河南省郑州市2019-2020学年上学期期末考试高二数学文科试题卷含答案(扫描版)
河南省郑州市统一考试（2020.1.8 下午）
郑州市2019—2020学年上期期末考试
高二数学（文科） 参考答案
一、选择题（每题5分共60分）
BDBDC DAAAD CB
二、填空题
13.100；
1; 16. 4.
三、解答题（每题5分共20分）
17. （1）设{}n a 的公比为q ，由2312a a +=，
得26q q +=2分
32q q ∴=-=或.
又{}n a 的各项均为正数，0, 2.q q ∴>∴=
2n
n a ∴=6分 （2）211111log (1)1n n b n a n n n n +===-++8分
1111112231
n T n n ∴=-
+-++-+ 1111n n n =-=++10分 18. （1）由()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-结合正弦定理得： 222()()(),,a c a c b a b a b c ab -+=-+-=4分 所以2221cos .22a b c C ab +-==又0,.3
C C ππ<<=6分 （2）由余弦定理得2221cos
22a b c C ab +-==.8分
又c =,∴2212212ab a b ab =+-≥-.
∴12ab ≤.10分
当且仅当a b =时取等号,∴ABC ∆的面积1sin 332
S ab C =≤. 即ABC ∆面积的最大值为3 3..12分 19.解：(1)p 为真命题,则应有840,m ∆=->,解得 2.m <．
4分 （2）若q 为真命题,则有10m -≥,即1m ≥,
因为p q ∨为真命题,p q ∧为假命题,
则p ,q 应一真一假． 当p 真q 假时,有21m m <⎧⎨<⎩
,得1m <；7分 当p 假q 真时,有21m m ≥⎧⎨≥⎩,得2m ≥．10分
综上,m 的取值范围是{}|21m m m ≥<或．
12分 20.解：（1）由题意可知,
每吨平均加工成本为：30302700323027003=-⋅≥-+=x
x x x x y . 时，即当且仅当9027003==x x
x 才能使每吨的平均加工成本最低,最低成本为30元．6分 （2）设该单位每月获利为S,2700463
116S 2-+-=-=x x y x 则， 1125-S 75]100,75[max ==∈时，，x x
故该企业不获利,需要市政府每周至少补贴1125元,才能不亏损．
12分
21. （1）由题意知 2221224831c a a a b c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=∴=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩
22
1443x y ∴+=所求椭圆的标准方程为分
（2）假设存在这样的实数,k 使得以MN 为直径的圆恰好经过原点.
22
11221,(x ,)(,),43 2.x y M y N x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
设、联立方程组 消去y 得22(34)1640k x kx +++=6分
1222121222,=(16)12(34)0.
11,22
416,83434x x k k k k k x x x x k k ∴∆-+>><--∴=+=++由题意知，是此方程的两个实数解,
即或分
又=0.MN OM ON ∴⋅以为直径的圆过原点，
()()()21212121212120,222410x x y y y y kx kx k x x k x x ∴+==++=+++又分
()(
)2121212122
22212+4=0.
4321+)40.3434x x y y k x x k x x k k k k k MN ∴+=+++-∴++=++∴=（故存在这样的直线使得以为直径的圆过原点..12分
24）单调递减
分）单调递增分 成立，即函数 []()ln 1,h x a x x e x x =
-++在上的最小值小于0, ()'222(1)1+1()15x x a a a h x x x x x
+-⎡⎤⎣⎦=--+-=分 ①[]1+,1()1a e a e h x e ≥>-当即时，在，上单调递减, []2221()1(),()0111,1,7111a h x e h e h e e a e e e e a e a e e e +∴=+
-<+++>>-∴>---在，上的最小值为由得分
②当[]11,0()1,a a h x e +≤≤即时，在上单调递增,
()(1),(1)11029h x h h a a ∴=++<<-的最小值为得分 ③当1101()(1),a e a e h x h a <+<<<-+，即时，得的最小值为 20(1)1,0ln(1),
(1)2ln(1) 2.
(1)01.121
h a a a a h a a a a h a e a a >e <+<∴<+<+=+-+>+<+-故此时不成立.11分
综上讨论可得，所求的范围是分。
【原创】2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷 文科数学(B卷) 学生版
2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷文科数学（B ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U =R ，集合2{|430}A x x x =++>，3{|log (2)1}B x x =-≤，则()U A B ð 等于（ ） A ．{|1x x <-或2}x > B ．{|1x x <-或2}x ≥ C ．{|1x x ≤-或2}x >D ．{|1x x ≤-或2}x ≥ 2，则 ） A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项3．若,x y ∈R ，则“1xy ≤”是“221x y +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数2()f x x x =+，则0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．6-B ．3-C ．3D ．65．数列{}n a 满足10a =，12524n n n a a a +-=-，则2015a =（ ）A ．0B ．43C ．1D ．26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，且120AF AF ⋅=，直线2AF 交y 轴于点M ，若12||6||F F OM =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B．C ．58D7．已知平面区域1220:020x y x y y -+≥⎧⎪Ω+≤⎨⎪+≥⎩，222:9x y Ω+≤，则点1(,)P x y ∈Ω是2(,)P x y ∈Ω的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=，2664a a =，则4S =（ ） A ．63或126 B ．252C ．120D ．639．下列命题:①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题q :5x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x x x ∀∈-+≤R ”的否定是“32,10x x x ∀∈-+>R ”； ④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”， 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC △中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，1b =，(2sin )a B C -=cos A ，点G 是ABC △的重心，且3AG =，则ABC △的面积为（ ） AB．C或D此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．已知抛物线24y x =上的点M 到其准线的距离为5，直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)N ，则M 到直线l 的距离为（ ） AB．5或5C．55D．5或 12．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设变量x ，y 满足约束条件:3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为 ．14．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+ ．15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4c =，a A =，且C 为锐角，则ABC △面积的最大值为 ． 16．32()2f x ax x x =-++，ln ()e xg x x=，1(0,1]x ∀∈，2(0,1]x ∀∈，使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，90A ∠=︒，AB AD =，cos 2C =，3BC =． （1）若5CD =，求AB 的长； （2）若4BD =，求sin ADC ∠的值．DCBA18．（12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1()22n a n n b a +=+，求数列{}n b 前n 项和n S ．19．（12分）已知函数()ln xf x x =．（1）求曲线()y f x =在x e =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间．20．（12分）已知命题2:,0p x x x m ∀∈+-≥R ，命题q :实数m 满足:方程22114x y m m+=--表示双曲线．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题“p 或q ”为假命题，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知圆22:(16E x y +=，点F ，动点P 在E 上，线段PF 的垂直平分线与直线PE 相交于点Q ，动点Q 的轨迹是曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）已知点M 是C 与y 轴正半轴的交点，过点(2,1)-且不过点M 的直线l 与C 交于,A B 两点，设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k +为定值．22．（12分）已知函数()()x f x e ax a =+∈R ，()ln x g x e x =(e 为自然对数的底数)． （1）若对于任意实数0x ≥，()0f x >恒成立，试确定a 的取值范围；（2）当1a =-时，函数()()()M x g x f x =-在[1,]e 上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷文科数学（B ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】集合2{|430}{|(1)(3)0}{|3A x x x x x x x x =++>=++>=<-或1}x >-，3{|log (2)1}{|023}{|12}B x x x x x x =-≤=<-≤=-≤<．∴{|12}A B x x =-<<，∴(){|1U A B x x =≤-ð或2}x ≥，故选D ． 2．【答案】B【解析】，可知数列是等差数列2，5，8，11的每一项开方，而=B 选项是正确的． 3．【答案】B【解析】令10x =，10y =-，“1xy ≤”不能推出221x y +≤；反之2222111212x y x y xy xy +≤⇒≥+≥⇒≤<．4．【答案】C【解析】根据导数的定义，则0(1)(1)(1)limx f x f f x ∆→+∆-'=∆，由()21f x x '=+，∴(1)3f '=，∴0(1)(1)3limx f x f x∆→+∆-=∆．5．【答案】B【解析】由已知可得10a =，21a =，343a =，42a =，50a =， 所以数列{}n a 的最小正周期为4T =，所以201550343343a a a ⨯+===． 6．【答案】D【解析】结合题意，可知12||2F F c =，则||3c OM =，故21tan 3MF O ∠=， 结合120AF AF ⋅=，可知1290F AF ∠=︒，故12||1||3AF AF =， 设1||AF x =，2||3AF x =，所以234a x x x =+=，22224(3)10c x x x =+=，所以c e a ==． 7．