第三章绘制基本图元

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Bresenham算法
• Bresenham画线算法是一种精确而有效的光栅线生成算法，该算法还可用于 圆和其它曲线。
• 如下图，首先考虑斜率小于1的直线的扫描转换过程，沿线段路径的像素位置 由以单位x间隔的采样来确定。从给定线段的左端点(x0, y0)开始，逐步处理每 个后继列(x位置)，并在其扫描线y值最接近线段的像素上绘出一点。下图显示 了这个过程的第k步。假设已经决定要显示的像素在(xk, yk)，那么下一步需要 确定在列xk+1= xk+1上绘制那个像素，是在位置(xk+1, yk)，还是在(xk+1, yk+1)。
已知过端点P0 (x0, y0)， P1(x1, y1)的直线段L的方程为：
y=kx+b
直线斜率为
k
y1 y0 x1 x0
当斜率的绝对值小于1时，从x的左端点x0开始，向x的右端点逐步递增。 步长=1(象素单位)，计算相应的y坐标y=kx+b；取象素点(x, round(y))作为 当前点的坐标。
几何图元的参数和含义
参数值 GL_POINTS GL_LINES GL_LINE_STRIP GL_LINE_LOOP 意义 独立的点 一对顶点表示一条线段 各顶点连接成的线段 各顶点连接成的封闭线段
GL_TRIANGLES
GL_TRIANG个顶点构成的三角形
直线段的扫描转换算法
• 直线的扫描转换: 根据直线的几何特征，可确定最佳逼 近于该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，对这些象 素进行写操作。 • 两种常用算法： 数值微分法（DDA） Bresenham算法。
数字微分法
• 基本思想：根据线段斜率的不同，在某个坐标轴上以单位间隔对线段采 样，在另一个坐标轴上确定最靠近线段的对应整数值。
• 计算机只能处理数据，为了能在屏幕上显示三维图形，必须 将三维图形与数据相联系，将数据与三维图形联系在一起的 唯一纽带，就是坐标。 • 为了描述图形，首先必须建立一个世界坐标系(二维或三维笛 卡尔坐标系)，在世界坐标系中给出图形对象的位置和方向， 然后投影到显示设备的显示区域对应的二维平面上，并扫描 转换到帧缓存的整数像素位置。 • 如可以通过两个端点定义一条直线段，通过一组顶点定义一 个多边形。对象的坐标范围(x、y、z坐标的最大最小值)称为 对象的包围盒，对于二维图形，坐标范围就是包围矩形。
指定顶点坐标
• OpenGL中，可以使用函数glVertex()指定顶点的坐标， 但顶点既可以是一个纯粹的点，也可以是线段的端点， 还可以是多边形的角点， OpenGL中共有10种图元，必 须明确指明这些顶点构成何种图元。
• OpenGL中将每组顶点放在函数glBegin() 和glEnd()之 间，由glBegin() 的参数来指定相应的几何图元，然后调 用glEnd()来结束这组顶点的定义。
第三章 绘制基本图元
• 复杂的三维图形是由一个个简单的图元构成的，点和
直线段是最简单的几何图元，此外还有多边形、圆，
二次曲线、二次曲面、样条曲线、样条曲面等。
• 本章介绍OpenGL的输出图元及底层(设备级)实现算
法，以便深层次地掌握图形绘制的原理和方法，提高 计算机图形的制作水平。
3.1 坐标系统
从 (xk, yk)像素开始，绘制斜率0<m<1的直线的屏幕局部
• 在采样位置xk+1，用dlower和dupper来表示两个像素与直线段路径的垂直偏移。 直线段上像素列位置处的y坐标为：
• • • • • y=m(xk+1)+b = m(xk+1)+b －yk dupper = ( yk+1) －y = yk+1 －m(xk+1) － b dlower － dupper =2m(xk+1) － 2 yk ++2b－1 • 则： dlower =y －yk
3.3 直线段的扫描转换算法
• • • • • • • • 例2-2给出了一个绘直线段的例子，代码如下： glBegin(GL_LINES); //开始定义一组顶点坐标， //每相邻的两个两点组成一对，在该两点之间绘直线 glVertex2i(180, 15); //定义顶点坐标 glVertex2i(10, 145); //结束定义一组顶点坐标 glEnd(); 例3-3(LSTRIPS)给出了一个由直线段逼近三维螺旋曲线的例子 场景中的直线段由其两端点的坐标来定义，要在光栅显示器上显示一条线段，必须先 将两个端点投影到整数屏幕坐标，并确定离两端点间的直线路径最近的像素位置，将 颜色值赋予帧缓存中的对应位置。这一过程将一条连续的线段离散为一组整数光栅位 置。一般而言，这些位置是实际线段路径的逼近。如计算出的直线位置(10.48, 20.51)， 转换为像素位置为(10, 21)。坐标值舍入到整数，使线段呈锯齿状，这就是走样。光栅 化特有的锯齿现象在低分辨率系统中特别明显，在高分辨率系统中可以得到改善。平 滑光栅线段的有效方法是反走样技术。
