北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共5套)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（ ） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数 6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
11. 函数)11(log )(2x xx f +-=的定义域为_______________。
12. 函数)0(13)(2>++=x x x xx f 的值域为____________。
13. 定义：函数][)(x x f =（其中][x 表示不超过x 的最大整数），如]6.1[)6.1(=f ＝1，3]4.2[)4.2(-=-=-f ，则)81(lg f ＝____________。
14. 已知函数⎩⎨⎧>-≤=3),1(3,2)(x x f x x f x ，则)3log 2(2+f ＝___________。
15. 能说明“若)1()(f x f >对任意的]3,1(∈x 都成立，则)(x f 在]3,1[上是增函数”为假命题的一个函数)(x f ＝_________________。
16. 设函数)(x f 的定义域为D ，如果对任意的D x ∈1，存在D x ∈2，使得m x f x f =+2)()(21（m 为常数），则称函数)(x f 在D 上的算术平均数为m 。
请写出函数x x f 2log )(=在区间]16,4[上的算术平均数m ＝_____________。
三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17、计算 （1）844531)2(16001.0++-（2）353335log 8log 932log 2log 2-+- （3）33213log ln 21lg 25lg 165lg 8log 42e -⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-18. 已知函数223x x y --=的定义域为集合A ，B ＝}0,012|{22>≤-+-m m x x x 。
（1）若3=m ，求B A C R ； （2）若B A ⊆，求m 的取值范围。
19. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当0≤x 时，x x x f 4)(2+=。
（1）求出f （x ）的解析式，并直接写出f （x ）的单调区间； （2）求不等式f （x ）>3的解集。
20. 已知函数xxx f 2121)(+-=。
（1）判断函数f （x ）是否具有奇偶性？若具有，请给出证明，若不具有，请说明理由。
（2）试用函数的单调性的定义证明：f （x ）在R 上是减函数。
21. 已知二次函数21)24(2)(2+--=x k x x f 。
（1）若方程0)(=x f 的两个根21,x x 满足121<<x x ，求k 的取值范围。
（2）当0=k 时，求)(x f 在区间]1,2[+a a 上的最值。
22. 对于函数)(x f y =与常数b a ,，若b x af x f +=)()2(恒成立，则称),(b a 为函数)(x f 的一个“P 数对”，设函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且3)1(=f 。
（1）若),(b a 是)(x f 的一个“P 数对”，且9)4(,6)2(==f f ，求常数b a ,的值；（2）若（1，1）是)(x f 的一个“P 数对”，且)(x f 在]2,1[上单调递增，求函数)(x f 在]8,1[上的最大值与最小值；（3）若（－2，0）是)(x f 的一个“P 数对”，且当)2,1[∈x 时，|32|)(--=x k x f ，求k 的值及)(x f 在区间))(2,1[*N n n∈上的最大值与最小值。
【试题答案】一、选择题（本题共40分，每小题4分）二、填空题（本题共30分，每小题5分）11、（－1，1）； 12、（0，1]； 13、1； 14、6； 15、答案不唯一，比如⎩⎨⎧=-≤<+-=11313)(x x x x f 或⎩⎨⎧=≤<=10311)(x x x f ；16、3三、解答题（本题共80分） 17、计算（1）原式＝10＋32＋4＝46（2）112log 32log 52log 232log 3232log 2log 2333333-=-+-=-++-= （3）2112316238lg 80lg 39=-+=--+-= 18. 解：（1）由0232≥--x x ，解得∴≤≤-,13x 集合}13|{≤≤-=x x A ；}13|{>-<=∴x x x A C R 或当3=m 时，01222≤-+-m x x 可化为0822≤--x x ，即0)2)(4(≤+-x x ， 解得∴≤≤-,42x 集合}42|{≤≤-=x x B ，}41|{≤<=∴x x B A C R（2）]1,1[}012|{,022m m m x x x B m +-=≤-+-=>。
∵A B ⊆⎩⎨⎧≥+-≤-∴1131m m ，4≥∴m 。
19. 解：（1）当0<x 时，x x x x x f x f 4)4()()(22+-=--=--=；⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+-=∴0404)(22x x x x x x x f ， )(x f 的单调增区间为：（－2，2）；)(x f 的单调减区间为：),2(),2,(+∞--∞。
（2）当0≥x 时，31,342<<∴>+-x x x ；当0<x 时，72,342--<∴>+x x x 或72+->x （舍去）；31<<∴x 或72--<x∴不等式的解集为)72,()3,1(---∞ 。
20. 解：（1）)(x f 是奇函数；已知函数定义域为R ，对任意R x ∈，均有R x ∈-，又∵)(12122121)(x f x f x x xx -=+-=+-=---； )(x f ∴是奇函数（2）12122121)(-+=+-=xx x x f 2121,,x x R x x <∈∀0)21)(21()22(2)()(122112<++-=-=∆∴x x x x x f x f y)(x f ∴在R 上是减函数。
21. 解：（1）由题意知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>⨯⨯--=∆-=⨯--0)1(02124)24(2222)24(2f k k k 3>∴k 或143<<k （2）最小值当0≤a 时，232)1(2min -=+=a a f f 当210<<a 时，23)1(min -==f f 当121<≤a 时，2188)2(2min +-==a a a f f 最大值当31<a 时，2188)2(2max +-==a a a f f 当31≥a 时，232)1(2max -=+=a a f f22. 解：（1）由题意知⎩⎨⎧=+=+)4()2()2()1(f b af f b af ，即⎩⎨⎧=+=+9663b a b a ，解得：⎩⎨⎧==31b a ；（2）)1,1( 是)(x f 的一个“P 数对”1)()2(+=∴x f x f ，故61)4()8(,51)2()4(,41)1()2(=+==+==+=∴f f f f f f)(x f 在]2,1[上单调递增，∴当]2,1[∈x 时，3)1(,4)2(min max ====f f f f ，即当]2,1[∈x 时，4)(3≤≤x f 当]4,2[∈x 时，512)(4,423],2,1[2≤+⎪⎭⎫⎝⎛=≤∴≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∈x f x f x f x 当]8,4[∈x 时，612)(5,524],4,2[2≤+⎪⎭⎫⎝⎛=≤∴≤⎪⎭⎫⎝⎛≤∈x f x f x f x综上，当]8,1[∈x 时，6)(3≤≤x f 故最大值6，最小值3（3）当)2,1[∈x 时，|32|)(--=x k x f ， 令1=x ，可得31)1(=-=k f ，解得4=k ，所以，)2,1[∈x 时，|32|4)(--=x x f ，故)(x f 在)2,1[上的取值范围是]4,3[。
又)0,2(-是)(x f 的一个“P 数对”，故)(2)2(x f x f -=恒成立， 当))(2,2[*1N k x k k ∈∈-时，)4(4)2(2)(),2,1[21x f x f x f xk =-=∈-＝…＝)2()2(11---k k x f ， 故k 为奇数时，)(x f 在)2,2[1k k -上的取值范围是]2,23[11+-⨯k k ；当k 为偶数时，)(x f 在)2,2[1k k -上的取值范围是]23,2[11-+⨯--k k ，所以当n ＝1时，)(x f 在)2,1[n上的最大值为4，最小值为3；当n 为不小于3的奇数时，)(x f 在)2,1[n上的最大值为12+n ，最小值为n 2-； 当n 为不小于2的偶数时，)(x f 在)2,1[n 上的最大值为n 2，最小值为12+-n 。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。
北京市北京大学附属中学行知学院2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
所以“[x] = [ y] ”不是“ x -[x] = y -[ y] ”的充分条件；
当 x = 0.5 ， y = 1.5 时，[x] = 0 ，[ y] = 1，
此时 x -[x] = 0.5 ， y - [ y] = 0.5 ，即 x -[x] = y -[ y] ，此时[x] ¹ [ y] ，
A．[0,b - a]
B． [ a, b]
C．[2a,a + b]
D．[-a,b - a]
4．已知 a > b > c > 0 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
a
+ 2
b
>
bc
B． a2
+ b2 2
>
ac
C．
a2 + c2 2
>
b
+ 2
c
D．
bc
>
1 a
2 +
1 b
5．若定义域为 R 的函数 f ( x) 满足：对"a Î R ，都有 f (a -1) = f (1- a) ，且 f ( x) 在
则 f (-2) = f (2), f (-1) = f (1) ，
又因为 f ( x) 在[1, +¥) 上单调递增，
则
f
(2) >
f
æ çè
3 2
ö ÷ø
>
f
(1) ，即
f
(-2) >
f
æ3ö çè 2 ÷ø
>
f
(-1) ，故 A 正确，C 错误；
因为不知道 f ( x) 在[0,1] 上的单调性，故无法判断 f (1), f (0) 的大小关系，故 BD 不一定正
2022-2023学年北京市北京理工大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
2022-2023学年北京理工附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}{}1,1,2,3,1,1M N =-=-，下列结论成立的是（）A .M N⊆ B.{}1M N =- C.M N M⋃= D.{}1,2,3M N =ð2.“x ∃∈R ，||0x x +<”的否定是（）A.x ∃∈R ，||0x x +≥B.R x ∀∈，||0x x +≥C.R x ∀∈，||0x x +< D.R x ∃∈，||0x x +≤3.已知R x y ∈，，则“21x >”是“1x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分又不必要条件4.设()()()22,13M a a N a a =-=+-，则（）A.M N> B.M N ≥ C.M N< D.MN≤5.下列说法正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则12a b -<-C.若22a b c c >，则a b > D.若a b >，则22a b >6.某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛（山东省赛区）的比赛活动．早上他乘坐出租车从家里出发，离开家不久，发现身份证忘在家里了，于是回到家取上身份证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站，令x （单位：分钟）表示离开家的时间，y （单位：千米）表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是（）A. B. C. D.7.下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数是（）A.21()1,()1x f x x g x x -=-=+ B.1,1()1,()1,1x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩C.0()1,()(1)f x g x x ==+ D.2(),()f x x g x ==8.()f x 定义域{}03A x x =∈≤≤Z ，则()226f x x x =-+的值域为（）A.90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.9,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦C.9,2⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦D.{}0,49.已知函数f (x )，g (x )分别由如表给出，则不等式f （g (x )）＞g （f (x )）的解集为（）x 123f (x )131x 123g (x )321A.{1，2}B.{2，3}C.{1}D.{2}10.已知2m <-，点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =--的图象上，则（）A.123y y y << B.231y y y << C.132y y y << D.312y y y <<二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11.函数f (x )=12x -的定义域为___________.12.不等式213x ->的解集为_____，不等式2131x x +≥-的解集为_____．13.设函数231,4()(),4x x f x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则(3)f =_____，(3)(4)f f +=_____．14.我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是______，物价是______（钱）．15.已知函数23,3()6,3x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则不等式()()2234f x x f x -<-的解集是__________．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知函数()bf x ax x=+的图像经过点),,(13)(20,A B ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并证明．17.已知关于x 的方程()222110k x k x +-+=有实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根为12,x x ，满足212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．18.已知________．（1）解不等式22(2)0x a x a +-->；（2）若230ax bx ++≥的解集为R ，求实数b 的取值范围．从下面条件①、条件②中任选一个，补充在上面的横线上作为已知，并作答．①1(1)1x x x +>-的最小值是a ；②不等式2(1)460a x x --+>的解集是{}|31x x -<<．19.已知函数()f x ，若存在非零常数k ，对于任意实数x ，都有()()f x k f x x ++=成立，则称函数()f x 是“k M 类函数”．（1）若函数()f x ax b =+是“1M 类函数”，求实数,a b 的值；（2）若函数()g x 是“2M 类函数”，且当[]0,2x ∈时，()(2)=-g x x x ，求函数()g x 在[]2,6x ∈时的最大值和最小值；（3）已知函数()f x 是“k M 类函数”，是否存在一次函数()h x Ax B =+（常数,A B R ∈，0A ≠），使得(2)()F x k F x +=，其中()()()F x f x h x =+，说明理由．2022-2023学年北京理工附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}{}1,1,2,3,1,1M N =-=-，下列结论成立的是（）A.M N ⊆B.{}1M N =-C.M N M ⋃=D.{}1,2,3M N =ð【答案】C【分析】利用集合的交、并、补运算进行判断.【详解】因为{}{}1,1,2,3,1,1M N =-=-，所以N M ⊆，故A 错；{}11M N =- ，，故B 错；{}2,3M C N =，故D 错.故选：C.2.“x ∃∈R ，||0x x +<”的否定是（）A.x ∃∈R ，||0x x +≥B.R x ∀∈，||0x x +≥C.R x ∀∈，||0x x +<D.R x ∃∈，||0x x +≤【答案】B【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以“x ∃∈R ，||0x x +<”的否定是“R x ∀∈，||0x x +≥”故选：B【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.3.已知R x y ∈，，则“21x >”是“1x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.【详解】由21x >可得1x >或1x <-，所以由21x >得不出1x >，故充分性不成立，由1x >可得21x >，故必要性成立，所以“21x >”是“1x >”的必要不充分条件，故选：B.4.设()()()22,13M a a N a a =-=+-，则（）A.M N >B.M N≥ C.M N< D.MN≤【答案】A【分析】利用作差法即得.【详解】因为()()()2213M N a a a a -=--+-()222423a a a a =----223a a =-+()2120a =-+>恒成立，所以M N >．故选：A.5.下列说法正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则12a b -<-C.若22a b c c >，则a b > D.若a b >，则22a b >【答案】C【分析】根据不等式的性质可判断A ，B ，C ；举反例可判断D.【详解】对于A ，当0c =时，则a b >时，22ac bc =，A 错误；对于B ，若a b >，则112a b b ->->-，B 错误；对于C ，若22a b c c>，则0c ≠，即20c >，故a b >，C 正确；对于D ，若a b >，不妨取若12a b =->=-，则22a b <，D 错误，故选：C6.