高考数学难题突破训练(四)

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高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等式问题课件

跟踪训练 1 (1)若 0<a<1，则不等式(a－x)(x－1a)>0 的解集是(_a_，__1a_)_.
答案
解析
原不等式即为(x－a)(x－1a)<0，由 0<a<1 得 a<1a， ∴a<x<1a.
(2)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是_(－__∞__，__－__4_)_∪__(_2_，__＋__∞__) _. 答案解析
跟踪训练 3 (1)设 x，y 均为正实数，且2＋3 x＋2＋3 y＝1，则 xy 的最小值为
A.4
B.4 3
C.9
D.16
答案
解析
由2＋3 x＋2＋3 y＝1 可得 xy＝8＋x＋y. ∵x，y均为正实数， ∴xy＝8＋x＋y≥8＋2 xy(当且仅当 x＝y 时等号成立)，
即 xy－2 xy－8≥0，解得 xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.
题型分类深度剖析
题型一含参数不等式的解法例1 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax (a∈R). 解答
思维升华
解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系. (3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
(2)若 x∈M，|y|≤16，|z|≤19，求证：|x＋2y－3z|≤53. 证明
|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z| ≤1＋2×16＋3×19＝53， ∴|x＋2y－3z|≤53.
2.(2016·浙江金华十校联考)已知函数 f(x)＝－ x－x＋ 1，1x，≥x<0，0，则不等式

新高考数学复习专题突破练习题附解析(共13专题)

突破1.1 空间几何体的结构【基础巩固】1.如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）A．①②B．②③C．③④D．①⑤【答案】B【解析】当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件.故截面图形可能是①⑤，选D．2.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（）A．B．C．D．【答案】C【方法点晴】本题主要考查了圆锥的有关计算及圆锥的侧面展开的应用，着重考查了求立体图形中两点之间的曲线段的最短线路长，解答此类问题一般应把几何体的侧面展开，展开在一个平面内，构造直角三角形，从而求解两点间的线段的长度，用到的知识为：圆锥的弧长等于底面周长，本题的解答中圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，体现了“化曲面为平面”的思想方法．3．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形绕虚线旋转一周得到的（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，该几何体是圆锥与圆台的组合体，所以该组合体是由直角三角形和直角梯形的组成的平面图形绕虚线旋转一周所得．故选A．4．下列关于棱柱的说法中，错误的是（）A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形【答案】C【解析】n棱柱具体特征：底面为n边形，共3n条棱，（n+2）个面，其中n个侧面，2个底面，侧面为平行四边形，侧棱长相等．因为n棱柱底面为n边形，故A对；因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故B对；根据n棱柱特征，D对；而底面边长与侧棱长度不一定相等，故各个侧面不全等，故C错误．故选C．5．下列说法正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱D．棱锥的底面一定是三角形【答案】C【解析】对于选项A，棱柱的底面为任意的四边形即可，故错误．对于选项B，底面是矩形的直平行六面体才是长方体，故错误．对于选项D，三棱锥的底面一定是三角形，故错误．故选C．6．下列几何体不是简单旋转体（）A．圆柱B．圆台C．球D．棱柱【答案】D【解析】在A中，圆柱是矩形绕着它的一条边旋转而成的，故圆柱是简单旋转体；在B中，圆台是直角梯形绕直角腰所在的直线旋转而成的，故圆台是简单旋转体；在C中，球是半圆绕着直径旋转而成的，故球是简单旋转体；在D中，棱柱不是旋转体．故选D．7．下列命题中，错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形【答案】B【解析】对于A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，为2r l，A正确；对于B，用一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，∴B错误；对于C，圆台的所有平行于底面的截面都是圆，C正确；对于D，圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形，D正确．故选B．8．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体，∴它是由A选项中的平面图形旋转而成的．故选A．9．下列叙述中正确的是（）A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体B．棱柱中两个相互平行的平面一定是棱柱的底面C．过圆锥侧面上的一点有无数条母线D．球面上四个不同的点有可能在同一平面内【答案】D【解析】在A中，圆柱是将矩形以矩形的一条对角线为轴，旋转所得的就不是圆柱，故A错；在B中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱，棱柱中两个相互平行的平面不一定是棱柱的底面，故B错误；在C中，两点确定一条直线，圆锥过圆锥侧面上的一点只有一条母线，故C错误；在D中，球面上四个不同的点有可能在同一平面内，故D正确．故选D．10.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是（）A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点【答案】A【解题必备】考查简单组合体的构成，就必须要明白该组合体是由简单几何体拼接、截去还是挖去一部分而成的，因此，要仔细观察简单组合体的组成，并充分结合柱、锥、台、球的几何结构特征进行识别.【能力提升】11.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个共底的圆锥【答案】D【思路点拨】本题考查旋转体的结构特征，熟练掌握旋转体的定义及旋转体的结构特征是解答本题的关键．12.有下列三组定义：①有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.其中正确定义的个数为（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【思路点拨】从结构特征出发：棱台上、下两个底面平行且相似；棱锥侧面都是三角形且有一个公共顶点；棱柱上、下两个底面平行且侧面都是平行四边形，从而可快速得解.13.如图所示，在长方体中，则在长方体表面上连接两点的所有曲线长度的最小值为__________．14.一个几何体的三视图如图所示,则组成该几何体的简单几何体为().A.圆柱与圆台B.圆柱与四棱台C.四棱柱与四棱台D.四棱柱与圆台【解析】由三视图可得该几何体是一个组合体,由几何体上部的三视图均为矩形可知上部是四棱柱,由下部的三视图中有两个梯形可得下部是四棱台,故组成该几何体的简单几何体为四棱柱与四棱台,故选C . 15.将正方体(如图①)截去两个三棱锥,得到如图②所示的几何体,则该几何体的侧(左)视图为( ).【答案】B【解析】还原正方体后,将D 1,D ,A 三点分别向正方体右侧面作垂线.D 1A 的射影为C 1B ,且为实线,B 1C 被遮挡应为虚线.【高考真题】16.（2019全国II 文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【解析】：该半正多面体共有888226+++=个面，设其棱长为x ，则221x x x ++=，解得21x =． 17.(2017年全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ).A.10B.12C.14D.16【解析】观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体的各个面中有两个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2××(2+4)×2=12.故选B.【答案】B18.(2017年全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为().A.90πB.63πC.42πD.36π【解析】由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱被一个平面截去上面虚线部分所得,如图所示.将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于上部分圆柱体积的加上下部分圆柱的体积,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×=63π.故选B.【答案】B20.(2015年全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正(主)视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=().A.1B.2C.4D.8【解析】如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S=·4πr2+πr2+4r2+πr·2r=(5π+4)r2.又S=16+20π,∴(5π+4)r2=16+20π,∴r2=4,r=2,故选B.【答案】B突破1.2 空间几何体的三视图与直观图【基础巩固】1.（2018河北衡水压轴卷一）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别为11B C 、11C D 的中点，则四棱锥11A B EFD -的正视图与侧视图分别为（）A.②，③B.④，②C.②，①D.②，④ 【答案】.D【解析】由三视图的投影规则知，几何体在侧面11DCC D 上的投影为一直角三角形（直角在左边），AF 的投影为一虚线，1AB 的投影为一实线，故正视图为②；几何体在侧面11BCC B 上的投影为一直角三角形（直角在右边），AE 的投影为虚线，1AD 的投影为实线，故侧视图为④.故选D.2．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：截去的三棱锥是长方体的一个角，AB ⊥AD ，AD ⊥AC ，AC ⊥AB ，所以将三棱锥补成长方体，其外接球相同，外接球的直径为长方体的体对角线，半径为：222113343422++=，外接球的表面积为：21434342ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故选A ．3．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是''''A B C D ，如图2所示.其中24A'B'A'D'==，则该几何体的表面积为（）A ．1612+πB ．168+πC ．1610+πD ．8π【答案】A【解析】由俯视图的直观图得俯视图为边长为4的正方形，所以几何体为底面为半圆（半径为2），高为4的半圆柱，其表面积为214π244+2π21612π2⨯⨯+⨯⨯⨯=+，选A. 4．（2020·四川省成都市树德中学高三二诊（理））2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A ．22B ．32C ．212+ D ．312+ 【答案】D【解析】设四个支点所在球的小圆的圆心为O '，球心为O ，由题意，球的体积为43π，即24433R ππ=可得球O 的半径为1，又由边长为2的正方形硬纸，可得圆O '的半径为12，利用球的性质可得222131()22O O '=-=，又由O '到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为12，所以球心到底面的距离为3131222++=。

