偏导数(习题课)
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经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
2017年4月14日星期五
18
y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
19
2017年4月14日星期五
定理4
② ③ 则方程
若函数
F ( x, y, z ) 满足:
的某邻域内具有连续偏导数 ,
① 在点
F ( x0 , y0 , z0 ) 0 Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
在点 某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 并有连续偏导数
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
2017年4月14日星期五
这性质叫做全微分形式不变性.
12
利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
高教五版高数(经济类)偏导数全微分随堂讲解
17
全微分存在的条件
由微分定义 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f (x x, y y) f (函x数, y在)该点连续
z 1
x
y1(xy)2x1x2y2,
z x
x2 y 1
1 5
,
z y
x2 y 1
2. 5
所以 dz1dx2dy1(dx2dy).
55 5
2021/1/26
24
多元函数的全微分在近似计算中有一定的应用. 实 际 上 ， 对 于 可 微 的 二 元 函 数 z f (x, y) ， 因 为
z dz o() 是一个比 高阶的无穷小量，所以有
x x0
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
2021/1/26
3
同样可定义对 y 的偏导数
f y(x0 , y0 )
lim
y0
f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) y
d dy
f (x0 , y)
y y0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
若这两个偏导数仍存在偏导数，
则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
(
z x
)
2z x2
f xx
(x,
y);
y
(z) x
复合函数导数88913
f2 2x
2z 4xy xy
f1
2xy2( f112x2 y
f12 2 y)
2x( f212x2 y f22 2 y)
6.
z f [x ( y)]
求
2z xy
,
2z y 2
.
解：z x
f1[ x ( y)]
?
z f [ x ( y)]1
x
z f [ x ( y)] ( y)
),求
2z t 2
,
2z xt
.
5. z 1 ( x, y) yf (2x y,sin y),其中二次可微，
x f具有二阶连续偏导，求 2z .
xy
6.
z
f (x2y2 x2
y
2
),求
2 x
z
2
.
7.
z
xf
(2x,
y2 ),
f具有连续的二阶偏导数，求
2z
.
x
xy
8. x 2 y z 2 xyz 0,求 z , z . x y
x
eax a2
sin 1
x
2.
设
z
y f (x2
y2 ) ,其中f (u)为可导函数，验证
1 z x x
1 z y y
z y2
证： z y
f (x2
y2 ) yf ( x2 y2 )(2 y) f 2(x2 y2)
f ( x2 y2 ) 2 y2 f ( x2 y2 ) f 2(x2 y2)
x, y的函数，其中f , F都具有一阶连续偏导数，证明
dy dx
f F f F x t t x
f F F
t y t
第4章 二元函数的偏导数及其应用 总结
Fx 2( y z) yz 0
解联立方程组
Fy
2(x
z)
xz
0
消去
，解得 x y z 3 1000
10
Fz
2(
y
x)
xy
0
xyz 1000 0
所以，根据问题的实际意义，当长方体的长、宽、高都等于10米时
（正方体），箱子所用的材料最省。
注：体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。
2
2
即有
f (x, y) 2xy x2 y2
例3 求函数 z x2 3xy y 2 3x 5y 在点(1, 2 ) 处的偏导数。
解： 把 y 看作常数，对x 求导，得到
f x(x, y) 2x 3y 3
把 x 看作常数，对 y 求导，得到
f y(x, y) 3x 2 y 5
cos y ( y cos x) (x cos y) ( y sin x) ( y cos x)2
cos y(cos x x sin x)
y cos2 x
z y
(
x y
cos cos
y x
)y
(x
cos
y)y
(y
cos x) (x cos ( y cos x)2
y) ( y
cos
x)y
例6 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y 2 9x 的极值。
解：先解方程组 f x(x, y) 3x2 6x 9 0
f y(x,
y)
3y 2
6y
0
，
得驻点 (1, 0) (1, 2) (3, 0) (3, 2) 又f xx (x, y) 6x 6 f xy (x, y) 0 f yy (x, y) 6 y 6 在点 (1, 0)处， B2 AC 12 6 0 ，又 A 0 ，故点 (1, 0) 是极小 值点，极小值为 f (1,0) 5 在点(1, 2)，(3, 0) 处， B2 AC 12 6 0，故函数在这两点处没有极值。 在点(3, 2) 处， B2 AC (12) (6) 0 ，又 A 0 ，故函数
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字
定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元 函数的驻点.
