2008年高考理科数学试题及参考答案(广东卷)
2008年高考数学广东理科试卷含详细解答一. 选择题（本大题共8小题，共0分）1. （2008年广东理1）已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：44905c72-eced-4edd-a8ef-20026aee4e05答案：C难度：B考查点：复数的模，复数解析：，而，即，点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：复数的模，复数2. （2008年广东理2）记等差数列的前项和为，若，，则（）A.16B.24C.36D.48答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：b4ff9601-6867-400e-b82e-a38db8c2c7ac答案：D难度：B考查点：数列解析：，，故点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：数列3. （2008年广东理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A.24B.18C.16D.12答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：a807cd59-2a5b-4ef6-a1a2-2bd99a075e86答案：C难度：C考查点：分层抽样解析：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：分层抽样4. （2008年广东理4）若变量满足则的最大值是( )A.90B.80C.70D.40答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：68356989-78a0-4a87-a0e8-875c6e817bdf答案：C难度：C考查点：简单的线性规划问题，不等式解析：画出可行域（如图），在点取最大值点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：简单的线性规划问题，不等式5. （2008年广东理5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）A. B. C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：834f4469-408d-4049-a901-adbd613afc19答案：A难度：C考查点：空间几何体的三视图，立体几何解析：解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：空间几何体的三视图，立体几何6. （2008年广东理6）已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A. B. C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：a8b7ce9f-1d8f-4178-bc65-c01798cde3eb答案：D难度：C考查点：逻辑联结词，真值表解析：不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有为真命题点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：逻辑联结词，真值表7. （2008年广东理7）设，若函数，有大于零的极值点，则( )A. B.C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：cf000195-f916-4040-9873-6970299f72a3答案：B难度：C考查点：函数与导数解析：，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。
当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：函数与导数8. （2008年广东理8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则( )A. B. C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：d7862d00-1ae2-4b93-8f91-f2192e2012a6答案：B难度：C平面向量解析：此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：平面向量二. 填空题（本大题共7小题，共0分）9. （2008年广东理9）阅读图3的程序框图，若输入，，则输出________，i=________（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：a67fd87d-f908-48bc-912b-60bc8486169b答案：12 3难度：C程序框图，算法与框图解析：要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有。
点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：程序框图，算法与框图10. （2008年广东理10）已知（k 是正整数）的展开式中，的系数小于120，则________．答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：c30ef329-4bbd-40b9-8d6c-8683b9c66f36答案：1难度：C考查点：二项展开式的通项，二项式定理，计数原理解析：按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。
点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：二项展开式的通项，二项式定理，计数原理11. （2008年广东理11）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是________ ．答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：a84b8f8c-153f-4e36-b58e-114ad25fff20答案：难度：C考查点：直线的点斜式方程，圆的标准方程，直线与圆的方程，平面解析几何解析：易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：直线的点斜式方程，圆的标准方程，直线与圆的方程，平面解析几何12. （2008年广东理12）已知函数，，则的最小正周期是________．答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：66b1c02a-5651-4e63-bec9-4a8763ca0178答案：难度：D考查点：正、余弦函数的周期性，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，三角函数解析：,所以函数的最小正周期点拨：解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：正、余弦函数的周期性，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，三角函数13. （2008年广东理13）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为________．答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：2c4015c1-2f78-4cac-baaa-9937885aadb4答案：难度：C考查点：极坐标与平面直角坐标的互化，坐标系与参数方程解析：解方程组得,即两曲线的交点为点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：极坐标与平面直角坐标的互化，坐标系与参数方程14. （2008年广东理14）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是________．答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：4b4d9755-f560-4c96-9ebc-ed6c3c4a2acb难度：C考查点：不等式选讲解析：方程即,左边在数轴上表示点到原点和的距离的和，易见（等号成立），而右边的最大值是，所以方程有解当且仅当两边都等于，可得实数的取值范围为点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：不等式选讲15. （2008年广东理15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2 ．AC 是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=________答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：a5942b21-e46f-4945-b1e8-86dfdd6a4eb8答案：难度：C考查点：暂无解析：如图，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。
点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：暂无三. 解答题．（本大题共6小题，共0分）16. （2008年广东理16）已知函数，的最大值是1，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：c5d2452e-a6cd-49f4-84ec-1abecda1bd08答案：(1)依题意有,则,将点代入得,而,,,故;(2)依题意有,而,,。