某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛（山东省赛区）的比赛活动．早上他乘坐出租车从家里出发，离开家不久，发现身份证忘在家里了，于是回到家取上身份证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站，令x （单位：分钟）表示离开家的时间，y （单位：千米）表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是（）A. B. C. D.【答案】C 【分析】由题意可知，该高三学生行动的三个过程均为离开家的距离关于时间的一次函数，由题意分析斜率，再结合图象得答案．【详解】由题意，该高三学生离开家，y 是x 的一次函数，且斜率为正；高三学生返回家的过程中，y 仍然是x 的一次函数，斜率为负；高三学生最后由家乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站，h 仍然是t 的一次函数，斜率为正值，且斜率比第一段的斜率大，则图象先增再减再增，且第三段的斜率大于第一段的斜率，所以，与事件吻合最好的图象为C ．故选：C ．7.下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数是（）A.21()1,()1x f x x g x x -=-=+ B.1,1()1,()1,1x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩C.0()1,()(1)f x g x x ==+D.2(),()f x x g x ==【答案】B【分析】分别判断()f x 和()g x 的定义域和对应法则是否一样，便可判断函数是否为相同函数.【详解】A ：函数()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{|1}x x ≠-，()f x 和()g x 的定义域不相同，所以不是同一函数.A 错误；B ：函数()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为R ，()f x 和()g x 的定义域相同，且函数1,1()11,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，对应关系相同，所以是同一函数.B 正确；C ：函数()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{|1}x x ≠-，()f x 和()g x 的定义域不相同，所以不是同一函数.C 错误；D ：函数()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{|0}x x ≥，()f x 和()g x 的定义域不相同，所以不是同一函数.D 错误；故选：B8.()f x 定义域{}03A x x =∈≤≤Z ，则()226f x x x =-+的值域为（）A.90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.9,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦C.9,2⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦D.{}0,4【答案】D 【分析】根据函数的定义域及解析式，求出的值域.【详解】因为{}{}030,1,2,3A x x =∈≤≤=Z ，()226f x x x =-+，所以(0)0,(1)4,(2)4,(3)0f f f f ====，故值域为{}0,4，故选：D9.已知函数f (x )，g (x )分别由如表给出，则不等式f （g (x )）＞g （f (x )）的解集为（）x 123f (x )131x 123g (x )321A.{1，2}B.{2，3}C.{1}D.{2}【答案】D【分析】根据图表，自变量对应的函数值，分1x =，2x =和3x =进行讨论即可得解.【详解】当1x =时，()()()()(3)1,11(1)3f g f g f g ====，不满足()()()()f g x g f x >；当2x =时，()()()()(2)3,22(3)1f g f g f g ====，满足()()()()f g x g f x >；当3x =时，()()()()(1)1,33(1)3f g f g f g ====，不满足()()()()f g x g f x >.所以原不等式的解集为{}2.故选：D.10.已知2m <-，点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =--的图象上，则（）A.123y y y <<B.231y y y << C.132y y y << D.312y y y <<【答案】A【分析】根据二次函数22y x x =--的对称轴、开口方向和单调性确定正确选项.【详解】二次函数22y x x =--的对称轴为=1x -，开口向下，在(),1-∞-上单调递增，由于2m <-，则13,2,11m m m -<-<-+<-，又11m m m -<<+，所以123y y y <<.故选：A.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11.函数f (x )=12x -的定义域为___________.【答案】{1x x ≥且}2x ≠【分析】由分母不能为0和根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，解得即可.【详解】由题意得：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得12x x ≥≠且，所以定义域为{1x x ≥且}2x ≠.故答案为：{1x x ≥且}2x ≠【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．12.不等式213x ->的解集为_____，不等式2131x x +≥-的解集为_____．【答案】①.()(),12,-∞-+∞ ②.13,32⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】由不等式213x ->，可得213x ->或213x -<-，求解即可；由不等式2131x x +≥-，可得23031x x -≤-，解分式不等式可得解.【详解】由不等式213x ->，可得213x ->或213x -<-，解得2x >或1x <-，故不等式的解集为()(),12,-∞-+∞ .由不等式2232231100031313131x x x x x x x x ++--≥⇒-≥⇒≥⇒≤----，可得()()23310310x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得1332x <≤故不等式的解集为13,32⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：()(),12,-∞-+∞ ，13,32⎛⎤⎥⎝⎦13.设函数231,4()(),4x x f x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则(3)f =_____，(3)(4)f f +=_____．【答案】①.26②.37【分析】根据函数解析式直接求解即可【详解】因为231,4()(),4x x f x f x x -≥⎧=⎨<⎩，所以()2(3)339126f f ==⨯-=，(3)(4)2634137f f +=+⨯-=，故答案为：26，3714.我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是______，物价是______（钱）．【答案】①.7②.53【分析】设人数为x ，物价是y （钱），根据已知条件可得出关于x 、y 的方程组，即可得解.【详解】设人数为x ，物价是y （钱），则8374x y y x -=⎧⎨-=⎩，解得753x y =⎧⎨=⎩.故答案为：7；53.15.已知函数23,3()6,3x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则不等式()()2234f x x f x -<-的解集是__________．【答案】{|14}x x <<##()1,4【分析】画出函数()f x 的图象，可得函数单调性，把不等式()()2234f x x f x -<-转化为关于x 的一元二次不等式求解．【详解】解：作出函数23,3()6,3x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩的图象如图，由图可知，函数()f x 在R 上为增函数，则由式()()2234f x x f x -<-，得式2234x x x -<-，即2540x x -+<，解得14x <<．∴不等式()()2234f x x f x -<-的解集是()1,4．故答案为：{|14}x x <<．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知函数()bf x ax x=+的图像经过点),,(13)(20,A B ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并证明．【答案】（1）4()f x x x=-+（2）函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；证明见解析【分析】（1）由()bf x ax x=+的图像经过的点，列出方程组，即可求得答案；（2）根据函数解析式判断其单调性，利用函数单调性定义即可证明.【小问1详解】由题意知函数()bf x ax x=+的图像经过点),,(13)(20,A B ，故3202a b b a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得14a b =-⎧⎨=⎩，故4()f x x x=-+；【小问2详解】函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；证明：设12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则12121244()()()f x f x x x x x -=-+--+2112212112124()4()()x x x x x x x x x x x x -+=-+=-⨯，因为21120,0x x x x ->>，故1221124()0x x x x x x +-⨯>，即12()()f x f x >，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减.17.已知关于x 的方程()222110k x k x +-+=有实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根为12,x x ，满足212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．【答案】（1）12k ≤（2）1k =【分析】（1）讨论k 是否为0，结合一元二次方程的判别式，即可求得答案；（2）确定k 的范围，利用韦达定理化简212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得k 的值，结合其范围可得答案.【小问1详解】当0k =时，关于x 的方程()222110k x k x +-+=即210x -+=，此时方程有一个实数根；当0k ≠时，方程()222110k x k x +-+=有实数根，则224(1)40k k ∆=--≥，解得12k ≤且0k ≠，综合可得实数k 的取值范围为12k ≤.【小问2详解】由题意方程的两个实数根为12,x x ，则0k ≠且12k ≤；则1212222(1)1,k x x x x k k-+==，而212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即212128x x x x ⎛ ⎪⎝⎭+⎫=，故24(1)8k -=，解得1=k ，由于0k ≠且12k ≤，故1k =18.已知________．（1）解不等式22(2)0x a x a +-->；（2）若230ax bx ++≥的解集为R ，求实数b 的取值范围．从下面条件①、条件②中任选一个，补充在上面的横线上作为已知，并作答．①1(1)1x x x +>-的最小值是a ；②不等式2(1)460a x x --+>的解集是{}|31x x -<<．【答案】（1）()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭（2）[]6,6-【分析】选①，利用基本不等式求得3a =，选②，利用不等式的解集及韦达定理求得3a =；（1）利用一元二次不等式求解即可；（2）由不等式的解集为R ，可知24330b -⨯⨯≤，求解即可.【小问1详解】选①，1x >Q ，11111311x x x x ∴+=-++≥=--，当且仅当111x x -=-，即2x =时，等号成立，即3a =.选②，由题意知3-和1是方程2(1)460a x x --+=的两个根，421631a a ⎧-=⎪⎪-∴⎨⎪-=⎪-⎩，解得3a =.不等式22(2)0x a x a +-->，即2230x x -->，解得1x <-或32x >故不等式的解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【小问2详解】不等式230ax bx ++≥，即2330x bx ++≥，不等式的解集为R ，所以24330b -⨯⨯≤，解得66b -≤≤，故实数b 的取值范围为[]6,6-19.已知函数()f x ，若存在非零常数k ，对于任意实数x ，都有()()f x k f x x ++=成立，则称函数()f x 是“k M 类函数”．（1）若函数()f x ax b =+是“1M 类函数”，求实数,a b 的值；（2）若函数()g x 是“2M 类函数”，且当[]0,2x ∈时，()(2)=-g x x x ，求函数()g x 在[]2,6x ∈时的最大值和最小值；（3）已知函数()f x 是“k M 类函数”，是否存在一次函数()h x Ax B =+（常数,A B R ∈，0A ≠），使得(2)()F x k F x +=，其中()()()F x f x h x =+，说明理由．【答案】（1）11,24a b ==-（2）max ()3g x =，min 1()4g x =-.（3）存在1()2h x x B =-+，使得函数()()()F x f x h x =+.【分析】（1）由题知，对于任意实数x ，有(21)20a x a b -++=成立，解方程组21020a a b -=⎧⎨+=⎩即得解；（2）求出2()56g x x x =-+，[2,4]x ∈，2()1022g x x x =-+-，[4,6]x ∈，再利用二次函数求得最值，即得解；（3）求出()()(21)2F x k F x A x Ak B ++=+++，得到12A =-时，()(2)F x F x k =+，即得解.【小问1详解】由题得，对于任意实数x ，都有(1)()f x f x x ++=，即(1)a x b ax b x ++++=，所以ax a b ax b x ++++=，即(21)20a x a b -++=，所以21020a a b -=⎧⎨+=⎩.所以11,24a b ==-【小问2详解】由题得，对于任意实数x ，都有(2)()g x g x x ++=，(2)(2)g x x x x ∴++-=，2(2)g x x x ∴+=-，因为[0,2]x ∈，所以2[2,4]x +∈，设2[2,4]t x t =+∈，，所以2x t =-，所以22()(2)(2)56g t t t t t =---=-+，[2,4]t ∈，所以2()56g x x x =-+，[2,4]x ∈，对称轴为52x =，()g x 在52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增；同理2()1022g x x x =-+-，[4,6]x ∈，对称轴为5x =，()g x 在[]4,5x ∈上单调递增，在[]5,6x ∈上单调递减；由题得51(2)0,,(5)3,(6)224g g g g ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，所以max ()3g x =，min 1()4g x =-.【小问3详解】由题得()()f x k f x x ++=，因为()()()()F x f x h x f x Ax B =+=++，所以()()F x k f x k Ax Ak B +=++++，所以()()()()22F x k F x f x k f x Ax Ak B ++=+++++，所以()()22F x k F x x Ax Ak B ++=+++，所以()()(21)2F x k F x A x Ak B ++=+++，令12A =-得，1()()22F x k F x k B ++=-+，1()(2)22F x k F x k k B +++=-+，所以()(2)F x F x k =+，所以()F x 是周期函数.所以12A=-，所以1()2h x x B=-+.所以存在1()2h x x B=-+，使得函数()()()F x f x h x=+.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“kM类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题.。
北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题(含答案)