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
-多元函数的偏导数
偏导数存在 连续. 反之成立吗？
例如： z x2 y2 在（0,0）连x0
x
在（0,0）处对 x 不可导。
同理在(0,0)点对 y 的偏导数也不存在.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面z f ( x, y) 上一点, fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 )在几何上表示
偏导函数在点 ( x0, y0 ) 处的函数值。
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z)在 ( x, y, z)处
fx(x, y, z)
lim
x0
f ( x x,
y,z) x
f (x, y,z),
f
y
(
x,
y,
z
)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z) lim f ( x, y, z z) f ( x, y, z) .
z
z0
z
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,1) 处的偏导 数．
解 z 2x 3y ; z 3x 2 y .
x
y
z x
x1
y1
21 31 5 ,
z y
x1 y1
31 21 5 .
有关偏导数的几点说明： １、偏导数u 是一个整体记号，不能拆分;
x
* ２、求分界点处的偏导数要用定义求；
例
5
设
f
( x,
y)
xy x2 y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
则多元函数微分学习题课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
x2 y2
(sin cos )cos 2 ,
故 lim ( y x)x 0.
x y x0
2
2
y0
第12页
例2 已知 w f ( x y, y z,t z)
求
w w w w x y z t
解
w x
f1
w y
f1
f2
w
w
z f2 f3 t f3
w x
w y
w z
w t
即
x y z 3
第31页
切平面在三个坐标轴上截距分别为
3 3 , 3 3 , 3 3
故切平面与三个坐标面所围成四周体体积为
V 1 底面积 高 1[1 | 3 | | 3 | | 3 |]
3
32
9 | | 9 是一个常量
2
2
第32页
例13 设 y = f ( x ,t ) 而 t 是由 F (x ,y ,t) 拟定
0
例3 已知 z sin(ax by c) 求
mnz x m y n
第13页
解 z a cos(ax by c)
x a sin(ax by c )
2z
x2
a2
sin(ax
by
c
2
2 )
2
mz xm
am
sin(ax
by
c
m
2
)
m 1 z
xmy
a m b sin(ax
by
c
边所正确圆心角，则
x yz
三角形面积
A 1 R2(sin x sin y sin z) 2
第21页
问题就是求A在条件
x y z (0 x, y,z )
多元微积分第4次习题课(微分法(续)、方向导数与梯度、泰勒公式)答案(2015)
因为 z = f (1 + e
xy
从而
已知函数 f 具有 2 阶连续导数， z = f (1 + e ) cos y ，所以 ∂z = ye cos yf ′(1 + e ) ， ∂x
xy xy
) cos y
z ，求 ∂ ． ∂x
2 2
∂2 z = y 2 e xy cos y[ f ′(1 + e xy ) + e xy f ′′(1 + e xy )] ∂x 2
∂u ∂u u 其中函数 f 具有 2 阶导数 g 具有 1 阶导数，求 ∂ ， ， ． ∂y ∂x∂y ∂x 解：因为 u ( x, y ) = f ( x + y ) + f ( x − y ) + ∫ g (t )dt ，所以 ∂u = f ′( x + y ) + f ′( x − y ) + g ( x + y ) − g ( x − y ) ， ∂x ∂u = f ′( x + y ) − f ′( x − y ) + g ( x + y ) + g ( x − y ) ， ∂y 从而 ∂u = f ′′( x + y ) + f ′′( x − y ) + g ′( x + y ) − g ′( x − y ) ， ∂x ∂u = f ′′( x + y ) − f ′′( x − y ) + g ′( x + y ) + g ′( x − y ) ， ∂x∂y ∂u = f ′′( x + y ) + f ′′( x − y ) + g ′( x + y ) − g ′( x − y ) ． ∂y 9． （复合函数微分法）设函数 f (u ) 具有 2 阶连续导数， z = f (e cos y ) 满足 ∂ z ∂ z + = (4 z + e cos y )e ． ∂x ∂y 求证 f (u) 满足 f ′′(u) − 4 f (u) = u ． 解：因为 z = f (e cos y ) ，所以 ∂z = f ′(e cos y )e cos y ， ∂x
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的规律,总有唯一确实的数值和 它们对应，则变量 z叫做变量x, y
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
JPZX5
高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y
2z x 2
ex
sin(2x
y)
2e x
cos(2x
y)
2e x
cos(2x
y)
4ex
sin(2x
y)
2z y 2
e x
s in(2 x
y)
2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) xy
ZPZX2
偏导数的概念:
如果函数z f (x, y)在平面区域 D内每一点(x, y)处对于x
（或y)的偏导数都存在，则称 函数f (x, y)在D内有对x(或y)
偏导函数,简称偏导数,记作
z x
,
f x
,
zx ,
f x (x,
y). f x(x,
y)
或
z y
,
f y
,
zy
,
z x
f（x x, y).