【答案】A【解析】平面区域222:9x y Ω+≤，表示圆以及内部部分；1220:020x y x y y -+≥⎧⎪Ω+≤⎨⎪+≥⎩的可行域如图三角形区域，则点1(,)P x y ∈Ω是2(,)P x y ∈Ω的充分不必要条件．8．【答案】C【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且101n na q a +<=<． ∵3520a a +=，263564a a a a ==，解得316a =，54a =，∴214q =， 又01q <<，解得12q =， ∴311164a a =⨯=，解得164a =，∴44164[1()]2120112S -==-． 9．【答案】C【解析】对于①，“在ABC △中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题为“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”，若A B >，则a b >，根据正弦定理可知，sin sin A B >，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由2x ≠或3y ≠，得不到5x y +≠，比如1x =，4y =，5x y +=，∴p 不是q 的充分条件；由等价转换的思想易得p 是q 的必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，所以②正确； 对于③，“32,10x x x ∀∈-+≤R ”的否定是“32,10x x x ∃∈-+>R ”，所以③不对； 对于④，“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；所以④正确， 故选C ． 10．【答案】D【解析】由题可知2sin sin cos cos A B A C C A -=，∴2sin sin )A B A C B =+=，∴sin A =，∴π3A =或2π3，又3AG =AG 交BC 于点D，∴2AD =， ∵1()2AD AB AC =+，∴222211()(2cos )44AD AB AC b c bc A =+=++，当π3A =时，3c =，∴ABC △的面积为1sin 2bc A =当2π3A =时，4c =，∴ABC △的面积为1sin 2bc A = 11．【答案】B【解析】根据题意设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由点差法得到211212224424y x k y y y x ⎧=⎪⇒==⎨+=⎪⎩， 故直线l 可以写成2(2)123y x y x =-+⇒=-， 点M 到其准线的距离为5，可得到M 的横坐标为4，将点代入抛物线可得到纵坐标为4或4-，由点到直线的距离公式得到，M点到直线的距离为5或5． 12．【答案】A【解析】函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ， 说明方程2()320f x x ax b '=++=的两根为1x ，2x ，所以方程23(())2()0f x af x b ++=的解为1()f x x =或2()f x x =， 若12x x <，即1x 是极大值点，2x 是极小值点， 由于11()f x x =，所以1x 是极大值，1()f x x =有两解，12x x <，21()()f x x f x =>只有一解，所以此时只有3解； 若12x x >，即1x 是极小值点，2x 是极大值点， 由于()11f x x =，所以1x 是极小值，1()f x x =有2解，12x x >，21()()f x x f x =<只有一解，所以此时只有3解．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】92【解析】作出变量x ，y 满足约束条件3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩可行域如图，由2z x y =+知，122zy x =-+，∴动直线122z y x =-+的纵截距2z取得最大值时，目标函数取得最大值．由300x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得33(,)22A ，结合可行域可知当动直线经过点33(,)22A 时，目标函数取得最大值3392222z =+⨯=．故答案为92． 14．【答案】129130【解析】原式11111212111111212133233322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+． 15．【答案】4+ 【解析】因为4c =，又sin sin c a C A ==sin 2C =， 又C 为锐角，所以π4C =，因为222222cos (2c a b ab C a b ab =+-=+-≥，所以8(2ab ≤=+，当且仅当a b ==即1sin 424ABC S ab C ab ==≤+△即当a b ==ABC △面积的最大值为4+． 16．【答案】[2,)-+∞ 【解析】2(1ln )()e x g x x-'=，而(0,1]x ∈，故()0g x '>在(0,1]恒成立， 故()g x 在(0,1]递增，max ()(1)0g x g ==， 若1(0,1]x ∀∈，2(0,1]x ∀∈，使得12()()f x g x ≥， 只需min max ()()f x g x ≥即可，故3220ax x x -++≥在(0,1]恒成立，即232x x a x--≥在(0,1]恒成立， 令232()x x h x x --=，(0,1]x ∈，24(1)7()0x h x x--+'=>， ()h x 在(0,1]递增，故max ()(1)2h x h ==-，故2a ≥-，故答案为[2,)-+∞．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）AB =（2）10． 【解析】（1）∵cos25C =，∴223cos 2cos 12(1255C C =-=⨯-=，∵3BC =，5CD =，∴由余弦定理得，2222232cos 35235165BD BC CD BC CD C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，则4BD =，∵90A ∠=︒，AB AD =，∴AB BD == （2）由（1）知，4sin 5C =， ∵3BC =，4BD =，∴由正弦定理得43sin 35sin 45BC C BDC BD ⨯⋅∠===， ∵BC BD <，∴4cos 5BDC ∠=， 则sin sin(45)sin cos 45cos sin 45ADC BDC BDC BDC ∠=∠+︒=∠︒+∠︒34525210=⨯+⨯=． 18．【答案】（1）21n a n =-；（2）1222n n S n +=+-．【解析】（1）由题意等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-，可得1-，3为2130a x dx --=的两根，得11233da a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为12(1)n a n =+-，即21n a n =-．（2）由（1）知21n a n =-，所以1()222(21)n a n n n b a n +=+=+-，所以2122(21)(242)(1321)2221n nn n S n n n +-=+++++++-=+=+--．19．【答案】（1）y e =；（2）()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,)e ，单调递增区间为(,)e +∞． 【解析】（1）2ln 1()(ln )x f x x -'=，所以切线斜率2ln 1()0(ln )e k f e e -'===， 又()ln ef e e e==，所以切线方程为0y e -=，即y e =． （2）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，2ln 1()(ln )x f x x -'=，在(0,1)和(1,)e 上，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 在(,)e +∞上，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,)e ，单调递增区间为(,)e +∞．20．【答案】（1）1(,]4-∞-；（2）{|14}m m ≤≤．【解析】（1）∵2,0x x x m ∀∈+-≥R 恒成立，∴140Δm =+≤，解得14m ≤-，∴实数m 的取值范围是1(,]4-∞-． （2）∵“p 或q ”为假命题，∴p ，q 均为假命题， 当q 为真命题时，则(1)(4)0m m --<，解得4m >或1m <， ∴q 为假命题时，14m ≤≤，由（1）知，p 为假命题时，14m >-，从而1414m m ⎧>-⎪⎨⎪≤≤⎩，即14m ≤≤． ∴实数m 的取值范围为{|14}m m ≤≤．21．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析．【解析】（1）依题意，||||QF QP =，则||||||||||4||QE QF QE QP EP EF +=+==>，所以Q 的轨迹为以E ，F 为焦点，4为长轴长的椭圆， 所以2a =，c =，1b =，所以曲线C 的方程为2214x y +=．（2）依题意得直线AB 的斜率存在，设直线:1(2),(1)AB y k x k +=-≠-， 即21y kx k =--，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222114y kx k x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(41)8(21)4(21)40k x k k x k +-+++-=， 由题知0Δ>，1228(21)41k k x x k ++=+，21224(21)441k x x k +-=+， 因为M 是C 与y 轴正半轴的交点，所以(0,1)M ， 所以12122112121211(1)(1)y y y x y x k k x x x x ---+-+=+=122112(22)(22)kx k x kx k x x x --+--= 12121222(1)()kx x k x x x x -++=16(1)(21)22(21)116(1)k k k k k k k k ++=-=-+=-+．所以12k k +为定值，且定值为1-．22．【答案】（1）(,)e -+∞；（2）不存在，见解析．【解析】（1）∵对于任意实数0x ≥，()0f x >恒成立， ∴若0x =，则a 为任意实数时，()0x f x e =>恒成立；若0x >，()0xf x e ax =+>恒成立，即xe a x>-，在0x >上恒成立，设()x e Q x x =-，则22(1)()x x xxe e x e Q x x x --⋅'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0Q x '>，则()Q x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0Q x '<，则()Q x 在(1,)+∞上单调递减；所以当1x =时，()Q x 取得最大值，max ()(1)Q x Q e ==-， 所以a 的取值范围为(,)e -+∞，综上，对于任意实数0x ≥，()0f x >恒成立的实数a 的取值范围为(,)e -+∞． （2）依题意，()ln x x M x e x e x =-+，所以1()ln 1(ln 1)1x x x x e M x e x e x e x x '=+-+=+-⋅+，设1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-'=-+=， 当[1,]x e ∈，()0h x '≥，故()h x 在[1,]e 上单调增函数， 因此()h x 在[1,]e 上的最小值为(1)0h =，即1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=， 又0x e >，所以在[1,]e 上，1()(ln 1)10xM x x e x'=+-⋅+>，所以()M x 在[1,]e 上是增函数，即()()()M x g x f x =-在[1,]e 上不存在极值．。
2019-2020学年河南省郑州市106中学高二9月月考数学试卷
