可对角化矩阵的应用两例【优秀资料】

可对角化矩阵的应用两例【优秀资料】(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）可对角化矩阵的应用两例1 Fibonacci数列研究的矩阵方法在预备知识§3的例6中．我们已经证明了著名的Fibonacci数列0,1,1,2,3,5,8,13,…的通项公式，同学们自然会问，这个公式是如何发现的？下面利用矩阵特征值、对角化工具来回答这个问题，并求．这个数列的递推关系为，k=0，1，2， (1)初始条件为．令因为，所以． (2)取，则(2)式成为． (3) 由(3)式得出． (4) 于是，欲求Fibonacci数列的通项公式，只要计算，我们利用A的相似简化来计算．A的特征多项式为||=，它的两个根：，，是A的特征值．因此A可对角化．解齐次线性方程组得到它的一个基础解系．同理可得的一个基础解系是．令，则．于是(5) 从(4)式及初始条件得． (6) 比较(6)式两边的第2个分量得． (7) 这就是Fibonacci数列的通项公式．容易算出：． (8)以上极限的近似值0.618在最优化方法中有重要应用．一些实际问题常常可归结为求目标函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值(或最小值)，其中y=f(x)的解析表达式并不知道．假定y=f(x)在[a，b]上只有一个极值点(否则可将区间[a，b]划分)，这时称y=f(x)是单峰函数．为了求单峰函数y=f(x) 在[a，b]上的最大值点，可以在区间[a，b]的若干点上做试验求出函数值，再比较函数值的大小．如何选取这些试验点，使得所做试验次数比较少，又能迅速找出最大值点？可采用如下的优选方法：第一个试点t1=a+0.618(b－a)，第二个试验点=a+0.382(b－a)，即是点t1关于区间[a，b]中点的对称点，比较与，若>，则由于y=f(x)是单峰函数，其最大值点不可能出现在区间[a，]里，从而可以去掉[a，]，剩下区间[，b]．第三个试验点t2=+0.618(b－)，第四个试验点=+0.382(b－)．比较f(t2)与f()，如果f(t2)<f()，则去掉区间[t2，b]，剩下区间[，t2]．依次进行下去，当剩下的区间长度比指定的正数 小时，就取剩下区间的中点作为所要求的点，称它为最优点(与真正的最大值点很接近的点)．上述方法称为0.618法，也称为黄金分割法．它的优点是可以迅速缩短搜索区间，以便找出最优点．2 某地区居民色盲遗传情况的研究每一个人都有46个染色体．染色体是成对的，有22对是常染色体，一对是性染色体．男性的一对性染色体是(X，Y)；女性的一对性染色体是(X，X)．基因位于染色体上，因此基因也是成对的．在一对染色体的某一点位上的一对基因称为两个等位基因．显性的基因用A表示，隐性的基因用a表示．色盲基因是隐性的，且只位于X染色体上．一个女性居民若她的一对性染色体的某一点位P上的两个等位基因是X a X A(包括X A X a这一情形，以下同)或X a X a，则她患色盲，其中X a表示色盲基因．若她的点位P上的两个等位基因是X A X A，则她不患色盲．设N个女性居民中有N1个人的点位P上的两个等位基因是X A X A，N2个人的点位P上的两个等位基因是X A X a，N3个人点位P上的两个等位基因是X a X a．则这N个女性居民中色盲基因的频率为． (9)令，，． (10)则r，2s，t为这N个女性居民中点位P上的等位基因分别为X A X A，X A X a，X a X a的人所占的比例，这些比例记成(r，2s，t)．显然有r+2s+t=1．用这些记号，则这N个女性居民中色盲基因的频率为s+t．类似地，一个男性居民若他的一对性染色体的某一点位P上的两个等位基因是X a Y，则他患色盲；若他的点位P上的两个等位基因是X A Y，则他不患色盲．设M个男性居民中有M1个人的点位P上的两个等位基因是X A Y，M2个人的点位P上的两个等位基因是X a Y，则这M个男性居民中色盲基因的频率为．令p=，q=． (11)则这M个男性居民中色盲基因的频率为q．这里p，q为这M个男性居民中点位P上的等位基因分别为X A Y，X a Y的人所占的比例，这些比例记成(p，q)．显然有p+q=1．由此可见，男性居民的色盲基因频率等于男性色盲者的比例q．现在设某地区第一代男性居民中，点位P上的等位基因分别为X A Y，X a Y的人所占的比例为(p，q)；女性居民中点位P上的等位基因分别为X A X A，X A X a，X a X a的人所占的比例为(r，2s，t) ．则第一代男性居民，女性居民的色盲基因频率分别为q，s+t．我们来求该地区第二代男性居民，女性居民的色盲基因频率．这里假设第一代男性居民与女性居民的结合是随机的．