空间向量的数乘运算p
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
空间向量及其运算 课件
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？ (2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形 ABCD 满足什么条件
时，才有A→B＋A→D＝A→C？ 【自主解答】 ①正确；②正确，因为A→C与A→1C1的大小
和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的 方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，
2．共面向量 (1)定义：平行于__同__一__个__平__面___的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使_p_＝__x__a_＋__y_b__.
推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 序实数对(x，y)，使_A→_P__＝__x_A→_B_＋__y_A→_C__；或对空间任一定点 O，
才有A→B＋A→D＝A→C.
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向 量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任 何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？
3.1空间向量及其运算
当堂自测
4．已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若 1→ 2→ → → 确定的点 P 与 A，B，C 共面，则 由向量OP＝ OA＋ OB＋λOC 5 3 2 λ＝________ ． 15
向量概念的应用
例 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( D ) A．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 → ，CD → 满足|AB → |>|CD → |，则AB → >CD → C．若向量AB → 与CD → 满足AB → ＋CD → ＝0，则AB → ∥CD → D．若两个非零向量AB
范老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶 2 000 m， 再向西行驶 2 500 m， 最后乘电梯上升 30 m 到 10 楼的住处． 在 这个过程中， 范老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是 三个位移的合成(如图所示)，它们是不在同一平面内的位移．如 何刻画这样的位移呢？
复习与预习
当堂自测
1．在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交 → → → 点．若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列 → 向量中与B 1M相等的向量是 ( A ) 1 1 1 1 A．－ a＋ b＋c B． a＋ b＋c 2 2 2 2 1 1 1 1 C． a－ b＋c D．－ a－ b＋c 2 2 2 2
[解析] (2)若 2ke1－e2 与 e1＋2(k＋1)e2 共线， 则 2ke1－e2＝λ[e1＋2(k
2k＝λ， 1 ＋1)e2]，∴ ∴k＝－ . 2 －1＝2λ（k＋1），
[小结 ] 可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线， 这 与利 用平 面向量 基本 定理 判断平 面内 三点共 线是 相似 的．结合共线向量的有关知识可知，要证空间中 E， F， B 三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可： → → → → → → → → (1)EB＝mEF；(2)AB＝AE＋λEF；(3)AB＝nAE＋(1－n)AF.
空间向量及其运算(内容详细,题目典型,适合新授课)
即： (a b) a b （ ） a a a ( )a ( )a
四、空间向量加法与数乘向量运算律
化简( AB CD) ( AC BD)
解： 方法一： 将减法转化为加法进行 化简 AB CD AB DC ( AB CD ) ( AC BD) AB DC AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA AD DA 0
五、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
你能对（3）（4）结论进行推广吗？
四、空间向量加法与数乘向量运算律
A1 A2 A2 A3 An 1 An _____ A1 An
(3) A1 A2 A2 A3 A3 A4 A1 A4
A1 An A2 A3
An－1
…
A 4 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量．
B
b
a
O
A
O′
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 内，成为同一平面内的两个向量。
一、空间向量的基本概念
说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 中有关结论仍适用于它们。
一、空间向量的基本概念
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21
解析:(2)①( AB + BC )+ CC1 = AC + CC1 = AC1 ; ②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 = AD1 + D1C1 = AC1 ; ③( AB + BB1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 ; ④( AA1 + A1B1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 .
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的 概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共 面向量定理及推论.
自主学习 课堂探究
知识探究
自主学习
1.空间向量及其长度的定义 与平面向量一样,在空间,我们把 具有大小和方向的量 叫做空间向量,
解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.
2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是
(D)
(A)a=b
(B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同
(D)|a|=3
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
(A) OM =3 OA -2 OB - OC (B) OM + OA + OB + OC =0
高二数学选修2-1 空间向量的运算及空间向量的基本定理(精品)知识精讲
高二数学选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理 北师大版（理） 【本讲教育信息】 一、教学内容：选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标：1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。
2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。
3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。
4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。
三、知识要点分析：（一）平面向量与空间向量的相同点：1. 向量夹角：过空间一点O 作AOB ,OB b ,OA a ∠==则是向量a 与向量b 的夹角。
X 围：[0，]π2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则） 运算律：结合律：)()(c b a c b a ++=++，交换律：a b b a +=+3. 数乘运算法则：向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作：a λ，满足（i ）||||λλ=a ||a ，（ii ）当0>λ时，a λ与a 方向相同，反之，相反。
0a 0=λ=λ时，。
运算律：（i ）).(,R a a ∈=λλλ（ii ）)R ,(,a a a )(,b a )b a (∈μλμ+λ=μ+λλ+λ=+λ.（iii ）),(),()(R a a ∈=μλμλλμ4. 空间向量的数量积：θ⋅=⋅cos |b ||a |b a 。
θ>=<b a ,。
运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅分配律：c a b a )c b (a ⋅+⋅=+⋅，(λ)b a ⋅=b )a (⋅λ)b (a λ⋅=性质：（1）a a |a |⋅，（2）0b a b a =⋅⇔⊥，（3）|b ||a ||b a |⋅≤⋅注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-1精讲优练_3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算
【方法技巧】 证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点 共线. (1)存在实数λ ,使 PA PB 成立.
