山东省潍坊市2020-2021学年高三上学期期末统考数学试题
山东省潍坊市2020—2021学年高三上学期期末统考
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．若(i)i 1i a b -=+(a ，b ∈R)，则1
i
a b +＝ A ．
1i 2+ B ．1i 2- C ．1i 2-+ D ．1i
2
-- 2．命题“0a ∀>，1
2a a +≥”的否定是
A ．0a ∃≤，12a a +<
B ．0a ∃>，1
2a a +<
C ．0a ∀≤，12a a +≥
D ．0a ∀>，1
2a a
+<
3．函数()e x f x =在点(0，(0)f )处的切线方程是
A ．y x =
B ．1y x =-
C ．1y x =+
D ．2y x =
4．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如Asin y x ω=的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图1，2，3三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为
A ．()0.06sin10000.02sin15000.01sin3000f t t t t πππ=++
B ．()0.06sin5000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++
C ．()0.06sin10000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++
D ．()0.06sin10000.02sin 25000.01sin3000f t t t t πππ=++
5．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)的函数关系表达式为M
2000ln(1)v m
=+．如果火箭的最大速度达到12km/s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是 A ．6M e m = B ．6M e 1m =- C ．lnM ln 6m += D ．6
M e 1m
=- 6．已知某圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 A ．
33
π
B ．3π
C ．23π
D ．2π 7．已知抛物线C 1：212y x =，圆C 2：22(3)1x y -+=，若点A ，B 分别在上C 1，C 2上运动，点M(1，1)，则AM AB +的最小值为
A ．2
B ．5
C ．22
D ．3
8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =-，当x ∈[﹣1，1]时，()3f x x =，若函数
()()(2)g x f x k x =--的所有零点为i x (i ＝1，2，3，…，n )，当3
17k <<时，1
n
i i x =∑＝
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．设全集为U ，如图所示的阴影部分用集合可表示为 A ．A B B ．
U
A B C ．
U
(A B)
B D ．
U
A B
第9题
第15题 第16题
10．某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由
抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z 服从正态分布N(200，224)，则
14.97，若Z~N(μ，
2σ)，则P(μσ-＜Z ＜μσ+)＝0.6826，P(2μσ-＜Z ＜2μσ+)
＝0.9544）
A ．P(185.03＜Z ＜200)＝0.6826
B ．P(200≤Z ＜229.94)＝0.4772
C ．P(185.03＜Z ＜229.94)＝0.9544
D ．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03，229.94)内的件数约为8185件
11．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移
6
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，则以下说法正确的是 A ．函数()g x 在(0，6
π)上单调递增 B ．函数()y g x =的图象关于点(6π
-，0)对称
C ．()()2g x g x π-=-
D ．()()6
g g x π
≥
12．已知数列{}n a 满足：11n n n a a a +=+，11a =，设ln n n b a =(n N *∈)，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则下列
选项正确的是（ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A ．数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减
B ．1ln3n n b b ++≤
C ．2020693S >
D ．212n n b b ->
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知a ＝(1，1)，b ＝2，且(a ＋b )·a ＝4，则向量a 与b 的夹角为 ．
14．已知双曲线2
221x y a
-=(a ＞0)的右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，△OPF 的面积为
，则该双曲线的离心率为 ．
15．通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用
英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示．其中序号
的编码规则为：①由10个阿拉伯数字和除I ，O 之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个英文字母．则采用5位序号编码的鲁V 牌照最多能发放的汽车号牌数为 万张．（用数字作答）
16．如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方
且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在①点(n a ，n S )在直线210x y --=上，②12a =，122n n S S +=+，③0n a >，11a =，
22112320n n n n a a a a +++-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， ． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ，并判断1S -，n S ，1n S +是否成等差数列，并说明理由．
18．（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cosC ﹣c sinA ．
（1）求A ；
（2）若c ＝2，且BC b ．
19．（本小题满分12分）
已知正方形ABCD的边长为2，沿AC将△ACD折起到PAC位置（如图），G为△PAC的重心，点E 在边BC上，GE∥平面PAB．
（1）若CE＝λEB，求λ的值；
（2）若GE⊥PA，求平面GEC与平面PAC所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r(0＜r＜1)，它们之间相互不影响．
（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；
（2）当r＝0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；
（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；
方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元．
请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策?
21．（本小题满分12分）
已知点B 是圆C ：(x ﹣1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F(﹣1，0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．
（1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）设曲线E 与x 轴的两个交点分别为A 1，A 2，Q 为直线x ＝4上的动点，且Q 不在x 轴上，OA 1
与E 的另一个交点为M ，QA 2与E 的另一个交点为N ，证明：△FMN 的周长为定值．
22．（本小题满分12分）
已知函数1()e x f x ax -=-(a ∈R)在区间(0，2)上有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：121x x a
>．。
高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）
⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(原卷版)
压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．类型一 中点问题典例1已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率13e =，焦距为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()0,2Q 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若x 轴上的一点E 满足AE BE =，试求出点E 的横坐标的取值范围．【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题【举一反三】已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的焦距与椭圆2213x y +=的焦距相等，且C 经过抛物线()212y x =- （1）求C 的方程；（2）若直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，O 为C 的对称中心，且AOB 的面积为103，求k 的值． 类型二 垂直问题典例2 已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，1C 的长轴是圆2C ：222x y +=的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆1C 的左焦点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交椭圆1C 于P ，Q 两点，2l 交圆2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值.【来源】广东省肇庆市2021届高三二模数学试题【举一反三】已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，离心率63e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ，11AE F ，1AFF 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试证明1322S S S 为定值． 类型三 面积问题典例3如图，已知椭圆221:12x y Γ+=和抛物线22:3x y Γ=，斜率为正的直线l 与y 轴及椭圆1Γ依次交于P 、A 、B 三点，且线段AB 的中点C 在抛物线2Γ上．(1)求点P 的纵坐标的取值范围；(2)设D 是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆1Γ的左上方，求点D 的横坐标的取值范围，使得PCD 的面积存在最大值．【来源】浙江省2022届高三水球高考命题研究组方向性测试Ⅴ数学试题【举一反三】已知椭圆C ：22221(x y a b a b+=>>0)的右焦点F 与右准线l ：x ＝4的距离为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线():0m y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线m 及x 轴和y 轴分别相交于点D ，E ，G ，直线GF 与右准线l 相交于点H ．记AEGF ，ADGH 的面积分别为S 1，S 2，求12S S 的值．【来源】江苏省苏州中学等四校2021-2022学年高三下学期期初联合检测数学试题类型四 范围与定值问题典例4已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>2()2,1P ．(1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 【来源】重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点P （0，t ），斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围． 【来源】江苏省扬州大学附中2021届高三下学期2月检测数学试题典例5 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形，点(10,1)P 是椭圆C 上一点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t -+-=引两条切线，分别交椭圆C 于点P ，Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值． 【来源】云南省昭通市2022届高三期末数学（理）试题【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点33,2M ⎭，242N ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程：(2)A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P 为圆224x y +=上的动点（P 不在坐标轴上），P A 与PB 分别与椭圆C 交E 、F 两点，直线EF 交x 轴于H 点，请问点P 的横坐标与点H 的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题【精选名校模拟】1．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记点A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【来源】湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2021届高三下学期联考数学试题2．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点(0,2)A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =， 33||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值． 【来源】黑龙江省漠河市高级中学2020-2021学年高三上学期第三次摸底考试文科数学试题3．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率3e = 4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于P 点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【来源】天津市十二区县重点学校2021届高三下学期毕业班联考（一）数学试题4．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F 3G 是椭圆上一点，12GF F △的周长为643+.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【来源】陕西省宝鸡市2021届高三下学期高考模拟检测（二）文科数学试题5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率22e =，过右焦点(),0F c 的直线y x c =-与椭圆交于A ，B 两点，A 在第一象限，且2AF =．（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点M ，满足对于过点F 的任一直线l 与椭圆C 的两个交点P ，Q ，都有MP MQ ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【来源】河南省济源（平顶山许昌市）2021届高三第二次质量检测理科数学试题6．