交错级数敛散性的判别方法

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高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法

专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （Λ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （Λ,3,2,1=n ）（2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。

注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。

对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。

定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。

由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。

（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。

总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。

若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。

（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。

若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。

（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。

若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。

例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。

解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na 收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。

交错级数敛散性判定20110414

x 故函数单调递减 , ∴ un > un+1 , x −1 n 又 lim un = lim = 0. 原级数收敛. 原级数收敛 n→ ∞ n→ ∞ n − 1
EX
(-1)n ( 2) ∑ s (s > 0) n =1 n ( −1)n 特别 : ∑ n n =1
( 3) (-1)n ( n 2 − 1) ∑
n =1 ∞
∞
∞
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 1 若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
定理 1
若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
1 证明令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 显然 v n ≥ 0, 且 v n ≤ un , ∴ ∑ ∞
注 :若
∑
∞
n =1
u n 发散 , 则
∑
∞
n =1
u n 未必发散
。
例2
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 2 的收敛性. n =1 n
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
解
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
又 Q ∑ un = ∑ ( 2v n − un ),
n =1 n =1
∞
∞
∴ ∑ un 收敛收敛.
n =1
n =1 ∞
定理的作用：定理的作用：任意项级数正项级数

高等数学-交错级数

tan

的敛散性.
n1
3n
9.3.2 绝对收敛与条件收敛

设 un 为任意级数(即 un 可正,可负), n1

称 un 为原级数的绝对值级数. n1

若 un 收敛,则称 un 绝对收敛;
n1
n1

若 un 收敛,而 un 发散,则称 un 条件收敛.

0)
是绝对收敛、
条件收敛还是发散？
作业:习题 9-3
1(5)(6)(8)(9)(10) 3 5 6
补充题
1. 判断

sin(n
1
) 是绝对收敛,条件收敛,还是发散?
n1
ln n
2. 判别
(1)n1 n2 [n (1)n ]p
( p 0) 的敛散性.

3. 判断 (1)n1
n1
n1
n1
例如, (1)n1 1 为条件收敛.
n1
n

定理 9 7 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定理
(1)
若 lim un1 1,
u n n

则 un 发散.
n1

(2)
若
lim n
n
un
1,
则 un 发散.
n1
【例9-16】判别级数

(1)n1
ln(
n

1)
的敛散性.
n1 n
n
【例9-17】判断下列级数的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：

(1) (1)n1

10 第11讲_变号级数敛散性判别方法

收敛还是条件收敛？
(1)
n1
(1)n
ln
1

1 n

(2)
n1
(1)n
2n 3n 1
cos n
(3)
n1 n n
【解】(2) 因为
→
→
→
2 n
因为等比级数 n1 3 收敛, 由比较判别法的极限形式知，级数

n1
(1)n
2n 3n 1
(B) 若级数
与
都条件收敛，则
件收敛
【解】对于选项（B），其结论是错误的，反例为：
必条
故(B)为正确答案.
例11.4 下列结论不正确的是（）.
(C) 若级数
绝对收敛，
必条件收敛
条件收敛，则
【解】对于选项(C), 结论是正确的. 首先，易知
收敛.
其次，如果
绝对收敛，那么因为
，
则
绝对收敛，与题设矛盾. 故(C) 对应的结论是正确的
收敛，
所以原级数绝对收敛.
例11.2 试判定下列级数的收敛性，如果它们是收敛的，问它们是绝对
收敛还是条件收敛？
(1)
n1
(1)n
ln
1

1 n

(2)
n1
(1)n
2n 3n 1
cos n
(3)
n1 n n
【解】(3) 注意到
1
，因为级数
收敛，
n1 n n
所以原级数绝对收敛.
例11.3 设级数
(A)
→
(C) (D) 对于任意的
条件收敛，则下列结论不正确的是（）.

无穷级数的敛散性判别方法

1.先看级数通项是不是趋于0。

如果不是，直接写“发散”，OK得分，做下一题;如果是，转到
2.
2.看是什么级数，交错级数转到3;正项级数转到4.
3.交错级数用莱布尼兹审敛法，通项递减趋于零就是收敛。

4.正项级数用比值审敛法，比较审敛法等，一般能搞定。

搞不定转
5.
5.看看这个级数是不是哪个积分定义式，或许能写成积分的形式来判断，如果积分出来是有限值就收敛，反之发散。

如果还搞不定转6。

6.在卷子上写“通项是趋于0的，因此可以进一步讨论”。

写上这句话，多少有点分。

回去烧香保佑及格，OVER!。

高数-任意项级数敛散性判别法

x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛三、小结提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义：如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1

交错级数判别法

交错级数判别法
交错级数判别法（Alternating Series Test）是一种用于判断交错级数收敛性的方法。

交错级数是指一个级数的项交替正负，即每一项的符号与前一项相反。

例如，一个交错级数可以写成以下形式：a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ...
交错级数判别法的具体步骤如下：
1. 检查交错级数的项数是否趋近于无限大，即该级数是否为无限级数。

