新工科背景下高等数学课程的计算思维案例设计

新工科背景下高等数学课程的计算思维案例设计作者：谢超凡叶阿真来源：《电脑知识与技术》2021年第33期摘要：近年来，大数据、人工智能、物联网以及计算机视觉的蓬勃发展，使得市场对大学生的基础工科能力需求有了质的变化，同时，对相关课程尤其是基础课程的设计有了更高的要求，希望基础课程能有紧紧地围绕新兴的学科特别是人工智能这些有生命力的相关领域，在这种背景下，该文围绕新工科背景下高等数学课程的计算思维进行案例设计，并给出了三个相关案例。

关键词：人工智能;新工科;计算思维中图分类号：G642 文献标识码：A文章编号：1009-3044（2021）33-0228-04开放科学（资源服务）标识码（OSID）：1 高等数学课程的改革背景新工科时代的到来，特别是以人工智能为首的新兴工程学科的蓬勃发展，使得大学生的计算思维培养变得尤为重要。

培养大学生的多种思维能力;在计算思维的研讨中要从实际出发，把复杂的问题简单化，而不要把简单的问题复杂化;要注意内容和方法的大众化，讲求实效。

大学生是国家和社会的中坚力量，如何使大学生所学的知识更好地服务社会，是目前最为迫切需要解决的问题。

段跃兴认为计算思维对培养当今大学生自身素养、创新能力等方面的重要性，提出大学基础教育应以培养学生的计算思维及计算能力为目标，采用"1+X"模式，提高大学生计算思维能力[1]。

美国卡内基.梅隆大学周以真教授在美国计算机权威杂志ACM指出计算思维不是只属于计算机科学家，而是每个人都应具备的基本技能，在培养孩子的计算机能力时候要同时培养计算思维的能力[2]。

计算思维促成NSF（美国国家科学基金会）的CDI（Cyber-Enabled Discovery and Innovation）计划，CDI计划的目的是借助计算思维的思想和方法促进国家自然科学、工程技术领域发生重大变革，以此改变人们思维的方式，从而使国家现代科技遥遥领先于世界[3-4]。

2014年，CAS（Computing at School Working Group）深入分析思维的定义、核心概念、教学方法和评估框架，研制出计算思维培养框架，为中小学基础课程中融入计算思维提供指导作用[5]。

美国范德堡大学的Gautam Biswas 教授认为尽管目前已经发现计算思维与STEM教育之间的协同效应，但对计算思维的领域共性与科学表示的领域特性时间的互换协调与探索，是教育领域的重大挑战[6]。

以上学者均给出了通过基础教育培养计算思维的重要性，也给出了相应的概念模式，但是并没有给出具体的实践和实验方法步骤，为了探索新工科背景下的人才培养，提升基础教育研究水平，面向高等数学与学科领域深度融合的教学改革新思路，培养学生计算思维能力为导向的教学内容改革，推动“人工智能、智能制造、互联网+、云计算、大数据”等信息技术与基础教育教学深度融合，使得高等数学基础课程也能解决工程领域的大型科研问题[7-11]。

不管是学科的前沿问题还是复杂系统的架构问题，都可以先通过高等数学基础工具来构建基本方法和组件，使学生具备更扎实的基础计算能力，为高年级的专业课程的基础概念有了形象化的能力，不再畏惧复杂的計算和抽象知识。

将现有教学模式与计算思维下的高等数学基础教学模式进行教学效果对比实验，发现目前大学高等数学与计算数学思维相结合模式的缺点，主要体现在学生只会做单纯的数学题，也就是说本质上和高中的水平并无拉开太大的距离，一旦脱离课本寻求一个现实的切入点或者需要使用数学工具进行建模的时候，学术开始感到无所适从和无从下手[12-14]。

学生已经习惯了有一个标准的答案的形式或者说做题的模式和惯性，这在大学生素质培养中反而变成成长过程中的绊脚石，特别是即将到来的工业4.0时代，需要人才不仅具有计算机能力，更需要具备使用高等数学等基础课程来处理和建模实际问题，解决实际问题的能力，而这种问题往往没有标准答案，也没有统一的解题思路和惯性。

