高等数学背景下的高考数学试题探究
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一道高考数学试题的高等数学背景研究
一
从高考数学命 题技 术看 ， 是 通过 语 言转换 ， 一 将 高 中生 不熟悉 的 高等 数学 术语 “ 有界 变差 数列 ”
１ ２ ３ …） 有界 变 差． 明凡 有 有 界 变差 的 ， ，， 有 证
用 其 英 文 简 写 “ 数 列 ” ｂ ｕ ｄ ｄ ａｉ ｉｎ （ｏ ｎ ｅ ｖｒ ｔ ａｏ ｓｑ ｅ ｃ） ｅｕｎ ｅ 这一 新定 义替代 ， 高数语 言初 等化 ， 持 保 原题条件不 变 ， 变其 结论 （ 改 原题 第 ２问的否 定 即 是本试题 的（） ， Ｊ） 以达 到考 查有 界变 差数列 性质 的
若 数 列 ｛ ａ ｝满 足 ： 在 正 数 Ｍ ， 一 切 有 存 对
函数 中 的有 界 变差 函数一 脉相 承．
１ 命 题 渊 源
１ １ 命 题 背 景 ．
Ａ 一 Ｉ ２ １ｌ ３ ２ｌ … ＋Ｉ 口 一ａ 十Ｉ 一ａ ＋ ａ ｎ 一 ｌ『 ａ ≤ Ｍ． 明 ： 列 ｛ 与 ｛ 都 收敛． 证 数 ｎ｝ Ａ ｝
叙 列 ： ，一 １， ，一 ， ，一 ， ， ， １ …
厶 厶 Ｊ ０
（ 首项 为 １ 公 比为 ｑ １ ＜ １ Ｉ） 、 （ ｑｌ ）的等 比数 列 是 否为 Ｂ 数 列 ？ 说 明理 由 ； 一 请
（１ 设 Ｓ 是 数 列 ｛ ｝ Ｉ） 的前 项 和 ， 出 下 列 给 两 组论 断 ：
列ｃ 一１ ｏ ＋寺 ＋÷ ＋…＋ 是发散的， 又是递增
ｒｔ
请 以其 中一 组 中的 一个 论 断为 条 件 ， 一 组 另
中的一个论 断 为结 论 组 成 一个 命 题 ． 断所 给 命 判 题 的真假 ， 并证 明你 的结论 ； （ｌ） 数列 ｛ ，ｂ｝ 是 Ｂ 数 列 ， 明 ： Ｉ 若 １ ａ ｝ ｛ 都 一 证 数
从高考数学命 题技 术看 ， 是 通过 语 言转换 ， 一 将 高 中生 不熟悉 的 高等 数学 术语 “ 有界 变差 数列 ”
１ ２ ３ …） 有界 变 差． 明凡 有 有 界 变差 的 ， ，， 有 证
用 其 英 文 简 写 “ 数 列 ” ｂ ｕ ｄ ｄ ａｉ ｉｎ （ｏ ｎ ｅ ｖｒ ｔ ａｏ ｓｑ ｅ ｃ） ｅｕｎ ｅ 这一 新定 义替代 ， 高数语 言初 等化 ， 持 保 原题条件不 变 ， 变其 结论 （ 改 原题 第 ２问的否 定 即 是本试题 的（） ， Ｊ） 以达 到考 查有 界变 差数列 性质 的
若 数 列 ｛ ａ ｝满 足 ： 在 正 数 Ｍ ， 一 切 有 存 对
函数 中 的有 界 变差 函数一 脉相 承．
１ 命 题 渊 源
１ １ 命 题 背 景 ．
Ａ 一 Ｉ ２ １ｌ ３ ２ｌ … ＋Ｉ 口 一ａ 十Ｉ 一ａ ＋ ａ ｎ 一 ｌ『 ａ ≤ Ｍ． 明 ： 列 ｛ 与 ｛ 都 收敛． 证 数 ｎ｝ Ａ ｝
叙 列 ： ，一 １， ，一 ， ，一 ， ， ， １ …
厶 厶 Ｊ ０
（ 首项 为 １ 公 比为 ｑ １ ＜ １ Ｉ） 、 （ ｑｌ ）的等 比数 列 是 否为 Ｂ 数 列 ？ 说 明理 由 ； 一 请
