高等数学课后习题解答 上海交通大学出版社 第三版 习题10解答

第10章 曲线积分与曲面积分

1．计算下列对弧长的曲线积分：

(1) sin d C x y s ⎰，其中C 为3x t

y t =⎧⎨=⎩，(0≤t ≤1)；

(2)

22

()d C

x y s +⎰Ñ，其中C 为圆周cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，(0≤t ≤2π)； (3) 2

d C

y s ⎰，其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩

的第一拱(0≤t ≤2π)； (4) d C

y s ⎰

，其中C 为抛物线y 2=2x 上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧； (5) ()d C

x y s +⎰

，其中C 为以O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)为顶点的三角形的边界；

(6)

s ⎰

，其中C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0)；

(7) d C

z s ⎰，其中C 为圆锥螺线cos sin x t t y t t z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

从t =0到t =1的一段；

(8) 2

d C

x s ⎰，其中C

为圆周2224x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩

解答：

(1)

1

1

1

1

sin d 3sin sin cos cos )C

x y s t t tdt t t tdt ===-+⎰

⎰⎰

(s i n 1c o s 1)

=-；

(2) 2223

()d 2C

x y s a a π

π+==⎰⎰Ñ；

(3)

222

2

3500d (1cos )

16sin 2C

t

y s a t a dt π

π

=-=⎰

⎰⎰

353

025632sin 15

a d a πθθ==⎰；

(4)

3

2

222

11

d (1)

1)3

3

C

y s y

y ==+=⎰

⎰； (5) C 可以分割为三条直线:0(01)OA y x =≤≤，

:0(01)O B x

y =≤≤，

:1(01)BA y x x =-≤≤

()d C

x y s +⎰

=()d OA

x y s +⎰+()d OB

x y s +⎰+()d AB

x y s +⎰

1

1

1

(1xdx ydy x x =+++-⎰⎰⎰

1=；

(6) C 为圆周x 2+y 2

=ax (a >0)；化为参数方程cos 22sin 2

a a x t a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(0≤t ≤2π)，

2

22220

0cos

cos 22222

a a t t

s dt dt a dt a π

π

π====⎰

⎰

⎰

⎰；

(7)

1

d C

z s =⎰

⎰

3

1

21

2

011

(2)33

t ==+=⎰； (8) C

可以表示为参数方程[]cos sin ;0,2x y z θθθπ⎧=⎪

=∈⎨⎪

=⎩

22

20

d cos C

x s π

θπ==⎰

⎰．

所属章节：第十章第一节 难度：一级

2．已知半圆形状铁丝cos sin x a t

y a t =⎧⎨=⎩(0≤t ≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标，求此铁丝

的质量

解答：20

d sin 2C

m y s a a π

===⎰⎰

所属章节：第十章第一节

难度：一级

3．已知螺旋线cos sin x a t y a t z bt =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

(b >0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，试求t 从0到

2π一段弧的质量

解答：22

2

2

22223208

()d (ππ)3

C m x y z s a b t a b π

=++=+=+⎰⎰

所属章节：第十章第一节 难度：二级

4．求摆线(sin )

(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的第一拱(0≤t ≤2π)关于Ox 轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点

到x 轴的距离成正比，比例系数为k )

解答：7

223

3

2

d (1cos )

(1cos )C

I ky s k t t dt π

π

==-=-⎰⎰⎰

23

740

102464sin 235

t ka

dt ka π

==⎰ 所属章节：第十章第一节 难度：二级

5．计算下列对坐标的曲线积分：

(1) d d C y x x y +⎰，其中C 为圆弧cos π

,(0)sin 4x a t t y a t =⎧≤≤⎨=⎩，依参数t 增加方向绕行；

(2) (2)d ()d C

a y x a y y ---⎰，其中C 为摆线(sin )

(1cos )

x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩自原点起的第一拱； (3) d C

x y ⎰

，其中C 为x +y =5上由点A (0，5)到点B (5，0)的一直线段；

(4)

C

xydx ⎰

Ñ，其中C 为圆周222

()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行) 解答：(1)

()2

2

440

d d sin (cos )cos sin cos 22

C

a y x x y a td a t a td a t a

tdt ππ+=+==⎡⎤⎣⎦⎰

⎰⎰

(2)

(2)d ()d C

a y x a y y ---⎰

220

[(2cos )(sin )(cos )((1cos ))a a a t d at a t a a a t d a t a π

π=-+---+-=⎰

(3)

5

25d (5)2

C

x y xd x =-=-

⎰

⎰ (4) C 分成两部分在2122()(0):x a y a a C -+=>在x 轴的上部逆时针方向，2C 是从原点

指向(2,0)a ，则120

23

20

π02

a

C

C C a xydx xydx xydx x dx a =

+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰蜒? 所属章节：第十章第二节 难度：一级