2019-2020学年河南省郑州市106中学高二9月月考数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（共12小题，每题5分）1．下列判断中正确的是（ ）A.0在中，7,14,30,有两解ABC a b A ∆===B.0在中，30,25,150,有一解ABC a b A ∆===C.0在中，6,9,45,有两解ABC a b A ∆===D.0在中，b 9,10,60,无解ABC c A ∆===2．在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形 B. 直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形3. 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1cos 4B =,sin 2sin A C =,且ABC S ∆=则b 等于( ) A.4 B.3 C.2 D.14.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若c =b =120B ︒=,则a 等于( ) A.5.设n S 为等差数列n a ｛｝的前n 项和，132s 4a a 2==-，，则9a =（ ）A ．6/5 B.16/5 C.32/5 D.26.设等差数列n a ｛｝的前n 项和为n S ，11S 2S 0S 3m m m －＋＝－，＝，＝，则m ＝ ( )A.3B.4C.5 D 、67.数列n a ｛｝是首项为2，公差为3的等差数列，数列{}n b 是首项为-2，公差为4的等差数列。
2019-2020学年河南省郑州市实验中学高二上学期第一次月考数学试题(含答案解析)
2019-2020学年河南省郑州市实验中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）A ．B ．2C ．3D ．【答案】A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】 在中，由正弦定理得，所以，故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。
2．在数列{}n a 中，已知31a =，53a =，79a =则{}n a 一定（ ） A ．是等差数列 B ．是等比数列C ．不是等差数列D ．不是等比数列【答案】C【解析】依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。
【详解】因为532a a -=，756a a -=，7553a a a a -≠-，所以{}n a 一定不是等差数列，故选C 。
【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。
3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列结论不正确的是（ ） A ．2222cos a b c bc A =+- B ．sin sin a B b A = C ．cos cos a b C c B =+ D ．cos cos sinC a B b A +=【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,是余弦定理，所以该选项正确； 选项B,实际上是正弦定理sin sin a b A B=的变形，所以该选项是正确的； 选项C,由于sin sin(),sin sin cos cos sin ,cos cos A B C A B C B C a b C c B =+∴=+∴=+,所以该选项正确；选项D,cos cos 2(sin cos sin cos )2sin()2sin a B b A R A B B A R A B R C +=+=+=,不一定等于sinC,所以该选项是错误的. 故选D 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．在等差数列中，若.，则（ ）A ．100B ．90C ．95D ．20【答案】B【解析】利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到.【详解】 数列为等差数列，，.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.5．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为n S ,若1010S =,3070S =, 则40S 等于 A ．150 B ．-200C ．150或-200D ．-50或400【答案】A【解析】根据等比数列的前n 项和公式化简S 10＝10，S 30＝70，分别求得关于q 的两个关系式，可求得公比q 的10次方的值，再利用前n 项和公式计算S 40即可． 【详解】因为{a n }是等比数列，所以有1010(1)101a q S q -==-，3030(1)701a q S q-==-二式相除得，3010171q q-=-，整理得102017q q ++= 解得102q=或103q =-（舍）所以有40401010(1)1(1)1a q S qa q S q--=--=401011q q -- =4121512-=- 所以401015S S ==150．答案选A ． 【点睛】此题考查学生灵活运用等比数列的前n 项和的公式化简求值，是一道综合题，有一定的运算技巧，需学生在练习中慢慢培养． 6．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30︒的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】 由正弦定理可知sin sin sin A B C a b c ==，又sin cos cos A B Ca b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==. 所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o . 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.7．设ABC ∆的内角A B C 、、所对边分别为130a b c a b A ︒===，，，，．则该三角形（ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定【答案】C【解析】利用正弦定理以及大边对大角定理求出角B ，从而判断出该三角形解的个数． 【详解】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以，sin sin b A B a ==，b a ∴>，B A ∴>， 60B ∴=o 或120o ，因此，该三角形有两解，故选C.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在ABC ∆中，给定a 、b 、A ，该三角形解的个数判断如下： （1）A 为直角或钝角，a b >，一解；a b ≤，无解；（2）A 为锐角，sin a b A =或a b ≥，一解；sin b A a b <<，两解；sin a b A <，无解.8．数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为 A ．(,0]-∞ B ．[0,)+∞C ．(,2)-∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】数列{a n }单调递增⇔a n+1＞a n ，可得：n+1+1a n +＞n+an，化简解出即可得出． 【详解】数列{a n }单调递增⇔a n+1＞a n ，可得：n+1+1a n +＞n+an，化为：a ＜n 2+n ． ∴a ＜2． 故选C ． 【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B =，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ）A ．B ．2C ．1D ．2【答案】C【解析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =Q，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >Q，sin 0B B ∴-=，tan B ∴=，则3B π=.a Q 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．10．已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A ．3223n n- B ．2332n n- C ．1223n n- D ．2132n n- 【答案】A【解析】递推关系式乘以12n +，再减去3，构造等比数列求通项公式. 【详解】因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得()11223233n n n n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项，23为公比的等比数列.所以1422333n nn a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3223n nn a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查构造数列求通项公式.一般地，譬如11n n n a pa q ++=+的形式，通常通过除以1n q +来进行构造；而对于形如1n n a pa q +=+的形式，则通过待定系数来构造.11．已知在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c 且BC 边上的高为2a ,则c bb c+的最大值为( ) A． BC ．2D ．4【答案】A【解析】先由题得到22sin a bc A =，再化简22222cos 2cos c b c b a bc A a A b c bc bc bc+++===+=2sin 2cos 4A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求函数的最大值.【详解】 由题意可知，11sin 222a a bc A ⨯⋅=，得22sin a bc A =，所以22222cos 2cos c b c b a bc A a A b c bc bc bc+++===+=2sin 2cos 4A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由BC 边上的高为2a 可得02A π<<，故当4A π=时c bb c+的最大值为故答案为A 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12．设正项数列{}n a 满足12a =，()2211220n n n n na a a n a ++--+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，(例如[]1.61=，[]1.62-=-)则222122019232020a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋯⋯+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】C【解析】分解因式，累乘法求得通项公式，根据题意，再进行求解. 【详解】数列{}n a 满足12a =，()2211220n n n n na a a n a ++--+=，整理得()()1120n n n n na n a a a ++-++=⎡⎤⎣⎦， 由于数列为正项数列，所以()12n n na n a +=+，整理得12n n a n a n++=， 故111n n a n a n -+=-，122n n a n a n --=⋯-，4242a a =，2131a a =， 各式相乘得到()1112n n n a a ⨯+=⨯，又12a =，所以()1na n n =+.则()21111nn n a n n++==+， ①当1n =时，11n=，212112a =+=； ②当1n >时，()10,1n∈，则 ()211n n n a n ⎡⎤++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=11n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=1. 所以222122019232020220182020a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋯⋯+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选：C. 【点睛】本题考查递推公式的整理化简、累乘法求通项公式，以及根据题意构造新数列的能力，本题中根据题意构造数列()21nn a +是问题的关键.本题属于数列综合题.二、填空题13．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和且13n n S A +=-，则A =________.【答案】3【解析】由n S ，可以求得数列的前三项，根据这三项构成等比数列，利用等比中项即可求参数. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和且13n n S A +=-，∴21139a S A A ==-=-，()()32213918a S S A A =-=---=， ()()433323354a S S A A =-=---=∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2213a a a =，∴()2189454=-⨯，解得3A =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质；一般地，在等比数列中，1111n n n a aS q Aq A q q=-+=---. 14．已知锐角ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos b a a C -=，则2cos cos()A C A -的取值范围是__________.【答案】22⎛ ⎝⎭【解析】由正弦定理，条件等式转化角的关系，化简所求的式子，转化角A ，求出A 的范围，即可求得结论. 【详解】sin sin 2sin cos sin()sin B A A C C A A -=⇒-=，,0,,2222C A A C A A C A πππ-<-<<<∴-==Q ，22(,)6432C A A B A πππππ⎧=⎪⎪⇒∈⎨⎪=-⎪⎩＜＜，2cos cos()AC A -23cos ,22A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为:23,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理的应用，以及两角和差正弦公式的应用，属于中档题.15．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________． 【答案】15【解析】试题分析：因为1020T T =，所以所以{}n a 是正项递增等比数列,所以，所以最小.【考点】等比数列的性质.16．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a ，b ，c 是ABC △的内角A ，B ，C 的对边为.若sin 2sin cos C A B =，且2b ，1，2c 成等差数列，则ABC △面积S 的最大值为________. 5【解析】先根据正弦定理得c 2cos a B =,再根据余弦定理化简得 【详解】因为sin 2sin cos C A B =，所以c 2cos a B =,因此222c 2,2a c b a a b ac+-=⨯=,因为2b ，1，2c 成等差数列，所以2b +2c =2, 因此222222222222115416516524242165251625a c b c S a c c c c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=--+⨯=⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦（），即ABC V 面积S 的最大值为5. 【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =．若5a ，2a ，1a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn S n =+-.【解析】（1）根据对比中项的性质即可得出一个式子，再带入等差数列的通项公式即可求出公差．（2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决． 【详解】（1）因为521,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =，所以()2141d d +=+，即22d d =， 因为0d ≠，所以2d =， 所以21n a n =-；（2）因为1212n n b n -=-+，所以()()01113521222n n S n -=+++⋯+-++++L ，()12112212nn n +--=+-， 221n n =+-.【点睛】本题主要考查了等差数列通项式，以及等差中项的性质．数列的前n 的求法，求数列前n 项和常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的三条对边分别为a ，b ，c ，，cos sin b C C a =. （1）求角B ；（2）点D 在边BC 上，4AB =，32CD =，3cos 5ADC ∠=.求AC . 【答案】（1）6π；（2）2 【解析】（1）利用正弦定理将边化角，结合()sin sinA B C =+进行化简即可；（2）利用（1）中结论，及已知条件，在ABD n 中用正弦定理求AD ，再在ADC n 中，用余弦定理求AC .【详解】（1）由cos 3sin b C b C a +=，利用正弦定理得:sin cos 3sin sin sin B C B C A +=，即sin cos 3sin sin sin cos cos sin B C B C B C B C +=+，得3sin sin cos sin B C B C =，又()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以3sin cos B B =，得3tan 3B =，又()0,B π∈， 所以6B π=. （2）根据题意，作图如下：由3cos 5ADC ∠=，()0,ADC π∠∈， 所以234sin 155ADC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭， 又因为180ADB ADC ︒∠=-∠，所以4sin sin 5ADB ADC ∠=∠=； 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AD AB B ADB =∠又4AB =，6B π=， 所以14sin 524sin 25AB B AD ADB ⨯⋅===∠； 在ACD ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠2253533222225⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4=解得2AC =.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角的能力，涉及()sin sinA B C =+，同时考查了利用正弦定理，余弦定理解求解三角形的能力.属解三角形综合基础题.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（Ⅰ）37； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(Ⅰ) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案. (Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯， ∴43sin BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴43113536027)(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=⨯--⨯= ⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABD AD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠， ∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和． 【答案】(1) 221n a n =-；(2)221n n +. 【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得{}n a 的通项公式.（2）将{}n a 的通项公式代入,可得数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+- 2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+--﹣＝∴()212n n a -= ∴221n a n =- 当1n =时,12a =,上式也成立 ∴221n a n =- （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和 1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1212121n n n =-=++ 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.21．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）S =【解析】（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案.（Ⅱ）1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，平方，代入公式利用余弦定理得到答案. 【详解】（Ⅰ）因为()acos 2cos B c b A =-，由正弦定理得()sin cos cos 2sin sin A B A C B =-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，所以()sin 2sinccos A B A +=， 因为()sin sin 0A B C +=≠，所以1cos 2A =， 又因为(0,)A π∈，所以3A π=．（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以2232c b bc ++=，①又根据余弦定理，有2222222cos 416a b c bc A b c bc =+-=+-==，② 联立①②，得8bc =．所以ABC ∆的面积1S bcsinA 2== 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.22．数列{}n a 的前n 项和113n n S a =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使n T m ≤成立的实数m 最小值. 【答案】（1）13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭；（2）221332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，32. 【解析】（1）由已知可先求得首项1a ，然后由113n n S a =+，得11113n n S a ++=+，两式相减后可得数列的递推式，结合1a 得数列{}n a 是等比数列，从而易得通项公式； （2）对数列{}n b 可用错位相减法求其和．不等式n T m ≤恒成立，可转化为先求n T 的最大值．【详解】（1）由111113a S a ==+得132a =. 由113n n S a =+，可知11113n n S a ++=+， 可得111133n n n a a a ++=-，即12n n a a +=-. 因为10a ≠，所以0n a ≠，故112n n a a +=- 因此{}n a 是首项为32，公比为12-的等比数列， 故13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知13122n n n b -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭. 所以01213113213313122222222n n n T -⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ① 两边同乘以12-得 123131132133131222222222n n n T ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ② ①②相减得12311331313131311222222222222n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-+-++⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 从而133113312222122212n n n n T -⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-⋅- ⎪⎝⎭+ 于是221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当n 是奇数时，221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为221302n n n T T n ++⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭， 所以132n T T ≤=. 当n 是偶数时，2212()()3323n n T n =-+< 因此32n T ≤. 因为n T m ≤， 所以32m ≥，m 的最小值为32. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前n 项和公式，考查错位相减法求和．适用错位相减法求和的数列一般是{}n n a b ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．。