设第二代男性居民共有L人，其中具有等位基因X A Y的人，由于他的基因X A来自母亲，而第一代女性居民中，基因X A的频率为． (12)因此具有等位基因X A Y的人的数目为L(r+s)．同理，具有等位基因X a Y的人的数目为L(s+t)．因此第二代男性居民中色盲基因的频率(它等于男性色盲者的比例)为． (13)由此看出，第二代男性居民中色盲基因的频率等于第一代女性居民中色盲基因的频率．设第二代女性居民共有W人，其中具有等位基因X A X A的人的数目为Wp(r+s)，具有等位基因X A X a的人的数目为W[p(s+t)+(r+s)q]，具有等位基因X a X a的人的数目为Wq(s+t)．由此得出，第二代女性居民色盲基因的频率为． (14)由(14)式看出，第二代女性居民中色盲基因的频率等于第一代男性居民和女性居民的色盲基因频率的算术平均值．我们用，分别表示该地区第i代男性居民和女性居民的色盲基因频率，由上述知道． (15)其中i=2，3，…．若知道了b1，c1，我们来求b n，c n．从(15)式得． (16) 把(16)式右端的系数矩阵记作B．从(16)式容易得出． (17)由此可见，求b n，c n归结为求出B n-1．为此我们来化简B，求其特征多项式，得B的特征值1，－．由此看出，B可对角化：解齐次线性方程组(I2－B)X=0，得到它的一个基础解系：；解齐次线性方程组(－I2－B)X=0，得到它的一个基础解系：．令,则．于是． (18) 因此． (19) 由(19)式得． (20)这说明，尽管第一代男性居民、女性居民的色盲基因频率可能不相同，但是经过好几代(每一代都是随机结合)之后，两个性别的居民的色盲基因频率将接近相等．（本文摘自庄瓦金编著的《高等代数教程》, 国际华文出版社）第四节 实对称矩阵的对角化一个n 阶矩阵A 具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对A 为实对称矩阵的情况进行讨论. 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.内容分布图示★ 实对称矩阵的性质 ( 1 ) ★ 实对称矩阵的性质 ( 2 ) ★ 对称矩阵对角化的方法★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题4-4 ★ 返回内容要点：定理1 实对称矩阵的特征值都为实数.注: 对实对称矩阵A ，因其特征值i λ为实数, 故方程组0)(=-X E A i λ是实系数方程组, 由0||=-E A i λ知它必有实的基础解系, 所以A 的特征向量可以取实向量.定理2 设21,λλ是对称矩阵A 的两个特征值, 21,p p 是对应的特征向量. 若21λλ≠, 则1p 与2p 正交.定理 3 设A 为n 阶实对称矩阵,λ是A 的特征方程的k 重根,则矩阵E A λ-的秩k n E A r -=-)(λ,从而对应特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量.定理4 设A 为n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P ,使 Λ=-AP P 1,其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵P 将实对称矩阵A 对角化的步骤为：(1) 求出A 的全部特征值s λλλ,,,21 ;(2) 对每一个特征值i λ, 由0)(=-X A E i λ求出基础解系（特征向量）; (3) 将基础解系（特征向量）正交化；再单位化;(4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P ，使 Λ=-AP P 1.注：P 中列向量的次序与矩阵Λ对角线上的特征值的次序相对应.例题选讲：例1 (讲义例1) 设实对称矩阵,320222021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求正交矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵.例2 (讲义例2) 设有对称矩阵,310130004⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 试求出正交矩阵P , 使AP P 1-为对角阵.例 3 (讲义例3) 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a A 2020002(其中0>a )有一特征值为1, 求正交矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵.例4 (讲义例4) 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2112A , 求.nA课堂练习1.设实对称矩阵,020212022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 试求出正交矩阵P , 使AP P 1-为对角阵.2.设n 阶实对称矩阵A 满足A A =2,且A 的秩为r , 试求行列式|2|A E -的值.学院2021届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导老师：A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2021Diagonalization of the Matrix and its ApplicationsStudent Name Student No.:Specialty:Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等.矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题.本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式IAbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutory matrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomialII目录摘要 (I)Abstract (II)绪言 (1)课题背景 (1)目的和意义 (1)国内外概况 (1)预备知识 (2)相关概念 (2)矩阵的对角化 (4)特殊矩阵的对角化 (14)矩阵对角化的应用 (22)总结……………………………………………………………………………………… 24 致谢………………………………………………………………………………………25 参考文献 (26)独创声明 (28)III1 绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1 课题背景在由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版社出版的《高等代数》一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念.在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的.在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2 课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1) 研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3 国内外概况实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破.实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中.矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善. 12 预备知识给出本文内容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解.定义1 常以Pm⨯n表示数域P上m⨯n矩阵的全体，用E表示单位矩阵.定义2n阶方阵A与B是相似的，如果我们可以找到一个n阶非奇异的方阵矩阵T∈Pn⨯n，使得B=T-1AT或者A=T-1BT.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：A=E-1AE；②对称性：若A相似于B，则B相似于A；③传递性：如果A相似于B，B相似于C，那么A相似于C.定义3n阶方阵A与B是合同的，如果我们可以找到一个n阶非奇异方阵T∈Pn⨯n，使得B =TTAT或者A=TTBT.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A=ETAE；②对称性：由B=TTAT即有A=(T-1)TBT-1；③传递性：由A1=T1AT1和A2=T2TA1 T2有A2=(T1T2)TA(T1T2).⎛b10 0b2 定义4 式为 00⎝⋯⋯⎫⎪⎪⎪的m阶方阵叫对角矩阵，这里bi是数⎪⋯bm⎪⎭000T（i=1,2,⋯⋯m).