交错级数敛散性的判别方法
（ ） ‰ ｔ （ ＝ ， ， ， ） （ ）ｉ ０ １％ ｎ ｌ２ ３ … ； ２ ｌ ｍ ，
ｎ —＿＋ ∞
当， Ⅳ 时 ， 立 ｌ ２ 成 ＞
Ｉ － ｏ＜ ￣ ＋Ｐ ８
ｎ
则 级 数 收 敛 ， 其 和 Ｓ ｎ 且 。 ． 引 理 ２ 阿 贝 尔 判 别 法 ） 交 错 级 数 （ 若 （ １ 一 ） 中
由 正 项 级 数 的 比值 或 根 值 审 敛 法 判 断 为 发 散 ， 原 级 数 发 则
散若∑Ｉ由 项 数 其 审 法 断 发 转３ ； ％ 正 级 的 他 敛 判 为 散 （； Ｉ ）
（首 ３ 选极限 法计算ｌ ｎ Ｉ一／ ＞， 成 ） 判别 ｉ ｆ １ ０是否 ｍ ） ｎ ∞ ＼ｑ 一
（ ） ｌ ， ０是 否 成 立 ？成 立或 不 容 易 判 断结 果 ， １ ｉ ， ｍａ ＝ 转
ｎ — ∞
ｎ ∞ 一
ｌｎｃ ＋ １ ０ ｉ ｆ １一１ ， ｍ＼ ＞ ／
（ ） 否则 发 散 ； ２；
则该 级 数 收敛 。
收 稿 时 间 ：０ ０ ０ －０ ２１－ ４ １
＝
法 ｎ＿ｍ ｆ “ 一／：ｍ 一： ｎ ｌ Ｉ ｉ １ ｎ ｎ ｌ １ｉ 呻∞
一
一
１
１
ｎ ２ｘｈ ｌ ＋ ／ ＋
立？ 成 原 数 敛 件 敛； ｌ ｎ 一１容 若 立， 级 收 且条 收 若ｉ ｆ １ ｍ 不
ｎ —＋ ∞ ＼ａｎ ｌ ＋ 』
—【（ Ｖ， Ｊ ＋ ） ／ｎ ∞凡 ＋一 】
∑ （） 收 ，Ｎｉ￣。 一 敛￥ ｌａ０ １ Ｊ ￣ ｍ ＝
ｎ ：Ｉ ｎ ＋∞ —
该 定 理 根 据级 数 收 敛 的必 要 条 件 即 可得 到 。 定 理 ２ 极 限判 别 法 ） （ 如果 交错 级 数 （１ － ） 满 足
给定 一 个 交 错 级 数
性 ：
（ １ ， 如 下 步 骤 判 断 收敛 － ）’ 按
关 键词 ： 交错 级 数 ； 敛 ； 散 ； 收 发 条件 收 敛 中 图分 类号 ： ７ 文 献 标识 码 ： 文章 编 号 ： ０ ８ ３ ４ （０ Ｏ ０ — ０ ６ 一 Ｏ ０１ ３ Ａ ｌ０ — ３ ０ ２ １ ）２ Ｏ ６ ２
１ 相 关定 义 及 引 理
定 义 正 负 项 交 替 出 现 的级 数 称 为 交 错 级数 。 即
时 ， ≤ｏ函数 几 ） ） ， ：
单 调减 小 ， 故
（ １２３ ） ，，… ，
科 技 出版 社 ．９ ５ １８ ．
由 引 理 １知 级 数 收 敛 。 容 易 得 该 级 数 条 件 收 敛 。
判 定 交 错 级 数 （ｌ ＿ 的敛
Ａ ｉｅ ｉ ｏ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ａ ｄ Ｄｉ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｔ ｒ ａ ｉ ｇ Ｓ ｒｅ Ｃｒｔ ｒ ａ ｆ ｒ Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｎ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆＡｌｅ ｎ ｔｎ ｅ ｉ ｓ
山 东广播 电视 大 学学报
２１ ０ ０年第 ２ 期
交错 级数敛散性 的判 别方法
王 宣欣 （ 济南 大学 理学 院 ， 济 南 ２ ０ ２ ） 山东 ５ ０ ２
摘
要 ： 文 给 出了 交错 级 数 敛散 性 的判 别 方法 ， 出 了 交错 级 数 收 敛 的极 限判 别 法并 加 以严 格 证 明 。 本 提
结 ：如 １ １ ‘ 害 论形 ∑（） ＋ 一
一
１ ｎ ＋ … ＋ａｌ ｎ＋ａｏ
（１ ） ＜的
交错级数 ， — ＞ 当Ｚ ｋ ｌ时 ， 数 绝 对 收 敛 ； ｌｋ １ ， 数 条 级 当 － 时 级 件 收 敛 ， 时 极 限 判 别 法 优 于 莱 布 尼 兹 定 理 判 别 法 。 当 ｌ 此 —
级数
０ ≤
㈠ ’
收敛 ， 又
ｎ十
＝ １
＼ ｎ ／
ｎ＋ｌ
单 调 递 增 且 有 界
例１ 定 错 数∑（ ） 判交级 一一 的 散 ？ １ 敛 性
ｎ＝ｌ 凡一
＜ ， 定 理 ２知 原 级 数 收 敛 。容 易 判 断 出该 级 数 条 １由
ｎ＋ １
件收敛 。 解 ： 然％： 显 ，
