时程分析法

（1 ）
f s / x = k = tgα & f D / x = c = tg β
[ 非线性问题： 非线性问题： C ], [ K ] 为时变矩阵
fs
fD
α
x (t )
β
& x (t )
fD
fs
& x (t )
x(t )
2.增量平衡方程 2.增量平衡方程
{ f I (t )} + { f D (t )} + { f s (t )} = {P(t )}
2
2
（5 ）
t时刻的加速度：
x x {&&( t )} = {&&( t )} +
i
x {∆&&}i ∆t
( t − ti )
2∆t
（4 ）
t时刻的速度：
& & x { x ( t )} = { x ( t )} + {&&( t )} ( t − t ) +
i i i
x {∆&&}i
( t − ti )
& & & x x x {∆&&( t )} = {&&( t + ∆t )} − {&&( t )} {∆x ( t )} = { x ( t + ∆t )} − { x ( t )}
{∆x ( t )} = {x(t + ∆t )} − {x(t )}
∆P(t ) = P(t + ∆t ) − P(t )
x x ∫ {&&(τ )} dτ = ∫ {&&( t )} dτ + ∫
t t ti ti i t ti
(τ − ti ) dτ
2 t ti
∆&&i x
ti t t i + ∆ t
& { x (τ )}
t ti
= { && ( ti )} ( t − ti ) + x
x {∆&&}i 2∆t
(τ − ti )
& [ M ]{∆&&(t )} + [C (t )]{∆x(t )} + [ K (t )]{∆x(t )} = {∆P(t )} x
----增量方程(3) ----增量方程(3) 增量方程
方程左边的力增量表达式是近似的！ 方程左边的力增量表达式是近似的！
非线性地震反应分析的逐步积分法
Newmark－β法 线性加速度法： ∆t时间间隔内加速度线性变化假定 平均加速度法： ∆t时间间隔内加速度为常数假定 Wilson－θ法
时程分析法
1.运动方程 1.运动方程
& [ M ]{&&(t )} + [C (t )]{ x(t )} + [ K (t )]{ x(t )} = −[ M ]{1} &&g x x
{ f I (t )} + { f D (t )} + { f s (t )} = {P(t )}
[ 线性问题： 线性问题： C ], [ K ] 为常数矩阵
x {∆&&}i 2∆t x {∆&&}i 2∆t
& & x { x ( t )} − { x ( ti )} = {&&( ti )} ( t − ti ) + & & x { x ( t )} = { x ( ti )} + {&&( ti )} ( t − ti ) +
( t − ti ) ( t − ti )
df c (t ) = D & dx t
f D (t + ∆ t )
fD
斜 率 c (t )
f D (t )
& ∆x
& x (t )
∆f D
df D & ∆x & dx
{∆f s (t )} = { f s (t + ∆t )} − { f s (t )} ≈ [ K (t )]{∆x(t )}
df k (t ) = s dx t
& x (t ) & x(t + ∆t )
df s ∆x dx
f s 斜率k (t )
f s (t + ∆t )
f s (t )
∆x
x(t )
∆f s
结构在t 结构在t时刻的刚度矩阵 由t时刻结构各构件的切线t )
x x x {∆f I (t )} = { f I (t + ∆t )} − { f I (t )} = [ M ] ({&&(t + ∆t )} − {&&(t )} ) = [M ]{∆&&(t )}
{∆f D (t )} = { f D (t + ∆t )} − { f D (t )} & ≈ [C (t )]{∆x(t )}
3.线性加速度法 3.线性加速度法 假定∆t时间间隔内加速度线性变化 在 ti 至 ti + ∆t 间间隔内t时刻的加速度为
x x {&&( t )} = {&&( t )} +
i
x {∆&&}i ∆t
x {∆&&}i ∆t
( t − ti )
&&( t ) x
（4 ）
对(4)式积分求t时刻的速度：
t + ∆t 时刻： 时刻：
（1 ） （2 ）
{ f I (t + ∆t )} + { f D (t + ∆t )} + { f s (t + ∆t )} = {P(t + ∆t )}
{∆f I (t )} + {∆f D (t )} + {∆f s (t )} = {∆P(t )}
将(1),(2)两式相减： (1),(2)两式相减： 两式相减
2
（5 ）
对(5)式积分求t时刻的位移： x x {&&( ti )} t − t 2 + {∆&&}i t − t 3 （6） & ( ti )} ( t − ti ) + ( i) ( i) { x ( t )} = { x ( ti )} + { x
2 6 ∆t
ti + ∆t 时刻的位移向量为：
& { x ( ti + ∆t )} = { x ( ti )} + { x ( ti )}
df c (t ) = D & dx
f D (t + ∆ t )
fD
斜 率 c (t )
f D (t )
& ∆x
& x (t )
∆f D
df D & ∆x & dx
& x (t ) & x(t + ∆t )
{∆f I (t )} + {∆f D (t )} + {∆f s (t )} = {∆P(t )}
令
x x x {∆f I (t )} = { f I (t + ∆t )} − { f I (t )} = [ M ] ({&&(t + ∆t )} − {&&(t )} ) = [M ]{∆&&(t )}
{∆f D (t )} = { f D (t + ∆t )} − { f D (t )} & ≈ [C (t )]{∆x(t )}