（１ 设 Ｓ 是 数 列 ｛ ｝ Ｉ） 的前 项 和 ， 出 下 列 给 两 组论 断 ：
列ｃ 一１ ｏ ＋寺 ＋÷ ＋…＋ 是发散的， 又是递增
ｒｔ
请 以其 中一 组 中的 一个 论 断为 条 件 ， 一 组 另
中的一个论 断 为结 论 组 成 一个 命 题 ． 断所 给 命 判 题 的真假 ， 并证 明你 的结论 ； （ｌ） 数列 ｛ ，ｂ｝ 是 Ｂ 数 列 ， 明 ： Ｉ 若 １ ａ ｝ ｛ 都 一 证 数
高考数学试题中的高等数学背景
， Ｊ ｛ 砖 …壕 ≥ ．
≤
．
－
干
一
— — — —
Ｐｂ ｚ ‘— ｂ ‘ —
－
６ ，
—
综上， 得
．
１
４ 。 － ｂ ’ ２ 。 。 。 ＋ 。 ‘ ＂ ＂ 。 。 － ＇ 。 ‘ ｋ — ｂ — — ｂ ｒ ｔ
≤踯 …碑 ≤ 蹭＋６ ； ＋… ＋礤
证明 ：
Ｉ ｎ ｘ ≥ （ １ ｎ ＋ ） （ ． Ｔ － 音 ） ＋ 去 ｌ ｎ １ ， 即ｘ ｌ ｎ ｚ ≥ （ １ ｎ 吉 ＋ １ ） 一 － １ ＿ 。 （ １ ）
构造 函数
ｇ （ ） ＝ － ： ｘ ｌ ｎ 一 １ 斗 １ ） ｚ
＋ （ Ｏ ＜ ＜ １ ） ，
先 证 砖 …磅 ≤ ＋雕＋ … ＋磙 注意
到ｂ ＋６ 。 ＋…＋ 一１ ， 应用琴生不等式得
， Ｊ ｝ 磅 …
一６ ・６ ・ 千
ｌ ｎ ≥ （ １ ｎ － Ｆ １ ） ｂ ￣ 一 寺 ，
当走 一１ ， ２ ， …， ， ｚ 时， 获得 个不 等式 ， 叠加得
例３ （ ２ ０ ｉ １ 年 湖 北高 考 理科 数 学第 ２ １
题） （工）已 知 函 数 ｆ（ ） 一Ｉ ｎ ～－ ｚ＋ １ ， － ｚ ∈（ Ｏ ， ＋∞ ） ， 求 函数 Ｌ ， 、 （ ） 的最 大值． （ １ Ｉ ） 设ａ ， ｂ （ 志 一１ ， ２ ， …， ） 均 为正 数 ，
１ 具 有 凸凹性 背景
（ Ｉ） 证 明： ｎ ＜一
… ：
， 咒 一３ ， ４ ， ５
例１ （ ２ ０ ０ ２ 年高考北京 卷第 １ ２ 题） 如 图１ 所示 ， （ ｚ ） （ 一１ ， ２ ， ３ ， ４ ） 是定义在［ ０ ， １ ］ 上的 ４ 个 函数 ， 其中满足性质 “ 对［ Ｏ ， １ ］ 中 任意的 Ｘ ， 和Ｘ ２ ， 任意 的 ∈［ Ｏ ， １ ］ ， ｆ Ｆ ａ ｘ ＋
≤
．
－
干
一
— — — —
Ｐｂ ｚ ‘— ｂ ‘ —
－
６ ，
—
综上， 得
．
１
４ 。 － ｂ ’ ２ 。 。 。 ＋ 。 ‘ ＂ ＂ 。 。 － ＇ 。 ‘ ｋ — ｂ — — ｂ ｒ ｔ
≤踯 …碑 ≤ 蹭＋６ ； ＋… ＋礤
证明 ：
Ｉ ｎ ｘ ≥ （ １ ｎ ＋ ） （ ． Ｔ － 音 ） ＋ 去 ｌ ｎ １ ， 即ｘ ｌ ｎ ｚ ≥ （ １ ｎ 吉 ＋ １ ） 一 － １ ＿ 。 （ １ ）
构造 函数
ｇ （ ） ＝ － ： ｘ ｌ ｎ 一 １ 斗 １ ） ｚ
＋ （ Ｏ ＜ ＜ １ ） ，
先 证 砖 …磅 ≤ ＋雕＋ … ＋磙 注意
到ｂ ＋６ 。 ＋…＋ 一１ ， 应用琴生不等式得
， Ｊ ｝ 磅 …
一６ ・６ ・ 千
ｌ ｎ ≥ （ １ ｎ － Ｆ １ ） ｂ ￣ 一 寺 ，
当走 一１ ， ２ ， …， ， ｚ 时， 获得 个不 等式 ， 叠加得