2020版高考理科数学突破三轮复习新课标通用练习：小题强化练(四)

小题强化练(四)一、选择题1．设集合A ＝{y |y ＝log 2x ，0<x ≤4}，B ＝{x |e x >1}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2) B ．(0，2] C ．(－∞，2)D ．R2．若i 为虚数单位，复数z 满足z (1＋i)＝|1－i|＋i ，则z 的虚部为( ) A ．2－12B ．2－1C ．－2＋12iD ．1－223．设随机变量X ～N (1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 5.A ．6 038B ．6 587C ．7 028D ．7 5394．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为( )A ．133升B ．176升C ．199升D ．2512升5.已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为( )A ．16B ．163C ．83D ．86.某城市有连接8个小区A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．347．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，b ＝2，则△ABC 面积的最大值是( )A ．1B ． 3C ．4D ．68．执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于( )A ．－23tanπ9－21B ．tan 25π9－3tan π9－22C ．－23tan π9－22D ．tan 25π9－3tan π9－219．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：①A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6}，A ∩B ＝∅；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(A ，B )的个数为( )A ．10B ．12C ．14D ．1610．设3x ＝2，y ＝ln 2，z ＝5－12，则( )A ．x <y <zB ．y <z <xC ．z <x <yD ．z <y <x11．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝2π3，AP ＝3，AB ＝23，Q 是BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为π3，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为( )A ．45πB ．57πC ．63πD ．84π12．已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意实数x 都有f ′(x )＝e x (2x ＋3)＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，若不等式f (x )－k <0的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫－1e ，0 B ．⎣⎡⎦⎤－1e 2，0 C ．⎝⎛⎦⎤－1e 2，0 D ．⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 二、填空题13．已知平面向量a ，b 满足b ·(a ＋b )＝3，且|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＝________． 14．已知奇函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且△MNE 是边长为1的正三角形，那么ω＝________，f ⎝⎛⎭⎫13＝________．15．已知抛物线y 2＝4x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝－4(其中O 为坐标原点)，则△ABO 的面积的最小值是________．16．(2019·湖北仙桃、天门、潜江期末改编)已知函数f (x )＝12a sin 2x －(a ＋2)cos x －(a ＋1)x在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上无极值，则a ＝________，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最小值是________．参考答案与解析小题强化练(四)1．解析：选B ．A ＝(－∞，2]，B ＝(0，＋∞)，则A ∩B ＝(0，2]． 2．解析：选D ．由题意得z ＝2＋i 1＋i＝(2＋i)(1－i)2＝2＋12＋1－22i ，则z 的虚部为1－22.3．解析：选B ．由正态分布的概率分布特点可得P (1<X ≤2)＝12P (0<X ≤2)＝12×0.682 7＝0.341 35.又正方形ABCD 的面积为1，则阴影部分的面积为0.658 65，所以向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，落入阴影部分的点估计有6 587个．4．解析：选B ．设该竹子自上而下各节的容积构成等差数列{a n }，公差为d ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4，解得a 1＝1322，d ＝766，则第1，3，9节的容积之和为a 1＋a 3＋a 9＝3a 1＋10d ＝3922＋7066＝176(升)．5.解析：选C ．由三视图可知该几何体是正四面体，如图中C -AB 1D 1所示，其外接球即为正方体的外接球，由外接球的半径为3，得正方体的棱长为2，则正四面体的棱长为22，体积为212×(22)3＝83.6．解析：选B ．某人由小区A 到小区H 的最短路径有6条，分别为ABCEH ，ABOEH ，ABOGH ，ADOEH ，ADOGH ，ADFGH ，其中经过市中心O 的有ABOEH ，ABOGH ，ADOEH ，ADOGH ，共4条，故所求概率P ＝46＝23.7．解析：选B ．由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 和正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，则2sin B cos B ＝sin(A ＋C )＝sinB ．因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos B＝12，故B ＝π3.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，则4＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，当且仅当a ＝c ＝2时取等号．则△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3，即△ABC 面积的最大值是 3.8．