定义5 方阵A∈Pn⨯n，若A=T-1BT，T非奇异，B是对角阵，则称A可相似对角化. 定义6 方阵A∈Pn⨯n，若A=TTBT，T非奇异，B是对角阵，则称A可合同对角化. 定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i行(列)于j行(列)；⑵用非零数c∈P乘以矩阵第i行(列)；⑶把矩阵第j行的t倍加到第i行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三 2种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得P(i,j)且P(i,j)-1=P(i,j)；②单位矩阵经过初等变换⑵得P(i(t))且P(i(t))-1=P(i(1/t)；③单位矩阵经过初等变换⑶得P(i,j(t))且P(i,j(t))-1=P(i,j(-t)).定义9 设方阵B∈Pn⨯n，若B2=E，就称B为对合矩阵.定义10 设方阵A∈Pn⨯n，若Am=A，就称A为幂幺矩阵.定义 11 设方阵C∈Pn⨯n，若C2=C，就称C为幂等矩阵.定义 12设方阵A∈Pn⨯n，λ∈P，若存在向量，满足Al=λX，我们就称λ是A的特征值，X 是A属于特征值λ的特征向量.定义13A∈Pn⨯n，定义mA(λ)为矩阵A的最小多项式，mA(λ)的一个根为A而且比其他以A为根的多项式的次数都低，mA(λ)首项系数是1.33 矩阵的对角化本章介绍数域P上n阶方阵阵的对角化问题.先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1 如果μ1，…，μk是矩阵Q的不同的特征值，而αi1,…，αiri是属于特征值λi的线性无关的特征向量，i=1,2…,k，那么α11,…,α1r，…,αk1，…，αkr也线性无1k关.证明：假设t11α11+t12α12+…+t1r1α1r1+…+tk1αk1+…+tkrkαkrk=0，令ti1αi1+…tij∈P ，+tikiαiki=ηi，则Qηi=λiηi（i=1,2...,k），且 η1+η2+...+ηk=0 (1)分别用E,Q,Q2,…,Qk-1左乘以（1）两端，再由引理4得：Qmηi=λiηi，（m=1,2...k-1 ;i=1,...,t),由此有ηk=0,⎧η1+η2+...⎪λη+λη+...λη=0,Kk⎪1122⎪222⎨λ1η1+λ2η2+...λKηk=0,⎪...................................⎪k-1k-1k-1⎪λη+λη+...λ1122kηk=0.⎩该线性方程组的系数矩阵为111⎫⎛1⎪λλ λ 2k⎪D= 1，D为范德蒙行列式，又由λi(i=1,2...k)互异有D≠0. ⎪ k-1⎪k-1k-1⎪λλ2 λk⎭⎝1根据克拉默法则就有ηi=0，即ti1αi1+…+tikiαiki=0，再由αi1,...,αiri线性无关得：ti1=ti2=...=tiki=0(i=1,2...k) ，故α11,...,α1r1...,αiri...,αkrk线性无关.推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1Q∈Pn⨯n与对角阵相似⇔Q有n个特征向量，它们是线性无关的.证明：Q可以对角化⇔存在可逆矩阵T=(T1,T2，…，Tn)使得40⎫0⎫⎛λ1⎛λ1 ⎪⎪λλ ⎪⎪22T-1QT= QT=T，即⎪⎪⇒⎪⎪ 0⎪ λn⎭λn⎪⎝⎝0⎭(QT1,QT2,…,QTn)=（λT1,λT2,…,λTn).因此Q可以对角化⇔存在Ti（i=1,2…,n）∈P使得QTi=λiTi，也即Q有n个线性无关的特征向量.根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵Q∈Pn⨯n有n个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.证明：由Q有n个不同的特征值及引理1的推论有Q有n个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q可以对角化.注意：该推论为对角化的充分条件.定理2 μ1,μ2,...,μt（互不相同）是B∈Pn⨯n的特征值，μi∈P(i=1,2,...,t)，B可对角化⇔∑r(μiE-B)=(t-1)n （r表示矩阵的秩）.i=1t证明：(μiE-B)X=0的基础解系的一组基向量的个数为：n-r(μiE-B)，我们可以得到关于μi的线性无关的特征向量的个数是n-r(μiE-B)（i=1,2,...,t)，再由引理1推出矩阵B有∑(n-r(μiE-B))个线性无关的特征向量.i=1t根据定理1就有：n阶方阵B可对角化⇔B有n个线性无关的特征向量⇔⇔∑(n-r(μE-B))=n， ii=1tt∑r(μE-B)=(t-1)n. ii=1定理3 Q∈Pn⨯n与对角矩阵相似的充要条件：λi∈P(i=1,2...,t)且n-(λiE-Q)=ri(ri表示λi的代数重数).