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，并且经过()03P ，点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点P 的直线与x 轴交于N 点，与椭圆的另一个交点为B ，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线PB '交x 轴于点M ，求证：OM ON ⋅为定值． 【来源】北京平谷区2021届高三数学一模试题7．已知经过原点O 的直线与离心率为22的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>交于A ，B 两点，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，且12AF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示，设点P 是椭圆C 上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C 的切线与2x =-交于点M .记直线1PF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求出该定值. 【来源】广西南宁市2021届高三一模数学（文）试题8．设O 是坐标原点，以1F 、2F 为焦点的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为2，以12F F 为直径的圆和C 恰好有两个交点. （1）求C 的方程；（2）P 是C 外的一点，过P 的直线1l 、2l 均与C 相切，且1l 、2l 的斜率之积为112m m ⎛⎫-≤≤-⎪⎝⎭，记u 为PO 的最小值，求u 的取值范围.【来源】广东省深圳市2021届高三一模数学试题9．已知点(1,0)A ，点B 是圆221:(1)16O x y ++=上的动点，线段AB 的垂直平分线与1BO 相交于点C ，点C 的轨迹为曲线E . （1）求E 的方程（2）过点1O 作倾斜角互补的两条直线12,l l ，若直线1l 与曲线E 交于,M N 两点，直线2l 与圆1O 交于,P Q 两点，当,,,M N P Q 四点构成四边形，且四边形 MPNQ 的面积为831l 的方程. 【来源】广东省广州市2021届高三一模数学试题10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是12，椭圆C 过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，过点2F 的直线l （不过坐标原点）与椭圆C 交于,A B 两点，求11F A F B ⋅ 的取值范围.【来源】东北三省三校（哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 ）2020-2021学年高三下学期第一次联合模拟考试文科数学试题11．已知椭圆2222:1x y C a b+=7，离心率为12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为：2x a =-，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标； ②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．【来源】广东省广州市执信中学2022届高三下学期二月月考数学试题12．已知()12,0A -，()22,0A 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点，点31,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上．过点1,02D ⎛⎫⎪⎝⎭的直线交椭圆于两点P ，Q （P ，Q 与顶点1A ，2A 不重合），且直线1A P 与2A Q ，1A Q 与2A P 分别交于点M ，N ． (1)求椭圆C 的方程(2)设直线1A P 的斜率为1k ，直线1A Q 的斜率为2k ． ①证明：12k k ⋅为定值； ②求DMN 面积的最小值．【来源】山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期末数学试题13．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别为右顶点和上顶点，点O 为坐标原点，11e OF OA FA+=，OAB 2，其中e 为E 的离心率． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点O 异于坐标轴的直线与E 交于M ，N 两点，射线AM ，AN 分别与圆22:4C x y +=交于P ，Q 两点，记直线MN 和直线PQ 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【来源】四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题14．已知点M 是椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>上一点，1F ，2F 分别为椭圆C 的上、下焦点，124F F =，当1290F MF ∠=︒，12F MF △的面积为5.(1)求椭圆C 的方程：(2)设过点2F 的直线l 和椭圆C 交于两点A ，B ，是否存在直线l ，使得2OAF 与1OBF △（O 是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【来源】江西省赣州市2022届高三上学期期末数学（文）试题15．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点3P⎛⎝⎭3(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形AOB的面积1tan2=-∠S AOB若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【来源】江西省赣州市2022届高三上学期期末数学（理）试题。
山东省潍坊市安丘市潍坊国开中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
潍坊国开中学2024年10月份月考检测数学试题本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.3.已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.4.若，则恒成立的一个充分条件是（ ）A. B. C. D.5.设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则6.已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ）A. B.C. D.7.数列满足，，，则（ ）A. B. C. D.{}13A x x =-<(){}60B x x x =-<A B = ()2,6-()2,4-()0,6()0,4{}220M x x x =-≥{}N x x a =<M N ⊆a 2a <2a >2a ≥2a ≤210ax bx -+>1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20bx x a -+<{}23x x -<<{}32x x -<<322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭0x >2025x a x+≥80a >80a <100a >100a <αl m n m α⊂n α⊂l m ⊥l n ⊥l α⊥l m ∥m α⊥n α⊥l n ⊥l m ∥m n ∥l α⊥n α⊥m α⊂l n ⊥n α⊥l m∥()f x ()()13f x f x -=+()f x ()0,2()1f 52f ⎛⎫⎪⎝⎭72f ⎛⎫⎪⎝⎭()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}n a 11a =131n n a a -=+2n ≥n a =3122n -3122n +13122n --13122n ++8.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，且当时，，则（ ）A.-3B. C.0D.1二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。
山东省潍坊市2023-2024学年高三10月联考数学试题含解析
2024届高三上学期10月份阶段性测试题数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合{}13A x x =≤≤，{}2680B x x x =-+≥，则A B ⋂=Rð（）A.{}23x x <≤ B.{}13x x ≤≤ C.{}14x x ≤< D.{}24x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求出集合B ，再由交集与补集的定义求解即可.【详解】由题意{}13A x x =≤≤，{4B x x =≥或}2x ≤，则{}24R B x x =<<ð，故(){}23R A B x x ⋂=<≤ð.故选：A.2.设a ，b ，c 分别是ABC 的三条边，且a b c ≤≤.则“222a b c +<”是“ABC 为钝角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出答案.【详解】由题意可知a b c ≤≤，若222a b c +<，则222cos 02a b c C ab+-=<，所以2C ππ<<，所以ABC 为钝角三角形，充分性满足；若ABC 为钝角三角形，由a b c ≤≤，则cos 0C <，即22202a b c ab+-<，所以222a b c +<，必要性满足.所以“222a b c +<”是“ABC 为钝角三角形”的充要条件.故选：C3.设5log 2a =，9log 3b =，15log 4c =，则（）A.c b a << B.b<c<aC.a c b<< D.a b c<<【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较a ，b ，c 与12的大小关系即可得正确选项.【详解】55510log 2log log 2a <==<=，2931log 3log 32b ===，1515151log 4log log 2c ==>=，所以a b c <<，故选：D.4.已知0x >，0y >，21x y +=，则()()11x y xy++的最小值为（）A.4+B.12C.8+D.16【答案】C 【解析】【分析】把待求式中“1”用2x y +替换，然后用基本不等式求得最小值．【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，所以()()11(2(2)(22)(3)x y x x y y x y x y x y xyxyxy++++++++==222688x y xy xy ++=≥=+当且仅当2226x y =，即3,2x y ==时，等号成立．故选：C ．5.设D 为ABC 所在平面内一点，2BC CD = ，E 为BC 的中点，则AE =（）A.2133AB AD +B.1233AB AD +C.2133AB AD -D.1323AB AD -【答案】A 【解析】【分析】由已知()1133BE BD AE AB AB AB AD AB +=+==+-即可求解.【详解】解：因为2BC CD =，E 为BC 的中点，所以()11213333AE AB BE AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+ ，故选：A.6.曲线2y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos 21tan αα=+（）A.1- B.15- C. D.2【答案】B 【解析】【分析】先求出2y x x=-的导函数，进而求出1x =时，123y '=+=，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出tan 3α=，利用万能公式求出结果.【详解】221y x'=+，当1x =时，123y '=+=，所以tan 3α=，由万能公式得：222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195ααααααα---====-+++所以cos 24111tan 545αα=-⨯=-+故选：B7.已知函数1ln e e y x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭的图象上存在点P ，函数212c y x -=+的图象上存在点Q ，且P 、Q 关于x 轴对称，则实数c 的取值范围为（）A.211,122e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B.221e 1,12e 2⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ C.21e ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.211,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据题意问题可转化为方程21ln 2c x x =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令21()ln 2g x x x =-，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出()g x 的值域即可得c 的取值范围.【详解】依题意可知，方程21ln 2x x c =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即21ln 2c x x =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令21()ln 2g x x x =-，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则211(1)(1)()x x x g x x x x x-+-=-='=，1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()0g x '<，(]1,e x ∈时()0g x '>，所以()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，则()g x 的最小值为1(1)2g =，又21(e)e 12g =-，()2111e e 2e g g ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，则()g x 的最大值为21(e)e 12g =-，所以()g x 的值域为21e ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即可得c 的取值范围是21e ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C8.设()f x 是定义域R 的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈，()()2f x ax x =-.若()()121f f -+=-，则7()2f =()A.1-B.34-C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】首先利用函数的奇偶性求出a ，再利用()f x 的对称性和奇函数性质求解即可.【详解】因为()f x 是定义域R 的奇函数，所以(1)(1)f f -=-，(0)0f =，因为当(]0,1x ∈，()()2f x ax x =-，所以(1)f a =-，从而(1)f a -=，因为()1f x +是偶函数，即(1)f x +的图像关于y 轴对称，因为(1)f x +图像是()f x 图像向左平移一个单位得到的，所以()f x 的图像关于1x =对称，故(2)(0)0f f ==，因为()()121f f -+=-，所以01a a +==-，因为733(()(222f f f =-=-，31113()()1(2)22224f f ==-⨯⨯-=，所以733(()224f f =-=-.故选：B.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的给0分）9.下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A.cos 2y x =B.tan y x =C.sin y x= D.lg sin y x=【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的图象性质以及图象的变换，一一判断即可.