人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案
九年级数学上册 第22章 第24课时 二次函数复习导学案2
二次函数 学习目标 复习二次函数的基础知识学生自主活动材料一、耐心填一填，一锤定音!1．已知函数y =ax 2+bx +c ，当x =3时，函数的最大值为4，当x =0时，y =－14，则函数关系式____.2．请写出一个开口向上，对称轴为直线x =2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .3．函数42-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是________.4．抛物线y = ( x – 1)2 – 7的对称轴是直线 ..5．二次函数y =2x 2-x -3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________.6.已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(-2，0)，则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解是_______.7.用配方法把二次函数y =2x 2+2x -5化成y =a (x -h )2+k 的形式为___________.8.抛物线y =(m -4)x 2-2mx -m -6的顶点在x 轴上，则m =______.9.若函数y =a (x -h )2+k 的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y =-2x 2-2x +3相同，则此函数关系式______.10．如图1，直角坐标系中一条抛物线经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为)4,4(，则该抛物线的关系式__________．图1二、精心选一选，慧眼识金!11．抛物线y =-2(x -1)2-3与y 轴的交点纵坐标为（ ）（A ）-3 （B ）-4 （C ）-5 （Ｄ）-112．将抛物线y =3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）y =3(x +2)2+4 (B) y =3(x -2)2+4 (C) y =3(x -2)2-4 (D)y =3(x +2)2-413.抛物线y =21x 2，y =-3x 2，y =x 2的图象开口最大的是（ ） (A) y =21x 2 (B)y =-3x 2 (C)y =x 2 (D)无法确定 14.二次函数y =x 2-8x +c 的最小值是0，那么c 的值等于（ ）(A)4 (B)8 (C)-4 (D)1615.抛物线y =-2x 2+4x +3的顶点坐标是（ ）(A)(-1，-5) (B)(1，-5) (C)(-1，-4) (D) (-2，-7)16.过点(1，0)，B(3，0)，C(-1，2)三点的抛物线的顶点坐标是（ ）(A)(1，2) B(1，32) (C) (-1，5) (D)(2，41-) 17. 若二次函数=ax 2+c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值为（ ）（A ）a +c （B ）a -c （C ）-c （D ）c18. 在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为252s t t =+，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为（ ）(A)2秒 (B) 4秒 (C)6秒 (D) 8秒19.如图2，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH 的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）图2（A）（B）（C）（D）20.抛物线y=ax2+bx+c的图角如图3，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>21；④b<1.其中正确的结论是（）（A）①②（B）②③（C）②④三、用心做一做，马到成功!21. 已知一次函()()2322++++-=mxmxmy的图象过点（0，5）⑴ 求m的值，并写出二次函数的关系式；⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．22.已知抛物线2y ax bx c=++经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点.⑴求这条抛物线的表达式；⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.23.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如图4所示）.⑴请你直接写出O、A、M三点的坐标；⑵一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面同一平面）？24. 甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：速度x（千米/小时）0 5 10 1520 25…刹车距离y（米）0 2 6 …请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在图5所示的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向速度x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》期末复习课教案
第22章二次函数期末复习课
教学目标：
知识与技能：
理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2(a≠0)经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象。
