高一数学必修1(北师大版)同步练习3-4
高一数学必修1(北师大版)同步练习1-3-2
1-3-2 全集与补集基础巩固一、选择题1．(2011·江西文)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析]本题主要考查集合的运算．(∁U M)∩(∁U N)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}．2．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁M)∩N等于()RA．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}[答案] A[解析]∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁R M＝{x|x>2或x<－2}，∴(∁M)∩N＝{x|x<－2}．故选A.R3．(2012·宜昌测试)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] A[解析]全集U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}，∴∁U(A∩B)中的元素共有3个，故选A.4．设集合A、B都是全集U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，则A＝()A．{1,2} B．{2,3} C．{3,4} D．{1,4}[答案] C[解析]排除法：∵(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，∴2∈(∁U A)，∴2∉A，排除选项A、B.又∵(∁U A)∩B＝{1}，∴1∈(∁U A)，∴1∉A.排除D，故选C.5．如图阴影部分可表示为()A．(A∪B)∩∁U(A∩B) B．∁U(A∪B)C．∁U(A∩∁U B) D．[∁U(A∪B)]∪(A∩B)[答案] D[解析]结合V enn图及集合的运算可得正确选项．6．(2010·陕西)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}[答案] D[解析]∵B＝{x|x<1}，∴∁R B＝{x|x≥1}，∴A∩(∁R B)＝{x|1≤x≤2}，故选D.二、填空题7．已知集合A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1,1，－3,3}，∁U B＝{－1,0,2}，则集合B＝________.[答案]{1,4,6，－3,3}[解析]∵∁U A＝{－1,1，－3,3}，∴U＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}，又∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝{1,4,6，－3,3}．8．已知全集U＝R，M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤0}，则∁U M与∁U N 的包含关系是________．[答案]∁U M ∁U N[解析]∵M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤0}，∴∁U M＝{x|x≥2}，∁U N＝{x|x>0}．借助数轴，∴对任意x∈∁U M，必有x∈∁U N.又1∈∁U N但1∉∁U M，∴∁U M ∁U N.三、解答题9．设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，当a为何值时，(1)A∩B≠∅；(2)A∩B＝A；(3)A∪(∁R B)＝∁R B.[解析](1)A∩B≠∅，因为集合A的区间长度为3，所以由图可得a<－1或a＋3>5解得a <－1或a >2，∴当a <－1或a >2时，A ∩B ≠∅. (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .由图得a ＋3<－1或a >5.即a <－4或a >5时，A ∩B ＝A .(3)由补集的定义知：∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}，∵A ∪(∁R B )＝∁R B ， ∴A ⊆∁R B .由右图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1a ＋3≤5，解得：－1≤a ≤2.能 力 提 升一、选择题1．(2011·安徽文)集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,4,5}，T ＝{2,3,4}，则S ∩(∁U T )等于( )A ．{1,4,5,6}B ．{1,5}C ．{4}D ．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 该题考查集合交集与补集运算，属基础保分题． ∁U T ＝{1,5,6}，∴S ∩(∁U T )＝{1,5}．2．如图所示，用集合A 、B 及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是( )A．(A∪B)∩(A∩B)B．∁U(A∩B)C．[A∩(∁U B)]∪[(∁U A)∩B]D．∁U(A∪B)∩∁U(A∩B)[答案] C[解析]阴影有两部分，左边部分在A内且在B外，转换成集合语言就是A∩(∁U B)；右边部分在B内且在A外，转换成集合语言就是(∁U A)∩B.故选C.二、填空题3．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，B ∁R A，实数a 的取值范围为________．[答案]a≥－1[解析]∵A＝{x|x>1}，如图所示，∴∁R A＝{x|x≤1}．∵B＝{x|x<－a}，要使B ∁R A，则－a≤1，即a≥－1.4．设全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或2≤x<3}，B＝{x|－2≤x<4}，则(∁U A)∪B＝__________.[答案]{x|x≥－2}[解析]由数轴得，∁U A＝{x|－1≤x<2或x≥3}，再由数轴得，(∁U A)∪B＝{x|x≥－2}．三、解答题5．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，集合A＝{1，|2x－1|}，如果∁U A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．[解析]∵∁U A＝{0}，∴0∈U，但0∉A，∴x3＋3x2＋2x＝0，∴x(x＋1)(x＋2)＝0，∴x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，故舍去；当x＝－1时，|2x－1|＝3，而3∈U，故成立；当x＝－2时，|2x－1|＝5，而5∉U，故舍去，综上所述，实数x存在，且它只能是－1.6．(2012·驻马店高一月考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}．A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n 的值．[解析]∵U＝{1,2,3,4,5}，(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}，∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，得m＝6且A＝{2,3}，∴∁U A ＝{1,4,5}， 而(∁U A )∪B ＝{1,3,4,5}，∴3∈B ，又B ＝{x |x 2＋nx ＋12＝0}，∴3一定是关于x 的方程x 2＋nx ＋12＝0的一个根， ∴n ＝－7且B ＝{3,4}，∴m ＋n ＝－1.7．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}，(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围；(3)若U ＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵A ＝{1,2}，A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件． 综上，a 的值为－1或－3；(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝4(2a ＋6)， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅，满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}．由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎨⎧a ＝－52a 2＝7，矛盾；综上，a 的取值范围是a ≤－3；(3)∵A ∩∁U B ＝A ，∴A ⊆∁U B ，∴A ∩B ＝∅； ①若B ＝∅，则Δ<0⇒a <－3适合；②若B≠∅，则a≥－3，此时1∉B且2∉B；将x＝2代入B的方程得a＝－1或a＝－3；将x＝1代入B的方程得a2＋2a－2＝0⇒a＝－1±3；∴a≠－1且a≠－3且a≠－1±3.综上，a的取值范围是a<－3或－3<a<－1－3或－1－3<a<－1或－1<a<－1＋3或a>－1＋ 3.。
高中数学 3.4.2 换底公式练习 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题
【优化课堂】2016秋高中数学 3.4.2 换底公式练习 北师大版必修1[A 基础达标]1．式子log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118C.83D.38解析：选C.原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.故选C.2．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为() A ．a －b B.a bC ．abD ．a ＋b解析：选B.因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝a b .3．已知2x ＝3y ≠1，则x y ＝( )A ．lg 23B ．lg 32C ．log 32D ．log 23解析：选D.令2x ＝3y ＝k (k >0且k ≠1)，所以x ≠y ≠0，x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，故x y ＝log2klog 3k ＝log k 3log k 2＝log 23.4．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19C ．25 D.125解析：选D.由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lgx lg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.5．若2.5x ＝1 000，0.25y ＝1 000，则1x －1y＝( ) A.13B ．3C ．－13D ．－3解析：选A.因为x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，所以1x ＝1log 2.51 000＝log 1 0002.5， 同理1y ＝log 1 0000.25，所以1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝lg 10lg 1 000＝13. 6．计算：2723－2log 23×log 218＋log 23×log 34＝________． 解析：原式＝33×23－3×log 22－3＋log 23(2log 32)＝9＋9＋2＝20. 答案：207．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b＝________． 解析：因为2a ＝3b＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36，所以1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 66＝1. 答案：1 8．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 210－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 210＝________． 解析：因为lg x －lg y ＝a ，所以lg x y ＝a ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 210－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 210＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＝10lg x y ＝10a .答案：10a9．常用对数lg N 和自然对数ln N 之间可以互相转换，即存在实数A ，B 使得lg N ＝A ·ln N ，ln N ＝B ·lg N ．试求A 、B 的值．解：因为lg N ＝ln N ln 10，所以A ＝1ln 10＝lg e ，因为ln N ＝lg N lg e ，所以B ＝1lg e＝ln 10. 10．解不等式9log 3x －7log 49x 2－12>0.解：因为9log 3x ＝(32)log 3x ＝32log 3x ＝3log 3x 2＝x 2，又log 49x 2＝log 7x 2log 749＝log 7x ，所以7log 49x 2＝7log 7x ＝x . 所以原不等式可化为x 2－x －12>0.解得x >4或x <－3.因为真数大于0，故原不等式的解集为{x |x >4}．[B 能力提升]1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：选B.对A ，log a b ·log c b ＝lg b lg a ·lg b lg c≠log c a ，A 不恒成立；对B ，log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝log c b ，B 恒成立；对C ，log a (bc )＝log a b ＋log a c ≠log a b ·log a c ，C 不恒成立；对D ，log a b ＋log a c ＝log a (bc )≠log a (b ＋c )．故选B.2．若函数y ＝2x ，y ＝5x 与直线l ：y ＝10的交点的横坐标分别为x 1和x 2，则1x 1＋1x 2＝________．解析：因为2x 1＝10，x 1＝log 210，5x 2＝10，x 2＝log 510，所以1x 1＋1x 2＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝1. 答案：13．已知a ，b ，c 都是大于1的正数，m >0，且log a m ＝24，log b m ＝40，log abc m ＝12，求log c m 的值．解：因为log a m ＝24， log b m ＝40，log abc m ＝12，所以log m a ＝124，log m b ＝140，log m (abc )＝112. 因为log m (abc )＝log m a ＋log m b ＋log m c ，所以log m c ＝112－124－140＝160. 所以log c m ＝1log m c＝60. 4．(选做题)已知x ， y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z，2x ＝py .(1)求p 的值；(2)证明：1z －1x ＝12y. 解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py 得：2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34， 因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32.(2)证明：因为1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y. 所以原式得证．。