河南省郑州市2023-2024学年高三上学期1月期末考试 数学含解析
绝密★启用前2023—2024学年郑州市高三（上）期末考试数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足10986a a a +=.若存在两项m a ，n a ，使得14a =，则14m n+的最小值为()A.4 B.23C.32D.92.已知函数()()223x x f x a bx -=-++,且0ab ≠.若()2019f h =-,则()f h -=()A.2024B.2023C.2022D.20253.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.32-B.12-C.12D.324.在ABC △中，下列各式正确的是()A.sin sin a B b A=B.sin sin a C c B=C.2222cos()c a b ab A B =+-+D.sin()sin a A B c A+=5.满足下列条件的两条直线1l 与2l ，其中可以推出12//l l 的条件是()①1l 的斜率为2，2l 过点(1,2)A ，(4,8)B ；②1l 经过点(3,3)P ，(5,3)Q -，2l 平行于x 轴，但不经过P 点；③1l 经过点(1,0)M -，(5,2)N --，2l 经过点(4,3)R -，(0,5)S .A.①②B.②③C.①③D.①②③6.在三棱锥P ABC -中，CP ，CA ，CB 两两互相垂直，1AC CB ==，2PC =，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAB 的法向量可以是()A.11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C.(1,1,1)D.(2,2,1)-7.已知数列{}n a 满足：6(3)3,7,,7n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩()n +∈N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是()A.9,34⎛⎫⎪⎝⎭B.9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.(1,3)D.(2,3)8.一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s )之间的函数关系为()25s t t mt =+，且这一物体在23t ≤≤这段时间内的平均速度为26m /s ，则实数m 的值为()A.2B.1C.1- D.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.设一元二次方程220x ax a ++=的两个实根为,1x ,()212x x x ≠,则()A.1216x x >B.当17a >时,12117x x a +-的最小值为34+C.1211x x +为定值D.当21127x x x x +=时,16a =10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点3)A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点P ，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π||2ϕ<），则下列叙述正确的是()A.6R =，π30ω=，π6ϕ=-B.当[35,55]t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C.当[10,25]t ∈时，函数()y f t =单调递减D.当20t =时，||PA =三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知样本数据1x ,2x ,…,2022x 的平均数与方差分别是m 和n ,若i i 2(i 1,2,,2022)y x =-+= ,且样本数据的1y ,2y ,…,2022y 平均数与方差分别是n 和m ,则222122022x x x +++= ________.14.已知过不同两点()222,3A m m +-，()23,2B m m m --的直线l 的一个方向向量(1,1)=a ，则实数m =_________.15.若直线l 的斜率k 的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是__________.16.商场对某种产品的广告费用支出x (元)与销售额y (元)之间的关系进行调查，通过回归分析，求得x 与y 之间的关系式为ˆ 6.517.5yx =+，则当广告费用支出为10元时，销售额y 的预报值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球, .球数构成一个数列{}n a ,满足1n n a a n -=+,1n >且*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证:121112na a a +++< .（1）求sin ABD ∠的值；（2）求ABD △的面积.19.（12分）已知函数()cos )sin f x x x =+-,在ABC △中,AB =,()f C =ABC △的面积为2．（1）求C 的值；（2）求sin sin A B +的值．20.（12分）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念,终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值.现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值.例如,在复利计息的情况下,设本金为A ,每期利率为r ,期数为n ,到期末的本利和为S ,则()1n S A r =+其中,S 称为n 期末的终值,A 称为n 期后22.（12分）已知0a >,设函数()(2)ln f x x a x x =-+,()f x '是()f x 的导函数.（1）若2a =,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点1x ,()212x x x <.①求实数a 的取值范围；②证明：()222e 2e 2a ax f x '<--.2023—2024学年郑州市高三（上）期末考试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：C解析：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由各项均为正数的等比数列{}n a 满足10986a a a +=，可得28886a q a q a +=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍）.14a =，2216m n +-∴=，6m n ∴+=，141141413()5(56662n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n m m n =，即2m =，4n =时，等号成立.故14m n +的最小值为32.故选C.2.答案：D解析：由()()223x x f x a bx -=-++,得()()223x x f x a bx --=--+,()()6f x f x -+∴=,()()62025f h f h ∴-=-=.故选：D.3.答案：D解析：由题意得122236ωπππ⨯=-，解得2ω=，易知6x π=是()f x 的最小值点，所以322()62k k ϕππ⨯+=+π∈Z ，得72()6k k ϕπ=+π∈Z ，于是77()sin 22sin 266f x x k x ππ⎛⎫⎛⎫=++π=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则557sin 2sin 1212632f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.4.答案：D解析：对于选项A：由正弦定理有sin sin sin a b c A B C ==,故sin sin a Ab B=,故选项A 错误；对于选项B ：因为sin sin a c A C=,故sin sin a C c A =,故选项B 错误；对于选项C：()cos cos A B C +=-,由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得()2222cos c a b ab A B =+++;故选项C 错误;对于选项D：由正弦定理可得sin sin a c A C=,再根据诱导公式可得：()sin sin a c A A B =+,即()sin sin a A B c A +=，故选项D 正确;故选：D 5.答案：B解析：根据两点间的斜率公式知①中2l 的斜率为2，但是不能保证12//l l ，因为有可能直线1l 与2l 重合；②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证12//l l .故选B.6.答案：A解析：由题意，得(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)P ，则(1,1,0)AB =- ，(1,0,2)AP =-，设平面PAB 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0,AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1y =，12z =，所以11,1,2⎛⎫= ⎪⎝⎭n ，故选A.7.答案：D解析：根据题意，6(3)3,7,,7n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩()n +∈N ，要使{}n a 是递增数列，必有8630,1,(3)73,a a a a -->⎧⎪>⎨⎪-⨯-<⎩即3,1,29,a a a a <⎧⎪>⎨⎪><-⎩或可得23a <<.故选D.8.答案：B 解析：由已知，得()()322632s s -=-，()()2253352226m m ∴⨯+-⨯+=，解得1m =，故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.答案：BC解析:因为方程220x ax a ++=的两个实根为1x ,()212x x x ≠,所以280a a ∆=->,解得()(),08,a ∈-∞+∞ ,由12x x a +=-,122x x a =,所以()()12,016,x x ∈-∞+∞ ,所以A 错误;则()1211123421734342171717x x a a a a a ⋅+=+=+-+++--- ,当172a =+时,等号成立,所以12117x x a +-的最小值为34+B 正确;由1212121112x x x x x x ++==-,所以C 正确;当21127x x x x +=时,()22221212121212242722x x x x x x a a a x x x x a +-+-===-=,得18a =,所以D 错误.故选:BC.10.答案：ABD解析：由题意可知60T =，所以2π60ω=，解得π30ω=，又从点3)A -出发，所以6R =，6sin 3ϕ=-，又π||2ϕ<，所以π6ϕ=-，A 正确；ππ6sin()306y t =-，当[35,55]t ∈时，ππ5π[π,]3063t -∈，则ππsin([1,0]306t -∈-，[6,0]y ∈-，点P 到x 轴的距离为||y ，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，B 正确；当[10,25]t ∈时，πππ2π[,30663t -∈，所以函数ππ6sin(306y t =-在[10,25]上不单调，C 不正确；当20t =时，πππ3062t -=，则π6sin 62y ==，且π6cos 02x ==，所以()0,6P ，则||PA ==正确.故选ABD.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.解析：分析知2223m m m +≠--，即1m ≠-且12m ≠.