难度：C考查点：两角和与差的余弦公式，三角恒等变换，三角函数解析：暂无点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：两角和与差的余弦公式，三角恒等变换，三角函数17. （2008年广东理17）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：2168e793-b979-4195-b262-3bb842775cb8答案：的所有可能取值有6,2,1,-2;,,故的分布列为:(2)(3)设技术革新后的三等品率为,则此时1件产品的平均利润为依题意,,即,解得所以三等品率最多为难度：C考查点：离散型随机变量的分布列，随机变量的数学期望解析：暂无点拨：暂无解题方法：暂无思想方法：暂无涉及知识：离散型随机变量的分布列，随机变量的数学期望18. （2008年广东理18）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部题目ID：f2bc1ffb-c29f-431f-82a0-5542a76878c2答案：(1)由得,当得,G点的坐标为,,,过点G的切线方程为即,令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个, 同理以为直角的只有一个;若以为直角,则点在以为直径的圆上,而以为直径的圆与抛物线有两个交点。
所以以为直角的有两个;因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
2008年高考全国二卷理科数学题及其答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2数学）理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z I 则，≤≤（ ） A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3．函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．64(1(1的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．48．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1BCD ．29．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A． B．C ．(25)，D．(210．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13B C D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3B ．2C ．13-D ．12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 14．设曲线axy e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小． 20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =u u u r u u u r，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． 22．（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．AB CD EA 1B 1C 1D 12008年参考答案和评分参考一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C部分题解析：2. 设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =，解：33223()33()()a bi a a bi a bi bi +=+++gg （←考查和的立方公式，或二项式定理） 3223(3)(3)a a b a b b i =-+-gg （←考查虚数单位i 的运算性质） R ∈ （←题设条件）∵a b ∈R ，且0b ≠∴ 2330a b b -=g（←考查复数与实数的概念） ∴ 223b a =. 故选A.6. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．929B ．1029C ．1929D ．2029思路1：设事件A ：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，其概率为：211220102010330()C C C C P A C += （←考查组合应用及概率计算公式） 201910910202121302928321⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ （←考查组合数公式） 10191010109102914⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ （←考查运算技能）2029=故选D.思路2：设事件A ：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，事件A 的对立事件为A ：“选到的3名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为：()1()P A P A =- （←考查对立事件概率计算公式）3320103301C C C +=- （←考查组合应用及概率计算公式）2019810983213211302928321⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯（←考查组合数公式） 2019181098302928⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ （←考查运算技能）2029=故选D.12.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2分析：如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离3，问题解决起来就很容易了. 二、填空题13．2 14．2 5．3+16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =， 由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ···································· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ························································································ 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==， 故2206513AB =，132AB =． 所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ········································································· 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ·················································································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =． ······························································································ 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 100001000050000E a E ηξ=--， ·········································· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯， 4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯． 0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ························································· 12分19．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥． 由三垂线定理知，1BD A C ⊥． ········································································ 3分 在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ，由于1AA ACFC CE== AB CD EA 1B 1C 1D 1FH G故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠，CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1A C ⊥平面BED ． ················································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ······················································· 8分EF =CE CF CG EF ⨯==EG == 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=．又1AC ==11A G A C CG =-=．