例３ （ ２ ０ ｉ １ 年 湖 北高 考 理科 数 学第 ２ １
题） （工）已 知 函 数 ｆ（ ） 一Ｉ ｎ ～－ ｚ＋ １ ， － ｚ ∈（ Ｏ ， ＋∞ ） ， 求 函数 Ｌ ， 、 （ ） 的最 大值． （ １ Ｉ ） 设ａ ， ｂ （ 志 一１ ， ２ ， …， ） 均 为正 数 ，
１ 具 有 凸凹性 背景
（ Ｉ） 证 明： ｎ ＜一
… ：
， 咒 一３ ， ４ ， ５
例１ （ ２ ０ ０ ２ 年高考北京 卷第 １ ２ 题） 如 图１ 所示 ， （ ｚ ） （ 一１ ， ２ ， ３ ， ４ ） 是定义在［ ０ ， １ ］ 上的 ４ 个 函数 ， 其中满足性质 “ 对［ Ｏ ， １ ］ 中 任意的 Ｘ ， 和Ｘ ２ ， 任意 的 ∈［ Ｏ ， １ ］ ， ｆ Ｆ ａ ｘ ＋
基于高观点的高考数学试题赏析
教学 参谋 新颖试题 ２０２０年４月
基于高观点的高考数学试题赏析
? 福建省同安第一中学 谭新华
高考命题专家团队主要以大学教授为主，命题专 家命题时不可避免会涉及自己的研究领域和研究喜 好．由 于 高 考 的 选 拔 功 能，高 考 命 题 专 家 越 来 越 青 睐 基于高等数学背景命制试题，意在考查考生进入高校 进一步学 习 的 潜 能．近 年 来 的 高 考 试 题 中，涌 现 了 不 少高观点试题，其 特 点 为 背 景 新、立 意 高、设 问 巧，形 成了一道亮丽的 风 景．本 文 从 “高 观 点 ”的 角 度 出 发， 对几道典型高考数学试题的命题背景作了分析．
Ａ．４５ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．２１０ 解析：由 题 意 知 犳（３，０）＝Ｃ３ ６Ｃ０ ４，犳（２，１）＝Ｃ２ ６Ｃ１ ４， 犳（１，２）＝Ｃ１ ６Ｃ２ ４，犳（０，３）＝Ｃ０ ６Ｃ３ ４，因此犳（３，０）＋犳（２，１） ＋犳（１，２）＋犳（０，３）＝１２０． 背景：本题的命题背景是组合数学中的范德蒙恒 等式 Ｃ狀０Ｃ狉犿 ＋Ｃ狀１Ｃ狉犿－１ ＋ … ＋Ｃ狉狀Ｃ０犿 ＝Ｃ狉狀＋犿 ，这个恒等式 可以利用母函数或者结合组合意义证明．
如图１，图２，当四边形犃犅犆犇 的边犃犇 上有５个整 点时，犖（狋）＝９；
如图３，当四边形 犃犅犆犇 的边犃犇 上有３个整点 时，犖（狋）＝１１；
如图４，当四边形 犃犅犆犇 的边犃犇 上有２个整点 时，犖（狋）＝１２．
所以选 Ｃ．
一、范德蒙恒等式
例１ （２０１４·浙江卷）在（１＋狓）６（１＋狔）４ 的展开 式中，记狓犿狔狀 项的系数为犳（犿，狀），则犳（３，０）＋犳（２， １）＋犳（１，２）＋犳（０，３）＝（ ）．
图１ 图２
图３ 图４
背景：对于格点多边形（顶点都是格点）的面积与
基于高观点的高考数学试题赏析
? 福建省同安第一中学 谭新华
高考命题专家团队主要以大学教授为主，命题专 家命题时不可避免会涉及自己的研究领域和研究喜 好．由 于 高 考 的 选 拔 功 能，高 考 命 题 专 家 越 来 越 青 睐 基于高等数学背景命制试题，意在考查考生进入高校 进一步学 习 的 潜 能．近 年 来 的 高 考 试 题 中，涌 现 了 不 少高观点试题，其 特 点 为 背 景 新、立 意 高、设 问 巧，形 成了一道亮丽的 风 景．本 文 从 “高 观 点 ”的 角 度 出 发， 对几道典型高考数学试题的命题背景作了分析．
