福建省三明市2019-2020学年高二数学上学期期末质量检测试题_20200301079
高二数学试题 第1页 （共4 页）
2019—2020学年第一学期三明市普通高中期末质量检测
高二数学试题
本试卷共4页．满分150分． 注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求．
1．已知直线l 的倾斜角为45︒，则l 的斜率为
A
B ．1 C
．2 D
2. 已知i 为虚数单位，则复数
2i
1i
=+ A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --
3. 计算1
38(3π)()27
--=
A. 7π3-
B. 23-
C. 12-
D. 13
4．以(1,2)为圆心且过原点的圆的方程为
A. 22(1)(2)x y -+-=
B. 22(1)(2)x y +++=
C. 22(1)(2)5x y -+-=
D. 22(1)(2)5x y +++=
5．双曲线2
2
14y x -=的渐近线方程为
A. 14y x =±
B. 1
2y x =± C. 2y x =± D. 4y x =±
6．函数2
1y x x
=-的图象大致是
A B C D
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7．若ππ
,[,]22
x y ∈-
，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是 A ．x y < B ．x y > C ．x y < D ．x y >
8．已知直线:l ()(||2)y t k x t t -=->与圆22:4O x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则||||log log t t M m +的值为
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．2
||22log ()4
t t t -
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．已知方程221(,)mx ny m n +=∈R ，则
A ．当0mn >时，方程表示椭圆
B ．当0mn <时，方程表示双曲线
C ．当0m =时，方程表示两条直线
D ．方程表示的曲线不可能为抛物线 10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，15,4,3AB AD AA ===，以直线DA ，DC ，
1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则
A.点1B 的坐标为()4,5,3
B.点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3-
C.点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3
D.点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0 11．下列说法正确的是
A ．命题“若x y ≠且x y ≠-，则||||x y ≠”为真命题
B ．“若直线10ax y +-=与直线20x ay ++=平行，则1a =”的逆命题是真命题
C ．若p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，使得2
10x x +->
D ．“{ln(1)}x x y x ∈=-”是“[1,)x ∈+∞”的充要条件
12．已知函数3
()e x f x x =⋅，则以下结论正确的是
A.()f x 在R 上单调递增
B.12
5(log 2)<(e )<(ln π)f f f -
C ．方程()1f x =-有实数解
D ．存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解
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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线:210l x y +-=，则过点()1,2-且垂直于l 的直线方程为 ． 14．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结
果没有并列名次．记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，
若p q ∨是真命题，
p r ⌝∨（）是真命题，则得第一名的是 ． 15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，32()23f x x x a =-+，则(2)f -= ；
曲线()y f x =在点(2,(2))f --处的切线方程为 ． (第一空2分，第二空3分)
16．设过原点的直线与双曲线2
222:1y x C a b -=(0,0)a b >>交于P ，Q 两个不同点，F 为C 的
一个焦点，若4
tan 3
PFQ =∠,||5||QF PF =,则双曲线C 的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知i 是虚数单位，复数()2i 42i i z =-+-． （1）求复数z 的模||z ；
（2）若13i z mz n ++=+（,m n ∈R ，z 是z 的共轭复数），求m 和n 的值．
18．（12分）
已知函数2, 0,
()log ,0,x a
x f x x x ⎧≤=⎨>⎩且[(2)]1f f -=-．
（1）求实数a 的值；
（2）当[2,2)x ∈-时，求()f x 的值域．
19．（12分）
已知动点P 在y 轴的右侧，且点P 到y 轴的距离比它到点()1,0F 的距离小1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）设斜率为1-且不过点(1,2)M 的直线交C 于,A B 两点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值．
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A
B C
D
P
O
20．（12分）
已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//,AB CD AC
BD O =，
22AO OC ==
，PA PB AB AC PB ===⊥．
（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PD B --的余弦值．
21．（12分）
阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面
直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>
的面积为，两焦点与短轴的一个
顶点构成等边三角形.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点(1,0)P 的直线l 与C 交于不同的两点A ，B ，求OAB △面积的最大值.
22．（12分）
已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R . （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有极值点0x ，有两个零点12,x x ，且()120120x x mx x x ++<恒成立，求实数m 的取值范围．。
福建省三明市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题含答案
三明市2020-2021学年第一学期普通高中期末质量检测高二数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1.在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是（ ）A. B. C. D.2.在空间直角坐标系中，点()2,1,3A -关于平面zOx 的对称点为B ，则A 、B 两点间的距离为（ ）A. B.2 C.4 D.3.已知抛物线的方程为24y x =，则其准线方程为（ ） A.116x =- B.116y =- C.1x =- D.1y =-4.日常生活中，我们常看到各式各样的简易遮阳棚（板）.现有直径为2m 的圆面，在其圆周上选定一个点固定在水平地面上，然后将圆面撑起，做成简易遮阳棚（板）.某一时刻的太阳光线与水平地面成40︒角，若要得到最大的遮阴面，则遮阳棚（板）与遮阴面所成角大小为（ ）A.60︒B.50︒C.45︒D.40︒ 5.圆()2222x y -+=上动点到直线20x y ++=的距离的最小值为（ ）B. C. D.6.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|||AB MN =，则直线l 的倾斜角角为（ ）A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒7.直线10ax y -+=与连接()2,3A ，()3,2B -的线段相交，则a 的取值范围是（ ）A.(,1][3,)-∞-⋃+∞B.[]1,3-C.1(,][1,)3-∞-⋃+∞ D.1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的上、下焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足11F PO POF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A.y x =B.y =C.y =D.2y x =± 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列可能的是（ ）A.正三角形B.正四边形C.正五边形D.正六边形10.有以下四种说法，其中正确的有（ ）A.“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件B.直线l ，m ，平面α，若m α⊂，则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件C.“3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件D.设,a b R ∈，则“0a ≠”是“0ab =”的既不充分也不必要条件 11.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为线段1C D 上的动点，则（ ）A.11A M BD ⊥B.三棱锥11M AB D -的体积与点M 的位置有关C.异面直线BM 与1AB 所成角的取值范围是[]60,90︒︒D.直线1D M 与平面11AB D 12.已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为3，D 是11B C 的中点，E 是线段1A D 上的动点.若三棱维E ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径可能是（ ）B.2C.2D.3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某圆锥的侧面展开图是面积为8π的半圆面，则该圆维的体积是_________.14.已知椭圆22:1123y x C +=，那么过点()1,2P -且被P 平分的弦所在直线的方程为__________. 15.若,M N 分别为圆1C ：()()22654x y ++-=与圆2C ：()()22211x y -+-=上的动点，P 为直线50x y ++=上的动点，则||||PM PN +的最小值为__________.16.已知O 为坐标原点，F 是双曲线Γ:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2||3||OE ON =，则Γ的离心率为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标()2,5A -，()1,6B -，()2,3C .（1）求顶点D 的坐标；（2）求平行四边形ABCD 的面积.18.设p ：关于x 的不等式2420x x m -+≤有解，q :2540m m -+≤（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.19.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.（1）求证：AB EF ；（2）若CF AE ⊥，AB AE ⊥，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF .20.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P .（1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上是否存在关于直线1y x =-对称的两点,M N ，使得以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.21.如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ，AB BC ⊥，BD CD ⊥，24BC AD ==.将ABD ∆沿BD 折起，折起后点A 的位置为点P ，得到三棱锥P BCD -如图2所示，平面PBD ⊥平面BCD ，直线PC 与平面PBD（1）求线段PB 的长度；（2）试判断在线段BD 上是否存在点E ，使二面角D PC E --的平面角的余弦值为7？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右顶点分别为,A B ，离心率e =E 上任意一点M 到两个焦点1F ，2F 的距离之积的最大值为4.（1）求椭圆E 的方程；（2）已知点P 为直线l ：4x =上的任意一点，直线PA 、PB 与椭圆E 分别交于两点C 、D （不同于A 、B 两点），求证：直线CD 经过定点，并求出该定点的坐标，参考答案一、选择题1.D2.B3.C4.B5.A6.D7.C8.A二、选择题9.ABD 10.BD 11.ACD 12.BC三、填空题14.240x y -+= 15.9 16.5四、解答题17.解法一：（1）设(),D x y ，则()1,1AB =，()2,3DC x y =--，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DC =，即有()()1,12,3x y =--，解得1x =，2y =，即()1,2D .