11tan AG A HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为arctan ． ·················································· 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==u u u r u u u r，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=u u u r u u u u r，，，，，． ···································································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =u u u r u u u r g ，10AC DE =u u u r u u u rg， 故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DB DE D =I ，所以1AC ⊥平面DBE ．·················································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =r，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥u u ur r n ，1DA ⊥u u u u r r n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-r，，n ． ····················································· 9分 1AC u u u rr ，n 等于二面角1A DE B --的平面角，111cos A C A C A C==u u u r r u u u r r g u u u r r ，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为． ················································· 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113nn n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ······································································· 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ····························································· 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦g ，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭g ≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ························································· 12分 21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ····················································································· 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h ==． ······················································ 9分又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 12===≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ························· 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ··································································································· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为． ······································· 12分 22．解： （Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++．····························· 2分当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<．因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ···························· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则第11页（共11页） 22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++ 211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭． 故当13a ≥时，()0g x '≥． 又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ······················· 9分 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-． 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>．因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >．于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+． 当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭g ≥． 因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ··································································· 12分。
2008年全国高考广东理科数学试题与答案
2008年普通高等学校统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知0<a<2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是（ ）A. （1，5）B. （1，3）C. （1D. （12、记等差数列{a n }的前n 项和为S n 。
若a 1=1/2，S 4=20，则S 6 =（ ）A. 16B. 24C. 36D. 48 3、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表。
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19。
现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 124、若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 90B. 80C. 70D. 405、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、 C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如 图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图 （或称左视图）为（ ）6、已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B. p q ∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()()p q ⌝∨⌝7、设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A. a>－3B. a<－3C. a>－1/3D. a<－1/38、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 。
若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A.1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D.1233a b + 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2008年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2021年广东省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共8小题，每题5分，总分值40分〕1．〔5分〕〔2021•广东〕0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，那么|z|的取值范围是〔〕A．〔1，5〕B．〔1，3〕C．D．【考点】复数的根本概念．【分析】此题考查复数的模的范围，先想模的表示式，再根据所给的实部和虚部的值和取值范围，求出结果，容易错选为第一个答案．【解答】解：|z|=，而0＜a＜2，∴1＜|z|＜，应选C．【点评】复数的计算包括加减乘除四那么运算，求模运算，注意复数的两种表示形式，代数形式和三角形式．2．〔5分〕〔2021•广东〕记等差数列{a n}的前n项和为S n，假设，S4=20，那么S6=〔〕A．16 B．24 C．36 D．48【考点】等差数列的前n项和．【分析】6．【解答】解：∵，S4=20，∴S4=2+6d=20，∴d=3，∴S6=3+15d=48．应选D．