【详解】对于选项A ，因为cos 2y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以cos 2y x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 错；对于选项B ，结合tan y x =的图象性质，易知tan y x =是以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数，故B 正确；对于选项C ，结合sin y x =的图象性质，易知sin y x =没有周期性，故C 错；对于选项D ，令sin t x =，易知sin t x =是以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数，因lg y t =也是单调递增的，所以lg sin y x =是以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数，故D正确.故选：BD.10.下列命题正确的是（）A.若0a b <<，0c >，则11ac bc<B.若0a >，0b >2aba b≥+C.已知0a >，0b >，且1a b +=，则2212a b +≥D.已知0a >，0b >，且1ab =，则1124a b a b++≥+【答案】BC 【解析】【分析】A 选项做差法即可比较大小从而得出结果；B 选项结合均值不等式即可判断；C 选项结合二次不等式的恒成立问题即可判断；D 选项举出反例即可说明.【详解】A 因为0a b <<，0c >，则110b a ac bc abc--=>，即11ac bc >，故A 错误；B 因为0a >，0b >22112a b aba b a b+≥≥≥=++当且仅当a b =时等号成立，C 因为1a b +=，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=+-=-+≥ ⎪⎝⎭，当12a b ==时等号成立，故C 正确；D 当1a b ==时，满足0a >，0b >，且1ab =，但11234a b a b++=<+，故D 错误.故选：BC.11.设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,π有且仅有5个极值点，则（）A.()f x 在()0,π有且仅有3个极大值点B.()f x 在()0,π有且仅有4个零点C.ω的取值范围是4353,1010⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.()f x 在π0,20⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】AD 【解析】【分析】根据三角函数的极值点（也即最值点）的性质，求出极值点，然后根据条件，结合图像列出关于ω的不等式组，解出ω的范围，然后再逐一判断每个选项.【详解】作出()f x的草图如下：()f x 的极值点满足πππ,Z 52x k k ω+=+∈，即3ππ10k x ω+=，因为()f x 在[]0,π有且仅有5个极值点，所以0,1,2,3,4k =，则需3π4π10πω+<，且3π5π10πω+≥，解得43531010ω<≤，故C 错误；因为π(0)05f =>，则由图可知0k =时，13π10x ω=是在()0,π上的第一个极大值点，根据正弦型三角函数的图像规律可知，极大值点与极小值点总是交替出现的，2,4k k ==时是()f x 的两个极大值点，另外两个为极小值点，故A 正确；如图可知，在A 点之前已有4个零点，πx =也可能落在C 点的右侧，从而使()f x 在()0,π上有5个零点，故B 错误；当5310ω=时，()f x 的周期最小，此时第一个极大值点为13π3ππ105320x ω==>，而()f x 在3π0,53⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在π0,20⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：AD12.关于函数()e xf x =，()lng x x =，下列说法正确的是（）A.对x ∀∈R ，()1f x x ≥+恒成立B.对0x ∀>，()11g x x≥-恒成立C.函数()()y xf x x g x =--的最小值为e 1-D.若不等式()()g x f ax a≥对0x ∀>恒成立，则正实数a 的最小值为1e【答案】ABD 【解析】【分析】利用导数证明()()10h x f x x =--≥恒成立，判断A ，A 中不等式绝对值变形的转换可判断B ，利用导数求出函数()()y xf x x g x =--的最小值判断C ，把不等式()()g x f ax a≥进行变形转化为不等式ax e x ≥恒成立，然后求得a 的范围判断D ．【详解】设()()1h x f x x =--e 1x x =--，()e 1x f x '=-，0x <时，()0h x '<，()h x 递减，0x >时，()0h x '>，()h x 递增，所以min ()(0)0h x h ==，所以()1(0)0f x x h --≥=，即()1f x x ≥+恒成立，A 正确；在()1f x x ≥+中令ln x t =，则1ln t t ≥+，ln 1t t -≥-，1ln 1t t≥-，再令1x t=得1ln 1x x ≥-，B 正确；设()()()ln e xp x xf x x g x x x x =--=--，定义域为(0,)+∞，11()e e 1(1)(e x x x p x x x x x'=+--=+-，定义域内10x +>恒成立，令1()e xq x x =-是增函数，1(202q =-<，(1)e 10q =->，所以()q x 在1(,1)2即在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，01e 0xx -=，00e 1x x =，00x x <<时，()0q x <，即()0p x '<，()p x 递减，0x x >时，()0q x >，即()0p x '>，()p x 递增，所以0min 0000()()e ln xp x p x x x x ==--000011ln 11ex x x x =--=-+=，C 错；不等式()()g x f ax a≥为ln eaxxa≥，e ln ax a x ≥，0x >，所以e ln ax ax x x ≥，即e ln e ln ax ax x x ≥，令()ln s t t t =，则()ln 1s t t '=+，10et <<时，()0s t '<，()s t 递减，1e t >时，()0s t '>，()s t 递增，min 11()(e es t s ==-，因为0,0a x >>，所以e 1ax >，因此不等式e ln e ln ax ax x x ≥恒成立，则e ax x ≥恒成立，ln ax x ≥，即ln xa x≥，设ln ()x u x x =，21ln ()xu x x -'=，0e x <<时，()0u x '>，()u x 递增，e x >时，()0u x '<，()u x 递减，所以max 1()(e)e u x u ==，所以1e a ≥，即a 的最小值是1e，D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握导数与函数单调性的关系，深深需要不断求导才能确定函数的单调性与极值．这是问题的难点所在，解题过程中需要不断引进新函数，研究新函数的单调性、极值点、零点等性质，本题属于困难题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()3,1a =r ，()1,2b =-r ，c a b λ=- .若a c ⊥，则λ=________.【答案】110-0.1-【解析】【分析】根据0a c ⋅=求解即可.【详解】因为()20a c a a b a a b λλ⋅=⋅-=-⋅=r r r r r r r r，所以()()91320λ+--+=，解得110λ=-.故答案为：110-14.已知1sin 24α=-，则2πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】380.375【解析】【分析】由余弦二倍角公式结合诱导公式即可求解.【详解】因为1sin 24α=-，所以2ππ11cos 21cos 21π1sin 2344sin 4222282αααα⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ +⎛⎫⎝⎭⎝⎭+===== ⎪⎝⎭.故答案为：3815.已知()221,042,0x x f x x x x -⎧-≤=⎨-+->⎩，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则实数k 的取值范围是________.【答案】(){}2,02- 【解析】【分析】画出()f x 的图象，数形结合解决问题【详解】()()g x f x k =-有两个零点，即()f x k =有两个根，即函数()y f x =与y k =有两个交点，如图所示，显然，当2k =或20k -<<时，函数()y f x =与y k =有两个交点，符合题意故答案为：(){}2,02- 16.已知函数()sin xf x e x ax =-在()π,0-上单调递增，则实数a 的取值范围________.【答案】2,e π-⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】首先求导()sin cos xxe x e x af x =+-'，根据题意得到(),0x π∈-，sin cos 0x x e x e x a +-≥恒成立，再利用导数求解最值即可得到答案.【详解】()sin xf x e x ax =-，()sin cos x x e x e x a f x =+-'，因为函数()sin xf x e x ax =-在()π,0-上单调递增，所以(),0x π∈-，sin cos 0x x e x e x a +-≥恒成立，即(),0x π∈-，()sin cos xa e x x ≤+恒成立，设()()sin cos xg x ex x =+，()()()sin cos cos sin 2cos x x x g x e x x e x x e x '=++-=，,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 为减函数，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()2min2g x g e ππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即2a e π-≤-.故答案为：2,e π-⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知函数()ππcos 24f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【答案】（1）5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）2【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.（2）根据三角函数的单调性即可求解.【小问1详解】()()ππcos sin cos cos sin sin 2444f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin 2cos 2sin x x x =--sin 21cos 2214x x x π⎛⎫=-+-=++ ⎪⎝⎭，3222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】由（1）222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈函数的单调递减区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在0,8π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，在,82ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()00f =，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数的最大值为2.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，cb 是1和tan tan A B的等差中项．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若BC 2a =，求ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）3π；【解析】【分析】（Ⅰ）根据c b 是1和tan tan A B 的等差中项得到2tan 1tan c Ab B=+，再利用正弦定理结合商数关系，两角和与差的三角函数化简得到2sin cos sin()sin C A A B C =+=，从而得出1cos 2A =，即可求出角A ；（Ⅱ）设中线交BC 于D ，则ADB ADC π∠=-∠，由余弦定理求得228b c +=，再由2214cos 22b c A bc +-==求得4bc =，最后根据三角形的面积公式1sin 2ABC S bc A = ，进行求解即可.【详解】解：（Ⅰ）由题意及正弦定理得2tan 2sin 1tan sin c A C b B B=+=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=，化简得2sin cos sin()sin C A A B C =+=，因为sin 0C >，所以1cos 2A =，而在ABC 中，0A π<<，所以3A π=；（Ⅱ）设中线交BC 于D ，则ADB ADC π∠=-∠，由余弦定理得22222222BD AD c CD AD b BD AD CD AD+-+-=-⋅⋅，22=化简得228b c +=，因为2214cos 22b c A bc+-==，所以4bc =，所以1sin 24ABC S bc A bc ===△．19.首届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2021年9月24-28日在银川国际会展中心拉开帷幕，183家酒庄、企业携各类葡萄酒、葡萄酒加工机械设备、酒具等葡萄酒产业相关产品亮相.某酒庄带来了2021年葡萄酒新品参展，供购商洽谈采购，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒x 万箱且全部售完，每万箱的销售收入为()H x 万元，()()()2803,0203000190,202x x x H x x x x -<≤⎧⎪-=⎨+>⎪+⎩.（1）写出年利润()M x （万元）关于年产量x （万箱）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）（2）年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）()()2318040,020300011040,202x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩（2）年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为2380万元.【解析】【分析】（1）分020x <≤和20x >两种情况列出解析式即可；（2）分别结合二次函数在某区间上的最值以及利用均值不等式求出最值，进而比较即可求出结果.【小问1详解】当020x <≤时，()()()40100M x x H x x =⋅-+，所以()()()2280340100318040M x x x x x x =⋅--+=-+-，当20x >时，()()()40100M x x H x x =⋅-+；所以()()()()()30001300019040100104022x x M x x x x x x x ⎡⎤--=⋅+-+=-+⎢++⎣⎦，因此()()2318040,020300011040,202x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩；【小问2详解】由（1）知当020x <≤时，()2318040M x x x =-+-，对称轴为30x =，开口向下，所以()2318040M x x x =-+-在(]0,20上单调递增，因此当20x =时()2max 32018020402360M x =-⨯+⨯-=；当20x >时，()()3000110402x M x x x -=-+-+90001029602x x =--++()900010229802x x =-+-++29802380≤-=，当且仅当()90001022x x +=+，即28x =时，等号成立，因为23802360>，所以年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为2380万元.20.在①sinsin 2A Bb c B+=，②)cos sin c A b a C -=-，③cos cos cos c a b C A B+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________.（1）求C ；（2）若ABC 的面积为AC 的中点为D ，求BD 的最小值.【答案】（1）3C π=（2）4【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面积公式可得32ab =，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.