Ａ．４５ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．２１０ 解析：由 题 意 知 犳（３，０）＝Ｃ３ ６Ｃ０ ４，犳（２，１）＝Ｃ２ ６Ｃ１ ４， 犳（１，２）＝Ｃ１ ６Ｃ２ ４，犳（０，３）＝Ｃ０ ６Ｃ３ ４，因此犳（３，０）＋犳（２，１） ＋犳（１，２）＋犳（０，３）＝１２０． 背景：本题的命题背景是组合数学中的范德蒙恒 等式 Ｃ狀０Ｃ狉犿 ＋Ｃ狀１Ｃ狉犿－１ ＋ … ＋Ｃ狉狀Ｃ０犿 ＝Ｃ狉狀＋犿 ，这个恒等式 可以利用母函数或者结合组合意义证明．
如图１，图２，当四边形犃犅犆犇 的边犃犇 上有５个整 点时，犖（狋）＝９；
如图３，当四边形 犃犅犆犇 的边犃犇 上有３个整点 时，犖（狋）＝１１；
如图４，当四边形 犃犅犆犇 的边犃犇 上有２个整点 时，犖（狋）＝１２．
所以选 Ｃ．
一、范德蒙恒等式
例１ （２０１４·浙江卷）在（１＋狓）６（１＋狔）４ 的展开 式中，记狓犿狔狀 项的系数为犳（犿，狀），则犳（３，０）＋犳（２， １）＋犳（１，２）＋犳（０，３）＝（ ）．
图１ 图２
图３ 图４
背景：对于格点多边形（顶点都是格点）的面积与
一类具有高等数学背景的高考压轴题的解法
Ｖ ＝ ｛ 一 ２ ， ２ ， 一 ３ ， ３ ， 一 ４ ， ４ ， 一 ５ ． ５ …｝ ，即 除去 一 １ ， ０ ， ｌ 的
； ｖ Ｉ ｙ ＝ ， Ｉ ） ， ∈Ｍ ｝ ， 给 出 下列 四个 判 断 ： ①若Ｐ ｕ朋＿ － ， 则 Ｐ） ｎ厂 （ Ｍ） ： （ 若Ｐ ｎ ≠ ， 则厂 （ 尸 ） Ｕｉ （ Ｍ） ＝ Ｒ （ 若Ｐ ＵＭ＝ Ｒ， 则， （ Ｐ ） Ｕ， 【 ） ≠ （ 若尸 ｕ ≠ ， 则 Ｐ） ｕ厂 【 Ｍ） ≠Ｒ 其中正确判断有（ ） 。
以 下 是我 做 的一 些 尝试 。 第 一次， 从奇偶 的角度举例。令 是奇数集 ， 是 偶 数 集 ，满 足 ｎ ＝ 西， ｕＶ ＝ ｚ，且 Ｖ。 ， ｂ ， ｃ∈Ｔ ， 有 ａ ｂ ｃ∈Ｔ ， Ｖ ， Ｙ ， ∈Ｖ， 有ｘ ｙ ｘ∈Ｖ， 此 时Ｔ 、 对乘 法都 是封闭的 ；
一
Ａ ． ①②
ｆ ０． ｘ＝２
Ｂ ． ①③
ｃ ． ②④
Ｄ ． ③Байду номын сангаас
解析 ： （ １ ） 的反例 ， 可 以举 带 有 间 断 点 的， （ ） ：
【 ２ ， ∈ｌ １ ， ２ ） Ｕ（ ２ ， ３ Ｊ
举例需要技术 ， 举的例子必须典 型 ， 有代表 性 ； 每次举例需有甄别性 ， 从不 同的角度认识 同一事物 ， 横看成岭侧成峰 ； 举 的例子必须满足题 目的条件。
的两 个 不 相 交 的非 空 子 集 ， ｕ ＝ ｚ， 且 Ｖ０ ， ｂ ， ｃ ∈ ， 有ｎ ６ ｃ∈Ｔ ， Ｖ ， ｖ ， Ｅ Ｖ ，有 ｘ ｙ ｚ ＥＴ ， Ｖ ， ｖ ， ｚ Ｅ Ｖ ， 有 ｘ ｙ ｚ∈Ｖ ， 则下 列 结 论 恒 成 立 的 是 （ ） 。
Ａ ． 、 ｌ ， 中至少有一个关于乘法是封闭的 Ｂ ． 、 中至多有一个关 于乘法是封闭的 Ｃ ． Ｔ 、 Ｖ 中且只有一个关 于乘法是封闭的 Ｄ 中每一个关于乘法都是封 闭的 这是一道具有高等数学背景 的高考题 ，还是一 道选择乐轴题。 从 学 生 实 际水 平 的角 度 出发 ， 不 可 能
