图论基本概念

图的矩阵表示
权矩阵W = (wij ) n×n
w vi v j , w ij 0, , vi v j E i j vi v j E
例:写出右图的权矩阵：
解：
0 W 3 4
6 0
7 0 5
8 2 0
哥尼斯堡
(K nigsberg ) o
七桥问题
是否可以 一笔画?
C
(Euler, 1736)
C
A
D
A
D
B
B
右图是否存在经过每条边恰好一次的回路，即是否为 Euler 图？
化学药品存放问题 某单位需要存放一些化学药品，其中某些药品不能放 在同一个库房里，问至少需要几个库房？
用点表示药品，在不能放在同一个库房的两种药品之 间连边。需要几个库房等价于需要用几种颜色给图的 点着色可以使得相邻的点有不同的颜色。
可以用 V 或 E 表示图 G 的顶点数和边数。
点 v 的度数：与 v 相连的边的条数，记作 d(v) 。
与顶点v出关联的边的数目称为出度，记作d +(v), 与顶点v入关联的边的数目称为入度，记作d -(v)。
命题：图的所有点的度数之和等于边数的两倍，即
vV deg(
H H C H
v) 2 | E | 。
的相邻顶点，到（0,0,0,0）终止，得到有向图即是。
图论的基本概念
例2、证明：在任意6人的集会上，总有3人互相认 识，或总有3人互相不认识。
解：以顶点表示人，以边表示认识，得6个顶点 的简单图G。 问题：3人互相认识即G包含K3为子图， 3人互相不认识即G包含（3,0）图为子图。
图论的基本概念
1 0 0 1
1 0 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
图论的基本概念
用图论思想求解以下各题 例1、一摆渡人欲将一只狼，一头羊，一篮菜从 河西渡过河到河东，由于船小，一次只能带一物
过河，并且，狼与羊，羊与菜不能独处，给出渡
河方法。
图论的基本概念
解： 用四维0-1向量表示（人，狼，羊，菜）的在西岸 状态，（在西岸则分量取1，否则取0.） 共24=16种状态， 由题设，状态（0,1,1,0）,(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不 允许的， 从而对应状态（1,0,0,1），(1,1,0,0),(1,0,0,0)也是 不允许的，
2、这 3点至少 2 点不相邻，则
x1 x2 x3 y1 y2 y3
需要 3 种颜 色给边着色
使得相邻的边有
不同的颜色。
x4
图的基本概念
一个有序二元组 (V, E ) 称为一个图, 记G = (V, E ), 其中 ① V或V(G)称为G的顶点集, V≠Φ , 其元素称为顶点 或结点, 简称点;
② E或E(G)称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无向 边, 否则, 称为有向边.
任取 v V G , 则有两种情况：
1 v 至少与另外
3 个顶点相邻，这又包含
两种情况：
1、这 3点互不相邻，则
G 包含 3 , 0 图为子图。 G 包含 K 3为子图。 3 个顶
2、这 3点至少 2 点相邻，则 （ 2） v 至多与另外 2 个顶点相邻
(即至少与另外
点不相邻 )。这又包含两种情况： 1、这 3点两两相邻，则 G 包含 K 3图为子图。 G 包含 3 , 0 为子图。
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数 学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些 事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物， 用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的 特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。 图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提 供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方 法，可以对该模型求解。 哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥 尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河 岸联结起来。问题是要从这四块陆地中的任何一块 开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
v3
v5
v6
v8
迹 v 1 v 2 v 4 v 5 v 3 v 4 v 6 v 7 的长度为 7 闭迹
v2v4v5v6v4v3v2
的长度为 6
v1
v2
v4
v7
圈
v2v4v5v3v2
的长度为 4
命题：若点 v 与 v 之间有Walk，则点 v 与 v 之 间必有Path。
