所按的数字含有正确数字，相应的基本事件有12428m C A =⋅=个，因此,此人不超过2次就按对的概率是82205m P n ===， 故答案为：25． 【点睛】本题以按密码的事件为例,求某人按密码不超过两次就正确的概率.着重考查了基本事件的概念和古典概型及其计算公式等知识,属于基础题.三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如果21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等,求n 及展开式中的常数项. 【答案】70 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第4项与第6项的系数,列出方程解得n 值,利用二项展开式的通项公式求出第1r +项, 令x 的指数为0求出常数项【详解】因为21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等所以知可得3522n n C C =,所以352n +=,即4n =. 所以展开式中的通项为8218r rr T C x -+=, 若它为常数项,则4r =,所以45870T C ==. 即常数项为70.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18. 已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解.【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<． ①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ，则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤． 综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.19. 已知函数()()223mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且()()35f f <．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()()log 2a g x f x x ⎡⎤=-⎣⎦(0a >且1a ≠)，求()g x 在(]2,3上值域．【答案】（1）1m =，()2f x x =；（2）当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞. 【解析】试题分析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<，因为m Z ∈，所以0m =或1m =，验证后可知1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，函数22y x x =-在(]2,3上单调递增，故按1a >，01a <<两类，利用复合函数单调性来求函数的值域. 试题解析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<， 因为m Z ∈，所以0m =或1m =， 当0m =时，()3f x x =它不是偶函数；当1m =时，()2f x x =是偶函数；所以1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，设(]22,2,3t x x x =-∈，则(]0,3t ∈，此时()g x 在(]2,3上的值域，就是函数(]log ,0,3a y t t =∈的值域；当1a >时，log a y t =在区间(]03,上是增函数，所以(],log 3a y ∈-∞； 当01a <<时，log a y t =在区间(]03,上是减函数，所以[)log 3,a y ∈+∞； 所以当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞．考点：幂函数单调性，复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意()()35f f <，可以判断函数在()0,+∞上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出m 可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.20. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100km/h 的有25人. （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关.（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为6 5 .【解析】【分析】（1）根据题目中的数据，完成列联表，求出28.2497.879K≈＞，从而有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；（2）记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，推导出X服从二项分布，即23,5B⎛⎫⎪⎝⎭，由此能求出X的分布列与数学期望.【详解】解：（1）因为()22100402515208.2497.87960405545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km /h 与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆的概率为4021005=， X 可取值是0，1，2，3，由题知2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，有：()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 分布列为()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，考查二项分布，随机变量的分布列与期望的计算，考查学生的数据分析和运算求解能力.21. 在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x （万元）与升级改造直接收益y （万元）的数据统计如下：当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ14.4y=；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.7y x a=-+． （Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．（附：刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑ 4.1≈．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式()()()1122211ˆ()nniiiii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xn x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-）【答案】（Ⅰ）模型①的2R 小于模型②，回归模型②刻画的拟合效果更好；预测值为72.93亿元；（Ⅱ）技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，182.479.2>，得到()()772211182.479.2i i i i y y y y ==>--∑∑判断即可.（2）由表中数据求得由已知可得 23x =．67.2y =，进而得到ˆ0.7ay x =+写出线性回归方程，再将20x计算，然后再比较即可.【详解】（1）由表格中的数据，有182.479.2>，即()()772211182.479.2i i i i y y y y ==>--∑∑所以模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 所以当17x =亿元时，科技改造直接收益的预测值为．∴ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y==⨯-=（亿元） （2）由已知可得：123452035x ++++-==，所以23x =．8587.566607.25y ++++-==，所以67.2y =．∴ˆ0.767.20.72383.3ay x =+=+⨯= 所以当17x >亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.783.3yx =-+． 所以当20x 亿元时，科技改造直接收益的预测值ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=． 所以当20x亿元时，实际收益的预测值为69.31079.3+=亿元即79.3亿元72.93>亿元所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．【点睛】本题主要考查回归分析及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22. 已知函数2()ln f x x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<．【答案】（Ⅰ）单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求函数导数，再求导数在定义区间上零点，根据导函数正负，确定单调区间；（Ⅱ）先根据零点得2121lnx x a x x =-，再代入化简不等式为2221112ln 2x x xx x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，构造函数()21ln 2g t t t t=--+，其中211x t x =>，最后根据导数确定函数()g t 单调性，根据单调性证不等式.【详解】（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ， ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞ ； （2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根，∴1122ln 0ln 0ax x ax x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()2121ln0x a x x x -+=，解得2121ln xx a x x =- ， 要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭， 即证()222122111212ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 不妨设12x x <，令211x t x =>，只需证21ln 2t t t<-+， 设21()ln 2g t t t t=--+，∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭， 令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， ∴()(1)0g t g <=．即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，属于综合题.。
【精准解析】河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题
B. f x x2 ， g x x
C. f x x2 3x ， g t t 2 3t
D. f x x2 4 ， g x x 2
x2
【答案】D 【解析】 【分析】
分析各选项中函数 y f x 和 y g x 的定义域和解析式的异同，可得出结论.