； ｖ Ｉ ｙ ＝ ， Ｉ ） ， ∈Ｍ ｝ ， 给 出 下列 四个 判 断 ： ①若Ｐ ｕ朋＿ － ， 则 Ｐ） ｎ厂 （ Ｍ） ： （ 若Ｐ ｎ ≠ ， 则厂 （ 尸 ） Ｕｉ （ Ｍ） ＝ Ｒ （ 若Ｐ ＵＭ＝ Ｒ， 则， （ Ｐ ） Ｕ， 【 ） ≠ （ 若尸 ｕ ≠ ， 则 Ｐ） ｕ厂 【 Ｍ） ≠Ｒ 其中正确判断有（ ） 。
以 下 是我 做 的一 些 尝试 。 第 一次， 从奇偶 的角度举例。令 是奇数集 ， 是 偶 数 集 ，满 足 ｎ ＝ 西， ｕＶ ＝ ｚ，且 Ｖ。 ， ｂ ， ｃ∈Ｔ ， 有 ａ ｂ ｃ∈Ｔ ， Ｖ ， Ｙ ， ∈Ｖ， 有ｘ ｙ ｘ∈Ｖ， 此 时Ｔ 、 对乘 法都 是封闭的 ；
一
Ａ ． ①②
ｆ ０． ｘ＝２
Ｂ ． ①③
ｃ ． ②④
Ｄ ． ③Байду номын сангаас
解析 ： （ １ ） 的反例 ， 可 以举 带 有 间 断 点 的， （ ） ：
【 ２ ， ∈ｌ １ ， ２ ） Ｕ（ ２ ， ３ Ｊ
举例需要技术 ， 举的例子必须典 型 ， 有代表 性 ； 每次举例需有甄别性 ， 从不 同的角度认识 同一事物 ， 横看成岭侧成峰 ； 举 的例子必须满足题 目的条件。
的两 个 不 相 交 的非 空 子 集 ， ｕ ＝ ｚ， 且 Ｖ０ ， ｂ ， ｃ ∈ ， 有ｎ ６ ｃ∈Ｔ ， Ｖ ， ｖ ， Ｅ Ｖ ，有 ｘ ｙ ｚ ＥＴ ， Ｖ ， ｖ ， ｚ Ｅ Ｖ ， 有 ｘ ｙ ｚ∈Ｖ ， 则下 列 结 论 恒 成 立 的 是 （ ） 。
Ａ ． 、 ｌ ， 中至少有一个关于乘法是封闭的 Ｂ ． 、 中至多有一个关 于乘法是封闭的 Ｃ ． Ｔ 、 Ｖ 中且只有一个关 于乘法是封闭的 Ｄ 中每一个关于乘法都是封 闭的 这是一道具有高等数学背景 的高考题 ，还是一 道选择乐轴题。 从 学 生 实 际水 平 的角 度 出发 ， 不 可 能
试析高等数学背景下的高考试题
关键 词
高等 数 学； 背景 ；高考试 题
３以琴生不等式为背景的试题
例３ （ 同 例２ ）。 我们 来看 第（ ２ ） 问左端 的证 明
明 ：当整数 ｍ＞１ 时 ，方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 在［ ｅ － ｍ － ｍ， ｅ ２ ｍ — ｍ］ 内有 两 个实根 （ ２ ０ ０ ４ 年 高考 广 ‘ 东 卷２ １ 题） 本题 中给 出 的定 理 ， 正 是 介 值 定理 的 特 殊情 形一 零 点定理 。 （ １ ）略 。 （ ２）证 明 ：当时 ｍ＞ｌ 时， ｆ （ ｘ ） 在【 ｅ — ｍ， １ － ｍ］ ＊ ｌ 【 １ － ｍ， ｅ ２ ｍ ＿ ｍ］ 上 都连 续 可导 ｆ （ ｅ 。 。 ” 一 ｍ） ＝ ｅ 一 ｍ （ 一 ｍ） ： ｅ ” ＞Ｏ
出 了新 的 研 究课 题 。
ａ＋ 方
域 内为递 增 函数 又
Ｔ
，所以
ｇ （ ｑ ： ） ＞ ｇ （ ｑ １ ） Ｂ 口 ｇ （ ｇ ２ ） 一 ｇ（ ｑ Ｉ ） ＞ ０ 。 同时ｂ － ａ ＞Ｏ ，所以