（2）直线CD 的斜率为32121k -==-， 所以直线CD 的方程为10x y -+=，点A 到直线CD的距离为：d ==又||DC ==所以平行四边形ABCD的面积为6S =解法二：（1）因为()2,5A -，()2,3C ，所以AC 中点为()0,4，该点也为BD 中点，设(),D x y ， 由10126242x x y y -⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩，所以()1,2D . （2）因为AC =AB，BC =由余弦定理得cos 0ABC ∠=所以sin 1ABC ∠==，四边形ABCD 的面积为sin 16S AB BC ABC ∠=⨯⨯==. 解法三：（1）同解法一、解法二（2）依题意，()1,1AB =，()3,3BC =-，因为0AB BC ⋅=，所以AB BC ⊥，又因为AB ，BC =所以6S AB BC =⨯=.解法四：（1）同解法一、解法二（2）依题意，()1,1AB =，()3,3AD =-所以()|||1313|6S AB AD =⨯=⨯--⨯=18.解法一：（1）p 为真命题时，1680m ∆=-≥，解得2m ≤所以m 的取值范围是(,2]-∞（2）q 为真命题时，即()()140m m --≤，解得14m ≤≤所以q 为假命题时4m >或1m <由（1）知，p 为假时2m >因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以,p q 为一真一假，①p 真q 假，即412m m m><⎧⎨≤⎩或，解得1m <②p 假q 真，即142m m≤≤⎧⎨>⎩，解得24m <≤综上：m 的取值范围是(),1(2,4]-∞⋃19.（1）因为四边形ABCD 是平行四边形所以AB CD因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF所以AB 平面CDEF .又因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ⋂平面CDEF EF =所以AB EF .（2）由（1）有AB EF因为AB AE ⊥，所以EF AE ⊥.又因为CF AE ⊥，EF CF F ⋂=，EF ⊂平面CDEF ，CF ⊂平面CDEF 所以AE ⊥平面CDEF .又因为AE ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面CDEF20.解法一：（1）依题意，圆心C 在过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上.由平几知识，圆心C 在弦OP 的中垂线2x =上所以圆心()2,1C .所以半径||r CO ==所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=（2）设()11,M x y ，()22,N x y依题意，设直线MN 的方程为y x t =-+ 联立22(2)(1)5y x t x y =-+⎧⎨-+-=⎩， 消去y 整理得：222(22)20x t x t t -++-= 所以12212Δ0122x x t t tx x ⎧⎪>⎪+=+⎨⎪-⎪=⎩又()()()212121212y y x t x t x x t x x t =-+-+=-++ 依题，以MN 为直径的圆过原点所以0OM ON ⋅=所以12120x x y y +=所以()2121220x x t x x t -++= 所以222(1)0t t t t t --++=所以230t t -=所以0t =或3t =此时，都有0∆>所以存在满足条件的直线MN :y x =-或3y x =-+解法二：（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=> 可得222222(4)142a b r a b r b a ⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪⎪=--⎩解得21a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=（2）同解法一21.（1）因为平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD ⋂平面BCD BD = 又CD ⊂面BCD ，CD BD ⊥所以CD ⊥面PBD 所以CP 与面PBD 所成角为CPD ∠，又tan CD CPD PD∠==所以CD =因为在直角梯形ABCD 中，90BAD BDC ∠=∠=︒，ABD BCD ∠=∠ 所以ABD DCB ∆∆∽ 所以AB AD CD BD =，令AB a ==2a =所以2AB =，即2PB =（2）以BD 的中点O 为坐标原点，又OB ，OP 为x 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系)B，()C，()D，(P ， 设()(,0,0E m m ≤≤(2,0,PB =，(,0,PE m =，(PC =-. 设二面角D PC E --的平面角为θ设平面PCE 的一个法向量为(),,n x y z =.由n PE n PC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得00n PE n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00mx ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取x =-，得()22,2n m m =--.取面PCD 的一个法向量(2,0,PB =则2|||cos ||cos ,|||||5PB n PB n PBn m θ⋅===⋅（此处应有绝对值符号）所以227⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 化简整理得：m =或m =-当2m =-时，14DE DB = 所以E 为DB 的四等分点，且14DE DB =22.解法一：（1）由椭圆的定义知12||||2MF MF a += 所以2122122MF MF MF MF a ⎛+⎫≤= ⎪⎝⎭已知12||||4MF MF ≤，所以24a =，2a =.因为2e =c =因为222a b c =+，所以1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）设l 上任意点()4,P m ，设(),C C C x y ，(),D D D x y 则直线PA 的方程为()26m y x =+ 联立22(2)614m y x x y =++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩消去y 得()2222944360m x m x m +++-= 由韦达定理得2243629C m x m --=+，解得2221826,99m m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为直线PB 的方程为()22m y x =- 联立22(2)421m y x x y =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 消去y 得()222214440m x m x m +-+-= 由韦达定理得224421D m x m -=+，解得222222,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭①当C D x x =时，即22221822291m m m m --=++时 即23m =时，:1CD l x =过定点()1,0 ②当C D x x ≠时，即23m ≠时 22222222621922182319CD m m m m m k m m m m m ---++==----++ 则22222222:131CD m m m l y x m m m ⎛⎫----=- ⎪+-+⎝⎭整理得：22:(1)3CD m l y x m -=-- 易得直线CD 经过定点()1,0综上所述：直线CD 经过定点()1,0解法二：（1）同解法一（2）当点C 是椭圆上顶点时，直线AC 的方程为()122y x =+， 可得()4,3P ，则()3:22PB l y x =-与2214x y +=联立解得83,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线CD 的方程为：10x y +-=，由椭圆的对称性可知，直线CD 经过x 轴上的定点，所以直线CD 经过定点()1,0N .以下证明一般性：设l 上任意点()4,P m ，设(),C C C x y ，(),D D D x y则直线PA 的方程为()26m y x =+ 联立22(2)614m y x x y =++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 消去y 得()2222944360m x m x m +++-= 由韦达定理得2243629C m x m --=+，解得2221826,99m m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为直线PB 的方程为()22m y x =-联立22(2)421m y x x y =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 消去y 得()222214440m x m x m +-+-= 由韦达定理得224421D m x m -=+，解得222222,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭直线CD 经过定点()1,0N ，即,,N C D 三点共线 因为222936,99m m NC m m ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，22232,11m m ND m m ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭ 因为222222932639191m m m m m m m m ---⨯-⨯++++ ()()()332218661891m m m m m m -+--=++0=所以NC ND ，那么,,N C D 三点共线所以直线CD 经过定点()1,0N解法三：（1）同解法一（2）设()11,C x y ，()22,D x y ，12x ≠-，22x ≠ 所以21211122111141122444AC BC x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---所以11112124y x x y -=-⋅+ 依题意，设直线CD 的方程为x ty m =+联立2244x ty mx y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得：()2224240t y tmy m +++-= 所以2122212240Δ02444t tm y y t m y y t ⎧+≠⎪>⎪⎪-⎨+=+⎪⎪-=⎪+⎩又因为CA :()1122y y x x =++，BD :()2222y y x x =-- 且CA 与BD 交于直线l ：4x =上的点P所以，当4x =时，12126222y y y x x ==+- 所以121222642x y y x --⋅=- 所以()()()()1212124322322y y x x ty m ty m -=--=+-+- 所以()221212124(2)(2)3y y t y y t m y y m -=+-++- 所以()()()2222224442(2)(2)43m t m mt m m t --=---+-+ 所以2m =或()2224(2)(2)2(2)43m t m mt m t -+=+-+-+所以2m =或1m =又因为C 、D 不同于A 、B 两点，故2m ≠ 所以直线CD 的方程为1x ty =+所以直线CD 过定点()1,0N。
福建省三明市2019-2020学年高二数学上学期期末质量检测试题答案_20200301080
高二数学试题答案 第1页 （共5页）2019—2020学年第一学期三明市普通高中期末质量检测高二数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、单选题9. BD 10. ACD 11. AB 12. BCD三、填空题13. 240x y -+= 14. 乙 15. 4-；12200x y -+=四、解答题17. 解：（1）因为2i 42i)i z =-+-（，所以2i 4i 243i z =-++=+， ......................................... 3分 则|5z . .................................................. 5分（2）由（1）知43i z =+，43i z =-， .................................. 6分 所以43i (43i)13i z mz n m n ++=++-+=+，即44(33)i 13i m n m +++-=+， ....................................... 8分 所以441,333,m n m ++=⎧⎨-=⎩解得0,3.m n =⎧⎨=-⎩ ..................................... 10分18. 解：（1）由已知21(2)2=4f --=， ...................................... 2分所以11[(2)]()log 44a f f f -==， ....................................... 4分令1log 14a =-，解得4a =. ........................................... 6分（2）当[2,0]x ∈-时，()2x f x =区间[2,0]-上单调递增，所以1()[,1]4f x ∈； .................................................. 8分高二数学试题答案 第2页 （共5页） 当(0,2)x ∈时，4()log f x x =区间(0,2)上单调递增， 所以1()(,)2f x ∈-∞， ............................................... 10分 综上，当[2,2)x ∈-时，函数()f x 的值域是(,1]-∞. ..................... 12分19．解法一：（1）依题意动点P 的轨迹是抛物线（除原点），其焦点为(1,0)F ，准线为1x =-， ..................................... 3分 设其方程为22(0)y px p =>，则12p =，解得2p =， 所以动点P 的轨迹C 的方程是24(0)y x x =>. ........................... 