新课程2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何第3讲圆的方程课件
高考数学全程一轮复习第八章解析几何第三节圆的方程课件
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：设点M(x，y)，C(x0，y0)，因为点B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x＝
x0 +3
y0 +0
＝4.故选B.
3
(2)设圆C圆心在射线y＝ x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆
4
的方程为(
)
A．x2＋y2－8x－6y＝0
B．x2＋y2－6x－8y＝0
C．x2＋y2＋8x＋6y＝0
D．x2＋y2＋6x＋8y＝0
答案：C
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
解析：设点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
又AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
y
y
又kAC＝ ，kBC＝ ，
x+1
x−3
y
y
所以 · ＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.故直角顶点C的轨迹方程为x2 ＋y2
x+1 x−3
－2x－3＝0(y≠0)．
关键能力·题型剖析
题型一 圆的方程
例1 (1)若圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝
0上，则圆C的方程为(
)
A．(x－2)2＋(y－3)2＝4
B．(x－2)2＋(y－3)2＝8
C．(x－3)2＋(y－6)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝2
D．(x－3)2＋(y－6)2＝10
答案：A
(2)[2024·江西吉安模拟]请写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.3 圆的方程
命题角度2 截距型最值问题
例4 在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.
解 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.
如图,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,
|2-0+|
此时
√2
= √3,解得 b=-2±√6.
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
2
2
x+y-2=0.
解题心得求解与圆有关的最值问题的两种思路
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 k= 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的
-
最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的
代入 x2+y2=1,整理得
又 y0≠0,所以 y≠0.故所求轨迹方程为
1 2
2 4
+ 3 +y =9(y≠0).
解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下
方法:
(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.
则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第3讲 圆的方程课件 文
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【解】 (1)因为 PA 是圆 C 的一条切线， 所以∠CAP＝90°， 在 Rt△CAP 中，PA＝ PC2－AC2＝ PC2－22. 因为 PC 的最小值为圆心 C 到直线 x－2y＝0 的距离 d，且 d ＝ |－2×4| ＝8 5，
（－2）2＋12 5
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有关圆的综合问题中应注意常见问题的处理方法，例如圆的 切线、弦长等，同时应注重结合图形加以分析，寻找解题思 路．
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在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x) ＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三 个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结 论．
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1．圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1，1)，B(1，3)，则 圆 C 的方程为____x_2＋__(_y_－__2_)_2＝__2_____． [解析] 因为点 A(－1，1)和 B(1，3)为圆 C 直径的两个端点， 则圆心 C 的坐标为(0，2)，