两个函数的定义域不相同， D 选项中的两个函数不是同一函数.
-2-
故选：D.
【点睛】本题考查函数相等的判断，一般要分析两个函数的定义域和解析式的异同，考查推
理能力，属于基础题.
4.若
sin
x
6
3 5
，则
cos
3
2x
（
24
A.
25
【答案】C
B. 24 25
） C. 7 25
D. 7 25
,令 u(x)来自x2 2xe2
， v(x)
m
x
3 5
,
利用导数研究函
数 u(x)
x2
x
e2
的性质，作出
y
u ( x),
y
v(x) 的图象，考虑曲线与直线相切的情况，得到
2
答案.
【详解】
f
( x) 0
等价于
x2 2
e
x
2 m
x
3 5
,
令 u( x)
x2 2
x
e2
， v(x)
m
x
3 5
,
则
u(x)
对于 C 选项，函数 f x x2 3x 定义域为 R ，函数 g t t 2 3t 的定义域为 R ，两个函数
对应法则相同， C 选项中的两个函数是同一个函数；
2019-2020学年河北省石家庄市数学高二下期末经典试题含解析
2019-2020学年河北省石家庄市数学高二(下)期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设集合{|12}A x x=-<， []{|2,0,2}xB y y x ==∈，则A B =I A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,42．已知点P(x ，y)的坐标满足条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为( ) A ．2B ．1C ．95D ．1153．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l 1和l 2，已知在两人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t ，那么下列说法正确的是( ) A ．直线l 1和直线l 2有交点(s ，t ) B ．直线l 1和直线l 2相交，但交点未必是点(s ，t ) C ．直线l 1和直线l 2必定重合D ．直线l 1和直线l 2由于斜率相等，所以必定平行4．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为103，60A =︒，则a =( ) A ．7B ．8C ．5D ．65．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ，，，则（ ） A ．αβγ== B ．αβγ<< C ．αβγ>>D ．前三个答案都不对6．如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，AB AD 4==，BC 6=，BD 43=，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为( )A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o7．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（ ） A ．B ．C ．D ．8．设集合{}123A =，，， {}2,34B =，， {|}M x x ab a A b B ==∈∈，，，则M 中的元素个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．复数2i z =-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(85,115)内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.1C ．0.125D ．0.511．曲线()cos sin cos xf x x x =-在点33,44M f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ） A ．12 B ．12-C ．22-D ．2212．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ） A ．2(1)y e x e =--+ B ．2(1)y e x e =-- C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）14．用五种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全，则共有涂色方法__________种．15．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．如果比赛采用“五局三胜”制，求甲以3:1获胜的概率P =______ 16．若()44324321021x a x a x a x a x a +++=-+，则a 4+a 2+a 0＝_____ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担．若厂家恰能在约定日期（×月×日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给厂家2万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元．为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送．已知下表内的信息：（1）记汽车选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为X （单位：万元），求X 的分布列和EX ； （2）若13α=，14β=，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？ （注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费）． 18．函数()x mf x e+=，()2x xg x e=，实数m 为常数. （I ）求()g x 的最大值； （II ）讨论方程()()20x f x e g x +=的实数根的个数.19．（6分）已知曲线C 的参数方程为23cos ,3sin x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以x 轴正半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，点P 的极坐标为(6,)π-，过点P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点. （1）若直线l 的斜率1k =，求直线l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）求PM PN ⋅u u u u v u u u v的值.20．（6分）某周末，郑州方特梦幻王国汇聚了八方来客.面对该园区内相邻的两个主题公园“千古蝶恋”和“西游传说”，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同.某统计机构对园区内的100位游客（这些游客只在两个主题公园中二选一）进行了问卷调查.调查结果显示，在被调查的50位成年人中，只有10人选择“西游传说”，而选择“西游传说”的未成年人有20人. （1）根据题意，请将下面的22⨯列联表填写完整；（2）根据列联表的数据，判断是否有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.附参考公式与表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.21．（6分）某地区为了解群众上下班共享单车使用情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该地区50名群众，他们的年龄频数及使用共享单车人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用共享单车有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用共享单车的群众中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1人年龄在30~39岁的概率. 22．（8分） [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()42f x x x =++-的最小值为n . （1）求n 的值；（2）若不等式4x a x n -++≥恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】由12x -<，得：1x 3,-<<∴()A 1,3=-； ∵[]0,2x ∈，∴[]21,4xy =∈∴A B ⋂= [)1,3 故选C 2．A 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P 到直线34130x y --=的最小值，即可求解． 【详解】由约束条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如图所示，由图可知，当P 与(1,0)A 重合时，点P 到直线34130x y --=的距离最小为2223(4)d ==+-．故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。