2024北京四中高一（上）期中数 学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.2. 函数的定义域是A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 如果，那么下列不等式中正确的是A ． BC ． D．5. 下列函数中，在区间上为减函数的是A ． B. C. D. 6. 函数的图像关于A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．点对称 7. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数在区间内的零点个数是A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 下列函数中，满足的是A ．B ．C ．D ．10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是{0,1,2,3}A ={1,3,5,7}B =A B ={1,2,3}{3}{1,3}{0,1,2,3,5,7}()f x =[2,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,2)(1,)-∞-+∞ [2,)-+∞R x ∀∈3210x x -+≤R x ∃∉3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+≥R x ∀∈3210x x -+>0b a >>2ab b -<<22a b <11a b <()0,+∞22y x x =-y =31x y x +=+21y x =+()|1||1|f x x x =+--(1,0)0a b >>0c >a b a c b c >++31()2f x x x=--(0,)+∞(2)2()f x f x =2()(2)f x x =+()1f x x =+4()f x x=()f x x x =-()f x ()g x R x ∀∈()()0f x g x ⋅>A ．是一次函数，是二次函数B ．在上递增，在上递减C ．，都是奇函数D ．是奇函数，是偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若，则实数x 的值为 .12. 不等式的解集为，则 ， .13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．14. 函数，则的减区间为 ，的值域是 .15. 已知函数.①当时，在定义域内单调递减；②当时，一定有；③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；以上结论中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共3小题，共35分16. （12分）设集合，，. （I ）求；（II ）求；（III ）若，求实数k 的取值范围.17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：（I ）求的值；（II ）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：()f x ()g x ()f x R ()g x R ()f x ()g x ()f x ()g x {21,3,5}x x ∈-210ax bx +-≥1(,1][,)4-∞-+∞U a =b =()f x R 0x >2()3f x x x =-((1))f f =231, 02()2, 20x x f x x x x +≤≤⎧=⎨+-≤<⎩()f x ()f x 2()(,4)2R x a f x a a x +=∈≠--1a =()f x 4a <-(3)(4)(1)f f f <<k ()y f x x k =-+4a <-k 2()1y f x kx =-+4a >-{||1|2}A x x =->4{|0}23x B x x +=≤-{|2121}C x k x k =-<<+()U A B ðA B C A B ⊆ 2118,08264,824at t y t t b t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩y t ,a b①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？18. （12分）已知函数.（I ）判断在上的单调性，并用定义证明；（II ）若是偶函数，求的值.卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 已知集合，，，则A ．B ．C ．D ．2. 当时，恒成立，则的最大值为 A ．6 B ．10C ．12D ．133. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为A ．14 B ．15 C ．16 D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4. ________.5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分7. （10分）已知函数.（I ）求方程组的解集；（II ）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；（III ）若在上具有单调性，求实数a 的取值范围.1()(2)f x x x =-)(x f (1,2)()()g x f x a =+a {1,1}A =-{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈{|,,}C z z x y x A y A ==-∈∈B C =B CÞB C =∅I B C A =U 2x >142x a x +≥-a A M m A A X M m =-01A 2A 3A n A *N 123120nA A A A X X X X ++++= n 13213410.125()25627--+---=()f x 2x =()()()01f a f f <<a 2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩12a =()f x (0)f ()f x ()(2)1f x x x =-+()20y f x x y =⎧⎨-=⎩()f x ()f x (,1)a a +8. （10分）如果正整数集的子集满足：①；②，，使得，则称为集.（I ）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（II ）当时，对于集，设，求证：；（III ）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.{}*12,,,(,2)N n A a a a n n =∈≥ 121n a a a =<<< ()2k a A k n ∀∈≤≤(),1i j a a A i j n ∃∈≤≤≤k i j a a a =+A ψ{}1,3,5A ={}1,2,3,6B =ψ5n =ψ{}12345,,,,A a a a a a =15S a a =++ 521a S +≤7n ≥36n a =ψA参考答案I 卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号12345678910答案C B B D C A A B DB 二、填空题（每题5分，共25分）11. 1或5 12. 4，3 13. 214. ， 15. ②③注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）16. 由题意，，，(I) ；(II) ；(III) 显然，，解得，因此的取值范围是.17. (I) ，解得(II) ①是. .②时，，解得；时，，解得；,所以可以连续施工的最长时间为12小时.18. (I)在上单调递减.124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，178⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()13A =-∞-+∞ ，，A R ð[]1,3=34,2B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭31,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ð()3,3,2A B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2121,k k C -<+≠∅3212132k k +≤-≥或124k k ≤≥或k [)124⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，8118206264648206a b +=⎧⎨⨯-⨯+=⎩11590a b =⎧⎨=⎩711118195150⨯+=>08t ≤≤11118150t +≤32011t ≤≤824t ≤≤2264590150t t -+≤1022t ≤≤3222101211-=>)(x f ()1,2定义域为，任取且，所以在上单调递减.(II)，是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，此时，定义域，，符合题意，所以.II 卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1. A2. C3. C二、填空题（每题5分，共15分）4. 5. 6. ，注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）7. ，(I) ，()()()00,22-∞+∞ ，，()12,1,2x x ∈12x x <()()()()1211221122f x f x x x x x -=---()()()22221112122222x x x x x x x x ---=--()()()()211212122220x x x x x x x x -+-=-->)(x f ()1,2()()1(2)g x x a x a =++-()g x ()(2)0a a -+-=1a =()()11(1)g x x x =+-()()()11,11-∞--+∞ ，，()()()()111(1)1(1)g x g x x x x x -===-+--+-1a =15-()(),04,-∞+∞ 14⎡⎣()()()()()21,121,1x x x f x x x x -+≥-⎧⎪=⎨---<-⎪⎩()2()0202y f x x f x x y y x =-=⎧⎧⇔⎨⎨-==⎩⎩当，，，解得或当， ，即，解得或（舍）；综上，方程组的解集是.(II)（作图过程略）(III) 在递增，在递减，所以或或，因此实数a 的取值范围是.8. (I) 注意到：，因此数集不是集.注意到：，因此数集是集.(II) 由于集合是集，即对任意的，存在，使得成立。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
北京2024-2025学年度第一学期期中考试（答案在最后）高一年级数学学科本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合{}12A x Z x =∈-≤<，则下列说法正确的是（）A ．0A⊆B ．0A∉C ．3A∈D ．1A-∈2．记命题:0,3p x x ∃>≥，则p ⌝为（）A ．0,3x x ∀><B ．0,3x x ∀≤<C ．0,3x x ∃≤≥D ．0,3x x ∃><3．集合{}0,1的真子集有（）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数,a b c ，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．b a c a -<+B ．2c ab<C ．c cb a>D ．b c a c<5．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．1y x x=-B ．y =C ．2xy -=D ．22y x x=-6．“12x -<<”是“12x>”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知偶函数()f x 在区间(,1]-∞-上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A ．5()(3)(2)2f f f -<<B ．5(3)((2)2f f f <-<C ．5(2)(3)(2f f f <<-D ．5(2)((3)2f f f <-<8．若函数(0,1)xy a a a =>≠且的值域为(0,1]，则函数log a x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,+-∞∞ ）10．设 1.2 1.23log 6,2,0.5a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<11．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)12．设集合A 是集合N *的子集，对于i N *∈，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在N *的两个不同子集,A B ，使得任意i N *∈都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅ ；③任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+ ．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题（每题5分，共30分）13．函数1()1f x x =-的定义域为________．14．已知函数3()27log x f x x =+，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．15．若()g x 在R 上是增函数，能够说明“()y xg x =在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =________．16．函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为________．17．已知下列四个函数：1,,ln ,x y x y y x y e x====．从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()F x =()()f x g x +的图象如图所示，则()F x =________．18．已知函数2,(),x a x a f x x x a+≤⎧=⎨>⎩．若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题（每题12分，共72分）19．已知集合{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或．（Ⅰ）若2a =-，求集合()()R R B A ；I 痧（Ⅱ）若A B A = ，求a 的取值范围．20．分别求下列关于x 的不等式的解集：（Ⅰ）2610x x --<；（Ⅱ）2(2)20x a x a +--≤．21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x 米，如图所示．（I ）将两个养殖池的总面积y 表示为x 的函数，并写出定义域；（Ⅱ）当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？22．已知函数()2,f x x x a a R =--∈．（I ）当2a =时，直接写出函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当2a >时，求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．23．已知()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，当[3,0]x ∈-]时，1()()94xx af x a R =+∈．（I ）求()y f x =在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）当1[1,2x ∈--时，不等式11()34x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围．24．若集合A 具有以下性质：①0,1A A ∈∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈．则称集合A 是“好集”．（I ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由．命题p ：若,x y A ∈，则必有xy A ∈；命题q ：若,x y A ∈，且0x ≠，则必有yA x∈．参考答案一、选择题DACDC ，BDBDC ，BA 二、填空题13．{}1x x ≠或写为(,1)(1,)-∞+∞ 14．215．x （答案不唯一）16．(1,+-∞）17．1x e x+18．1[2,4-三、解答题19．（I ）（1，5]（Ⅱ）(,4)(5,)-∞-+∞ 20．（I ）11(,)32-（Ⅱ）2a <-时，解集为[2，a -]；2a =-时，解集为{}2；2a >-时，解集为[a -，2]．21．解：（I ）依题意得温室的另一边长为1500x米．因此养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--，因为150030,50x x->->，所以3300x <<．所以定义域为{}3300x x <<．（Ⅱ）15004500(3)(5)1515(5)151515153001215y x x x x =--=-+≤-=-=，当且仅当45005x x=，即30x =时上式等号成立，当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米．22．解：（1）当2a =时，(2)2,2()22(2)2,2x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩，22(1)3,2()(1)1,2x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨---<⎪⎩，由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）．或写为（-∞，1），（2，+∞）（Ⅱ）∵2a >，x ∈[1，2]时，所以2()()22f x x a x x ax =--=-+-228(24a a x -=-+，当3122a <≤，即23a <≤时，min ()(2)26f x f a ==-；当322a >，即3a >时，min ()(1)3f x f a ==-；∴min26,23()3,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩．23．（I ）因为()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，x ∈[-3，0]时，1()()94x xaf x a R =+∈，所以001(0)094a f =+=，解得1a =-，所以x ∈（-3，0]时，11()94x xf x =-当(0,3]x ∈时，[3,0)x -∈-，所以11()9494x x x x f x ---=-=-，又()()49xxf x f x =--=-，即()y f x =在(0,3]上的解析式为()49xxf x =-，（Ⅱ）因为1[1,2x ∈--时，11()94x xf x =-，所以11()34x x m f x -≤-可化为11119434x x x x m --≤-，整理得13(334xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭，令13()334xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，所以()g x 也是减函数．所以11max13()(1)3734g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7m ≥，故实数m 的取值范围是[7，+∞）．24．解：（I ）集合B 不是“好集”．