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(2)可知mn－＋32表示直线 MQ 的斜率， 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0， 则mn－＋32＝k.由直线 MQ 与圆 C 有交点， 所以|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2.可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， 所以mn－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
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高考数学(文)(新课标)一轮复习配套课件：第八章平面解析几何第3讲圆的方程
第3讲第八章平面解析几何的方程教材回顾■夯实基础；---------------知识梳理1.圆的定义及方程定义标准方程一般方程课本温故追根求源平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）(x_a)2+(y_方)2=厂2 (r>0) 0+y2+Z>r+Ey+F=O(D2+E2-4F>0)圆心:半径:(a, b),心:（-?-!）.半径:\/D2+E2—4F2.点与圆的位置关系点M（X Q,为）与圆（X—«）2+（y—Z＞）2=r2的位置关系:（1）若Mdo,旳）在圆外，则（必一"尸+氏一疔〉以（2）若M（m 片）在圆上，则（必―"）2+氏一疔=厂2（3）若M3。
，九）在圆内，则（必―“）2+氏一疔＜厂2［做一做］1y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(A)A. x2+(y-2)2=l C. (x-l)2+(y-3)2=lB..x2+(y+2)2=l D. x2+(y-3)2=l2.点⑴1)在圆2+(y+«)2=4内,则实数a的取值范围是(AA. (-1, 1)C. (一8, -1)U(1, 4-oo)B. (0, 1) D. (1, +8)解析：T点(1, 1),/. (1—«)2+(1 +«)2<4,要点整合1.辨明两个易误点(1)解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.(2)对于方程x+y2+Dx+Ey+F=^表示圆时易忽视D2+E2-4F>0这一条件.2.待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(“，方)和半径/有关，则设程，依据已知条件列出关于a,方，/的方程组，从而求出a, b,尸的值;(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E, F的方程组，进而求出D, E, F的值.［做一做］ 3. x 2+y 2-\-4mx—2y+5m = 0表示圆的充要条件的是 (B )A. £svl C ・ tn<^ 解析：由(4m)2+4—4X5/w>0,得加Vj 或加>1.m>lB. m4.圆心在y轴上且经过点(3, 1)的圆与兀轴相切，贝！I该I 的方程是(B )A. x2+/+10y=0B. x2+j2-10y=0C. x2+j2+10x=0D. x2+j2—10x=0解析:设圆心为(0, b)9半径为厂r=\b\9•:圆的方程为x2^(y—b)2=b2.•••点(3, 1)在圆上,•••9+(1 —掰=沪，解得：b=5.圆的方程为x2+j2—10y = 0.名师导悟以例说法f典例剖析・考点突破考总一強三求圆的方程与圆有关的最值问题（高频考点）与圆有关的轨迹问题考点一求圆的方程⑴经过卩(一2, 4)、0(3, —1)两点，并且在兀轴上截得的 弦长等于6；于点 P(3, -2). ［解］⑴设圆的方程为X 2+J 2+D X +^J +F=0,将P 、Q 点的坐标分别代入得2D —4E-F=20,① 3D —E-bF= —10.②:(2)圆心在直线y = -4x 上， 且与直线Z ： x+j —1=0相切又令J=O,得兀?+£）兀+F=O.③设兀1，兀2是方程③的两根,由I Q F=6,有Z>2_4F=36,④由①②④解得£>=—2, £=—4, F= —F=0.故所求圆的方程为x2+j2—2x—4y—8=0111或D=—6，E=或x2+j2—6x—⑵设所求方程为（兀—x0）2+（y —yo）2=r2,根据已知条件得Jo= _4XQ,(3—xo)2+ ( —2—jo)lxo+yo—II因此所求圆的方程为(x-l)2+(y+4)2=［规律方法］求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；② 圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线.(2)件, 列出等式，求出相关量.一般地，关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.1. (1)已知圆心为C 的圆经过点A(0, -6), 5(1, -5),且圆心在直线Z ：兀一丁+1=0上，求圆的方程；(2) 若不同的四点 A(5, 0)、B(—1, 0)、C(_3, 3)、D(a f 3)共圆，a 的值.解：x 2+y 2+Dx+Ey+F=Q(D 2+ E 2-4F>0),贝!|圆心坐标为(一号，一(—6) 2—6£"+卩=0 由题意可得< I 2+(一5) 2+D-5£+F=0,、—2=0D+E-10=0—2=0■D=6解得―，代入求得Q — 12,x2+j2+6x+4y—12=0, 标准方程为(兀+3产+(y+2)2 = 25 •法二:因为A(0, -6), 5(1, -5),所以线段AB的中点D的坐标为一¥)，x+v+5=0 fx=—3‘ 的解，解得x-j+l=0 ly = _2所以圆心C 的坐标是(一3, -2). 