第五章概率与正态分布
03第五章_概论及概论分布
自数据分布中相对位置的高低。
计算不同质的观测值的总和或平均值，以
表示在团体中的相对位置。
当研究需要合成不同质的数据时，如果已知这 些不同质的观测值的次数分布为正态，这时可采用 Ｚ分数来计算不同质的观测值的总和或平均值。
表示标准测验分数
经过标准化的心理和教育测验，常常
种数学模型计算出的概率分布。
３、基本随机变量分布与抽样分布
依所描述的数据的样本特性，可将概率分
布分为基本随机变量分布与抽样分布 （sampling distribution）。
基本随机变量分布是随机变量各种不同取
值情况的概率分布，抽样分布是从同一总体 内抽取的不同样本的统计量的概率分布。
二、二项分布
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和即四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题其概率应为抽到第一题的概率的乘积即20个黑球共50个球中随机抽取两次放回抽样问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少
第五章
概率及概论分布
一、概率的一般概念
1.概论的定义
后验概率（或统计概率）
率之和，即
0 0 6 1 5 2 2 4 P P P C p q C p q C p q ( 0) 1 2 6 6 6
3 2 3 2 6 15 5 5 5 5
6
m n
（5．2）
2．概率的公理系统
（1）任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间 的正数，即 0 ≤ P（A）≤1 （2）不可能事件的概率等于零，即 P（A）= 0 （3）必然事件的概率等于1，即 P （A ）= 1
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它在自然界和人类社会中广泛存在，被用于描述各种现象的分布规律，从而对数据进行分析和预测。
本文将详细介绍正态分布的定义、性质以及应用。
一、正态分布的定义和性质正态分布是一种连续型的概率分布，可以通过其概率密度函数来描述。
这个函数的图像呈现出钟形曲线，其形状对称轴对称，且在均值处达到最大值。
正态分布的概率密度函数可由以下公式表示：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
正态分布具有以下重要的性质：1. 对称性：正态分布的概率密度函数相对于均值呈现对称性，即左右两侧的曲线形状相同。
2. 峰度：正态分布的峰度为3，表示其曲线相较于正态分布的峰度更加平坦。
3. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，所得的正态分布称为标准正态分布。
标准正态分布在统计学中具有重要的作用，经过适当的转换，可以将任何正态分布转化为标准正态分布。
二、正态分布的应用正态分布在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 统计推断：由于正态分布具有丰富的性质和可靠的统计特征，在统计学中得到了广泛应用。
通过对观测数据的分析，可以利用正态分布进行参数估计和假设检验，从而得到关于总体的推断结果。
2. 质量控制：正态分布在质量控制中有着重要的应用。
例如，在生产过程中，通过对产品质量数据的测量和分析，可以使用正态分布来确定产品是否合格以及如何调整生产过程，以确保产品符合规定的质量标准。
3. 金融市场：正态分布在金融领域中的应用广泛而重要。
许多金融市场价格变动的模型都基于正态分布。
例如，根据正态分布模型，可以计算股票价格的变动概率，评估投资风险，并进行资产配置和风险管理。
4. 人口统计学：正态分布在人口统计学中的应用主要用于研究人口特征和人口变化规律。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
概率分布中的均匀分布与正态分布
概率分布中的均匀分布与正态分布在我们探索和理解这个充满不确定性的世界时，概率分布就像是一把神奇的钥匙，帮助我们解开许多复杂现象背后的谜题。
在众多概率分布中，均匀分布和正态分布是两个非常重要且具有代表性的类型。
均匀分布，顾名思义，就是在某个范围内，每个值出现的概率是相同的。