ｇ （ 口 ） ＋ｇ （ ６ ） 一２ ｇ（ — ａ ＋ ＝ 一 ｂ ） ＞ ０
．
（ ）
一
，
。
．
．
’
．
．
．
．
．
．
ｇ （ ｍ） ＝ ｅ ２ ｍ ＿３ ｍ＞ｅ ２ －３ ＞０
ｘ ， ｘ ， …， ｘ 为 不全相 等 的正数 ，
ｘ ｌ ｘ２
・ ・ ・
ｆ （ ｅ ２ ｍ － ｍ） ＞０ 当ｘ∈ （ １ 一 ｍ， ｅ ２ Ｉ ｎ — ｍ） 时，
１
・
．
・ ｇ （ ） ＝ｘ ｌ ｎ ｘ ， ． ’ （ ｘ ） ＝ｌ ｎ ｘ ＋ｌ， ｇ（ ， 一 ｘ
“高观点”下数学试题编写的模式探究
Ｍ ａｈ ｍ ａｉ ｓ ｔ ｅ ｔｃ Ｅｄ ａ ｉｎ ｕｃ ｔｏ
０ ｛ ２ １ ０ ０
摘 要 ：近几年 高考数 学试题 中出现 了大量与 高等数 学衔接 紧 密的 问题 ，以近三 午各地 高考数 学试题 为例 ，剖 析此类 问题
的 解题 方 法 和 命 题 背 繁 ， 总 结得 到 以 高 等 数 学概 念或 符 号 、公
、
以 高等 数 学 概 念 、符 号 为 背 景设 计 试 题
１ 高等 数 学概 念 为 背景 ．以 高 等数 学 的 许 多 概 念 址 ・ 学 数 学 的延 伸 ， 以有 界 函数 、闭 ｉ 】
２ ．以高等数 学符号为背景 高等数学 中涉及很 多符号 ，以［ 表示取整 函数 、ｎ表示连 ］
整数集是数域 ； ② 特有理数集 Ｑ ，则数集 必为数 域 ；
（ Ｙ［ ］ Ａ ＝斋 ）
（ ｃ ｈ＝ ］
（）＝ ＢＹ ［ ］
（）＝ ＤＹ［ ］
收 稿 日期 ：２ １— ５ ０ ０ ０ — ５ １
作者简介 ：张夏强 （９ ９ ） １７ 一 ，男，福建 闽清人 ，中学一级 教师，硕士 ，主要从事 中学数学解题 与命题等方 面的研 究
６、ａ 、 ｂ
ｆ Ｊ
∈Ｐ （ 除数 ｂ ） ≠０ ，则称 Ｐ是一个数域． 如有理数 集 例
人数 Ｙ与该班 人数 之川 的 数关 系用取整 函数 Ｙ＝［ （ ］ ］ 表
示 不 大 于 的 最 大整 数 Ｉ 表示 为 （ 以 ） ．
Ｑ 是数域 ；数集 Ｆ＝｛ ＋ 、 ２ “ Ｑ｝ “ ６／ 、ｂ 效 地 考食学 的思维 能 和 继续学 习数 学的潜 能 ， 也是数域 ，＠正确．故答案选④④． 【 点评】本题 以高等代数 中 “ 域” 的概 念为背景，其 实质 是 ｉ成 为高 考 命 题 的 一 道 亮 的 “ 景 ” 文 以 近 ． 各 地 （ Ｉ 风 ．本 二年 王 除数不 勺 高 考 数 学 试 题 为 例 ，剖 析 此 类 Ｍ 题 的 解 题 方 法 和 命 题 背 景 ，就 对于 数集 Ｐ中的 『意 两个 数满足 四则运 算 的封 闭性 （ 零 ） 考 查 学 生 面对 新 概念 ， 灵 活利 用 合 情 推理 训 练 思 维 正 向迂 ， ｒ 观点”斌题 的编写模 式进行初 探 ，希望能起到抛砖引玉的作
０ ｛ ２ １ ０ ０
摘 要 ：近几年 高考数 学试题 中出现 了大量与 高等数 学衔接 紧 密的 问题 ，以近三 午各地 高考数 学试题 为例 ，剖 析此类 问题
的 解题 方 法 和 命 题 背 繁 ， 总 结得 到 以 高 等 数 学概 念或 符 号 、公
、
以 高等 数 学 概 念 、符 号 为 背 景设 计 试 题