圆的半径长r=\AC\= yl (0+3) 2+ (-6+2) 2=5, 所以，圆心为C 的圆的标准方直线AB 的斜率 —5— (—6) 因此线段AB 的垂直平分线I 的方程是 y+¥=-“ ,艮卩兀+丿+5=0・ 圆心C 的坐标是方程组 111 111 2程是(x+3)2+(y+2)2=25.（2）设过A、B、C 三点的圆的方程为111X2+J2+D X+£>+F=0,分别代入A、B、C三点坐标，得25+5P+F=0,« 1-Z)+F=O,、9+9-3D+3E+F=0, 解得Z)=-4,25•••A、B、C三点确定的圆的方程为x2+/-4x-yj-5=0.3）也在此圆上,/.a2+9_4«_25_5=0.U=7或“=一3（舍去）.即a的值为7.考点二与圆有关的最值问题(高频考点)与填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题. 高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度：Array(1)求一次或二次式的(2)求圆上的点与圆外点距离的最值；(3)求圆上的点到直线距离的(4)求z =的最值.(2)求丿一兀的最大值和最小值;(3)求x 2+j 2的最大值和最小值.［解］原方程可化为(兀—2)2 +j 2=3,表示以(2, 0)为圆心,術为半径的圆.(1)*的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设三=匕^y=kx.•/V已知实数 X, y 满足方程兀2+y2_4r + l = 0.⑴耗的最 :大值和最小值;当直线与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此IllI2JI-0I=品解得农=朋（如图1）・所以*的最大值为萌，最小值为一萌・图I（2）j —x可看作是直线j=x+Z＞在y轴上的截距，当直线y=兀+方与圆相切时，纵截距〃取得最大值或最小值，此时12—0+勿=品解得方=一2环（如图2）.所以y—x的最大值为一2+心，图2最小值为一2—^6.(3)X2+J2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).图3又圆心到原点的距离为p (2—0) ?+ (0—0) 2=2,所以x2+j2的最大值是(2+筋)2=7+4馆,兀2+犷的最小值是(2—问2=7_4羽.［规律方法］与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型:(1) 与圆有关的长度或距离的最值问题，转化为圆的圆心到 点、直线的距离，再加半径、减半径求出最值；(2) 形如“=丿最值问题; ⑶形如t=ax+by 形式的最值问题，可转化为动直线截距 的最值问题；(4)形如(X —a)2+(y —^)2形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问题. “形式的最值问题，可转化为动直线斜率的•V C*(1)IQCI= V (2+2) ?+ (7—3) 2=4品 ••• IM0I町=472+2^2=6^2, \MQ£=4迄 _2迄=2 品2.已知M 为圆C ： x 2+j 2—4x —14y+45=0 上任意一点，且点2(-2, 3).⑴求IM0啲最大值和最小值;(2)求点M 到直线x+j-7=0的最大距离;72 3(3)若M(/w, n)f 求土巨的最大值和最小值.解：由圆 C ： x 2+j^—4x —14y+45=0，可得(兀一 2)2+®—7)2=8,C 的坐标为(2, 7), 半径圆心C(2,7)到直线x+j-7=0的距离为”='2+左7'=迄・则点M到直线x+j-7=0的最大距离为迄+2迄=3迄.(3)可知訂|表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y-3=k(x+2)fn—3即kx-y+2k+3=0,则齐彳=乩由直线M2与圆C有交点,•严了專旦W2Q可得2-也WkW2+电, ・•・穿的最大值为2+筋，最小值为2—⑴.考点三与圆有关的轨迹问题 ⑴求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若ZPB0=9O 。
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课件
解析
设圆心为 C(m,0)(m>0)，因为所求圆与直线 3x＋
|3m＋ 4×0＋4| 4y＋ 4＝0 相切，所以 ＝ 2，得 |3m＋ 4|＝10，解 2 2 3 ＋4 14 得 m＝ 2 或 m＝－ (舍去 )，故所求圆的方程为 (x－ 2)2＋ y2＝ 3 4，即 x2＋ y2－4x＝ 0.
5．如果圆的方程为 x2＋y2 ＋kx＋2 y＋ k2＝0 ，那么当圆面 2 2 x ＋ ( y ＋ 1) ＝1 ． 积最大时，该圆的方程为________________
第8章 平面解析几何
第3讲 圆的方程
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 圆． 圆的定义、方程
定长 的点的轨迹叫做 定点 的距离等于_____ 1．在平面内到_____
圆心和半径． 2．确定一个圆的基本要素是：__________
3．圆的标准方程 (x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2 (r>0)． 4．圆的一般方程 (1)一般方程： x2＋ y2＋Dx＋Ey＋ F＝0；
确定圆的方程
(1)[2017· 长沙模拟 ] 已知圆 C 与直线 x－ y＝0 及 x
－y－4＝0 都相切，圆心在直线 x＋ y＝0 上，则圆 C 的方程 B．(x－1)2＋ (y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋ (y＋1)2＝2
－ m)2＋ (0＋ m)2<4，解得－ 2<m< 2，选 C.