想象一下，你有一个长度固定的线段，从 0 到 10 。
在这个线段上，每个点被选中的可能性都一样。
这就好比是随机地在这个线段上扔一个飞镖，无论飞镖落在哪个位置，其概率都是相等的。
均匀分布在实际生活中有不少应用。
比如说，在一个特定时间段内，公交车的到达时间可能是均匀分布的。
假设每 10 分钟会有一辆公交车到达，那么在这 10 分钟内的任何一个时刻，公交车到达的概率都是相同的。
再比如，抽奖活动中的号码选择，如果是完全随机且没有任何偏向性，那么每个号码被抽中的概率也可以看作是均匀分布。
均匀分布的概率密度函数是一个常数。
对于区间a, b 上的均匀分布，概率密度函数 f(x) 就等于 1 ／（b a) ，只要 x 在 a, b 这个区间内，否则 f(x) 就等于 0 。
接下来，我们聊聊正态分布。
正态分布又被称为高斯分布，它的形状就像一个钟形曲线，中间高，两边逐渐降低并且对称。
正态分布在自然界和社会现象中极其常见。
比如说，人们的身高、体重、考试成绩等等，往往都近似地服从正态分布。
为什么会这样呢？这是因为很多因素共同影响着这些变量，当这些因素相互独立并且作用大致相同的时候，最终的结果就会呈现出正态分布的特征。
正态分布有两个重要的参数，均值μ 和标准差σ 。
均值决定了曲线的中心位置，也就是分布的中心；标准差则决定了曲线的宽度和扁平程度。
标准差越小，曲线就越“瘦高”，表示数据更加集中在均值附近；标准差越大，曲线就越“矮胖”，数据的分散程度就越大。
在实际应用中，正态分布的用处非常广泛。
例如，在质量控制中，产品的某个质量指标如果服从正态分布，那么我们可以根据均值和标准差来判断产品是否合格。
第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
概率分布的正态分布与标准化
概率分布的正态分布与标准化正文：概率分布的正态分布与标准化概率分布是概率论中的重要概念，它描述了某个随机变量在不同取值下的概率分布情况。
而正态分布是一种常见的概率分布形式，它在统计学和自然科学领域具有广泛的应用。
本文将对正态分布进行介绍，并讨论与其相关的标准化方法。
一、正态分布的定义与特点正态分布又称为高斯分布，它的概率密度函数具有以下形式：f(x) = (1/(σ√(2π))) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))其中，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的特点如下：1. 正态分布是一个钟形曲线，呈现对称性，左右两端的概率较小，中间部分的概率较大。
2. 均值决定了正态分布的位置，标准差决定了正态分布的形状。
3. 68%的数据位于均值附近的一个标准差范围内，95%的数据位于两个标准差范围内，99.7%的数据位于三个标准差范围内。
二、正态分布的应用由于正态分布具有较好的性质和广泛的应用，因此被广泛应用于各个领域。
以下是正态分布在统计学和自然科学领域中的一些应用：1. 统计学分析：许多统计学方法假设数据服从正态分布，如t检验、方差分析等。
2. 财务分析：股票价格变化、货币汇率波动等现象一般服从正态分布。
3. 生物学研究：身高、体重、智力水平等人体特征往往具有正态分布。
4. 工程领域：产品质量、机械故障率等参数可以用正态分布进行建模。
三、正态分布的标准化在实际应用中，为了更好地利用正态分布的性质，常常需要对其进行标准化处理。
标准化可以将不同均值和标准差的正态分布转化为具有均值为0、标准差为1的标准正态分布。
标准化的方法如下：1. Z分数标准化法：对于给定的随机变量X，其标准化后的变量Z可以通过以下公式计算：Z = (X - μ) / σ其中，μ是原始数据的均值，σ是原始数据的标准差。
标准化后，Z的均值为0，标准差为1，可以直接用于比较和分析。
2. 标准正态分布表：标准正态分布表是根据标准正态分布计算出来的，可以用于计算标准化后的分布中某个区间的概率值。
第五章概率与正态分布
合计
1000
相对密度
0.003 0.021 0.090 0.295 0.330 0.201 0.054 0.005 0.001 1
正态概率分布（正态分布）
f (x)
密 度
f (x)
1
(x)2
e 2 2
2
( x )
68.3％ 95.4％
99.7％
3 2 2 3