【点评】此题考查了等差数列的前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．一年级二年级三年级女生373 x y男生377 370 zA．24 B．18 C．16 D．12【考点】【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，那么可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数．【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．应选C．【点评】此题考查分层抽样知识，属基此题．4．〔5分〕〔2021•广东〕假设变量x，y满足那么z=3x+2y的最大值是〔〕A．90 B．80 C．70 D．40【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】此题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件【解答】解：满足约束条件的平面区域如以下图示：由图可知，当x=10，y=20时，z=3x+2y有最大值70应选C．【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法〞，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒⇒④验证，求出最优解．5．〔5分〕〔2021•广东〕将正三棱柱截去三个角〔如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点〕得到几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图〔或称左视图〕为〔〕A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】综合题．【分析】图2所示方向的侧视图，由于平面AED仍在平面HEDG上，故侧视图中仍然看到左侧的一条垂直下边线段的线段，易得选项．【解答】解：解题时在图2的右边放扇墙〔心中有墙〕，图2所示方向的侧视图，由于平面AED仍在平面HEDG上，故侧视图中仍然看到左侧的一条垂直下边线段的线段，可得答案A．应选A．【点评】此题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力，是根底题．6．〔5分〕〔2021•广东〕命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，那么以下命题中为真命题的是〔〕A．〔￢p〕∨q B．p∧q C．〔￢p〕∧〔￢q〕D．〔￢p〕∨〔￢q〕【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p和命题q的真假，命题p为真命题，命题q为假命题，再由真值表对照答案逐一检验．【解答】解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，所以A、B、C均为假命题，应选D．【点评】此题考查复合命题的真值判断，属基此题．7．〔5分〕〔2021•广东〕设a∈ax+3x，x∈R有大于零的极值点，那么〔〕A．a＞﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣D．a＜﹣【考点】【专题】计算题；压轴题．【分析】ax=0有正根，通过讨论此方程根为正根，求得参数的取值范围．【解答】解：设f〔x〕=e ax+3x，那么f′〔x〕=3+ae ax．∈R上有大于零的极值点．即f′〔x〕=3+ae ax=0有正根．当有f′〔x〕=3+ae ax=0成立时，显然有a＜0，此时x=ln〔﹣〕．由x＞0，得参数a的范围为a＜﹣3．应选B．【点评】8．〔5分〕〔2021•广东〕在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．假设=，=，那么=〔〕A．B．C．D．【考点】平面向量的根本定理及其意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用向量表示出要求的向量，得到结果．【解答】解：∵由题意可得△DEF∽△BEA，∴==，再由AB=CD可得=，∴=．作FG平行BD交AC于点G，∴=，∴===．∵=+=+=+==，∴=+=+，应选B．【点评】二、填空题〔共7小题，9--12为必做题。
2008年高考理科数学试题及答案(全国卷2)
2008年高考理科数学试题及答案(全国卷2)绝密★启用前 【考试时间：6月7日 15:00—17:00】2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k nP k (1－P)n －k本卷12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一．选择题（1）设集合}23{<<-∈=m Z m M ,}31{≤≤-∈=n Z n N ,则=⋂N MA ．}1,0{ B. }1,0,1{- C. }2,1,0{ D }2,1,0,1{- (2)设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数3bi)(a +是实数，则A ． 223a b= B. 223b a= C. 229a b= D.229b a=(3)函数x xx f -=1)(的图像关于 A ． y 轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x (4)若)1,(1-∈ex ，x ln =a ,x ln 2=b ,x 3ln =c ,则球的表面积公式S=42R π 其中R 表示球的半径， 球的体积公式 V=334R π，A ．c b a << B. b a c << C. c a b << D. a c b << （5）设变量x,y 满足约束条件：2,22,-≥≤+≥x y x x y 则y x z 3-=的最小值为：A ．-2 B.-4 C. -6 D.-8（6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为A ．299 B. 2910 C. 2919 D. 2920（7）()()4611x x +-的展开式中x 的系数是A ．-4 B.-3 C.3 D.4（8）若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为A ．1 B. 2 C. 3 D.2 （9）设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．)2,2(B. )5,2(C. )5,2(D. )5,2(（10）已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为A ． 31 B. 32C. 33D. 32 （11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和47=--y x ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A ．3 B. 2 C. 31- D. 21- （12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于A ．1 B. 2 C. 3 D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2008年广东高考(理科)数学试题(附答案)
2008年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．已知n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．(15)，B ．(13)， C． D．2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16B ．24C ．36D ．483．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A ．24B ．18C ．16D ．12 表14．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．405．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1 图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．6．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝7．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ．1142+a b B ．2133+a bC ．1124+a b D ．1233+a b 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题） 9．阅读图3的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出 a = ，i = ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”） 10．已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．12．已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．14．（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ． 15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ．图3图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ． （1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少?18．（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b +=，抛物线方程为28()x y b =-．如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）19．