１ 高等 数 学概 念 为 背景 ．以 高 等数 学 的 许 多 概 念 址 ・ 学 数 学 的延 伸 ， 以有 界 函数 、闭 ｉ 】
２ ．以高等数 学符号为背景 高等数学 中涉及很 多符号 ，以［ 表示取整 函数 、ｎ表示连 ］
整数集是数域 ； ② 特有理数集 Ｑ ，则数集 必为数 域 ；
（ Ｙ［ ］ Ａ ＝斋 ）
（ ｃ ｈ＝ ］
（）＝ ＢＹ ［ ］
（）＝ ＤＹ［ ］
收 稿 日期 ：２ １— ５ ０ ０ ０ — ５ １
作者简介 ：张夏强 （９ ９ ） １７ 一 ，男，福建 闽清人 ，中学一级 教师，硕士 ，主要从事 中学数学解题 与命题等方 面的研 究
６、ａ 、 ｂ
ｆ Ｊ
∈Ｐ （ 除数 ｂ ） ≠０ ，则称 Ｐ是一个数域． 如有理数 集 例
人数 Ｙ与该班 人数 之川 的 数关 系用取整 函数 Ｙ＝［ （ ］ ］ 表
示 不 大 于 的 最 大整 数 Ｉ 表示 为 （ 以 ） ．
Ｑ 是数域 ；数集 Ｆ＝｛ ＋ 、 ２ “ Ｑ｝ “ ６／ 、ｂ 效 地 考食学 的思维 能 和 继续学 习数 学的潜 能 ， 也是数域 ，＠正确．故答案选④④． 【 点评】本题 以高等代数 中 “ 域” 的概 念为背景，其 实质 是 ｉ成 为高 考 命 题 的 一 道 亮 的 “ 景 ” 文 以 近 ． 各 地 （ Ｉ 风 ．本 二年 王 除数不 勺 高 考 数 学 试 题 为 例 ，剖 析 此 类 Ｍ 题 的 解 题 方 法 和 命 题 背 景 ，就 对于 数集 Ｐ中的 『意 两个 数满足 四则运 算 的封 闭性 （ 零 ） 考 查 学 生 面对 新 概念 ， 灵 活利 用 合 情 推理 训 练 思 维 正 向迂 ， ｒ 观点”斌题 的编写模 式进行初 探 ，希望能起到抛砖引玉的作
高等数学背景下的高考命题探究_2_省略_12年全国数学高考理科卷第22题_杨思源
2， 4］上连续， f ' （ x） = 在区间［ 2x － 2 ＞ 0， f ″ （ x ） = 2 ＞ 0， 且 f（ 2 ） = － 3 ＜ 0 ， f（ 4 ） = 5 ＞ 0 ． 图3
第1 期
杨思源: 高等数学背景下的高考命题探究
· 25· x n +1 － 3 = xn + 1 = xn － 3 ； xn + 2 （ 3） （ 4）
（ 由 αγ≠β 可知 λ ≠α） ．
2 当（ γ － α） + 4 β≠0 时， 有
a n + 1 － λ1 = a n + 1 － λ2 = 从而
α － λ1 （ a － λ1 ） ； an + γ n α － λ2 （ a － λ2 ） ， an + γ n
3 或 x = － 1， 因此
a n + 1 － λ1 α － λ1 a n － λ1 = · ， a n + 1 － λ2 α － λ2 a n － λ2
· 24·
中学教研 ( 数学)
2013 年
高 等数学背景下的高考命题探究
— — —2012 年全国数学高考理科卷第 22 题
●杨思源
( 嘉定区第一中学 上海 201808 )
2 题目 设函数 f （ x ） = x － 2 x － 3 ， 定义数列 ｛ x n ｝ 如 下： x1 = 2 ， xn + 1 是 过 点 P （ 4， 5） ， Qn （ xn ， f（ x n ） ） 的直线 PQ n 与 x 轴交点的横坐标． （ 1 ） 证明： 2 ≤x n ＜ x n + 1 ＜ 3 ； （ 2 ） 求数列｛ x n ｝ 的通项公式．