【小问1详解】选①sinsin 2A Bb c B +=，由正弦定理可得sin sinsin sin 2A BB C B +=，又因为0B π<<，可得sinsin 2A BC +=，即sincos 2C C π-=，所以cos 2sin cos 222C C C=，又因为022C π<<，所以1sin 22C =，所以26C π=，解得3C π=.)cos sin c A b a C -=-，)sin cos sin sin sin C A B A C -=-，()sin cos sin sin sin C A A C A C -+=-⎤⎦，整理可得cos sin sin A C A C =-，又因为0A π<<，解得tan C =因为0C π<<，所以3C π=.③cos cos cos c a b C A B+=+，由正弦定理可得sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+，整理可得sin cos sin cos sin cos sin cos C A C B A C B C +=+，即sin cos sin cos sin cos sin cos C A A C B C C B -=-，即()()sin sin C A B C -=-，所以C A B C -=-或C A B C π-+-=（舍），即2A B C +=，即2C C π-=，解得3C π=.【小问2详解】113sin 222ABC S ab C ab ==⋅= 解得32ab =，由余弦定理可得22222112cos 2162234222b b b b BD a a a ab a ab π⎛⎫=+-⋅⋅=+-≥⋅⋅-= ⎪⎝⎭，所以4BD ≥，当且仅当2ba =时，即4,8ab ==取等号，所以BD 的最小值为4.21.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数2()ln x x e x ϕ-=-，利用导数可得()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则可得()0()0x x ϕϕ≥>，即得证.【详解】（1）11()(0)axf x a x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）设函数2()ln x x e x ϕ-=-，则21()x x exϕ-'=-，可知()x ϕ'在(0,)+∞上单调递增.又由(1)0ϕ'<，(2)0ϕ'>知，()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则()020010x x e x ϕ-'=-=，即0201x e x -=.当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；当()0x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；所以()0200()ln x x x ex ϕϕ-≥=-，结合021x ex -=，知002ln x x -=-，所以()()22000000001211()20x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>，则2()ln 0x x e x ϕ-=->，即不等式2()x e ax f x --≥恒成立.【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明2()ln x x e x ϕ-=-的最小值大于0.22.已知函数()22ln f x mx x x =-+，其中m 为正实数.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（2）当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x mx ≥-，求m 的取值范围.【答案】（1）2（2）(]0,1【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线方程即可求解；（2）当1x =时，00≥成立，所以m R ∈；当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，2min2ln 2x x m x x --⎛⎫≤⎪-⎝⎭，令22ln 2()x x g x x x --=-，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，利用导数研究函数的单调性，可得()g x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，然后利用求出(1)g 即可得答案.【小问1详解】解：当1m =时，()22ln f x x x x =-+，()122f x x x'=-+，所以(1)1f '=，()11f =-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()1(1)1y f x '--=-，即2y x =-，设切线与两坐标轴交点为()()2,0,0,2A B -，所以12222AOB S =⨯⨯= ；【小问2详解】解：由题意，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x mx ≥-即()22ln 2m x x x x -≥--恒成立，当1x =时，00≥成立，所以m R ∈；当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，因为20x x -<，所以22ln 2x x m x x --≤-恒成立，即2min2ln 2x x m x x --⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭，令22ln 2()x x g x x x --=-，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()()2222321ln 1()x x x x g x x x -++--'=-，令()2()2321ln 1h x x x x x =-++--，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1()42ln 5h x x x x'=-+-+，22221421()4x x h x x x x -++''=-++=，令2()421x x x ϕ=-++，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由二次函数的知识有()ϕx 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为1()102ϕ=>，(1)10ϕ=-<，所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得0()0x ϕ=，所以01,2x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x ''>，()0,1x x ∈时，()0h x ''<，所以()h x '在01,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，又1()12ln 20,(1)02h h ''=-<=，所以()00h x '>，所以存在01,2x α⎛∈⎫⎪⎝⎭，使得()0h α'=，所以当1,2x α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，(),1x α∈时，()0h x '>，所以()h x 在1,2α⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(),1α上单调递增，又1()(1)02h h ==，所以()0≤h x ，即()0g x '≤，所以()g x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()211122ln 2lim lim 121x x x x x g x x xx →→--->==--，所以01m <≤，综上，m 的取值范围为(]0,1.。
山东省潍坊市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则集合A ，B 的关系是（ ） {}N A x y x =∈{}4,3,2,1B =A ． B ． C ．D ．B A ⊆A B =B A ∈A B ⊆【答案】A【分析】计算得到，据此得到集合的关系.{}0,1,2,3,4A =【详解】，，故错误； {}{N}0,1,2,3,4A xy x ==∈=∣{}4,3,2,1B =A B =集合中元素都是集合元素，故正确；B A B A ⊆是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故错误；A B ，∈B A ∈集合中元素存在不属于集合的元素，故错误. A B A B ⊆故选：A2．函数的定义域为（ ）()()2ln 2f x x x =-A ． B ． (,0)(2,)-∞+∞ (,0][2,)-∞⋃+∞C ． D ．()0,2[]0,2【答案】C【分析】根据对数型函数的定义域运算求解. 【详解】令，解得，220x x ->02x <<故函数的定义域为.()()2ln 2f x x x =-()0,2故选：C.3．命题“，”的否定形式是（ ） 2x ∀>240x -≠A ．， B ．， 2x ∃>240x -≠2x ∀≤240x -=C ．， D ．，2x ∃>240x -=2x ∃≤240x -=【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为，. 2x ∃>240x -=故选：C.4．已知，，，则（ ） 0.13a =30.3b =0.2log 3c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c b a <<b a c <<c<a<b 【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出结果.0,1【详解】，.3000.10.20.2log 3log 100.30.3133<=<<==< c b a ∴<<故选：B.5．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用12分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别6%A 为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，21024210272522425227【答案】D【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；()1000800100014006%252+++⨯=区抽取的食品摊位数为.A 10006%0.4527⨯⨯=故选：D.6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为1214（ ） A ． B ．C ．D ．12131415【答案】C【分析】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，并利用D ，E ，F 构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立， 且. ()()()1,2P D P E a P F ===恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， DEF DEF DEF ++DEF DEF DEF ，，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++，()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭整理得，他三道题都答错为事件，()2112a -=DEF 故.()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭故选：C.7．定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且R ()f x ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >，则不等式的解集是（ ） ()10f =()0f x >A ． B ． ()1,1-()()1,01,-⋃+∞C ． D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定的单调性，结合可得不等式()f x ()()110f f -=-=的解集.【详解】对任意的，，有， ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >在上单调递增，又定义域为，， ()f x \()0,∞+()f x R ()10f =在上单调递增，且，；()f x \(),0∞-()()110f f -=-=()00f =则当或时，， 10x -<<1x >()0f x >即不等式的解集为. ()0f x >()()1,01,-⋃+∞故选：B.8．已知函数，若函数有七个不同的零点，()11,02ln ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()()()24433g x f x t f x t =-+⎤⎦+⎡⎣则实数t 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先以为整体分析可得：和共有7个不同的根，再结合的图象()f x ()34f x =()f x t =()f x 分析求解.【详解】令，解得或， ()()()()244330g x f x t f x t =-+⎦+⎤⎣=⎡()34f x =()f x t =作出函数的图象，如图所示，()y f x =与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，()y f x =34y =()34f x =由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点， ()f x t =()y f x =y t =故实数t 的取值范围是.{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解． （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．的最小值为 B ．无最小值 ()4f x x x=+4()4f x x x=+C ．的最大值为D ．无最大值()()3f x x x =-94()()3f x x x =-【答案】BC【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB ，当时，（当且仅当时取等号）； 0x >44x x +≥=2x =当时，（当且仅当时取等号）， 0x <()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2x =-的值域为，无最小值，A 错误，B 正确； ()4f x x x∴=+(][),44,-∞-⋃+∞对于CD ，，()()22393324f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭当时，取得最大值，最大值为，C 正确，D 错误. ∴32x =()f x 94故选：BC.10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） (0,)+∞A ． B ．C ．D ．y x =||e x y =-12log y x =13y x -=【答案】BC【分析】A 选项不满足单调性；D 不满足奇偶性，B 、C 选项均为偶函数且在上单调递减正(0,)+∞确.【详解】在上单调递增，A 选项错误；y x =()0,∞+，故为偶函数，当时为单调递减函数，B()e ,)()e (xxf x f x f x =--==-||e x y =-()0,x ∈+∞e x y =-选项正确；，故为偶函数，当时为单调递1122()()log ,log ()g g g x x x x x =-==12log y x =()0,x ∈+∞12log y x =减函数，C 选项正确；是奇函数，D 选项错误. 13y x -=故选：BC11．如图，已知正方体顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的1111ABCD A B C D -某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为，则下列n P 说法正确的是（ ）A ．B ． 123P =259P =C ．D ．点Q 移动4次后恰好位于点的概率为012133n n P P +=+1C 【答案】ABD【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分Q 析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：， Q 23在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：，13所以，故A 选项正确； 123P =对于B ：，故B 选项正确；22211533339P =⨯+⨯=对于C ：，故C 选项错误； ()1211113333n n n n P P P P +=+-=+对于D ：点由点移动到点处至少需要3次， Q A 1C 任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能 到达点，所以点Q 移动4次后恰好位于点的概率为0. 