5分 （2）设直线:(3)AB y x b b =-+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由24,,y x y x b ⎧=⎨=-+⎩得24y y b =-+，即2440y y b +-=， .................... 7分 Δ16160b =+>，所以1b >-，124y y +=-， ........................... 8分 因为2114y x =，2224y x =， 所以21211222222121224(2)4(2)=441144y y y y k k y y y y ----++=+---- 1221214(22)44022(2)(2)y y y y y y +++=+==++++. 因此120k k +=． .................................................. 12 分 解法二：（1）同解法一． ............................................. 5 分 （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 12()y y ≠是直线l 与C 的交点， 所以2114y x =，2224y x =，所以21222112444AB y y k y y y y -==+-， ................ 7分 又直线l 的斜率为1-，所以1241y y =-+，即124y y +=-， ............... 8分 所以21211222222121224(2)4(2)=441144y y y y k k y y y y ----++=+---- 1221214(22)44022(2)(2)y y y y y y +++=+==++++. 因此120k k +=． .................................................. 12 分高二数学试题答案 第3页 （共5页）20. 解：（1）在等腰梯形ABCD 中，2OA OB ==，2AB =222AB OA OB ∴=+，所以OA OB ⊥，即AC BD ⊥， .................. 2分 又因为PB AC ⊥,且BD PB B =,所以AC ⊥平面PBD , ............... 3分 又因为AC ⊂平面ABCD ,因此平面PBD ⊥平面ABCD . ................. 4分（2）连接PO ,由(1)知, AC ⊥平面PBD ,所以AC PO ⊥,所以2PO ==,所以222PB PO OB =+,即PO OB ⊥, ......... 5分 又OA OB ⊥，以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则()()()2,0,0,0,1,0,0,0,2A D P -, .................................... 7分 设平面PAD 的法向量为(),,x y z =n ,因为()()2,0,2,0,1,2PA PD =-=--， 所以0,0,PA PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即220,20,x z y z -=⎧⎨--=⎩令1z =，则1,2x y ==-，所以平面PAD 的一个法向量()1,2,1=-n ，............................ 9分 AC ⊥平面PBD ，∴平面PBD 的一个法向量()1,0,0=m ， ......... 10分所以cos ,⋅==m n m n m n A PD B --12分21．解：（1）依题意有2222,,ab a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩ ....................................... 2分解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩高二数学试题答案 第4页 （共5页）所以椭圆C 的标准方程是22143y x +=. ................................. 4分（2）由题意直线l 的斜率不能为0，设直线l 的方程为1x my =+， ......... 5分 由方程组221,1,43x my y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=， .................... 7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 所以122634my y m +=-+，122934y y m ⋅=-+， .......................... 8分所以12||y y -=， ...................... 9分 所以121||||2OAB S OP y y =⨯⨯-△， .......................... 10分令t =1t ≥），则221m t =-，2661313OAB t S t t t==++△， ............................................ 11分 因为13t t +在[1,)+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，OAB △面积取得最大值为32. ................. 12分22. 解：（1）()f x 定义域为()0,+∞且11()axf x a x x -'=-=， .............. 1分①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递增， ................. 2分 ②当0a >时，令()0f x '=，则1x a =， 当10x a <<时，()0f x '>；当1x a >时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a +∞上单调递减. ................ 4分（2）由（1）知，()010x a a =>， .................................... 5分高二数学试题答案 第5页 （共5页）12,x x 为()f x 的两个零点，1122ln ,ln ,x ax x ax =⎧∴⎨=⎩()2211ln x a x x x ∴=-， ....... 6分()120120x x mx x x ++<恒成立，()12120m x x x x a +∴+<恒成立，()12120ax x m x x ∴++<恒成立，()21212121ln 0x x xm x x x x x ⎛⎫∴++< ⎪-⎝⎭恒成立，不妨设12x x <，22221112ln 0x x x m x x x -∴+<恒成立，221112ln 0x x x m x x x ⎛⎫∴+-< ⎪⎝⎭恒成立， 令()211x t t x =>，∴1ln ()0t m t t+-<在()1,t ∈+∞上恒成立， ............ 8分 因为1ln 0,0t t t >->，所以0m ≥时，1ln ()0t m t t +-<在()1,t ∈+∞上不成立. 令1()ln ()g t t m t t =+-， 则2222211(1)(1)0,()(1)m t t mt t mg g t m t t t t ++++'==++==， ① 当12m ≤-时,()()()()2222111111210222m t t t t t t t ++≤-++=-+-=--<,从而()0g t '<,所以()g t 在区间()1,+∞上单调递减,所以当1t >时, ()(1)0g t g <=恒成立； .............................. 10分 ②当102m -<<时, 对于方程20mt t m ++=,因为2140m ∆=->，所以方程20mt t m ++=有两根12,t t ,且121211,0t t t t m =+=->,不妨设1201t t <<<,则当()21,t t ∈时，20mt t m ++>，即()0g t '>，所以()g t 在区间()21,t 上单调递增，此时()(1)0g t g >=， 即1ln ()0t m t t +-<在()1,t ∈+∞上不恒成立,综上所述,m 的取值范围是1(,]2-∞-. ................................ 12分。
福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2019—2020学年第一学期三明市普通高中期末质量检测高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.已知直线l 的倾斜角为45︒，则l 的斜率为( )A.B. 1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】直接根据斜率和倾斜角的关系得到答案. 【详解】tan tan 14k πα===.故选：B .【点睛】本题考查了倾斜角和斜率，属于简单题. 2.已知i 为虚数单位，则复数21ii+= （） A. 1i + B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【详解】由复数的运算，可得复数()()()2121111i i i i i i i ⋅-==++++，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.计算()1308327π⎛⎫--=⎪⎝⎭( )A.73π- B. 23-C. 12-D.13【答案】D 【解析】 【分析】直接计算得到答案.【详解】()130821312733π⎛⎫--=-= ⎪⎝⎭.故选：D .【点睛】本题考查了指数幂的计算，属于简单题. 4.以()1,2为圆心且过原点的圆的方程为( )A. ()()2212x y -+-= B. ()()2212x y +++=C. ()()22125x y -+-=D. ()()22125x y +++=【答案】C 【解析】 【分析】设圆方程为()()22212x y r -+-=，代入点()0,0，计算得到答案.【详解】设圆方程为()()22212x y r -+-=，代入点()0,0得到r =即圆方程为()()22125x y -+-=. 故选：C .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.5.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±【答案】C【解析】 【分析】根据渐近线公式直接得到答案.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±.故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题. 6.函数21y x x=-的图象大致是( ) A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】求导得到322121'2x y x x x+=--=-，得到函数单调性，根据单调性判断图象得到答案. 详解】21y x x =-，322121'2x y x x x +=--=-，取3221'0x y x +=-=得到1312x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故函数在()0,∞+上单调递减，在131,02⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在131,2⎛⎫⎛⎫⎪-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增.对比图象知：D 满足条件.故选：D .【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 7.若,,22x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是( ) A. x y < B. x y >C. x y <D. x y >【答案】D 【解析】 【分析】设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到()()f x f y >，得到答案. 【详解】设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，则()'sin cos 0f x x x x =+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.即函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减. sin sin 0x x y y ->，即()()f x f y >，根据单调性知x y >.故选：D .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()sin f x x x =是解题的关键.8.已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为( ) A. 1B. 0C. 1-D. 222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和圆相交得到2d =≤，整理得到()22224240t k t k t --+-≤，根据韦达定理得到22414t Mm t -==-，计算得到答案.【详解】直线l ：()y t k x t -=-()2t >即0kx y kt t --+=与圆O ：224x y +=有交点，则2d =≤，整理得到()22224240t k t k t --+-≤，当不等式取等号时，k 对应最大值和最小值，此时22414t Mm t -==-，故log log log 1o 0l g t t t t M m Mm +===. 故选：B .【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的转化能力和计算能力.二、多选题：本题共4 小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.已知方程221mx ny +=(),m n R ∈，则( )A. 当0mn >时，方程表示椭圆B. 当0mn <时，方程表示双曲线C. 当0m =时，方程表示两条直线D. 方程表示的曲线不可能为抛物线【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 取1m n ==，此时表示圆，错误；B. 当0mn <时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，正确；C. 当0m =，0n =时，方程不成立，错误；D. 