（本小题满分14分）设k ∈R ，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．20．（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面E F ，分别是PB CD ，上的点，且PE DFEB FC =，过点E 作BC （1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值；（2）证明：EFG △是直角三角形；（3）当12PE EB =时，求EFG △的面积．21．（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ．图52008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：C D C C A D B B 1．C 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z2．D 【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S3．C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯ 4．C 5．A6．D 【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝为真命题7．B 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。
2008年高考理科数学试题及参考答案（全国卷Ⅰ）
1．Amdahl提出的计算机系统机构的经典定义是:计算机系统结构是程序员看到的计算机属性，即概念性结构和功能特性。
2．计算机系统中的提高并行性的措施很多，但就其基本思想而言，可以归为3类技术途径，这就是时间重叠、资源重复和资源共享。
3．MIPS的数据寻址方式有立即数寻址和偏移量寻址两种，但通过把0作为偏移量可实现寄存器间接寻址，而把 RO作为基址寄存器可实现16位绝对寻址方式。
4．交叉访问存储器通常有两种地址映像方式：顺序交叉和取模交叉，其中取模交叉方式不仅可以减少体冲突而且可以使用位选择方法来代替在确定体内地址时使用的除法运算。
5．互联网络从拓扑结构上可分为静态互连网络和动态…。
6．根据存储器的分布方式，多处理器计算机有两种基本结构，就是集中式共享存储结构和具有分布的物理存储器结构。
7．在多处理器系统中并行性遇到的挑战，一个是程序中的并行性有限，另一个是相对较高的通信开销。
1．系列机软件必须保证（ C ）A．向前兼容，并向上兼容B．向前兼容，并向下兼容C．向后兼容，力争向上兼容D．向后兼容，力争向下兼容2．计算机系统结构不包括（ C ）A．数据表示 B．机器工作状态的定义和切换C．主存速度 D．信息保护3．字串位并是指同时对一个字的所有位进行处理，其并行等级（ D ）A．不存在并行性 B．较高的并行性C．最高一级的并行性D．已经开始出现并行性4．RISC计算机的指令系统集类型是（C ）A．堆栈型 B．累加器型C．寄存器—寄存器型 D．寄存器-存储器型5．关于“一次重叠”说法不正确的是（ A ）A.仅“执行K”与“分析K+1”重叠B. 应尽量使“分析K+1”与“执行K”时间相等C. “分析K”完后立即开始“执行K”D. 只需一套指令分析部件和一套执行部件6．在Cache存储器中常用的地址映象方式是（ C ）A．全相联映 B．页表法映象C．组相联映象 D．段页表映象7．块冲突概率最高的Cache地址映象方式是（ A ）A．直接 B．组相联 C．段相联 D．全相联8．设8个处理器编号分别为0，1，2，…，7用Cube2 (交换函数中的C2)互联函数时，第3号处理机与第（ D ）号处理机相联。
2008年高考理科数学试题及答案-全国卷2
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）数学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(012)k k n kn n P k C P p k n -=-=，，，，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫==<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，则集合{}|1x x ≥＝（ ） A ．M N B ．M NC ．()M MN ðD ．()M MN ð2．135(21)lim(21)x n n n →∞++++-=+（ ）A ．14B ．12C ．1D ．23．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ）A ．(k ∈B ．((2)k ∈-+，∞C ．(k ∈D ．((3)k ∈-+，∞4．复数11212i i +-+-的虚部是（ ） A ．15i B ．15 C ．15i -D ．15-5．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ） A ．2OA OB -B ．2OA OB -+C ．2133OA OB - D ．1233OA OB -+6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．348．将函数21x y =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则（ ）A ．(11)=--，aB ．(11)=-，aC ．(11)=，aD ．(11)=-，a 9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种 10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）AB ．3CD ．9211．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条 12．设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫=⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3-B ．3C ．8-D ．8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数100xx x y e x +<⎧=⎨⎩，，，≥的反函数是__________． 14．在体积为的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BCA ，C，则球心到平面ABC 的距离为_________．15．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______． 16．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD '．（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若D E '与平面PQEF 所成的角为45，求D E '与平 面PQGH 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值；A BCDE FP Q H A ' B 'C 'D 'G（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |． 21．（本小题满分12分）在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ） （Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．22．（本小题满分14分） 设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． （Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．11ln 1.x x y x x -<⎧=⎨⎩，，， ≥14．3215．516．143三、解答题17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································ 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =， 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==······················································ 12分18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ····················· 3分 （Ⅱ）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且 P （ξ=8）=0.22=0.04， P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P （ξ=16）=0.32=0.09．ξ的分布列为·················································································· 9分E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） ···························· 12分 19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。
2008年高考理科数学试题及参考答案(广东卷)
“与其诅咒黑暗，“天下兴亡，我的责任”两代爱国者揭示了振兴中华的内涵
人人都燃气一支明烛，世界将不会再有阴暗的角落！
人人都将责任融入我心，何愁我们的民族不兴旺，何愁我们的国家不强大？
责任，神圣的责任，属于我们每一个青少年，属于每一个中国人
众所周知，宽容是中华民族的传统美德之一。宽容就是从大局出发，不计较个人恩怨得失》法国著名作家雨果说得好：“世界上最宽阔的是海洋，比海洋更宽阔的是天空，比天空更宽阔的是人的胸怀。”但要真正做到宽容，却不是一件容易的事。