数学试题-北师大版必修1-第四章小节练习
第四章 4.1.1A 级 基础巩固1．函数y ＝x 2－5x ＋6的零点是( A ) A ．2,3 B ．－2，－3 C ．1,6D ．－1，－6[解析] 由x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或3，所以y ＝x 2－5x ＋6的零点是2,3，故选A ． 2．函数f(x)＝x 3＋x －1的零点所在的区间是( C ) A ．(32，2)B ．(1，32)C ．(12，1)D ．(0，12)[解析] 因为f(12)·f(1)＝－38×1＝－38<0，且函数f(x)在R 上连续，所以函数f(x)＝x 3＋x －1的零点所在区间是(12，1)．3．若方程2ax 2－x －1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是( D ) A ．a<－1 B ．－1<a<1 C ．0≤a<1D ．a>1[解析] 令f(x)＝2ax 2－x －1，因为方程f(x)＝0在区间(0,1)内恰有一解，所以函数f(x)在区间(0,1)内恰有一个零点． 所以f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0. 所以a>1.故选D ．4．函数f(x)＝x 3－2x 2＋2x 的零点个数为( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] ∵f(x)＝x 3－2x 2＋2x ＝x(x 2－2x ＋2)， 又x 2－2x ＋2＝0，Δ＝4－8<0，∴x 2－2x ＋2≠0，∴f(x)的零点只有1个，故选B ．5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3(x≤0)－2＋x 2(x>0)的零点个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 令f(x)＝0，则x 2＋2x －3＝0(x≤0)或x 2－2＝0(x>0)， 解得：x ＝－3或x ＝2符合题意，故选B ．6．(2019·山东临沂高一期末测试)函数f(x)＝lnx ＋12x －2有零点的一个区间是( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] f(1)＝12－2＝－32<0，f(2)＝ln2＋1－2＝ln2－1<0， f(3)＝ln3＋32－2＝ln3－12>0.∴f(2)·f(3)<0，故选C ．7．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f(x)＝c(c ∈R)有两个实根m ，m ＋6，则实数c 的值为9.[解析] 由函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)知方程x 2＋ax ＋b ＝0有两相等实根，从而Δ＝a 2－4b ＝0，①，方程f(x)＝c 可化为x 2＋ax ＋b －c ＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－am (m －6)＝b －c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2m －6b ＝m 2－6m ＋c，代入①，得(－2m －6)2－4(m 2－6m ＋c)＝0， 整理，得c ＝9.8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x≤0)2 (x>0)，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数是3.[解析] 由已知⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝24－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 (x≤0)2 (x>0)，作图像如图所示．由图像可知f(x)＝x 的解的个数为3.9．若函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点． [解析] 由已知方程得x 2－ax －b ＝0的两根为2和3.∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a 2×3＝－b，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g(x)＝－6x 2－5x －1.令－6x 2－5x －1＝0得6x 2＋5x ＋1＝0， ∴x ＝－12或x ＝－13.∴函数g(x)＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.10．已知二次函数f(x)＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5. (1)当函数f(x)有两个不同零点时，求k 的取值范围； (2)若－1和－3是函数的两个零点，求k 的值．[解析] (1)令f(x)＝0，得x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0. 由Δ＝(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)＝－3k 2－16k －16>0， 知3k 2＋16k ＋16<0，即(3k ＋4)(k ＋4)<0，∴－4<k<－43.∴当函数有两个不同零点时，k 的取值范围为(－4，－43)．(2)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2(－1)×(－3)＝k 2＋3k ＋5，解之得k ＝－2.B 级 素养提升1．已知函数f(x)＝6x－log 2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析] 因为f(1)＝6－log 21＝6>0，f(2)＝3－log 22＝2>0，f(4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C ．2．若函数f(x)＝a x－x －a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a 的范围是( A ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(2，＋∞)D ．(0,1)∪(1,2)[解析] 令y 1＝a x ，y 2＝x ＋a ，则f(x)＝a x－x －a 有两个零点，即函数y 1＝a x与y 2＝x ＋a 有两个交点． (1)当a>1时，y 1＝a x过(0,1)点，而y 2＝x ＋a 过(0，a)点，而(0，a)点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．(2)当0<a<1时，(0，a)点在(0,1)点下方，由图像知只有一个交点．∴a 的取值范围为a>1.3．关于x 的方程mx 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根，则m 的范围为m≤1. [解析] ①m ＝0时，x ＝－12适合题意．②m≠0时，应有m<0或⎩⎪⎨⎪⎧m>0－22m <0，Δ≥0解得m<0或0<m≤1.综合①②可得，m≤1.4．方程lgx ＋x ＝0的实数解的存在区间为(110，1).[解析] 令f(x)＝lgx ＋x ，则f(110)＝lg 110＋110＝－910<0，f(1)＝lg1＋1＝1>0.∴f(110)f(1)<0.而f(x)＝lgx ＋x 在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)仅有一个零点，且在(110，1)内．5．设函数f(x)＝ax ＋2a ＋1(a≠0)在[－1,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围． [解析] 因为函数f(x)在[－1,1]上存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0f (1)≥0.即f(－1)·f(1)≤0.所以(－a ＋2a ＋1)·(a＋2a ＋1)≤0， 即(a ＋1)(3a ＋1)≤0.解得－1≤a≤－13.6．讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由． [解析] 令f(x)＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x －15在[1,2]上都为增函数． ∴f(x)＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0， ∴f(x)＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解．C 级 能力拔高求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点． [解析] (1)当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2； (2)当a≠0时，令y ＝0得x ＝1a 或x ＝－2.①当a ＝－12时，函数的零点为－2；②当a≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：当a ＝0或－12时，零点为－2；当a≠0且a≠－12时，零点为1a ，－2.第四章 4.1.2A级基础巩固1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上( B )A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点[解析]∵f(x)＝－(x－2)2＝0，∴x＝2∈[1,3]，故选B．2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是不间断的，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在该区间上( D ) A．只有一个零点B．有二个零点C．不一定有零点D．至少有一个零点[解析]若y＝f(x)在[a，b]上单调，f(a)·f(b)<0说明只有一个零点且为变号零点．若不单调，零点个数有可能多于一个．故选D．3．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上( C )A．有3个零点B．有2个零点C．有1个零点D．没有零点[解析]∵f(0)＝1>0，f(1)＝0，f(2)＝3>0，∴有一个零点．4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( C )[解析]A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在x轴下方没有图像，故选C．5．已知连续函数y＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(a<b)，则y＝f(x)( B )A．在区间[a，b]中可能没有零点B．在区间[a，b]中至少有一个零点C．在区间[a，b]中零点的个数为奇数D．在区间[a，b]中零点的个数为偶数[解析] 因为f(a)·f(b)<0，所以由函数零点的性质判断，得f(x)在区间[a ，b]中至少存在一个零点．6．设f(x)＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0，在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( A )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定[解析] ∵f(1.5)>0，f(1.25)<0， ∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A ．7. 若函数y ＝mx 2＋x －2没有零点，则实数m 的取值范围是(－∞，－18).[解析] 当m ＝0时，函数有零点，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m≠0Δ＝1＋8m<0，解得m<－18.8．已知函数f(2x)＝3x 2＋1，则f(x ＋5)有0个零点． [解析] ∵f(2x)＝3x 2＋1，∴f(x)＝3x24＋1，∴y ＝f(x ＋5)＝3x ＋524＋1，令y ＝0，方程无解． 即f(x ＋5)无零点．9．求证：方程5x 2－7x －1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上． [解析] 设f(x)＝5x 2－7x －1， 则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0， f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0. 