改革现有的教学模式，让学生在解决一个实际问题中去学习知识，自我构建知识、获得技能，提升解决实际问题的计算建模思想。

打破传统的师生关系，倡导学生学习的自主性与教师教学的启发性，学生的主观能动性与实践是检验真理的唯一标准相结合的思想，实践又反过来指导学生学习理论知识。

要突破目前高校高等数学课程教学和实际需求脱钩的问题，因此需要寻求培养计算数学思维与高等数学基础教育的最优切入点和案例点，使用各个学科中存在的高等数学元素，或者说提炼出高等数学元素进行结合从而组合成为一个案例，这样不仅能丰富低年级学生的高等数学素养，更重要的是已经进入了工程实践环节，知识来源于实践，服务于实践的辩证唯物主义得到了充分的体现。

打破传统的考核制、考级制学习方式，课程本身隔离了与其他课程的联系，教师不应该再去加大这种距离性，研究通过项目驱动重新把科研实践的问题把所有的相关知识组合在一起，达到一种知识最完美的耦合度。

高等数学将重新焕发它作为基础学科的生命力，从其他各个学科和工程类专业中吸取积极的养分，并为高年级的课程学习打下更为坚实的基础。

本文，提出了高等数学的几个实际案例，涉及人工智能、神经网络、概率论、变分学、偏微分方程等领域。

2 高等数学与计算思维融合设计案例（1）高等数学计算最优概率分布函数案例一：系统的可靠性密度函数[p（t）]包含两个未知参数，且随时间[t]变化，系统函数的熵为公式（1）。

在条件（2）（3）（4）下，使系统熵最大化的分布函数为正态分布。

[Max [J[p（t）]=-∞+∞-p（t）lnp（t）dt] （1） [ s.t.-∞+∞p（t）dt=1 -∞+∞tp（t）dt=μ -∞+∞t2p（t）dt=ν2 ] （2）（3）（4） ]证明：令 [G=-p（t）lnp（t）]，[G1=p（t）]，[G2=tp（t）]，[G3=t2p（t）].为：在约束条件下的拉格朗日方程：[H=G+λ1G1+λ2G2+λ3G3=-p（t）lnp（t）+λ1p（t）+λ2tp（t）+λ3t2p （t）]，则目标函数为：[[J*=-∞+∞Hdt= -∞+∞-p（t）lnp（t）+λ1p（t）+λ2tp（t）+λ3t2p（t）dt] （5） ]根据取得极值的欧拉条件方程为：[[-lnp（t）-1+λ1+λ2t+λ3t2=0] （6） [p（t）=eλ1-1+λ2t+λ3t2] （7）代入约束条件（2）可得：[ -∞+∞p（t）dt=-∞+∞eλ1-1+λ2t+λ3t2dt=eλ1-1e-λ22λ3-∞+∞eλ3x2dx=1] （8） ]代入約束条件（3）可得：[[ -∞+∞tp（t）dt=-∞+∞teλ1-1+λ2t+λ3t2dt=eλ1-1e-λ22λ3-∞+∞（x-λ22λ3）eλ3x2dx=-λ22λ3=μ] （9）代入约束条件（4）可得：[λ2=μν2-μ2，λ3=12（μ2-ν2）] （10）最终可得：[p（t）=12π（ν2-μ2）e-（t-μ）22（ν2-μ2）] （11） ]因此，系统最稳定可靠的分布曲线为正态分布，均值为[μ]，方差为[σ2=ν2-μ2]，证明完毕。

（2）高等数学数值离散化偏微分方程案例二：[∂u∂t=∂2u∂x2]定值条件为：（1）初始条件[（t=0）：u（x，0）=0，x∈[0，10]]（2）[u（0，t）=100，t≥0]（3）[u（10，t）=50，t≥0]根据Crank-Nicolson方法，方程的左端改写为：[uj+1i-ujiΔt]，方程的右端，需要在时间点[j]和时间点[j+1]上对[∂2u∂x2]离散化。