解析：选A ．由程序框图可得S ＝tan 4π9tan 3π9＋tan 5π9tan 4π9＋tan 6π9tan 5π9＋…＋tan24π9tan 23π9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 4π9－tan 3π9tan π9－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π9－tan 4π9tan π9－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 24π9－tan 23π9tan π9－1＝tan 24π9－tan 3π9tan π9－21＝－23tan π9－21.9．解析：选A ．对非空集合A ，B 中的元素按个数分类：(1)当集合A 中只有1个元素时，集合B 中有5个元素，则A ＝{5}，B ＝{1，2，3，4，6}，只有1种可能；(2)当集合A 中有2个元素时，集合B 中有4个元素，则A 中必有元素4，B 中必有元素2，则A ＝{1，4}，B ＝{2，3，5，6}或A ＝{3，4}，B ＝{1，2，5，6}或A ＝{4，5}，B ＝{1，2，3，6}或A ＝{4，6}，B ＝{1，2，3，5}，共4种可能；(3)集合A 中不可能有3个元素；(4)当集合A 中有4个元素时，集合B 中有2个元素，与情况(2)相同，只需A ，B 互换即可，共4种可能；(5)当集合A 中有5个元素时，集合B 中有1个元素，与情况(1)相同，只需A ，B 互换即可，共1种可能．综上可得，有序集合对(A ，B )的个数为10.10．解析：选C ．由3x ＝2得x ＝log 32，则2>1x ＝log 23>log 2e ＝1y >1，则12<x <y <1.又z ＝5－12＝55<12，则z <x <y . 11.解析：选B ．设直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，三棱锥P -ABC 外接球的球心为O ，半径为R ，如图所示，则0<sin θ＝P A PQ＝3PQ ≤32，所以PQ ≥23，则PQ 的最小值为23，AQ 的最小值是3，即点A 到BC 的距离为3，所以∠BAQ ＝π3.因为∠BAC ＝2π3，所以∠CAQ ＝π3，所以AB＝AC ＝23，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 2π3＝(23)2＋(23)2－2×23×23×⎝⎛⎭⎫－12＝36.所以BC ＝6.取△ABC 的外接圆的圆心为O ′，则圆O ′的半径r ＝12×6sin 2π3＝2 3.连接OO ′，OA ，作OM ⊥P A 于点M ，则点M 为P A 的中点，所以R 2＝OA 2＝OP 2＝(23)2＋⎝⎛⎭⎫322＝574，故三棱锥P -ABC 的外接球O 的表面积S ＝4πR 2＝57π.12．解析：选C ．令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex＝2x ＋3，则g (x )＝x 2＋3x ＋c ，c ∈R ，所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋c )，则f (0)＝c ＝1，所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)，f ′(x )＝e x (x 2＋5x ＋4)＝e x (x ＋4)·(x ＋1)．当x <－4或x >－1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－4)，(－1，＋∞)上单调递增；当－4<x <－1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－4，－1)上单调递减．由f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)＝0，得x 2＋3x ＋1＝0，由Δ>0，可知f (x )只有2个零点．由f (－4)＝5e 4>0，f (－3)＝1e 3>0，f (－2)＝－1e 2<0，f (－1)＝－1e<0，f (0)＝1>0，且x →－∞时，f (x )→0＋，则可作出函数f (x )的大致图象如图．若不等式f (x )<k 的解集中有2个整数时，则这2个整数是－1，－2.又f (－2)＝－1e 2，则－1e2<k ≤0.13．解析：b ·(a ＋b )＝a ·b ＋|b |2＝3，又|b |＝2，则a ·b ＝－1，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝ 3. 答案： 314．解析：由f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(0<φ<π)是奇函数得φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx ，f ′(x )＝－A ωcos ωx ，由题知E 是最高点，且△MNE 是边长为1的正三角形，则A ω＝32，最小正周期T ＝2，则ω＝2πT ＝π，A ＝32π，则f (x )＝－32π·sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝－32πsin π3＝－34π. 答案：π －34π15．解析：由题意可设直线AB ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)．因为点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，所以y 1y 2<0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，则y 1y 2＝－4m ，x 1x 2＝(y 1y 2)216＝m 2，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－4m ＝－4，解得m ＝2，则直线AB 恒过点(2，0)，y 1y 2＝－8，则△ABO 的面积S ＝12×2|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋8y 1≥28＝42，当且仅当y 1＝±22时取等号，故△ABO 面积的最小值是4 2.答案：4 216．解析：函数f (x )的导数为f ′(x )＝a cos 2x ＋(a ＋2)sin x －a －1＝a (1－2sin 2x )＋(a ＋2)sin x －a －1＝－2a sin 2x ＋(a ＋2)sin x －1＝－(2sin x －1)(a sin x －1)．当sin x ＝12，即x ＝π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，f ′(x )＝0.所以要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上无极值，则a ＝2，此时f ′(x )＝－(2sin x －1)2≤0恒成立，即f (x )单调递减，故在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3π2. 答案：2 －32π。

高考数学优编增分练：解答题突破练四解析几何(1)