而二次函数f(x)＝5x 2－7x －1是连续的， ∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x 2－7x －1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上． 10．求函数y ＝x 3－4x 的零点，并画出它的图像． [解析] ∵x 3－4x ＝x(x 2－4)＝x(x －2)(x ＋2)，∴函数y ＝x 3－4x 的零点为0，－2,2，这三个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这4个区间内，取x 的一些值(包括零点)．列出这个函数的对应值表： x … －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1 2 2.5 … y…－5.62531.875－1.875－35.625…B级素养提升1．根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋2)＝0(e≈2.7)的一个根所在的区间是( C )x －1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.09x＋2 1 2 3 4 5A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)[解析]判断e x－(x＋2)＝0的一个根所在的区间转化为f(x)＝e x－(x＋2)零点的位置，∵f(1)＝e1－(1＋2)<0，f(2)＝7.39－4>0.∴零点在(1,2)内．2．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( C )A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点[解析]如图，若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)如图(1)或图(2)所示，可知A错，若如图(3)所示，可知B错、D错，C对．3．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下的对应值表：x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 则下列判断正确的是(1)(2)(3).(1)函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点；(2)函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点；(3)函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点；(4)函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．[解析]观察对应值表，不难得到f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)，(2,3)，(5,6)内至少各有一个零点．而(－1,7)内至少有三个零点．故应填(1)(2)(3)．4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a x ＜14x －ax －2a x≥1.①若a ＝1，则f(x)的最小值为－1；②若f(x)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是12≤a<1或a≥2.[解析] ①a ＝1时f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1x<14x －1x －2x≥1.函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，函数值大于1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞为增函数，当x＝32时，f(x)取得最小值为－1. ②若函数f(x)＝2x－a 在x<1时与x 轴有一个交点，则a>0，并且当x ＝1时，f(1)＝2－a>0，则0<a<2，函数f(x)＝4(x －a)(x －2a)与x 轴有一个交点，所以2a≥1且a<1⇒12≤a<1；若函数f(x)＝2x－a 与x 轴无交点，则函数f(x)＝4(x －a)(x －2a)与x 轴两个交点，当a≤0时f(x)与x 轴无交点，f(x)＝4(x －a)(x －2a)在x≥1与x 轴无交点，不合题意；当f(1)＝2－a≥0时，a≥2，f(x)与x 轴有两个交点，x ＝a 和x ＝2a ，由于a≥2，两交点横坐标均满足x≥1；综上所述a 的取值范围12≤a<1或a≥2.5．图像连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x)148－2273－2－18试判断函数[解析] ∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，函数f(x)图像又是连续不间断的， ∴一定存在x 0∈(2,3)，使f(x 0)＝0， 即f(x)在(2,3)内有零点．同理，f(x)在区间(3,4)，(6,7)，(8,9)上也有零点，而且是变号零点．6．中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？[解析] 取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．C级能力拔高求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1)．[解析]由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：为1.3.第四章 4.2A 级 基础巩固1．一段导线，在0℃时的电阻为2Ω，温度每增加1℃，电阻增加0.008Ω，那么电阻R(Ω)表示为温度t(℃)的函数关系式为( B )A ．R ＝0.008tB ．R ＝2＋0.008tC ．R ＝2.008tD ．R ＝2t ＋0.008[解析] 由题意知电阻R 与温度t 构成一次函数关系，故选B ．2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A ) A ．3 B ．4 C ．6D ．12[解析] 设隔墙的长为x ，则矩形的长为24－4x 2.由24－4x 2＝12－2x>0，得0<x<6.设矩形面积为y ，则y ＝x·24－4x2＝2x(6－x)，0<x<6. 由y ＝2x(6－x)＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，知当x ＝3时，y 最大且y max ＝18.3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m ，则从2018年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是( A )A ．y ＝0.95x50 ·m B ．y ＝(1－0.05x50 )·m C ．y ＝0.9550－x·mD ．y ＝(1－0.0550－x)·m[解析] 设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.95，∴q%＝0.95150 ， 即x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y ＝0.95x50 ·m.4．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( C ) A ．14 400亩 B ．172 800亩 C ．17 280亩D ．20 736亩[解析] 因为年增长率为20%，所以第四年造林为10 000×(1＋20%)3＝17 280(亩)，故选C ．5．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：A ．y ＝log 2(x ＋1)B ．y ＝2x－1 C ．y ＝2x －1D ．y ＝(x －1)2＋1[解析] 代入数值检验，把x ＝2代入可排除A 、B 、C ，把x ＝1,2,3 代入D 选项，符合题意． 6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( B )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年[解析] 设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x ＝log 1.12200130＝lg2－lg1.3lg1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年，选B ．7．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密函数为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是4.[解析] 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6， 故6＝a 3－2，解得a ＝2， 所以加密函数为y ＝2x－2， 因此当y ＝14时，由14＝2x－2， 解得x ＝4.8．已知气压p(hPa)与海拔高度h(m)的关系式为p ＝1 000×(7100)h3000 ，则海拔6 000m 处的气压为4.9hPa.[解析] 把h ＝6 000代入p ＝1 000(7100)h 3000 ，得p ＝4.9.9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂的单价－成本)[解析] (1)当0<x≤100时，P ＝60；当100<x≤500时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x50.所以P ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60(0<x≤100)62－x50(100<x≤500)(x ∈N ＋)．(2)设销售商一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元， 则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x (0<x≤100)22x －x250(100<x≤500)(x ∈N ＋)．当x ＝450时，L ＝5 850，因此，当销售商一次订购450件服装时，该厂获得的利润是5 850元．10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)[解析] 解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.依题意，得2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫237＝1282 187>120，⎝ ⎛⎭⎪⎫238＝2566 561<120，∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 解法2：接解法1：(23)n ≤120，则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)， 即n≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，又n ∈N ＋，∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．B 级 素养提升1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m 2)与时间t(月)的关系：y ＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2； ③浮萍从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m 2、4m 2、8m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1＋t 2＝t 3. 其中正确的是( D ) A ．①② B ．①②③④ C ．②③④⑤D ．①②⑤[解析] 设此指数函数为y ＝a x(a>0且a≠1)， 由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得： a ＝2，∴y ＝2x，故①正确． 当x ＝5时，y ＝25＝32>30，②正确．当y ＝4时，x ＝2，当y ＝12时，x ＝log 212>log 2272 ，从而可知浮萍从4m 2蔓延到12m 2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．把y ＝2,4,8代入y ＝2t分别得t 1＝1，t 2＝2，t 3＝3，故⑤正确．因此选D ． 2．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192h ，在22℃的保鲜时间是48h ，则该食品在33℃的保鲜时间是( C )A ．16hB ．20hC ．24hD ．21h[解析] 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧192＝eb48＝e22k ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b12＝e 11k.于是当x ＝33时，y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝(12)3×192＝24(h)．3．日本东京为成功举办2020年奥运会，决定从2016年底到2019年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2017年底已更新现有总车辆数的百分比约为30.2%(保留3位有效数字)．[解析] 设现有车辆总数为a,2017年底更新了现有总车辆数的百分比为x ，则a·x＋a·x(1＋10%)＋ax(1＋10%)2＝a.∴x(1＋1.1＋1.12)＝1.∴x≈30.2%.4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg 以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室．[解析] 由图像可知，当0≤t<0.1时，y ＝10t ；当t ＝0.1时，由1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，得a ＝0.1，∴当t ＞0.1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t-110 .5．