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义，会运用二次函数求实际问题中的最大值或是最小值。
过程与方法：
会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。
情感态度价值观：
使学生体会数学建模思想，函数思想，数形结合思想等数学思想。
教学的重点：
1.用配方法求二次函数的顶点，对称轴，根据图象概括二次函数的性质。
2.二次函数三种解析式的求法。
3.利用二次函数的知识解决数学问题，并对解决问题的方法进行反思。
教学的难点：1.将实际问题转化为二次函数，并运用二次函数性质将以解决。
2.二次函数与一元二次方程、不等式的联系，数形结合思想的渗透于应用。
3. 运用二次函数知识解决综合性的问题。
教法方法：自主学习法合作学习法
教学手段：多媒体
教学课时：1课时
教学活动：学生活动及设计意图
；⑤若抛物线顶点坐
教学活动：学生活动及设计意图
=x+b的图象交
教学活动：学生活动及设计意图
7.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象
如图，其中正确的是（）
专题三：二次函数解析式的确定
求下列二次函数解析式：（学生分组完成）
1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），。
人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数 章末复习(导学案)
章末复习一、复习导入1.导入课题：这节课我们对本章所学知识作一回顾和小结.（板书课题）2.复习目标：（1）进一步加深对二次函数的概念、图象以及它的性质的理解. （2）能感受函数思想、建模思想和转化思想. 3.复习重、难点：重点：二次函数的图象和性质. 难点：应用二次函数解决实际问题. 二、分层复习1.复习指导：（1）复习内容：教材第27页到第56页的内容. （2）复习时间：8分钟.（3）复习方法：翻阅课本、整理知识要点. （4）复习参考提纲： ①整理知识要点：a.形如y=a x 2+b x +c （a≠0）的函数，叫二次函数，其图象是一条抛物线.b.抛物线y=a x 2+b x +c 的对称轴是直线b x a =-2，顶点坐标是，b ac ba a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2424.若a>0，则当b x a =-2时，函数y 有最 小 值ac b a -244，当b x a>-2时，y 随x 的增大而增大，当bx a<-2时，y 随x 的增大而减小，若a<0，则函数y 的最值和增减性又如何呢？ 若a<0,则当x =b a-2时，函数y 有最大值ac b a -244.当b x a >-2时，y 随x 的增大而减小，当bx a<-2时，y 随x 的增大而增大. c.抛物线的平移：把抛物线y=a x 2沿x 轴向左平移h 个单位所得的抛物线是y=a(x +h)2，再把它沿y轴向上平移k个单位，所得的抛物线是y=a(x+h)2+k，若改变平移方向或距离呢？d.抛物线y=a x2+b x+c与x轴的位置关系有3 种，是由b2-4ac的符号决定的，具体情况是：当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个不同的交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有1个交点，当b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.e.用待定系数法求二次函数解析式.设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于系数的方程组；解方程组，求出系数的值，从而得出函数解析式.f.自变量取值范围有条件限制时，如何求二次函数的最值？确定二次函数在取值范围内的增减性，比较函数在最高（低）点和端点的取值.②试画本章知识结构框图:2.自主复习：学生结合复习指导进行复习.3.互助复习： （1）师助生：①明了学情：观察学生复习提纲完成情况. ②差异指导：根据学情进行个别或分类指导. （2）生助生：小组交流、研讨. 4．强化：二次函数的图象及性质.1.复习指导：（1）复习内容：典型剖析、考点跟踪. （2）复习时间：10分钟. （3）复习方法：小组合作、研讨. （4）复习参考提纲：①二次函数y=-x 2-2x +8的图象开口向 下 ，对称轴是 直线x =-1 ，顶点坐标为(-1,9)，与x 轴的交点坐标是（-4，0），（2，0），与y 轴的交点坐标是（0，8）.②二次函数y= 2x 2-4x +5化成y=a(x -h)2+k 的形式为（）y x =-+2213，最小值是3． ③如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（D ）A.y 的最大值小于0B.当x =0时，y 的值大于1C.当x =-1时，y 的值大于1D.当x =-3时，y 的值小于0第③题图 第④题图④二次函数y=a x 2+b x +c （a≠0）的图象如图所示，若|a x 2+b x +c|=k （k≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（D ）A ．k ＜-3B ．k ＞-3C ．k ＜3D ．k ＞3⑤已知抛物线y=a x 2+b x +c 的顶点为(-1,4)，与x 轴相交的两点间的距离为6，求此抛物线的解析式.设抛物线解析式为()y a x =++214， ∵抛物线与x 轴相交的两点间的距离为6， ∴与x 轴正半轴交点坐标为（2，0）. ∴()a =++20214，解得a =-49. ∴此抛物线的解析式为()y x x x =-++=--+2244832149999. ⑥某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果旅客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用. 设每个房间每天的定价增加x 元．求：Ⅰ.房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式； Ⅱ.