高考数学优编增分练：解答题突破练四解析几何(1)1．(2018·浙江省台州中学模拟)过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2且k1＋k2＝2，l1与E 相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0，k2>0，证明：·<2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．(1)证明由题意知，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为y＝k1x＋.由得x2－2pk1x－p2＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根，从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝2pk＋p，∴点M的坐标为，＝(pk1，pk)．同理可得点N的坐标为，→＝(pk2，pk)，FN于是·＝p2(k1k2＋kk)．∵k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，∴0<k1k2<1，故·<p2(1＋1)＝2p2.(2)解由抛物线的定义得|FA|＝y1＋，|FB|＝y2＋，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，从而圆M的半径r1＝pk＋p.故圆M的方程为x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0，同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0，∴直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0，即x＋2y＝0.∴点M到直线l的距离为d＝.故当k1＝－时，d取最小值 .由已知得＝，解得p＝8.故所求抛物线E的方程为x2＝16y.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点分别是F1，F2，点E在椭圆C 上．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N，使得＝2，求以F1P为直径的圆面积的取值范围．解(1)由已知，得半焦距c＝，2a＝|EF1|＋|EF2|＝＋＝4，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝8－2＝6，所以椭圆C的方程是＋＝1.(2)设点P的坐标为(0，t)，当直线MN斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝±，t2＝.当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝2得x1＝－2x2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋t ，x28＋y26＝1，得(3＋4k2)x2＋8ktx ＋4t2－24＝0，由题意，得Δ＝64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－24)>0，整理得t2<8k2＋6，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1·x2＝，②由①②，消去x1，x2得k2＝，由解得<t2<6，综上≤t2<6，又因为以F1P 为直径的圆面积S ＝π·，所以S 的取值范围是.3．(2018·浙江“超级全能生”联考)如图，已知直线y ＝－2mx －2m2＋m 与抛物线C ：x2＝y 相交于A ，B 两点，定点M.(1)证明：线段AB 被直线y ＝－x 平分；(2)求△MAB 面积取得最大值时m 的值．(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2mx －2m2＋m ，y ＝x2，得x2＋2mx ＋2m2－m ＝0，∴x1＋x2＝－2m ，x1·x2＝2m2－m ，则＝－m ，y1＋y22＝＝＝m ，∴线段AB 的中点坐标为(－m ，m)，∴线段AB 被直线y ＝－x 平分．(2)解 ∵|AB|＝错误!＝(0<m<1)，点M 到直线AB 的距离为d ＝，∴△MAB 的面积S ＝|AB|d＝|1－2(－m2＋m)|(0<m<1)，令＝t ，则S ＝t|1－2t2|，又∵0<t≤，∴S＝t －2t3，令f(t)＝t －2t3，则f′(t)＝1－6t2，则f(t)在上单调递增，在上单调递减，故当t ＝时，f(t)取得最大值，即△MAB 面积取得最大值，此时有＝，解得m ＝.4．已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k1，直线MB 的斜率为k2，k1k2＝－.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D(－，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足＝3，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M(0，b)，A(－a,0)，B(a,0)，k1＝，k2＝－，k1k2＝－·＝－＝－，e ＝＝.(2)由(1)知e ＝＝，得a2＝3c2，b2＝2c2，可设椭圆C 的方程为2x2＋3y2＝6c2，设直线l 的方程为x ＝my －，由⎩⎨⎧ 2x2＋3y2＝6c2，x ＝my －3，得(2m2＋3)y2－4my ＋6－6c2＝0，因为直线l 与椭圆C 相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，所以Δ＝48m2－4(2m2＋3)(6－6c2)>0，由根与系数的关系得，y1＋y2＝，y1y2＝.又＝3，所以y1＝－3y2，代入上述两式得6－6c2＝－，所以S△OPQ＝|OD||y1－y2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m2＋3 ＝＝≤，当且仅当m2＝时，等号成立，此时c2＝，代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C 的方程为＋＝1.5．已知在平面直角坐标系中，动点P(x ，y)(x≥0)到点N(1,0)的距离比到y 轴的距离大1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与轨迹C 相交于A ，B 两点，设点Q 在直线x ＋y －1＝0上，且满足＋＝t(O 为坐标原点)，求实数t 的最小值．解 (1)方法一因为点P(x ，y)(x≥0)到点N(1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以|PN|－1＝|x|，将点N 的坐标代入，并整理得y2＝4x. 故点P 的轨迹C 的方程是y2＝4x.方法二因为平面上动点P 到点N(1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以点P 到点N(1,0)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离相等，即点P 的轨迹是以原点为顶点，焦点到准线的距离为2，并且为开口向右的抛物线，所以点P 的轨迹C 的方程为y2＝4x.(2)由题意知直线AB 的斜率存在且斜率不为0且与抛物线y2＝4x 有两个交点，设直线AB ：y ＝k(x －2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x ，y)，由得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0(k≠0)．Δ＝16(2k2＋1)>0恒成立，所以x1＋x2＝，x1·x2＝4，因为＋＝t，所以(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，即x＝＝，y＝＝＝＝，又点Q在x＋y－1＝0上，所以＋－1＝0.所以t＝4＝42＋3≥3.故实数t的最小值为3.6.如图，过椭圆M：＋y2＝1的右焦点F作直线交椭圆于A，C两点．(1)当A，C变化时，在x轴上求定点Q，使得∠AQF＝∠CQF；(2)设直线QA交椭圆M的另一个交点为B，连接BF并延长交椭圆于点D，当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线AC的方程．解(1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，Q(q,0)，当A，C不在x轴上时，设直线AC的方程为x＝ty＋1，代入椭圆M的方程，可得(2＋t2)y2＋2ty－1＝0.则y1＋y2＝－，y1y2＝，由意题知kAQ＋kCQ＝＋y2x2－q＝错误!＝错误!＝＝0，即2ty1y2＋(1－q)(y1＋y2)＝0，整理得－2t－2t(1－q)＝0，由题知无论t取何值，上式恒成立，则q＝2，当A，C在x轴上时，定点Q(2,0)依然可使∠AQF＝∠CQF成立，所以点Q的坐标是(2,0)．(2)由(1)知∠AQF＝∠CQF，∠BQF＝∠DQF.所以B，C关于x轴对称，A，D关于x轴对称，所以四边形ABCD是一个等腰梯形．则四边形ABCD的面积S(t)＝|x1－x2|·|y1－y2|＝|t|·|y1－y2|2＝8·.由对称性不妨设t>0，求导可得S′(t)＝－8·，令S′(t)＝0，可得t2＝，由于S(t)在上单调递增，在上单调递减，所以当t2＝时，四边形ABCD的面积S取得最大值．此时，直线AC的方程是x＝±y＋1.。