作 者 简介 ： 宣欣 （９ ８ ） 女 ， 东济 南人 ， 南大 学 理 学 院讲 师 ， 士 。 王 １７ － ， 山 济 硕
山 东广播 电视 大学 学报
交错 级 数 敛散 性 的判 别方 法
（ 乞 Ｉ否收 若收敛， ２ ） 是 敛？ 原级数 绝对收敛； 若
ｌ
毗 显然
㈠
，
即 ＞ ＋ ＞ 故％ １旦 １
，
其 中 ａ－０ ｎ ｌ２ ３ … ） ， （＝ ， ， ， 。 ， ＞
ｌｎ Ⅳ１。 （ ＞ ）
１
ｎ
引 （布 兹 理 设 错 数∑ （） 满 理１ 尼 定 ） 交 级 莱 一一 足 １
ｎ ＝ｌ
（ 由ｌ ｎ 一１ ０可知 ８０ 一＞， ２ ２ ｉ ｆ １ ， 对于 ０ ，８０ ） ｍ ＞ ＞ｐ 。 存在Ｎ，
（ １￣ａ＝ ｌ 啦一 ＋ （ １ １ 一 ） ｌ， － － ，ａ 啦＋ 啦 …＋ 一 ） ％＋
证 （ 因 ｉｎ 一 ＞， 据 限 保 性， 明； ）为ｌ ｆ ｌ ０根 极 的 号 １ ｍ １
ｎ＋ ＿∞ ＼ ＋ ｌ ／
对 ＜＜ ，在 ｎ 有 ｆ＋Ｉ一／ ， 于０【 存 Ⅳ， ＞ 时，ｎ％ １ ｏｐ 当Ⅳ ＼
Ｋｅ ｒ ｓ Ａｌ ｒ ａｉ ｇ ｓ ｒ ｓ Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ； ｖ ｒ ｅ ｃ Ｃ ｎ ｉ ｏ ａ ｌ ｏ ｖ ｒ ｅ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ： ｔ ｎ ｔ ｅ ｉ ； ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ Ｄｉ ｅ ｇ ｎ ｅ； ｏ ｄ ｔ ｎ ｌ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｎ ｅ ｉ ｙ
６ ７
、
ｒ ｔ ＋１
， ｛（１［１ｎ８ｏ ＼ ２ ｒ ＋ 【ｎ ＋ 一 ｌ 【 ｎ ＋ ｎ（／ ） ， ｉ ｎｌ ＋ ］Ｊ 叶 ｍ ｎ ＋ ＼ Ｊ ２４ ｎ ＝
—
易 算，虑 布 兹 理；容 观 出∑（ ）％ 计 考莱尼 定 若 易 察 一一 中 １
Ⅱ ， 虑阿贝尔判别法 。 考
由 定 理 ２知 级 数 收 敛 。 法 二 ： Ｍ ， ： ｕ
ｘ／ｎ
， ：
， 由定 理 ２或 引理 １知
＋ｌ
步 骤 （ ） 可 根 据 交 错 级 数 的具 体 情 况 选 择 方 法 ， ３中 但
引 理 １ 引 理 ２ 定 理 ２也 只是 充 分 条 件 。 ， ， ４ 方 法 比较 ．
ｑ ０。
即 －Ｋ（ ＝ ， ， ， ） 则 交 错 级 数 （ １ ％收 敛 。 ＜ ｎ ｌ２ ３ … ， １ 一）
２ 结 论
根据引 理 １ 和收敛 级数 的性 质可得交 错级数 １ （ １ 、 一） ． ％ 收敛 。 ３ 判别 步 骤
１
定 理 １ 错 级 数 收敛 的必 要 条 件 ） 果 交 错 级 数 （ 交 如
ｋ ｌ ， 用 极 限 判 别 法 计 算 极 限 时 要 考 虑 使 用 泰 勒公 式 。 ＜时 使
＝ ｎ
卟 理知数敛 脓 ２级收。
： ０
当 ｌｋ １ ． 用 极 限 判 别 法 计 算 出的 ｏ ｌｋ － 时 使 ＝—
法 二 ：１ ｌ ｎ ｉ （ ）ｉ ＝ｌ ｍａ ｍ
参考文献 ：
Ｗ ＡＮＧ Ｘｕａ ｎ—ｘｎ ｉ
（ ｃ ｏｌｏ Ｓ ｉｎ ｅ Ｕ ｉｅｓｔ ｆＪｎ ｎ，ｉａ ５ ０ ２ Ｓ ｈ ｏ ｆ ｃｅ ｃ ， ｎｖ ｒｉ ｏ ｉａ Ｊｎ ｎ２ ０ ２ ） ｙ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｇｖ ｓ ａ ｃ ｔｒａｆ ｒｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ａ ｄ ｄ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆａ ｅ ｎ ｔ ｇ ｓ ｒ ｓ Ｉ ｏｆ ｒ ａ ｓｎ ｉ ｔｔ ｉｃ ｓ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｉ ａ ｅ ｉｅ ｒ ｅ ｉ ｏ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｎ ｉｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｈ ｒ ａｉ ｅ ｉ ， ｔ ｆ ｓ ａ ｗ ｙ ｕ ｉｇ ａ ｌ ｏ ｄ ｓ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｅ ｍｉ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｈ ｍａ ｉｇ ｓ ｒ ｓ ａ ｄ ｐ ｏ ｅ ｔｓ ｃｌ ． ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆａ ｅ ｔ ｅ ｅ ｎ ｒ ｖ ｓ ｉ ｔ ｔ ｎ ｉ ｒ ｙ ｉ