（1）前20名，在所有参赛者中的位置是前10％ 设最低分数点为b，则b点右侧的概率是0.1 b点标准分数对应的P 值是0.5-0.1＝0.4 查正态分布表得b点的Z分数为1.28，根据Z分数 的公式转换求得b点分数为78.54分。
（2）某生得80分，则其Z 分数为1.44 查表Z＝1.44时，P=0.42507 那么等于和高于该生的人数比率为 0.5-0.42507＝0.07493 具体人数＝200×0.07493＝15（人）
正面向上 次数
2048 6019 12012
频率
0.5069 0.5016 0.5005
50粒不同颜色的石子放入一只瓶子并且完全 混合在一起，石子中有25粒蓝色，20粒绿 色和5粒红色。如果闭上眼睛从瓶子中取出 一粒石子，计算以下概率：
（1）P(红色石子)
（2）P(蓝色或红色石子)
在某大城市一家医院的产房，去年出生1060个男婴 和1000个女婴，假设这些数据表示了全部出生情 况，在该医院下一个出生的婴儿是男婴的概率是 多少？是女婴的概率是多少？
• 在随机现象中还有不少样本点本身不是数，这时可根据研究需 要设计随机变量。
– 检查一个产品，只考察合格与否，则其样本空间为{合格品，不合
样本点
X的取值
格品合格}，品这时可设计一个随机变0量X如下：
正态分布的概率密度与分布函数修ppt
(30 20) ( 30 20)
40
40
(0.25) (1.25)
(0.25) [1 (1.25)]
0.5987 (1 0.8944) 0.4931.
所以, 在三次测量中至少有一次误差得绝对值不超过
30m 的概率 p 1 (1 0.4931)3 0.8698.
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
[例3] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落
在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,.
解:
P( X k ) P( k X k )
( k ) ( k )
(k) (k)
[例2] 已知某机械零件的直径 (mm)服从正态分布 N (100 ,0.62 ) , 规定直径在 100 1.2(mm) 内为合格品. 求这种机械零件得不合格品率、 解: 设随机变量 X 表示这种机械零件的直径(mm) , 则X ~ N (100 ,0.62 ) ,按题意, 不合格品率为
P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
特别，当 0, 1时称 X 服从标准正态分布. 记为:
X ~ N (0 ,1).
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
正态分布得概率密度与分布函数
正态分布N ( , 2 )的概率密度 f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线得特征:
1
2
1.关于直线 x 对称；
2.在 x 处达到最大值；
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
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图5.6 运用标准正态分布曲线解题（一）
解：已知 X 85, 10, X甲 70
学生甲的标准分数 Z X甲 X 70 85 1.5
10
查正态分布表， Z 1.5,则P 0.433319 ;
所以Z 1.5左侧的面积为0.5 0.433319 0.06681 200 0.06681 13(人) 答：全年級中比甲生成绩低的人数约为13人。
解：
P(是非题)＝ 2 9
P(选择题)＝ 6 9
P(是非题或选择题)＝ 2 6 8 0.89 99 9
• 概率的两个基本法则
– 乘法法则：两个相互独立事件A、B同时发生的概率 等于两个事件分别发生的概率的积。
P(A B) P(A)P(B)
相互独立事件：一个事件的发生概率与另一个 事件的发生与否无关。
相对密度
0.003 0.021 0.090 0.295 0.330 0.201 0.054 0.005 0.001 1
正态概率分布（正态分布）
f (x)
密 度
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
( x )