高考数学大二轮复习经典专题中难提分突破特训(四)课件文

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(2)实验过程中测得时间 t(分)与 10 名实验对象前臂表面肌电频率(sEMG)
的中位数 y(Hz)的 9 组对应数据(t，y)为(0,87)，(20,84)，(40,86)，(60,79)，(80,78)，
(100,78)，(120,76)，(140,77)，(160,75)．建立 y 关于时间 t 的线性回归方程；
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4．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x＝2t－1， y＝－4t－2
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∵M1 是曲线 C1 上的点，M2 是曲线 C2 上的点， ∴|M1M2|的最小值等于点 M2 到直线 2x＋y＋4＝0 的距离的最小值．不妨设 M2(r2－1,2r)，点 M2 到直线 2x＋y＋4＝0 的距离为 d，则 d＝2|r2＋5r＋1|＝2r＋1252＋34≥2 3 5＝3105，当且仅当 r＝－12时取等号．
∴|M1M2|的最小值为3105.
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5．已知函数 f(x)＝|x－1|. (1)求不等式 f(2x)－f(x＋1)≥2 的解集； (2)若 a>0，b>0 且 a＋b＝f(3)，求证： a＋1＋ b＋1≤2 2.
解 (1)因为 f(x)＝|x－1|，所以 f(2x)－f(x＋1)＝|2x－1|－|x|＝ 1－x，x≤0， 1－3x，0<x<12， x－1，x≥12，

高考数学大题突破训练(1-4)

高考数学大题突破训练（一）1、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.2、某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 4 5f a 0．2 0．45 b C（I ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a 、b 、c 的值；（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1,x 2,x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1,y 2，现从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

3、如图，ABED FC 为多面体，平面ABED 与平面AC FD 垂直，点O 在线段AD 上，1O A =，O D =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线B C E F ∥；（Ⅱ）求棱锥F O BED -的体积.4、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。

（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）数列{}n b 的前n 项和为S ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列。

5、设()3213f x x m x nx =++.（1）如果()()23g x f x x '=--在2x =-处取得最小值5-，求()f x 的解析式；（2）如果()10,m n m n N ++<∈，()f x 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(),a b 的长度为b a -）6、在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知T （1，-1），设H 是E 上动点,求H O +H T 的最小值，并给出此时点H 的坐标；（3）过点T （1，-1）且不平行与y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k的取值范围。

2024年高考数学专项突破数列大题压轴练(解析版)

数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．(1)求证：数列{}n S 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n A ．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1n nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得不等式2022n S >成立的n 的最小值．6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．2024年高考数学专项突破数列大题压轴练（解析版）(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b-+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}11,n n n n n a b b a a ++=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n n b e +=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S为数列{}n a的前n项和，n T为S T+=．数列{}n S的前n项和，已知2n n(1)求证：数列{}n S是等比数列；(2)求数列{}n na的前n项和n A．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，24a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*sin 3()cos cos n n c N b b =∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；S>成立的n的最小值．(2)设数列{}n a的前n项和为n S，求使得不等式2022n6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+-．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2){}n a 为等比数列，理由见解析10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)nii i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.【答案】(1)12n n a -=(2)288n n+【分析】（1）选择条件①：先由{}1n S a +为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列{}n a 的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；选择条件②：先由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得出()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥，两式做减即可得出()122n n a a n +=≥，再验证1n =时即可利用等比数列通项公式得出答案；（2）通过14n n n T b b +=⋅得出()1142n n n T b b n --⋅≥=，两式相减结合已知即可得出()1142n n b b n +--=≥，即数列{}n b 的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将211(1)nii i i b b+=⎡⎤-⎣⎦∑转化即可得出答案.【详解】（1）选条件①：数列{}1n S a +为等比数列，()()()2211131S a S a S a ∴+=++，即()()2121123222a a a a a a +=++，11a = ，且设等比数列{}n a 的公比为q ，()()22222q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍），1112n n n a a q --∴==，选条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+= ①，()()1212122212n n n n a a a n a n ---++⋅⋅⋅+=-≥∴，即()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥ ②，由①②两式相减得：()()12221n n n n a na n a +=-≥-，即()122n n a a n +=≥，令1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=中1n=得出212a a =也符合上式，故数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，则1112n n n a a q --==，（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，即12n n a -=，11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．【答案】(1)43n a n =-，3nn b =(2)660【分析】（1）将14n n n S S a +=++移项作差可得{}n a 是等差数列，结合25a =可求出数列{}n a 的通项公式，将1,b q 代入等式计算，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）由2077a =可判断前20项中最多含有123,,b b b 三项，排除23b a =可确定前20项中14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b -+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT【答案】(1)1*(2)3n n a n -=⋅∈N ，()*)1(n b n n n =+∈N (2)()*)121(3n n T n n =+-∈N 【分析】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式作差即可得数列{}n a 的递推关系，即可求通项，最后验证1a 是否符合即可；数列{}n b 利用累乘法即可求，最后验证1b 是否符合即可；（2）由题，由等差数列的性质得()11n n n a a n c +-=+，即可求出n c 的通项公式，最后利用错位相减法求n T 即可【详解】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式相减可得13(2)n n a a n +=≥，故数列{}n a 从第3项开始是以首项为2a ，公比3q =的等比数列.又由已知132n n S S +=+，令1n =，得213+2S S =，即12132a a a +=+，得21226a a =+=，故123)2(n n a n -=⋅≥；又12a =也满足上式，则数列{}n a 的通项公式为1*(2)3n n a n -=⋅∈N ；16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}1,n n n a b b a a +=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a 满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC--=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：22211154b b b +++< ．（2）由（1）可得：当1n =时，则1b 当2n ≥时，可得()(2211212n b n n=<-则222121111111114223nb b b ⎛+++=+-+- ⎝L 27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．⎫⎪⎪⎪28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值【答案】(1)230S =，384S =，133n n S +=+(2)7【分析】（1）根据123,,S S S 进行猜想，结合等比数列的知识进而求解，并进行推导.（2）利用裂项求和法求得m T ，由此列不等式，从而求得m 的最小值.【详解】（1）一阶和数列：{}2,6,4，对应112S =；二阶和数列：{}2,8,6,10,4，对应230S =；三阶和数列：{}2,10,8,14,6,16,10,14,4，对应384S =；故猜想136n n S S -=-，()1333n n S S --=-，所以数列{}3n S -是首项为139S -=，公比为3的等比数列，所以11393,33n n n n S S -+-=⋅=+.下面证明136n n S S -=-：设112124n m m S a a a a --=++++++ ，则()()()()1112112244n m m m m m S a a a a a a a a a --=+++++++++++++29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n nb e+=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….。