(2)对空间任一点O,有 OP OA tABt R. (3)对空间任一点O,有 OP xOA yOBx y 1.
【变式训练】 已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任意一点,若 OC mOA nOB，求m+n的值.
且
A1E
2ED1，点F在对角线A1C上,且
A1F
2 3
FC. 求
证:E,F,B三点共线.
【证明】设 AB a，AD b，AA1 c.
因为
A1E
2ED1，A1F
2 3
FC，
所以
A1E
2 3
A1D1，A1F
2 5
A1C，
所以
A1E
2 3
AD
2 3
b，
A1F
OP OA n OB OA AP nAB.
因为 AB≠0,所以 AP和AB 共线,即点A,P,B共线.
2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M,N分别是A1B,B1C1 上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设 AB =a, AC =b,AA1=c, 则MN=________(用a,b,c表示).
2
【延伸探究】本题条件不变,若 PA＝xPO＋yPQ＋PD. 求 x,y的值. 【解析】因为O为AC的中点,Q为CD的中点, 所以 PA＋PC＝2PO，PC＋PD＝2PQ, 所以 PA＝2PO－PC，PC＝2PQ－PD.
从而有 PA＝2PO－(2PQ－PD)＝2PO－2PQ＋PD. 所以x=2,y=-2.
空间向量加减运算和数乘运算
ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
ur
r b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
r
Aa
B
p
P
如图r ,r平面 为经过已知点 A 且平行两不共线的非零向 量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P 呢?
uuur r r ⑴∵ AP与a 、b 共面,
ur
r b
C
r
Aa
B
p
uuur
P
rr
∴ 唯一有序实数对(x, y),
段互相平行或重合；
r
r
实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量.
r
r
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同;
r
r
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
r
⑶当 0 时, a 是零向量.
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c)
数乘分配律： (a b) a＋b 数乘结合律： (a) ()a
⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法：
b
a
a
平行四边形法则 ⑵向量的减法
三角形法则(首尾相连)
三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
推广:
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
11
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
uuur uuur uuur uuur
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
空间向量的数乘运算
O C
D BA OC OD OE c p OB
作 AB // b, BD // a, BC // c
xa yb zc
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a , b, c
即，P、A、B、C四点共面。
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
17
试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC (1 z)OA 可变形为 OP y yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP yAB z AC
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
6
空间向量的加减法
C a
+
b
B
b
O
A
a
OB OA AB CA OA OC
A
D
F
B
E
C
10
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
空间向量及其加减、数乘运算
A1C , BD1, DB1 .
D1
C1
A1C AB AD AA1
Hale Waihona Puke A1B1BD1 AA1 AD AB
DB1 AB AA1 AD
D
C
始点相同的三个不共A面向量之和，B 等于以 这三个向量为棱的平行六面体的以公共始 点为始点的对角线所示向量
向量的数乘运算
在平面上，实数 与向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，
(C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线
(D)若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.已知点M在平面ABC内，并且对平面ABC外任意一点
O，OM
xOA
＋
1 3
OB ＋
1 3
OC
, 则x的值为(
1
D
)
( A)1
(B) 0
(C)3 (D)
3
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，MC=2AM，A1N=2ND，
O
O
a a
b +c
A
CA
C
bBc
bBc
空间向量加法结合律
(a O b) c a (b c)O
a
a
b +c
A b
B
C c
A b
C Bc
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量a 平移到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，用 AB, AD, AA1 表示
在一的有序实数组x, y, z 使 p xa yb zc .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B b M a A
p
A
P
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有OP OM xMA yMB
下列命题中正确的有：
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量 a 叫做直线 的方向向量. P
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
a b a
向量减法的三角形法则
ka ka
(k>0) (k<0)
向量的数乘
平面向量
概 念
具有大小和方向的量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 数乘 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律
ab ba
加法交换律 加法结合律
ab ba
加法结合律 (a b) c a (b c) 数乘分配律
(a b) c a (b c)
k (a b) k a＋k b 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
C是否共面？
例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
(2) OP 4OA OB OM
(1) p xa yb p与 a 、 b 共面 ; (2) p 与 a 、 b 共面 p xa yb ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
注意：
空间四点P、M、A、B共面 存在唯一实数对 （x , y ） , 使得MP xMA yMB OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
空间向量的数乘运算
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
例3 对空间任意一点O和不共线的三点
A、B、C，试问满足向量关系式
OP xOA yOB zOC
（其中 x y z 1）的四点P、A、B、
(k>0)
空间向量的数乘
(k<0)
K=0?
0
平面向量
概 念
具有大小和方向的量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或平行四边形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 减法:三角形法则 数乘 数乘:ka,k为正数,负数,零 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律
ab ba
加法结合律 (a b) c a (b c) 数乘分配律
k (a b) k a＋k b
C
a b
O
+
A
b
B
空间向量的加减
a
ka ka
OB OA AB CA OA OC
a
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
若P为A,B中点, 1 则 OP OA OB 2
O
B A
1.下列说明正确的是： A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
例1 已知A、B、P三点共线，O为空间任
意一点，且OP OA OB，求 的值.
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理 : 如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要 条件是存在实数对x, y 使P xa yb