1C 1C 故D 选项正确； 故选：ABD.12．已知实数a ，b 满足，，则（ ） 22a a +=22log 1b b +=A ． B ． C ． D ．22a b +=102a <<122a b->5384b <<【答案】ACD【分析】构建，根据单调性结合零点存在性定理可得，再利用指对数互()22xf x x =+-13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化结合不等式性质、函数单调性分析判断. 【详解】对B ：∵，则，22a a +=220a a +-=构建，则在上单调递增，且，()22xf x x =+-()f x R 3413350,202244f f ⎛⎫⎛⎫=<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故在上有且仅有一个零点，B 错误；()f x R 13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对A ：∵，则， 22log 1b b +=222log 20b b +-=令，则，即，22log t b =22t b =220t t +-=∴，即，故，A 正确； 2lo 2g a t b ==22a b =22a b +=对D ：∵，则，D 正确； 22a b +=253,284a b -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭对C ：∵，且在上单调递增， 23211224a a ab a ---=-=>->-2x y =R ∴，C 正确. 11222a b-->=故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知一元二次方程的两根分别为和，则______． 22340x x +-=1x 2x 1211x x +=【答案】## 340.75【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：，，. 1232x x +=-122x x =-1212121134x x x x x x +∴+==故答案为：. 3414．已知函数（且）的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为______．1log (2)3a y x =-+0a >1a ≠【答案】13,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数存在参数，当时所求出的横纵坐标即是定点坐标． log (2)0a x -=【详解】令，解得，此时，故定点坐标为． log (2)0a x -=3x =13y =13,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：13,3⎛⎫⎪⎝⎭15．将一组正数，，，…，的平均数和方差分别记为与，若，1x 2x 3x 10x x 2s 10214500i i x ==∑250s =，则______． x =【答案】20【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110i i s x x ==-∑， 102211105010i i x x =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑代入数据得，， ()214500105010x -=解得.20x =故答案为：2016．已知两条直线：和：，直线，分别与函数的图象相交1l 1y m =+2l ()221y m m =+>-1l 2l 2x y =于点A ，B ，点A ，B 在x 轴上的投影分别为C ，D ，当m 变化时，的最小值为______． CD【答案】()2log 2-【分析】分别求出直线，与函数的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求1l 2l 2x y =最值.【详解】由与函数相交得，解得，所以，1y m =+2x y =21x m =+()2log 1x m =+()()2log 1,0C m +同理可得，()()22log 2,0D m +所以，()()222222log 2log 1log 1m CD m m m +=+-+=+令，()2231211m g m m m m +==++-++因为， 所以,当且仅当时取最小值. 1m >-()31221g m m m =++-≥-+1m =所以 ()()22min log 2log 2CD ==所以的最小值为. CD ()2log 2-故答案为:()2log 2【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题17．设全集，已知集合，． U =R {}11A x a x a =-+≤≤+401x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围． A B ⋂=∅【答案】(1)或；{1x x <}2x ≥(2). 23a ≤≤【分析】（1）由已知解出集合A ，B ，根据并集的运算即可得出答案； （2）若，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a 的取值范围. A B ⋂=∅【详解】（1）当，， 3a ={}24A x x =≤≤由得，所以或， 401x x ->-(4)(1)0x x -->{1B x x =<}4x >或；{1A B x x ∴⋃=<}2x ≥（2）已知， {}11A x a x a =-+≤≤+由（1）知或， {1B x x =<}4x >因为，且， A B ⋂=∅B ≠∅∴且， 11a -+≥14a +≤解得，23a ≤≤所以实数a 的取值范围为.23a ≤≤18．已知函数．()22f x x ax a =-+(1)若的解集为，求实数的取值范围； ()0f x ≥R a (2)当时，解关于的不等式． 3a ≠-x ()()43f x a a x >-+【答案】(1) []0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；R 0∆≤（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可. ()()30x x a +->3a >-3a <-【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：， 220x ax a -+≥R 2440a a ∴∆=-≤01a ≤≤即实数的取值范围为.a []0,1（2）由得：；()()43f x a a x >-+()()()23330x a x a x x a +--=+->当时，的解为或； 3a >-()()30x x a +->3x <-x a >当时，的解为或；3a <-()()30x x a +->x a <3x >-综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为3a >-()(),3,a -∞-+∞ 3a <-.()(),3,a -∞-+∞ 19．受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课2022注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系：()f t t min ，其中，且．已知在区间上的最大()()224,016log 889,1645a mt mt n t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩0m >0a >1a ≠()y f t =[)0,16值为，最小值为，且的图象过点． 8870()y f t =()16,86(1)试求的函数关系式；()y f t =(2)若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听85课效果最佳？请说明理由．【答案】(1) ()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳1224t ⎡⎤∈-⎣⎦【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得的值，由此可得； ,,m n a ()f x （2）分别在和的情况下，由可解不等式求得结果.016t ≤<1645t ≤≤()85f t ≥【详解】（1）当时，，[)0,16t ∈()()()222412144f t m t t n m t m n =--+=--++，解得：； ()()()()max min 1214488070f t f m n f t f n ⎧==+=⎪∴⎨===⎪⎩1870m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩又，，解得：， ()16log 88986a f =+=log 83a ∴=-12a =.()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩（2）当时，令，解得：；16t ≤<21370858t t -++≥1216t -≤<当时，令，解得：；1645t ≤≤()12log 88985t -+≥1624t ≤≤教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.∴1224t ⎡⎤∈-⎣⎦20．已知函数，函数． ()()33log log 39x f x x =⋅()1425x x g x +=-+(1)求函数的最小值；()f x (2)若存在实数，使不等式成立，求实数x 的取值范围．[]1,2m Î-()()0f x g m -≥【答案】(1) 94-(2)或 109x <≤27x ≥【分析】（1）将化为关于的二次函数后求最小值；()f x 3log x （2）由题意知，求得后再解关于的二次不等式即可.min ()()f x g m ≥min ()g m 3log x 【详解】（1） ()()3333()log log (3)log 2log 19x f x x x x =⋅=-+ ()233log log 2x x =--， 2319log 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴显然当即, ， 31log 2x =x =min 9()4f x =-∴的最小值为. ()f x 94-（2）因为存在实数，使不等式成立，[]1,2m Î-()()0f x g m -≥所以， 又，min ()()f x g m ≥()()21421524x x x g x +=-+-=+所以，()()2124m g m -=+又，显然当时，，[]1,2m Î-0m =()()02min 2414g m -=+=所以有，即，可得， ()4f x ≥()233log log 24x x --≥()()33log 2log 30x x +-≥所以或，解得 或. 3log 2x ≤-3log 3x ≥109x <≤27x ≥故实数x 的取值范围为或. 109x <≤27x ≥21．某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得[)55,60[)60,65[]90,95到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，从下面两个条件中选一个，求事件E 的概率．()P E ①事件E ：；[]0,5x y -∈②事件E ：．(]5,15x y -∈注：如果①②都做，只按第①个计分．【答案】(1)0.08；81.8(2)选①：；选②： 715815【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E 所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.【详解】（1）第七组的频率为， 30.0650＝所以第六组的频率为，()10.0650.00820.0160.0420.060.08--⨯++⨯+=第八组的频率为0.04，第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为，则，m 8085m <<由，解得， 850.040.060.080.155m -++⨯=81.8m ≈故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数.81.8（2）第六组的人数为4人，设为,，第八组的人数为2人，设为， [80,85),a b ,c d [90,95],A B 随机抽取两名学生，则有共15种情况，,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad bc bd cd aA bA cA dA aB bB cB dB AB选①：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，[]:0,5E x y -∈所以事件包含的基本事件为共7种情况，E ,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 故. 7()15P E =选②：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，(]:5,15E x y -∈所以事件包含的基本事件为共8种情况，E ,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 故. 8()15P E =22．已知函数的定义域为D ，对于给定的正整数k ，若存在，使得函数满足：()f x [],a b D ⊆()f x 函数在上是单调函数且的最小值为ka ，最大值为kb ，则称函数是“倍缩函()f x [],a b ()f x ()f x 数”，区间是函数的“k 倍值区间”．[],a b ()f x (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）()3f x x =(2)证明：函数存在“2倍值区间”；()ln 3g x x =+(3)设函数，，若函数存在“k 倍值区间”，求k 的值． ()2841x h x x =+10,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()h x 【答案】(1)是，理由见详解(2)证明见详解(3){}4,5,6,7k ∈【分析】（1）取，结合题意分析说明；1,1,1k a b ==-=（2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析ln 32x x +=证明；（3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【详解】（1）取，1,1,1k a b ==-=∵在上单调递增，()3f x x =[]1,1-∴在上的最小值为，最大值为，且， ()3f x x =[]1,1-()1f -()1f ()()()1111,1111f f -=-=⨯-==⨯故函数是“倍缩函数”.()3f x x =（2）取，2k =∵函数在上单调递增，()ln 3g x x =+[],a b 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， ()ln 3g x x =+0a b <<ln 32ln 32a a b b+=⎧⎨+=⎩等价于至少有两个不相等的实根，ln 32x x +=等价于至少有两个零点，()ln 23G x x x =-+∵，且在定义内连续不断， ()()()332e 0,110,2ln 210e G G G -=-<=>=-<()G x ∴在区间内均存在零点，()G x ()()3e ,1,1,2-故函数存在“2倍值区间”.()ln 3g x x =+（3）对，且，则， 121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦12x x <()()()()()()12121212222212128148841414141x x x x x x h x h x x x x x ---=-=++++∵，则， 12102x x ≤<≤221212120,140,410,410x x x x x x -<->+>+>∴，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <故函数在上单调递增， ()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦若函数存在“k 倍值区间”，即存在，使得成立， ()h x *10,2a b k ≤<≤∈N 22841841a ka ab kb b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即在内至少有两个不相等的实根， 2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵是方程的根，则在内有实根， 0x =2841x kx x =+2841k x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦若，则，即，且， 10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦[)284,841x ∈+[)4,8k ∈*k ∈N ∴，即.4,5,6,7k ={}4,5,6,7k ∈【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。
山东省潍坊市(安丘、诸城、高密)三县市2022-2023学年高三10月联考数学试题(解析版)