“业精于勤荒于嬉。”勤奋不仅能补先天不足，还能精益求精，更上一层楼！
一个人要自立，一个民族要振兴，一个国家要富强都离不开艰苦奋斗。中国共产党是靠艰苦奋斗起家的，也是靠艰苦奋斗壮大起来的。无论是在革命、建设、还是在改革的各个历史时期，中国共产党在艰苦奋斗中成就伟业，在困苦中创造辉煌，靠着艰苦奋斗的精神，创造了一个又一个的奇迹。新中国的建设和发展，无一不是艰苦奋斗的精神。“忧劳可以兴国，逸豫可以立身”
做一个有道德的人，要注重培养自己的道德观念，必须注意到知、情、意、行的统一。不能只讲动机不计效果，也不能只根据效果去判断其善恶。要注重道德认知，处理好知与行的关系，注意实际行为的锻炼，在实践中增强道德情感、意志力。
同学们！朋友们！你们是否还记得这样一篇报道：一位清华大学的学生，为了一个愚蠢的想法，残忍的将一瓶高浓度的硫酸泼向黑熊的事件。听过这篇报道后，我的心在颤抖，在滴血！我似乎听到了一声声撕心裂肺的惨叫。我似乎看到了黑熊的面孔。那残存的一只眼睛无助的、黯然地望着一切。不！是仇恨地望着一切。它真的不明白，那口口声声称自己是朋友的人类，为什要如此凶残的伤害自己。血不停地涌动着，不时传来皮毛烧焦的“滋滋”声，它愤怒了，它竭尽全力的站起身来，重重地捶打着上锁的铁门，以垂死的挣扎向人类示威。慢慢的，殷红的血浸透了大片土地，黑熊带着满腔悲恨昏厥过去。那一幕幕，一声声，你看到了吗？你听到了吗？你想过了吗？我不断的问自己，这都是为什么？一个受过高等教育的大学生竟然会有如此不道德的行为，这确实值得我们深思。社会在发展，知识在爆炸，而人类的道德观念却越发淡薄了。人们置身于高质量的生活中，陶醉于灯红酒绿之下，却忽略了做人的基本原则：那便是德。提高人们的道德修养是当务之急，刻不容缓的。如果人们的道德修养落后于时代，那么这个社会必将停滞不前。
2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析
2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1} 2．（5分）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（）A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2D．不能确定3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A．B．C．D．4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．236．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x 对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+27．（5分）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣28．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B． C． D．12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN 所成角的余弦值等于．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f （a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）函数的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域．【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}故选C．2．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（）A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2D．不能确定【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可．【解答】解：大于2小于5的数有2个数，∴p1==；投掷一次正面朝上的概率为，两次正面朝上的概率为p2=×=，∵＞，∴p1＞p2．故选B．3．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A．B．C．D．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选A4．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0 【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．5．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选C6．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+2【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x 对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵，∴，∴x=（e y﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2∴答案为A．7．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．8．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．9．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f （x）异号，而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故选D．10．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r ，∴故选D．11．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B． C． D．【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==；（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，易得A1S=，所以AB1==2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故选B．12．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84．故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为9．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．14．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2．【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得，，则与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为故答案为215．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．【分析】设AB=BC=1，，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．【解答】解：设AB=BC=1，，则，∴，．答案：．16．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC 的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN所成角的余弦值故答案为：三、解答题（共6小题，满分74分）17．（10分）（2008•全国卷Ⅰ）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（A﹣B）的最大值为．18．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．再根据，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H为垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．∵CE=，∴CH=EH=．直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD为直角三角形，AD===，故CG===，DG==，，又，则，∴，即二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）（2010•大纲版Ⅱ）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上为减函数，∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．设，则∵x∈时，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上递减，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．20．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束），∴乙只用两次的概率为．若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．21．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，∴渐近线的倾斜角为（0，），∴渐近线斜率为：，∴．∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=，而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；∴，∴，∴．