某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A 的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p 元)，并将商品A 的年产销量减少了10p 万件．(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p 的取值范围； (2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p 的值．[解析] 由题意知，当开发费是商品A 的销售金额的p%时，销售量为(80－10p)万件，此时销售金额为80×(80－10p)万元，新产品开发金额f(p)＝80×(80－10p)×p%(万元)．(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧80×(80－10p )×p%≥96，0<p<8，解得2≤p≤6.即新产品开发费不少于96万元时，p 的取值范围为2≤p≤6. (2)当0<p<8时，f(p)＝80×(80－10p)×p% ＝－8(p －4)2＋128. ∴当p ＝4时，f(p)max ＝128.即当p ＝4时，开发金额最多，可达到128万元．6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？[解析] 设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，则窗框总长l ＝πx2＋x ＋2y ，y ＝2l －(2＋π)x 4，由y>0，得x ∈(0，2l π＋2)．S ＝π8x 2＋xy ＝π8x 2＋2l －(2＋π)x4·x＝－4＋π8(x －2l 4＋π)2＋l 22(4＋π)，x ∈(0，2l π＋2)．当x ＝2l 4＋π时，S max ＝l 22(4＋π)，此时，y ＝l 4＋π＝x 2.答：窗户中的矩形高为l 4＋π，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．C 级 能力拔高某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y ＝a·b x＋c(其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．[解析] 设两个函数y 1＝f(x)＝px 2＋qx ＋r(p≠0)；y 2＝g(x)＝a·b x＋c.依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05q ＝0.35r ＝0.7.∴y 1＝f(x)＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f(4)＝1.3(万件)，依题意，也有⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1g (2)＝ab 2＋c ＝1.2g (3)＝ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8b ＝0.5c ＝1.4.∴y 2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4， g(4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．经比较可知，g(4)＝1.35(万件)，比f(4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件． ∴选用y 2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．。
高一数学必修1(北师大版)同步练习2-1、2-2
2-1、2-2 对函数的进一步认识基 础 巩 固一、选择题1．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图像的是()[答案] B[解析] y ＝－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (0≤x ≤2)x (－2≤x <0)中，y ＝－x (0≤x ≤2)是直线y＝－x 上满足0≤x ≤2的一条线段(包括端点)，y ＝x 是直线y ＝x 上满足－2≤x <0的一条线段(包括左端点)，其图像在原点及x 轴的下方，故选B.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x >0)－1(x ＝0)2x －3(x <0)，则f {f [f (5)]}为( )A ．0B ．－1C ．5D ．－5 [答案] D[解析] 根据分段函数解析式可知， f (5)＝0，而f (0)＝－1，f (－1)＝2×(－1)－3＝－5. 故f {f [f (5)]}＝f [f (0)]＝f (－1)＝－5. 3．若f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2，则f (x )＝( ) A ．x 2－2 B ．x 2＋1x 2C ．x 2＋2 D ．x 2－1x 2[答案] A[解析] ∵f (x ＋1x )＝(x ＋1x )2－2， ∴f (x )＝x 2－2.故选A.4．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )A.－1 B [答案] D[解析] 由表中函数值f (3)＝－4，故选D.5．(2011·浙江理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4 D ．－2或2[答案] B[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识． 当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，∴a ＝－4； 当a >0时，f (a )＝a 2＝4，∴a ＝2.综之：a ＝－4或2，选B.6．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于( )A ．－14 B.14 C.32 D ．－32 [答案] A[解析] 令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14.或先求f (x )的解析式，再由f (m )＝6，求m 的值．二、填空题7．已知函数f (x )在[－1,2]上的图像如图所示，则f (x )的解析式为________．[答案]f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 －1≤x ≤0－12x 0<x ≤2[解析] 观察图像，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式．当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1；当0<x ≤2时，f (x )＝－x2.∴f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 －1≤x ≤0－12x 0<x ≤2.8．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为________km ，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km ，那么在t ∈[1,2)时，汽车里程表读数S 与时间t 的函数解析式为________．[答案] 220 S ＝80t ＋1976，且t ∈[1,2)[解析] 前3小时行驶路程为50＋80＋90＝220(km)． ∵t ∈[1,2)时里程表读数S 是时间t 的一次函数，可设为S ＝80(t －1)＋b ，当t ＝1时，S ＝2006＋50＝2056＝b ，∴S ＝80(t －1)＋2056＝80t ＋1976.三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－1)，2x (－1<x <2)，x22(x ≥2).(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫－74；(2)求f (4)；(3)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(4)若f (a )＝3，求a 的值．[解析] (1)∵－74<－1，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－74＝－74＋2＝14.(2)∵4>2，∴f (4)＝422＝8.(3)∵－1<14<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2×14＝12. (4)∵当x ≤－1时，x ＋2≤1；当x ≥2时，x 22≥2； 当－1<x <2时，－2<2x <4，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，2a ＝3，或⎩⎨⎧a ≥2，a 22＝3，∴a ＝32或a ＝ 6.∴a 的值为32或 6.能 力 提 升一、选择题1．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．3C ．15D ．30 [答案] C[解析] 由g (x )＝1－2x ＝12，得x ＝14，代入1－x 2x 2得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝15.2．(2012·郑州高一期末)如图△OAB 是边长为2的等边三角形，直线x ＝t 截这个三角形位于此直线左方的图形面积(见图中阴影部分)为y ，则函数y ＝f (t )的大致图形为图中的( )[答案] D[解析] 易知表示图形面积的曲线关于点(1，32)对称，故可排除A ，B ，又阴影部分面积在[0,1]上的增加速度先慢后快，故曲线应先缓后陡，同理在[1,2]上曲线应先陡后缓，故选D.二、填空题3．已知f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (2)＝________.[答案] －1[解析] 设f (x )的定义域为C ，由f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x 知，x ∈C ，1x ∈C ，将原式中的x 换为1x ， 原式仍成立，即有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x ＝3x .与原式联立⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝3x ，f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，解得f (x )＝2x －x ，∴f (2)＝22－2＝1－2＝－1.4．设f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2(－1≤x <0)－12x (0<x <2)3(x ≥2)，则f {f [f (－34)]}＝__________，f (x )的定义域是__________．[答案] 32 {x |x ≥－1且x ≠0} [解析] ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12，而0<12<2， ∴f (12)＝－12×12＝－14，∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32， ∴f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．三、解答题5．画出下列函数的图像： (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|；(2)y ＝2x －3，x ∈Z ，且|x |≤2； (3)y ＝x 2－2|x |－1；(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)，－x 2－2x (x <0).[解析] (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2 (x <－3)，8 (－3≤x <5)，2x －2(x ≥5).图像如图(1)所示．(2)y ＝2x －3， ∵x ∈Z ，且|x |≤2.∴x ＝±2，±1,0，图像如图(2)中的五个点．(3)y ＝x 2－2|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1(x <0).图像如图(3)所示．(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)－x 2－2x (x <0)的图像如图(4)所示．6．如右图所示，半径为R 的圆的内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 之间的关系式，并求出它的定义域．[解析] 设腰长AD ＝BC ＝x ，作DE ⊥AB 交AE 于点E ，连结BD ， 则∠ADB ＝90°，∴Rt △ADE ∽Rt △ABD .∴AD 2＝AE ·AB ，AE ＝x 22R .∴CD ＝AB －2AE ＝2R －x2R .∴周长y 满足关系式y ＝2R ＋2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2R －x 2R ＝－x2R ＋2x ＋4R .即周长y 与腰长x 之间的关系式为y ＝－1R x 2＋2x ＋4R . ∵四边形ABCD 为圆内接梯形，∴AD >0，AE >0，CD >0.即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 22R>0，2R －x 2R >0，⇒0<x <2R .所以函数的定义域为{x |0<x <2R }． 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (－1≤x <0)，x 2(0≤x <1)，x (1≤x ≤2).(1)求f (－8)，f (－23)，f (12)，f (32)的值； (2)作出函数的简图； (3)求函数的定义域和值域．[分析] 给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式．(1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值． (2)在不同的区间，依次画出函数图像．[解析] 函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．(1)因为－8∉[－1,2]，所以f (－8)无意义． 因为－1≤x <0时，f (x )＝－x ， 所以f (－23)＝－(－23)＝23. 因为0≤x <1时，f (x )＝x 2， 所以f (12)＝(12)2＝14.因为1≤x ≤2时，f (x )＝x ，所以f (32)＝32.(2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：(3)由第(2)问中画出的图像可知，函数的定义域为[－1，2]，函数的值域为[0,2]．[点评] 1.解答本题第(1)、(2)题时，应注意自变量的取值范围． 2．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．3．画图像时，则应分段分别作出其图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留定义域内的一段图像即可．。
