例说中学数学部分问题的高等数学背景

例说中学数学部分问题的高等数学背景
任何事物之间都是有联系的，初中数学和高等数学也不例外。

看似复杂的高考题背后用高等数学的一个定理就能很简单的解决，用高观点来看低问题往往就比较容易。

在近几年的高考中就出现了一些有着一定高等数学背景的试题, 这类题目形式新颖,既能开阔数学视野,有利于完成高等数学与初等数学的衔接, 又能有效地考查考生的学习潜能。

因此,这类以高等数学为背景的高考试题成为高考中的一道新风景。

所以,在中学数学教学中应注意高等数学思想和知识的渗透, 同时注意这方面的能力培养, 适当地对初等数学与高等数学的衔接处进行探究, 这样有利于提高学生分析、解决问题的能力。

下面我们就来看几个初中数学问题背后连接的高等数学定理。

一．以不动点原理为背景
不动点原理是高等数学上一个重要的原理,也叫压缩映像原理或Banach 不动点定理,完整的表达;完备的距离空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点. 用初等数学可以这么理解:连续映射f的定义域包含值域, 则存在一个x使得f (x) = x。

例：对于函数f（x) ,若存在x0 ∈R,使f ( x0 ) = x0 成立,则称x0 为f ( x) 的不动点. 已知函数f ( x) = ax 2 + ( b + 1) x + ( b -1) ( a ≠0)
(1) 当a = 1 , b = - 2 时,求函数f ( x) 的不动点;
(2) 若对任意数b, 函数f ( x) 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围;
解析: (1) 当a = 1 , b = - 2 时, f ( x) = x2 -x - 3 , 由题意可知x = x2 - x - 3 ,得x1 = - 1 , x2 = 3.所以,当a = 1 , b = - 2 时,求函数f(x)的不动点为- 1 ,3。

(2)因为f(x) = ax 2 + ( b + 1) x + ( b - 1)( a ≠0)恒有两个不动点,所以x = ax 2 + ( b + 1) x + ( b - 1) ,即a x 2 + bx+ ( b - 1) = 0 恒有两个相异的实数根,得Δ= b2 - 4 ab + 4 a > 0 ( b ∈R) 恒成立.于是Δ′= (4 a) 2 - 16 a < 0 ,解得0 < a < 1 ,所以,当b ∈R, f(x)恒有两个相异的不动点时, a 的取值范围为0 < a < 1。

根据函数f ( x) 的不动点的定义可知:不动点是方程f ( x) = x 的实数根. 本题中(1) 即是求方程f ( x) = x2 - x - 3 = x 的实数根x0; (2) 即是x = ax 2 + ( b + 1) x + ( b - 1) ,即ax 2+ bx + ( b - 1) = 0 恒有两个相异的实数根,其对应的判别式Δ > 0. 通过如此转换, 我们就很快解决了一个陌生的问题。

因此, 我们一定要坚信:在高考阶段出现的以高等数学知识为背景的试题,一定可以转换到初等数学知识内容上来解决。

而问题
的关键是如何进行转换和过渡, 如何进行知识的正迁移,建构出熟悉和谐的知识体系和问题背景。

二．以闭区间上连续函数的介值性定理为背景
介值性定理：设f 在闭区间[ a , b] 上连续,且f (a) ≠f ( b) ,若μ为介于f (a) 与f ( b) 之间的任何实数f (a) < μ < f ( b) 与f ( a) >μ > f (b) ,则存在x0 ∈( a , b) 使f ( x0 ) = μ。

例：设函数f (x) = x -ln ( x + m) ,其中常数m 为整数。

(1) 当m 为何值时, f (x) ≥0 ;
(2) 定理: 若函数g (x) 在[ a , b] 上连续, 且g ( a) 与g ( b) 异号,则至少存在一点x0 ∈ ( a , b) ,使g ( x0 ) = 0。