4．[2017· 衡水调研] 已知圆的半径为 2，圆心在 x 轴的正 半轴上，且与直线 3x＋4y＋4＝0 相切，则圆的方程是 ( A． x2＋ y2－4x＝0 C．x2＋ y2－2x－3＝0 B．x2＋ y2＋4x＝0 D．x2＋ y2＋2x－3＝0 )
高三数学一轮复习第八章解析几何第3课时圆的方程课件
√ √
跟进训练3 (2024·山东潍坊高三模拟)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2， －2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的 轨迹方程．
【教师备用】 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边 形MONP，求点P的轨迹．
位置关系
几何法
判断方法 代数法
点M(x0，y0)在圆A内 |MA|<r
<
<
点M(x0，y0)在圆A上 |MA|＝r
＝
＝
点M(x0，y0)在圆A外 |MA|>r
>
>
点拨 求圆的方程的两种方法
跟进训练1 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC， AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐 标和半径．
提示：对于求点的轨迹或轨迹方程的问题，在求出轨迹方程后，应判断一下 题目中的条件有没有特殊的限制或要求，是否需要排除掉某些特殊点．本题 中容易忽略掉O，M，P三点共线时的情况，因此得到轨迹为整个圆的错误结 论．
【教师备用】 拓展视野1 阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|. 则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称 之为阿波罗尼斯圆．
第八章 解析几何 第3课时 圆的方程
考点一 圆的方程 1．圆的定义及方程
定义 标准方程
平面定上点到____的距离等于_定___长的点的集合(轨迹)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程课件
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命题角度 2 圆自身对称 例 3 若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9 上的相异两点 P，Q 关 于直线 kx＋2y－4＝0 对称，则 k 的值为___2_____． 解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称 轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线 kx＋2y－4＝ 0 过圆心，则 k×(－1)＋2×3－4＝0，解得 k＝2.
(2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然 后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利 用基本不等式求最值是比较常用的.
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考向 与圆有关的轨迹问题
例 6 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内 一点，P，Q 为圆上的动点．
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(2)[2016·天津高考]已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 455，则圆 C 的方程为____(_x_－__2_)_2＋__y_2_＝__9_______．
解析 设圆 C 的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，由题意可
径为 t 的一个圆．( × ) (3)方程 x2＋2ax＋y2＝0 一定表示圆．( × ) (4)方程 x2＋Bxy＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条
件是 B＝0，D2＋E2－4F>0.( √ ) (5)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第3节 圆的方程
3.圆心在任一弦的垂直平分线上.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=r2(r∈R)表示圆心为(-a,-b),半径为r的圆.
( ×)
(3)若点M(x0,y0
)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则
2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或
(x-2)
的三点的一个圆的方程为
2
2
2
2
(x-) +(y-) = 或(x-) +(y-1) =
.
解析:(1)①若圆过(0,0),(4,0),(-1,1)三点,设过这三点的圆的
一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分别将三点的坐标代入,
+
+Dx0+Ey0+F>0.
( √)
(4)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圆心为(2,1)的圆.( × )
2.已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是
(
)
A.(2,2)
B.(1,3)
C.(-1,-2)
√
D.(0,-1)
解析:A中(2-3)2+(2+2)2=17>16,在圆外;
连线组成的三角形为直角三角形,该直角三角形的外接圆的圆心为
点(0,0)和点(4,2)所连线段的中点,即(2,1),直径2R等于点(0,0)和
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题型二 与圆有关的最值问题
角度 1 建立函数关系求最值 1.(2019·厦门模拟)设点 P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1 上的动点，定点 A(2,0)，B(－2,0)，则P→A·P→B的最大值为___1_2____.
解析 由题意，知圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，则圆心为(a,0)，半
径 r＝1，又 A(－2,0)，B(0,2)可得直线 AB 的方程为－x2＋y2＝1，即 x－y＋2
|a＋2| ＝0.所以圆心到直线 AB 的距离 d＝ ，则圆上的点到直线 AB 的最短距
2
|a＋2| 离为 d－r＝ －1，又|AB|＝
解析 解法一：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆 经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
F＝0， 所以1＋1＋D＋E＋F＝0，
22＋02＋2D＋0E＋F＝0，
解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 所以圆的方程为 x2＋y2－2x＝0.
解法二：记 O(0,0)，A(1,1)，B(2,0)，线段 OB 的垂直平分线方程为 x＝1， 线段 OA 的垂直平分线方程为 y－12＝－x－12，即 x＋y－1＝0.
1．概念辨析
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆心为－2a，－a，半径为
1 2
－3a2－4a＋4的圆．( × )
(3)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(x－x1)(x
－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ )
(4)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 A＝C≠0，
B＝0，D2＋E2－4AF＞0.( √ )
2．小题热身 (1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
1.圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 上的点到直线 x－y＝2 距离的最大值是
()A
D．2＋2 2
解析 将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径
|1－1－2|
为 1，则圆心到直线 x－y＝2 的距离 d＝
＝ 2，故圆上的点到直线
因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 解法二：设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形 的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点). 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
所以由2x＋x＋y－3y＋ 1＝1＝ 0，0， 得xy＝ ＝4－，3， 即圆心坐标为(4，－3)，半径为 r＝ 42＋－32＝5， 所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
2．一圆经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6，求此圆的方程．
解 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 P，Q 两点的坐标分别代
1.掌握“三方法”
2.明确“五步骤”
(2019·潍坊调研)已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点， P，Q 为圆上的动点.
