逆向思维在解题中的应用
逆向思维在小学数学解题中的作用与培养策略分析
逆向思维在小学数学解题中的作用与培养策略分析
逆向思维指的是从结果出发，反向推导，从而找到解决问题的方法。
在小学数学中，逆向思维可以使学生更加灵活地运用数学知识，提高解题能力，同时也能培养学生的创新思维能力。
1. 帮助学生理解问题。
逆向思维可以帮助学生从问题的结果反推出问题本身，分析问题的本质，搞清楚问题的难点和关键点，从而更好地理解题意。
2. 提高解题效率。
逆向思维可以帮助学生找到解题的捷径，快速地解决问题，同时也能避免学生在解题中走弯路，提高解题效率。
3. 提高创新思维能力。
逆向思维要求学生从不同的角度思考问题，寻找新的解决办法，促进学生的创新思维能力。
培养逆向思维的策略：
1. 引导学生从结果出发，反向推导。
可以从一些简单的问题开始，让学生从结果出发，想办法反向推导，解决问题，逐步提高学生的逆向思维能力。
3. 引导学生总结问题规律。
在解题过程中，让学生总结问题的规律和特点，找出问题的共性和差异，从而更好地掌握数学知识。
4. 提供多样的思维工具。
为学生提供多种解题工具和方法，如思维导图、分析表、逆向思维等等，帮助学生更好地理解问题和解决问题。
逆向思维在初中数学解题教学中的应用吴辉震
逆向思维在初中数学解题教学中的应用吴辉震发布时间：2021-09-11T08:47:19.553Z 来源：《教学与研究》2021年8月下作者：吴辉震[导读] 新一轮的课程改革非常关注培养学生的学科核心素养，这对学生一生的学习和成长都将起着非常关键的影响。
对于数学这一基础学科来说，在教学中培养学生的逆向思维能力对于培养中学生良好的思维品质有极其重要的作用，在解题过程中很多时候能够达到奇效。
在初中数学教学中，教师可以挖掘教材中的互逆知识，强调数学公式的逆向运用，注重反证法在解题中的应用，这些都有助于培养学生的逆向思维能力。
福建省晋江市南湾中学吴辉震摘要：新一轮的课程改革非常关注培养学生的学科核心素养，这对学生一生的学习和成长都将起着非常关键的影响。
对于数学这一基础学科来说，在教学中培养学生的逆向思维能力对于培养中学生良好的思维品质有极其重要的作用，在解题过程中很多时候能够达到奇效。
在初中数学教学中，教师可以挖掘教材中的互逆知识，强调数学公式的逆向运用，注重反证法在解题中的应用，这些都有助于培养学生的逆向思维能力。
关键词：逆向思维；初中数学；解题教学一、引言逆向思维其实就是一种反向的思维方式，是在对实际的问题进行解决时，将常规的思维进行反向利用，进而更好地解决实际问题的一种方式。
同时逆向思维在数学思想中是比较重要的组成部分，对于学生数学能力的提高以及日后的成长发展都有着举足轻重的作用。
同时，据相关研究表明，当前很多的学生的数学成绩比较差的因素，在很大程度上和学生的逆向思维能力不足有着极大的关系，学生过于依赖公式、定理等刻板的内容，思维模式比较固定化，没有相应的创造力和观察力，进而使得学生实际的学习情况不理想。
二、在日常教学中渗透逆向思维的培养首先，强化学生基础知识的逆向教学。
初中阶段是学生进行学习的一个重要的过渡期，是对基础知识进行学习，并且为未来的数学学习打下坚实的基础的一个阶段，因此必须要重视初中阶段对学生思维能力的培养。
创新解题思路
创新解题思路在现代社会中，面对各种复杂问题和挑战，我们时常需要寻找创新的解题思路。
创新解题思路旨在打破传统思维的束缚，激发创造力和创新潜能，以找到更加有效、高效、可行的解决方案。
本文将探讨几种创新解题思路，并介绍如何应用它们来解决实际问题。
一、逆向思维法逆向思维法是一种常用的创新解题方法。
它要求我们将问题从反方向考虑，从不同的角度看待问题，并设想相反的情景或解决方法。