2023届山东省潍坊市（安丘、诸城、高密）三县市高三10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,1A =-，11,Z 2B x x x ⎧⎫=+≤∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．{}1AB ⋂= B ．{}1,0,1A B =-UC ．(){}R 1A B ⋂=-ðD ．(){}R 1,0,1A B ⋃=-ð【答案】B【分析】计算绝对值不等式得到{}1,0,1B =-，从而进行交集，并集，补集相关计算. 【详解】由112x +≤得：1112x -≤+≤，所以3122x -≤≤， 又因为Z x ∈，所以{}1,0B =-， 故{}1A B ⋂=-，A 错误； {}1,0,1A B =-U ，B 正确；(){}R 1A B ⋂=ð，C 错误；(){}R1A B x x ⋃=≠ð，D 错误.故选：B2．已知命题p ：有的长方形是正方形，则（ ） A ．p ⌝：有的长方形不是正方形 B ．p ⌝：所有长方形都不是正方形 C ．p ⌝：所有的长方形都是正方形 D ．p ⌝：不是长方形的图形都不是正方形【答案】B【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，p ：存在一个长方形，该长方形是正方形，p ⌝：所有长方形都不是正方形. 故选：B.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足m n m n S S S ++=，若12a =，则20a =（ ） A ．2 B ．4C ．20D ．40【答案】A【分析】由m n m n S S S ++=可得2020192111a S S S S S a =-=-== 【详解】()20201918218121112a S S S S S S S S S a =-=+-+=-===. 故选：A4．“关于x 的方程()212xxa +=没有实数解”的一个必要不充分条件是（ ） A ．12a ≤B ．1a >C ．12a ≤或1a ≥ D ．12a <或1a ≥ 【答案】C 【分析】先得到1111221x ≤-<+，从而得到12a <或1a ≥，进而判断出四个选项中，符合要求的选项.【详解】()212xxa +=，因为210x+>，所以2112121xxxa ==-++， 因为0221x ≥=，所以212x +≥，110221x<≤+，1111221x ≤-<+， 要想()212xxa +=没有实数解，则12a <或1a ≥， 由于12a <或1a ≥⇒12a ≤，故A 不成立；由于12a <或1a ≥⇒1a >，故B 不成立； 由于12a <或1a ≥⇒12a ≤或1a ≥，且12a ≤或1a ≥⇒12a <或1a ≥，C 正确；D 选项为充要条件，不合要求. 故选：C5．偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学毕业生张华向银行贷款的本金为72万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，30年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ） A ．2288 B ．48728n -C ．48808n -D ．48888n -【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n 个月已还多少本金，由此可计算出n 个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则()2000720000120000.4%48888n a n n ⎡⎤=+--⨯⨯=-⎣⎦， 故选：D6．已知函数()()()ln 10f x x x =+≥，将函数()f x 的图象绕原点逆时针旋转(]()0,ααθ∈角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【分析】利用导数求出函数在原点的切线的斜率，即可求出其倾斜角，再结合函数图象及函数的定义判断即可.【详解】解：因为()()()ln 10f x x x =+≥，所以()11f x x '=+，则()01f '=． 即函数()()ln 1f x x =+在原点的切线OM 的斜率1k =，所以4MOx π∠=．由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角θ大于2MOx π-∠时，旋转所得的图象与y 轴就会存在两个交点， 此时曲线C 不是函数的图象，故θ的最大值是24MOx ππ-∠=．故选：B ．7．足球运动是目前全球体育界最具影响力的项目之一，深受青少年喜爱．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（ ） A ．127B ．19C ．827D ．1627【答案】D【分析】计算出每一种情况后，再求和即可.【详解】由题意，根据第一次传给乙第二次传给甲或丙或丁第三次传给丙丁或甲丁或甲丙，第一次传给丙或丁第二次传给乙第三次传给甲或丙或丁，第一次传给丙或丁第二次传给甲丁或甲丙第三次传给乙分别求出概率，再求和可得答案.122122116=?1?+?×1+?×=333333327P . 故选：D8．已知a ，b ，()e,c ∈+∞，c a a c >，ln ln c b b c <，则（ ） A ．e ln e ln e ln a c b c a b b a c +++>> B ．e ln e ln e ln a b a c b c c b a +++>> C ．e ln e ln e ln a c a b b c b c a +++>> D ．e ln e ln e ln b c a b a c a c b +++>>【答案】D【分析】由题意变形得ln ln ln a c ba c b>>，构造函数()ln x f x x =证得a c b <<，观察选项，通过变形可知比较的是ln ln ln ,,e e e a b c a b c的大小，故构造函数()ln xx g x =e 证得其单调递减，由此得到所比大小排序.【详解】因为a ，b ，()e,c ∈+∞，所以由c a a c >两边取自然对数得ln ln c a a c >，即ln ln c a a c >，故ln ln a ca c>， 再由ln ln c b b c <得ln ln b c b c <，故ln ln ln a c ba c b>>， 令()()ln e x f x x x=>，则()21ln 0xf x x '-=<，故()f x 在()e,+∞上单调递减，又由上式可知()()()f a f c f b >>，故a c b <<， 由四个选项的不等式同时除以e a b c ++可知，比较的是ln ln ln ,,e e e a b ca b c的大小， 故令()()ln e ex x g x x =>，则()211e e ln ln 1ln e e e x x x x x x xx x x x g x x --'-===， 再令()()1ln e h x x x x =->，则()()()ln 1ln e 120h x x =-+<-+=-<'， 故()h x 在()e,+∞上单调递减，所以()()e 1eln e 1e 0h x h <=-=-<，故()0g x '<， 所以()g x 在()e,+∞上单调递减，又因为a c b <<，所以()()()g a g c g b >>，即ln ln ln e e ea cb ac b>>， 上述不等式两边同时乘以e a b c ++得，e ln e ln e ln b c a b a c a c b +++>>. 故选：D.二、多选题9．某产品的质量指标值服从正态分布()250,σ，则下列结论正确的是（ ）A ．σ越大，则产品的质量指标值落在()49.9,50.1内的概率越大B ．该产品的质量指标值大于50的概率为0.5C ．该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等D ．该产品的质量指标值落在()49.9,50.2内的概率与落在()50,50.3内的概率相等 【答案】BC【分析】对于A ，根据标准差的性质分析判断，对于BCD ，根据正态分布的性质分析判断即可.【详解】对于A ，σ越大，则数据越分散，所以产品的质量指标值落在()49.9,50.1内的概率越小，所以A 错误，对于B ，因为产品的质量指标值服从正态分布()250,σ，所以正态分布的图象关于直线50x =对称，所以该产品的质量指标值大于50的概率为0.5，所以B 正确，对于C ，由选项B 可知正态分布的图象关于直线50x =对称，所以该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等，所以C 正确，对于D ，由选项B 可知正态分布的图象关于直线50x =对称，所以由正态分布的图象可知该产品的质量指标值落在()49.9,50.2内的概率大于落在()50,50.3内的概率，所以D 错误， 故选：BC10．已知0x >，0y >，且21x y +=，下列结论中正确的是（ ）A ．xy 的最小值是18B ．24x y +的最小值是C ．12x y+的最小值是9D ．22x y +的最小值是25【答案】BC【分析】根据基本不等式即可逐一求解.【详解】由>0,>0x y ，21x y +=得1+28x y xy ≥≤，当且仅当122x y ==时等号成立，故A 错误，由于2>0,4>0x y ，所以2+4x y ≥当且仅当122x y ==时等号成立，故B 正确，>0,>0x y ，()1222++2=5++y x x y x y x y ≥⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时等号成立，故C 正确，()222222211+=12+=54+1=5+555x y y y y y y ---≥⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 错误，故选：BC 11．已知194x x y y+=，则关于函数()y f x =说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在R 上为减函数 B ．函数()f x 的图象的对称轴为y x = C ．0x ∃<，使得()0f x < D ．()23f x x >-【答案】AD【分析】利用不同象限表示不同的圆锥曲线图象可求解.【详解】当0,0x y ≥≥时，原等式化为22194x y +=，当0,0x y ≥<时，原等式化为22194x y -=，当0,0x y <≥时，原等式化为22149y x -=， 当0,0x y <<时，原等式化为22194x y --=，此方程无解，结合椭圆、双曲线的图象作出图象如下：由图象可知，函数()f x 在R 上为减函数，所以A 正确； 第一象限的图象为椭圆的部分，不关于y x =，所以B 错误； 函数图象不出现在第三象限，所以不存在0x <，使得()0f x <， 所以C 错误；因为第四象限部分双曲线22194x y -=的渐近线与第二象限的双曲线22149y x -=部分的渐近线都为23y x =-，所以结合函数图象()23f x x >-恒成立，所以D 正确.故选:AD.12．将各项均为正数的数列{}n c 中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数1c ，2c ，4c ，7c ，…构成数列{}n a ，各行的最后一个数1c ，3c ，6c ，10c ，…构成数列{}n b ，第n 行所有数的和为()1,2,3,4,n S n =L ．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为q 的等比数列，且11c =，18119c =，39179c =．则下列结论正确的是（ ）A ．21n a n =-B ．202320231012b c ⨯=C ．13nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()()1213123n n n n S ---=⨯【答案】ABD【分析】由条件结合确定{}n b 与{}n c 的关系，根据等差数列通项公式和等比数列通项公式求出数列{}n a 的公差d ，由此可得{}n a 的通项公式，再求nnb a ，并根据等比数列求和公式求n S ，由此判断各选项.【详解】由已知第n 行有n 个数，各行的最后一个数1c ，3c ，6c ，10c ，…构成数列{}n b ，所以11b c =，2123b c c +==，31236b c c ++==，⋅⋅⋅，由此可得()12312n n n n b c c +++鬃?+==，所以()20231232023202310122023202312b c c c +++鬃??+===，B 对，又11a c =，，2112a c c +==，31216a c c ++==，⋅⋅⋅，由此可得()()12311112n n n n a c c +++鬃?-+-+==，因为数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，所以1n a dn d =+-，所以61651a c d ==+，93781a c d ==+，由因为从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为q 的等比数列，所以()21851c d q =+，()23981c d q =+，由已知可得()211519d q +=，()217819d q +=，所以2d =，13q =，所以21n a n =-，A 正确，由已知1n n n b a q -=，所以113n n n b a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 错误，所以()()()()2111121212121333n n S n n n n -骣骣鼢珑=-+-+-+鬃?-鼢珑鼢珑桫桫()()()111213132112313nn n n n S n -骣÷ç-÷ç÷--ç桫=-=´-，D 对，故选：ABD.三、填空题13．已知函数()()12,0,1,0,x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()2log 3f =______． 【答案】321.5 【分析】由21log 32<<结合条件0x >时，()(1)f x f x =-化简可得()()22log 3log 32f f =-，再由0x ≤时，1()2x f x +=，结合对数运算性质求其值. 【详解】因为函数2log y x =在()0+∞，上单调递增，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，因为0x >时，()(1)f x f x =-，所以()()()222log 3log 31log 32f f f =-=-，因为0x ≤时，1()2x f x +=，所以()222223log log 321log 31log 3log 2223log 322222f -+--=====， 故答案为：32. 14．在101x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，7xy 的系数为______．【答案】360-【分析】101x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开通项为()101101C kkk k T x y x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得()3778101C T x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭包含7xy ，再求出31x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开项x 的系数即可【详解】由二项式展开项通项公式可得()101101C kkkk T x y x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，故只有()3778101C T x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭包含7xy ，又31x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开项通项公式为3321331C C mm m m mm S x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，故当1m =时，7xy 的系数为()771103-1C C 360=-.故答案为：360-15．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=，则数列{}n a 的前2n 项和2n S =______．【答案】()321n-【分析】当2n ≥时，可知112n n n a a --=，进而可知112n nn n a a a a +-=，即112n n aa +-＝，从而可知{}n a 的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出2n S .【详解】由11a =，12nn n a a +=，得22a =.当2n ≥时，112n n n a a --=，所以111222nn n n n n a a a a --+==，即112n n a a +-=， 所以{}n a 的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.