理由是：假设集合B 是“好集”．因为1,1B B -∈∈，所以112B --=-∈．这与2B -∉矛盾．有理数集Q 是“好集”．因为0,1Q Q ∈∈，对任意的,x y Q ∈，有x y Q -∈，且0x ≠时，1Q x∈．所以有理数集Q 是“好集”．（Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以0A ∈．若,x y A ∈，则0y A -∈，即y A -∈．所以()x y A --∈，即x y A +∈．（Ⅲ）命题,p q 均为真命题．理由如下：对任意一个“好集”A ，任取,x y A ∈，若,x y 中有0或1时，显然xy A ∈．下设,x y 均不为0，1．由定义可知：111,,1x A x x-∈-．所以111A x x -∈-，即1(1)A x x ∈-．所以(1)x x A -∈．由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+∈，即2x A ∈．同理可得2y A ∈．若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A +∈．若0x y +≠且1x y +≠，则2()x y A +∈．所以2222()xy x y x y A =+--∈．所以12A xy∈．由（Ⅱ）可得：11122A xy xy xy=+∈．所以xy A ∈．综上可知，xy A ∈，即命题p 为真命题．若,x y A ∈，且0x ≠，则1A x∈．所以1y y A x x=⋅∈，即命题q 为真命题．。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（答案在最后）注意事项1.本试卷共四页，共23道小题，满分150分．考试时间120分钟．2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.出题人：高一备课组审核人：高一备课组一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，则A B = ()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{02}x x <≤【答案】A 【解析】【分析】根据交集的运算方法即可计算．【详解】∵集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，∴A B = {1}．故选：A ．2.设命题2:N,25p n n n ∃∈>+，则p 的否定为（）A.2N,25n n n ∀∈>+B.2N,25n n n ∀∈≤+ C.2N,25n n n ∃∈≤+ D.2N,25n n n ∃∈<+【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定为将存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为2N,25n n n ∀∈≤+.故选：B 3.方程组221{9x y x y +=-=的解集是（）A.(－5，4)B.(5，－4)C.{(－5，4)}D.{(5，－4)}【答案】D 【解析】【分析】消元法解方程组即可求解【详解】解方程组221{9x y x y +=-=，得()2219x x --=，解得54x y =⎧⎨=-⎩，故方程组的解集为{(5，－4)}，故选：D.【点睛】本题考查解二元二次方程组及列举法表示集合，注意解集是点集的形式，是基础题4.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，{}13N x x =<<，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（）A.{}2x x > B.{}2x x ≤ C.{}2x x > D.{}1x x ≤【答案】D 【解析】【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.【详解】{}|1M N x x => ，阴影部分表示集合为(){}|1M N x x ⋃=≤R ð.故选：D 5.不等式302xx -<+的解集为（）A.{|2}x x <-B.{|23}x x -<< C.{|2x x <-或3}x > D.{|3}x x >【答案】C【分析】将不等式作等价转换，再求解集即可.【详解】30(2)(3)02xx x x -<⇒+->+，故解集为{|2x x <-或3}x >.故选：C 6.函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是（）A.(2,1)-- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】令26()0f x x x=-=，解得：1360x =>，只有一个零点.而()611501f =-=>，()624102f =-=-<，由零点存在性定理知，函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是(1,2).故选：C.7.下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）A.||y x = B.3y x=- C.1y =-D.24y x =-+【答案】A 【解析】【分析】运用增函数定义，结合函数图像判断即可.【详解】对于A,区间()0,1,y x x ==，在()0,1单调递增，A 正确；对于B,区间()0,1,3y x =-，在()0,1单调递减，B 错误；对于C,区间()0,1,1y =-()0,1单调递减，C 错误；对于D,区间()0,1,24y x =-+，在()0,1单调递减，D 错误.故选：A.8.如果函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么（）A.f (2)<f (1)<f (4)B.f (1)<f (2)<f (4)C.f (4)<f (2)<f (1)D.f (2)<f (4)<f (1)【答案】A【分析】根据给定条件可得函数()f x 图象对称轴为2x =，再借助对称性、单调性即可比较判断作答.【详解】因函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，则其图象对称轴为2x =，且()f x 在[2,)+∞上递增，于是得(2)(3)(4)f f f <<，而(1)(3)f f =，所以(2)(1)(4)f f f <<.故选：A9.已知0a >，0b >，且28a b +=，那么ab 的最大值等于A.4 B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可求得ab 的最大值.【详解】由基本不等式可得82a b =+≥8ab ≤，当且仅当2a b =时，等号成立，因此，ab 的最大值为8.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.10.已知,,,R a b c d ∈，则“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.【详解】当3,2,0,2a b c d ==-==时，a c b d +>+，但c d >不成立，充分性不成立；若a b >且c d >，则必有a c b d +>+，必要性成立；所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要不充分条件.故选：B11.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞ B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-⋃+∞D.[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在 腊语 上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.12.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足：()()()123f x f x f x ==.则123x x x ++的取值范围是（）A.11,66⎛⎤⎥⎝⎦B.11,63⎛⎫⎪⎝⎭C.2026,33⎛⎫⎪⎝⎭ D.2026,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据解析式画出函数草图，结合零点的情况及一次、二次函数性质得236x x +=、1703x -<<，即可得答案.【详解】由解析式，可得如下()f x 图象，令()()()123f x f x f x k ===，要满足题设，则34-<<k ，若123x x x <<，则236x x +=，令343x +=-，则73x =-，故1703x -<<，综上，123x x x ++范围是11,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.13.函数()2f x x =-的定义域是_______.【答案】[)2,+∞【解析】【分析】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得答案.【详解】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得2x ≥，故函数定义域为[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x =2x ，则1()2f -=________．【答案】14-．【解析】【分析】由于函数是奇函数，所以11(()22f f -=-，再由已知的解析式求出1()2f 的值，可得答案【详解】解：因为当x >0时，()f x =2x ，所以2111(()224f ==，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以111((224f f -=-=-，故答案为：14-15.设函数22y x ax =+在区间(2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】2a ≥-【解析】【分析】由题意可知，(2,)+∞为函数单调递增区间的子集，根据子集关系可以求得.【详解】由函数22y x ax =+可知，对称轴为x a =-，因为在区间(2,)+∞上是增函数，则2a -≤，解得2a ≥-，故实数a 的取值范围是2a ≥-.故答案为：2a ≥-16.命题“2[1,2],10x x ax ∀∈-+<”为假命题的一个充分不必要条件是______.【答案】52a <（答案不唯一）【解析】【分析】问题化为1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，利用对勾函数的单调性求最大值，即可得52a ≤，结合充分不必要条件写出一个符合要求的参数范围即可.【详解】由题设，1[1,2],x a x x ∀∈>+为假命题，故1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，则max 52y =，只需52a ≤即可，所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是52a <.故答案为：52a <（答案不唯一）17.设函数()()()2,1,242, 1.a x f x x x a x a x ⎧-<⎪=-⎨⎪--≥⎩①若0a =，则(1)2f =；②若1a =，则()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得()f x 为R 上的增函数；④若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是1,1[2,)2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中求值即可；②当1a =时，得到21,<1()24(1)(2),1x f x x x x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.分情况讨论求出各段最小值，最后得到()f x 的最小值.③保证两端都要增，端点考虑即可；④分类讨论，结合二次函数性质可解.【详解】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中，得到(1)4(10)(10)42f =⨯-⨯-=≠，所以①错误.②当1a =时，21,<1()24(1)(2),1x f x xx x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.当<1x 时，则21x ->，，所以0<222<x-，1()1f x -<<.当1x ≥时，2231()4(1)(2)4(32)4()24f x x x x x x ⎡⎤=--=-+=--⎢⎥⎣⎦.对于二次函数2314()24y x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，对称轴为32x =，在32x =时取得最小值3()12f =-.综上，可得()f x 的最小值为1-，所以②正确.③当1x <时，22()22f x a a x x -=-=---是增函数.当1x ≥时，22()4()(2)432f x x a x a x ax a ⎡⎤=--=-+⎣⎦，其对称轴为32ax =.要使()f x 在R 上是增函数，则24(1)(12)21312a a a a ⎧-≤--⎪⎪-⎨⎪≤⎪⎩.解24(1)(12)21a a a -≤---，即281120a a -+≥，解得115711571616a a +-><或.解312a ≤得23a ≤.显然交集有元素.故存在a 能同时满足这两个条件使得函数在R 上单调递增，所以③正确.④当<1x 时，令2()02f x a x =-=-，则22a x =-，2(2)x a =-，22x a=-.若221x a=-<，即02a <<时，函数()f x 在<1x 时有一个零点.当1x ≥时，()4()(2)f x x a x a =--，令()0f x =，则x a =或2x a =.若1a <且21a ≥，即112a ≤<时，()f x 在1x ≥时有一个零点，结合1x <时的情况，此时()f x 恰有2个零点.若1a ≥，要使()f x 恰有2个零点，则21a >且22a a =-（无解）或者21a >且222a a=-（无解）或者1a >且21a >且221a-≥（即2a ≥）.综上，实数a 的取值范围是1[,1)[2,)2+∞ ，所以④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.18.关于x 的一元二次方程()22230x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求k 的取值范围；（2）若12111x x +=-，求k 的值.【答案】（1）3(,)4-+∞（2）3【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的性质，结合0∆>，即可求解；（2）根据题意，利用根与系数的关系，求得2121223,x x k k x x +=--=，结合12111x x +=-，列出方程，求得k 的值，即可求解.【小问1详解】由一元二次方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，则满足()222340k k ∆=+->，解得34k >-，即实数k 的取值范围为3(,)4-+∞.【小问2详解】因为方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，由（1）知34k >-，且2121223,x x k k x x +=--=，因为12111x x +=-，可得12121x x x x +=-，即1212x x x x +=-，可得223k k --=-，即223k k +=，解得3k =或1k =-，因为34k >-，所以3k =.19.设全集R U =，集合{}2|20A x x x =--<，集合{|||1}B x x m =->，其中R m ∈．（1）当1m =时，求()U A B A B ⋂⋃,ð；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）{|10}A B x x =-<< ，(){12}U A B x =-<≤ ð；（2）3m ≥或2m ≤-.【解析】【分析】（1）由题设得{|12}A x x =-<<，{|0B x x =<或2}x >，根据集合交并补运算求集合；（2）根据包含关系有12m -≥或11m +≤-，即可求参数范围.【小问1详解】由题设{}|(2)(1)0{|12}A x x x x x =-+<=-<<，{|1B x x m =<-或1}x m >+，当1m =时，{|0B x x =<或2}x >，故{|10}A B x x =-<< ，且{|02}U B x x =≤≤ð，故(){12}U A B x =-<≤ ð.【小问2详解】由A B ⊆，则12m -≥或11m +≤-，可得3m ≥或2m ≤-.20.已知函数2()(2)2f x x a x a =-++.（1）当0a =时，分别求出函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】（1）最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可；（2）分类讨论求含参一元二次不等式解集.【小问1详解】由题设2()2f x x x =-，开口向上且对称轴为1x =，结合二次函数的图象，在[1,2]-上最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-.【小问2详解】由题意2(2)2()(2)0x a x a x a x -++=--<，当2a <时，解集为(,2)a ；当2a =时，解集为∅；当2a >时，解集为(2,)a .21.已知函数21()x f x x+=.（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明()f x 在(0,1)上是减函数；（3）若函数()y f x m =-在12,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求m 的范围．（直接写出答案）【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）答案见解析（3）5(2,]2【解析】【分析】（1）对于本题，需要先求出()f x -，然后与()f x 和()f x -进行比较.（2）利用函数单调性的定义,设12,(0,1)x x ∈且12x x <，然后计算12()()f x f x -，根据其正负判断函数的单调性.（3）函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，等价于()y f x =与y m =的图象在1[,3]2上有两个交点，需要先分析()f x 在1[,3]2上的单调性和值域，从而确定m 的范围.【小问1详解】函数21()x f x x+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称.22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--.