通过这种方式，常常能够找到潜在的解决方案。
例如，如果我们遇到了一个难题，可以尝试想象它的反面情景，并思考在那种情况下我们会如何解决。
这种思考方式能够帮助我们发现隐藏的解决方案，提供新的思维路径。
二、跨界融合思维法跨界融合思维法是指将不同领域的知识、技术、经验等进行整合，形成新的解决方案。
这种方法鼓励我们超越传统的思维边界，将多个领域的优势结合起来，创造出独特的解决方案。
例如，在设计一款手机时，可以借鉴汽车制造业的人机交互理念，将汽车导航系统的交互方式应用到手机界面设计中，提升用户体验。
跨界融合思维法可以为我们提供更广阔的视野和更多的创意可能性。
三、反思法反思法是一种通过回顾和分析过往经验来寻找创新解决方案的方法。
它要求我们审视过去的成功和失败，并从中汲取教训。
通过对过往经验的反思，我们可以发现原来被忽略或未被发现的问题和解决方案。
例如，一个企业在推出新产品时经历了失败，通过对失败原因的反思，他们发现市场需求的变化是导致产品失败的主要原因，因此调整了产品定位和设计，最终取得了成功。
反思法提醒我们在解决问题时不断学习和成长，从而不断改进和创新。
四、多元思维法多元思维法是指从多个角度、多个维度思考问题，拓展问题解决的可能性。
它要求我们不仅要从自己的角度思考问题，还要考虑其他人的观点和利益，从整体利益出发寻找解决方案。
通过多元思维法，我们可以避免陷入自我中心的思维固化，打破思维的狭隘性，找到更加全面、全局性的解决方案。
例如，在制定一项政策时，需要考虑到不同利益相关方的声音和需求，以达到最大公约数的共识。
逆向思维在小学数学解题中的应用技巧
㊀㊀㊀解题技巧与方法１５９㊀㊀逆向思维在小学数学解题中的应用技巧逆向思维在小学数学解题中的应用技巧Һ张海军㊀（甘肃省陇南市武都区柏林中心小学，甘肃㊀陇南㊀７４６０２３）㊀㊀ʌ摘要ɔ逆向思维是从问题的结果出发或从其他角度对问题进行转化的一种思维方式，如逆用数学公式㊁反证法㊁转化法，等等．逆向思维对于降低学生解题难度有着重要意义，研究其应用技巧可提高数学习题教学质量，提升学生解题能力．文章结合小学数学解题案例论述了逆向思维在解填空题㊁选择题㊁运算题㊁应用题时的应用技巧，旨在提高学生的逆向思维能力，推动小学数学解题教学发展．ʌ关键词ɔ逆向思维；小学数学；解题教学；应用技巧现阶段的小学数学命题方式越来越新颖．对于一些问题，学生利用正向思维很难快速解决．对此，提升学生的思维灵活性，使其掌握应用逆向思维解决问题的方法，可帮助其攻克解题难点．逆向思维的应用类型有很多，只有 对症下药 ，才能保证解题的快速性与准确性．为此，小学数学教师有必要研究逆向思维在解决小学数学不同类型问题中的应用技巧，并将其巧妙融入数学解题教学，为不断丰富课程内涵，推进学生综合发展做好准备．一㊁逆向思维在填空题中的应用技巧填空题是小学数学试卷上的必有题型，通常将要求的结果以横线代替，要求学生根据题目给出的已知条件进行分析运算，并将正解写在横线上方．小学数学填空题的特征是题目信息少㊁跨度大㊁覆盖面广，往往以简练的题目考查学生对数学概念㊁定理㊁公式等基础知识及数学思想方法的掌握情况．学生在数学学习过程中，难免会遇到难以用常规思维解决的填空题．此情况下，教师应引导学生根据题目特征酌情选取反证法㊁逆用数学公式等逆向思维解题法，以此实现快速求解．比如，在人教版二年级上册 表内乘法（一） 一课的习题教学中，有填空题如下：例１㊀妈妈给了小勇元，小勇先用这些钱的一半买了玩具，又花了４元购买零食，最后还剩下２元钱．解析㊀按照正向思维，学生应基于小勇妈妈给出的金额进行除法列式㊁减法列式，得到还剩下２元的结果．但是这样的思维方式无法确定给出的金额到底是多少．这时，教师可引导学生应用逆向思维进行分析：小勇最后剩下２元钱，在买零食之前应剩下的钱应是２＋４＝６（元）．