（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c=b．由于AB的倾斜角为+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot（∠AOB）=﹣2，∴AB的直线方程为y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴4=•=•，即16=﹣112b2，∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．22．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而进行证明．（2）由题意数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n），求出a n+1=a n﹣a n lna n，然后利用归纳法进行证明；=f（a n）可得a k+1=a k﹣b﹣a k，然后（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，a n+1进行讨论求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，∴f′（x）=﹣lnx，当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1，∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，∴f（x）在区间（0，1]是增函数，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立，（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，a k＜a k+1＜1成立，即0＜a1≤a k＜a k+1＜1，那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤a k＜a k+1＜1，得f（a k）＜f（a k+1）＜f（1），=f（a n），而a n+1则a k=f（a k），a k+2=f（a k+1），a k+1＜a k+2＜1，+1也就是说当n=k+1时，a n＜a n+1＜1也成立，根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，a n＜a n+1＜1恒成立．=f（a n）可得（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，a n+1a k+1=a k﹣a k lna k=，1）若存在某i≤k2，满足a i≤b3，则由（Ⅱ）知：a k+1﹣b＜a i﹣b≥04，2）若对任意i≤k6，都有a i＞b，则a k+1=a k﹣a k lna k==≥a1﹣b1﹣ka1ln=0，即a k＞b成立．+1。
2008年全国卷ⅠⅠ高考理科数学真题及答案
2008年全国卷ⅠⅠ高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 A B ，()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 A B ，R球的体积公式()()()P A B P A P B = 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 A p 34π3V R =次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径n A k R()(1)(012)k kn k k n P k C p p k n -=-= ，，，，一、选择题1．设集合，（ ）{|32}M m m =∈-<<Z {|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤A ． B ． C ．D ． {}01，{}101-，，{}012，，{}1012-，，，2．设且，若复数是实数，则（ ） a b ∈R ，0b ≠3()a bi +A ． B ．C ．D ．223b a =223a b =229b a =229a b =3．函数的图像关于（ ） 1()f x x x=-A ．轴对称B ． 直线对称y x y -=C ． 坐标原点对称 D ． 直线对称x y =4．若，则（ ） 13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，A ．<<B ．<<C ． <<D ． <<a b c c a b b a c b c a 5．设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）x y ，222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥y x z 3-=A ． B ． C ． D ．2-4-6-8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．9291029192920297．的展开式中的系数是（ ）64(1(1x A ．B ．C ．3D ．44-3-8．若动直线与函数和的图像分别交于两点，则x a =()sin f x x =()cos g x x =M N ，的最大值为（ ）MN A ．1BCD ．29．设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） 1a >22221(1)x y a a -=+e A ．B ．C ．D ．(25)，(210．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则S ABCD -E SB AE SD，所成的角的余弦值为（ ） A ．B CD ．132311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三20x y +-=740x y --=角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3B ．2C ．D ． 13-12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．C ．D ．223 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量，若向量与向量共线，则(12)(23)==，，，a b λ+a b (47)=--，c ．=λ14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． axy e =(01)，210x y ++=a =15．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设F 24C y x =：F C A B ，，则与的比值等于 ．FA FB >FA FB 16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在中，，． ABC △5cos 13B =-4cos 5C =（Ⅰ）求的值；sin A （Ⅱ）设的面积，求的长． ABC △332ABC S =△BC 18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度a 内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．41010.999-（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；p （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，，点在上且．1111ABCD A B C D -124AA AB ==E 1CC EC E C 31=（Ⅰ）证明：平面；1A C ⊥BED A 1B 1C 1D 1（Ⅱ）求二面角的大小． 1A DE B -- 20．（本小题满分12分）设数列的前项和为．已知，，．{}n a n n S 1a a =13nn n a S +=+*n ∈N （Ⅰ）设，求数列的通项公式；3nn n b S =-{}n b （Ⅱ）若，，求的取值范围．1n n a a +≥*n ∈N a 21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB 相交(20)(01)A B ，，，)0(>=k kx y 于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若，求的值；6ED DF =k （Ⅱ）求四边形面积的最大值． AEBF 22．（本小题满分12分） 设函数．sin ()2cos xf x x=+（Ⅰ）求的单调区间；()f x （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围． 0x ≥()f x ax ≤a参考答案和评分参考评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．2 14．2 5．3+16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）由，得， 5cos 13B =-12sin 13B =由，得．4cos 5C =3sin 5C =所以． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=（Ⅱ）由得 332ABC S =△， 133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=由（Ⅰ）知，33sin 65A =故 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分65AB AC ⨯=又 ， sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==故 ，． 2206513AB =132AB =所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分sin 11sin 2AB A BC C ⨯==18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为p ，ξ则．