68.3％ 95.4％
99.7％
x
3 2 2 3
连续随机变量（X） 图5.2 正态分布曲线
• 已知某省有86582名考生参加1998年全国 普通高校招生入学数学考试，总体成绩服 从均值为66分、标准差为19.79分的正态分 布，试问下列范围内的人数有多少？
（1）60－72分；
（2）72分以上。
推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
• 某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10分， 要择优录取25％的学生进入高一级学校学 习，问最低分数线应是多少分？
• 答：择优录取25％的人的话，最低分数线应为86.7 分。
• 某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛 学生200人，平均分66.78分，标准差为 9.19分，（1）若表彰前20名竞赛优胜者， 其最低分应是多少？（2）某生若得80分， 他在参赛者中排列第几名？
• 分析：已知N=200, X 66.78, 9.19
P( A) K N
• 关于两种概率的理解
抛一枚硬币，落地时正面朝上的概率是多少？
先验概率： P( A) K 1 0.5 N2
经验概率： 大数定律：试验次数越大，P(A)的相对频率估计越好。
表 5.1 抛一枚硬币正面向上的概率统计表
试验次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
• 随机事件：随机现象的各种可能结果（也 称为“事件”，用大写字母A，B，C等表 示）
– 基本事件：不能分解的 – 复合事件：可分解的
事件的概率
• 1.频率 事件发生的概率与频率有关。对于随机事件A， 如果在N次试验中出现a次，则A发生的频率记作
•
F（A）=a/N
• 频率满足不等式0F（A） 1
事件的概率
标准正态曲线下面积的应用
• 使用前提：
– 随机变量（X）服从或近似正态分布，其标准 化后的变量（Z）才能服从标准正态分布，才能 应用正态分布表（标准正态分布曲线）的规律 进行概率的计算。
• 解题关键
– 画出正态分布曲线示意图 – 注意题意转换成Z、P
推求考试成绩特定区间内的人数
• 已知某年级200名学生考试成绩呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲的 成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低的 学生人数是多少？
标准正态分布表中各变量的含义
表 5.4 标准正态分布表中各变量的说明
Z 横轴坐标
原始变量（Xi）取值转换后的标准
分数（Zi）
Y 纵轴高度
某一点取值（Zi）所对应的概率密
度（相对频次，Yi）
P （0，Zi）两点间 取值界于区间（0，Zi）的概率
曲线下的面积
• 已知下列Z值，查表求P值。
– （1）Z＝-1与Z＝1之间的概率 – （2）Z＝-2与Z＝2之间的概率 – （3）Z＝-3与Z＝3之间的概率 – （4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率 – （5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率
10％
b 图5.7 运用标准正态分布曲线解题（二）
• 设X是一个随机变量，对任意实数x，称
•
F（x）=P（X<=x）
• 为随机变量X的分布函数。
• 离散型随机变量
– 随机变量X只取有限或可列无穷多个值。
– 例：某学生做一道正误判断题，做对记１分， 做错记０分。他在这道题的得分为随机变量X
• 连续型随机变量
– 随机变量X可以取无限的且是不可列的值。
（1）前20名，在所有参赛者中的位置是前10％ 设最低分数点为b，则b点右侧的概率是0.1 b点标准分数对应的P 值是0.5-0.1＝0.4 查正态分布表得b点的Z分数为1.28，根据Z分数 的公式转换求得b点分数为78.54分。
（2）某生得80分，则其Z 分数为1.44 查表Z＝1.44时，P=0.42507 那么等于和高于该生的人数比率为 0.5-0.42507＝0.07493 具体人数＝200×0.07493＝15（人）
• 两道四选一题，凭猜测做对一题的概率是 多少？3/8