＜ １ ＋
ｎ
．
ａ斛 ｌ
上式 ｎ 取 至 ， ＋ ｖ ｍ连 乘 得 ２
ｌ
ａ＝ｚ ｎ其 中 ｎｔＶ， ￣
（ １ｎｕ收 敛 ， 列 单 调 有 界 ， 一 ）ｌ －ｎ 数
鱼＋ ） （ 篇
上 式 两 端 ｍ— 时 取 极 限 可 知 存 在 ， 当ｎ Ｎ 时 ， ＞３
（） （ ： ２ ）
， 厂 则 ） ２ １ｘ 所 以 当 － １ ：＿（ － ）
，
［］ １ 同济 大 学应 用数 学 系． 数 学 第 五 版 【 ． 京 ： 高等 Ｍ】 北 高
等教 育 出版 社 ，０ ２ ２０ ． ［ ］ 东 大 学数 学 系 郭 大 钧 等 ． 学 分 析 ［ ． 南 ： 东 ２山 数 Ｍ】 济 山
高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法
专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （Λ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （Λ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。
注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。
对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。
定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。
由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。
（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。
总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。
若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。
（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。
若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。
（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。
若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。
例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。
解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na 收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。
交错级数敛散性判定20110414
x 故函数 单调递减 , ∴ un > un+1 , x −1 n 又 lim un = lim = 0. 原级数收敛. 原级数收敛 n→ ∞ n→ ∞ n − 1
EX
(-1)n ( 2) ∑ s (s > 0) n =1 n ( −1)n 特别 : ∑ n n =1
( 3) (-1)n ( n 2 − 1) ∑
n =1 ∞
∞
∞
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义: 正项和负项任意出现的级数称为 任意项级数.