证明：设λi的线性无关的特征向量为βi1,βi2,...,βiri，由引理1有：5β11,β12,...,β1r,...,βir,...,βtr线性无关. 1it若r1+r2+...+rt=n，那么Q就有n个线性无关的特征向量⇔Q可以对角化.若Q与对角矩阵相似，则Q的属于不同特征值的特征向量总数一定为n.否则根据定理1就可以推出λ1,λ2,...,λt线性相关，矛盾.相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算.下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.引理2 设n阶方阵A,B∈Pn⨯n，则有r(A+B)≤r(A)+r(B).证明：先证rank[A,B]≤rank(A)+rank(B)……(2). 根据矩阵秩的定义有r[A,B]≤n⨯2n阶矩阵[A,B]的线性无关的行数≤方阵A的线性无关的行数+方阵B的线性无关的行数≤r(A)+r(B).⎡E⎤对方阵矩阵B+A=[B,A]⎢⎥，由(2)式有r(B+A)≤r[A,B]，所以⎣E⎦r(A+B)≤r(A)+r(B).引理3 对于n阶方阵C,D有r(AB)≥r(A)+r(B)-n.⎛CO⎫⎛CT⎫证明：先证r(C)+r(D)=r OD⎪⎪≤rOD⎪⎪……（3），其中T为任意n阶方阵.⎝⎭⎝⎭显然当C,D中有一个为O时结论成立；另设r(C)=p,r(D)=q，则C有p阶子式M1≠0，D有q阶子式M2≠0.⎛CT⎫于是 OD⎪⎪有p+q阶子式⎝⎭M1*=M1M2≠0, OM2⎛CT⎫因此r OD⎪⎪≥p+q=r(C)+r(D). ⎝⎭要证r(AB)≥r(A)+r(B)-n，只需证明：运用分块矩阵的初等变换有：6 r(AB)+n≥r(A)+r(B)⎛En O⎝O⎫⎛En⎪→ AB⎪⎭⎝AO⎫⎛En⎪→ AB⎪⎭⎝A-B⎫⎛-BEn⎫⎪→ ⎪ O⎪，O⎪A⎭⎝⎭有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有：⎛-BEn⎫⎪ r(AB)+n=r ≥r(A)+r(B). O⎪A⎭⎝⎛Ep另证：令r(A)=p，则存在可逆矩阵C,D使得CAD= O⎝OO⎫-1O⎫-1⎛⎪D ⎪，若令C ⎪⎪O⎭⎝OEn-p⎭=H,则r(H)=n-p以及A+H=C-1D-1.又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此r(B)=r(C-1D-1B)=r(AB)+r(HB)≤r(AB)+r(H)≤r(AB)+n-p.引理3的一般形式：（Syl希尔维斯特不等式）设A，B，C∈Pn⨯n分别为i⨯j,j⨯k,k ⨯t矩阵，则r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B).证明：要证r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)只需证明r(ABC)+r(B)≥r(A B)+r(BC),因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而O⎫⎛EA⎫⎛ABCO⎫⎛EO⎫⎛OE⎫⎛AB ⎪⎪⎪⎪ = OE⎪ O⎪ -CE⎪ EO⎪ B-BC⎪⎪，B⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭也即AB⎫⎛ABO⎫⎛ABCO⎫⎛ABCAB⎫⎛O ⎪⎪⎪⎪， →→→ O⎪⎪⎪⎪B⎭⎝OB⎭⎝-BCB⎭⎝B-BC⎭⎝再有定理(3)就得O⎫⎛ABCO⎫⎛AB⎪⎪rank =rank≥rank(AB)+rank(BC). O⎪⎪B⎭⎝⎝B-BC⎭推论3设B1,B2,...,Bt为数域P上的n阶方阵，则r(B1)+r(B2)+...+r(Bt)≤(t-1)n+r(B1B2...Bt).定理4 设n阶方阵Q∈Pn⨯n，μ1≠μ2，且(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0，则Q可对角化. 7证明：由μ1≠μ2，(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0有矩阵Q的特征值为μ1或μ2，根据引理2，引理3得：r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)=n，从而Q的特征向量(线性无关)共有n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)=n个.