根据奇函数的定义，对于定义域内任意x ，()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.【小问2详解】设12,(0,1)x x ∈且12x x <.则222212122112121211(1)(1)()()x x x x x x f x f x x x x x +++-+-=-=,对分子进行化简：222212211222111212212112(1)(1)()()()(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+--=-+-=--.因为12,(0,1)x x ∈，所以12(0,1)x x ∈，1210x x ->，210x x ->，120x x >.所以21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >.所以()f x 在(0,1)上是减函数.【小问3详解】1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211()2x f x x x x+==+≥,当且仅当1x =取得最小值.当121,[,1)2x x ∈时，且12x x <，121[,1)4x x ∈,1210x x ->,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >，则当1)[1,2x ∈()f x 单调递减；当12,(1,3]x x ∈时，且12x x <，12(1,9]x x ∈,1210x x -<,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=<，即12()()f x f x <，则当(1,3]x ∈,()f x 单调递增；并且215()11524()112222f +===，(1)2f =，23110(3)33f +==.因为函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，所以5(2,]2m ∈.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．23.设函数()f x 是定义在R 上的函数，对任意的实数,x y 都有()(1)(1)f x y f x f y +=+⋅-，且当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)．（1）求证：存在实数m 使得()1f m =；（2）当0x <时，求()f x 的取值范围；（3）判断函数()f x 的单调性，并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）(1,)+∞；（3）()f x 单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）令1x y ==结合题设可得(0)1f =，即可证；（2）令y x =-得到1(1)(1)f x f x --=+，若10t x =+>，结合已知即可求范围；（3）令1x x y =+>21x x =+，应用函数单调性定义求证即可.【小问1详解】令1x y ==，则(11)(11)(11)(2)(2)(0)f f f f f f +=+⋅-⇒=，当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)，即(2)0f ≠，故(0)1f =，显然存在0m =，使()1f m =，得证；【小问2详解】令y x =-，则()(1)(1)f x x f x f x -=+⋅--，即(1)(1)(0)1f x f x f +⋅--==，若10t x =+>，则10x t --=-<，故1(1)(1)f x f x --=+，即1()()f t f t -=，而()(0,1)f t ∈，则()(1,)f t -∈+∞，当0x <时，()f x 取值范围是(1,)+∞；【小问3详解】()f x 单调递减，证明如下：令1x x y =+>21x x =+，则1210x x y -=->，所以1212()()()f x f x f x x =⋅-，则12212()()()[()1]f x f x f x f x x -=--，由题设及（2）知，212()0,()10f x f x x >--<，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 单调递减，得证.。
北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高一数学（答案在最后）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}2,1,0,1,2-- D.{}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,0,1B =--，所以{}1,0,1A B ⋂=-.故选：D2.若集合[]3,1A =-，()2,3B =-，则A B = （）A.(]2,1- B.[)2,1- C.(]3,3- D.[)3,3-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【详解】因为[]3,1A =-，()2,3B =-，所以A B = [)3,3-，故选：D.3.已知全集{}N 6U x x =∈≤且{}25A x U x =∈≤，则集合U A ð中的元素有（）A.2个B.4个C.5个D.7个【答案】B 【解析】【分析】利用列举法表示集合U ，解不等式化简集合A ，再求出U A ð即可得解.【详解】依题意，{0,1,2,3,4,5,6}U =，解不等式25x ≤，得x ≤≤，则{0,1,2}A =，所以{3,4,5,6}U A =ð，集合U A ð中的元素有4个.故选：B4.已知集合A 满足{}1A ⊆{}1,2,3,4，则A 有（）A.2个 B.4个C.5个D.7个【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出集合{}2,3,4的真子集个数即可得解.【详解】集合A 满足{}1A⊆{}1,2,3,4，则集合A 可视为集合{1}与集合{}2,3,4的每个真子集的并集，而集合{}2,3,4的真子集个数为3217-=，所以A 有7个.故选：D5.若22P a a =-和24Q a =-，则P 和Q 的大小关系为（）A.P Q >B.P Q< C.P Q≥ D.P Q≤【答案】C 【解析】【分析】根据条件，通过作差法，得到2(2)P Q a -=-，即可求解.【详解】因为22P a a =-，24Q a =-，所以2222(24)44(2)0P Q a a a a a a -=---=-+=-≥，当且仅当2a =时取等号，所以P Q ≥，故选：C.6.设,,a b c ∈R ，且a b <，c d <，则（）A.22a b <B.d c a b> C.ac bd< D.33a b <【答案】D 【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用不等式的性质判断D.【详解】对于A ，取2,2a b =-=，满足a b <，而224a b ==，A 错误；对于B ，取2,1,1,4a b c d =-=-==满足,a b c d <<，而21d ca b=-<-=，B 错误；对于C ，取2,1,1,4a b c d =-=-==满足,a b c d <<，而24ac bd =->-=，C 错误；对于D ，由不等式性质知，由a b <，得33a b <，D 正确.故选：D7.下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是（）A.21y x =B.1y x =+C.2y x =-，(),0x ∈-∞D.y x=【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于选项A ，因为221y x x-==，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，又2211()()()f x f x x x -===-，所以21y x=是偶函数，又由幂函数的性质知21y x =在区间()0,∞+上单调递减，所以21y x =在区间(),0-∞上单调递增，故选项A 正确，对于选项B ，因为1y x =+图象不关于y 轴对称，即1y x =+不是偶函数，所以选项B 错误，对于选项C ，因为2y x =-，(),0x ∈-∞的定义域不关于原点对称，即2y x =-，(),0x ∈-∞是非奇非偶函数，所以选项C 错误，对于选项D ，当(),0x ∈-∞时，y x x ==-在区间(),0-∞上单调递减，所以选项D 错误，故选：A.8.已知函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 为奇函数”是“(0)=0f ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因函数的定义域是,故“是奇函数”是“”的充分条件；反之,若(0)0f =,则函数不一定是奇函数,“f (x )为奇函数”不是必要条件.应选A.考点：充分必要条件.9.已知函数2()2f x x ax =++有两个零点，在区间(1,2)-上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.(,)-∞-⋃+∞B.(,3)(3,)-∞-⋃+∞C.(,4](3,)-∞-+∞D.(,4][2,)-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】求出函数()f x 的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得.【详解】函数2()2f x x ax =++在(,]2a -∞-上单调递减，在[,)2a-+∞上单调递增，由在区间(1,2)-上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，得(,](1,2)2a ∞---⊆且(1)0(2)0f f ->⎧⎨<⎩或[,)(1,22)a--+∞⊆且(1)0(2)0f f -<⎧⎨>⎩，则2230620a a a ⎧-≥⎪⎪->⎨⎪+<⎪⎩或1230620aa a ⎧-≤⎪⎪-<⎨⎪+>⎪⎩，解得4a ≤-或3a >，所以实数a 的取值范围是(,4](3,)-∞-+∞ .故选：C10.x ∀∈R ，设()f x 取41y x =+，1y x =+，24y x =-+三个函数值中的最小值，则()f x 的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，利用图象求出其最大值.【详解】在同一坐标系内作出直线41y x =+，1y x =+，24y x =-+，由()f x 取41y x =+，1y x =+，24y x =-+三个函数值中的最小值，得()f x 的图象为下图中实线构成的折线图，则()f x 的最大值即为()f x 的图象最高点对应的纵坐标值，观察图象知，()f x 的图象最高点是直线1y x =+与24y x =-+的交点，由124y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，因此()f x 的图象最高点是(1,2)，所以()f x 的最大值为2.故选：B第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()124f x x =+______.【答案】(2,)-+∞【解析】【分析】利用函数有意义列式求出定义域.【详解】依题意，240x +>，解得2x >-，所以函数()124f x x =+的定义域是(2,)-+∞.故答案为：(2,)-+∞12.已知奇函数()f x 满足()()53f f -<-，则()5f ______()3f .【答案】大于【解析】【分析】利用奇函数的性质，结合不等式的性质求解即得.【详解】由奇函数()f x 满足()()53f f -<-，得()()53f f -<-，所以()()53f f >.故答案为：大于13.已知(],A a =-∞，(),3B =-∞，且x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则a 的取值范围是______【答案】3a ≥【解析】【分析】根据条件得到BA ，再利用集合间的关系，即可求解.【详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A ，又(],A a =-∞，(),3B =-∞，所以3a ≥，故答案为：3a ≥.14.已知0x <，则812y x x=++的最大值是______，当且仅当x =______时，等号成立.【答案】①.7-②.2-【解析】【分析】根据给定条件，借助配凑的方法，利用基本不等式求出最大值及对应x 的值.【详解】由0x <，得0x ->，则81(2)17y x x =--+≤---，当且仅当82x x-=-，即2x =-时取等号，所以当2x =-时，812y x x=++取得最大值7-.故答案为：7-；2-15.已知函数2()2||1f x x x =--，给出下列四个结论：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的增区间为[1,)+∞；③不等式()1f x x <-的解集是(1,3)-；④当3x >-时，令3()()g x f x x =+，则()g x 的最小值为4-.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】【分析】利用偶函数的定义判断①；求出函数的单调递增区间判断②；分段求出不等式的解集判断③；利用基本不等式分段求出最小值判断④.【详解】函数2()2||1f x x x =--的定义域为R ，对于①，22()()2||12||1()f x x x x x f x -=----=--=，函数()f x 是偶函数，①正确；对于②，2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩，函数()f x 的增区间为[1,0],[1,)-+∞，②错误；对于③，不等式()1f x x <-，则20211x x x x ≤⎧⎨+-<-⎩或20211x x x x >⎧⎨--<-⎩，解得10x -<<或03x <<，所以不等式()1f x x <-的解集是(1,0)(0,3)- ，③错误；对于④，依题意，2221,303()21,03x x x x g x x x x x ⎧+--<≤⎪⎪+=⎨--⎪>⎪+⎩，当30x -<≤时，2()(3)4443g x x x =++-≥=+，当且仅当233x x +=+，即3x =-时取等号；当0x >时，14()(3)88283x g x x =++-≥=+，当且仅当1433x x +=+，即3x =时取等号，而84)2)]0--=-+=>，即84->，所以()g x的最小值为4-，④正确.故所有正确结论的序号是①④.故答案为：①④【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.求下列方程（组）的解集．．：（1）2560x x +-=（2）3ax =（3）10x +-=（4）2214112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩【答案】（1）{6,1}-（2）当0a =时，解集为∅；当0a ≠时，方程解集为3a 禳镲睚镲铪.（3）{3-（4）{(0,1),(2,0)}-【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得解集.（2）对a 分类讨论即可得方程的解集.（3(0)t t =≥，把原方程化为一元二次方程，结合t 的取值范围即可得到原方程的解集.（4）利用代入消元法即可得到方程组的解集.【小问1详解】由2560x x +-=得，(6)(1)0x x +-=，解得126,1x x =-=，故方程的解集为{6,1}-.【小问2详解】当0a =时，方程无解，解集为∅，当0a ≠时，解方程得3x a =，方程解集为3a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】(0)t t =≥，则方程可化为2210t t +-=，解方程得，1211t t =-+=-，22(13x t ==-=-{3-.【小问4详解】由2214112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得，2240x x +=，解得120,2x x ==-,方程组的解为1101x y =⎧⎨=⎩，2220x y =-⎧⎨=⎩，故方程组解集为{(0,1),(2,0)}-.17.求下列不等式（组）的解集．．：（1）2430x x -+≥（2）23210x x -++>（3）2112x x +≥+（4）221132340x x x ⎧+<⎪⎨⎪-+>⎩【答案】（1）{|1x x ≤或}3x ≥（2）1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（3）{|2x x <-或 （4）{}|21x x -<<【解析】【分析】（1）根据条件，因式分解得到(3)(1)0x x --≥，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据条件，变形得到23210x x --<，再因式分解得(31)(1)0x x +-<，即可求解；（3）先变形成102x x -≥+，再等价于(1)(2)0x x -+≥且2x ≠-，即可求解；（4）先利用绝对值不等式的解法，求2113x +<的解，再求22340x x -+>的解，再求交集，即可求解.【小问1详解】由2430x x -+≥，得到(3)(1)0x x --≥，所以1x ≤或3x ≥，故不等式2430x x -+≥的解集为{|1x x ≤或}3x ≥.【小问2详解】由23210x x -++>，即23210x x --<，得到(31)(1)0x x +-<，所以113-<<x ，故不等式23210x x -++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】由2112x x +≥+，得到102x x -≥+，等价于(1)(2)0x x -+≥且2x ≠-，所以2x <-或1x ≥，故不等式2112x x +≥+的解集为{|2x x <-或}1≥x .【小问4详解】由2113x +<，得到3213x -<+<，即2<<1x -，对22340x x -+>，因为9442230∆=-⨯⨯=-<，所以22340x x -+>的解集为R ，故不等式组221132340x x x ⎧+<⎪⎨⎪-+>⎩的解集为{}|21x x -<<.18.已知关于x 的方程220x x m +-=，m ∈R .（1）当1m =时，若方程的两根为1x 与2x ，求下列各式的值：①2212x x +;②12||x x -;③1222x x +;（2）若该方程的两根同号，求实数m 的取值范围.【答案】（1）①6；②；③4；（2）10m -<<.【解析】【分析】（1）把1m =代入，利用韦达定理列式，再逐一变形计算各个式子的值.（2）利用判别式及韦达定理列出不等式组求解.【小问1详解】当1m =时，方程2210x x +-=，224(1)80∆=-⨯-=>，则12122,1x x x x +=-=-，①222121212()26x x x x x x =-++=；②12||x x ==-=；③1212122()224x x x x x x ++==.