电动力学试题及其答案(2)

电动力学(B) 试题

班级

一、填空题（每空2分，共32分）

1、已知矢径r ，则=⋅∇r

。

2、已知标量ϕ，则=∇⨯∇)(ϕ 。

3、在稳恒磁场中，引入矢势A ，定义磁感应强度=B

,由此可证明

=⋅∇B

。

4、洛仑兹规范为=⋅∇A

。

5、光速不变原理的数学表达式为 。

6、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势ϕ ,则E = ， B = 。

7、电磁波在波导管中传播时，其截止波长λ c 与决定波型的m 、n 取值有关，对给定的波导尺寸a > b 而言，其主波型 m 取值为 ，n 取值为 ，则

λ c = 。

8、涡旋电场的定义为 ，其实质是 。

9、任何两事件的间隔只能属于 ， ， 三种分类之一。

二、判断题（每题2分，共20分）

1、在非稳恒电流情况下，电荷守恒定律不一定成立。 （ ）

2、在波导管中传播的电磁波不可能是横电磁波。 （ ）

3、由于A B

⨯∇=，矢势不同，描述的电磁场也不同。 （ ）

4、洛仑兹变换是线性变换。 （ ）

5、电磁场是由静电场和稳恒磁场迭加而形成的。 （ ）

6、电磁场的场源是电荷、电流、变化的电场，变化的磁场。 （ ）

7、在一惯性系中同时同地发生的两事件，在其他任何惯性系中两事件也同时发生。 （ ）

8、应用电象法求解静电场的势，引入的象电荷一定要放在求解区域之外。 （ ）

9、牛顿力学对机械运动的速度有限制，而相对论力学对机械运动的速度没有限制。 （ ）

10、磁场中任一点的矢势A 是没有任何物理意义的。 （ ）

三、证明题（每题9分，共18分）

1、 利用算符 ∇ 的矢量性与微分性证明：

A A A A A 2)(2

1

)(∇⋅-∇=

⨯∇⨯

2、已知平面电磁波的电场强度i E )sin(

0t z c

E ωω

-=，试证明其旋度为：

j t z c

E c E )cos(0ωω

ω-=⨯∇

四、计算题（每题10分,共30 分）

1、真空中的波导管，其尺寸为a = 3cm 、b = 1.5cm ，求1,0TE 波型的截止频率。

2、已知)(0t r k

i e A A ω-⋅= ， )

(0t r k i e ωϕϕ-⋅= , 求洛仑兹规范下0A 与0ϕ的关系。

3、真空中有一半径为R 0 的带电球面，其面电荷密度为θσσsin 0=（0σ为常数），求空间电势的分布。

电动力学试题（B ）答案

一、填空题（每空2分，共32分） 1、3 2、0

3、A B

⨯∇= , 0

4、0

5、2

2s s '=

6、t

A

E ∂∂--∇=

ϕ, A B ⨯∇=

7、1, 0， 2a

8、t

B

E ∂∂-=⨯∇

， 变化的磁场在其周围激发一电场。

9、类时间隔， 类光间隔， 类空间隔

二、判断题（每题2分，共20分）

1、×

2、√

3、×

4、√

5、×

6、×

7、×

8、√

9、× 10、√

三、证明题（每题9分，共18分） 1、 证明：

A A A A A A A )(2)(2)(2∇⋅+⨯∇⨯=∇=⋅∇

A A A A A )(2

1

)(2∇⋅-∇=⨯∇⨯

2、证明:

k y E j z E E z y x k

j i E x x x

∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=

⨯∇00

j t z c E c j t z c

E z )cos()sin(00ωω

ωωω

-=-∂∂=

四、计算题（每题10分，共30分） 1、 解：波导管的截止频率为

220

0,,)()(21b

n a m f n m c +=

εμ 对于1,0TE 型波，m = 0 ，n = 1，则截止频率为

22

220

01,0,)10

5.11()1030(

21--⨯+⨯=

εμc f 91010⨯=Hz

2、 解：洛仑兹规范为

t c A ∂∂-=⋅∇ϕ21

而 )(0t r k i e A k i A ω-⋅⋅=⋅∇

)

(0t r k i e i t

ωωϕϕ-⋅-=∂∂

则有 )(1

020ωϕi c

A k i --=⋅

020A k c ⋅=ω

ϕ

3、解： 建立球坐标系，原点在球心，z 轴E 0沿方向，求解空间为R >R 0，由于场具有轴对称性，电势满足拉普拉斯方程

012=∇φ )(0R R < 022=∇φ （0R R >）

其解为

)(cos )(0

1

1θφ∑∞

=++

=n n n n

n n P R B R A ∑∞

=++=0

12)(cos )(n n n n n n P R d

R c θφ

边值关系为：

有限=→01R φ ①

02→∞→R φ ② 0

2

1R R R R ===φφ ③ )(cos cos 1002

10θσθσφεφεP R

R

==∂∂-∂∂ ④

由①式得 0=n B 由②式得 0=n c 由③式得

∑

∑∞

=+∞

==010

0)(cos )(cos n n

n n

n n

n

n P R d P R A θθ 由④式得