由定理1即得矩阵Q可对角化.定理4' 设n阶方阵Q∈Pn⨯n,μ1,μ2,...,μt两两互不相等，若(μ1E-Q)(μ2E-Q)⋯(μt-1E-Q)(μtE-Q)=0则Q与对角阵相似.r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n,从而方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q)=tn-(r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q))≥tn-(t-1)n=n.又因为r(Q)≤n，故方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n，由此矩阵Q可对角化. 推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)=(t-1)n.定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.定理5设μ1,μ2,...,μt（互不相同）是Q∈Pn⨯n的的特征值，重数分别为s1,s2,...,st且s1+s2+ ...+st=n，Q可对角化⇔∏(μE-Q)=0. ii=1t证明：先证明必要性⎛μ1 Q与V= ⎝μ2⎫⎪⎪⎪相似，则存在非奇异矩阵T满足⎪μT⎪⎭8⎛ μ1E1⎫Q=TVT-1=T μ⎪2E2⎪⎪T-1，⎝μ⎪tEt⎪⎭其中Ei(i=1,2,...t)为si阶单位矩阵，于是(μiE-Q)=T(μiE-V)T-1⎛ (μi-μ1)E1⎫=T (μi-μ2)E⎪2⎪-1⎪T，⎪⎝(μi-μt)Et⎪⎭从而有∏tt(μ-1iE-Q)=∏T(μiE-V)Ti=1i=1⎛⎫∏(μi-μ1)E1⎪i=T ∏⎪(μi-μ2)E2⎪i⎪T-1.⎪⎝∏(μi-μ⎪t)Eti⎪⎭由于∏(μi-μj)Ej=0(j=1,2,...,t)，因此i∏(μiE-Q)=0. i再证充分性：对于n阶矩阵Q，存在可逆矩阵T，使得⎛ J1⎫Q=TJT-1 J⎪=T 2⎪⎪T-1，⎝J⎪t⎪⎭Ji(i=1,2,...,t)是Jordan块，若Jj=μjEj(j=1,2,...t)，Q就可以对角化，而(μiE-Q)=T(μiE-J)T-1⎛ (μi-J1)E1⎫=T (μJ⎪i-2)E2⎪⎪T-1，⎪⎝(μi-Jt)Et⎪⎭9⎛∏(μi-J1)E1 i (μE-Q)=T∏i i ⎝i∏(μii-J2)E2⎫⎪⎪⎪T-1. ⎪⎪(μi-Jt)Et⎪∏⎪i⎭所以，若(μiE-Q)=0，则因T可逆有∏(μiEi-Jj)=0(j=1,2,...,t)，又因为当i≠j时，(μi≠μj)≠0，(μiEj-Jj)可逆，所以(μjEj-Jj)=0，即μjEj=Jj(j=1,2,...,t). 引理4X∈Pn⨯n,∂1,∂2…∂m...是X的关于特征值λ的特征向量，我们有∑ki∂ii=1m（ki,i=1,2,...,m不全为0，ki∈P）也是X的关于λ的特征向量.证明：已知X∂i=λ∂i，则kiX∂i=kiλ∂i，也即Xki∂i=λki∂i，因此X∑ki∂i=λ∑ki∂i，i=1i=1mm又ki不全为0，因此∑ki∂i≠0，由特征向量的定义有∑ki∂i是矩阵X的属于特i=1mmi=1征值λ得特征向量.定理6μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n阶矩阵Q的所有特征值，它们的代数重数依次是s1,s2,...,st ，则方阵Q与对角矩阵相似⇔r(Aj)=sj(j=1,2,...,t),Aj=∏(μiE-Q).i≠j证明：先证必要性.Q可对角化⇒存在可逆矩阵T使得Q=Tdiag(μ1,μ2,...,μt)T-1，从而Aj=∏(μiE-Q)i≠j⎛∏(μi-μ1)E1 i≠j =T ⎝∏(μi≠ji-μ2)E2⎫⎪⎪⎪-1⎪T ⎪(μi-μt)Et⎪∏⎪i≠j⎭10⎛O1 =T ⎝∏(μi≠ji-μj)Ej⎫⎪⎪⎪-1⎪T，⎪⎪Ot⎪⎭其中Oj为sj阶0矩阵，Ej为sj阶单位矩阵（(j=1,2,...,t). 因T可逆，且μi≠μj，所以有r(Aj)=r(∏(μi-μj)Ej)=r(Ej)=sj(j=1,2,...,t).i≠j再证充分性：用反证法.假设方阵Q不与对角矩阵相似，由几何重数≤代数重数得：至少存在一个整数q，使得r(μqE-Q)>n-sq，于是当j≠q时，由引理3有sj=r(∏(μiE-Q))≥∑r(μiE-Q)-(t-2)n>∑(n-sj)-(t-2)ni≠j=(t-1)n-(t-2)n-∑sii≠j=n-(n-sj)=sj.矛盾，假设不成立，故Q与对角矩阵相似.