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程； 解 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2,2y). 因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
入，得23DD－－4EE＋－FF＝＝－201，0.
① ②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④ 由①②④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8 或 D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0.
解析 由题意，可设所求圆的方程为 x2＋(y－b)2＝1，因为此圆过点 (1,2)，所以 12＋(2－b)2＝1，解得 b＝2.故所求圆的方程为 x2＋(y－2)2＝1.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 求圆的方程
1．经过点 P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线 2x＋3y＋1＝0 上的圆的 标准方程为__(_x_－_4__)2_＋__(_y＋__3_)_2_＝__2_5_____．
2
4＋4＝2
2，所以△ABC 面积的最小值为12
|AB|·(d－r)＝ 2|a＋22|－1＝3－ 2，解得 a＝1 或－5.
求解与圆有关的最值问题的两大规律 (1)建立函数关系式求最值．如举例说明 1. 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式；然后根据关系式 的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常 用的. (2)借助几何性质求最值．如举例说明 2.
第八章 平面解析几何
第3讲 圆的方程
[考纲解读] 1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能 根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)
2.掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测 2021 年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问 题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.
题型三 与圆有关的轨迹问题
1.已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点 C 的 轨迹方程.
解 解法一：设 C(x，y)， 因为 A，B，C 三点不共线，所以 y≠0. 因为 AC⊥BC，所以 kAC·kBC＝－1， 又 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，所以x＋y 1·x－y 3＝－1， 化简得 x2＋y2－2x－3＝0.
2.设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM，ON 为两边 作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹.
解 如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为2x，2y，线 段 MN 的中点坐标为x0－2 3，y0＋2 4.
因为平行四边形的对角线互相平分， 所以2x＝x0－2 3，2y＝y0＋2 4，整理得xy00＝ ＝xy＋ －34.， 又点 N(x＋3，y－4)在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 所以点 P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2 为半径的圆 因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点－59，152和－251，258.
2
x－y＝2 距离的最大值为 d＋1＝ 2＋1，故选 A.
2.(2019·兰州模拟)若直线 ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2
＝16 分成面积相等的两部分，则21a＋2b的最小值为(
)
A.10 B．8 C．5 D．4
答案 B
解析 由已知，得圆心(－4，－1)在直线 ax＋by＋1＝0 上，所以－4a －b＋1＝0，即 4a＋b＝1，又因为 a>0，b>0，所以21a＋2b＝21a＋b2(4a＋b)＝ 2ba＋8ba＋4≥2 2ba·8ba＋4＝8，当且仅当2ba＝8ba时，等号成立，此时 b＝4a， 结合 4a＋b＝1，知 a＝18，b＝12.所以当 a＝18，b＝12时，21a＋2b取得最小值 8.
求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出 方程．见举例说明 1 解法二. (2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已 知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值．见举例说明 1 解法一.
解析 解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
a2＋b2＝r2， 有1－a2＋1－b2＝r2，
2a＋3b＋1＝0，
a＝4， 解得b＝－3，
r＝5.
所以圆的标准方程是(x－4)2＋
(y＋3)2＝25.
解法二：(直接法)由题意，知 OP 是圆的弦，其垂直平分线为 x＋y－1 ＝0.因为弦的垂直平分线过圆心，
1
PART ONE
基础知识过关
1．圆的定义及方程
平面内与 □01 定点
定义 的集合(轨迹)
的距离等于 □02 定长 的点
标准方程
□03 (x－a)2＋(y－ 圆心：□04 (a，b) ，
b)2＝r2(r>0)
半径： □05 r
□ 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 圆心： 06 －D2 ，－E2 ，
解析 ∵P→A＝(2－x，－y)，P→B＝(－2－x，－y)，P(x，y)在圆上，∴P→A·P→B ＝x2－4＋y2＝6y－8－4＝6y－12，∵2≤y≤4，
∴P→A·P→B≤12.
角度 2 借助几何性质求最值 2.(2019·湖南师大附中模拟)已知点 A(－2,0)，B(0,2)，若点 C 是圆 x2－ 2ax＋y2＋a2－1＝0 上的动点，△ABC 面积的最小值为 3－ 2，则 a 的值为 _1_或__－__5__.
答案 D 解析 由已知，得所求圆的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 12＋12＝ 2， 所以此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.