又由题意，得()()222231132m m m m m --=---+，所以2m =-.15.答案：0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：0k ≤< 0tan α∴≤<.又[0,)α∈π，0,3απ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.16.答案：82.5解析：x 与y 之间的关系式为ˆ 6.517.5yx =+，则当广告费用支出为10元时，销售额的预报值为6.51017.582.5⨯+=.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.答案：（1）π3A =（2）见解析解析：（1）因为1n n a a n -=+,1n >,所以1n n a a n --=,1n >,所以当1n >时,()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+()()11212n n n n +=+-+++= ,当1n =时,上式也成立,所以()12n n n a +=；（2）由()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,所以121111111112121222311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.19.答案：（1）3C =（2）32解析：（1）π()cos )sin 2cos()6f x x x x =+-=++由()f C =,得π2cos(6C +=,π2cos(06C +=()0,πC ∈ ππ7π(,)666C ∴+∈π3C ∴=.（2）由（1）知π3C =,又1sin 2ABC S ab C = △31πsin 223ab ∴=2ab ∴=由余弦定理得2222π32cos23a b ab a b ==+-+-225a b ∴+=,3a b +=由正弦定理得sin sin sin 12A B C a b c ===13sin sin ()22A B a b +=+=∴.（2）①a >;②证明见解析解析:（1）由题设()2(1)ln f x x x x =-+,则2(1)2()2ln 12ln 3x f x x x x x-'=++=-+,且0x >,所以(1)1f =,(1)1f '=,则在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-,即0x y -=.（2）①当1x >时()0f x =等价于20ln x x a x +-=,设()2ln x g x x a x =+-,则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln x x x g x x x -+-=+'=.当1x <<时()0g x '<,()g x 单调递减;当x >()0g x '>,()g x 单调递增;所以,当1x >时min ()g x g a ==,因为()f x 在(1,)+∞上存在两个不同的零点1x ,2x ,则min ()0g x <,解得a >.当a >时,取1a a x a =∈-,则1ln 11a a x x a <-=-,故()221201ln 111a a a a a x a a a g x x a a x a a a -=+->+-=>---,又2002ln 2a a g a⎛⎫=>= ⎪⎝⎭,所以()f x在和2a ⎫⎪⎭上各有一个零点,故a >.②因为()2ln 3a f x x x-'=+,所以22222()2ln 3x f x x x a x '=-+,结合()()22222ln 0f x x a x x =-+=知：()()2222222222232222a x a x f x a x a x x a a x -=-+=---+--'.设ln 1y x x =-+,则11y x'=-,在(0,1)上0y '>,在(1,)+∞上0y '<,所以y 在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减,故ln1110y ≤-+=,即ln 1x x ≤-,所以ln 1e ex x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,即ln e x x ≤,当e x =时取等号,所以e e e e e e ln e 02222e 2a a a a a f -----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭.由①知,()f x 在[)2,x +∞上单调递增,且()20f x =,所以2e 2a x -≤,即22e a x -≥.因为22()2a a t t tϕ=--+在[e,)+∞上是减函数,且22e a x -≥,所以()()22222(e)e 22e a a x f x a x ϕϕ=-≤=--+',得证.。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
河南省郑州市郑州领航实验学校2020学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
河南省郑州市郑州领航实验学校 2020 学年高二上期期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列命题结论正确的是（ ）A. 若 ，则B. 若，则C. 若 ，则D. 若 ，则【答案】C【解析】A．c≤0 时，不成立；B．举反例：取 a=﹣2，b=﹣1，c=﹣4，d=﹣3，则 ab＞cd，因此不成立；C．∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，正确；D．举反例：取 a=﹣2，b=﹣1，则 a2＞b2，因此不成立．故选：C．2. 已知命题 ：，那么下列结论正确的是（ ）A. 命题 ：B. ：C. 命题 ： 【答案】BD. ：∴：故选：B 3. 设的内角所对的边分别为 ，若A.B.C.D.【答案】C【解析】由可得：,，则角（）∴,又∴，由内角和定理可知： 故选：C4. “”是“方程表示椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件 【答案】BB. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】试题分析：方程表示椭圆可得或，所以“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件考点：椭圆方程及充分条件必要条件5. 已知数列 满足递推关系， ，则 （ ）A.B.【答案】C【解析】∵C.D.，，∴，∴ 为首项为 2，公差为 1 的等差数列，∴，即故选：C6. 若 满足，则 的最大值为（ ）A. 0 B. 3 【答案】CC. 4D. 5【解析】试题分析：由图可得在 处取得最大值，由选 C.最大值，故考点：线性规划. 【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规 划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 的最大（小）值.7. 已知 为等比数列，，则（）A. 7 B. 5 C.D.【答案】D【解析】∵ 为等比数列，∴，又∴ 是方程的两个实根，∴，或，解得：.故选：D 点睛：等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素 和 ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公 比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．8. 斜率为 1，过抛物线的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为（ ）A. 8 B. 6 【答案】AC. 4D. 10【解析】由抛物线得 x2=4y，∴p=2，焦点 F（0，1）．∴斜率为 1 且过焦点的直线方程为 y=x+1． 代入 x2=4y，消去 x，可得 y2﹣6y﹣1=0． ∴y1+y2=6．∴直线截抛物线所得的弦长为 y1+ +y2+ =y1+y2+p=6+2=8．故选 A． 点睛: 在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。
2024--2025学年河南省郑州市北师大版七年级上册 数学期中试卷 (A)
2024--2025学年河南省郑州市北师大版七年级上册数学期中试卷（A ）1.在－（－2）、|－1|、－|0|，－22，（－3）2，－（－4）5中正数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.下列各组数中，结果相等的是（）A．与B．与C．与D．与3.人类已知最大的恒星是盾牌座UY,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY 放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是()A ．143344937kmB ．1433449370kmC ．14334493700kmD ．1.43344937km4.下列选项中，两个单项式属于同类项的是（）A ．a 3与b 3B ．-2a 2b与ba2C ．x2y 与-xy2D ．3x 2y 与-4x2yz5.已知整式的值为6，则整式的值为（）A ．0B ．12C ．14D ．186.如图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是（）A．B．C．D ．7.如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（）A．B ．C ．D ．68.若，则多项式的值为（）A ．B ．5C．D ．9.如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是（）A．B．C．D．10.如图，一个立方体的六个面上分别标着连续的自然数，若相对两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为（）A．69B．75C．78D．8111.在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记作＋0.22，那么小东跳出了3.85米，记作______．12.一个棱柱有12个顶点，所有的侧棱长的和是48cm，则每条侧棱长是____cm.13.已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为_____．14.将一个边长为a的正方形纸片[如图(1)]剪去两个小长方形，得到一个如图(2)所示的“”形图案，则这个“”形图案的周长为____．15.如果关于的多项式与多项式的次数相同，则=_________.16.计算(1)(2)．17.化简，求值：，其中，．18.一个几何体由几个完全相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．(1)请画出从正面看、从左面看到的这个几何体的形状图；(2)若小正方体的棱长为1，求这个几何体的表面积．19.某种箱装水果的标准质量为每箱10千克，现抽取8箱样品进行检测，称重如下（单位：千克）：10.2，9.9，9.8，10.1，9.6，10.1，9.7，10.2．为了求得这8箱样品的总质量，我们可以选取一个基准质量进行简化运算．（1）你认为选取的这个恰当的基准质量为______千克；（2）根据你选取的基准质量，用正、负数填写下表；（超过基准质量的部分记为正数，不足基准质量的部分记为负数）原质量（千克）10.29.99.810.19.610.19.710.2与基准质量的差距（千克）（3）这8箱样品的总质量是多少？20.如图，两摞完全相同的课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中所给出的信息，回答下列问题：(1)每本课本的厚度为cm．(2)若有一摞上述规格的课本x本整齐地叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这摞课本的顶部距离地面的高度．(3)当时，求课本的顶部距离地面的高度．21.【问题情境】某综合实践小组计划进行废物再利用的环保小卫士活动．他们准备用废弃的宣传单制作成装垃圾的无盖纸盒．【操作探究】(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图(1)，图形经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒．(填A，B，C，或D)(2)如图(2)是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后与“保”字所在面相对的面上的文字是．(3)如图(3)，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华将其四个角各剪去一个边长为4cm小正方形后，折成无盖长方体纸盒．求这个无盖长方体纸盒的底面积和容积．22.某中学准备在网上订购一批篮球和跳绳，查阅后发现篮球每个售价为120元，跳绳每根售价为25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．甲网店：买一个篮球送一根跳绳；乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款．已知要购买篮球40个，跳绳x根．(1)若在甲网店购买，则需付款元；若在乙网店购买，则需付款元；（用含x的代数式表示）(2)当时，在哪家网店购买较为合算？(3)当时，你认为还有更为省钱的购买方案吗？如果没有，请说明理由；如果有，请写出你的购买方案，并计算需要付款的金额．23.已知点A，B在数轴上分别表示a，b．任务要求（1）对照数轴填写下表：a 83b 404A ，B 两点间的距离48124问题探究（2）若A ，B 两点间的距离记为d ，试问d 和a ，b 有何数量关系．问题拓展（3）当x 等于多少时，的值最小，最小值是多少?（4）若点C 表示的数为x ，当点C 在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少?。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020学年河南省焦作市高二(上)期末数学试卷(文科)