定理7μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n级方阵Q∈Pn⨯n的所有特征根，若对任意m∈Z+满足r(μi E-Q)m=r(μiE-Q),则矩阵Q与对角矩阵相似.证明：设μ1,μ2,...,μt的重数分别为s1,s2,...,st，由Cayley-Hamilton第三版，高等教育出版社)得：定理(高等代数(μ1E-Q)s1(μ2E-Q)s2...(μtE-Q)st=O，再有引理3的推论就有r(μ1E-Q)s1+r(μ2E-Q)s2+...+r(μtE-Q)st≤(t-1)n+r((μ1E-Q)s1...(μtE-Q)st)=(t-1)n.11对任意正整数m，有r(μiE-Q)m=r(μiE-Q)，因此r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n.从而有方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q) =tn-[r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...r(μtE-Q)]≥tn-(t-1)n=n.又r(Q)≤n，从而Q的线性无关的特征向量的个数小于或等于n，因此Q共有n个线性无关的特征向量，再根据定理1就有矩阵Q与对角矩阵相似.接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.定理8 n阶方阵Q与对角矩阵相似⇔矩阵Q的最小多项式mQ(μ)无重根.证明：先证必要性.Q和对角阵相似⇒存在非奇异矩阵T∈Pn⨯n，满足⎛μ1Q=TVT-1=T⎝⎫⎪⎪-1T，⎪⎪μn⎪⎭从而有T-1QmT=Vm，令μ1,μ2,...,μt(t≤n)是方阵Q的互不相同的特征值,记f(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)..μ.(-μt) =μt+s1μt-1+...+st-1μ+st. 因为T-1f(Q)T=T-1(Qt+s1Qt-1+..+.st-1Q+stE)T=T-1QtT+s1T-1Qt-1T+...+st-1T-1QT+stT-1ET=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE=f(V).又 f(V)=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE⎛μ1t= ⎝tμ2⎫⎛s1μ1t-1⎪⎪ + ⎪⎪ t⎪ μn⎭⎝t-1s1μ2⎫⎛st⎪⎪ +...+⎪⎪ t-1⎪ s1μn⎭⎝st⎫⎪⎪⎪⎪st⎪⎭12⎛μ1t+s1μ1t-1+...+sk = ⎝⎛f(μ1) = ⎝f(μ2) tt-1μ2+s1μ2+...+sk⎫⎪⎪⎪⎪tt-1μn+s1μn+...+sk⎪⎭⎫⎪⎪⎪=0.⎪f(μn)⎪⎭所以f(Q)=0，于是mQ(μ)f(μ)，然而f(μ)无重根，故mQ(μ)无重根.再证充分性：mQ(μ)的互不相同的根是μ1,μ2,...,μt，由mQ(μ)无重根就有：mQ(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)...(μ-μt-1)(μ-μt)，于是mQ(Q)=(μ1E-Q)(μ2E-Q)...(μtE-Q)=0.令r(μiE-Q)=qi，则μi的特征子空间的维数为n-qi，因此Q总共有(n-q1)+(n-q2)+..+.(n -qt)=s个线性无关的特征向量，且s≤n. 又因为q1+q2+...+qt≤(t-1)n，故s=(n-q1)+(n-q2)+...+(n-qt)≥n.从而s=n，也即矩阵Q有n个线性无关的特征向量，由定理1就得Q可以对角化.134某些特殊矩阵的对角化4.1 实对称矩阵的对角化问题实对称矩阵这种矩阵很特别，在诸多方面的到运用，如常用来研究对称变换，对线性变换进行分类.而研究对称矩阵的对角化，是进行分类的初步.引理5 ]每一个n阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似，并且上三角矩阵主对角线上的元素为复矩阵的特征值.对任意A∈Cn⨯n，可逆矩阵T，使得*⎫⎛λ1 ⎪λ2 ⎪T-1AT= ，其中λ1,λ2,...,λn是矩阵A的特征值. ⎪⎪ λn⎪⎝⎭引理6 实对称矩阵的特征值为实数.证明：设λ0实对称矩阵A的一个特征值，则存在非零向量⎛x1⎫⎪ x⎪η= 2⎪，⎪ x⎪⎝n⎭满足 Aη=λ0η.令⎛1⎫⎪⎪= 2⎪，i称为xi的共轭复数(i=1,2,...n)，则=0. ⎪⎪⎝n⎭观察下面式子'(Aη)=A'η=(A)'η=(Aη)'η，上式左边等于λ0'η，右边等于0η，故0'η=λ0'η,又'η=1x1+...