方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确； 故选：BD .【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A. 点1B 的坐标为()4,5,3B. 点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3-C. 点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3D. 点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点关于点，点关于直线，点关于平面的对称法则，依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意知：点1B 的坐标为()4,5,3，A 正确；B 的坐标为()4,5,0，1C 坐标为()0,5,3，故点1C 关于点B 对称的点为()8,5,3-，B 错误；点A 关于直线1BD 对称的点为()10,5,3C ，C 正确； 点()0,5,0C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0，D 正确； 故选：ACD .【点睛】本题考查了空间中的对称问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 11.下列说法正确的是( )A. 命题“若x y ≠且x y ≠-，则x y ≠”为真命题B. “若直线10ax y +-=与直线20x ay ++=平行，则1a =”的逆命题是真命题C. 若p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，使得210x x +->D. “(){}ln 1x x y x ∈=-”是“[)1,x ∈+∞”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】依次判断每个选项：判断知A 正确；根据平行的性质知B 正确；C 选项应为x R ∀∈，使得210x x +-≥；D 应为充分不必要条件，得到答案.【详解】A. 命题“若x y ≠且x y ≠-，则x y ≠”为真命题，正确；B.逆命题是：若1a =，则直线10ax y +-=与直线20x ay ++=平行，即10x y +-=和20x y ++=平行，正确；C. 若p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，使得210x x +-≥，C 错误；D. “(){}ln 1x x y x ∈=-”是“[)1,x ∈+∞”的充分不必要条件，错误； 故选：AB .【点睛】本题考查了命题的真假判断，逆命题，特称命题的否定，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.12.已知函数()3xf x e x =⋅，则以下结论正确的是( )A. ()f x 在R 上单调递增B. ()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. 方程()1f x =-有实数解D. 存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解【答案】BCD 【解析】 【分析】求导得到函数的单调性得到A 错误；判断125110log 2,l 122,n 1e π-<<<><得到B 正确；根据()32731f e-=-<-得到C 正确；构造函数()2x g x e x =，画出函数图象知D 正确，得到答案. 【详解】()3xf x e x =⋅，则()()322'33xxxf x e x e x x e x =⋅⋅=++，故函数在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，A 错误；125110log 2,l 122,n 1e π-<<<><，根据单调性知()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭，B 正确；()00f =，()32731f e-=-<-，故方程()1f x =-有实数解，C 正确； ()f x kx =，易知当0x =时成立，当0x ≠时，()2x f x k e x x==，设()2x g x e x =， 则()()'2xg x e x x =+，故函数在()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减，在(),2-∞-上单调递增，且()242g e -=. 画出函数图象，如图所示：当240k e<<时有3个交点.综上所述：存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解，D 正确； 故选：BCD .【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l ：210x y +-=，则过点()1,2-且垂直于l 的直线方程为__________. 【答案】240x y -+=【解析】 【分析】根据垂直得到2k =，计算直线方程得到答案. 【详解】直线l ：210x y +-=，则112k =-，根据垂直知2k =， 故直线方程为()212y x =++，即240x y -+=. 故答案：240x y -+=.【点睛】本题考查了根据垂直求直线方程，意在考查学生的计算能力.14.为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q ∨是真命题，()p r ⌝∨是真命题，则得第一名的是__________. 【答案】乙 【解析】 【分析】根据p q ∨是真命题，p 或q 为真命题，r 为假命题，p ⌝为真命题，得到答案.【详解】因为第一名只有一个，所以由p q ∨是真命题，可得命题p 与命题q 有且只有一个为真命题，则r 必为假命题，又因为()p r ⌝∨是真命题，则p ⌝为真命题，故p 为假命题，故q 为真命题. 故答案为：乙.【点睛】本题考查了逻辑推理和命题的判断，意在考查学生的逻辑推理能力.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3223f x x x a =-+，则()2f -=__________；曲线()y f x =在点()()2,2f --处的切线方程为__________.【答案】 (1). 4- (2). 12200x y -+= 【解析】 【分析】根据奇函数得到0a =，计算()()()2216124f f -=-=--=-，求得0x <时的解析式为()3223f x x x +=，求导得到切线方程.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f a ==，故0a =，()()()2216124f f -=-=--=-，当0x <时，0x ->，故()3223f x x x -=--，()()3223f x f x x x =--=+，()2'66f x x x +=，()'212f -=，故切线方程为：()1224y x =+- ，即12200x y -+=.故答案为：4-；12200x y -+=.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，求函数值，函数的切线方程，意在考查学生对于函数知识的综合应用.16.设过原点的直线与双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>交于,P Q 两个不同点，F 为C 的一个焦点，若4tan 3PFQ ∠=，5QF PF =，则双曲线C 的离心率为__________.【解析】 分析】如图所示：连接11,PF QF ，根据对称性知1PF QF 为平行四边形，计算得到15,22a aPF PF ==，利用余弦定理计算得到答案. 【详解】如图所示：连接11,PF QF ，根据对称性知1PF QF 为平行四边形.4tan 3PFQ ∠=，则3os 5c PFQ ∠=，13os 5c F PF ∠=-， 15QF PF PF ==，12PF PF a -=，故15,22a aPF PF ==.根据余弦定理：2225534222225a a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得到222c a =，故e =.【【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知i 是虚数单位，复数()242z i i i =-+-. (1)求复数z 的模z ；(2)若13z mz n i ++=+（,m n R ∈，z 是z 的共轭复数），求m 和n 的值. 【答案】(1)5；(2)03m n =⎧⎨=-⎩.【解析】 【分析】（1）化简得到43z i =+，计算模长得到答案.（2）化简得到44m n +++()3313m i i -=+，计算得到答案.【详解】(1)因为()242z i i i =-+-，所以242z i i =-++43i =+，则5z ==.(2)43z i =+，43z i =-，所以43z mz n i ++=++()4313m i n i -+=+，即44m n +++()3313m i i -=+，所以441,333,m n m ++=⎧⎨-=⎩解得03m n =⎧⎨=-⎩.【点睛】本题考查了复数的计算，模长，意在考查学生的计算能力.18.已知函数()2,0log ,0x a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩且()21f f ⎡⎤-=-⎣⎦. (1)求实数a 的值；(2)当[)2,2x ∈-时，求()f x 的值域. 【答案】(1)4；(2)(],1-∞ 【解析】 【分析】（1）代入数据直接计算得到答案.（2）分别计算[]2,0x ∈-和()0,2x ∈的值域，综合得到答案. 【详解】(1)()21224f --==，故()112log 44a f f f ⎛⎫⎡⎤-== ⎪⎣⎦⎝⎭，令1log 14a =-，解得4a =. (2)当[]2,0x ∈-时，()2xf x =区间[]2,0-上单调递增，所以()1,14f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当()0,2x ∈时，()4log f x x =区间()0,2上单调递增，所以()1,2f x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭， 综上，当[)2,2x ∈-时，函数()f x 的值域是(],1-∞.【点睛】本题考查了根据函数值求参数，分段函数的值域，意在考查学生的计算能力. 19.已知动点P 在y 轴的右侧，且点P 到y 轴的距离比它到点()1,0F 的距离小1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设斜率为1-且不过点()1,2M 的直线交C 于,A B 两点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】(1)()240y x x =>；(2)0.【解析】 【分析】.（1）根据题意知轨迹是抛物线，计算得到答案.（2）设直线AB ：y x b =-+()3b ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，利用韦达定理得到2114y x =，2224y x =，代人计算得到答案. 【详解】(1)依题意动点P 的轨迹是抛物线（除原点），其焦点为()1,0F ，准线为1x =-，设其方程为22y px =()0p >，则12p=，解得2p =， 所以动点P 的轨迹C 的方程是()240y x x =>.(2)设直线AB ：y x b =-+()3b ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由24,,y x y x b ⎧=⎨=-+⎩得24y y b =-+，即2440y y b +-=，16160b ∆=+>，所以1b >-，124y y +=-，因为2114y x =，2224y x =， 所以21122221221144y y k k y y --+=+--()()212221424244y y y y --=+-- 214422y y =+++()()()1221422022y y y y +++==++. 因此120k k +=.【点睛】本题考查了轨迹方程，定值问题，意在考查学生的计算能力.20.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，22AO OC ==，PA PB AB ===AC PB ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A PD B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)6【解析】 【分析】（1）证明AC BD ⊥，PB AC ⊥得到AC ⊥平面PBD ，得到证明.（2）以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，计算平面PAD 的法向量为()1,2,1n =-v，平面PBD 的一个法向量()1,0,0m =u r ，利用夹角公式得到答案.【详解】(1)在等腰梯形ABCD 中，2OA OB ==，AB =Q ，222AB OA OB ∴=+，所以OA OB ⊥，即AC BD ⊥，又因为PB AC ⊥，且BD PB B =I ，所以AC ⊥平面PBD ， 又因为AC ⊂平面ABCD ，因此平面PBD ⊥平面ABCD . (2)连接PO ，由(1)知，AC ⊥平面PBD ，所以AC PO ⊥，所以2PO ==，所以222PB PO OB =+，即PO OB ⊥，又OA OB ⊥Q ，以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,1,0D -，()002P ,,， 设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r ，因为()2,0,2PA =-u u u r ，()0,1,2PD =--u u u v， 所以0,0,n PA n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即220,20,x z y z -=⎧⎨--=⎩ 令1z =，则1x =，2y =-，所以平面PAD 的一个法向量()1,2,1n =-v，AC ⊥Q 平面PBD ，∴平面PBD 的一个法向量()1,0,0m =u r，所以cos ,m n m n m n⋅==u r ru r r u r r所以二面角A PD B --【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0P 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，求OAB V 面积的最大值.