2019-2020学年石家庄市名校数学高二下期末监测试题含解析
2019-2020学年石家庄市名校数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数)在区间[]1,1-上的最大值是( ) A ．11e+B ．1C ．1e +D ．1e -2．已知函数()6,2,3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，()0,1a a >≠且的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．（1,2）B ．(]1,2C ．（1,3）D ．（1,4）3．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，则(10)f 的值为 ( ) A ．0B ．2C ．5D ．104．已知函数()()sin 21f x k x x k R =++∈，当k ∈(,2)(2,)-∞-+∞U 时，()f x 在()0,2π内的极值点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，命题p ：总存在(,)c a b ∈，有()0f c =；命题q ：若函数()f x 在区间(,)a b 上有()(0)f a f b <，则p 是q 的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要6．已知直线l 与抛物线24x y =交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM 的斜率为k ，则k的最小值为（ ）． A ．4B ．22C ．2D ．27．用数学归纳法证明()*1111N ,12321n n n n ++++<∈>-L 时，第一步应验证不等式（ ） A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 8．已知函数的图象关于直线对称，则函数的值为( )A ．B ．C ．D ．9．如果32(3n x x - 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ）A ．21B ．21-C ．7D ．7-10．设随机变量X 服从正态分布2(4,)N σ，若()0.4P X m >=，则(8)P X m >-=（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．与σ的值有关11．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1[,2]2D ．1[,1]212．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（ ） A ．()23,0±B ．()43,0±C ．()25,0±D ．()45,0±二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．平面向量与的夹角为，，，则______．14．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，其外接圆的直径为d ，且满足cos cos 4cos 0b A a B c C +-=，则cd=______________. 15．在直角ABC ∆中，90C ∠=o，30A ∠=o，1BC =，D 为斜边AB 的中点，则AB CD ⋅u u u r u u u r= ．16．若双曲线22219y x a -=(0)a >的一个焦点是(0,13)，则该双曲线的渐近线方程是______三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图,五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,SBC ∆为边长为2的正三角形,将SBC ∆沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上.（Ⅰ）当2AB =时,证明:平面SAB ⊥平面SCD ；（Ⅱ）若1AB =,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值. 18．将4个不同的红球和6个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出4个球. （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不少于5分，则有多少种不同的取法；（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率.19．（6分）某学生社团对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排有两种：白天背和晚上临睡前背．为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排进行分层抽样，并完成一项试验，试验方法是：使两组学生记忆40个无意义音节（如xiq,geh),均要求刚能全部记清就停止识记，并在8小时后进行记忆测验．不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验．两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点不含右端点）．（1）估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于或等于60%的人数； （2）从乙组准确回忆个数在范围内的学生中随机选3人，记：能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）从本次试验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由．20．（6分）已知函数()231f x x x =-++. （1）解不等式()9f x ≤；（2）设()333h x x a x =-++，若对任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12h x f x =成立，求a 的取值范围.21．（6分）设函数()ln (1)x f x x a x e =--，其中a R ∈.（Ⅰ）若0a ≤，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<， （i ）证明()f x 恰有两个零点（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->.22．（8分） “公益行”是由某公益慈善基金发起并主办的一款将用户的运动数据转化为公益步数的捐助公益项目的产品，捐助规则是满10000步方可捐助且个人捐出10000步等价于捐出1元，现粗略统计该项目中其中200名的捐助情况表如下：(1)将捐款额在200元以上的人称为“健康大使”，请在现有的“健康大使”中随机抽取2人，求捐款额在[)200,250之间人数ξ的分布列；(2)为鼓励更多的人来参加这项活动，该公司决定对捐款额在100元以上的用户实行红包奖励，具体奖励规则如下：捐款额在[)100,150的奖励红包5元；捐款额在[)150,200的奖励红包8元；捐款额在[)200,250的奖励红包10元；捐款额大于250的奖励红包15元.已知该活动参与人数有40万人，将频率视为概率，试估计该公司要准备的红包总金额.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】分析：先求导，再求函数在区间[-1,1]上的最大值.详解：由题得()1,x f x e =-'令10,0.xe x -=∴=因为111(1)11,(1)11,(0)101f e f e e f e--=+=+=-=-=-=. 所以函数在区间[-1,1]上的最大值为e-1. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设()y f x =是定义在闭区间[],a b 上的函数，()y f x =在(),a b 内有导数，可以这样求最值：①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程/()0f x =在(),a b 内的根12,,,n x x x L ）；②比较函数值()f a ，()f b 与12(),(),,()n f x f x f x L ，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值. 2．