+nxn≠0，14故λ0=0，即λ0是一个实数.引理7 设M,N为n⨯n实方阵，我们有如下结论：M,N在实数域上相似⇔M,N在复数域C上相似.证明：必要性显然，下面证明充分性.M,N在复数域上相似⇒∃n级可逆复矩阵，使得M=P-1NP.令P=A+iD，A ,D∈Rn⨯n，则(A+iD)M=N(A+iD)⇒AM=NA,DM=ND.所以对任意λ属于R都有(A+λD)=N(A+λD) (4)记h(x)=A+λD(实数系多项式)，因为h(i)=A+iD=P≠0，所以h(x)≠0.因此，A+λD有有限个实数根，则存在η属于R，使得A+ηD≠0.由(4)式得M=(A+ηD)-1N(A+ηD), 也即M,N在实数域上相似.定理9⑴n级实对称矩阵A的特称根全是实数⇔存在正交矩阵T，满足T-1AT=T'AT=D，D 是上三角矩阵.⑵A正交且特征值全是实数⇒A是对称矩阵.证明：先证明必要性，根据引理5有，存在可逆矩阵P，使得*⎫⎛λ1 ⎪λ ⎪2P-1AP= ⎪. ⎪ λn⎪⎝⎭再根据引理7，矩阵如果在复数域上相似则一定在实数域上相似，因此可以令P=Q T为实矩阵，Q乃正交矩阵，T是上三角矩阵且主对角上元素全是实数，于是就有*⎫⎛λ1 ⎪λ2 ⎪Q-1AQ=T(P-1AP)T-1= ⎪⎪ λn⎪⎝⎭由T是上三角矩阵知他的逆T-1也是上三角矩阵，再由上三角矩阵之积仍然是上三角矩阵知Q-1AQ为上三角矩阵.再证充分性：A为n阶实矩阵，且存在正交矩阵Q使得Q-1AQ=Q'AQ为上三角矩阵，即15*⎫⎛λ1 ⎪λ ⎪2Q-1AQ= =Q'AQ，⎪⎪ λn⎪⎝⎭由此易知λ1,λ2,...,λn为实数且为A的特征根.⑵由⑴容易得到Q-1AQ=Q'AQ=D为上三角矩阵(Q是正交矩阵)，又正交矩阵的积为正交矩阵，从而D为正交矩阵.因而D'=D-1，但是D-1是上三角矩阵，而D'为下三角矩阵，故D必为对角矩阵.从而A'=(QDQ')'=QD'Q'=QDQ'=A，也即A为对称矩阵.引理8 设A是对称变换，V1是A-子空间，则V1的正交补也是A-子空间. 定理10对任意n级实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵T，使得T'AT=T-1AT为对角矩阵.证明定义A是与A对应的对称变换，只要证A有一组标准正交基（n个向量组成）.下面用数学归纳法进行证明.当n=1时结论明显成立.假设对n-1结论成立.对n维欧氏向量空间Rn，β1为线性变换A的一个特征向量，对应的特征值是λ1.将β1单位化，并记为α1，再作α1的生成向量空间L(α1)的正交补，记为V1，由引理8有V1是对称变换A的不变子空间，他的维数为n-1，显然A限制在V1上仍然是对称变换A1，根据假设A1有特征向量α2,α3,...,αn做成V1的标准正交基，从而α1,... ,αn使Rn的标准正交基，又是A的n个特征向量.根据归纳假设定理得证.例4.1 已知⎛011-1⎫⎪10-11 ⎪A= ， 1-101⎪⎪ -1110⎪⎝⎭求正交矩阵T使得T-1AT为对角矩阵.解：第一步，求矩阵A的特征值. 由16-1-11-1μ1-1 μE-A=μ-11μ-11-1-1μ0μ-1μ-11-μ2=0μ-10μ-100μ-1μ-11-1-1μ11-1-μ=-(μ-1)3101011=(μ-1)3(μ+3)由此有1（3重），-3为A的特征值.第二步，求特征值1对应的特征向量. 将μ=1带入下式⎧⎪μx1-x2-x3+x4=0,⎪⎨-x1+μx2+x3-x4=0,⎪-x1+x2+μx （5）3-x4=0,⎪⎩x1-x2-x3+μx4=0.得基础解系为μ1=(1,1,0,0)，μ2=(1,0,1,0)，μ3=(-1,0,0,1)..将基础解系正交化，得β1=(1,1,0,0)，β12=(,-122,1,0)，β1113=(-3,3,3,1)..再将上式单位化，有17η1=(11,,0,0)， 22η2=(η3=(-112,-,,0)， 6661113,,,). .上式为属于特征值1（三重）的三个标准正交特征向量.同理可求得特征值-3的标准正交特征向量为η4=(1/2,-1/2,-1/2,1/2).特征向量η1,η2,η3,η4构成R4的一组标准交基，所求正交矩阵',η2',η3',η4')， T=(η1此时⎛1⎫⎪ 1⎪T-1AT= ⎪. 1 ⎪ -3⎪⎝⎭4.2幂等矩阵⎛Er定理11幂等矩阵A与对角矩阵 O⎝O⎫⎪相似. ⎪O⎭证明：根据A2=A有，矩阵A的最小多项式mA(λ)整除λ2-λ.因λ2-λ=0无重根，由引理5 就有mA(λ)无重根，再由定理8就得矩阵A可对角化.4.3对合矩阵定理12对合矩阵A可对角化.证明：A2=E⇒mA(λ)λ2-1，易知λ2-1=0无重根，根据引理5得mA(λ)无重根，再根据定理8，A能够对角化.18。