根据 小勇先用这些钱的一半买了玩具 ，可以明确 ６元 与小勇买玩具的金额相等，之后进行除法的逆运算：６ˑ２＝１２（元），即可得到妈妈给的总钱数为１２元．结合图１所示内容进行逆推，可进一步提高解题效率：图１解决难以利用正向思维推理数值的填空题时，教师可引导学生运用逆向思维，同时借助图示㊁实物等多种工具将题目给出的抽象信息具象化，之后结合问题中的等量关系采取倒推法进行逆向运算，达到轻松求解的目的．二㊁逆向思维在选择题中的应用技巧小学数学选择题由题干与备选项两部分构成．题干常以陈述句或疑问句的形式出现，通过呈现问题情境激发学生的解题兴趣；备选项以数字㊁短语等形式出现，通常为与题干有着直接关系的备选答案．小学数学选择题大多为单选题，备选项中只有一个正确答案，其他为干扰项．遇到难以通过正向思考解决的选择题时，学生可运用逆向思维进行推理，或直接将题目给出的选项代入原题选定正确答案．比如，在人教版二年级下册 表内除法（一） 一课的习题教学中，有选择题如下：例２㊀甲㊁乙两名学生在玩猜数游戏．甲说：我心里想着一个数，给这个数加上９，再取和的一半应是５．乙猜想这个数是（㊀㊀）．Ａ．１㊀㊀㊀Ｂ．２㊀㊀㊀Ｃ．３㊀㊀㊀Ｄ．４解析㊀这一问题直接给出结果，要求学生逆推条㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０㊀件．按照常规思路分析问题显然具有一定的难度，为此，教师可引导学生运用逆向思维，以结果为起点，逆向推理：甲心想的数加上９后和的一半是５，说明和为５ˑ２＝１０，向前逆推，可明确这个数为１０－９＝１．也可换一个角度思考：这一问题给出了四个选项．先根据题目给出的数量关系列出算式，将甲心想的数用 Ѳ 代替，得到（Ѳ＋９）ː２＝５．将１，２，３，４四个数值分别代入原式，代入后等式仍然成立的数即为正确答案．解决问题结果（或最后结论）是已知数据（或起始条件）这种类型的问题时，教师需要引导学生综合考虑题目中的已知㊁未知数量关系，确定正向㊁逆向运算顺序，再将所要求的数量用数学符号代替，列出正向算式，之后根据逆推的思路进行正向算式㊁逆向算式的互化，从而得到所求数的具体数值，之后将所得数值与题目给出的具体选项进行对照，即可轻松选出正确选项．除此之外，教师还可以引导学生将选择题给出的备选答案反向代入原题当中，若代入后原题给出的数量关系仍然成立，说明代入数值正确，若不成立则说明代入数值并不是正确答案．三㊁逆向思维在计算题中的应用技巧计算题是以算理㊁算法为核心考点的问题，包括加㊁减㊁乘㊁除及混合运算等类型．常规的计算题可直接套用计算公式进行求解，但一些简便运算问题㊁数字填空问题需要运用逆向思维将其转化．（一）解简便运算题简便运算题以加（乘）法交换律㊁结合律，乘法分配律，除法的性质为主要考点，要求学生将复杂算式化简求值，且该过程应尽量避免使用笔算的方法．一些运算题并不以ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，ａˑ（ｂ＋ｃ）＝ａˑｂ＋ａˑｃ等常规形式出现，学生需要运用逆向思维对算式中的量进行转化．比如，在人教版四年级下册 运算定律 一课的习题教学中，下列简便运算问题便需要学生应用逆向思维求解．例３㊀化简求值．（１）３６ˑ１１１＋８８８ˑ８；（２）９９９ˑ７８．解析㊀针对第（１）题，按照正向思维应对原式采取竖式计算方法，不符合简便运算要求．通过逆向思考，发现其中的８８８可被拆解为８ˑ１１１，那么原式就可被转化为３６ˑ１１１＋８ˑ１１１ˑ８，根据乘法结合律㊁交换律㊁分配律，可得原式＝３６ˑ１１１＋１１１ˑ６４＝（３６＋６４）ˑ１１１＝１１１００．