则21(12)2(12)3233(21)1212n n n n n S ⨯-⨯-=+=⨯-=---. 故答案为：()321n-.16．进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立．为确保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000次，但实际上在检测时都是随机地按()110k k <≤人一组分组，然后将各组k 个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这k 个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当检测次数最少时k 的值为______． 参考数据：20.90.810=，30.90.729=，40.90.656≈，50.90.590≈，60.90.531≈，70.90.478≈，80.90.430≈，90.90.387≈，100.90.349≈．【答案】4【分析】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则1X k=；若混合为阳性，则11X k =+.依次求出1P X k ⎛⎫= ⎪⎝⎭、11P X k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭、()E X ，则当()E X 最小时，检测次数最少，最后研究()E X 的最小值即可【详解】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则1X k=；若混合为阳性，则11X k =+.则10.9k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.9kP X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()111111110.9k E X P X P X k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=++⋅=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故当()E X 最小时，检测次数最少.当2k =时，()0.69E X =；当3k =时，()0.604E X =；当4k =时，()0.594E X =；当5k =时，()0.61E X =；当6k =时，()0.636E X =；当7k =时，()0.665E X =；当8k =时，()0.695E X =；当9k =时，()0.724E X =；当10k =时，()0.751E X =.故当4k =时，()0.594E X =最小. 故答案为：4四、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()112n n n a na --=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()9n nn n c a -=，数列{}n c 中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由．【答案】(1)2nn a n =⋅(2)存在，最小项为14c =-，最大项为101111024c c ==【分析】(1)由递推式证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，根据等比数列通项公式求其通项，再求数列{}n a 的通项公式；(2)研究数列的单调性，由此确定其最值. 【详解】(1)因为当2n ≥时，有()112n n n a na --=，所以121n n a an n -=-， 令nn a b n =，则12n n b b -=，2n ≥，又1121a b ==，所以12n n b b -=，2n ≥，所以数列{}n b 为等比数列，公比为2，首项为2，所以2n n b =，所以2nn a n =⋅，(2)由（1）知()992n n n n n n c a --==，得1182n n n c ++-=，1111898218102222n n n n n n n n n n nc c ++++----+--=-==， 当10n =时，10n n c c +-=，1n n c c +=，即1110c c =；当10n <时，10n n c c +->，1n n c c +>，即109821c c c c c >>>>>L ； 当10n >时，10n n c c +-<，1n n c c +<，即111213c c c >>>L ， 所以数列{}n c 是先增后减，最大项为1011101121024c c ===， 因为当19n ≤≤时，0n c ≤且数列{}n c 是单调递增；当10n ≥时0n a >， 所以数列{}n c 的最小项为1842c -==-． 18．从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记i A 表示事件“第i 次摸到红球”，1,2,,7i =．(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；(2)记()123P A A A 表示1A ，2A ，3A 同时发生的概率，()312P A A A 表示已知1A 与2A 都发生时3A 发生的概率．①证明：()()()()123121312P A A A P A P A A P A A A =； ②求()3P A ． 【答案】(1)12 (2)①证明见解析，②37【分析】（1）所求概率为21(|)P A A ，由条件概率的公式计算.(2) ①由条件概率的公式计算推导可证, ②由①的结论,分类计算所求概率.【详解】(1)由条件概率公式可得1221143()176(|)4()27p A A P A A p A ⨯⨯===； 所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为12； (2)①由条件概率乘法公式12331212()(|),()P A A A P A A A P A A =可得12312312()()(|),P A A A P A A P A A A =，由12211()(|)()P A A P A A P A =,可得12121()()(|)P A A P A P A A =,所以123121312()()(|)(|);P A A A P A P A A P A A A =②由①可得()()()()()3123123123123P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++ =121312121312()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A ++121312121212()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A +32143234243337657657657657=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以()337P A =．19．已知函数()321f x x ax bx =--+，其中0a >．(1)若函数()f x 的单调减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数a ，b 的值；(2)若2b a =，已知曲线()y f x =在点()(),a f a --处的切线与y 轴的交点为()0,m ，求9m a +的最小值．【答案】(1)1a =，1b = (2)13【分析】(1)由已知()0f x '<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据二次方程和二次不等式的解的关系求a ，b 的值；(2)根据导数的几何意义确定,a m 的关系，由此可得39931m a a a +=++，利用导数求其最小值．【详解】(1)因为()321f x x ax bx =--+，所以()232f x x ax b '=--，已知函数()f x 的单调减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()0f x '<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()10,310,f f ''⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩故11320,93320,a b a b ⎧⨯+⨯-=⎪⎨⎪--=⎩解得1a =，1b =，当1a =，1b =时，()()()2321311x x x x f x --=+'-=，当13x <-时，()0f x '>，函数()f x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增，当113-<<x 时，()0f x '<，函数()f x 在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1+∞，单调递增， 满足已知条件，故1a =，1b =；(2)因为2b a =，所以()2232f x x ax a '=--，可得()()()222324f a a a a a a '-=--⨯--=，即24k a =，又由()()()()322311f a a a a a a a -=--⋅--⨯-+=-+，得切线方程为()()3214y a a x a --+=+，即23431y a x a =++，令0x =，可得331y a =+，即331m a =+，则39931m a a a+=++， 令()3931g a a a =++，0a >，可得()42229999a g a a a a -'=-=，0a >，令()0g x '>，即4990a ->，解得1a >，令()0g x '<，即4990a -<，解得01a <<， 所以函数()g a 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增， 所以当1a =时，函数()g a 取得最小值，最小值为()131913g =++=．20．一工厂为了提高生产效率，对某型号生产设备进行了技术改造，为了对比改造前后的效果，采集了20台该种型号的设备技术改造前后连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下表：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异？(2)若某台设备出现故障，则立即停工并申报维修，根据长期生产经验，每台设备停工n天的总损失额记为y （单位：元）满足()2100200015001,2,3,4y n n n =++=，现有两种维修方案（一天完成维修）可供选择：方案一：加急维修单，维修人员会在设备出现故障的当天上门维修，维修费用为4000元；方案二：常规维修单，维修人员会在设备出现故障当天或者之后3天中的任意一天上门维修，维修费用为1000元．现统计该工厂最近100份常规维修单，获得每台设备在第()1,2,3,4n n =天得到维修的数据如下：将频率视为概率，若某台设备出现故障，以该设备维修所需费用与停工总损失额的和的期望值为决策依据，应选择哪种维修方案？()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)表格见解析，有99%的把握 (2)方案一【分析】（1）根据已知表中的数据填写22⨯列联表，然后利用()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++求出2K ，再利用临界值表判断即可，（2）根据题意分别计算出1,2,3,4n =时，设备的总损失额，设选择方案一、方案二的设备维修所需费用与设备停工总损失额分别为X 、Y 元，则()36004000E X =+，Y 的可能取值有：4600，6900，9400，12100，求出相应的概率，可得随机变量Y 的分布列，求出()E Y ，然后比较可得结论. 【详解】(1)22⨯列联表为：易知()224055151510 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异． (2)当1n =时，设备的总损失额为3600y =元； 当2n =时，设备的总损失额为5900y =元； 当3n =时，设备的总损失额为8400y =元； 当4n =时，设备的总损失额为11100y =元；设选择方案一、方案二的设备维修所需费用与设备停工总损失额分别为X 、Y 元， 选择方案一，则()360040007600E X =+=元，选择方案二，则Y 的可能取值有：4600，6900，9400，12100， 所以，()1460010P Y ==，()3690010P Y ==，()4940010P Y ==，()21210010P Y ==，所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，()134246006900940012100871010101010E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=元， 所以，()()E X E Y <，故选方案一.21．已知数列{}n a ，{}n b 的各项都是正数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足()22210n n S n S n +--=；数列{}n b 满足11b a =，331b a =-，()221*n n n b b b n N ++=∈(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记()22167,log ,nn n n n n b n c a a b n ++⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前2n 项和为2n T ，若不等式()24141nnn T n λ-+<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 【答案】(1)21n a n =-，12n n b -=(2)15λ-<<【分析】（1）先根据条件算出n S ，再算出n a 和n b ；（2）对于{}n c 采用分组求和的方法，推出2n T 的解析式，再根据条件，计算不等式()24141nnn T n λ-+<+ ，确定λ 的范围. 【详解】(1)依题意，根据()22210n n S n S n +--=，得()()210n nS n S-+=，又0n a >，0n S >，得2n S n =；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-；当1n =时，111a S ==适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-，所以111b a ==，3314b a =-=，又因为()221*n n n b b b n N ++=∈，所以数列{}n b 为等比数列，所以22314b b q q ===，解得2q =或2q =-（舍去），所以12n n b -=；(2)由题意可知，2n S n =，12n n b +=；由已知()22167,,log ,,nn n n n n b n c a a b n ++⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数可得()()()1672,2123,n n n n c n n n n -⎧-⎪=-+⎨⎪⎩为奇数为偶数 ， 设{}n c 的前2n 项和中，奇数项的和为n P ，偶数项的和为n Q ， 所以13521n n P c c c c -=++++L ，2462n n Q c c c c =++++L ，当n 为奇数时，()()()1116722221232321n n n n n c n n n n -+--==--++-，所以204264222135212222222251951394143n n n n P c c c c n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L0424141141n nn n =-=-++， 当n 为偶数时，n c n =，所以()()246222246212n n n n Q c c c c n nn +=++++=++++==+L L ，由()24141n nn T n λ-+<+，得()()441114141n n nn n n n λ-+<-++++，即()()111n n n λ-<-++， 当n 为偶数时，21n n λ<+-对一切偶数成立，当2n = 时，215n n +-= 为最小值，所以5λ<，当n 为奇数时，21n n λ<+--对一切奇数成立，当1n = 时()211n n -+-=- 为最大值，所以此时1λ>-，故对一切*n ∈N 恒成立，则15λ-<<．综上，21n a n =-，12n n b -=，λ 的取值范围是15λ-<<.22．已知函数()()3xf x x a e =--，()g x ax =．(1)设()f x '，()g x '分别为()f x ，()g x 的导函数，试讨论()()0f x g x ''-=根的个数； (2)若4a =-，当2x ≥-时，()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立，求k 的取值范围． 【答案】(1)当0a ≥时，()h x 有一个零点；当10a -<<时，()h x 有两个零点； 当1a =-时，()h x 有一个零点；当1a <-时，()h x 无零点；(2)21,e ⎡⎤⎣⎦【分析】(1)方程的根的个数，转化为函数的零点个数，利用导数讨论单调性来解决. (2) 恒成立问题转化为函数最值问题，讨论函数单调性，得到最值.