5（ xn + 1） ． xn + 2
高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｗ ｉｈ ｒ ｌｔｄ ｋ ｏ ｅ ｇ ｆａ ｖ ｎ ｅ ｔ ｅ ｃ ｉｓ，ｗｅ ａ ｐｙ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ｆｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｕ ｃ ｉｎ ｓｒ ｃ ｔ ｅ ａｅ ｎ ｗｌ ｄ ｅ ｏ ｄ ａ ｃ ｄ ｍａ ｍａ ｔ ｈ ｃ ｐ ｌ ｒ ｐ ｒｉｓ ｏ ｏ ｔｎ ｏ ｓｆ ｎ ｔ ｈ ｏ
在知 识上 以函数 和不 等式为 载体研究 相关 函数 的性 质 ； 在方 法上 重 点考 查求 一 阶 导数 、 阶 导数 ， 断 二 判
函数 的单调 性 ， 放缩 法 等方法 和数形 结合 的思 想 。 由于本 文 出现 的定 理在 各 版本 的高 等数 学 或数 学 分 析 中都 可 以查 到 ， 以定 理 的证 明过程 略去 ， 所 仅使 用其结 论 。对于本 文 中不属 于 以高等数 学 中的有关 知
ｉ ｌｓ ｄｉｔｒａ ｎ ｉｏｏ ｓｃ ｎ ｅ ｕ ｃｉｎ，ａ ｄＪ ｎ ｅ ’ ｎ ｑ ａｉ ｏａ ａｙｅ ａ ｄ ｓｌｅ ｓｍｅｔｓ ｕ ｓ ｎ ｃｏｅ ｎｅｖ ｌａ ｄｒ ｒｕ ｏ ｖ ｘｆｎ ｔ ｇ ｏ ｎ ｅ ｓ ｎ Ｓｉｅ ｕ ｌｙｔ ｎ ｌｓ ｎ ｏｖ ｏ ｅｔｑ ｅ— ｔ
第２ ９卷第 ６期 ２０ ０ ９年 １ ２月
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高等 数学 背景下 的函数 与不等 式高考试题 分析
收稿 日期 ：０ ９０ —２ ２０ －４２ ．
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高等数学背景下的高考数学试题探究
高考数学试题主要分为高中数学和高等数学，而由于高
等数学的深入和抽象的学习过程，使得考试试题也有着不同的特点。
今天，就从高等数学背景下的高考数学试题来谈谈如何探究。
首先，高考数学试题在设置方面，除了考查基础知识，
更多的考查考生的深入分析能力、思维能力、解决问题能力，这就需要考生拓展视野，对问题中可能隐含的高等数学知识有所了解。
比如，高考数学试题中会涉及到三角函数、简单微分等高等数学认知。
其次，在探究试题的过程中，还需要多利用高等数学的
工具，即利用数学建模相关的理论，充分利用变量等技巧，熟练掌握这一工具，可以有效解决实际问题。
最后，在解决高考数学试题时，关键是理解题目意图，
找出解题关键点，确定问题的解决方案。
虽然高等数学的抽象思想会让人望而却步，但是只要学习要点和知识点掌握得当，通过运用高等数学的解题思路，找到解题的正确途径，就可以得到正确的答案。
总而言之，解决高考数学试题，需要结合高等数学的认
知与工具，熟练掌握相关理论，善于思考和分析，抓住关键点，积累足够的经验，以便在考试中取得好成绩。