B 【解析】 【分析】先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），则当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，即log a x≥1，若0＜a＜1，则不等式log a x≥1不成立，当a＞1时，则由log a x≥1=log a a，则a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．3．A【解析】【分析】由已知求得函数的周期为4，可得f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．【详解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（2+x）＝﹣f（x），则f[2+（2+x）]＝﹣f（2+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即f（4+x）＝f（x），∴f（x）为以4为周期的周期函数，由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（2）＝f（1）＝1，∴f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．4．C【解析】【分析】求导令导函数等于0，得出2cos x k =-，将问题转化为函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞的交点问题，画出图象即可判断.【详解】令()cos 20f x k x '=+=得出2cos x k =- 令函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞它们的图象如下图所示由图可知，函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞有两个不同的交点，则()f x 在()0,2p 内的极值点的个数为2个 故选：C 【点睛】本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断. 【详解】命题p 推不出命题q ，所以充分性不具备；比如：()2f x x =，区间为[]3,2-，满足命题p ，但()()320f f -＞，根据零点存在性定理可知，命题q 能推出命题p ，所以必要性具备； 故选：C 【点睛】本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题. 6．B【解析】 【分析】设直线方程y mx t =+并与抛物线方程联立,根据OA OB ⊥,借助韦达定理化简得4t =.根据AB ,OM 相互平分,由中点坐标公式可得012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩,即可求得00k y x =,根据基本不等式即可求得k 最小值. 【详解】设()00,M x y ,()11,A x y ,()22,B x y 设直线l :y mx t =+将直线l 与24x y =联立方程组,消掉y :24y mx tx y=+⎧⎨=⎩ 得: 2440x mx t --= 由韦达定理可得:124x x m += ┄①,124x x t =- ┄②Q OA OB ⊥，故0OA OB ⋅=u u u r u u u r,可得:12120x x y y +=┄③ Q ()11,A x y ，()22,B x y ，是24x y =上的点,∴2114x y = 2224x y =, 可得:()2121216x x y y =┄④由③④可得:12160x x +=,结合②可得:4t =Q AB 和OM 相互平分,由中点坐标公式可得01212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，结合①②可得:0124m x x x =+=,()22212121202444x x x x x x y +-=+=221632484m m +==+， 故2004824k y m m x m m+===+， 根据对勾函数(对号函数)可知0m >时,2m m+≥当且仅当m =)0m <时,2m m+≤-.(当且仅当m =)所以k ≥故选:B. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解.7．B 【解析】 【分析】根据*N ,1n n ∈>，第一步应验证2n =的情况，计算得到答案. 【详解】因为*N ,1n n ∈>，故第一步应验证2n =的情况，即111223++<. 故选：B . 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的理解和掌握. 8．A 【解析】 【分析】利用对称列方程解得，从而求出。
2019-2020学年河北省石家庄市高二下学期期末考试数学试题 word版
河北省石家庄市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（时间120分钟，满分150分）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分，在题目给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集{6}U x N x =∈<，集合{1,3}A =，{2,4}B =，则()UA B ⋃等于（ ）．A ．{1,2,3,4}B ．{5}C ．{0,5}D ．{2,4} 2．设复数312iz i-=-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）．A ．(1,1)B ．C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭ D ．5⎛ ⎝ 3．已知命题0:p x R ∃∈，060x +>，则p ⌝是（ ）．A ．0x R ∃∈，060x +≥B ．0x R ∃∈，060x +≤C ．x R ∀∈，60x +≥D ．x R ∀∈，60x +≤ 4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）．A ．22xy =- B ．3y x = C ．ln y x = D ．21y x =-5．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（ ）．A ．20B ．18C ．36D ．127．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布()290,5N ，若(8090)0.3P ξ≤<=，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ）．A ．12B ．20C ．30D ．408．若正实数a ，b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（ ）．A ．2B ．C ．5D ．9．函数21()xx f x e-=的图象大致为（ ）． A ． B ．C ．D ．10．若定义在[,]a b 上的函数()|ln |f x x =的值域为[0,1]，则b a -的最小值为（ ）． A ．1e - B ．1e - C ．11e -D ．11e- 11．已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ）．A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．[1,)-+∞D ．(,3]-∞-12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21xf x =-，则()2log 9f 等于（ ）． A ．79-B ．8C ．10-D ．925- 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．函数2log 0()30xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________． 14．函数ln y x x =在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程是________．15．若函数2()2ln 3f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围是________．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是________．三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）如果21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等，求n 及展开式中的常数项．18．（本小题满分12分）已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分） 已知函数223()()m m f x xm Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <．（Ⅰ）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()log [()2]a g x f x x =-（0a >且1a ≠），求()g x 在(2,3]上值域． 