【小问2详解】由方程的两根同号，得1212Δ440200m x x x x m =+>⎧⎪+=-<⎨⎪=->⎩，解得10m -<<，所以实数m 的取值范围是10m -<<.19.已知函数()21f x m x=+过点()1,2-.（1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（3）令()()1g x f x =-，求()g x 的解析式，并证明()g x 的图像关于1x =对称.【答案】（1）()211f x x=+，定义域为{}|0x x ≠（2）偶函数，证明见解析（3）()211(1)(1)g x x x =+≠-，证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件可得1m =，即可得()211f x x=+，由解析式可直接求出定义域，即可求解；（2）利用奇偶函数的判断方法，即可求解；（3）利用()211f x x=+，即可得()211(1)(1)g x x x =+≠-，再任取一点(,)P x y ，通过证明其关于1x =对称的点也在()g x 的图象上，即可求解.【小问1详解】因为函数()21f x m x =+过点()1,2-，则21m =+，得到1m =，所以()211f x x =+，定义域为{}|0x x ≠.【小问2详解】函数()f x 为偶函数，证明如下，因为()211f x x =+的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又()221111()()f x f x x x -=+=+=-，所以()f x 为偶函数.【小问3详解】因为()()2111(1)(1)g x f x x x =-=+≠-，设(,)P x y 是()g x 图象上任意一点，(,)P x y 关于1x =的对称点为(2,)P x y '-，因为()211(1)(1)g x x x =+≠-，所以()2221112111()(21)(1)(1)g x g x x x x -=+=+=+=----，即点(2,)P x y '-也在()g x 图象上，所以()g x 的图像关于1x =对称.20.已知函数()223f x x mx =++.（1）当1m =，[]2,2x ∈-时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()f x 在[]22-,上是单调函数，求实数m 的取值范围；（3）当2m =时，比较()0f 与()()226f a a a -+-∈R 的次小.【答案】（1）[2,11]（2）(,2][2,)-∞-+∞ （3）()2(0)26f f a a <-+-【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求函数的单调性，求出最大值和最小值即可得到函数的值域.（2）讨论函数的单调性，利用定义域和对称轴的关系可求得参数的取值范围.（3）计算226a a -+-的取值范围，利用二次函数的单调性和对称轴可比较大小.【小问1详解】当1m =时，()223f x x x =++，对称轴为直线1x =-，()f x 在(2,1)--上为减函数，在(1,2)-上为增函数，min max ()(1)1232,()(2)44311f x f f x f =-=-+===++=，故函数()f x 的值域为[2,11].【小问2详解】函数()223f x x mx =++，对称轴为直线x m =-，当函数()f x 在[]22-,上是单调增函数时，2m -≤-，2m ≥，当函数()f x 在[]22-,上是单调减函数时，2m -≥，2m ≤-，综上得，实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ .【小问3详解】当2m =时，()243f x x x =++，对称轴为直线2x =-，()f x 在(,2)-∞-上为减函数，在(2,)-+∞上为增函数，且()0(4)f f =-，∵2226(1)55a a a -+-=---≤-，∴()226(5)(4)(0)f a a f f f -+-≥->-=，故()2(0)26f f a a <-+-.21.设集合(){}123,,,R,1,2,3k A a a x x x x k ==∈=，对于集合A 中的任意元素()123,,a x x x =和()123,,b y y y =及实数λ，定义：当且仅当()1,2,3i i x y i ==时a b =()112233,,a b x y x y x y +=+++；()123,,a x x x λλλλ=.若A 的子集{}123,,B a a a =满足：当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，则称B 为A 的完美子集.（1）集合()()(){}11,0,0,0,2,0,0,0,3B =，()()(){}21,2,3,2,3,4,3,4,5B =，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（2）集合()()(){}2,,2,,2,2,,2,2B m m m m m m m m m =---，若B 不是A 的完美子集，求m 的值.【答案】（1）1B 是A 的完美子集，2B 不是A 的完美子集，理由见解析；（2）12m =.【解析】【分析】（1）根据完美子集定义去计算验证是否当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=即可得解；（2）先计算112233a a a λλλ++()()()()1231231232,2,2222m m m m m m m m m λλλλλλλλλ=++++++---，接着由()1122330,0,0a a a λλλ++=得方程()()123042m λλλ+-=+，解该方程得12m =或1230λλλ+=+，再结合元素互异性分类讨论12m =和1230λλλ+=+这两种情况即可得解.【小问1详解】1B 是A 的完美子集，2B 不是A 的完美子集，理由如下：对于()()(){}11,0,0,0,2,0,0,0,3B =，因为()()()1231,0,0,0,2,0,0,0,3a a a ===，所以()()()()112233123123,0,00,2,00,0,3,2,3a a a λλλλλλλλλ++=+=+，所以当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以1B 是A 的完美子集；对于()()(){}21,2,3,2,3,4,3,4,5B =，因为()()()1231,2,3,2,3,4,3,4,5a a a ===，所以()()()112233*********,2,32,3,43,4,5a a a λλλλλλλλλλλλ=++++()123123123,2323344,5λλλλλλλλλ=++++++，令1231231321232302*********λλλλλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⇒==-⎨⎪++=⎩，所以123,,λλλ存在无数组解使得()1122330,0,0a a a λλλ++=，如当132222λλλ==-=-时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以2B 不是A 的完美子集.【小问2详解】因为()()(){}2,,2,,2,2,,2,2B m m m m m m m m m =---，所以()()()1232,,2,,2,2,,2,2a m m m a m m m a m m m =-=--=，所以112233a a a λλλ++()()()()1231231232,2,2222m m m m m m m m m λλλλλλλλλ=++++++---，因为B 不是A 的完美子集，所以存在()()123,,0,0,0λλλ≠，使得1122330a a a λλλ+=+，即存在()()123,,0,0,0λλλ≠使得()()()123123123202202220m m m m m m m m m λλλλλλλλλ⎧++=⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，解方程组得()()123042m λλλ+-=+，由集合互异性可得2m m ≠且22m m ≠-，故0m ≠且2m ≠-，所以解()()123042m λλλ+-=+得12m =或1230λλλ+=+，且由12320m m m λλλ++=得12320λλλ++=，若12m =，则有123123123110221302233022λλλλλλλλλ⎧++=⎪⎪⎪+-=⇒⎨⎪⎪--+=⎪⎩1235573λλλ=-=-，所以123,,λλλ存在无数组解使得()1122330,0,0a a a λλλ++=，如当12355573λλλ=--==时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以B 不是A 的完美子集，符合题意；当1230λλλ+=+且12m ≠时，则由12320λλλ++=得1230,λλλ==-，所以由()123022m m m λλλ+-=+得()320m λ--=，又2m ≠-得30λ=，故20λ=，不符合题意；综上m 的值为12.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况；（3）类比新定义中的概念、原理、方法去解决题中需要解决的问题.。
北京市高一数学上学期期中考试试卷含答案
高一第一学期期中数学试题一、选择题（本题8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1、已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5M =，{}4,5N =，则集合()U C M N 中元素的个数是（ ） A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个2、下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A 、3y x =B 、ln y x =C 、2y x =-D 、2xy =3、若0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.12b -=，12log 2c =，则a ，b ，c 大小关系从小到大为（ ）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、c b a >>D 、b a c >>4、已知()32f x ax bx =++且()516f =，则()5f -的值为（ ） A 、12-B 、18-C 、12D 、185、已知函数()x f x a =，()log a g x x =（0a >，1a ≠），若11022f g ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是下图中的（ ）A 、B 、C 、D 、6、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合学生走法的是（ ）A 、B 、C 、D 、 7、已知函数()()()()231log 1a a x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的增函数，那么实数a 的范围（ ）A 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B 、1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C 、()1,+∞D 、()1,28、如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（2m ）与时间t （月）的关系：()t f t a =，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②浮萍每个月增长的面积都相等；③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④对浮萍蔓延到的任意两个时间点1t ，2t ，都有()()12120f t f t t t ->-成立；⑤若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1t 、2t 、3t ，则123t t t +=. 其中正确的是（ ） A 、①③④ B 、①③④⑤ C 、①④⑤ D 、②③⑤二、填空题（本题6个小题，每小题5分，共30分）9、计算021lg 2lg 55⎛⎫-- ⎪⎝⎭的结果是 。
北京高一上学期期中考试数学试卷含答案
高一上学期期中考试试卷数学一､选择题1.已知全集U R ＝，集合12345{}{|}2A B x x ∈≥R ＝，，，，，＝，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0}1，B. {}1C. {1}2，D. {012}，， 2.已知全集U =R ，{}1A x x =<-，{}1B x x =>，则()UB A =（ ）A. {}1x x >B. {}1x x ≤- C. {1x x >或}1x <-D. {}11x x -≤≤3.不等式113x <+<的解集为（ ） A. (0,2) B. (2,0)(2,4)-⋃ C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--⋃4.若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A. 33a b >B. a b <C.11a b< D.11a b> 5.命题:2p x ∀>，210x ->，则p ⌝是（ ） A. 2x ∀>，210x -≤ B. 2x ∀≤，210x -> C. 2x ∃>，210x -≤D. 2x ∃≤，210x -≤6.若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A. 3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B. 3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C. 3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D. 3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭7.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f（x 1）+f （x 2）＝0”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3二､填空题9.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则100,153100,3x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩当81z =时，x =___________，y =___________． 10.一元二次方程2310x x -+=的两个实数根分别是1x 、2x ，则221212x x x x 的值是______．11.已知正实数x ，y 满足xy=3，则2x+y 的最小值是 ．12.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 13.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．三､解答题15.已知二次函数()23f x x mx =+-，有两个零点为1-和n ．（1）求m 、n 的值；（2）证明：()()11f x f x +=-；（3）用单调性定义证明函数()f x 在区间()1,+∞上是增函数；（4）求()f x 在区间[]0,a 上的最小值()g a ．16.已知函数()223f x x x =--.（1）直接写出()f x 的零点； （2）在坐标系中，画出()f x 的示意图（注意要画在答题纸上）（3）根据图象讨论关于x 的方程()f x k =的解的个数:（4）若方程()f x k =，有四个不同的根1x 、2x 、3x 、4x 直接写出这四个根的和；（5）若函数()f x 在区间()1,a -上既有最大值又有最小值，直接写出a 的取值范围．17.已知函数()21xf x x =+.（1）求证：()f x 是R 上的奇函数； （2）求()1f a f a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （3）求证：()f x 在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减； （4）求()f x 在[)1,-+∞上的最大值和最小值； （5）直接写出一个正整数n ，满足()12019f n <．18.设函数()1110nn n n f x a x a xa x x --=++⋅⋅⋅++，()1110m m m m g xb x b x b x b --=++⋅⋅⋅++，且对所有的实数x ，等式()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦都成立，其0a 、1a 、、n a 、0b 、1b 、、m b R ∈，m 、n N ∈．（1）如果函数()22f x x =+，()g x kx =，求实数k 的值；（2）设函数()32321f x x x =+-，直接写出满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦的两个函数()g x ；（3）如果方程()()f x g x =无实数解，求证：方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦无实解．参考答案1【答案】B根据韦恩图知阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的公共元素所剩下的元素，由此可得选项. 【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集的元素所剩下的元素．因为{2,3,4,5}A B ⋂=，所以阴影部分所表示的集合是{1}．故选B ． 2【答案】D 求出AB ，利用补集的定义可求出集合()UA B .【详解】由题意可得{1A B x x ⋃=>或}1x <-，因此，(){}11UA B x x ⋃=-≤≤.故选：D. 3【答案】D 【解析】1<|x +1|<3⇔1<|x +1|2<9即()()221119x x ⎧+>⎪⎨+<⎪⎩即2220280x x x x ⎧+>⎨+-<⎩， 解得x ∈(−4,−2)∪(0,2) 本题选择D 选项. 4【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法、不等式的基本性质可判断出各选项中不等式的正误，由此可得出结论. 