新高考数学二轮总复习专题突破练4 从审题中寻找解题思路(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题突破练4 从审题中寻找解题思路一、单项选择题 1.已知sin π4-2x =35,则sin 4x 的值为( )A.1825B.±1825C.725D.±7252.(2020山东济南6月模拟,7)已知水平直线上的某质点,每次等可能的向左或向右移动一个单位长度,则在第6次移动后,该质点恰好回到初始位置的概率是( ) A.14B.516C.38D.123.已知△ABC 中,sin A+2sin B cos C=0,√3b=c ,则tan A 的值是( ) A.√33B.2√33C.√3D.4√334.(2020天津河东区检测,8)已知实数a ,b ,ab>0,则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为( ) A.16B.14C.17D.65.(2020广东江门4月模拟,理12)四棱锥P-ABCD ,AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,底面ABCD 为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠BPC ,满足上述条件的四棱锥顶点P 的轨迹是( ) A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分6.(2020湖北高三期末,12)已知函数f (x )={|lnx |,0<x ≤2,f (4-x ),2<x <4,若方程f (x )=m 有四个不等实根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时,不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k+11恒成立,则实数k 的最小值为( ) A.98B.2516 C.2-√32 D.√3−12二、多项选择题7.在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,如图,则下列等式成立的是( ) A.|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )×(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |28.函数f (x )=A sin(2x+φ)A>0,|φ|<π2部分图象如图所示,对不同x 1,x 2∈[a ,b ],若f (x 1)=f (x 2),有f (x 1+x 2)=√3,则( ) A.a+b=π B.b-a=π2 C.φ=π3D.f (a+b )=√39.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( )A.e2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=110.(2020山东历城二中模拟四,12)已知函数f(x)=2sin(ωx-π6)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(0,1),则以下结论正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为3πB.将函数f(x)的图象向左平移π6所得图象关于原点对称C.函数f(x)在区间[-π6,π2]上单调递增D.函数f(x)在区间(0,100π)上有66个零点三、填空题11.若△ABC的面积为√34(a2+c2-b2),则∠B=.12.(2020天津河东区检测,15)函数f(x)=x,g(x)=x2-x+3,若存在x1,x2,…,x n∈[0,92],使得f(x1)+f(x2)+…+f(x n-1)+g(x n)=g(x1)+g(x2)+…+g(x n-1)+f(x n),n∈N*,则n的最大值为.四、解答题13.(2020山东青岛二模,19)已知数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,2S n+n+1=a n+12,n∈N*.(1)证明:当n≥2时,a n+1=a n+1;(2)若a4是a2与a8的等比中项,求数列{2n·a n}的前n项和T n.专题突破练4从审题中寻找解题思路1.C 解析由题意得cosπ2-4x =1-2sin 2π4-2x =1-2×925=725,sin4x=cosπ2-4x =725.故选C .2.B 解析在经过6次移动后,该质点恰好回到初始位置,则每次都有向左或者向右两种选择,共有26=64种可能;要回到初始位置,则只需6次中出现3次向左移动,3次向右移动,故满足题意的可能有C 63=20种可能.故恰好回到初始位置的概率P=2064=516.故选B . 3.A 解析∵sin A+2sin B cos C=0,∴sin(B+C )+2sin B cos C=0. ∴3sin B cos C+cos B sin C=0. ∵cos B ≠0,cos C ≠0,∴3tan B=-tan C .∵√3b=c ,∴c>b ,∴C>B.∴B 为锐角,C 为钝角.∴tan A=-tan(B+C )=-tanB+tanC1-tanBtanC =2tanB 1+3tan 2B=21tanB+3tanB ≤2√3=√33, 当且仅当tan B=√33时取等号.∴tan A 的最大值是√33.故选A .4.A 解析由于a 2+b 2≥2ab>0,所以aba 2+b 2+a 2b 2+4≤ab2ab+a 2b 2+4,故ab 2ab+a 2b 2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab ·4ab=16,当且仅当a=b 时,等号成立,故其最大值为16.5.B 解析在平面PAB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系.设点P (x ,y ),则由题意可得A (-3,0),B (3,0).∵AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB , ∴Rt △APD ∽Rt △CPB ,∴APBP =ADBC =48=12.即BP 2=4AP 2,故有(x-3)2+y 2=4[(x+3)2+y 2], 整理得(x+5)2+y 2=16,表示一个圆.由于点P 不能在直线AB 上,故点P 的轨迹是圆的一部分,故选B . 