试用上述定理证明:当整数m > 1 时, 方程f( x) = 0 在[e- m - m ,e2m ] 内有两个实根。

解析: (1) 函数f ( x) = x - ln ( x + m) , x ∈( - m , + ∞) 连续, 且f′( x) = 1 -1／x + m, 令f′( x) = 0 ,得x = 1 - m.当x ∈( - m ,1 - m) 时, f′( x) < 0 , f ( x) 为减函数, f ( x) > f (1 - m) ,当x ∈(1 - m , + ∞) 时, f′( x) > 0 , f ( x) 为增函数, f ( x) > f (1 - m) , 根据函数极值判别方法, f (1 - m) = 1 - m为极小值,而且对x ∈( - m , + ∞) 都有f ( x) ≥f (1 - m) =1 - m.故当整数m ≤1 时, f ( x) ≥1 - m ≥0。

(2) 证明:由(1) 知,当整数m > 1 时, f (1 -m) = 1 - m < 0 ,函数f ( x) = x - ln ( x + m) ,在[e- m - m ,1 -m] 上为连续减函数。

f (e- m - m) = e- m - m - ln (e- m - m + m) =e- m > 0。

当整数m > 1 时, f (e- m - m) 与f (1 - m) 异号,由所给定理知, 存在唯一的x1 ∈ (e- m - m ,1 - m) ,使f ( x1 ) = 0.而当整数m > 1 时,f (e2m - m) = e2m - 3m > (1 + 1) 2m - 3m >1 + 2m +2m (2m - 1) ／2- 3m > 0.类似地,当整数m > 1 时, 函数f ( x) = x -ln ( x + m) 在[1 - m ,e- m - m] 上为连续增函数且f (1 - m) 与f (e2m - m) 异号,由所给定理知,存在唯一的x2 ∈[1 - m ,e- m - m] ,使f ( x2 ) = 0。

故当m > 1 时, 方程f ( x) = 0 在[e- m - m ,e2m - m] 内有两个实根。

在高等数学中有些内容与中学数学比较靠近, 例如函数, 它既是中学数学的重要知识,也是在高等数学中继续深入研究的重要对象; 有些概念、结论只要稍作叙述,就能以中学数学的形式出现。

三．以极限定点为背景
极限是高等数学中微积分的基础概念,它包括数列极限和函数极限, 它们都是在无限变化过程中( n →∞, x →∞或x →x0 ) 的变化趋势. 数
列
极限的定义(或称之为极限的“ε- N”定义) 为:设{ an} 为一个数列, a 为确定的常数, 若对任意ε >0 , 存在正整数N ,当n > N 时,有| an - a | <ε,则称当n趋于无穷大时数列{ an} 收敛于a ,或说数列{ an} 的极限是a。

例：已知不等式1／2+1／3+…+1／n > 1／2[log2 n] , 其中n 为大于2 的整数,[log2 n] 表示不超过log2 n 的最大整数. 设数列{ an} 的各项为正, 且满足a1 = b ( b > 0) , an ≤nan- 1／n + an- 1, n = 2 ,3 ,4 , ⋯. ( Ⅰ) 证明an <2ba + b[log2 n], n = 3 ,4 ,5 , ⋯;
( Ⅱ) 猜测数列{ an} 是否有极限?如果有, 写出极限的值(不必证明) ; ( Ⅲ) 试确定一个正整数N ,使得当n > N 时,对任意b > 0 ,都有an <1／5 极限是高等数学教学的主线,是高等数学的核心内容,也是整个高等数学的基础.。

极限知识自从进入中学教材后就成为了每年数学高考的必考内容,但考查范围往往局限于求值问题。

本道高考题用不等式、整数部分函数“包装”而成的数列题,同时以高等数学中极限的定义“一剑封喉”,使得呆板、平淡的数学题充满了活力和无穷魅力。

上述例题我们都看到了每一道题目背后都有一个更深刻的思想指导这解题，初中数学与高等数学是紧密不可分割的。

我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用。

近几年，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要。