针对第（２）题，学生可换一个方向出发，思考９９９可用哪些算式表示，之后基于转化的思想逆构简便运算模型：９９９ˑ７８＝（１０００－１）ˑ７８，之后按照乘法分配律进行简便运算即可得到问题答案为７７９２２．解简便运算问题时，教师可引导学生先应用正向思维分析算式，若算式较为典型，可直接代入运算律进行求解；若算式形式新颖，可应用逆向思维对算式中的 数 进行转化，通过逆向推理将原式转化为符合运算定律计算模型的算式，之后求解．（二）解竖式谜题竖式谜题是基于纵向排列数字计算的谜题，用于训练学生的运算思维，通常包括一个乘法计算和一些额外的限制条件．这类问题一般要用逆向思维来解决．以人教版四年级上册 三位数乘两位数 一课的习题教学为例，学生可用逆向思维解决如下竖式谜题．例４㊀如图２所示，在乘法竖式的 ㊀ 中填入合适的数字，使竖式成立．㊀４㊀ˑ㊀６１㊀㊀０㊀㊀５８㊀㊀０图２解析㊀可分三步解答此谜题．第一步，根据两个乘数的末位数字相乘得０，可以逆向推得第一个乘数的末位可能是０或５，再根据第一个乘数的末位数字与第二个乘数十位数相乘的末位数字是５，可以确定第一个乘数的末位数字就是５．第二步，根据第一个乘数与第二个乘数个位上的６相乘得一千多，逆向推得第一个乘数的百位数字可能是２或３，分别计算２４５ˑ６＝１４７０，３４５ˑ６＝２０７０，由此断定第一个乘数为２４５．第三步，因为竖式中的积为八千多，所以能确定第一个乘数与第二个乘数十位上数字的积是六百多或七百多，由此确定第二个乘数的十位数字是３．综合三步推理，可解答谜题：２４５ˑ３６＝８８２０．解答乘法竖式谜题时，学生需要将积的关键特征作为解题切入点，运用逆向思维分析两个乘数各位数字之间的关系，之后进行逆向推理，补充谜题中的空白部分．四㊁逆向思维在应用题中的应用技巧应用题是小学数学题的重要构成部分，用以检验学生迁移应用数学概念㊁原理㊁公式解决实际问题的能力，主要包括行船问题㊁归一问题等类别．一些应用题难度较高，难以直接列式解答．这种情况下，教师需要引导学生应用逆向思维．㊀㊀㊀解题技巧与方法１６１㊀㊀（一）行船问题行船问题是由现实生活中的航行问题加工得来的．一般情况下，此类问题以船速㊁水速为主要信息，求两点之间距离．对于一些较为简单的问题，可直接利用 （顺水速度＋逆水速度）ː２＝船速 等数量关系式代入求值．针对一些形式新颖㊁内容复杂的问题，需要运用逆向思维．比如，在人教版五年级上册 简易方程 一课的习题教学中，学生可用逆向思维解决如下行船问题．例５㊀一艘货轮往返于甲㊁乙两地之间，由甲地到乙地是顺水航行，由乙地到甲地是逆水航行．已知货轮在静水中的速度是每小时２０千米，由甲地到乙地用了６个小时，由乙地到甲地所用的时间是由甲地到乙地所用时间的１．５倍，水流速度是多少？解析㊀水流速度㊁行船速度㊁静水速度息息相关．但是，此问题并未直接给出货轮的行船速度，也未给出甲㊁乙两地之间的路程，很难代入公式直接求解．为此，教师可以运用逆向推理的思维方法提出问题，让学生围绕问题梳理解题思路，如：（１）要求水流速度，根据题意需要什么条件？（２）要求行船速度，根据题意需要什么条件？（３）题目中有哪些数量关系可以被利用？根据系列问题，学生可以明确：题目给出了静水速度，用行船速度加或减静水速度可得水流速度；行船速度可以根据 路程ː时间＝速度 这一公式求得；从甲地到乙地㊁从乙地到甲地所行驶的路程是相同的．之后，假设水流速度为每小时ｘ千米，则由甲地到乙地的货轮行驶路程为［（２０＋ｘ）ˑ６］千米，由乙地到甲地的货轮行驶路程为［（２０－ｘ）ˑ６ˑ１．５］千米，可得方程（２０＋ｘ）ˑ６＝（２０－ｘ）ˑ６ˑ１．５，解方程可得水流速度为４千米／时．应用逆向思维解决行船问题时，应将题目的问题作为切入点，从问题出发思考解决问题需要的确切条件，之后将其中的一个（或两个）未知条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件．