该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式； Ⅲ.每个房间每天的定价增加多少元时，宾馆的利润最大？ 解：Ⅰ. xy =-6010Ⅱ. ()（）xz x x =+-≤<20060060010Ⅲ.宾馆的利润()x x w x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2006020601010 x x =-++2421080010()x =--+212101521010. 当x =210时，w 有最大值.即当每个房间每天的定价增加210元时，宾馆的利润最大. 2.自主复习：学生结合复习指导自主复习. 3.互助复习： （1）师助生：①明了学情：关注学生提纲的完成情况.②差异指导：根据学情进行指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4．强化：利用二次函数模型求最值. 三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：在这节课的学习中，对全章知识你有何新的收获？在哪些方面还存在问题？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的积极性、主动性，小组交流协作状况、学习方法、效果等.（2）纸笔评价：评价检测题.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时是对本章知识点的全面总结，教学时，教师注重引导学生回忆知识点并构建知识结构框图，同时辅以典型例题，复习和巩固所学知识点，最后教师详细讲解解题思路和分析过程.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)已知二次函数y=-x 2+4x +5，则当x = 2 时，其最大值为 9 .2.(10分)已知二次函数y=a x 2+b x +c （a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程a x 2+b x +c=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2= -3.3 .3.(10分)设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，(x +1)2）是抛物线y=-(x +1)2+a 上的三点，则y 1，y 2，(x +1)2的大小关系为（A ）A ．y 1＞y 2＞(x +1)2B ．y 1＞(x +1)2＞y 2C ．(x +1)2＞y 2＞y 1D ．(x +1)2＞y 1＞y 2 4.(40分)已知抛物线y x x =--215322. （1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标； （3）画出函数图象（草图）；（4）根据图象说出：x 为何值时，y 随x 的增大而增大？x 为何值时,y 随x 的增大而减小？解：（1）开口向上，对称轴为直线x =3,顶点坐标为（3，-7）.（2）与x 轴的交点为（，）+3140，（，）-3140.与y 轴的交点为，⎛⎫- ⎪⎝⎭502. （3）如图.（4）当x >3时，y 随x 的增大而增大. 当x <3时，y 随x 的增大而减小. 二、综合应用（10分）5.（10分）如图，已知抛物线y=a x 2+b x +c 过点C(3，8)，与x 轴交于A(-1,0)，B 两点，与y 轴交于点D(0，5)．（1）求该二次函数的关系式；（2）求该抛物线的顶点M 的坐标，并求四边形ABMD 的面积． 解：（1）∵抛物线过点（3，8），（-1，0），（0，5），则，，a b c a b c c =++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩89305 .解得，，a b c .=-⎧⎪=⎨⎪=⎩145 ∴该二次函数关系式为y=-x 2+4x +5（2）顶点M 的坐标为（2，9），对称轴为直线x =2,则B 点坐标为(5，0)， 过M 作MN ⊥AB 于N ，则四边形梯形AODMNBABMD DONM S SS S=++()=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=111155929322230. 三、拓展延伸（20分）6.（20分）某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.（1）请写出每月售出书包的利润y （元）与每个书包涨价x （元）间的函数关系式； （2）设某月的利润为10000元，10000元的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润？解：（1）设每个书包涨价x元，销量为（600-10x）个.∴y=(40+x)(600-10x)-30（600-10x）=-10x2+500x+6000(0≤x≤60).（2）10000元不是最大利润，y=-10x2+500x+6000=-10(x-25)2+12250.当x=25时有最大利润，即售价为65元时，有最大利润12250元.（3）商家可获得利润，即y＝-10x2+500x+6000＞0，解得-10<x<60,∴30＜40+x＜100 .即当售价在30~100元之间内商家就可获得利润.。
22二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 导学案 人教版九年级数学上册
九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质》导学案1、理解二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，并学会运用，能求出对称轴、顶点坐标2、理解抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系3、能用待定系数法求二次函数的解析式，有三种解析式的类型：一般式，顶点式和交点式，能根据题目的需要选择适当的解析式类型。