2. 检查交错级数的项是否单调递减，即对于所有的n，都有
a(n+1) <= a(n)。

3. 检查交错级数的项是否趋近于零，即lim(n->∞) a(n) = 0。

如果上述三个条件同时满足，那么交错级数就是收敛的。

交错级数判别法的基本思想是，当级数的项逐渐趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。

因为交错级数的部分和序列是单调递增的，且其上限和下限分别为相邻两个部分和序列，所以当级数的绝对值趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。

需要注意的是，交错级数判别法只适用于交错级数，对于非交错级数，不能使用此方法来判断其收敛性。

任意项级数敛散性的判别(3)

n
un
1
(1 )
f
( x)
(x
ln
x x)2
0
f ( x) 递减
故 un un1
1 lim
n n ln n
1 lim
x x ln x
1
lim
x
ln
ex
0
x
故 (1)n1 收敛，从而条件收敛.
2021/4/21n1 n ln n
17
(4)
对于级数
xn
n1 n
x n1
lim
n
n1 xn
2021/4/21
19
作业题习题七(A) 9.
2021/4/21
20
n1
2021/4/21
12
级数
收敛
绝对收敛条件收敛
发散
un收敛, un 收敛.
n1
n1
un 收敛, un 发散.
n1
n1
判断绝对收敛与条件收敛的参考步骤:
收敛 un 绝对收敛
un n1
发散
n1
其它法
n1
n1
un un
收敛
un
条件收敛
n1
发散
un
发散
n1
2021/4/21
综上所述 S2n极限存在
设
lim
n
S2n
S
又 S2n1 S2n u2n1
则 lim n
S2n1
S
即 S2n1 极限存在值为 S
故 Sn 极限存在从而级数 (1)n1un 收敛.
2021/4/21
n1
4
例1
判断交错级数 (1)n1 1
n1