【答案】(1)22143x y +=；(2)32.【解析】 【分析】（1）根据题意计算得到2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，得到椭圆方程.（2）设直线l 的方程为1x my =+，联立方程，根据韦达定理得到122634m y y m +=-+，122934y y m ⋅=-+，表示出S =.【详解】(1)依题意有2222,,ab a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=.(2)由题意直线l 的斜率不能为0，设直线l 的方程为1x my =+，由方程组221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以122634m y y m +=-+，122934y y m ⋅=-+， 所以12y y -=234m =+， 所以1212OABS OP y y =⨯⨯-V =，令t =（1t ≥），则221m t =-，2661313OAB t S t t t==++V ，因为13t t+在[)1,+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，OAB V 面积取得最大值为32. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22.已知函数()ln f x x ax =-()a R ∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有极值点0x ，有两个零点12,x x ，且()120120x x mx x x ++<恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(2)1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】 （1）求导()11axf x a x x-'=-=，讨论0a ≤，0a >得到函数的单调区间. （2）计算01x a =，化简得到221112ln0x x x m x x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，令21x t x =()1t >，取 ()1ln g t t m t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭根据函数的单调性得到取值范围.【详解】(1)()f x Q 定义域为()0,∞+且()11ax f x a x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增，②当0a >时，令()0f x '=，则1x a=， 当10x a <<时，()0f x '>；当1x a>时，()0f x '<，所以()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)01x a=()0a >，12,x x Q 为()f x 的两个零点， 1122ln ,ln ,x ax x ax =⎧∴⎨=⎩()2211ln x a x x x ∴=-， ()120120x x mx x x ++<Q 恒成立，()12120m x x x x a+∴+<恒成立，()12120ax x m x x ∴++<恒成立，()21212121ln 0x x xm x x x x x ⎛⎫∴++< ⎪-⎝⎭恒成立， 不妨设12x x <，22221112ln 0x x x m x x x -∴+<恒成立， 221112ln0x x x m x x x ⎛⎫∴+-< ⎪⎝⎭恒成立， 令21x t x =()1t >，1ln 0t m t t ⎛⎫∴+-< ⎪⎝⎭在()1,t ∈+∞上恒成立， 因为ln 0t >，10t t->，所以0m ≥时，1ln 0t m t t ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,t ∈+∞上不成立.令()1ln g t t m t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()10g =，()2111g t m t t⎛⎫=++= ⎪⎝⎭'()22221m t t mt t mt t++++=，①当12m ≤-时，()21m t t ++()2112t t ≤-++()21122t t =-+-()21102t =--<，从而()0g t '<，所以()g t 在区间()1,+∞上单调递减， 所以当1t >时，()()10g t g <=恒成立； ②当102m -<<时，对于方程20mt t m ++=， 因为2140m ∆=->，所以方程20mt t m ++=有两根12,t t 且121t t =，1210t t m+=->， 不妨设1201t t <<<，则当()21,t t ∈时，20mt t m ++>，即()0g t '>，所以()g t 在区间()21,t 上单调递增，此时()()10g t g >=， 即1ln 0t m t t ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,t ∈+∞上不恒成立，综上所述，m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性，零点，极值，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
福建省三明市2020版高二上学期期末数学试卷(理科)A卷
福建省三明市2020版高二上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“∀x∈R，都有|sinx|＜1”的否定是（）A . ∀x∈R，都有|sinx|＞1B . ∀x∈R，都有|sinx|≥1C . ∃x∈R，使|sinx|＞1D . ∃x∈R，使|sinx|≥12. （2分）(2015·合肥模拟) 若集合M={x|log2x＜1}，集合N={x|x2﹣1≤0}，则M∩N=（）A . {x|1≤x＜2}B . {x|﹣1≤x＜2}C . {x|﹣1＜x≤1}D . {x|0＜x≤1}3. （2分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，则C上到l：x+y﹣4=0的距离为的点有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2019高一上·郑州月考) 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A . ，，B . ，，C . ，，D . ，，5. （2分）(2020·定远模拟) 已知直线经过函数图象相邻的最高点和最低点，则将的图象沿x轴向左平移个单位后得到解析式为（）A .B .C .D .6. （2分） f（x）=x5+ax3+bx﹣8且f（﹣2）=0，则f（2）等于（）A . ﹣16B . ﹣18C . ﹣10D . 107. （2分） (2019高三上·宜宾期末) 如图所示的程序框图，输出的的值为A .B . 2C .D .8. （2分） (2016高一上·周口期末) 已知x=ln π，y=log52，z=log e则（）A . x＜y＜zB . z＜x＜yC . z＜y＜xD . y＜z＜x9. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（）A . 4B . 2C .D .10. （2分） (2015高二上·黄石期末) 设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A （a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线 1的公共点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 311. （2分）(2020·哈尔滨模拟) 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数，则等于（）A . 4B .C . -4D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知α为钝角，且cos（+α）=﹣，则sin2α=114. （1分） (2017高一上·河北期末) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3 ，• =2，则• 的值是________．15. （1分） (2019·温州模拟) 已知F是椭圆的右焦点，直线交椭圆于A、B 两点，若cos∠AFB ，则椭圆C 的离心率是________．16. （1分） (2018高一上·辽宁月考) 已知函数是奇函数，当时，则________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （15分）某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示：（1）试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；（2）年级决定在成绩[70，100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80），[80，90），[90，100]这三组分别抽取了多少人？（3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率．18. （5分） (2017高二上·日喀则期中) 在△ABC中，已知c= ，b= ，B=45°，解此三角形．19. （10分）(2016·新课标Ⅲ卷文) 已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．（1）求a2 ， a3；（2）求{an}的通项公式．20. （5分）(2017·西城模拟) 如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED= ．M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：ED⊥CD；（Ⅱ）求证：AD∥MN；（Ⅲ）若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．21. （10分）(2018·黄山模拟) 已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若点是第一象限内椭圆上的一点， ,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.22. （10分） (2019高一上·辽宁月考) 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”.（1）请问一元二次方程是倍根方程吗？如果是，请说明理由；（2）若一元二次方程是倍根方程，且方程有一个根为，求、的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2019-2020学年福建省三明市新桥中学高二数学文上学期期末试题含解析
2019-2020学年福建省三明市新桥中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第1项与第2项的和为A．B．C．8 D．12参考答案：A2. 将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位后所得图像对应的函数解析式是( )A． B．C． D．参考答案：A3. 已知数列为等比数列，是它的前项和,若，且与的等差中项为，则（）．A． B． C．D．参考答案：C略4. 已知椭圆，则椭圆的焦距长为（）(A). 1 (B). 2 (C).(D).参考答案：D略5. 若将长为6的一条线段分成长度为正整数的三条线段，则这三条线段可以构成三角形的概率为（）A、B、C、D、参考答案：B6. 若z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R，z2=3﹣2i，则m=1是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复数相等的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当m=1，则z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i=3﹣2）i，此时z1=z2，充分性成立．若z1=z2，则，即，则，即m=1或m=﹣2，此时必要性不成立，故m=1是z1=z2的充分不必要条件，故选：A7. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号位子上，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，……，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是（）A.编号1B.编号2C.编号3D.编号4参考答案：A略8. 函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）参考答案：C【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．9. 设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是( )A、若成立，则当时，均有成立；B、若成立，则当时，均有成立；C、若成立，则当时，均有成立；D、若成立，则当时，均有成立；参考答案：D10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？“该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A. 23B. 47C. 24D. 48参考答案：B输入初始值n=24,则S=24；第一次循环：n=16,S=40；第二次循环：n=8,S=48；第三次循环：n=0,S=48,此时结束循环，输出S=47,故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若某同学把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有种（以数字作答）.参考答案：35912. 设且则的最小值为。
精品解析：福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
故函数在 上单调递减，在 上单调递增， 错误；
，根据单调性知 ， 正确；
， ，故方程 有实数解， 正确；
，易知当 时成立，当 时， ，设 ，
则 ，故函数在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，且 .