• 设第一题做对为事件A，做错为事件 A ，第 二题做对为事件B，做错为事件 B ，做对第 一题的概率为 P AB ,做对第二题的概率为
P AB
正态分布
• 随机变量 • 正态分布特点(标准正态分布) • 正态分布表 • 正态分布曲线下面积的应用
P(男婴) a ＝1060＝0.51 N 2060
P(女婴) a 1000 0.49 N 2060
• 概率的性质
(1)任何随机事件的概率都是不小于零且不大于１的
数。 0 P( A) 1
(2)不可能事件的概率等于零。
(3)必然事件的概率等于１。
(4)两个互逆事件（对立事件）的概率之和等于１， 逆事件的概率
随机变量：随机现象的函数化
• 随机变量：表示随机现象结果的变量
• 在随机现象中有很多样本点本身就是用数量表示的，由于样本 点出现的随机性，其数量呈现为随机变量。
– 掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量
– 每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数U；顾客排队等 候付款的时间V。Y,U,V是三个不同的随机变量。
• 连续型随机变量的概率分布
– 连续型随机变量X有无限多个可能的取值，那么 任何一个特殊值的概率都是0。
– 由于X的取值是不可数的，则对应的概率密度也 是不可数的。
– 连续型概率分布不能表示为列表的形式，只能 表示为连续型的曲线或者该曲线的函数表达式
– 连续型分布不能计算某一点的概率，只能计算 两点间的概率，以曲线下的面积表示。
P( A) 1 P( A)
(5)小概率事件，P(A)<0.05
• 概率的两个基本法则
– 概率的加法法则：两个互不相容事件A、B之和的概 率等于两个事件分别发生的概率之和。
P(A B) P(A) P(B)
互不相容事件：一次试验中不可能同时出现的事件 称为互不相容事件。
在9道试题中，有6道选择题，2道是非题，1道填空 题，随机抽出一道题为是非题或选择题的概率是 多少？
– 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为 随机变量Y
• 概率分布
– 随机变量各取值的概率构成的分布
某学生参加一次数学竞赛，共回答三个问题，求该生答 对题数的概率分布。
表 5.2 概率分布表
X
0
1
2
3
Pi
1/8
3/8
3/8
1/8
考虑全班153位同学体重的概率分布，若体重 以千克为单位，可以精确到无限小数位，你 能否列表显示各种取值的概率？
– 曲线是以过Z=0的纵线为对称轴，两侧横坐标绝对值相等的对应点高度 相等，对应的曲线下面积相等。
– 标准正态分布的平均数、中数、众数三点重合在Z=0这一点上。 – 曲线与对称轴交点处Y值最大，即此处观测值的相对次数最大，概率最大；
正态分布表
• 根据标准正态分布曲线的函数公式进行计 算编制而成的。通过Z值可查Y值或P值， 也可通过P值查Z值。
正面向上 频率 次数
2048
0.5069
6019
0.5016
12012 0.5005
50粒不同颜色的石子放入一只瓶子并且完全 混合在一起，石子中有25粒蓝色，20粒绿 色和5粒红色。如果闭上眼睛从瓶子中取出 一粒石子，计算以下概率：
（1）P(红色石子)
（2）P(蓝色或红色石子)
在某大城市一家医院的产房，去年出生1060个男婴 和1000个女婴，假设这些数据表示了全部出生情 况，在该医院下一个出生的婴儿是男婴的概率是 多少？是女婴的概率是多少？
第五章 概率与正态分布
• 概率基本知识
– 随机事件 – 概率的两个基本法则
• 正态分布
– 随机变量 – 正态分布特点(标准正态分布) – 正态分布表 – 正态分布曲线下面积的应用
概率基本知识
• 随机现象与确定性现象
– 抛硬币，落地时，正面向上。 – 掷一粒骰子，掷出７点（不可能事件）。 – 向空中抛一块石头，落到地上（必然事件）。
• 利用正态分布表求：
– （1）正态曲线下Z＝1.34处左侧的面积 – （2）正态曲线下Z＝2.16处右侧的面积 – （3）正态曲线下Z＝-1.64处左侧的面积 – （4）正态曲线下Z＝-1.5处右侧的面积
• 利用正态分布表求：
– （1）中央50％的面积的下限Z值和上限Z值 – （2）正态曲线下右尾20％的面积的下限Z值 – （3）正态曲线下左侧30％的面积的上限Z值
25％
a
图5.7 运用标准正态分布曲线解题（二）