6.C 解析函数f (x )={|lnx |,0<x ≤2,f (4-x ),2<x <4的图象如下图所示:当方程f (x )=m 有四个不等实根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时, |ln x 1|=|ln x 2|,即x 1•x 2=1,x 1+x 2>2√x 1x 2=2,|ln(4-x 3)|=|ln(4-x 4)|,即(4-x 3)·(4-x 4)=1,且x 1+x 2+x 3+x 4=8, 若不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k+11恒成立,则k ≥11-(x 12+x 22)x 3x 4-1恒成立,由11-(x 12+x 22)x 3·x 4-1=11-(x 1+x 2)2+2x 1x 24(x 3+x 4)-16=13-(x 1+x 2)216-4(x 1+x 2)=14[(x 1+x 2)-4+3(x 1+x 2)-4+8]≤2-√32,故k ≥2-√32,故实数k 的最小值为2-√32,故选C.7.ABD 解析由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |,由射影定理可得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项A 正确; 由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,由射影定理可得|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项B 正确; 由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π-∠ACD )<0,又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>0,故选项C 错误; 由题图可知Rt △ACD ∽Rt △ABC ,所以|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 由选项A,B 可得|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )×(BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故选项D 正确.故选ABD .8.BD 解析根据函数f (x )=A sin(2x+φ)A>0,|φ|<π2部分图象如图所示,所以函数的周期为2π2=π,即b-a=T2=π2,故B 正确.由图象知A=2,则f (x )=2sin(2x+φ),在区间[a ,b ]中的对称轴为x=a+b 2,由f (x 1)=f (x 2)得,x 1,x 2也关于x=a+b 2对称,则x 1+x 22=a+b 2,即x 1+x 2=a+b ,则f (a+b )=f (x 1+x 2)=√3,故D正确,故选BD .9.BD 解析因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c ,则c=b=√22a ,所以e 1=√22.在焦点三角形PF 1F 2中,∠F 1PF 2=π3,设|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,双曲线C 2的实半轴长为a',则{x 2+y 2-xy =4c 2,x +y =2√2c ,|x -y |=2a ',故xy=43c 2,从而(x-y )2=x 2+y 2-xy-xy=8c23,所以(a')2=2c23,即e 2=√62,故e2e 1=√3,e 2e 1=√32,e 12+e 22=2,e 22−e 12=1.故选BD .10.AC 解析由函数f (x )=2sin ωx-π6的图象的一条对称轴为x=π,得ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z ),因为ω∈(0,1),所以k=0,ω=23,则f (x )=2sin23x-π6,所以周期T=2π23=3π,A 正确;将函数f (x )的图象向左平移π6,得g (x )=f (x +π6)=2sin 23x+π6-π6=2sin (23x -π18),显然g (x )的图象不关于原点对称,B 错误;由2k π-π2≤23x-π6≤2k π+π2(k ∈Z ),即k=0,得-π2≤x ≤π,即[-π2,π]是函数f (x )的一个单调递增区间,又[-π6,π2]⊆[-π2,π],所以函数f (x )在区间[-π6,π2]上单调递增,C 正确;由f (x )=0,得23x-π6=k π(k ∈Z ),解得x=32(kπ+π6),由0<32k π+π6<100π,得-16<k<66.5,因为k ∈Z ,所以k=0,1,2,…,66,所以函数f (x )在区间(0,100π)上有67个零点,D 项错误.11.π3解析由三角形面积公式可得,S=12ac sin B=√34(a 2+c 2-b 2),∴14sin B=√34×a 2+c 2-b 22ac=√34cos B ,∴tan B=√3.∵B ∈(0,π),∴B=π3.12.8 解析函数f (x )=x ,g (x )=x 2-x+3.f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n-1)+g (x n )=g (x 1)+g (x 2)+…+g (x n-1)+f (x n ),即为x 1+x 2+…+x n-1+x n 2-x n +3=x 12-x 1+3+x 22-x 2+3+…+x n -12-x n-1+3+x n ,化为x n 2-2x n +3=x 12-2x 1+3+x 22-2x 2+3+…+x n -12-2x n-1+3,设h (x )=x 2-2x+3,可得存在x 1,x 2,…,x n ∈[0,92],使得h (x n )=h (x 1)+h (x 2)+…+h (x n-1),故h (x )在x=1处取得最小值2,在x=92处取得最大值574,即有574≥h (x n )=h (x 1)+h (x 2)+…+h (x n-1)≥2(n-1),即为n ≤658,可得n 的最大值为8.13.解(1)因为2S n +n+1=a n+12,所以2S n-1+n=a n 2(n ≥2).两式相减得2a n +1=a n+12−a n 2(n ≥2), 所以a n 2+2a n +1=a n+12, 即(a n +1)2=a n+12(n ≥2).因为数列{a n }的各项均为正数, 所以当n ≥2时,a n+1=a n +1. (2)由(1)得a 4=a 2+2,a 8=a 2+6, 因为a 4是a 2与a 8的等比中项,所以a 42=a 2·a 8,即(a 2+2)2=a 2·(a 2+6),解得a 2=2.又2a 1+2=a 22,所以a 1=1.所以a 2-a 1=1,从而a n+1-a n =1对n ∈N *恒成立.所以数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n =n ,所以2n ·a n =n·2n ,所以T n =1×2+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n ,2T n=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,-n×2n+1=(1-n)·2n+1-2,所以T n=(n-1)·2n+1+2.两式相减得-T n=2+22+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2。