画出函数图象，如图所示：当 时有ห้องสมุดไป่ตู้个交点.
综上所述：存在实数 ，使得方程 有 个实数解， 正确；
16.设过原点的直线与双曲线 ： 交于 两个不同点， 为 的一个焦点，若 ， ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形，计算得到
，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形.
，则 ， ，
， ，故 .
【详解】 ， ，取 得到 .
故函数在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增.
对比图象知： 满足条件.
故选： .
【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
7.若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设函数 ，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到 ，得到答案.
C.当 ， 时，方程不成立，错误；
D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；
故选： .
【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.
10.（多选题）如图，在长方体 中， ， ， ，以直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，则（）
福建省三明市2019年数学高二年级上学期期末教学质量检测试题
福建省三明市2019年数学高二年级上学期期末教学质量检测试题一、选择题1．已知215n C =，那么2n A =（ ）A.20B.30C.42D.722．已知集合{}{}|14,2,1,4,8,9A x Z x B =∈-≤≤=--，设C A B =，则集合C 的元素个数为( )A ．9B ．8C ．3D ．23．若复数z 满足（1-2i ）•z=5（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．5B ．5C ．2iD ．24．若集合{N |||3}A x x =∈<,2{|20}B x x x =+-≤,则A B =( )A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,25．已知函数()sin cos f x x x =-,且()()2f x f x '=,其中()f x '是()f x 的导函数，则221sin cos sin 2xx x+=-（ ） A ．195-B ．195C ．113D ．113-6．定义运算*a b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则55sin*cos 1212ππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为 ( )A.24- B.14C.34D.24+ 7．函数，则（ ）A ．为函数的极大值点B ．为函数的极小值点C ．为函数的极大值点D ．为函数的极小值点8．若()4log 3a 4b log +=a b +的最小值是( )A ．6+B ．7+C ．6+D ．7+9．由曲线2(0)y x x =≥和直线0x =，1x =，2y t =（01t <<）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )．A.12B.23C.14D.1310．某种智能新产品市场价为每部6000元，若一次采购数量达到一定量，可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的程序框图，若输出的513000y =，则一次采购该智能新产品的部数为（ ）A ．80B ．90C ．105D ．12511．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是（ ） A ．35B ．45C ．23D ．5612．已知圆2221:C x y r +=，圆222:()()C x a y b -+-(0)r >交于不同的11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，给出下列结论：①1212()()0a x x b y y -+-=；②221122ax by a b +=+；③12x x a +=，12y y b +=.其中正确结论的个数是 A.0 B.1C.2D.3二、填空题13．我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，问一开始输入的x =______斗.遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次．14．将点的极坐标(2,)6π化为直角坐标为_________. 15．已知圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为 .16．已知正方体的棱长为1，则该正方体的体对角线长为______：外接球的表面积为______． 三、解答题 17．三棱柱中，分别是、上的点，且，。
2020年福建省三明市高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2020年福建省三明市高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，] C．（0，）D．[，1）参考答案：C【考点】椭圆的应用．【分析】由?=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵?=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．2. 设实数都大于0，则3个数：，，的值．A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2参考答案：D略3. 若，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B4. 函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．参考答案：C5. 若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据）A. 110米 B．112米 C 220米 D．224米参考答案：A略6. 满足等式 1m1(8) = 121(n)(n的正整数对(m,n ) 有( )A、1 对B、2 对C、3 对D、3 对以上参考答案：B7. 极点到直线的距离是 ( )A、 B、 C、 D、参考答案：A略8. 张不同的电影票全部分给个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( )A、 B、 C、D、参考答案：D略9. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A. 10B. 20C.30 D. 120参考答案：B10. 从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全是正品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品不全是次品}，则下列结论不正确的是（）A．A与B互斥且为对立事件B．B与C为对立事件C．A与C存在着包含关系D．A与C不是互斥事件参考答案：A【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案．【解答】解：A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，C为{三件产品不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C 是互斥事件，也是对立事件．故选：A．【点评】本题考查互斥事件与对立事件，解题的关系是正确理解互斥事件与对立事件，事件的包含等关系且能对所研究的事件所包含的基本事件理解清楚，明白所研究的事件．本题是概念型题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数则点的轨迹方程是______。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等比数列中，，，则该数列的公比q为A. 2B. 1C.D.【答案】D【解析】解：等比数列中，，，该数列的公比．故选：D．根据等比数列的通项公式，利用，即可求出q的值．本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为抛物线的准线方程为，则由题意知，点是双曲线的左焦点，所以，又双曲线的一条渐近线方程是，所以，解得，，所以双曲线的方程为．故选：B．由抛物线标准方程易得其准线方程为，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x 轴上，则双曲线的左焦点为，此时由双曲线的性质可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，可得，则得a、b 的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质．3.在三棱柱中，D是的中点，F是的中点，且，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，，，，故选：A．根据向量加法的多边形法则可得，，从而可求，．本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．4.已知点在函数的图象上，则数列的前n项和的最小值为A. 36B.C. 6D.【答案】B【解析】解：点在函数的图象上，则，，当时，取得最小值为．故选：B．点在函数的图象上，的，，由二次函数性质，求得的最小值本题考查了等差数列前n项和的最小值，属于基础题．5.“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得，即“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的性质是解决本题的关键．6.下列结论错误的是A. 命题p：“，使得”，则￢：“，”B. “”是“”的充分不必要条件C. 等比数列2，x，8，中的D. 已知a，，，则的最小值为8．【答案】D【解析】解：对于命题p：，，则￢：，使得，正确；对于B，“”“，或”，故“”是“”的充分不必要条件，故正确；对于C，等比数列2，x，8，中的，正确；对于D，由于a，，，则，当且仅当时，，取等号，所以D不正确．故选：D．对于A：利用命题的否定定义即可得出；根据充要条件的定义，可判断B；利用等比数列的通项公式求解即可判断C的正误；所求式子乘以1，而1用代换；判断D的正误；本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，难度中档．7.若不等式对于一切恒成立，则a的最小值是A. 0B.C.D.【答案】C【解析】解：不等式对于一切恒成立，即有对于一切恒成立．由于的导数为，当时，，函数y递减．则当时，y取得最小值且为，则有，解得．则a的最小值为．故选：C．由题意可得对于一切恒成立运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令不大于最小值即可．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．8.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】解：由函数的图象可知，，，并且当时，，当，，函数有极大值．又当时，，当时，，故函数有极小值．故选：D．利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9.如图，长方体中，，点E，F，G分别是，AB，的中点，则异面直线与GF所成的角是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意：是长方体，E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，为异面直线与GF所成的角．连接，在三角形中，，，，，．，即异面直线与GF所成的角为．故选：A．异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，那么就是异面直线与GF 所成的角．本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.已知a，，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：a，，且，设，，则，即为，由a，b为二次方程的两根，可得，解得，则的取值范围是．故选：A．a，，设，，，由a，b为二次方程的两根，运用判别式法，解二次不等式即可得到所求范围．本题考查了换元法和构造法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数的定义域为R，并且满足，且当时其导函数满足2f{{'}}(x)'/>，若则A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数对定义域R内的任意x都有，关于直线对称；又当时其导函数满足，当时，，在上的单调递增；同理可得，当时，在单调递减；，，，又，，在上的单调递增；故选：C．由，可知函数关于直线对称，由，可知在与上的单调性，从而可得答案．本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断在与上的单调性是关键，属于中档题．12.已知点，分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若，则该双曲线的离心率e的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当时，，得，则，则，则，，，若，则只要即可，则，即，即，则，即，则，得，，，故选：B．求出交点M，N的坐标，若，则只要即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的关系转化为求是解决本题的关键考查学生的转化能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则k的值为______．