定理 1 若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
定理 1
若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 显然 v n ≥ 0, 且 v n ≤ un , ∴ ∑ ∞
注 :若
∑
∞
n =1
u n 发散 , 则
∑
∞
n =1
u n 未必发散
。
例2
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 2 的收敛性. n =1 n
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
解
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
又 Q ∑ un = ∑ ( 2v n − un ),
n =1 n =1
∞
∞
∴ ∑ un 收敛 收敛.
n =1
n =1 ∞
定理的作用： 定理的作用： 任意项级数 正项级数
高等数学-交错级数
tan
的敛散性.
n1
3n
9.3.2 绝对收敛与条件收敛
设 un 为任意级数(即 un 可正,可负), n1
称 un 为原级数的绝对值级数. n1
若 un 收敛,则称 un 绝对收敛;
n1
n1
若 un 收敛,而 un 发散,则称 un 条件收敛.
0)
是绝对收敛、
条件收敛还是发散？
作业:习题 9-3
1(5)(6)(8)(9)(10) 3 5 6
补充题
1. 判断
sin(n
1
) 是绝对收敛,条件收敛,还是发散?
n1
ln n
2. 判别
(1)n1 n2 [n (1)n ]p
( p 0) 的敛散性.
3. 判断 (1)n1
n1
n1
n1
例如, (1)n1 1 为条件收敛.
n1
n
定理 9 7 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定理
(1)
若 lim un1 1,
u n n
则 un 发散.
n1
(2)
若
lim n
n
un
1,
则 un 发散.
n1
【例9-16】判别级数
(1)n1
ln(
n
1)
的敛散性.
n1 n
n
【例9-17】判断下列级数的敛散性，如果收敛，指出是 绝对收敛还是条件收敛：
(1) (1)n1
10 第11讲_变号级数敛散性判别方法
收敛还是条件收敛？
(1)
n1
(1)n
ln
1
1 n
(2)
n1
(1)n
2n 3n 1
cos n
(3)
n1 n n
【解】(2) 因为
→
→
→
2 n
因为等比级数 n1 3 收敛, 由比较判别法的极限形式知，级数
n1
(1)n
2n 3n 1
(B) 若级数
与
都条件收敛，则
件收敛
【解】对于选项（B），其结论是错误的， 反例为：
必条
故(B)为正确答案.
例11.4 下列结论不正确的是（ ）.
(C) 若级数
绝对收敛，
必条件收敛
条件收敛，则
【解】 对于选项(C), 结论是正确的. 首先，易知
收敛.
其次，如果
绝对收敛， 那么因为
，
则
绝对收敛， 与题设矛盾. 故(C) 对应的结论是正确的
收敛，
所以原级数绝对收敛.
例11.2 试判定下列级数的收敛性，如果它们是收敛的，问它们是绝对
收敛还是条件收敛？
(1)
n1
(1)n
ln
1
1 n
(2)
n1
(1)n
2n 3n 1
cos n
(3)
n1 n n
【解】(3) 注意到
1
，因为 级数
收敛，
n1 n n
所以原级数绝对收敛.
例11.3 设级数
(A)
→
(C) (D) 对于任意的
条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.
无穷级数的敛散性判别方法
1.先看级数通项是不是趋于0。
如果不是，直接写“发散”，OK得分，做下一题;如果是，转到
2.
2.看是什么级数，交错级数转到3;正项级数转到4.
3.交错级数用莱布尼兹审敛法，通项递减趋于零就是收敛。
4.正项级数用比值审敛法，比较审敛法等，一般能搞定。
搞不定转
5.
5.看看这个级数是不是哪个积分定义式，或许能写成积分的形式来判断，如果积分出来是有限值就收敛，反之发散。
如果还搞不定转6。
6.在卷子上写“通项是趋于0的，因此可以进一步讨论”。
写上这句话，多少有点分。
回去烧香保佑及格，OVER!。
高数-任意项级数敛散性判别法
x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章 第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节 任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义： 如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1
交错级数判别法
交错级数判别法
交错级数判别法（Alternating Series Test）是一种用于判断交错级数收敛性的方法。
交错级数是指一个级数的项交替正负，即每一项的符号与前一项相反。
例如，一个交错级数可以写成以下形式：a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ...