2019版数学大江苏专版：第八章立体几何与空间向量专题突破四含答案

高考专题突破四高考中的立体几何问题【考点自测】1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为________．答案平行解析如图取B1C1的中点为F，连结EF，DF，则EF∥A1B1，DF∥B1B，且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1，∴平面EFD∥平面A1B1BA，∴DE∥平面A1B1BA.2．设x,y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x,y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面;④x，y，z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是________．(填序号)答案②③解析由正方体模型可知①④为假命题;由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．3．一个六棱锥的体积为2错误!，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．答案12解析设六棱锥的高为h，则V＝错误!Sh，所以错误!×错误!×4×6h＝2错误!,解得h＝1.设六棱锥的斜高为h′，则h2＋（3）2＝h′2,故h′＝2.所以该六棱锥的侧面积为错误!×2×2×6＝12.4．设α，β,γ是三个平面，a，b是两条不同的直线,有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β;②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b ⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．（把所有正确的序号填上)答案①或③解析由线面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a 和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是________．(填序号）答案①②③解析由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC ＝BC，△BAC是等边三角形,②正确;易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错。

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平面向量/解析几何1、||||OB OA OB OA -=+则向量OB OA ;的关系是（） A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确定2、已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 为（） A.4233a b + B.2433a b + C.2233a b - D.2233a b -+ 3、已知8,5AB AC ==，则BC 的取值范围是（）A.[3，8]B.（3，8）C.[3，13]D.（3，13）4、（北京卷第4题）已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且++2=0，那么A ．= B.2= C.3= D.=25、（全国卷Ⅱ第5题）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，=CB CA λ+31,则λ= (A)32 (B)31 (C) -31 (D) -326、（江西理15）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB m AM =，AC nAN =，则m n +的值为．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（）A ．1142+a bB ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b8、在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34一、选择题 1．(2009·重庆高考)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )．若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．22．如图1，已知AB→＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 图13．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝2，则向量b 在向量a 方向上的投影是( )A ．－12B ．－1 C.12 D ．14．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－35．△ABC 中，sin B ·sin C ＝cos 2A2，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．(2009·福州质检)已知非零向量a 、b ，若a·b ＝0，则|a －2b ||a ＋2b |＝( )A.14 B ．2 C.12 D ．1 7、若),12,5(),4,3(==b a 则与的夹角的余弦值为（） A ．6563 B ．6533C ．6533-D ．6563-8．(2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝________.8.（2013北京卷理13）向量,,在正方形网格中的位置如图所示，若μλ+=（R ∈μλ,），在=μλ9．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝π6，(1＋3)c ＝2b .(1)求C ；(2)若CB →·CA →＝1＋3，求a ，b ，c .8.已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（）A ．3B ．3-.C ． D1、点O 在ABC ∆内部且满足230OA OB OC ++=，则AOB ∆面积与AOC ∆面积之比为A 、 2 C 、3 D 、5323、已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足2P A P B-=，25PA PB -=,PA PC PB PC PA PB⋅⋅=,I 为PC上一点，且()(0)AC AP BI BA ACAPλλ=++>，则BI BA BA⋅的值为A. 1B. 2 D. 27、设P 为ABC ∆所在平面内一点，且520AP AB AC --=，则PAB ∆的面积与ABC∆的面积之比等于B. 25C. 14D. 不确定38、如图，O 、A 、B 是平面上三点，向量,OA a OB b ==。

在平面AOB 上、P 是线段AB垂直平分线上任意一点，向量OP p =，且3,2a b ==，则()p a b ⋅-的值是 A. 5C. 3D. 3215．在直角三角形中，,对平面内的任一点，平面内有一点使得，则．24．若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a +b ，2a +2b +2c =2a +b +c ，则c 的最大值是．12.若对∀x ，y ∈[0，＋∞)，不等式4ax ≤e x ＋y －2＋e x －y －2＋2恒成立，则实数a 的最大值是( ) A.14B.1C.2D.127．若a ≥0，b ≥0，且当时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P（a ，b ）所形成的平面区域的面积是（） A ． B ．C ．1D ．8．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A={（x ，y ）|x +y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B={（x +y ，x ﹣y ）|（x ，y ）∈A }的面积为（） A ．2B ．1C ．D ．16．设为数列的前项和,已知,对任意,都有，则的最小值为 .10.如图所示，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积是（） A ．23B ．43 C ．83D ．411.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，2BM =，AM AB AC =-，则ABC ∆的面积的最大值为（）A.12.已知方程2ln =ln x ax x x x+-有三个不同的实根123x x x ，，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln (1)(1)(1)x x x x x x ---的值为（） A ．1B ．1a - C ．1a -D ．1-16.设数列{}n a （1n n N ≥∈，）满足12a =，26a =，且21122n n n n s a s a ++++=++，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则12320182018201820182018a a a a ⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦……=__________.16. 在数列{}n a 中，11a =，3212223a a a +++ (2)n n a a n+=（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式n a =．16.数列{}n a 满足132a >，211n n n a a a +=-+，且2017112i ia ==∑，则201814a a -的最大值为．9. 已知函数若存在，当时，，则的取值范围是（）A．1)2B ．1[,1)2 C． D．1)2 10. 已知函数⎩⎨⎧>≤+=.0,ln ,0,1)(x x x kx x f 则下列关于函数[]1)(+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（）A. 当0>k 时，有3个零点；当0<k 时，有2个零点B. 当0>k 时，有4个零点；当0<k 时，有1个零点C. 无论k 为何值，均有2个零点D. 无论k 为何值，均有4个零点111,[0,)22()12,[,2)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩12,x x 1202x x ≤<<12()()f x f x =12()x f x21.（本题满分14分）已知函数xa x x f ln )()(2-=（其中a 为常数）.(Ⅰ)当0=a 时，求函数的单调区间；(Ⅱ) 当10<<a 时，设函数)(x f 的3个极值点为321x x x ，，，且321x x x <<.证明：ex x 231>+.21. 理科：解：(Ⅰ) xx x x f 2ln )1ln 2()('-=令0)('=x f 可得e x =.列表如下:单调减区间为()1,0,e ,1;增区间为(+∞,e .------------5分(Ⅱ)由题，xx a x a x x f 2ln )1ln 2)(()('-+-=对于函数1ln 2)(-+=x a x x h ，有22)('x ax x h -= ∴函数)(x h 在)2,0(a 上单调递减，在),2(+∞a上单调递增∵函数)(x f 有3个极值点321x x x <<，从而012ln2)2()(min <+==aa h x h ，所以ea 2<，当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ，∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ，此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xax x h 的两个零点，————9分即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+01ln 201ln 23311x ax x ax ，消去a 有333111ln 2ln 2x x x x x x -=-令x x x x g -=ln 2)(，1ln 2)('+=x x g 有零点ex 1=，且311x ex <<∴函数x x x x g -=ln 2)(在)1,0(e上递减，在),1(+∞e上递增要证明ex x 231>+⇔132x ex ->⇔)2()(13x eg x g -> ()()31x g x g = ∴即证0)2()()2()(1111>--⇔->x eg x g x eg x g构造函数())2()(x e g x g x F --=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛e F 1 =0 只需要证明]1,0(ex ∈单调递减即可.而()2)2ln(2ln 2+-+='x ex x F ，()0)2()22(2''>--=x ex x ex F ()x F '∴在]1,0(e 上单调递增, ()01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<'∴e F x F ∴当10<<a 时，ex x 231>+.————————１４分15．已知函数f （x ）=alnx ﹣ax ﹣3（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g （x ）=x 3+x 2（f'（x ）+）在区间（t ，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；（Ⅲ）求证：×××…×＜（n ≥2，n ∈N *）．【解答】解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴20.（本小题满分12分）已知椭圆2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是12，过点(02P ，的动直线l 与椭圆相交于A B ，两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆截得的线段长为（1F ，2F 分别为左，右焦点）（1）求椭圆的标准方程；（2）过2F 的直线'l 交椭圆于不同的两点M N ，，则1F MN ∆内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线'l 方程；若不存在，请说明理由。