【答案】【解析】解：；；；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算．14.若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是______．【答案】或【解析】解：若“”是“”表示，则，，则，即实数a的取值范围是，故答案为：根据必要不充分条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合子集关系是解决本题的关键．15.若数列的前n项和为，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】解：当时，，解得当时，，整理可得，即，故数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，故当时，，经验证当时，上式也适合，故答案为：把代入已知式子可得数列的首项，由时，，可得数列为等比数列，且公比为，代入等比数列的通项公式分段可得答案．本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．16.设点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则M，N两点间的距离的最小值为______．【答案】2【解析】解：当时，0'/>，函数在上单调递增．点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则，即，则M，N两点间的距离为．令，，则，，故在上单调递增，故，故在上单调递增，故的最小值为，即M，N两点间的距离的最小值为2，故答案为2．求出导函数，根据题意可知，令，求出其导函数，进而求得的最小值即为M、N两点间的最短距离．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知是首项为1的等比数列的前n项的和，，，成等差数列，求的值；若，求．【答案】解：由题意，，显然，分，分解得分，分，分两式相减，得分分，分分【解析】利用已知条件，列出方程求解的值；化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.已知函数在点处的切线方程是．求实数a，b的值；求函数在上的最大值和最小值其中e是自然对数的底数．【答案】解：因为，，分则，，函数在点处的切线方程为：，分直线过点，则由题意得，即，分由得，函数的定义域为，分，，0⇒x > 2'/>，在上单调递减，在上单调递增分故在上单调递减，在上单调递增，分在上的最小值为分又，，且．在上的最大值为分综上，在上的最大值为，最小值为分【解析】求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b的值；求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数在上的最大值和最小值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，，点E是PD的中点．求证：平面AEC；求二面角的大小．【答案】解：平面ABCD，AB，平面ABCD，，且．以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；分证明：，0，，，，设平面AEC的法向量为，则，取，得．又2，，所以，，又平面AEC，因此：平面分平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，则，得：所以二面角的大小为分【解析】由已知得，，且以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；设平面AEC的法向量为，由，得平面AEC 求出平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，，可得二面角的大小本题考查了空间线面平行的判定，及向量法求二面角，属于中档题．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知米，米．Ⅰ要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？Ⅱ当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【答案】解：Ⅰ设DN的长为米，则米，由得又得解得：或即DN的长取值范围是Ⅱ矩形花坛的面积为当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】Ⅰ设DN的长为米，则米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．21.已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．求椭圆的标准方程；是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由．【答案】解：抛物线的焦点是，，，又椭圆的离心率为，即，，则故椭圆的方程为；分由题意得直线l的方程为，由，消去y得，由，解得．又，．设，，则，．分，，分分若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，即，分解得或又，．即存在使以线段AB为直径的圆经过点分【解析】由抛物线得焦点坐标，结合已知条件及椭圆的离心率可求出c，a 的值，由，求出b，则椭圆的方程可求；由题意得直线l的方程为，联立，消去y得，由，解得m的范围，设，，则，，求出，由，，求出，若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，求出实数m的值即可．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能力和计算能力，是中档题．22.已知函数，其中e为自然对数的底数，Ⅰ判断函数的单调性，并说明理由Ⅱ若，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由，得，当时，，为R上的减函数；当时，令，得，若，则，此时为的单调减函数；若，则，此时为的单调增函数．综上所述，当时，为R上的减函数；当时，若，为的单调减函数；若，为的单调增函数．Ⅱ由题意，，不等式恒成立，等价于恒成立，即，恒成立．令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值．由，函数在上单调递减，令，，．在上也是减函数，在上也是减函数，在上的最大值为．故，不等式恒成立的实数a的取值范围是．【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，然后对a分类，当时，，为R上的减函数；当时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；Ⅱ，不等式恒成立，等价于恒成立，分离参数a，可得恒成立令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值，然后利用导数求得函数在上的最大值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，训练了利用分离变量法求函数的最值，是中档题．。
福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末质量检测数学(文)试题Word版含解析
福建省三明市2019-2020学年上学期期末质量检测高二数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2.若椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，则的最大值为（）A. 1B. 3C. 5D. 73.如面，该茎叶图记录了甲、乙两个数学竞赛小组各6名学生在一次数学竞赛中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数等于乙组数据的众数，则实数的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 74.将五进制数化为十进制数为（）A. 10B. 22C. 110D. 10105.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A. “恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C. “都是白球”与“至少有一个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是黑球”7.双曲线：的顶点到渐近线的距离为（）A. 3B. 4C.D.8.已知，若，则实数的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 29.给出下列三个命题：①命题“，”是真命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③命题“若，则”的逆否命题是真命题.其中正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 310.同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为，，则方程有两个不等实根的概率为（）A. B. C. D.11.某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价销量预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（）（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率的最小二乘估计值为.参考数值：，）A. 9.4元B. 9.5元C. 9.6元D. 9.7元12.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形中四个全等的直角三角形和一个小正方形构成.现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率为__________．14.某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为，抽取的样本中高一学生为120人，则实数的值为__________．15.执行如图所示程序框图，则输出的值为__________．16.已知双曲线：的左焦点为，过原点的直线与相交于，两点，连接，若，，则的离心率为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线：上一点到焦点的距离为2.（1）求实数的值；（2）若直线：与抛物线交于，两点，求.18.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为优；在之间空气质量为良；在之间空气质量为轻度污染.某市环保局从该市2018年上半年每天的日均值数据中随机抽取20天的数据作为样本，将日均值统计如下：日均值（（1）在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天日均值数据，求其中恰有一天日均值数据在之间的概率；（2）将以上样本数据绘制成频率分布直方图（直接作图）：（3）该市规定：全年日均值的平均数不高于，则认定该市当年的空气质量达标.现以这20天的日均值的平均数来估计2018年的空气质量情况，试预测该市2018年的空气质量是否达标.19.已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线；命题：函数在上单调递增.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，且“”为真命题，求实数的取值范围.20.已知函数在处取得极值.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.21.已知椭圆：过点，且点到椭圆两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上异于顶点的两点，是椭圆：上的点，且，其中为坐标原点，求证：直线与的斜率之积为定值.22.已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围.福建省三明市2019-2020学年上学期期末质量检测高二数学（文）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可直接得出结果.【详解】根据全称命题的否定是特称命题,所以命题“，”的否定是“，”.故选D【点睛】本题主要查含有一个量词的命题的否定，只需改量词，改结论，即可，属于基础题型.2.若椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，则的最大值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B【解析】【分析】设，根据椭圆的第二定义，可得，即可求出结果.【详解】设，由椭圆的第二定义，可得，即，因为点在椭圆上，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离问题，可根据椭圆的第二定义求解，属于基础题型.3.如面，该茎叶图记录了甲、乙两个数学竞赛小组各6名学生在一次数学竞赛中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数等于乙组数据的众数，则实数的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】由乙组数据，先确定其众数，再由甲组数据即可求出结果.【详解】由茎叶图可知，乙的众数为，甲的中位数为，因为甲组数据的中位数等于乙组数据的众数，所以，解得.故选C【点睛】本题主要考查中位数和众数，熟记概念，即可求解，属于基础题型.4.将五进制数化为十进制数为（）A. 10B. 22C. 110D. 1010【答案】B【解析】【分析】用所给的五进制数字，从最后一位开始分别乘以5的0次幂，5的1次幂，再求和，即可得出结果.【详解】五进制数化为十进制数为.故选B【点睛】本题主要考查其他进位制转化为十进制的问题，只需每个数位上的数字乘以对应的权重，再累加，即可，属于基础题型.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，再由充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】解不等式得,所以由“”能推出“”，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的问题，熟记概念即可，属于基础题型.6.