相连的三角形条带 相连的扇形
GL_QUADS
GLQUAD_STRIP GL_POLYGON
四个顶点构成的四边形
相连的四边形条带 简单的凸多边形
绘制三维点
• 例3-1(POINTS)绘制一系列的三维点，使它们沿Z轴形成一个螺旋圈。 • glBegin(GL_POINTS); • • • • • • • • • • • • z = -50.0f; for(angle = 0.0f; angle <= (2.0f*GL_PI)*3.0f; angle += 0.1f) { x = 50.0f*sin(angle); y = 50.0f*cos(angle); // Specify the point and move the Z value up a little glVertex3f(x, y, z); z += 0.5f; } // Done drawing points glEnd();
由直线方程可得下一个采样点的y坐标为： yi+1= kxi+1+b = kxi+b+kx = yi+kx
当x =1时;
• • •
yi+1 = yi+k
即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)； 注意上述分析的算法仅适用于k ≤1的情形。在此情况下，x每增加1，y最多增加1。 当 k 1时，必须把x，y的地位互换：
• 要确定两像素中哪一个更接近线段路径，需要测试这两个像素偏移的差：
在采样位置xk+1处，像素位置到直线上y坐标之间的垂直距离
• • • •
设y和x分别为两端点的垂直和水平偏移量，则m=y/x，定义决策参数pk为： pk = x(dlower － dupper) = 2y xk －2x yk+c 3-1 其中c = 2y+ x(2b －1 )， pk的符号与dlower － dupper的符号相同(此例中x >0 )。假 如yk处的像素比yk+1的像素更接近于线段(即dlower < dupper) ，那么参数pk是负的，此时 绘制下面的像素，反之，绘制上面的像素。 可以利用递增整数运算得到后继的决策参数值。在k+1步，可得决策参数为： pk+1 = 2y xk+1 －2x yk+1+c 将两式相减，可得： pk+1 － pk = 2y(xk+1 － xk ) － 2x(yk+1 －yk ) 但xk+1 = xk +1，因而 3-2
• 由于一个像素位置占有屏幕上的一个有限范围，因此图形显示算法必须考虑 像素的有限大小，一般假定像素坐标对应于像素区域的中心。
屏幕上的笛卡尔坐标系
显示窗口
• 上一章的绘图实例中应用gluOrtho2D(xmin, xmax, ymin, ymax)函数设定了一个二 维视见空间(二维笛卡尔坐标系)，其参数指定了显示窗口的x、y坐标范围。
• 显示窗口的左下角位于坐标(xmin，ymin)处，右上角位于坐标(xmax，ymax)处。 • 如果一个图元的坐标范围完全在显示窗口内，该图元将完整地显示出来，否 则，仅仅位于显示窗口范围内的部分图元能显示出来，这涉及到裁剪。
3.2 顶点及图元
• 在OpenGL中所有的几何物体最终都要描述成一个顶点的有序集合，包括单 个点、线段的端点或多边形的顶点。
点的属性
• 点的属性包括颜色和大小，可以调用函数glPointSize()来改变点的大小，该函数有1个参数，指定 点的近似直径(以像素为单位)，但点的大小设置还是存在限制。
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另外，点和其它几何图形不同，它不会受到透视的影响，即离视点较远时，看上去并不会变小， 离视点更近时，看上去也不会变大。
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xi+1= xi+1/b
该算法能在有限的线段长度内，根据斜率的不同合理确定尽可能多的像素来逼近该 直线段。 DDA算法计算像素的位置比直接使用直线方程计算的速度要快，它利用光栅特性消 除了直线方程中的乘法，在x或y方向使用合适的增量，在直线路径上逐步得到各像 素的位置。 但在浮点增量的连续累加中，取整误差的积累使得对于较长线段所得到的像素位置 偏离实际线段，且该过程中的取整操作和浮点运算仍然十分耗时。促使人们考虑既 能用于直线，又能用于曲线的更通用的扫描线算法。
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• 例：画直线段P0(0,0)--P1(5,2) • k=0.4 x int(y+0.5) y+0.5 0 0 0 1 0 0.4+0.5 2 1 0.8+0.5 3 1 1.2+0.5 4 2 1.6+0.5 5 2 2.0+0.5