高一数学必修1(北师大版)同步练习2-4-2
2-4-2 二次函数的性质基 础 巩 固一、选择题1．函数y ＝－x 2＋1在下列哪个区间上是增加的( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(0，＋∞) D ．(－∞，＋∞)[答案] B[解析] y ＝－x 2＋1中二次项系数小于0，图像开口向下，易知递增区间为(－∞，0]．2．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值 [答案] C[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值．3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc ＝( )A ．－6B ．11C ．－14 D.14[答案] C[解析] ∵f (x )图像过点(0,2)，∴c ＝2. 又顶点为(4,0)，∴－b2a ＝4，8a －b 24a ＝0.解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－14.4．若f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)[答案] A[解析] ∵对称轴x ＝1－a3，又开口向上，在(－∞，1]上是减函数．∴1－a 3≥1，∴a ≤－2.5．二次函数y ＝f (x )的图像过原点，且顶点为(－2,8)，则f (x )＝( )A ．－2x 2－8xB ．2x 2－8xC ．2x 2＋8xD ．－2x 2＋8x [答案] A[解析] 由题意设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋8，又∵函数图像过原点，∴4a ＋8＝0，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2－8x .6．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，－0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞) [答案] C[解析] 此函数图像的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x 2＝2，在[0,2]上递增，如图所示，正确答案为C.二、填空题7．(2012·石家庄高一检测)已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[2,10]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．[答案] k ≤16或k ≥80[解析] 函数f (x )的对称轴为x ＝k 8，∴k 8≤2或k8≥10， ∴k ≤16或k ≥80.8．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．[答案] (－14，14)[解析] 把(1,4)的坐标代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1中得a ＝4，k ＝3.所以由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝14.三、解答题9．(2012·九江高一检测)已知二次函数y ＝－4x 2＋8x －3. (1)画出它的图像，并指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最大值；(3)写出函数的单调区间．(不必证明)[解析] (1)图像如图所示，该图像开口向下；对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)y ＝－4(x －1)2＋1，故函数的最大值为1. (3)函数的单调增区间是(－∞，1]， 单调减区间是[1，＋∞).能 力 提 升一、选择题1．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[答案] A[解析] f (x )＝4x 2－mx ＋5在[m8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[m8，＋∞)，即－2≥m8，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25.2．某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速自动注水(即t 分钟自动注水2t 2升)，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供________人洗浴．( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 设t 分钟后水箱内的水量为y 升，则由题设，知y ＝200－34t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1722＋200－2892t >0)，当t ＝172＝8.5分钟时，y 取最小值，此时共放浴用水34×8.5＝289升，而28965＝42965，故一次至多可供4人洗浴．二、填空题3．已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －9顶点为A ，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点A ，且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点，则这个二次函数的解析式为________．[答案] y ＝12x 2－32x[解析] ∵y ＝－2x 2＋8x －9＝－2(x －2)2－1，∴A (2，－1)．设所求二次函数的解析式为y ＝ax (x －3)，则由题意知－1＝a ×2(2－3)，即a ＝12.∴所求解析式为y ＝12x 2－32x .4．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为________．[答案] 3或－1[解析] 由图像知f (3)＝0， ∴m ＝3.由－x 2＋2x ＋3＝0得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝3或－1. 三、解答题5．根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图像过A (0,1)、B (1,2)、C (2，－1)三点； (2)图像顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)；(3)图像与x 轴交于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－92)．[解析] (1)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知函数的图像经过(0,1)、(1,2)、(2，－1)三点．得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1a ＋b ＋c ＝24a ＋2b ＋c ＝－1，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3c ＝1，∴函数的解析式为y ＝－2x 2＋3x ＋1.(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，其顶点的坐标是(h ，k )，∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y ＝a (x ＋2)2＋3. 又∵图像过点(－1,5)，∴5＝a (－1＋2)2＋3. ∴a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3， ∴y ＝2x 2＋8x ＋11.即函数的解析式为y ＝2x 2＋8x ＋11.(3)设二次函数的解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)， 因为二次函数的图像交x 轴于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－92)，设y ＝a (x ＋2)(x －4)，则有－92＝a (1＋2)(1－4)，∴a ＝12.∴所求的函数解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)，即y ＝12x 2－x －4.6．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图像与x 轴总有交点．(1)求m 的取值范围；(2)若函数图像与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．[解析] (1)当 m ＋6＝0即m ＝－6时， 函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点； 当m ＋6≠0即m ≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，即当m ≤－59且m ≠－6时，抛物线与x 轴有一个或两个交点，综上可知，当m ≤－59时，此函数的图像与x 轴总有交点．(2)设x 1、x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根， 则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3，当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴m 的值是－3.7．设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，且f (x )在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a 的取值范围．[解析] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a 24，f (x )≥0在x ∈[－2,2]恒成立的充分条件是f (x )在x ∈[－2,2]上的最小值非负．(1)当－a2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上是增函数，最小值为f (－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤73，这与a >4矛盾，此时a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )在[－2,2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，3－a －a24≥0⇒a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2. 结合－4≤a ≤4，可知此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上是减函数，最小值为f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7.∵a <－4，∴－7≤a <－4.由(1)(2)(3)可知，a 的取值范围是[－7,2]．。
高一数学必修1(北师大版)同步练习3-6