从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A. “恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C. “都是白球”与“至少有一个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是黑球”【答案】A【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，逐项判断即可.【详解】从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，A. “恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”不能同时发生，且“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”不能包含所有情况，因此“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”互斥而不对立；B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”交事件不是不可能事件，所以“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”不互斥；C. “都是白球”与“至少有一个黑球”互斥且对立；D. “都是黑球”是“至少有一个黑球”的子事件，因此“至少有一个黑球”与“都是黑球”不互斥.故选A【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.7.双曲线：的顶点到渐近线的距离为（）A. 3B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】先由双曲线的方程写出其顶点坐标，和渐近线方程，根据点到直线的距离公式，即可求出结果.【详解】双曲线：的一个顶点为，其中一条渐近线为，所以点到直线的距离为.故选C【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，熟记公式即可求解，属于基础题型.8.已知，若，则实数的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，再将代入导函数，即可求出结果.【详解】因为，所以,因此,所以.故选C【点睛】本题主要考查导数的运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.9.给出下列三个命题：①命题“，”是真命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③命题“若，则”的逆否命题是真命题.其中正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根据三个二次之间的关系，可判断①；根据否命题的概念，可判断②；根据互为逆否的两个命题的真假性一致，可判断③.【详解】①因为的判别式，所以函数与轴有两个交点，即不可能恒成立，故①错；②命题“若，则” 的否命题为“若，则”，故②错；③命题“若，则”为假命题（时，不成立），所以其逆否命题也为假，故③错.故选A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，熟记相关知识点，即可得出结果，属于基础题型.10.同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为，，则方程有两个不等实根的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由有两个不等实根，确定满足的条件，再用列举法写出其所有包含的基本事件的个数，进而可求出结果.【详解】因为方程有两个不等实根，所以，又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为，，则共包含36个基本事件，满足的有共9个基本事件，所以方程有两个不等实根的概率为.故选B【点睛】本题主要考查列举法求古典概型的概率问题，熟记古典概型的概率计算公式即可，属于基础题型.11.某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价销量预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（）（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率的最小二乘估计值为.参考数值：，）A. 9.4元B. 9.5元C. 9.6元D. 9.7元【答案】B【解析】【分析】先分别求出和，得出回归方程，再设利润为，依题意列出函数解析式，进而可求出结果.【详解】因为，，，，所以，，故回归方程为；设该产品的售价为元，工厂利润为元，利润=销售收入-成本，所以，当且仅当，即时，取得最大值.因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.故选B【点睛】本题主要考查线性回归方程，最小二乘法求出和，即可求出回归方程，属于常考题型.12.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定函数在上的单调性，再确定其奇偶性，进而可求出结果.【详解】因为在上单调递增，且；在上单调递增，且，所以已知在上单调递增，又，所以为偶函数.若对任意的恒成立，则对任意的恒成立,即对任意的恒成立,即对任意的恒成立，所以，即.故选D【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，根据函数的单调性和奇偶性，将问题进行转化，即可求出结果，属于常考题型.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形中四个全等的直角三角形和一个小正方形构成.现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率为__________．【答案】【解析】【分析】先由题意求出正方形的面积，以及四个直角三角形的面积，进而可求出小正方形的面积，面积之比即为所求概率.【详解】因为直角三角形的两条直角边长为3和4，所以正方形的边长为，所以，所以,因此在正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型，根据题意，将该问题看作与面积有关的几何概型即可，分别求出两个正方形的面积，即可求解，属于基础题型.14.某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为，抽取的样本中高一学生为120人，则实数的值为__________．【答案】6【解析】【分析】由题意，根据高一学生所占的比例，列出等式即可求出结果.【详解】由题意可得，，解得.故答案为6【点睛】本题主要考查分层抽样，熟记分层抽样的相关概念，即可求解，属于基础题型. 15.执行如图所示程序框图，则输出的值为__________．【答案】14【解析】【分析】按照程序框图，逐步执行，即可得出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值，，进入循环，，，进入循环；，，进入循环；，，结束循环，输出.故答案为14【点睛】本题主要考查程序框图的问题，分析程序的作用，逐步执行即可，属于基础题型.16.已知双曲线：的左焦点为，过原点的直线与相交于，两点，连接，若，，则的离心率为__________．【答案】5【解析】【分析】记双曲线的右焦点为，连结，，由题意判断，即四边形为矩形，进而可求出结果.【详解】记双曲线的右焦点为，连结，，因为，两点关于原点对称，且都在双曲线上，可得，；又，所以，即四边形为矩形；因此所以，所以，即；又，所以离心率为.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，结合双曲线的对称性，即可求出其离心率，属于基础题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线：上一点到焦点的距离为2.（1）求实数的值；（2）若直线：与抛物线交于，两点，求.【答案】（1）2（2）8【解析】【分析】（1）由抛物线的方程，得出，求出，即可得出结果；（2）联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，以及抛物线弦长公式即可求出结果. 【详解】（1）抛物线焦点为，准线方程为，因为点到焦点距离为2，所以，解得.（2）抛物线的焦点坐标为，满足直线的方程.故焦点在直线上.联立，得.显然，设，，则，所以，即.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，根据抛物线的定义即可列出方程求出，进而可求出抛物线方程；求焦点弦的问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式，即可求出结果，属于常考题型.18.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为优；在之间空气质量为良；在之间空气质量为轻度污染.某市环保局从该市2018年上半年每天的日均值数据中随机抽取20天的数据作为样本，将日均值统计如下：日均值（（1）在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天日均值数据，求其中恰有一天日均值数据在之间的概率；（2）将以上样本数据绘制成频率分布直方图（直接作图）：（3）该市规定：全年日均值的平均数不高于，则认定该市当年的空气质量达标.现以这20天的日均值的平均数来估计2018年的空气质量情况，试预测该市2018年的空气质量是否达标.【答案】（1）（2）详见解析（3）不达标【解析】【分析】（1）用列举法分别列举出“在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天”的事件个数，以及“恰有一个数据在之间”的基本事件数，即可求出结果；（2）结合题中数据，即可求出结果；（3）计算出这20天的日均值的平均数，即可求出结果.【详解】解：（1）由表中日均值数据可知，空气质量为轻度污染的天数共5天，用，，表示抽到的日均值在之间的数据，用，表示抽到的日均值在之间的数据，则在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天的数据，有，，，，，，，，，，共10种，恰有一个数据在之间的有，，，，，，共6种，所以恰有一个数据在之间的概率为.（2）样本数据的频率分布直方图如下：（3）这20天的日均值的平均数为，所以全年日均值的平均数的估计值为.因为，所以，预测该市2018年的空气质量不达标.【点睛】本题主要考查列举法求古典概型的概率，以及频率分布图等问题，熟记公式，即可求解，属于基础题型.19.已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线；命题：函数在上单调递增.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，且“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由命题为真命题，结合函数的单调性，即可求出结果；（2）根据（1）先求出命题为假命题时的取值范围，再由“”为真命题确定为真，进而可求出结果.【详解】解：（1）由函数在上单调递增得恒成立，因为，即，即在上恒成立，所以，即，因为命题为真命题，所以.（2）由已知命题为假命题，为真命题，故真假，由（1）知，命题为假命题，可得.由为真命题，得，即.故，得.所以实数的取值范围.【点睛】本题主要考查根据复合命题的真假求参数的范围问题，先判断出命题的真假，再结合命题的内容，即可求出结果，属于常考题型.20.已知函数在处取得极值.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】先对函数求导，根据函数在处取得极值，求出；（1）将代入解析式，再由导数的方法求出其在处的切线斜率，进而可求出结果；（2）函数有三个零点，等价于方程有三个不等实根，也即是函数与直线有三个不同的交点，由导数的方法研究函数的极值，即可得出结果.【详解】解：，由题意知，所以，即.所以.（1）当时，，，所以，，所以在处的切线方程为，即.（2）令，则.设，则与的图象有三个交点.，所以当变化时，，的变化情况为所以，.又当时，；当时，，所以，即.所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果.21.已知椭圆：过点，且点到椭圆两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上异于顶点的两点，是椭圆：上的点，且，其中为坐标原点，求证：直线与的斜率之积为定值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意求出即可求出椭圆方程；（2）先设，，，根据，得到三者坐标之间的关系，再由，是椭圆上的点，在椭圆上，即可得到和的关系，进而可证明结论成立.【详解】解：（1）由椭圆定义可知，，即，又因为椭圆过，所以，所以.所以椭圆的方程为.（2）设，，.因为，所以，.因为，是椭圆上的点，所以，，在椭圆上，所以.所以，即，所以，即.直线与的斜率之积.故直线与的斜率之积为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆中直线斜率之积为定值的问题，通常需要分别表示出直线的斜率，直接计算即可，属于常考题型.22.已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果；（2）先分离参数，将原式化为，求的最大值即可.【详解】解：（1）的定义域为，，①当时，，所以的减区间为，无增区间.②当时，令得；令得；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.综上可知，当时，的减区间为，无增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）因为，即.因为，所以.设，.显然在上是减函数，.所以当时，，是增函数；当时，，是减函数.所以的最大值为.所以.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，常用到分类讨论的方法来处理；对于不等式恒成立求参数的问题，通常分离出参数，结合导数的方法求解，属于常考题型.。