2019-2020学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合|02x A x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭„，则集合A 子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．82．（5分）设命题:1p x ∀…，516x +…，则p ⌝为( )A ．1x ∃<，516x +<B ．1x ∀…，516x +<C ．1x ∀<，516x +…D ．1x ∃…，516x +< 3．（5分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知33S =，21S =，则5(S = ) A ．52B ．5C ．10D ．204．（5分）执行如图所示的算法流程图，则输出的S 的值为( )A ．9B ．27C ．81D ．7295．（5分）某公司有240名员工，编号依次为001，002，..，240，现采用系统抽样方法抽取一个容量为30的样木，且随机抽得的编号为004．若这240名员工中编号为001~100的在研发部．编号为101210-的在销售部、编号为211~240的在后勤部，则这三个部门被抽中的员工人数依次为( ) A ．12，14，4B ．13，14，3C ．13，13，4D ．12，15，36．（5分）在区间(,)a b 上，初等函数()f x 存在极大值是其存在最大值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（5分）已知函数()2sin 2x xf x k π=++，若函数()f x 在(1,1)-上存在零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(2,2)-B ．(1,2)-C ．1(3,)2-D ．3(0,)28．（5分）已知在正方1111ABCD A B C D -体中，P ，Q 分别为11A B ，1CC 的中点，则异面直线1B C 和PQ 所成的角为( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 9．（5分）已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>与圆224x y +=恰好有2个不同的公共点，F 是双曲线C 的右焦点，过点F 的直线与圆224x y +=切于点A ，则A 到C 左焦点的距离为()A B C D 10．（5分）在ABC ∆中，D 是线段AB 上靠近B 的三等分点，E 是线段AC 的中点，BE 与CD 交于F 点，若AF aAB bAC =+u u u r u u u r u u u r，则a ，b 的值分别为( )A ．11,24B ．11,42C ．11,35D ．11,2311．（5分）欲制作一个容积为V 的圆柱形蓄水罐（无盖），为能使所用的材料最省，它的底面半径应为( )A ．VπB C D 12．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 和坐标原点O 是某正方形的两个顶点，若该正方形至少有一个顶点在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率不可能为( )A B C ．2D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）计算：cos570︒= ．14．（5分）如图．将一个圆周进行6等分1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A ，得到分点，先在从2OA ，3OA ，4OA ，5OA ，6OA 这5个半径中任意取1个，若1[0i AOA ∠∈，](2i π=，3，4，5，6)，则13sin i A OA ∠=的概率为 ．15．（5分）已知函数2()44f x x x =--．若()1f x <在区间(1,2)m m --上恒成立．则实数m 的取值范围是 ．16．（5分）已知直线0x y b -+=与曲线2y x lnx =-和曲线296y ax x a =++-均相切，则a = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设函数2()()f x x bx b Z =+∈，不等式()0f x <的解集中恰有两个正整数． （1）求()f x 的解析式；（2）若1m >，不等式()f x m „在[1x ∈，]m 时恒成立，求实数m 的取值范围． 18．（12分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*1()4n n S a n N =-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足25n T -„的n 的最小值． 19．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 0A Ba =． （1）求B 的大小；（2）若3b =，求ABC ∆面积的最大值．20．（12分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，1AC 和1BD 相交于点O ，E 为1CC 的中点． （Ⅰ）求证：//OE 平面ABCD ；（Ⅱ）若平面11BDD B ⊥平面ABCD ，求证：1D E BE =．21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>与圆O 的一个交点为3(,1)R ． （Ⅰ）求抛物线C 及圆O 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于点R ，与抛物线C 交于A ，R 两点，求OAR ∆的面积．22．（12分）已知函数2()()f x x ax lnx =+，a R ∈．（Ⅰ）若()f x 的图象在1x =处的切线经过点(0,2)-，求a 的值； （Ⅱ）当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，求a 的取值范围．2019-2020学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合|02x A x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭„，则集合A 子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8【解答】解：|0{12x A x Z x ⎧⎫=∈=-⎨⎬+⎩⎭„，0}，则集合A 子集的个数为4， 故选：B ．2．（5分）设命题:1p x ∀…，516x +…，则p ⌝为( )A ．1x ∃<，516x +<B ．1x ∀…，516x +<C ．1x ∀<，516x +…D ．1x ∃…，516x +< 【解答】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即1x ∃…，516x +<， 故选：D ．3．（5分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知33S =，21S =，则5(S = ) A ．52B ．5C ．10D ．20【解答】解：依题意，得3232S S a -==， 则15355()521022a a a S +⨯===． 故选：C ．4．（5分）执行如图所示的算法流程图，则输出的S 的值为( )A ．9B ．27C ．81D ．729【解答】解：模拟程序的运行过程，可知；1S =，1i =； 3S =，3i =； 9S =，5i =； 27S =，7i =；此时退出循环，所以输出的S 值为27． 故选：B ．5．（5分）某公司有240名员工，编号依次为001，002，..，240，现采用系统抽样方法抽取一个容量为30的样木，且随机抽得的编号为004．若这240名员工中编号为001~100的在研发部．编号为101210-的在销售部、编号为211~240的在后勤部，则这三个部门被抽中的员工人数依次为( ) A ．12，14，4B ．13，14，3C ．13，13，4D ．12，15，3【解答】解：依题意可知，被抽中的员工编号构成以4为首项，以8为公差的等差数列，通项为84(1k k -=，2，⋯，30)．由84100k -„，得*13()k k N ∈„，由10184210k -剟，得*1426()k k N ∈剟，所以被抽中的员工研发部有13人，销售部有13人，后勤部有4人，故选：C ．6．（5分）在区间(,)a b 上，初等函数()f x 存在极大值是其存在最大值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：初等函数()f x 在区间(,)a b 存在极大值推不出其在区间(,)a b 存在最大值，所以不充分；若初等函数()f x 在区间(,)a b 存在最大值，则其在区间(,)a b 必存在极大值，所以是必要的． ∴在区间(,)a b 上，初等函数()f x 存在极大值是其存在最大值的必要不充分条件．故选：B ．7．（5分）已知函数()2sin 2x xf x k π=++，若函数()f x 在(1,1)-上存在零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(2,2)-B ．(1,2)-C ．1(3,)2-D ．3(0,)2【解答】解：因为()2sin2x xf x k π=++在(1,1)-上单调递增，所以由零点存在定理得，函数()f x 在(1,1)-存在零点等价于解得132k -<<， 所以实数k 的取值范围是1(3,)2-．故选：C ．8．（5分）已知在正方1111ABCD A B C D -体中，P ，Q 分别为11A B ，1CC 的中点，则异面直线1B C 和PQ 所成的角为( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【解答】解：取11C B 的中点为R ，连接PR ，QR ．因为Q 为1CC 的中点，所以1//RQ B C ， 所以异面直线1B C 和PQ 所成角为PQR ∠或其补角．设正方体的棱长为2，经过计算可得，PR RQ PQ ===所以cosPQR ∠==所以6PQR π∠=．故选：A ．9．（5分）已知双曲线222:1(0)x C y a a -=>与圆224x y +=恰好有2个不同的公共点，F 是双曲线C 的右焦点，过点F 的直线与圆224x y +=切于点A ，则A 到C 左焦点的距离为() A ．3B ．45C ．5D ．17【解答】解：因为双曲线222:1(0)x C y a a-=>与圆224x y +=恰好有2个不同的公共点，所以24a =．因为过F 点的直线与圆224x y +=切于A 点，所以22||||||541AF OF OA =-=-=．过A 作AB x ⊥轴于B ，则||,||(55AB OB O==为坐标原点），所以A 到左焦点的距离为2224()(5)1755++=．故选：D ．10．（5分）在ABC ∆中，D 是线段AB 上靠近B 的三等分点，E 是线段AC 的中点，BE 与CD 交于F 点，若AF aAB bAC =+u u u r u u u r u u u r，则a ，b 的值分别为( )A ．11,24B ．11,42C ．11,35D ．11,23【解答】解：取AD 的中点为G ，连接GE ．由已知得//GE CD ，所以//DF EG ，又因为D 是GB 的中点，所以F 是BE 的中点，所以11111()()22224AF AB AE AB AC AB AC =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．