通过逐步逆推的方式找到解决问题的已知条件，完成解题．（二）归一问题归一问题属于复合应用题，要求学生解题时按照已知条件先求出单位量，再利用单位量列式计算，求出问题结果．解决此类问题时，学生需要灵活运用逆向思维找出单位 １ 是什么，之后结合题目要求列式求解．比如，在人教版六年级上册 分数除法 一课的习题教学中，学生可用逆向思维解决如下归一问题．例６㊀３１３吨小麦可磨面粉２５６吨，现有小麦７１２吨，可磨面粉多少吨？解析㊀解决这一应用题，要先明确磨１吨面粉需要小麦的吨数，再代入数值计算７１２吨小麦可磨多少面粉．应用逆向思维分析问题，可有两种解法：（１）先着眼于１吨小麦可磨多少吨面粉，之后用乘法求出７１２吨小麦可磨面粉的吨数，列式计算为：２５６ː３１３ˑ７１２＝１７２０ˑ７１２＝６３８（吨）．（２）着眼于应用题中的倍比关系，先求出７１２吨小麦是３１３吨小麦的多少倍，再按照倍比的思路，有一个３１３吨小麦可磨面粉２５６吨，小麦的倍数必然也是面粉的倍数．由以上逆向推理内容可列算式：２５６ˑ７１２ː３１３æèçöø÷＝２５６ˑ１５２ˑ３１０æèçöø÷＝６３８（吨）．应用逆向思维解决归一问题的思路有很多．最重要的是把握问题给出的数量关系，如倍数关系㊁和差关系等．先通过逆向推理等方式求出单一量或倍比关系，再结合求出的已知信息展开计算，求出所要求的数量．结㊀语逆向思维的应用化解了正向思考受阻的困境，具有化复杂为简单㊁化抽象为直观等功能．小学生在数学学习中不可避免地会遇到无法利用常规思考方式解决的数学难题，这时教师可指导学生灵活运用逆向思维，采取逆用定义㊁逆用数学公式与运算法则等手段反过来思考问题，通过变式㊁间接证明等方法解决数学难题．ʌ参考文献ɔ［１］黄文锦．逆向思维在小学数学解决问题教学中的研究应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２２（３６）：４１－４３．［２］周国文．逆向思维在小学数学教学中的应用［Ｊ］．读写算，２０２２（３５）：６４－６６．［３］廖昀．小学生逆向思维的培养策略［Ｊ］．江西教育，２０２１（１８）：６８．。
高中数学解题中逆向思维的运用分析
高中数学解题中逆向思维的运用分析一、逆向思维在代数运算中的应用在代数式的化简或推导过程中，逆向思维的运用尤为重要。
学生应该能够将原代数式转化为与之等价的式子。
在进行化简或推导过程中，应该寻找一些特殊的结构，将复杂的式子简化，这就需要发挥逆向思维的作用。
例如，在求解二次方程ax²+bx+c=0时，我们通常采用求根公式，但是对于系数较大的二次方程，求根公式过于繁琐，此时运用逆向思维，可以通过对二次方程进行变形，将其化为已知一元二次方程ax²+bx+c=0的形式，再通过已知一元二次方程的解法求解，这样可以大大减少计算量。
数形结合也是高中数学考试经常会出现的一种形式。
在数形结合的题型中，逆向思维同样具有很大的作用。
例如，在求解一个三角形的面积时，可以通过对其进行分割，构成若干个小三角形，计算小三角形的面积再累加得到大三角形的面积。
这种方法就可以灵活地运用于各种三角形，而不必依赖于模板式的公式推导。
又如，在计算一个圆的面积时，我们通常采用固定圆心，通过对圆进行分割计算扇形面积的办法。
但有时候给出一个园的面积和半径，却需要求圆心角的大小，此时我们可以反过来思考，从给定的面积和半径出发，计算扇形面积，再借助数学公式计算圆心角的大小。
三、逆向思维在考虑特殊情况时的应用在解题时，有些题目是需要我们进行针对特殊情况的思考的。
进入逆向思维的思考状态可以帮助我们快速找到特殊情况下的解法，减少不必要的猜想和试错。