下面给出[∂2u∂x2]离散化的中心差分公式，由于是对空间域做差分，下面略去时间域上标，根据泰勒展开公式：[[ui+1=ui+Δx∂u∂x|i+Δx22∂2u∂x2|i+Δx33！∂3u∂x3|i+o（Δx4）] （12） [ui-1=ui-Δx∂u∂x|i+Δx22∂2u∂x2|i-Δx33！∂3u∂x3|i+o（Δx4）] （13）两式相加可得：[ui+1+ui-1=2ui+Δx2∂2u∂x2|i+o（Δx4）] （14）移项可得[∂2u∂x2]离散化的中心差分公式：[∂2u∂x2|i=ui+1-2ui+ui-1Δx2] （15） ]根据式（14）和式（15）可得例1方程右端的离散化公式如下：[[12（Fj+1i（u，x，t，∂u∂x，∂2u∂x2）+Fji（u，x，t，∂u∂x，∂2u∂x2））=12（∂2u∂x2|j+1i+∂2u∂x2|ji）] （16） ]式（15）代入到式（16）可得：[[12（∂2u∂x2|j+1i+∂2u∂x2|ji）=（（uj+1i+1-2uj+1i+uj+1i-1）+（uji+1-2uji+uji-1））2Δx2] （17） ]则可推得例2的离散化方程如下：[[uj+1i-ujiΔt=（（uj+1i+1-2uj+1i+uj+1i-1）+（uji+1-2uji+uji-1））2Δx2] （18） ]为了建立迭代计算式，根据式（18）把时间点[j+1]间的项移动到方程式的左边，把时间点[j]的项移动到方程式的右边，则可得：[[-Δt2Δx2uj+1i+1+（1+ΔtΔx2）uj+1i-Δt2Δx2uj+1i-1=Δt2Δx2uji+1+（1-ΔtΔx2）uji+Δt2Δx2uji-1] （19） ]令[r=Δt2Δx2]则，式（19）可写为：[[-ruj+1i+1+（1+2r）uj+1i-ruj+1i-1=ruji+1+（1-2r）uji+ruji-1] （20） ]假设[Δx=2]，则区间[0，10]分成5份，6个端点，根据定值条件（2）以及式（20）可得：[[-ruj+13+（1+2r）uj+12-ruj+11=ruj3+（1-2r）uj2+ruj1] （21） ]其中，根据定值条件（2）[uj1=100，uj+11=100]值，代入式（21）可得：[[-ruj+13+（1+2r）uj+12=ruj3+（1-2r）uj2+200r] （22） ]同理，根据定值条件（3）以及式（22）可得：[[-ruj+16+（1+2r）uj+15-ruj+14=ruj3+（1-2r）uj2+ruj1] （23） ]其中，根据定值条件（3）[uj6=50，uj+16=50]值，代入式（23）可得：[[（1+2r）uj+15-ruj+14=（1-2r）uj5+ruj4+100r] （24） ]根据式（18），（23）和（24）令矩阵：[A=1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r]，[B=1-2rr00r1-2rr00r1-2rr00r1-2r][w=[200r，0，0，100r]T]，则例1离散的迭代方程可以表示如下：[ 1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2ruj+12uj+13uj+14uj+15=1-2rr00r1-2rr00r1-2rr00r1-2ruj2uj3uj4uj5+200r00100r]（25）（3）（4） ]证明：令 [G=-p（t）lnp（t）]，[G1=p（t）]，[G2=tp（t）]，[G3=t2p（t）].为：在约束条件下的拉格朗日方程：[H=G+λ1G1+λ2G2+λ3G3=-p（t）lnp（t）+λ1p（t）+λ2tp（t）+λ3t2p （t）]，则目标函数为：[[J*=-∞+∞Hdt= -∞+∞-p（t）lnp（t）+λ1p（t）+λ2tp（t）+λ3t2p（t）dt] （5） ]根据取得极值的欧拉条件方程为：[[-lnp（t）-1+λ1+λ2t+λ3t2=0] （6） [p（t）=eλ1-1+λ2t+λ3t2] （7）代入约束条件（2）可得：[ -∞+∞p（t）dt=-∞+∞eλ1-1+λ2t+λ3t2dt=eλ1-1e-λ22λ3-∞+∞eλ3x2dx=1] （8） ]代入约束条件（3）可得：[[ -∞+∞tp（t）dt=-∞+∞teλ1-1+λ2t+λ3t2dt=eλ1-1e-λ22λ3-∞+∞（x-λ22λ3）eλ3x2dx=-λ22λ3=μ] （9）代入约束条件（4）可得：[λ2=μν2-μ2，λ3=12（μ2-ν2）] （10）最终可得：[p（t）=12π（ν2-μ2）e-（t-μ）22（ν2-μ2）] （11） ]因此，系统最稳定可靠的分布曲线为正态分布，均值为[μ]，方差为[σ2=ν2-μ2]，证明完毕。