重点：运用二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质求出对称轴、顶点坐标；会用待定系数法求二次函数的解析式。
难点：理解抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系，并结合函数的图象与性质进行分析题意。
1、二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（1）图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的。
（2）性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而；x＞﹣时，y随x的增大而；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而；x＞﹣时，y随x的增大而；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的．2、抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a＞0时，抛物线开口；当a＜0时，抛物线开口；a还可以决定开口大小，a越大开口就。
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点。
新人教版九年级上册：第22章-二次函数复习 导学案
新人教版九年级数学上册：二次函数复习导学案学习目标（1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
重点：基础知识的构建难点：基础知识的灵活应用.时间分配基练操作分钟、质疑分钟、合作分、新知梳理提升分、当堂检测分、课堂小结分、学案（学习过程）学习一、课前自我构建：完成以下复习内容：1、二次函数的定义：_____________________________________2、二次函数的图象与性质：二次函数的图象是一条__________。
以下从它们的顶点，对称轴、开口方向，增减性及最值方面记住各自的性质：1.二次函数y=ax2的性质：顶点坐标为__________2.二次函数y=a(x-h)2+k的性质：顶点坐标为__________3.二次函数y=ax2+bx+c的性质：顶点坐标为__________3.对于二次函数y=ax2+bx+c的符号问题：a的符号看_____________；c的符号看________________；b的符号看________________，b2-4ac的符号看_________________________；a+b+c看_____________________；a-b+c看_____________________________。
4、抛物线的平移规律是________________________。
5、抛物线的解析式的确定：(1)当已知抛物线上三个点的坐标时，三对对应值时，可以设二次函数的________式，列__________________可求解；(2)当已知抛物线的顶点坐标与另一点时，可以设二次函数的___________式求解。
人教版九年级数学上册：22二次函数 复习课导学案设计 (无答案)
《二次函数复习课》导学案基础知识:考点一 1、二次函数解析式1）、一般式：2）、顶点式：3）、交点式：2、二次函数的图像与性质3、系数a、b、c、的作用考点二二次函数与一元二次方程的联系二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)中，若y = 0时，x的取值就是一元二次方程ax 2+bx+c=0的解，即y= ax 2+bx+c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根。
1）、当b 2-4ac＞0时，抛物线y= ax 2+bx+c与x轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个的实数根。
2）当b 2-4ac=0时。
抛物线y=ax 2+bx+c与x轴有一个交点，方程ax 2+bx+c=0有的实数根。
3）当b 2-4ac＜0时，抛物线y= ax 2+bx+c与x轴无交点，方程ax 2+bx+c=0 实数根。
针对训练：1、如图,抛物线y=a x2+b x+c,请判断下列各式的符号：①a 0;②c 0;③b2 - 4ac 0;④ b 0;⑤a+b+c 0⑥a-b+c 02、抛物线y=x 2+2x+3的对称轴是 （ ）A 、直线x=1B 、直线x=-1C 、直线x=-2D 、直线x=23、设二次函数y=(x-3) 2-4图像的对称轴为直线L,若点M 在直线L 上，则点M 的坐标可能是（ ）A 、（1,0）B 、（3,0）C 、（-3,0）D 、（0，-4）4、将二次函数y= x 2-2x+3化为y=(x-h) 2+k 的形式，结果为 （ ）A 、y=(x+1) 2+4B 、y=(x+1) 2+2C 、y=(x-1) 2+4D 、y=(x-1) 2+25、如图，已知经过原点的抛物线y= ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴是直线x=-1,下列结论中： ①ab ＞0, ②a+b+c ＞0 ③当-2＜x ＜0时，y ＜0正确的个数 （ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个62-2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限 （ ） A 、第四象限 B 、第三象限 C 、第二象限 D 、第一象限7、二次函数y= ax 2+b(b ＞0)与反比例函数y=xa在同一坐标系的图像可能是 （ ）A B C D8、若抛物线y=x 2-4x+3的图象如右图，求△ABC 的面积。
人教版九年级数学上册 第22章二次函数复习导学案
第 1 页 共 2 页 第 2页 共2页二次函数复习一、二次函数的概念：1、形如)0(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，、、的函数，叫做二次函数。