【详解】0a b <<，则22223024b b a ab b a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，()()33220a b a b a ab b ∴-=-++<，33a b ∴<，A 选项中的不等式错误；0a b <<，0a b ∴->->，即a b >，B 选项中的不等式错误；0a b <<，0a b ∴->->，11a b ∴-<-，可得11a b>，C 选项中的不等式错误，D 选项中的不等式正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法以及函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题. 5【答案】C 【解析】 【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，可得出命题p ⌝. 【详解】命题:2p x ∀>，210x ->，由全称命题的否定可知，命题:2p x ⌝∃>，210x -≤.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定，要注意全称命题的否定与特称命题的之间的关系，属于基础题. 6【答案】D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断.【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题. 7【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】函数()f x 是奇函数,∴若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=成立,即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时 满足()()120f x f x ==，此时满足()()120f x f x +=， 但1240x x +=≠，即必要性不成立，故“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件， 所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键. 8【答案】D 【解析】 【分析】①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42nM ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．【详解】解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42nM ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n ，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除， 42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =-- 222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈ 那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选D ．【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 9【答案】 (1). 8 (2). 11 【解析】 【分析】将z 代入解方程组可得x 、y 值.【详解】19881,,.537311x y x z x y y +==⎧⎧=∴∴⎨⎨+==⎩⎩ 【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口． 10【答案】3 【解析】 【分析】利用韦达定理求出12x x +和12x x ，由此可得出2212121212x x x x x x x x 的值.【详解】由韦达定理得123x x +=，121=x x ，因此，()2212121212133x x x x x x x x +=+=⨯=.故答案为：3.【点睛】本题考查利用韦达定理求代数式的值，考查计算能力，属于基础题. 11【答案】【解析】试题分析：由题33,22y x y x x x =∴+=+≥=当且仅当2x =时，等号成立；考点：均值不等式 12【答案】2 【解析】C ＝2202020444t t t t =≤++＝5当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用 13【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称， 作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)-【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.14【答案】 (1). 1- (2). (][),04,-∞+∞【解析】 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由()f x 的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与x 轴有交点，得到0∆≥，解不等式即可得到所求范围．【详解】①由题意得：()111f a a =-+=()f x 为R 上的奇函数 ()()f x f x ∴-=- ()()111f f ∴-=-=-②若()f x 的值域为R 且()f x 图象关于原点对称∴当0x >时，()2f x x ax a =-+与x 轴有交点 240a a ∴∆=-≥解得：0a ≤或4a ≥ a ∴的取值范围为(][),04,-∞+∞故答案为1-；(][),04,-∞+∞【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题．15【答案】（1）2m =-，3n =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）()223,014,1a a a g a a ⎧--<≤=⎨->⎩. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理可得出关于实数m 、n 的方程组，即可求出这两个未知数的值； （2）直接计算()1f x +和f1−x ，可证明出()()11f x f x +=-；（3）任取121x x >>，作差()()12f x f x -，因式分解后判断差值的符号，即可证明出函数()y f x =在区间()1,+∞上是增函数；（4）分01a <≤和1a >两种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]0,a 上的单调性，即可得出函数()y f x =在区间[]0,a 上的最小值()g a 的表达式.【详解】（1）由韦达定理得131n n m -⨯=-⎧⎨-+=-⎩，解得23m n =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知()()222314f x x x x =--=--，()()2211144f x x x ∴+=+--=-，()()2211144f x x x -=---=-，因此，()()11f x f x +=-； （3）任取121x x >>，则()()()()221211222323f x f x x x x x -=-----()()()()()()()2212121212121212222x x x x x x x x x x x x x x =---=+---=-+-，121x x >>，120x x ∴->，122x x +>，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，因此，函数()y f x =在区间()1,+∞上是增函数；（4）当01a <≤时，函数()y f x =在区间[]0,a 上为减函数，此时()()223g a f a a a ==--；当1a >时，函数()y f x =在区间[]0,1上减函数，在区间[]1,a 上为增函数， 此时()()14g a f ==-.综上所述，()223,014,1a a a g a a ⎧--<≤=⎨->⎩. 【点睛】本题考查二次函数相关的问题，涉及利用韦达定理求参数、二次函数对称性、单调性的证明、以及二次函数在区间上最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16【答案】（1）1-和3；（2）图象见解析；（3）见解析；（4）4；（5）(3,1⎤⎦. 【解析】 【分析】（1）解方程()0f x =即可得出函数()y f x =的零点； （2）根据绝对值翻折变换可作出函数()y f x =的图象；（3）将方程()f x k =的解的个数转化为函数y k =和()y f x =图象的交点个数，利用数形结合思想可得出结论；（4）根据函数()y f x =可得出1234x x x x +++的值；（5）求方程2234x x --=在3x >时的解，利用图象可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）解方程()0f x =，即2230x x --=，解得1x =-或3x =，所以，函数()y f x =的零点为1-和3；（2）函数()223f x x x =--的图象是将函数223y x x =--的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，位于x 轴上方的图象保持不变而得到，则函数()223f x x x =--的图象如下图所示：（3）方程()f x k =的解的个数等于函数y k =和()y f x =图象的交点个数，如下图所示：当k 0<时，方程()f x k =无实根；当0k =或4k >时，方程()f x k =有2个实根； 当04k <<时，方程()f x k =有4个实根； 当4k =时，方程有3个实根.综上所述，当k 0<时，方程()f x k =无实根；当0k =或4k >时，方程()f x k =有2个实根；当04k <<时，方程()f x k =有4个实根；当4k =时，方程有3个实根；（4）由图象可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，因此，12344x x x x +++=； （5）当3x >时，解方程2234x x --=，解得221x =，由图象可知，当3221a <≤时，函数()y f x =在区间()1,a -上既有最大值，又有最小值， 故实数a 的取范围是(3,221⎤⎦.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数的零点以及最值问题，同时也涉及了函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.17【答案】（1）证明见解析；（2）0；（3）证明见解析；（4）最大值12，最小值12-；（5）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）代值计算即可得出()1f a f a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （3）任取12x x ≠，作差()()12f x f x -，通分、因式分解后分1211x x 和211x x >≥两种情况讨论()()12f x f x -的符号，即可证明出结论；（4）利用（3）中的结论可求出函数()y f x =在区间[)1,-+∞上的最大值和最小值；（5）可取满足2019n ≥的任何一个整数n ，利用函数()y f x =的单调性和不等式的性质可推导出()12019f n <成立. 【详解】（1）函数()21xf x x =+的定义域为R ，定义域关于原点对称， 且()()()2211xxf x f x x x --==-=-+-+，因此，函数()y f x =是R 上的奇函数； （2）()22222222111*********a a a a a aaf a f a a a a a a a a ⋅⎛⎫-=-=-=-= ⎪++++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭； （3）任取12x x ≠，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()()()()()2212121212211212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx -+--+---===++++++.当1211x x 时，120x x -<，1210x x ->，()()2212110x x ++>，则()()12f x f x <；当211x x >≥时，120x x -<，1210x x -<，()()2212110x x ++>，则()()12f x f x >.因此，函数()y f x =在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减； （4）由于函数()y f x =在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 当1x =时，函数()y f x =取最大值，即()()max 112f x f ==； 当0x >时，()0f x >，所以，当1x =-时，函数()y f x =取最小值，即()()min 112f x f =-=-. 综上所述，函数()y f x =在[)1,-+∞上的最大值为12，最小值为12-； （5）由于函数()y f x =在[)1,+∞上单调递减，当2019n ≥时，()()2220192019120192019120192019f n f ≤=<=+，所以，满足2019n ≥任何一个整数n 均满足不等式()12019f n <. 可取2020n =，满足条件.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的证明、利用单调性求最值，同时也考查了函数值的计算以及函数不等式问题，考查分析问题和解决问题能力，属于中等题.18【答案】（1）1k =；（2）()g x x =，()32321g x x x =+-，答案不唯一；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据已知条件()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦直接代入计算即可；（2）验证()g x x =满足条件()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，再者若()()g x f x =，则等式()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦也满足，由此可得出符合条件的函数()y g x =的两个不同的解析式；（3）假设方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦有实数解，利用反证法推出与已知条件矛盾，进而证明结论成立. 【详解】（1）()22f x x =+，()g x kx =，则()()()22222f g x f kx kx k x ⎡⎤==+=+⎣⎦，()()()222222g f x g x k x kx k ⎡⎤=+=+=+⎣⎦， ()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，222k k k ⎧=∴⎨=⎩，解得1k =；（2）若()g x x =，则()()f g x f x ⎡⎤=⎣⎦，()()g f x f x ⎡⎤=⎣⎦，此时()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦； 若()()g x f x =，则()()f g x f f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，()()g f x f f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，此时()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦. 所以，当()32321f x x x =+-时，满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦的函数()y g x =的两个解析式可以是()g x x =，()32321g x x x =+-（答案不唯一）；（3）假设方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦有实数解，设()()()h x f x g x =-，则()()()h f x f f x g f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()()h g x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 两式相减得()()()()()()h f x h g x f f x g f x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()0f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，所以，()()h f x h g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，由零点存在定理可知，存在()(){}()(){}()min ,,max ,a f x g x f x g x ∈，使得()0h a =，()()f x g x =无实根，则()0h x =永远不成立，推出假设不成立.所以，方程()()f x g x =无实数解，方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦也无实解【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了方程根的存在性的证明，涉及反证法与零点存在定理的应用，考查推理论证能力，属于难题.。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2024-2025学年第一学期高一年级数学学科期中考试命题人：（答案在最后）考生须知1.本试卷分为试题、答题卡两部分.满分150分.考试时间120分钟.2.认真填写所在班级、姓名、学号.3.请用2B 铅笔填涂机读卡，用黑色签字笔在二卷上按要求作答.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.已知集合{1,0,1,2,3},{12}A B xx =-=-<≤∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{1,0,1}-C.{0,1}D.{0,1,2}【答案】D 【解析】【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】由于{1,0,1,2,3},{12}A B xx =-=-<≤∣，故A B = {0,1,2}，故选：D2.