3-6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较基础巩固一、选择题1．函数y＝a x与y＝－log a x(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是()[答案] A[解析]排除法：∵函数y＝－log a x中x>0，故排除B；当a>1时，函数y＝a x为增函数，函数y＝－l og a x为减函数，故排除C；当0<a<1时，函数y＝a x为减函数，函数y＝－log a x为增函数，故排除D，所以选A.2．函数y1＝2x与y2＝x2，当x>0时，图像的交点个数是() A．0B．1 C．2D．3[答案] C[解析]作出函数图像，易知有2个交点(2,4)和(4,16)．3．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示．现给出以下说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是()A．①④B．②④C．②③D．①③[答案] B[解析]因为温度y随着时间t变化的图像是先凸后为平行于x 轴的直线，即前5分钟每当t增加一个单位量Δt，y相应的增量Δy 越来越小，故②正确；而5分钟后y关于t的增量为0，故④正确．故选B.4．某种动物的数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只[答案] A[解析]当x＝1时，y＝100＝a log22，∴a＝100，∴y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100log28＝300，故选A.5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是()A．f(x)＝1x B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝e x D．f(x)＝ln(x＋1)[答案] A[解析]由题意得函数f(x)是减函数，在四个选项中，只有A符合，故选A.6．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则y 与x 的函数关系为( )A ．y ＝0.9576x 100B ．y ＝0.9576100xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫0.9576100xD ．y ＝1－0.0424x 100[答案] A[解析] 设镭每年放射掉其质量的百分比为t ，则有95.76%＝(1－t )100，所以t ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫95.761001100，所以y ＝(1－t )x ＝0.9576x 100 .二、填空题7．方程2x ＝2－x 的解的个数为____________． [答案] 1[解析] 分别作出函数y ＝2x 与y ＝2－x 的图像如图所示，易得两图像只有一个交点，即原方程只有一个解．8．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…，这样，一个细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系是________．[答案] y ＝2x (x ∈N ＋)[解析] 该函数为指数函数型y ＝2x (x ∈N ＋)． 三、解答题9．在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫作14C 的半衰期)，它的残余量从a 变为12a ，则经过t 年后的残余量a ′与a 之间满足a ′＝a ·e －kt .现测得出土的古莲子中14C 残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．[解析] a ′＝a ·e －kt，即a ′a＝e －kt，两边取对数，得lg a ′a＝－kt lge ，①又知14C 的半衰期是5570年，即t ＝5570时，a ′a ＝12，所以lg 12＝－5570k lge ，即k lge ＝lg25570.②将②式代入①式，并整理得：t ＝－5570lga ′alg2.将a ′a ＝0.879代入得：t ＝－5570×lg0.879lg2≈1036(年)． 即古莲子约是1036年前的遗物．能 力 提 升一、选择题1．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ，b 为常数，a >1>b >0)，若x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0恒成立，则有( )A ．a －b >1B ．a －b ≥1C ．a －b <1D ．a －b ≤1[答案] B[解析] 由x >1，a >1>b >0，知a x >a ，b x <b ， 从而a x －b x >a －b .由题意，得a x －b x >1恒成立，故a －b ≥1，故选B.2．用固定的速度向下图形状的瓶子中注水，则水面的高度h 和时间t 之间的关系是( )[答案] B[解析] t 越来越大时，h 增大的较快，而A 、D 是匀速增长的，瓶子应为直筒状，C 表示的瓶子应是口大于底，故选B.二、填空题3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x <0e x x ≥0的反函数是________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x <1ln x ， x ≥1[解析] ∵x <0时，y ＝x ＋1， ∴x ＝y －1，∵x <0，∴y <1，∴其反函数为y ＝x －1(x <1)．又x ≥0时，y ＝e x ，∴x ＝ln y .∵x ≥0，∴y ≥1，∴其反函数为y ＝ln x (x ≥1)，∴反函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x <1，ln x ， x ≥1.4．四个变量y 1、y 2、y 3、y 4随变量x 变化的数据如下表：关于[答案] y 2[解析] 根据数字增长特征．三、解答题5．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ [分析] (1)由题中所给函数式令v ＝0即可；(2)令函数式Q ＝80即可求得此时的v .[解析] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入函数关系式可得：0＝5log2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入函数关系式得y ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s. 6．已知实数p 、q 满足lg(log 3p )＝lg(2－q )＋lg(q ＋1)，求p 的取值范围．[解析] 由已知lg(log 3p )＝lg(2－q )＋lg(q ＋1)， 得lg(log 3p )＝lg[(2－q )(q ＋1)]． ∴log 3p ＝(2－q )(q ＋1)，又由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧p >0，2－q >0，log 3p >0，q ＋1>0.∴p >1且－1<q <2.令t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫q －122＋94，当－1<q <2时，0<t ≤94.∴p ＝3t在t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94时的值域为p ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，394. ∴p 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，394. 7．要建造一个容积为1200m 3，深为6m 的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m 2，池底的造价为135元/m 2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内(精确到0.1m)?[解析] 设水池总造价为y 元，水池长度x m ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2400x ×95＋12006×135，(*) 画出函数(*)和函数y ＝7的图像．由图可知，若y ≤7，则x 应介于[x 1，x 2]之间，x 1，x 2即为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2400x ×95＋12006×135＝70000的两个根． 解得x 1≈6.4，x 2≈31.3.所以，水池的长与宽应该控制在[6.4,31.3]之间．。
新教材北师大版高中数学必修第一册练习-换底公式答案含解析
第四章 对数运算与对数函数§2 对数的运算2.2 换底公式知识点 对数的换底公式1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)log 29·log 34=( )。
A.14 B.12C.2D.4 答案：D解析：原式=log 232·log 322=4log 23·log 32=4·lg3lg2·lg2lg3=4。
故选D 。
2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)log 849log 27的值是( )。
A.2B.32C.1D.23答案：D 解析：log 849log 27=log 272log 223÷log 27=23。
故选D 。
3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若log 2x ·log 34·log 59=8,则x 等于( )。
A.8 B.25 C.16 D.4 答案：B解析：因为log 2x ·log 34·log 59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgx lg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,所以lg x =2lg 5=lg 25,所以x =25。
故选B 。
4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:log 212+log 223+log 234+…+log 21516等于( )。
A.5 B.4 C.-5 D.-4 答案：D解析：原式=log 2(12×23×34×…×1516)=log 2116=-4。
故选D 。
5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若log 34·log 8m =log 416,则m 等于( )。
A.3 B.9 C.18 D.27 答案：D解析：原式可化为log 8m =2log 34,所以13log 2m =2log 43,所以m 13=3,m =27。
高一数学必修1(北师大版)同步练习1-3-1
1-3-1 交集与并集基 础 巩 固一、选择题1．(2011·福建文)若集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∩N 等于( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}[答案] A[解析] 本题考查集合的交集运算． M ∩N ＝{0,1}．2．(2012·信阳高一检测)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16a ＝4，∴a ＝4.故选D. 3．若集合P ＝{x |x 2＝1}，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，则P ∩M ＝( ) A ．{3} B ．{1} C ．{－1} D ．∅ [答案] C[解析] ∵P ＝{x |x 2＝1}＝{－1,1}，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}．∴P ∩M ＝{－1}，故选C.4．已知集合A ＝{x |x 2－16＝0}，B ＝{x |x 2－x －12＝0}，则A ∪B＝()A．{4}B．{－3} C．{4}D．{－4，－3,4}[答案] D[解析]∵A＝{－4,4}，B＝{－3,4}，∴A∪B＝{－4，－3,4}，故选D.5．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q＝()A．{2}B．{3}C．{－2,3}D．{－3,2}[答案] A[解析]∵P＝{1,2,3，…，10}，Q＝{－3,2}，∴P∩Q＝{2}，故选A.6．设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}给出下列关系式：①A∩C＝∅；②A＝C；③A＝B；④B＝C，其中不正确的共有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析]事实上A＝R，B＝{y|y≥－4}，C是点集，只有①是正确的，其余3个均不正确．二、填空题7．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∩B ＝________，A∪B＝________.[答案]{2}{－3,0,2}[解析]∵A＝{－3,2}，B＝{0,2}，∴A ∩B ＝{2}，A ∪B ＝{－3,0,2}．8．已知集合A ＝{x |x <1或x >5}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |5<x ≤6}，则2a －b ＝________.[答案] －4 [解析] 如图所示，可知a ＝1，b ＝6，∴2a －b ＝－4. 三、解答题9．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2－ax ＋2＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．[解析] 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，由已知得A ＝{1,2}． (1)若1∈B ，则2×12－a ×1＋2＝0，得a ＝4，当a ＝4时，B ＝{1}⊆A ，符合题意． (2)若2∈B ，则2×22－2a ＋2＝0，得a ＝5. 此时B ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12A ，所以a ＝5不符合题意． (3)若B ＝∅，则a 2－16<0， 得－4<a <4，此时B ⊆A ，综上所述，a 的取值范围为－4<a ≤4.能 力 提 升一、选择题1．设M ＝{x |1<x <3}、N ＝{x |2≤x <4}，定义M 与N 的差集M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，则M －N ＝( )A ．{x |1<x <3}B ．{x |3≤x <4}C ．{x |1<x <2}D ．{x |2≤x <3}[答案] C[解析] 将集合M 、N 在数轴上标出，如图所示．∵M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }， ∴M －N ＝{x |1<x <2}．2．集合A ＝{1,2,3,4}，B A ，且1∈(A ∩B )，4∉(A ∩B )，则满足上述条件的集合B 的个数是( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案] C[解析] 由1∈(A ∩B )，且4∉(A ∩B )，得1∈B ， 但4∉B ，又B A ，∴集合B 中至少含有一个元素1，至多含有3个元素1,2,3，故集合B 可以为{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．二、填空题3．已知A ＝{x |a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．[答案] －3≤a <－1[解析] 由题意A ∪B ＝R 得下图，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8≥5，得－3≤a <－1. 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝{1,3，x }，则满足条件的实数x的个数是________．[答案] 3[解析]∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，∴A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝3或x2＝x.