7.4 多元复合函数与隐函数微分法(gai)

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多元复合函数与隐函数微分法知识分享

du z dv,
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分：（ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法二、一阶全微分的形式不变性三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导数都存, 且在有如下的链式法则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为

7.4多元复合函数与隐函数微分法解析

z=f(x,v),v=v(x,y),则z=f[x,v(x,y)]有链式法
z f f v x x v x
z f v y v y
(7.23)
f z 在(7.23)中我们在等式的右边记为而不用 , x x z 这是为防止和等式左边的混淆. x
y
2019年1月7日星期一
8
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z z u z v y u y v y
1 1 f'u xe f'v y 2 x 1 ( ) x x y xe f'u 2 f'v 2 x y
y
z x y xe f'1 2 f'2 2 y x y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数；每一个等式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
2019年1月7日星期一 19
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上式等式左端看作以 u,v 为中间变量 ,λ 为自变量的函数,等式两端对λ求导数,得
f du f dv k k 1 f ( x, y ) u d v d
即
f f k 1 x y k f ( x, y ) u v
由链式法则有 z eu sin v 1 eu cos v 1 x x y e [sin( x y ) cos( x y )]
2019年1月7日星期一 15
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复合函数微分法和隐函数微分法[精编文档]

F1
1
1 y
z x
F2
z x x
x2
z
z x
x2 yF1 yzF2 x2 y x2F1 xyF2
z y
F1
z y
y y2
z
F2
1
1 x
z y
z y
xy2F2 xy2 xyF1
xzF1 y2F2
例3：证z 明z(方x, 程y) 满F 足x ：zy
, x
y z x
确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求
dy d 2 y dx x0 , dx2 x0
问题：求方程的 dy 有多少种方法？求d 2 y有什么方法？
dx
dx2
构造以x,y为变量的二元函数
F(x,y)=siny+ex-xy-1
(1) Fx ex y, Fy cos y x 连续 (2) F(0, 0) 0
u x
2xyfu
2xyf1
z f1 u, v,u x2 y, v y2
2z x2
2y
f1
x
f1 u
u x
2y
f1
xf11
2 yx
2z
xy
2x
f1
y
f1 u
u y
f1 v
dv dy
2x
f1 y
f11 x2 f12 2 y
例4：设 z
f
y x
,
f
(u) 为可微函数，证明：
f1 1
z x
f2
yz
xy
z x
z
f1
yzf
2
x
1
f1
xyf
2
例3：证z 明z(方x, 程y) 满F 足x ：zy ,

第四节多元复合函数与隐函数的微分法高等数学三年专科最新版精品课件

z v
z z u z v . t u t v t
t
又如 z = f (u , v ) , u ( x , y ), v ( x ) ,
u x y
z
则
v
z z u z dv , x u x v d x
z z u . y u y
根据假设，z = f (u , v) 在 (u , v) 偏导数连续，从而
知其可微，所以
z z z u v , u v
①
2 2 ( u ) ( v ) , l i m 0 , 其中且 0
得又因一元函数 u 与 v 可导，所以 u 与 v 均连续，
(sin2 x )
x 2 1

x ln(sin2 x ) . 2 x 1 cot 2 x 2 x 1
2
而 u ( x, y)和设函数 z = f (u , v) 可微， v ( x, y ) 的一阶偏导数都存在，这时，复合函数 z = f [u(x , y), v (x , y)] 对 x 与 y 的偏导数都存在且
z u z v lim lim lim x 0 u x x 0 v x x 0 x
z du z dv . u dx v dx
例 1 设 z u , u sin2 x , v
dz . dx
v
x 1 , 求
x
z
当 z = f (u , v , w ), u ( x , y ) , v ( x , y ) ,
( x , y ) 时，其求导公式可参考关系图如下 .

高等数学第五节多元复合函数与隐函数微分法ppt课件

x y
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ，练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x

多元复合函数与隐函数微分法

解在 z f ( x x2 y2 )中, 令 u x x2 y2 ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
z f u f v x u x v x
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
x 0 时, u 0, v 0, 从而 0.
由 7 11 可得
z z u z v ( ) x u x v x x
(7 12)
在 (7 12)中
lim u u , lim v v x0 x x x0 x x
z xz

z
u z
u
x u

z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
证明我们只证 (7 10) 中的第一个等式，第二个等式可类似地证明.
对于任意固定的 y , 给 x 一个改变量 x , 则得到u 和 v 的改变量 u 和 v , u u( x x, y) u( x, y), v v( x x, y) v( x, y), 从而得到 z f (u,v) 的改变量
z z u z v . x u x v x
同理可证
u
x
z
z z u z v .

复合函数微分法与隐函数微分法

第九讲复合函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.一、多元复合函数微分法1、复合函数的中间变量为多元函数的情形设),,(v u f z =),,(y x u u =),(y x v v =构成复合函数)],,(),,([y x v y x u f z =则,x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ,yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 2、复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数),(v u f z =,)(t u u =,)(t v v =构成复合函数)](),([t v t u f z =.dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= 导数dtdz 称为全导数.3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3 如果函数),(y x u u =在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数, 函数)(y v v =在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([y v y x u f z =在对应点),(y x 的两个偏导数存在, 且有,x u u z x z ∂∂∂∂=∂∂ .dydv v z y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:,),(1u v u f f ∂∂=' ,),(2v v u f f ∂∂='vu v u f f ∂∂∂=''),(212 , 这里下标1表示对第一个变量u 求偏导数，下标2表示对第二个变量v 求偏导数，同理有2211,f f '''' , 等等. 例1设,sin v e z u =而,,y x v xy u +== 求x z ∂∂和.yz ∂∂ 例2设,sin t uv z +=而,cos ,t v e u t == 求导数.dtdz第十讲隐函数微分法二、隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程0),(=y x F来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且,0),(00≠y x F y ,0),(00=y x F 则方程0),(=y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(x f y = 它满足),(00x f y = 并有.yx F F dx dy -= 定理5 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 且,0),,(,0),,(000000≠=z y x F z y x F z则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =, 它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy z x F F y z F F x z -=∂∂-=∂∂ 例3 求由方程0=+-y x e e xy 所确定的隐函数y 的导数.,0=x dx dy dx dy 例4求由方程y z z x ln =所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数.,yz x z ∂∂∂∂ 例5求由方程a a xyz z (333=-是常数)所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂和.y z ∂∂ 例6设,04222=-++z z y x 求 .22x z ∂∂。