已知a b >，则下列关系中正确的是（）A.a c b c ->-B.ac bc> C.a b> D.22a b >【答案】A 【解析】【分析】由不等式的性质可判断A ，由特值法可判断BCD.【详解】由a b >，则a c b c ->-，A 正确；当0c =时，ac bc =，故B 错误；当3,7a b =-=-时，a b >，3,7a b ==，则a b <，故C 错误；229,49a b ==，则22a b <，故D 错误.故选：A.3.命题“R m ∀∈，都有2230m m -+>”的否定是（）A.R m ∀∈，都有2230m m -+≤B.R m ∃∈，使得2230m m -+≤C.R m ∃∈，使得2230m m -+<D.R m ∃∈，使得2230m m -+>【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“R m ∀∈，都有2230m m -+>”的否定是“R m ∃∈，使得2230m m -+≤”.故选：B.4.已知函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((1))f f -等于（）A.4B.2- C.D.2【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数的定义域，先求得(1)f -，再求((1))f f -即可.【详解】因为函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，所以()(1)314f -=--=，所以()((1))42f f f -===，故选：D 5.不等式111x >-的解集为（）A.()(),12,-∞+∞ B.(),2-∞ C.()1,2 D.()(),01,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据根式不等式等价于()()120x x --<，即可求解.【详解】由111x >-可得1120011x x x x -+->⇒<--，故等价于()()120x x --<，解得12x <<，故选：C6.下列函数中，满足“对任意的1x ，()20,x ∈+∞使得()()12120f x f x x x -<-”成立的是（）．A.()221f x x x =--+ B.()1f x x x=-C.()1f x x =+ D.()2f x x=-【答案】A 【解析】【分析】根据单调性的定义知函数在在(0,)+∞上为减函数，然后逐项分析即可.【详解】根据题意，“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，使得()()12120f x f x x x -<-”，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数.对于选项A ，2()21f x x x =--+为二次函数，其开口向下且对称轴为1x =-，所以()f x 在(0,)+∞上递减，符合题意；对于选项B ，1()f x x x=-，因为y x =在(0,)+∞上递增，1y x =-在(0,)+∞上递增，所以由单调性的性质知，()f x 在(0,)+∞上递增，不符合题意；对于选项C ，()1f x x =+为一次函数，所以()f x 在(0,)+∞上递增，不符合题意；对于选项D ，()2f x x=-在(0,)+∞上单调递增，不符合题意.故选：A.7.已知p ：02x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（）A.13x <<B.11x -<< C.01x << D.03x <<【答案】C 【解析】【分析】判断出{}02x x <<的真子集，得到答案.【详解】因为{}01x x <<是{}02x x <<的真子集，故{}01x x <<是p 的一个充分不必要条件，C 正确；ABD 选项均不是{}02x x <<的真子集，均不合要求.故选：C8.函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论正确的是（）A.()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由()y f x =在()0,2上是增函数，()2y f x =+为偶函数，可知()2y f x =+在()0,2上是减函数，进而可比较函数值的大小.【详解】∵()y f x =在()0,2上是增函数，∴()2y f x =+在()2,0-上是增函数，由函数()2y f x =+是偶函数，知：()2y f x =+在()0,2上是减函数，而()()()73512,2,121212222f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1301222<<<<，∴()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B9.已知()2411f x x +=-，则函数()f x 的解析式为（）A.()22f x x x=- B.()()211f x x x =-≥C.()()2221f x x x x =-+≥ D.()()221f x x x x =-≥【答案】D 【解析】【分析】根据换元法，设211x t +=≥，得21x t =-，代入即可求解．【详解】设211x t +=≥，则21x t =-，所以()()22112f t t t t =--=-，所以()()221f x x x x =-≥，故选：D ．10.已知()222,01,0x ax a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,0-B.[]0,1C.[] 2,1- D.[]1,2【答案】B 【解析】【分析】由(0)f 是函数()f x 的最小值，结合二次函数的性质知222()2()f x x ax a x a ==-+-在(-∞，0]上单调递减，从而可得0a ≥，再由分段函数的性质知(0)(1)f f ≤，从而求实数a 的取值范围．【详解】解：(0)f 是函数()f x 的最小值，2()()f x x a ∴=-在(-∞，0]上单调递减，0a ∴≥，当0x >时，1()2f x x a a x=+-≥-在1x =处有最小值，即min ()(1)2f x f a ==-，故(0)(1)f f ≤，即22a a ≤-，解得，21a -≤≤，综上所述，01a ≤≤，故实数a 的取值范围是[0，1]，故选：B ．二、填空题（本题共6小题，共30分）11.已知集合{}2|10,A x x x R =-=∈，用列举法表示A =_________.【答案】{}1,1-##{}1,1-【解析】【分析】先求解出方程的实数根，然后用列举法表示集合.【详解】解：解方程210x -=得1x =±，所以列举法表示集合为{}1,1A =-，故答案为：{}1,1-12.函数()11f x x =+-的定义域为______.【答案】[)()2,11,-⋃+∞【解析】【分析】由1020x x -≠⎧⎨+≥⎩即可求出.【详解】由1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得2x ≥-且1x ≠，所以()f x 的定义域为[)()2,11,-⋃+∞.故答案为：[)()2,11,-⋃+∞.13.若函数2()(1)f x x a x a =+-+在区间[2,)+∞上是增函数，则a 的取值范围__________.【答案】[3,)-+∞【解析】【分析】利用二次函数单调性列出不等式，求解不等式即得.【详解】函数2()(1)f x x a x a =+-+图象开口向上，对称轴为12a x -=-，由函数()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，得122a --≤，解得3a ≥-，所以a 的取值范围是[3,).-+∞故答案为：[3,)-+∞14.已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为_____．【答案】9【解析】【分析】把要求的式子变形为()14414x yx y x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可得到14x y +的最小值．【详解】因为0,0,1x y x y >>+=,所以()1441459x yx y x y y x ⎛⎫++=+++≥+⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =即12,33x y ==时，取等号．故答案为：915.已知函数3()3(g x ax bx a =++，b 为常数），若(2)1g =，则(2)g -=__．【答案】5【解析】【分析】设3()()3f x g x ax bx =-=+，可得函数()f x 为奇函数，从而可得()()0f x f x +-=，即得()3()30g x g x -+--=，代入条件即可得解.【详解】根据题意，设3()()3f x g x ax bx =-=+，有33()()()()()f x a x b x ax bx f x -=-+-=-+=-，则函数()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=，即()3()30g x g x -+--=，变形可得()()6g x g x +-=，则有(2)(2)6g g +-=，(2)1g =，则(2)5g -=；故答案为：5.【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，解题的关键是设3()()3f x g x ax bx =-=+，从而与奇偶性建立联系进而得解，属于基础题.16.若关于x 的不等式2210x x m --+≤在区间[]0,3内有解，则实数m 的取值范围______.【答案】(],2-∞【解析】【分析】根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】2221021x x m m x x --+≤⇒≤-++，设()[]()2210,3f x x x x =-++∈，()()222112f x x x x =-++=--+，该二次函数的对称轴为1x =，开口向下，当[]0,3x ∈时，()()max 12f x f ==，要想关于x 的不等式2210x x m --+≤在区间[]0,3内有解，只需()max 2m f x m ≤⇒≤，所以实数m 的取值范围为(],2-∞，故答案为：(],2-∞三、解答题；本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集U =R ，集合{}23A x x =-<<，{}32B x x =-≤≤，（1）求A B ，A B ⋂；（2）求()U A B ð，()U A B ⋃ð．【答案】17.{}33A B x x =-≤< ，{}22A B x x ⋂=-<≤18.(){}23U A B x x ⋂=<<ð，(){2U A B x x ⋃=≤ð或}3x ≥．【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义一次计算即可.【小问1详解】利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，如图．则{}33A B x x =-≤< ，{}22A B x x ⋂=-<≤.【小问2详解】依题意：{2U A x x =≤-ð或}3x ≥，{3U B x x =<-ð或}2x >，所以(){}23U A B x x =<< ð，(){2U A B x x =≤ ð或}3x ≥．18.已知函数()22f x x x =-．（1）写出()f x 的分段解析式；（2）画出函数()f x 的图象；（3）结合图象，写出函数()f x 的单调区间和值域．【答案】()1函数()f x 的分段解析式为()222020x xx f x x xx ⎧-≥=⎨+<⎩;()2见详解;()3函数()f x 的单调递增区间为[][)1,0,1,-+∞；单调递减区间为(][],1,0,1-∞-;函数()f x 的值域为[)1,-+∞.【解析】【分析】()1去绝对值得到分段函数()f x 的解析式;()2根据解析式,通过描点作图,画出函数()f x 图象;()3结合图象,通过观察,写出函数()f x 的单调区间和值域;【详解】()1由题意可得,当0x ≥时, ;当0x <时,()22f x x x =+;所以函数()f x 的分段解析式为()222020x xx f x x xx ⎧-≥=⎨+<⎩;()2根据()1中函数()f x 的解析式,通过描点作图,得到函数()f x 的图象如下:()3由函数图象可知,函数()f x 的单调递增区间为[][)1,0,1,-+∞；单调递减区间为(][],1,0,1-∞-;函数()f x 的值域为[)1,-+∞.【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质;函数图象的判定和作法，利用函数图象判断函数的性质;属于中档题,常考题型.19.已知关于x 的不等式()222R x x ax a a +>+∈.（1）若1a =，求不等式的解集；（2）解关于x 的不等式.【答案】（1）112x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将1a =代入解不等式即可；（2）因为对应方程的两个根为1,2a -，分12a =-、12a >-、12a <-三种情况解不等式即可.【小问1详解】由()()()()222,2121,210x x ax a x x a x x a x +>+∴+>+∴-+>，当1a =时，可得解集为112x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或.【小问2详解】对应方程的两个根为1,2a -，当12a =-时，原不等式的解集为12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，当12a >-时，原不等式的解集为12x x ⎧<-⎨⎩或}x a >，当12a <-时，原不等式的解集为{x x a <或12x ⎫>-⎬⎭，20.定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()41f x x x =+-．（1）利用函数单调性的定义，证明：()41f x x x=+-在[)2,+∞上是单调增函数（2）求函数()f x 的解析式．【答案】（1）证明见解析（2）()41,00,041,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩【解析】【分析】（1）任取[)1212,2,,x x x x ∈+∞>，通过判断()()12f x f x -的符号来证明单调性即可；（2）利用()()f x f x =--可得函数解析式.【小问1详解】任取[)1212,2,,x x x x ∈+∞>，则()()()()12121212121244411x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫-=+--+-= ⎪⎝⎭，[)1212,2,,x x x x ∈+∞> ，12120,40x x x x ∴->->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，∴()41f x x x=+-在[)2,+∞上是单调增函数；【小问2详解】当0x <时，由函数()f x 是奇函数得()()4411f x x x x x f x ⎛⎫-+--==++ ⎪⎝⎭-=--，，又()00f =，()41,00,041,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪∴==⎨⎪⎪++<⎩.21.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为2900m 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （单位：m ），三块种植植物的矩形区域的总面积为S （单位：2m ）．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）求S 的最大值，并求出此时x 的值．【答案】（1）72002916=--+S x x，()8,450x ∈（2）当矩形温室的室内长为60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为2676m ．【解析】【分析】（1）三块种植植物的矩形区域的总面积可看做一个矩形面积:900(8)2S x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭,根据边长为正得其定义域为(8,450)；（2）利用基本不等式求最值即可.【小问1详解】由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+⎪⎝⎭，()8,450x ∈．【小问2详解】因为8450x <<，所以72002240x x +≥=，当且仅当60x =时等号成立，从而676S ≤．故当矩形温室的室内长为60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为2676m ．22.已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()01f =，()10f -=；()f x 在R 上为增函数；（2）34a <.【解析】【分析】（1）利用赋值法求出()()0,1f f -的值，利用函数的单调性定义判断()f x 的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式()()231f ax x f x -+<转化为()()221f ax x f -<-，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.【详解】（1）令0x y ==，得()()()00001f f f +=+-，得()01f =，令1,1x y =-=，得()()()0111f f f =-+-，得()10f -=；设12,x x 是任意两个不相等的实数，且12x x <，所以210x x ->，所以()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-()()()()21112111f x x f x f x f x x =-+--=--，因为210x x ->，所以()211f x x ->，所以()2110f x x -->，因此()()()()21210f x f x f x f x ->⇒>即()f x 在R 上为增函数；（2）因为()()231f ax x f x -+<，即()2211f ax x -+<，即()220f ax x -<，又()10f -=，所以()()221f ax x f -<-，又因为()f x 在R 上为增函数，所以221ax x -<-在[]1,2x ∈上恒成立；得2210ax x -+<在[]1,2x ∈上恒成立，即221a x x<-在[]1,2x ∈上恒成立，因为2221111x x x ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，当2x =时，221x x -取最小值34，所以34a <；即34a 时满足题意.。