(1)当x2＝3时，得x＝±3.若x＝3，则A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，符合题意；若x＝－3，则A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，符合题意．(2)当x2＝x时，得x＝0或x＝1.若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不成立，舍去．综上知，x＝±3或x＝0.三、解答题5．设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}，求A∪B.[解析]∵|a＋1|＝2，∴a＝1或a＝－3.当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3，由集合的元素应具有互异性的要求可知，a≠1.当a＝－3时，集合B＝{－5,3,2}．∴A∪B＝{－5,2,3,5}．6．已知A⊆M＝{x|x2－px＋15＝0，x∈R}，B⊆N＝{x|x2－ax－b ＝0，x∈R}，又A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，求p，a和b的值．[分析]由A∩B＝{3}代入可求p，由A∪B＝{2,3,5}及A∩B＝{3}，可求B.再由韦达定理可解a，b.[解析]如图∵A∩B＝{3}，∴3∈A，又A⊆M，∴3∈M.∴32－p·3＋15＝0.∴p＝8，M＝{3,5}．又A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}．∴5∈A,2∈B.∴B＝{2,3}．又B⊆N，∴方程x2－ax－b＝0的两根为2和3.由根与系数的关系，得a＝5，b＝－6.∴p＝8，a＝5，b＝－6.7．某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞费，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？[解析]设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B表示，所有参加英语竞赛的同学组成集合用C表示，设只参加语文竞赛的有x人，只参加数学竞赛的有y人，只能加英语竞赛的有z人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．根据题意，可作出如图所示Venn图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．。
高一数学必修1(北师大版)同步练习2-3
2-3 函数的单调性基础巩固一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是()A．y＝1x2B．y＝x3C．y＝x0D．y＝x2[答案] D[解析]∵函数y＝x2的图像是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．2．若函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m＝()A．2B．－2C．10D．－10[答案] C[解析]函数y＝5x2＋mx＋4的图像为开口向上对称轴是x＝－m10要使函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－m10＝－1，∴m＝10.3．已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a、b∈R，且a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)D．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)[答案] A[解析]∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a、b∈R，且a＋b≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a ，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．4．(2012·南安高一检测)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是减少的，则a 的取值范围是( )A ．(0，14]B ．[0，14]C ．[2，＋∞)D ．(0,4][答案] B[解析] 当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在(－∞，2)上是减少的； 当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，2)上是减少的．则⎩⎨⎧a >0－－12a ≥2∴0<a ≤14.综上可得a 的取值范围为a ∈[0，14]．5．(2012·海口高一检测)下列四个函数之中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |[答案] C[解析] 分别画出四个函数的图像易知y ＝x 2－3x 在(32，＋∞)为增加的，y ＝3－x 在(0，＋∞)为减少的，y ＝－|x |在(0，＋∞)上是减少的，y ＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上为增加的，故选C.6．定义在R 上的函数y ＝f (x )关于y 轴对称，且在[0，＋∞)上是增加的，则下列关系成立的是()A．f(3)<f(－4)<f(－π)B．f(－π)<f(－4)<f(3)C．f(－4)<f(－π)<f(3)D．f(3)<f(－π)<f(－4)[答案] D[解析]∵f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，且f(x)在[0，＋∞)上是增加的，∴f(3)<f(π)<f(4)，∴f(3)<f(－π)<f(－4)．二、填空题7．设函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．[答案]f(－3)>f(－π)[解析]由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．8．若f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．[答案]a≥3[解析]∵函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2的对称轴为x＝1＋a，∴要使函数在(－∞，4]上是减函数，应满足1＋a≥4，∴a≥3.三、解答题9．已知函数f(x)＝x＋1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：函数f(x)在定义域上是增加的；(3)求函数f(x)的最小值．[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数f (x )的定义域是[－1，＋∞)． (2)证明：设－1<x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1－x 2＋1 ＝(x 1＋1－x 2＋1)(x 1＋1＋x 2＋1)x 1＋1＋x 2＋1＝(x 1＋1)－(x 2＋1)x 1＋1＋x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋1＋x 2＋1.∵－1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)>0， ∴函数f (x )在定义域上是增加的．(3)∵函数f (x )在定义域[－1，＋∞)上是增加的， ∴f (x )≥f (－1)＝0， 即函数f (x )的最小值是0.能 力 提 升一、选择题1．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a )[答案] D[解析] ∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，又∵函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )．2．下列命题正确的是( )A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增加的B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增加的C ．若f (x )在区间I 1上为增加的，在区间I 2上也为增加的，那么f (x )在I 1∪I 2上也一定为增加的D ．若f (x )在区间I 上为增加的且f (x 1)<f (x 2)(x 1，x 2∈I )，那么x 1<x 2 [答案] D[解析] 由单调性定义知，选项A 、B 错；对于C ，可举反例，如y ＝－1x ，在区间(－∞，0)上是增加的，在区间(0，＋∞)上也是增加的，若x 1＝－1，x 2＝1时，x 1<x 2，f (－1)＝1>f (1)＝－1，∴函数y ＝－1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增加的，所以C 错，故选D.二、填空题3．f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是______________．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 83<x ≤4[解析]依题意，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0－2x ＋8≥0，x >－2x ＋8解得83<x ≤4.4．(2011·四川理)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 本题主要考查定义理解．①函数f (x )＝x 2, 当f (x 1)＝f (x 2)时不一定总有x 1＝x 2也可x 1＝－x 2，因此不对，④如果一个函数是单调的，不会出现f (x 1)＝f (x 2)也不会出现x 1＝x 2，故②③.三、解答题5．利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减少的．[解析] 设x 1>x 2>－1，则Δx ＝x 2－x 1<0， Δy ＝y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)∵x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0， Δx ＝x 2－x 1<0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)<0. Δy ＝y 1－y 2<0.∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减少的．6．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.(1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.[解析] (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．7．已知f (x )的定义域为R ，且有f (－x )＝f (x )，而且在(0，＋∞)上是减少的，判断在(－∞，0)上是增加的还是减少的，并加以证明．[解析] f (x )在(－∞，0)上为增加的． 证明：设x 1∈(－∞，0)，x 2∈(－∞，0)， 且x 1<x 2，则－x 1∈(0，＋∞)，－x 2∈(0，＋∞)， 且－x 1>－x 2.又f (x )在(0，＋∞)上为减少的， ∴f (－x 1)<f (－x 2)．又∵f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2)， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(－∞，0)上为增加的．。
高一数学必修1(北师大版)同步练习3-1
3-1 正整数指数函数基础巩固一、选择题1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有()①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；④y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)．A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] D[解析]由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D.2．若集合A＝{y|y＝2x，x∈N＋}，B＝{y|y＝x2，x∈N＋}，则() A．A B B．A BC．A＝B D．A B且B⊉A[答案] D[解析]∵A＝{2,4,8,16,32，……}，B＝{1,4,9,16,25，……}，∴2∈A，且2∉B；9∈B且9∉A，故选D.3．若a>0，n、m为正整数，则下列各式中正确的是()A．a m÷a n＝a mnB．a n·a m＝a m·nC．(a n)m＝a m＋n D．a m a－n＝a m－n[答案] D[解析]由指数幂的运算法则有a m a－n＝a m－n正确．故选D. 4．已知0<a<1，b<0，则函数y＝a x＋b(x∈N＋)的图像经过() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] D[解析] y ＝a x ＋b 的图像，可看成y ＝a x (0<a <1，x ∈N ＋)的图像向下移|b |个单位得到，而y ＝a x (0<a <1)过第一象限，∴y ＝a x ＋b 的图像一定过第四象限．5．一批价值a 万元的设备由于使用时磨损，每年比上一年的价值降低b %，则n 年后，这批设备的价值为( )A ．na (1－b %)万元B ．a (1－nb %)万元C ．a [1－(b %)n ]万元D ．a (1－b %)n 万元[答案] D[解析] 每经过一年磨损，价值变为上一年价值的(1－b %)倍，故经过n 年，价值变为a (1－b %)n 万元．6．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次由一个分裂成两个，这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过的小时数为( )A ．12小时B ．4小时C ．3小时D ．