【详解】(1)由题意可得()()2e xf x x a '=--，()g x a ¢=，令()()()()2e x h x f x g x x a a ''=-=---，()()1e xh x x a '=--，()10h a '+=，当1x a <+时，()0h x '<，()h x 为减函数；当1x a >+时，()0h x '>，()h x 为增函数； 所以()h x 的最小值为()11ea h a a ++=--，令()()11e a p a h a a +=+=--，显然()p a 为减函数，且()10p -=，所以当1a <-，()10h a +>，所以()0h x >，所以()h x 无零点； 当1a =-，()10h a +=，所以()h x 有一个零点；当0a >，()10h a +<，因为当1x a <+时，()h x a <-，故()h x 无零点，当1x a >+，()h x 有一个零点；当0a =时，()()2e xh x x =-，显然有一个零点；当10a -<<时，当1x a <+时，()h x 有一个零点，当1x a >+，()h x 有一个零点；故有两个零点．综上所述，当0a ≥时，()h x 有一个零点；当10a -<<时，()h x 有两个零点； 当1a =-时，()h x 有一个零点；当1a <-时，()h x 无零点；(2)()()()()22112e 12122xF x kf x x g x k x x x ⎡⎤=--+=+---⎣⎦，()2≥-x ()()()()e 222e 1x x F x k x x x k '=+--=+-，由题设可得()00F ≥，即1k ³， 令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-， ①若21e k ≤<，则120x -<≤，当()12,x x ∈-时，()0F x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0F x '>， 即()F x 在()12,x x ∈-单调递减，在()1,x +∞单调递增， 故()F x 在1x x =取最小值()1F x ，而()()()111221*********1e 211e 212e 2x x x F x k x x x x x x =+---=+---()211111111212022x x x x x =+---=-+≥所以当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立． ②若2e k =，则()()()22e 2e e x F x x -'=+-，所以当2x ≥-时，()0F x '≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增， 而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立， ③若2e k >，则()()2222e 1e e 0F k k ---=-+=--<，所以当2x ≥-时，()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦不可能恒成立． 综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
2020-2021学年山东省济宁市高三(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（1，2]B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．若tanα＝2，则＝（）A．B．C．D．14．“a＝1”是“直线ax+（2a﹣1）y+3＝0与直线（a﹣2）x+ay﹣1＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（）A．36种B．48种C．72种D．144种6．函数f（x）＝x﹣ln|e2x﹣1|的部分图象可能是（）A．B．C．D．7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为的直线l交抛物线C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（）A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x8．已知函数f（x）（x∈R）的导函数是f′（x），且满足∀x∈R，f（1+x）＝﹣f（1﹣x），当x＞1时，f（x）+ln（x﹣1）•f′（x）＞0，则使得（x﹣2）f（x）＞0成立的x 的取值范围是（）A．（0，1）⋃（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）⋃（2，+∞）C．（﹣2，﹣1）⋃（1，2）D．（﹣∞，1）⋃（2，+∞）二、选择题（共4小题）.9．已知a，b，c，d均为实数，下列说法正确的是（）A．若a＞b＞0，则＞B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cC．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a+b＝1，则4a+4b≥410．直线l过点P（1，2）且与直线x+ay﹣3＝0平行，若直线l被圆x2+y2＝4截得的弦长为2，则实数a的值可以是（）A．0B．C．D．﹣11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象12．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1C和B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（）A．AM⊥B1CB．CN的长为定值C．AB1与CN的夹角为D．当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是8π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新高考数学考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质考点分类讲义练习题附解析3
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2 3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．211、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20192、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.7、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π244、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π)5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.解析附后考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-2、【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 3、【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③. 4、【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B. 5、【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC. 6、【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 7、【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ． 8、【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图39、【答案】Df x在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，【解析】①若()f x在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；由图1可知，()f x在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；②由图1、2可知，()10、【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 11、【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12、【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-．【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[122-+．题型一 三角函数的性质1、【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax+=， 所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax ---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-. 故选B 2、【答案】B 【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B3、【答案】B 【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+， 对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ． 4、【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T， T π=，12||x x ∴-的最小值为2π， 即12a x x -的最小值为2π.故选：B ． 5、【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 6、【答案】4【解析】由题得12=,4,()42n n n Z ππωω⨯⨯∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4.故答案为：4 7、【答案】43. 【解析】由题意可得,32k k Z ππωπ⨯+=∈，求得22,3k k Z ω=-∈， 又0>ω，则ω的最小值为43， 故答案为：43. 8、【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.9、【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32 解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32cos(±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、【答案】π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、【答案】.3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.题型二 三角函数图像的变换1、【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 2、【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-， sin 42sin 2cos 2()cos 2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D. 3、【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.4、【答案】D【解析】因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 5、【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[1,244442x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD6、【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.7、【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.8、【答案】12【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为12．题型三 三角函数的解析式1、【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈， 所以2,6k k Z πϕπ=+∈， 因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确； 故选：D.2、【答案】(1)()sin(2)6g x x π=-；(2)[1,2]-.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω= ()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。
山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。
山东省潍坊市寿光中学2020-2021学年高一数学理上学期期末试卷含解析
山东省潍坊市寿光中学2020-2021学年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，，，且△ABC的面积为，则BC=A. 2B.C.D. 1参考答案：A【分析】根据△ABC的面积为bc sin A，可得c的值，根据余弦定理即可求解BC．【详解】解：由题意：△ABC的面积为bc sin A，∴c＝2．由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A即a2＝4+12﹣84，∴a＝2．即CB＝a＝2．故选：A．【点睛】本题考查解三角形问题，涉及到三角形面积公式，余弦定理，考查转化能力与计算能力，属于基础题.2. 已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3+a9=6，则S11等于（）A．12B．33C．66D．11参考答案：B【考点】等差数列的前n项和；等差数列；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=6，代入求和公式可得答案．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=6，由求和公式可得S11===33，故选：B3. 如果且，则角为（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角参考答案：D4. 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则△ABC是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形参考答案：D【分析】根据正弦定理，将等式中的边a,b消去，化为关于角A,B的等式，整理化简可得角A,B的关系，进而确定三角形。
【详解】由题得，整理得，因此有，可得或，当时，为等腰三角形；当时，有，为直角三角形，故选D。
【点睛】这一类题目给出的等式中既含有角又含有边的关系，通常利用正弦定理将其都化为关于角或者都化为关于边的等式，再根据题目要求求解。
5. 设集合A={f（x）|存在互不相等的正整数m，n，k，使得[f（n）]2=f（m）f（k）成立}，则下列不属于集合A的函数是（）A．f（x）=1+x B．f（x）=1+lgx C．f（x）=1+2x D．f（x）=1+cos x参考答案：C【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据条件分别确定n，m，k的值即可得到结论．【解答】解：A．∵f（1）=2，f（27）=4，f]2=f（1）f=1，f（10）=2，f]2=f（1）f=1，f（）=1，f（）=4，∴满足[f（）]2=f（）f（）．故只有C不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件找出满足条件的n，m，k是解决本题的关键，比较基础．6. 设向量＝（2，4）与向量＝（x，6）共线，则实数x＝（）A. 2B. 3C. 4D. 6参考答案：B由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.7. 已知∠AOB=lrad，点A l，A2，…在OA上，B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段氏均为1个单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l单位／秒，则质点M到达A10点处所需要的时间为( ) 秒。