交错级数判别法的具体步骤如下：
1. 检查交错级数的项数是否趋近于无限大，即该级数是否为无限级数。
2. 检查交错级数的项是否单调递减，即对于所有的n，都有
a(n+1) <= a(n)。
3. 检查交错级数的项是否趋近于零，即lim(n->∞) a(n) = 0。
如果上述三个条件同时满足，那么交错级数就是收敛的。
交错级数判别法的基本思想是，当级数的项逐渐趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。
因为交错级数的部分和序列是单调递增的，且其上限和下限分别为相邻两个部分和序列，所以当级数的绝对值趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。
需要注意的是，交错级数判别法只适用于交错级数，对于非交错级数，不能使用此方法来判断其收敛性。
任意项级数敛散性的判别(3)
un
1
(1 )
f
( x)
(x
ln
x x)2
0
f ( x) 递减
故 un un1
1 lim
n n ln n
1 lim
x x ln x
1
lim
x
ln
ex
0
x
故 (1)n1 收敛，从而条件收敛.
2021/4/21n1 n ln n
17
(4)
对于级数
xn
n1 n
x n1
lim
n
n1 xn
2021/4/21
19
作业题 习题七(A) 9.
2021/4/21
20
n1
2021/4/21
12
级数
收敛
绝对收敛 条件收敛
发散
un收敛, un 收敛.
n1
n1
un 收敛, un 发散.
n1
n1
判断绝对收敛与条件收敛的参考步骤:
收敛 un 绝对收敛
un n1
发散
n1
其它法
n1
n1
un un
收敛
un
条件收敛
n1
发散
un
发散
n1
2021/4/21
综上所述 S2n极限存在
设
lim
n
S2n
S
又 S2n1 S2n u2n1
则 lim n
S2n1
S
即 S2n1 极限存在值为 S
故 Sn 极限存在 从而级数 (1)n1un 收敛.
2021/4/21
n1
4
例1
判断交错级数 (1)n1 1
n1
交错级数及其判别法
加强交叉学科的合作研究
鼓励数学与其他学科的交叉合作研究， 共同探索交错级数在解决实际问题中 的应用。
感谢您的观看
THANKS
交错级数的项必须满足单调递减的条件，即每一项都小于或等于前一项。
交错级数收敛的充分条件
当交错级数的公比q满足$|q| < 1$时，级数收敛。
交错级数收敛的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明交错级数的每一项 都小于或等于前一项，从而证明级数收 敛。
VS
比较判别法
将交错级数与已知收敛的等比级数进行比 较，利用等比级数的性质判断交错级数的 收敛性。
在工程中的应用
01
02
03
信号处理
在信号处理中，交错级数 被用来分析和处理各种信 号，如音频、图像等。
控制系统
在控制系统中，交错级数 被用来描述和设计各种控 制算法和系统。
工程优化
在工程优化中，交错级数 被用来求解各种优化问题， 如结构优化、路径规划等。
05
交错级数的扩展与展望
交错级数的扩展研究
交错级数收敛的实例
莱布尼茨级数
$1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + cdots$是一个典型的交错级数，它满足单调 递减的条件且公比$q = -frac{2}{3}$满足$|q| < 1$，因此该级数收敛。
调和级数
$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots$是一个非交错的调和级数，不满足 单调递减的条件，因此该级数发散。
浅谈交错级数敛散性的判定
浅谈交错级数敛散性的判定
交错级数是一种特殊的无穷级数。
在交错级数中，每一项的符号需要交替出现。
即正负交替，或者负正交替。
例如，交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-
1)^n\frac{1}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+\cdots$$
交错级数的判定方法分为三种：莱布尼茨判别法、比较判别法和积分判别法。
1.莱布尼茨判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果该级数满足以下两个条件，则级数收敛：
（1）$a_n>0$；
（2）$a_n$单调递减，即$a_n>a_{n+1}$。
这个判别法不适用于非交错级数。
2.比较判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果$|a_{n+1}|<|a_n|$，则级数收敛。
如果$|a_{n+1}|\geq|a_n|$，则级数发散。
3.积分判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$ 如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$收敛，则级数收敛。
如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$发散，则级数发散。