2小时 [答案] C[解析] 由题意知，刚开始有1个细菌，15分钟后有2个，30分钟后有4个，45分钟后有8个，60分钟后有16个，75分钟后有32个，90分钟后有64个，……，180分钟后有4096个，180分钟＝3小时．二、填空题7．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为________．[答案] 2400元[解析] 5年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13；10年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132；15年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2400(元)． 8．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．[答案] 2250[解析] 设原价为a ，则a ·(1＋40%)×0.8－a ＝270，解得a ＝2250(元)．三、解答题9．(2012·枣庄高一检测)农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2007年某地区农民人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2008年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2012年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42)[分析] 本小题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力．[解析] 农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7800×(1＋6%)5＝7800×1.065＝10452(元)，二是其它收入即5350＋5×160＝6150(元)，∴农民人均收入为10452＋6150＝16602(元)．答：2012年该地区农民人均收入约为16602元.能 力 提 升一、选择题1．(2012·济宁模拟)若f (x )＝3x (x ∈N 且x >0)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上为( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增[答案] B[解析] ∵f (x )＝3x (x ∈N 且x <0)，∴y ＝f (－x )＝3－x ＝(13)x ， ∴函数为减函数，故选B.2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2011年这10年间每两年上升2%,2010年和2011年种植植被815万m 2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2012年到2015年种植绿色植被面积为(四舍五入)( )A ．848万m 2B ．1679万m 2C ．1173万m 2D ．12494万m 2[答案] B[解析] 2012～2013年为815×(1＋2%)，2014～2015年为815×(1＋2%)×(1＋2%)．共为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)(1＋2%)≈1679.二、填空题3．某厂2000年的生产总值为x 万元，预计生产总值每年以12%的速度递增，则该厂到2012年的生产总值是________万元．[答案] x (1＋12%)12[解析] 2001年生产总值为x (1＋12%)；2002年生产总值为x (1＋12%)2；……∴2012年，产品总产值为x (1＋12%)12.4．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽________次．[答案]8[解析]设原有空气为1，则抽1次后为1×(1－60%)＝0.4；抽2次后为0.4×(1－60%)＝0.42，……抽7次后为0.47≈0.0016>0.1%，抽8次后为0.48≈0.00066.故至少应抽8次．三、解答题5．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‟，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．[解析](1)1999年年底的人口数：13亿；经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‟＝13(1＋1‟)(亿)；经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋1‟)＋13(1＋1‟)×1‟＝13(1＋1‟)2(亿)；经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‟)2＋13(1＋1‟)2×1‟＝13(1＋1‟)3(亿)．∴经过年数与(1＋1‟)的指数相同．∴经过x年后的人口数：13(1＋1‟)x(亿)，∴y＝f(x)＝13(1＋1‟)x(x∈N)．(2)理论上指数函数定义域为R，∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N是此函数的定义域．(3)y＝f(x)＝13(1＋1‟)x，∵1＋1‟>1,13>0，∴y＝f(x)＝13(1＋1‟)x是增函数，即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．6．某公司拟对外投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元)[解析]本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元，年利率9%，按每年复利计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由此可见，按年利率9%每年复利一次计算要比年利率10%单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．7．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值n元时，利润y n(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．[解析](1)设未赠礼品时的销量为m件．则当礼品价值为n元时，销售m(1＋10%)n件，利润y n＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)m×1.1n(0<n<20，n∈N＋)．(2)令y n＋1－y n≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0，解得n≤9，所以y1<y2<y3<…<y9＝y10，令y n＋1－y n＋2≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，解得n≥8.所以y9＝y10>y11>y12>…>y19.所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．。
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3-4 对 数
基 础 巩 固
一、选择题
1．lg20＋lg50的值为( ) A ．70 B ．1000 C ．3 D.5
2[答案] C
[解析] lg20＋lg50＝lg1000＝3.故选C.
2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2 D ．3a －a 2－1
[答案] A
[解析] log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A.
3．若a >0，a ≠1，x >0，n ∈N ＋，则下列各式： ①(log a x )n ＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n ； ③log a x ＝－log a 1x ；④n log a x ＝1
n log a x ；
⑤log a x n ＝log a n
x ；⑥log a x n ＝n log a x .
其中成立的有( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个 [答案] A
[解析] ③⑤⑥正确；①②④错误．
4．若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝log 4[log 2(log 3z )]＝0，则
x ＋y ＋z ＝( )
A ．50
B ．58
C ．89
D ．111 [答案] C
[解析] ∵log 2[log 3(log 4x )]＝0，∴log 3(log 4x )＝1， ∴log 4x ＝3，∴x ＝43＝64，同理y ＝16，z ＝9， ∴x ＋y ＋z ＝89，故选C.
5．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310
[答案] B
[解析] 令10x ＝3，∴x ＝lg3.故选B. 6．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解为( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－1或x ＝4 C ．x ＝4 D ．x ＝－1且x ＝4 [答案] C
[解析] 一定要注意对数的真数大于零，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
(x －1)2＝x ＋5x －1>0x ＋5>0
，解得x ＝4，选C.
二、填空题 7．求值：
[答案] (1)25 (2)4
5 (3)72
[解析]
8．若正数m ，满足10m
－
1
<2512<10m ，则
m ＝
__________.(lg2≈0.3010)
[答案] 155
[解析] ∵10m －1<2512<10m ，∴m －1<512lg2<m ， ∴154.112<m <155.112，又m ∈N ＋，∴m ＝155. 三、解答题 9．计算：
(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． [解析] 解法一：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)(log 52＋log 54
log 525
＋log 58log 5125
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22
log 25
＝13.
解法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝ ⎛⎭⎪⎫
lg2lg5＋2lg22lg5＋
3lg23lg5 ＝⎝
⎛⎭⎪⎫13lg53lg2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3lg2lg5＝13. 能 力 提 升
一、选择题
1.
A ．lg3
B ．－lg3 C.1lg3 D ．－1
lg3
[答案] C
[解析] 1log 1419＋1log 1513＝lg
14lg 19＋lg
15
lg 13
＝－2lg2－2lg3＋－lg5－lg3＝lg2lg3＋lg5lg3＝lg10lg3＝1
lg3
. 2．设a 、b 、c 均为正实数，且3a ＝4b ＝6c ，则有( ) A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.2c ＝1a ＋1b D.2c ＝1a ＋2b [答案] B
[解析] 令3a ＝4b ＝6c ＝t ，
∴a ＝log 3t ＝lg t lg3，b ＝log 4t ＝lg t lg4，c ＝log 6t ＝lg t lg6
，
∴2a ＋1b ＝2lg3lg t ＋lg4lg t ＝lg36lg t ，2c ＝2lg6lg t ＝lg36lg t ， ∴2a ＋1b ＝2
c ，故选B. 二、填空题
3．(2011·陕西文)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
lg x ，x >0，
10x ，x ≤0，
则f [f (－2)]＝________.
[答案] －2
[解析] 本题考查分段函数求值．方法是“由里向外”层层去掉“f ”．
f (－2)＝10－2，f [f (－2)]＝f (10－2)＝lg10－2＝－2.
4．若m log 35＝1，n ＝5m ＋5－m ，则n 的值为________． [答案] 10
3
[解析] ∵m ＝1
log 35
＝log 53.
＝3＋13＝103.
三、解答题
5．若a 、b 是方程2lg 2x －lg x 4＋1＝0的两个实数根，求lg(ab )(log a b ＋log b a )的值．
[解析] 原方程可化为2lg 2x －4lg x ＋1＝0.依题意知，lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12
，
∴lg(ab )(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
lg b lg a ＋lg a lg b
＝2×(lg a ＋lg b )2
－2lg a lg b lg a lg b ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－2×121
2
＝12.
6．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2x
y
[解析] 由已知得lg(xy )＝lg(x －2y )2， 从而有xy ＝(x －2y )2整理得
x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0， ∴x ＝y 或x ＝4y .
但由x >0，y >0，x －2y >0得x >2y >0.
∴x ＝y 应舍去，故x y ＝4.∴log 2x
y
＝log 24＝4.
7．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值为3，求a 的值．
[解析] 原函数式可化成 f (x )＝lg a (x ＋1lg a )2－1
lg a ＋4lg a .
由已知，f (x )有最大值3， 所以lg a <0，并且－1
lg a ＋4lg a ＝3，
整理得4(lg a )2－3lg a －1＝0， 解得lg a ＝1，或lg a ＝－1
4.
又lg a <0，∴lg a ＝－1
4
，
∴a ＝10－
14
.。