12a ∴=，14b =． 故选：A ．11．（5分）欲制作一个容积为V 的圆柱形蓄水罐（无盖），为能使所用的材料最省，它的底面半径应为( )A ．VπB C D 【解答】解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，表面积为y ， 则由题意有2r h V π=，所以2V h r π=． 水罐的表面积2222222(0)V V y r rh r rr r r rππππππ=+=+=+>．令32222()20V r V y r r r ππ-'=-==，得r =r =所用的材料最省． 故选：C ．12．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 和坐标原点O 是某正方形的两个顶点，若该正方形至少有一个顶点在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率不可能为( )A B C D 【解答】解：如图所示，椭圆C 有1C ，2C ，3C 三种情况． 不妨设点(2,0)F ，则222244,b a e a =-=，①对于1C ，点(2,2)在椭圆上，则224414a a +=-，解得26a =±，由题知24a >，所以26a =+，则2e ==因为2=B 项符合．②对于2C ，点(0,2)在椭圆上，2,b a ==，所以e C =项符合，③对于3C ，点(1,1)在椭圆上，则221114a a +=-，解得235a =±， 因为24a >，所以235a =+，则243535e ==-+，D 项符合．故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）计算：cos570︒= 3-． 【解答】解：3cos570cos(720150)cos150cos30︒=︒-︒=︒=-︒=-． 故答案为：3-． 14．（5分）如图．将一个圆周进行6等分1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A ，得到分点，先在从2OA ，3OA ，4OA ，5OA ，6OA 这5个半径中任意取1个，若1[0i AOA ∠∈，](2i π=，3，4，5，6)，则13sin i A OA ∠=的概率为 45．【解答】解：因为1[0i AOA ∠∈，](2i π=，3，4，5，136),sin i AOA ∠， 所以11233i i AOA AOA ππ∠=∠=或， 从2OA ，3OA ，4OA ，5OA ，6OA 这5个半径中任意取1个，得到5个不同的基本事件： 12A OA ∠，13AOA ∠，14A OA ∠，15AOA ∠，16A OA ∠，其中1213151622,,,3333AOA AOA AOA AOA ππππ∠=∠=∠=∠=，根据古典概率的计算公式得1sin i A OA ∠=45． 故答案为：45． 15．（5分）已知函数2()44f x x x =--．若()1f x <在区间(1,2)m m --上恒成立．则实数m的取值范围是 [0，1)3．【解答】解：因为2()44f x x x =--， 所以2()145015f x x x x <⇔--<⇔-<<， 即解集为(1,5)-．因为()1f x <在区间(1,2)m m --上恒成立， 所以(1m -，2)(1m -⊆-，5)，所以1125m m --<-剟，且两个等号不同时成立， 所以103m <…， 故答案为：1[0,)3．16．（5分）已知直线0x y b -+=与曲线2y x lnx =-和曲线296y ax x a =++-均相切，则a =2-或8 ．【解答】解：直线0x y b -+=的斜率为1，设2()f x x lnx =-，则1()2(0)f x x x x'=->．令()1f x '=得1x =，所以直线0x y b -+=与曲线2y x lnx =-的切点为(1,1)，所以0b =． 将y x =代入296y ax x a =++-，得2860ax x a ++-=．因为直线与曲线相切，所以△644(6)0a a =--=，解得2a =-或8． 故答案为：2-或8．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设函数2()()f x x bx b Z =+∈，不等式()0f x <的解集中恰有两个正整数． （1）求()f x 的解析式；（2）若1m >，不等式()f x m „在[1x ∈，]m 时恒成立，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题可知，不等式()0f x <的解集包含1和2两个正整数， 故解集为{|03}x x <<，所以()0f x =的根为0和3， 由930b +=得3b =-， 所以2()3f x x x =-；（2）因为不等式()f x m „在[1x ∈，]m 时恒成立， 所以在[1x ∈，]m 上，()min f x m „成立， 所以f （1）m „且()f m m „， 所以2m -„且23m m m -„． 解得04m 剟．又1m >，所以14m <„，所以实数m 的取值范围为(1，4]．18．（12分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*1()4n n S a n N =-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足25n T -„的n 的最小值． 【解答】解：（1）因为1114S a =-，所以1114a a =-，所以118a =， 因为14n n S a =-，所以1114n n S a ++=- 所以111144n n n n S S a a ++-=--+ 所以11n n n a a a ++=-，易知0n a ≠，所以112n n a a += 所以数列{}n a 是首项为18，公比为12的等比数列．所以12111()822n n n a -+=⨯=．（2）由（1）得2log 2n n b a n ==--，所以22(32)552525222n n n n n n n nT T ---++==--⇔--剟，即25500n n +-…又因*n N ∈，所以可得5n …．所以满足25n T -„的n 的最小值为5．19．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 0A Ba +=． （1）求B 的大小；（2）若3b =，求ABC ∆面积的最大值． 【解答】解：（1）由正弦定理及sin 3cos 0A Ba +=， 得sin 3cos sin A BA =-， 所以tan 3B =-， 又因为(0,)B π∈， 所以23B π=． （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即229a c ac =++， 因为22923a c ac ac ac ac =+++=…，所以当且仅当3a c ==时，ac 取得最大值3． 此时，ABC ∆的面积133sin 2S ac B ==，所以ABC ∆的面积的最大值为33． 20．（12分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，1AC 和1BD 相交于点O ，E 为1CC 的中点． （Ⅰ）求证：//OE 平面ABCD ；（Ⅱ）若平面11BDD B ⊥平面ABCD ，求证：1D E BE =．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接AC ．因为11//AB C D ，11AB C D =，所以1AC ，1BD 相互平分，所以O 为1BD 和1AC 的中点．又因为E 为1CC 的中点，所以OE 为1ACC ∆的中位线，所以//OE AC ． 又因为OE ⊂/平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以//OE 平面ABCD ．（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．因为平面11BDD B ⊥平面ABCD ，平面11BDD B ⋂平面ABCD BD =，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面11BDD B ．因为1BD ⊂平面11BDD B ，所以1AC BD ⊥． 又因//OE AC ，所以1OE BD ⊥． 因为1OB OD =，所以1D E BE =．21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>与圆O 的一个交点为3(,1)R ． （Ⅰ）求抛物线C 及圆O 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于点R ，与抛物线C 交于A ，R 两点，求OAR ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C 与圆O 的一个交点为3(,1)R ， 所以23()21p =g ，所以123p =，即抛物线C 的方程为213x y =． 设圆O 的方程为222(0)x y r r +=>，所以2223()1r +=， 所以243r =，即圆O 的方程为2243x y +=． （Ⅱ）由题意得33oR k ==．因为AR 是圆O 的切线，所以OR AR ⊥，所以3AR k =-． 所以直线AR 的方程为331()y x -=--，即343y x =-+． 由343y x =-+与213x y =联立消去y 得29340x x +-=，则△1470=>． 设点A 和点R 的横坐标分别为A x ，R x ． 则3A R x x +=-，49A R x x =-． 所以2223231614||1()||()4()399933A R A R A R AR x x x x x x =+--=+-=-+=g g ． 所以OAR ∆的面积1114143||||2293S AR OR ==⨯⨯=g ．22．（12分）已知函数2()()f x x ax lnx =+，a R ∈．（Ⅰ）若()f x 的图象在1x =处的切线经过点(0,2)-，求a 的值；（Ⅱ）当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞．()(2)f x x a lnx x a '=+++，则f '（1）1a =+． 又因为f （1）0=，所以切点为(1,0)． 所以02110a +=+-， 解得1a =．（Ⅱ）当21x e <<时，02lnx <<． 由22()x ax lnx x +<可得xa x lnx <-． ()xg x x lnx=-，则2221()1()1()()lnx lnx lnx g x lnx lnx --+'=-=-． 因为2213()1()024lnx lnx lnx -+=-+>，所以()0g x '<．所以()g x 在2(1,)e 上单调递减，从而22()()2e g x g e >=-．要使原不等式恒成立，即()a g x <恒成立，故22e a -…．即a 的取值范围为2(,]2e -∞-．。
河南省郑州市2013-2014高二上期期末数学(文科)试题解析(必修5+选修1-1)
郑州高二文科上期期末试题解析 版权文档，禁止再次上传高二文科数学第 页 （共 9 页） 1 郑州市2013-2014上期期末考试高二数学（文科）试题解析郑州二中 高中伟第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若,x y R ∈，则,1x y ≤是221x y +≤成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由,1x y ≤显然不能推出221x y +≤；而由221||1,||1,1x y x y x y +≤⇒≤≤⇒≤．2．已知抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离为5，则点P 到焦点的距离为A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【解析】由抛物线的定义可知：点P 到焦点的距离为455722p +=+=． 3．函数sin x y x e =+的图象上一点(0,1)处的切线斜率为A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】B【解析】本题主要考查导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数值等于曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率，即00'|'()x x k y f x ===．所以，函数sin x y x e =+的图象上一点(0,1)处的切线斜率为00'|(cos )|2xx x k y x e ====+=．4．设数列}{n a ，{}n b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=A ．35B ．38C ．40D ．42 【答案】A。