切比雪夫滤波器设计
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切比雪夫滤波器设计
巴特沃斯滤波器的频率特性曲线,无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此,当通带的边界处满足指标要求时,通带内肯定会有裕量。所以,更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内,或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。
切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型:振幅特性在通带内是等波纹的,在阻带内是单调的称为切比雪夫I 型滤波器;振幅特性在通带内是单调的,在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II 型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图1和图2分别画出了N 为奇数、偶数时的切比雪夫I 、II 型滤波器的频率特性。
1、切比雪夫I 型滤波器的基本特点
现在介绍切比雪夫I 型滤波器的设计,切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为
()
2
222
1
()()1N A H j c λλελ==
+ 为小于1的正数,表示通带内振幅波动的程度。ε越大,波动也越大。/p λ=ΩΩ为Ω对截止频率p Ω的归一化频率,p Ω为截止频率,也是滤波器的通带带宽(注:切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB 带宽)。()N C x 是N 阶切比雪夫多项式,定义为
1
1
cos()01
()()
1N Ncos x x C x ch Nch x x --⎧<≤⎪=⎨≥⎪⎩
p
s
p
(a)
1
(b)
1
图1切比雪夫I 型滤波器的振幅特性 (a )N=3,2dB 通带波纹的切比雪夫振幅特性 (b )N=4,
2dB 通带波纹的切比雪夫振幅特性
(a)
1
(b)
1
图2 切比雪夫II 型滤波器的振幅特性
p
s
/p
ΩΩp λs
/p
ΩΩp s
p
其中1cos ()x -为反余弦函数;()ch x 为双曲余弦函数;1
()ch x -为反双曲余弦函数;它们的定义如下所示
2
x x
e e chx -+=
1()()ln(ch x arcch x x -==
上式可展开为多项式的形式如表1所示:
由表1可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为
11()2()()N N N C x xC x C x +-=-
图3示出了N=0,4,5时切比雪夫多项式的特性。由图3可见:
1. 切比雪夫多项式的零值在01x <<的间隔内。
2. 当x<1时,()1N C x ≤,且具有等波纹幅度特性。
3. 在1x ≤的区间外,()N C x 是双曲余弦函数,随着x 而单
调增加。
再看函数22()N C x ε,ε是小于1的实数,22
()N C x ε的值在1x ≤之
内,将在0至2ε之间改变。而22
1()N C x ε+的函数值在1x ≤之内,将在1至21ε+之间改变。然后将22
1()N
C x ε+取倒数,即可得切比雪夫I 型滤波器
幅度平方函数。
根据以上所述,在1λ≤,2
()H j λ在接近1处振荡,其最
大值为1,最小值为
2
11ε
+。在此范围之外,随着λ增大,22
()1N C ελ,
则
2
()H j λ很快接近于零。图5-7画出了切比雪夫I 型滤波器振幅特性曲线,从中可以看出:振幅特性()H j λ的
起伏为1
,因2
(1)1N C =,所以在1p λ=
时,()H j λ=
,即切比雪夫I 型滤波器的截止频率并
不对应3dB 的衰减。
2、切比雪夫I 型滤波器设计方法
要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数,需要确定三个参数:,c εΩ及N 。下面研究如何确定这三个参数,具体步骤如下:
(1) 将实际频率Ω归一化得
1p p p
λΩ=
=Ω,s
s p
λΩ=
Ω 再根据已知的p
α,
s α,幅度平方函数222
1
|()|1()N H j C λελ=
+ 确定ε和N 。
表11
图3 切比雪夫多项式曲线
(2)确定ε和N 。
定义通带波纹(即通带衰减)()αλ(以分贝为单位)为:
22
2
1()10lg
10lg 1()()
N C H j αλελλ⎡⎤==+⎣⎦
代入 p λ,p α,s λ,s α得
22
2210lg 10lg 1()1()N p p N s s
C C αελελα=⎡⎤+⎧⎪⎣⎦⎨⎡⎤+=⎪⎩⎣⎦ 即
2
2
2
2
1010
2
2
1
()10()
10
1
1()N p N S p s s C C ch Nch ααε
λε
λελ-=⎧-⎪⎨⎡⎤=-=⎪⎩⎣⎦
因为1p λ=,2
(1)1N C =,所以
2
10101p
αε=-
101021
22
10101
101
()101
s
s
p
s ch Nch a αααλε
---⎡⎤=
=
=⎣⎦-
则 11()
()
s ch a N ch λ--=
其中
a =
这样可以求出ε和N
,其中1()ln ch x x -=
3、综上所述,设计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下:
(1)计算归一化频率1p p p
λΩ=
=Ω,s
s p
λΩ=
Ω。 (2)根据通带波纹(通带衰减)p αdb ,按照2
10101p
αε=-式计算ε;
(3)根据阻带起始频率s λ,阻带衰减s α和ε。按照11()
()
s ch a N ch λ--=
其中a =N ;