其中____是自变量，_____，_____，______，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
（二次函数须同时满足两个条件：①自变量最高次数为2；②二次项系数不为0）。
例题1、当m 为何值时，12)4(422-+-=--x xm y m m 是关于x 的二次函数？二、抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的关系（图像的平移）1、二者的形状（开口大小）______，位置_______，k h x a y +-=2)(是由2ax y =通过平移得来的，平移后的顶点坐标为________。
2、抛物线)0(2≠=a ax y 个单位平移时向当个单位平移时向当h h h h ____0____0<>2)(h x a y -=的图像个单位平移时向当个单位平移时向当k k k k ____0____0<>k h x a y +-=2)(的图像。
例题1、抛物线3)2(5.02-+=x y 可以由抛物线__________先向_____平移2个单位，再向下平移______个单位得到。
例题2、抛物线2x y -=向左平移1个单位，然后再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_________________。
例题3、将二次函数22312+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式，并指出其开口方向、对称轴与顶点坐标。
三、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与a 、b 、c 、△的关系例题1、在同一直角坐标系中，函数b ax y +=2与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 （ ）例题2、已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如下图。
则下列5个代数式：ac ，abc ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b ，a-b+c ，ac b 42-，4a+b 中，其值大于0的个数为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5例题3、如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．00h k >>，四、抛物线的增减性要判断二次函数图像的增减性，须弄清两个问题：①a 的正负；②在对称轴的左侧还是右侧。
初中数学九年级上册《第22章二次函数》复习名师导学案
《第22章 二次函数》复习学案 NO ：24班级_______姓名_________小组_______评价_______一、复习目标1、理解二次函数的概念、三种形式的解析式，掌握二次函数的图象与性质；2、历经二次函数的图象与性质的探索过程，领会数形结合的思想并能运用解决实际问题；3、极度热情投入，高效参与学习。
二、自主复习（知识点清理）1、形如_________________(_______)的函数叫做二次函数；其中a 、b 、c 分别叫做__________，____________，_________。
2、二次函数解析式的三种形式：（1）一般式y=ax 2+bx+c(a≠0)，（2）顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，(3) 两根式y=a(x-x 1)(x-x 2) (a≠0)。
3、二次函数的图象与性质：二次函数的图象都是一条曲线，叫做_________。
（1）y=ax 2(a≠0)：①顶点坐标是________，②对称轴是________，③当a ＞0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大，④当a ＜0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大。
（2）y=ax 2+k (a≠0)：①顶点坐标是________，②对称轴是________，③当a ＞0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大，④当a ＜0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大。
（3）y=a(x-h)2+k(a≠0)：①顶点坐标是________，②对称轴是________，③当a ＞0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大，④当a ＜0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大。
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人教版九年级数学上册第22章二次函数
《复习课》导学案
第二十二章复课
1.知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性.
2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的解析式.
3.能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.
4.重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用.
◆体系构建
◆核心梳理
1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac>时,抛物线与x轴有
2个交点,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;(2)当b2-4ac=时,抛物线与x轴有1个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;(3)当b2-4ac<时,抛物线与x轴无交点,对应的一元二次方程无实数解.