例如，在求解一些对称形状的图形面积时，可以通过将几何图形进行切割，再将切割后的片段组合起来计算得到总面积。
若图形是对称的，那么进行切割后的片段也是对称的，此时只需要计算其中一部分面积，即可得到整个几何图形的面积。
还有一个常见的例子就是求解函数的解析式时常会用到逆向思维。
有些函数难以直接求解，但是当我们考虑它的特殊情况时，就可以发现其规律，求解函数的解析式就会变得容易起来。
总之，逆向思维是高中数学解题过程中非常重要的一种思维方式，它可以帮助我们从另一个方向分析问题，找到解题的契机。
分数应用题——逆向思维解题
分数应用题——逆向思维法
一、解题思路：使用逆向思维解答的分数应用题，是指不依据条件出现的先后顺序，而是从反方向进行推理才能解答的应用题。
二、例题解析：国庆期间，小明准备用3天时间做完老师布置的数学作业。
第一天做了13 ，
第二天做了余下的12 多3题，第三天上午又做了余下的34 ，这时还剩下1道题没有做。
老师一
共布置了多少道数学题？
分析：这道题中的单位“1”比较多，而且难以统一，我们可以采用逆向思维法予以还原：
根据“第三天上午又做了余下的34 ，这时还剩下1道题没有做”可以求出第二天做好后剩下的
数学题：1÷（1—34
）=4题；再由“第二天做了余下的12 多3题” 可以求出第一天做好后剩下的数学题：（4+3）÷（1—12 ）=14题；最后由“第一天做了13 还剩下14题”可以求出老师
布置了多少道数学题。
三、我来试试：
1、小明看一本故事书，第一天看了全书的25 ，第二天看了剩下的58 ，还有36页没有看。
这本故事书共有多少页？
2、工程队修一条公路，第一个月修了全长的35 多50米，第二个月修了余下的13 少60米，
这时还剩下4600米没有修，这条公路全长多少米？
3、一个最简分数，分子、分母的和是50，如果分子、分母都减去5，得到分数23 ，这个分
数原来是多少？
4、一个数扩大32 倍，再减去23 ，然后除以2，再加上14 ，最后得数是712 ，这个数是多少？
5、桌上原来有一些苹果，爸爸吃了2个，妈妈吃了1个，后来王大妈又送来此时苹果总数的一半，接着又发现刚刚送来的苹果有一半是坏的，于是扔了，最后爷爷吃了1个剩下9个。
问原来有苹果多少个？。
小学生数学问题的逆向思维训练
小学生数学问题的逆向思维训练在小学数学的学习中，培养学生的逆向思维能力是一项重要且具有挑战性的任务。
逆向思维，简单来说，就是从问题的相反方向去思考，通过反向推理来解决问题。
这种思维方式不仅能够帮助学生更灵活地应对数学难题，还能锻炼他们的逻辑思维和创新能力，为日后的学习和生活打下坚实的基础。
一、逆向思维在小学数学中的重要性1、拓宽解题思路当学生习惯于正向思考问题时，往往容易陷入固定的思维模式。
而逆向思维能够为他们提供全新的视角，让他们发现更多解决问题的途径。
例如，在计算“一个数加上7 等于15，这个数是多少？”这道题时，正向思维是从已知的加数和和去求另一个加数，而逆向思维则是从和减去已知的加数来得到答案，即 15 7 ＝ 8。
通过这样的训练，学生在面对类似问题时，就能迅速地从不同角度思考，找到最简便的解题方法。
2、增强逻辑推理能力逆向思维要求学生对问题进行反向分析和推理，这有助于培养他们严谨的逻辑思维。
比如，在解决几何图形的面积或周长问题时，通过逆向推导，可以让学生更深入地理解图形的性质和计算公式之间的关系。
3、激发创新意识当学生能够打破常规，从相反的方向思考问题时，往往能够产生独特的想法和创新的解决方案。
这种创新意识在数学学习以及未来的工作和生活中都具有重要的价值。
二、小学生逆向思维能力的现状在当前的小学数学教学中，我们发现部分学生在逆向思维方面存在一些不足。