4~(10)B p ξ，（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅A A当， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分0ξ=()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=，4101(1)p =--又，410()10.999P A =-故． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 0.001p =（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和． 10000a 支出 ，1000050000ξ+盈利 ，10000(1000050000)a ηξ=-+盈利的期望为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 100001000050000E a E ηξ=--由知，，43~(1010)B ξ-，31000010E ξ-=⨯4441010510E a E ηξ=--⨯．4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥（元）． 15a ⇔≥故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．解法一：依题设知，．2AB =1CE =（Ⅰ）连结交于点，则．AC BD F BD AC ⊥由三垂线定理知，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 1BD A C ⊥在平面内，连结交于点，1A CA EF 1A C G 由于，1AA ACFC CE==故，，1Rt Rt A AC FCE △∽△1AA C CFE ∠=∠E A 1B 1C 1D 1H与互余．CFE ∠1FCA ∠于是．1A C EF ⊥与平面内两条相交直线都垂直，1A C BED BD EF ，所以平面． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 1A C ⊥BED （Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，GH DE ⊥H 1A H 1A H DE ⊥故是二面角的平面角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分1A HG ∠1A DE B --EF ==，CE CF CG EF ⨯==EG ==， 13EG EF=13EF FD GH DE ⨯=⨯=又，． 1A C ==11A G A C CG =-=．11tan A GA HG HG∠==所以二面角的大小为． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 1A DE B --arctan 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴， D DA x 建立如图所示直角坐标系．D xyz -依题设，． 1(220)(020)(021)(204)B CE A ，，，，，，，，，，，，(021)(220)DE DB == ，，，，，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 11(224)(204)A C DA =--= ，，，，，（Ⅰ）因为，，10A C DB = 10A C DE =故，． 1A C BD ⊥1A C DE ⊥又，DB DE D = 所以平面． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分1A C⊥DBE x（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则()x y z =，，n 1DA E ，．DE ⊥ n 1DA ⊥ n 故，．20y z +=240x z +=令，则，，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分1y =2z =-4x =(412)=-，，n 等于二面角的平面角， 1A C ，n 1A DE B --．111cos A C A C A C==，n n n 所以二面角的大小为∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 1A DE B --20．解：（Ⅰ）依题意，，即， 113nn n n n S S a S ++-==+123nn n S S +=+由此得． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分1132(3)n n n n S S ++-=-因此，所求通项公式为，．① ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分13(3)2n n n n b S a -=-=-*n ∈N （Ⅱ）由①知，，13(3)2nn n S a -=+-*n ∈N 于是，当时，2n ≥1n n n a S S -=- 1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯，1223(3)2n n a --=⨯+-12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-，22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=∙+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当时，2n ≥21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔∙+- ⎪⎝⎭≥≥．9a ⇔-≥又．2113a a a =+>综上，所求的的取值范围是． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 a [)9-+∞，21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，2214x y +=直线的方程分别为，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 AB EF ，22x y +=(0)y kx k =>如图，设，其中， 001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，12x x <且满足方程， 12x x ，22(14)4k x +=故．①21x x =-=由知，得；6ED DF = 01206()x x x x -=-021215(6)77x x x x =+==由在上知，得． D AB 0022x kx +=0212x k=+所以， 212k =+化简得，2242560k k -+=解得或． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 23k =38k =（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为E F ，AB1h ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分2h 又，所以四边形的面积为AB ==AEBF 121()2S AB h h =+12===，≤当，即当时，上式取等号．所以的最大值为 ∙∙∙∙∙∙∙∙12分 21k =12k =S 解法二：由题设，，．1BO =2AO =设，，由①得，， 11y kx =22y kx =20x >210y y =->故四边形的面积为AEBFBEF AEF S S S =+△△ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分222x y =+===当时，上式取等号．所以的最大值为． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 222x y =S 22．解： （Ⅰ）． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++当（）时，，即； 2π2π2π2π33k x k -<<+k ∈Z 1cos 2x >-()0f x '>当（）时，，即． 2π4π2π2π33k x k +<<+k ∈Z 1cos 2x <-()0f x '<因此在每一个区间（）是增函数， ()f x 2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 在每一个区间（）是减函数． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分()f x 2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z （Ⅱ）令，则()()g x ax f x =-第 11 页 共 11 页22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+2232cos (2cos )a x x =-+++．211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭故当时，．13a ≥()0g x '≥又，所以当时，，即． ∙∙∙∙∙∙∙∙9分 (0)0g =0x ≥()(0)0g x g =≥()f x ax ≤当时，令，则．103a <<()sin 3h x x ax =-()cos 3h x x a '=-故当时，．[)0arccos3x a ∈，()0h x '>因此在上单调增加．()h x [)0arccos3a ，故当时，，(0arccos3)x a ∈，()(0)0h x h >=即．sin 3x ax >于是，当时，．(0arccos3)x a ∈，sin sin ()2cos 3xxf x ax x =>>+当时，有．0a ≤π1π0222f a ⎛⎫=>∙ ⎪⎝⎭≥因此，的取值范围是． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 a 13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，。