微积分在概率论中的应用

微积分在概率论中的应用

摘要针对概率论为微积分的后续课程这样一个教学实际，分析两门课程之间的关系，研究微积分对概率论的渗透作用，通过实例等方法说明了微积分在概率论中的几点应用。

关键词:集合，函数，随机变量，分布函数，积分，微分

微积分与概率论是两门非常重要的数学学科，均是高等学校理工专业的必修课程，为后续专业课提供必要的数学工具。虽然两者发展路径不太一样，但两者间确有着密切的关系，可以说微积分是概率论的地基，概率论是微积分的延续，大学课程里也是先开设微积分，后开设概率论，所以进一步揭示微积分在概率论中的渗透，并将微积分的思想与方法巧妙的应用到概率论的中去，是我们值得关注的问题，本文将从几个方面阐述微积分在概率论中的应用。

1：集合在概率论中的应用

勒贝格积分建立了测度论与集合论之间的关系，从而有了概率论，而集合论与微积分之间是源和流的关系，可以说是微积分加速推动了概率论的形成。

概率论的主要研究对象是随机试验，随机试验的结果不唯一，把其所有结果组合在一起就构成了一个集合，也就是样本空间，我们关注的随机事件便成了这个集合的子集，本质上还是集合，后面便顺理

成章的用集合间的关系与运算来处理事件间的关系与运算，早期数学家们研究的古典概型也是有限集合的应用，集合论的渗透使得概率论得到了突飞猛进的发展。

2：函数在概率论中的作用

概率论中无处不渗透着微积分中的函数思想

2.1：随机事件是一个集合，事件发生的概率就是定义在事件集上的一个集函数

2.2：随机变量是定义在样本空间上的一个集函数，是概率论最重要的概念之一，它实现了从样本空间到实数的一个过渡，从某种程度上结束了概率的古典概型时代，把概率论推上了更加宽广的道路

概率，随机变量，分布函数与概率密度都是函数，在这些对应关系下，概率论的研究道路越走越顺畅，这也是微积分对概率论起到的至关重要的作用。

3：积分、微分在概率论中的作用

因此，概率论中连续型随机变量的相关问题从某种程度上转为了

微积分问题，比如，连续型随机变量的概率，数学期望，方差等定义及其计算全部用微积分解决。

4：微积分的计算方法在概率论中的作用

概率论的很多问题均转化为微积分问题，所以一些微积分计算方法便在概率论中得到了应用，现举例说明。

5：微积分在概率论中的其它一些应用

5.1：分布函数的性质：看似两个简单的结论，其实严格证明还得用到微积分的极限问题；概率论中的大数定律与中心极限定理用到的也是微积分中的极限.

5.2：概率论中多维连续型随机变量的函数的概率分布是一个难点，但引入合适的雅可比行列式可以将复杂的问题简单化。

微积分有着几百年的历史，已经非常完善，也许这也是为什么数学家们用微积分解决概率论问题的原因之一，微积分确实推动了概率论这门学科的快速发展。反之，概率论的很多思想也可以用于解决复杂的微积分问题，希望我们可以发现更多的方法，用于两者的共同发展。

参考文献

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