1、思维定式的束缚由于长期接受正向思维的训练，学生在遇到问题时，第一反应往往是按照常规的方法去思考，难以迅速转换思维方向。
2、对数学概念和公式的理解不够深入如果学生只是机械地记忆数学概念和公式，而没有真正理解其内涵和推导过程，那么在运用逆向思维解决问题时就会感到困难。
3、缺乏逆向思维的训练和引导在教学过程中，教师可能没有给予逆向思维足够的重视，导致学生缺乏相关的训练和实践机会。
三、培养小学生逆向思维的方法1、利用数学游戏和谜题数学游戏和谜题是激发学生兴趣、培养逆向思维的有效手段。
初中数学解题教学中逆向思维的应用分析
初中数学解题教学中逆向思维的应用分析在初中数学解题教学中，逆向思维是一种非常重要的思维方式，它经常被应用于解决数学难题中。
在逆向思维中，我们需要从已知的结果出发，通过反推来推导出实现这个结果的原因和方法。
下面我们将从两个方面来分析逆向思维在初中数学解题教学中的应用。
一、逆向思维在解决代数方程式中的应用代数方程式是初中数学中较为重要的一个章节，也是比较难理解的一个内容。
在代数方程式的解题过程中，逆向思维常常可以帮助我们解决难题。
例如下面的例子：某水库库容为1000万立方米。
三年后改建扩大，扩大的部分比现有容量多25%，则新水库的总容积是多少？解题过程如下：我们可以把新水库的总容积设为V，那么有下面的方程：V = 1.25×1000 + 1000得到V=2250（万立方米）通过逆向思维我们可以看出，若一个水库已经有了容量1000万立方米，又想要扩大到一个总容量为2250万立方米的水库，那么这个扩大部分的容积必定是1250万立方米减去原来的1000万立方米，即250万立方米。
这个例子表明，对于代数方程式中的难点，我们可以尝试通过逆向思维的方式，从结果中反推出原因和方法。
几何学是初中数学中比较难的一门学科，因此也需要逆向思维的帮助来解决难题。
例如下面的例子：如图，在平面直角坐标系中，直线y=k与抛物线y=x^2-x-6相交于两个点P、Q。
当k 取何值时，P、Q的横坐标之差等于6？我们可以先通过求出P、Q的坐标及其横坐标之差的一般式，然后通过解方程求解出k 的值。
k=x^2-x-6我们将其变形后得到由于横坐标之差等于y轴之差，所以P、Q的横坐标之差就是两个点在y轴上的距离，即P、Q的纵坐标之差，为f(P)-f(Q)=(P^2-P-6)-(Q^2-Q-6)=P-Q而且P、Q均在直线y=k上，所以有P+Q=2k我们可以用代数的方法求解出P和Q的坐标：如果直线y=k与抛物线y=x^2-x-6相交，那么x^2-x-6-k必然有实数根，即满足b^2-4ac≥0，得到1+24+4k≥0,即k≥-6.25我们把k代入方程x^2-x-6-k=0，求出P和Q的横坐标：2k=4或k=2因此，当k=2时，P、Q的横坐标之差为6。
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浅谈逆向思维在解题中的应用
【摘要】对有些数学问题，如果从正面去直接探求，常常一筹莫展，但是，若改变一下思维的角度，避开正面强攻，从问题的反面进行逆向思考，又常能找到解题的通道，甚至获得优秀的解法。
波利亚在《怎样解题》中写道“毫无疑问，这种方法有些发人深思之处。
不照直走一条通往目标的道路，而是从目标走开，转头来倒着干。
”
【关键词】逆向思维应用浅谈
【中图分类号】 g633.6 【文献标识码】 a 【文章编号】
1674-4772（2013）03-023-01
一、逆用定义
本来数学定义总是可逆的，但学生在解题中往往习惯于正向使用，而对定义的逆用缺乏自觉性和敏感性。
例1. 已知点a（ 2，0），b （2，0）和动点p（x ， y），△ abp 的周长为10，求点p 的轨迹方程.