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ｎ＋＿∞ ＼ｌ／
（） ‰ ｔ（＝，，，）（）ｉ０１％ｎｌ２３ … ；２ｌｍ，
ｎ —＿＋ ∞
当， Ⅳ 时，立ｌ２成＞
Ｉ－ｏ＜￣＋Ｐ８
ｎ
则级数收敛，其和Ｓｎ且。．引理２阿贝尔判别法）交错级数（若（１一）中
由正项级数的比值或根值审敛法判断为发散，原级数发则
散若∑Ｉ由项数其审法断发转３；％正级的他敛判为散（；Ｉ）
（首３选极限法计算ｌｎＩ一／＞，成）判别ｉｆ１０是否ｍ）ｎ ∞ ＼ｑ一
（）ｌ，０是否成立？成立或不容易判断结果，１ｉ，ｍａ＝转
ｎ — ∞
ｎ ∞ 一
ｌｎｃ＋１０ｉｆ１一１，ｍ＼＞／
（）否则发散；２；
则该级数收敛。
收稿时间：０００－０２１－４１
＝
法ｎ＿ｍｆ “ 一／：ｍ一：ｎｌＩｉ１ｎｎｌ１ｉ呻∞
一
一
１
１
ｎ２ｘｈｌ＋／＋
立？成原数敛件敛；ｌｎ一１容若立，级收且条收若ｉｆ１ｍ不
ｎ —＋ ∞ ＼ａｎｌ＋』
—【（Ｖ，Ｊ＋）／ｎ ∞凡＋一】
∑ （）收，Ｎｉ￣。一敛￥ｌａ０１Ｊ￣ｍ＝
ｎ：Ｉｎ＋∞ —
该定理根据级数收敛的必要条件即可得到。定理２极限判别法）（如果交错级数（１－）满足
给定一个交错级数
性：
（１，如下步骤判断收敛－）’ 按
关键词：交错级数；敛；散；收发条件收敛中图分类号：７文献标识码：文章编号：０８３４（０Ｏ０ — ０６一Ｏ０１３Ａｌ０ — ３０２１）２Ｏ６２
１相关定义及引理
定义正负项交替出现的级数称为交错级数。即
时， ≤ｏ函数几）），：
单调减小，故
（１２３），，… ，
科技出版社．９５１８．
由引理１知级数收敛。容易得该级数条件收敛。
判定交错级数（ｌ＿的敛
ＡｉｅｉｏｎｅｇｎｅａｄＤｉｅｇｎｅｏｔｒａｉｇＳｒｅＣｒｔｒａｆｒＣｏｖｒｅｃｎｖｒｅｃｆＡｌｅｎｔｎｅｉｓ
山东广播电视大学学报
２１００年第２期
交错级数敛散性的判别方法
王宣欣（济南大学理学院，济南２０２）山东５０２
摘
要：文给出了交错级数敛散性的判别方法，出了交错级数收敛的极限判别法并加以严格证明。本提
结：如１１ ‘ 害论形 ∑（）＋一
一
１ｎ＋ … ＋ａｌｎ＋ａｏ
（１）＜的
交错级数， — ＞当Ｚｋｌ时，数绝对收敛；ｌｋ１，数条级当－时级件收敛，时极限判别法优于莱布尼兹定理判别法。当ｌ此 —
级数
０ ≤
㈠ ’
收敛，又
ｎ十
＝１
＼ｎ／
ｎ＋ｌ
单调递增且有界
例１定错数∑（）判交级一一的散？１敛性
ｎ＝ｌ凡一
＜，定理２知原级数收敛。容易判断出该级数条１由
ｎ＋１
件收敛。解：然％：显，
作者简介：宣欣（９８）女，东济南人，南大学理学院讲师，士。王１７－，山济硕
山东广播电视大学学报
交错级数敛散性的判别方法
（乞Ｉ否收若收敛，２）是敛？原级数绝对收敛；若
ｌ
毗显然
㈠
，
即＞＋＞故％１旦１
，
其中ａ－０ｎｌ２３ … ），（＝，，，。，＞
ｌｎ Ⅳ１。（＞）
１
ｎ
引（布兹理设错数∑ （）满理１尼定）交级莱一一足１
ｎ＝ｌ
（由ｌｎ一１０可知８０一＞，２２ｉｆ１，对于０，８０）ｍ＞＞ｐ。存在Ｎ，
（１￣ａ＝ｌ啦一＋（１１一）ｌ，－－，ａ啦＋啦 …＋一）％＋
证（因ｉｎ一＞，据限保性，明；）为ｌｆｌ０根极的号１ｍ１
ｎ＋＿∞ ＼＋ｌ／
对＜＜，在ｎ有ｆ＋Ｉ一／，于０【存 Ⅳ，＞时，ｎ％１ｏｐ当Ⅳ ＼
ＫｅｒｓＡｌｒａｉｇｓｒｓＣｏｖｒｅｃ；ｖｒｅｃＣｎｉｏａｌｏｖｒｅｔｙｗｏｄ：ｔｎｔｅｉ；ｎｅｇｎｅＤｉｅｇｎｅ；ｏｄｔｎｌｃｎｅｇｎｅｎｅｉｙ
６７
、
ｒｔ＋１
，｛（１［１ｎ８ｏ＼２ｒ＋【ｎ＋一ｌ【ｎ＋ｎ（／），ｉｎｌ＋］Ｊ叶ｍｎ＋＼Ｊ２４ｎ＝
—
易算，虑布兹理；容观出∑（）％计考莱尼定若易察一一中１
Ⅱ ，虑阿贝尔判别法。考
由定理２知级数收敛。法二：Ｍ，：ｕ
ｘ／ｎ
，：
，由定理２或引理１知
＋ｌ
步骤（）可根据交错级数的具体情况选择方法，３中但
引理１引理２定理２也只是充分条件。，，４方法比较．
ｑ０。
即－Ｋ（＝，，，）则交错级数（１％收敛。＜ｎｌ２３ … ，１一）
２结论
根据引理１和收敛级数的性质可得交错级数１（１、一）．％收敛。３判别步骤
１
定理１错级数收敛的必要条件）果交错级数（交如
ｋｌ，用极限判别法计算极限时要考虑使用泰勒公式。＜时使
＝ｎ
卟理知数敛脓２级收。
：０
当ｌｋ１．用极限判别法计算出的ｏｌｋ－时使＝—
法二：１ｌｎｉ（）ｉ＝ｌｍａｍ
参考文献：
ＷＡＮＧＸｕａｎ—ｘｎｉ
（ｃｏｌｏＳｉｎｅＵｉｅｓｔｆＪｎｎ，ｉａ５０２Ｓｈｏｆｃｅｃ，ｎｖｒｉｏｉａＪｎｎ２０２）ｙ
ＡｂｔａｔｈｓｐｐｒｇｖｓａｃｔｒａｆｒｃｎｅｇｎｅａｄｄｖｒｅｃｆａｅｎｔｇｓｒｓＩｏｆｒａｓｎｉｔｔｉｃｓｓｒｃ：Ｔｉａｅｉｅｒｅｉｏｏｖｒｅｃｎｉｅｇｎｅｏｈｒａｉｅｉ，ｔｆｓａｗｙｕｉｇａｌｏｄｓｕｓｉｎｅｅｍｉｃｎｅｇｎｅｏｈｍａｉｇｓｒｓａｄｐｏｅｔｓｃｌ．ｏｖｒｅｃｆａｅｔｅｅｎｒｖｓｉｔｔｎｉｒｙｉ
＜１＋
ｎ
．
ａ斛ｌ
上式ｎ取至，＋ｖｍ连乘得２
ｌ
ａ＝ｚｎ其中ｎｔＶ，￣
（１ｎｕ收敛，列单调有界，一）ｌ－ｎ数
鱼＋）（篇
上式两端ｍ— 时取极限可知存在，当ｎＮ时，＞３
（）（：２）
，厂则）２１ｘ所以当－１：＿（－）
，
［］１同济大学应用数学系．数学第五版【．京：高等Ｍ】北高
等教育出版社，０２２０．［］东大学数学系郭大钧等．学分析［．南：东２山数Ｍ】济山