z y
f y (x, y).
一般来说,这两个偏导数还是 x, y的函数，如果它们又存 在对
x或对y的偏导数，我们就定义 为函数z f (x, y)的二阶偏导数。
可定义二元函数的二阶偏导数如下
z 2 z
( ) x x
x 2
fxx(x, y)
JPZX6
f y ( x, y). f y( x, y)
ZPZX3
根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数, 并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求 导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍 然适用.
例1 求z x2 sin 2 y的偏导数。
解 为求 z ,视y看作常数，对x求导，得
yx
JPZX7
• 提问：混合偏导数一定相等吗？满足什么条件？ 结论：在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的
最终值和求导次序无关即二阶混合偏导数相 等。
JPZX８
例3 求z ex sin(2x y)的所有二阶导数
解 z ex sin(2x y) 2ex cos(2x y)
x
z 2x sin 2y x
ZPZX4
为求 z ,视x看作常数，对 y求导，得 z 2x2 cos 2 y
y
y
例2 设f (x, y) x y x2 y2 ,求fx(3,4), f y(0,5)
解
因为fx(x, y) 1 2
2x 1
x2 y2
( z ) y x
2z xy
fxy (x, y)
x
( z ) y
2z yx
f yx(x,
y)
y
( z ) y
2z y 2
f yy(x, y)
这里，fxy表示函数z f (x, y)先对自变量x求偏导数.
f
xy和f
通常称为二阶混合偏导数。
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
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高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y
2z x 2
ex
sin(2x
y)
2e x
cos(2x
y)
2e x
cos(2x
y)
4ex
sin(2x
y)
2z y 2
e x
s in(2 x
y)
2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) xy
ZPZX2
偏导数的概念:
如果函数z f (x, y)在平面区域 D内每一点(x, y)处对于x
（或y)的偏导数都存在，则称 函数f (x, y)在D内有对x(或y)
偏导函数,简称偏导数,记作
z x
,
f x
,
zx ,
f x (x,
y). f x(x,
y)
或
z y
,
f y
,
zy
,
z x
f（x x, y).
z y
f y (x, y).
一般来说,这两个偏导数还是 x, y的函数，如果它们又存 在对
x或对y的偏导数，我们就定义 为函数z f (x, y)的二阶偏导数。
可定义二元函数的二阶偏导数如下
z 2 z
( ) x x
x 2
fxx(x, y)
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f y ( x, y). f y( x, y)
ZPZX3
根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数, 并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求 导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍 然适用.
例1 求z x2 sin 2 y的偏导数。
解 为求 z ,视y看作常数，对x求导，得
yx
JPZX7
• 提问：混合偏导数一定相等吗？满足什么条件？ 结论：在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的
最终值和求导次序无关即二阶混合偏导数相 等。
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例3 求z ex sin(2x y)的所有二阶导数
解 z ex sin(2x y) 2ex cos(2x y)
x
z 2x sin 2y x
ZPZX4
为求 z ,视x看作常数，对 y求导，得 z 2x2 cos 2 y
y
y
例2 设f (x, y) x y x2 y2 ,求fx(3,4), f y(0,5)
解
因为fx(x, y) 1 2
2x 1
x2 y2
( z ) y x
2z xy
fxy (x, y)
x
( z ) y
2z yx
f yx(x,
y)
y
( z ) y
2z y 2
f yy(x, y)
这里，fxy表示函数z f (x, y)先对自变量x求偏导数.
f
xy和f
通常称为二阶混合偏导数。