3.填表:
特征
函数
启齿偏向对称轴极点坐标
(0,0)
(0,k)
(h,0)
(h,k)
最值
最小值
最大值
最小值k
最大值k
最小值
最大值
最小值k
最大值k
最小值
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k a>时启齿向上a<时开口向下a>时开口向上a<时启齿向下a>时启齿向上a<时启齿向下a>时开口向上a<时开口向下
a>时启齿向上
y轴
y轴
x=h
x=h
y=ax2+bx+c
a<时开口向下
x=-(-,)
最大值
专题一:二次函数的概念、图象和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个
2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象可能是(C)
3.如图,已知二次函数y 1
=ax2+bx+c与一次函数y
2
=kx+m的图象相交于A(-2,4),B(8,2),则能使y
1
>y
2
成立的x的取值范围是x<-2或x>8.
【方法归纳交流】根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据抛物线与y轴的交点判断c的值;若抛物线的对称轴在y 轴左侧,则a与b同号,若抛物线的对称轴在y轴右
侧,则a与b异号;根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac的符号.
专题二:求抛物线的顶点和对称轴
4.求抛物线y=x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标.(用两种方法)
解:(1)y=(x2-8x+10)=[(x2-8x+16)-16+10]=(x-4)2-3,所以抛物线的开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-3).
(2)对称轴:x=-=4,y
最小
==-3,顶点坐标为(4,-3).
【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:配方法和公式法.专题三:抛物线的平移
5.申明抛物线y=-3x2-6x+8通过如何的平移,可获得抛物线y=-3x2.
解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x-)=-3[(x2+2x+1)-1-]=-3(x+1)2+11,∴抛物线的顶点坐标是(-1,11),∴把抛物线y=-3x2-6x+8先向右平移1个单位长度,再向下平移11个单位长度得到y=-3x2.
6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.
解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4。
解得a=1.以是抛物线的解析式为y=x2-5x+4=x2-5x+-
(,-).
(2)谜底不惟一,如:把抛物线y=x2-5x+4先向上平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,这时候对应的抛物线解析式为y=(x+)2+.
+4=(x-)2-,以是抛物线极点P的坐标为
【方法归纳交流】抛物线的平移规律:左加右减,上加下减.
专题四:二次函数解析式的确定
7.已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图,则此函数的关系式为
A.y=-x2+2x+3
B.y=x2-2x-3
C.y=-x2-2x+3
D.y=-x2-2x-3
8.已知二次函数的顶点为(1,-3),且经过点P(2,0),求这个函数的解析式.
解:设所求函数解析式为y=a(x-1)2-3,∵图象经过P(2,0),∴=a(2-1)2-3,解得a=3.
(A)
∴所求函数的解析式为y=3(x-1)2-3,即y=3x2-6x.
【方法归纳交流】利用待定系数法求二次函数的解析式,若已知三点,通常设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c;若已知顶点,通常设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.专题五:二次函数与一元二次方程
9.已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1.(1)求证:不论m为何值时,函数的图象与x轴总有交点,并指出当m为何值时,只有一个交点.(2)当m为何值时,函数的图象经过原点?(3)在(2)的图象中,写出y<时x的取值范围及y>时x的取值范围.
解:(1)∵b2-4ac=[-(m+1)]2-4×2(m-1)=m2+2m+1-8m+8=m2-6m+9=(m-3)2.明显岂论m为什么值时,总有b2-4ac=(m-3)2≥.故岂论m为什么值时,抛物线与x轴总有交点,且当x=3时,只要一个交点.
(2)∵函数的图象经过原点(0,0),∴=2×2-(m+1)×+m-1,∴m=1.即当m=1时,函数的图象经过原点.
(3)由(2)得y=2x2-2x.其图象如图.∵抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0),(1,0),∴当y<时,0<x<1;当y>时,x<或x>1.
【方法归纳交流】当b2-4ac≥时,抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有交点.抛物线在x轴上方的部分,对应的函数值>0;抛物线在x轴下方的部分,对应的函数值<.专题六:抛物线中三角形的面积
10.如图,已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知B点坐标为(1,1).
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)假如D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,求D点坐标.
解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,∵直线过点A(2,0),B(1,1),代入解析式求得k=-1,b=2.∴直线解析式为y=-x+2;把B(1,1)代入y=ax2,求得a=1,∴抛物线解析式为y=x2.。