20．（本小题满分12分）为了响应节能环保的号召，一汽车生产企业自主研发电动汽车，现要研究普通家用汽车在高速公路上行驶时的车速情况，借用交通部门的相关数据进行研究，对100名家用汽车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望．参考公式与数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21．（本小题满分12分）在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x （万元）与升级改造直接收益y （万元）的数据统计如下：当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ14.4y =-；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.7yx a =-+． （Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益． （附：刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ 4.1≈．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式()()()1122211ˆ()nniiiii i nniii i x x yy x ynx yb x x xn x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-） 22．（本小题满分12分） 已知函数2()ln f x x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<．石家庄市2019-2020学年度第二学期期末考试高二数学答案一、选择题1-5 CADDA 6-10 CACDC 11-12 AA 二、填空题 13．19 14．20x y e --= 15．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．25 三、解答题 17．（10分）∵21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等∴3522n n C C =， 2分∴352n +=，即4n =． 4分所以展开式中的通项为8218r rr T C x -+=， 6分若它为常数项，则4r =， 8分所以45870T C ==．即常数项为70． 10分18．（12分）解：（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3， 则2(2)2(3)30m m -+++=，整理得5100m +=，解得2m =-； 4分 （2）不等式2(3)30x m x m -++<即为()(3)0x m x --<． 5分①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ，则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<； 7分②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤． 9分 综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃． 10分 19．（12分）解：（1）因为(3)(5)f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<， 2分 因为m Z ∈，所以0m =或1m =， 3分 当0m =时，3()f x x =它不是偶函数；当1m =时，2()f x x =是偶函数； 5分 所以1m =，2()f x x =； 6分 （2）由（1）知()2()log 2a g x x x =-，设22,(2,3]t x x x =-∈，则(0,3]t ∈， 7分此时()g x 在(2,3]上的值域，就是函数log a y t =，(0,3]t ∈的值域；当1a >时，log a y t =在区间(0,3]上是增函数，所以(],log 3a y ∈-∞； 9分 当01a <<时，log a y t =在区间(0,3]上是减函数，所以[)log 3,a y ∈+∞； 11分 综上：当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞， 当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞． 12分 20．（12分） 解：（1）2分22100(40251520)8.2497.87960405545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 5分所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 与性别有关． 6分（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率为4021005=． 7分 X 可取值是0，1，2，3，2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，有：03032327(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132354(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21232336(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333238(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 分布列为11分27543686()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．12分 21．（12分）解：（1）由表格中的数据，有182.479.2>，即()()772211182.479.2iii i yy yy ==>--∑∑所以模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 2分 所以当17x =亿元时，科技改造直接收益的预测值为．∴ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y==⨯-=（亿元） 4分 （2）由已知可得：123452035x ++++-==，所以23x =．8587.566607.25y ++++-==，所以67.2y =． 6分∴ˆ0.767.20.72383.3ay x =+=+⨯= 所以当17x >亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.783.3yx =-+． 8分 所以当20x =亿元时，科技改造直接收益的预测值ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=． 9分所以当20x =亿元时，实际收益的预测值为69.31079.3+=亿元 10分 即79.3亿元72.93>亿元所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大． 12分22．解：（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--== 1分故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> 2分 ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)∞ 3分 （2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根．∴1122ln 0(1)ln 0(2)ax x ax x -=⎧⎨-=⎩两式相减得()2121ln 0x a x x x -+=，解得2121lnx x a x x =- 5分要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭， 即证()222122111212ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 不妨设12x x <，令211x t x =>．只需证21ln 2t t t<-+． 7分 设21()ln 2g t t t t=--+， ∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭； 令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭， 9分∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， 11分 ∴()(1)0g t g <=．即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<． 12分。