在图 G 中，若点 u、v 之间有路，则称 u、v 连通。若
图的矩阵表示 关联矩阵A = (aij )n×m
1, 若 v i 是 e i的始点 a ij 1, 若 v i 是 e i的终点 0 , 若 v 与 e 不关联 i i
有向图：
无向图：
1, 若 v i 与 e j 关 联 a ij 0, 若 v i 与 e j 不 关 联
人在河西： （1,1,1,1） （1,1,1,0） （1,1,0,1） （1,0,1,1） （1,0,1,0） 人在河东： （0,1,0,1） （0,1,0,0） （0,0,1,0） （0,0,0,1） （0,0,0,0） 以十个向量作为顶点，将可能互相转移的状态
连线，则得10个顶点的偶图。
问题：如何从状态（1,1,1,1）转移到（0,0,0,0）？ 方法：从（1,1,1,1）开始，沿关联边到达没有到达
一个图 G =(V ,E) 由一些点及点之间的连线（称为边） 构成，V、E 分别记 G 的点集合和边集合。
v1 v5 v4 v2
V
v1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5
v3
{ v 1 , v 2 }, { v 2 , v 3 }, { v 3 , v 4 } E { v 4 , v 5 }, { v 1 , v 5 }
a c e g b
d f
图中的 7 种药品需要 3 个库房，例 如 {a , b , e}，{c , d , g}，{ f } 各放一 个库房。
排课表问题 有 m 位教师 x1, …, xm 和 n 个班级 y1, …, yn ，教师 xi 需要给班级 yj 上 wij 节课，试编制一张课表使得课时 尽量少。 构造图 G = (V , E )，其中 V = { x1, …, xm , y1, …, yn } , 点 xi 与 yj 之间连有 wij 条边。 给 G 的边着色，
边的权之和。
最短路问题：求赋权图上指定点之间的权最小的路。
图的矩阵表示
邻接矩阵 A = (aij )n×n ,
1, v i v j E a ij 0, viv j E
例:写出右图的邻接矩阵： 解：
0 0 A 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0
例. 碳氢化合物中氢原子的个数为偶数。
H H H C H C H H H C C C H C C H H
H
C
两个图 G =(V ,E) 和 G
E 有
VV,
则称 G 是 G 的子图。
若G 是G 的子图，且V =V，则称G 是G 的生成子图。
G 的任何两点之间有路，则称 G 是连通图。 G 的极大连通子图称为连通分支。
有三个连通分支 u w
若删去某条边 e 之后图 的连通分支数增加，则 称 e 为割边或桥； 若删去某个点 v 及相连 的边后连通分支数增加， 则称 v 为割点。
e
v e 为割边 u、v、w 皆为割点
简单图： 任何一条边连结 两个不同的点， 任何两个点之间 至多有一条边的 图。
图的矩阵表示 例:写出右图与其基本图
的关联矩阵 解：分别为：
1 1 A 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1
1 1 A 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
自环
多重边
该图非简单图
完全图： 任何两个点之间都有边相连的简单图。 n 个点的完全图记作 Kn 。
K3
K4
K5
二分图： 点集 V 能划分成两个子集 X、Y，使得每条 边的两个端点分别属于 X 和 Y 的图。 二分图 G 也记作 G = (X, Y, E ) 。 称 G = (X, Y, E ) 为完全二分图，若 X 中的每个点和Y 中的每个点之间皆有边相连，记作
G
G'
G''
G' 和 G'' 都是 G 的生成子图。
图 G 的一条点与边的交替序列 P v 0 e 1 v 1 e 2 v 2 e k v k 称为链，其中 e i { v i 1 , v i } ( 1 i k ) .
边数 k 称为链P 的长度。 当 v0 = vk 时，称 P 为闭链。边不重复的链称为迹。点 不重复的链称为路， v0 = vk 的回路称为圈。
≌
v1 v3 v5 v2 在图的概念中，点的空间位置、 边的曲直长短都是无关紧要的， 重要的是其有几个点以及哪些点 之间有边相连。
v4
如果用点表示要研究的对象，则图的边可以用来反映 对象之间是否存在某种关系。 用点表示人，边表示两个人是否互相认识；
在地区公路图中，用点表示城市，边表示城市之间是 否有公路直接相连； 在分子结构图中，用点表示原子，边表示原子之间是 否存在化学键； ……
K | X | , |Y |
。
K1, 3
K2, 3
K3, 3
命题：图 G 是二分图当且仅当 G 中不存在长度为 奇数的圈 。
在图 G = (V , E ) 的边集上定义权函数 w : E R 后就 得到一个赋权图，记为 G = (V , E , w) 。 对于赋权图，路的长度（即路的权）通常指路上所有