7.4多元复合函数与隐函数微分法

ve u sin t cos t
t
e cos t e sin t cos t
t t
e t (cos t sin t ) cos t .
例 8 设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ，
z z 求和 . x y
解
z z u z v x u x v x
f1( x y , xy) y f 2( x y , xy) ,
z f u f v y u y v y
f1( x y , xy) x f 2 ( x y , xy) .
z z 例１０设 z f ( x x y ) , 且 f ( u) 可微 , 求与 . x y 解在 z f ( x x 2 y 2 ) 中, 令 u x x 2 y 2 ,
则 Fx 2 x, Fy 2 y ,
F (0,1) 0,
Fy (0,1) 2 0,
2 2 x y 1 0 在点(0,1) 的某邻域依定理知方程内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的函数 y f ( x ) ．
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3

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z f [u(x, y), v(x, y)]
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分：（1）z x ln( x 2 y); （2）z x arctan y . x
解 (1) 由微分运算法则可得
dz ln( x 2 y)dx xdln( x 2 y) ln( x 2 y)dx x d( x 2 y) x 2y
f2(tx, ty) y
另外 z tk f ( x, y), 则 dz k t k1 f ( x, y) dt
因此, 对任何 t 有 f1(tx, ty) x f2(tx, ty) y k t k1 f ( x, y)
令 t 1即得 x fx( x, y) y f y( x, y) k f ( x, y).
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法二、一阶全微分的形式不变性三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设 z f (u, v) 在 (u, v) 处可微, 函数 u u( x, y), v v( x, y), 在 ( x, y) 处的偏导数都存在, 则复合函数 z f [ u( x, y), v( x, y)] 在 ( x, y) 处的偏导数都存在, 且有如下的链式法则
(7 15)
公式的推导设方程F(x, y) 0 在点(x0 , y0 )的某个邻域内确定了一个具有连续导数的隐函数 y y( x),则对 y( x) 定义域中的所有x,有 F[x, y( x)] 0,
根据链式法则, 在方程两边对 x 求导, 可得
F F dy 0, x y dx
x
x
arctan
y x
dx
x
1
1
(
y x
)2
d(
y x
)
arctan
y dx x
x
n
y x
xy x2 y2
dx
x2 x2
y2
dy
因此
z x
arctan
y x
xy x2 y2
,
z y
x2 x2 y2
.
三、隐函数微分法
定理7.4 设二元函数 F ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内具有连续偏导数 , 且
因为Fy( x0, y0 ) 连续, 且 Fy( x0, y0 ) 0,
所以存在 ( x0 , y0 ) 的某个邻域, 在该邻域内Fy 0,
于是
dy Fx . dx Fy
例5 求由方程 x y ex2y 0 所确定的隐函数 y f (x) 的导数. 解法一令 F ( x, y) x y ex2 y , 则
x fx( x, y) y f y( x, y) k f ( x, y). 证明在 z f (tx,ty) 中, 令 u tx , v ty ,
其中 x, y 相对于 t 是常数,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
dz dt
f du f dv u dt v dt
f1(tx, ty) x
ln( x 2 y)dx x dx 2dy x 2y
[ln(x 2 y) x ]dx 2x dy
x 2y
x 2y
因此 z ln( x 2 y) x , z 2x .
x
x 2 y y x 2 y
(2) 由微分运算法则可得
dz arctan y dx xdarctan y
二、一阶全微分的形式不变性
设函数
都可微,
则复合函数 z f [ u( x, y), v ( x, y)]的全微分为
dz z dx z dy x y
z u z v d y u y v y
u dx u d y x y
v dx v d y x y
du dv,
dz z dx z dy x y
F ( x0 , y0 ) 0 , Fy( x0 , y0 ) 0. 则由方程 F(x, y) 0 在点(x0 , y0 ) 的某一邻域内能唯一地确定一个有连续导数的函数 y f ( x), 它满足条件 y0 f ( x0 ), 且有
dy Fx( x, y) Fx dx Fy( x, y) Fy
dz f du f dv dt u dt v dt 其中的 dz 称为全导数. dt
(7 14)
例1 设 z f (u,v) 可微, 求 z f ( x y, xy) 的偏导数. 解在 z f ( x y, xy) 中, 令 u x y , v xy , 则由复合函数求偏导数链式法则可得 z f u f v x u x v x
Fx 1 2xyex2 y , 因此
Fy 1 x2ex2 y ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
y
y
例3 若 f ( x, y) 满足 f (tx,ty) t k f ( x, y) ( k 为正整数 ), 则称 f ( x, y) 是 k 的齐次函数, 证明: k 次齐次函数 f (x, y) 满足
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
解在 z f ( x x2 y2 )中, 令 u x x2 y2 ,
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
情形1 z f (u), u u( x, y), 则对 z f [u( x, y)] 有链式法则
z f (u) u , z f (u) u
x
x y
y
(7 13)
情形2 z f (u,v), u u(t), v v(t), 则对 z f [u(t),v(t)] 有链式法则