解析：本题可直接用两点的距离公式，求动点p的轨迹方程.但运算量大，考虑到ab+ pa+ pb =10 ，即pa+ pb =6>4 ，ab = 4.逆用定义，可得点p 的轨迹是椭圆，于是设点p 的轨迹方程是■+■=1（x≠±3）
二、逆用公式
对所给的数学问题，若能挖掘其隐含的某些公式的特征，借以逆用，使问题转化，常可得到简捷、巧妙的解法。
例2. 求证：对于任意自然数n（n≥3），总有不等式■>n成立。
证明：2 =21+2+3+……（n-1）=21×22×23……×2n-1
又2n-1=cn-1 +cn-1+cn-1+……+cn-1 =1+n-1+cn-1 +……>n
∴2 =21×22×23……×2n-1>1×2×3……×n=n！
注：逆用了1+2+3+……+n=■，cn-1 +cn-1+……+cn=2n
三、运用互为逆否的命题的等价关系
有时将某命题转换成与它等价的命题，即逆否命题，以降低解答的难度.
例3. 已知甲： x + y ≠3，乙： x ≠1，或y ≠2，则甲是乙的（）.
（a）充分非必要条件（b）必要非充分条件
（c）充要条件（d）既非充分又非必要条件
解析：命题“甲乙”等价于它的逆否命题：“若x = 1，且y = 2则 x + y = 3，”是真命题，而命题“乙甲”等价于它的逆否命题：“若x + y = 3，则x = 1，且y = 2”是假命题，所以乙推不出甲，故甲是乙的充分非必要条件，选a.
四、运用命题的否定，求补解决
原命题的情况复杂，而命题的否定简单，不妨从命题的否定去思考和探索，得出结论后，通过补集思想容易求出原命题结论，这也是逆向思维的一种方式。
例4. 设函数f（x）=sinx+cosx和g（x）=2sinxcosx.若存在x0∈[0，■]，使 | a f（x）-g（x）-3|≥■成立，求实数a的取
值范围.
解析：可设t=sinx+cosx，则a f（x）-g（x）-3=t2-at+2
∵ x0∈[0，■]，则t=sinx+cosx=■sin（x0+■）∈[1，■]
设命题p：“存在t0∈[1，■]，使 | t02-at0+2|≥■成立”
则命题p的否定“t∈[1，■]， | t2-at+2|t+■恒成立.（1） a>■（1）
t0∈[1，■]，a故由命题p得：a的取值范围■五、执果索因，逆序探求
当从题设条件出发，“由因导果”受阻时，不妨从肯定结论入手进行“执果索因”，从而探求出因果之间的联系。
六、反证法
它是逆向思维的常用武器，是常见一种方法。
例6 设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数中a，b，c均为整数，且f（0）、f（1）均为奇数，求证：f（x）=0无整数根。
证明假设f（x）=0有整数根x0，∴ax02+bx0+c=0，∵f（0）、f （1）为奇数，∴c为奇数，a+b+c为奇数或a、b、c同为奇数或a、b同为偶数且c为奇数，（1）当x0为奇数时，ax02+bx0为偶数（2）当x0为偶数时，ax02+bx0为偶数，由（1）（2）得ax02+bx0为偶数，∴ax02+bx0+c为奇数与ax02+bx0+c=0矛盾，∴f（x）=0无整数根。
七、反面思考
对于一些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题可先攻其反
面，从而使正面问题得以解决，我们常称为“正难则反”。
例7. 求二项式（15■x-y）15展开式中所有无理系数之和.
解析：该二项式的展开式中所有有理系数只有两项（15■x-y）15=3x15及（-y）15=-y15，其系数之和为3+（-1）=2.又在二项式（15■x-y）15中，令x=y=1，可得展开式中所有各项的系数和为（15■-1）15。
故所有无理系数之和为（15■-1）15-2.
八、反客为主
解题时，总是把注意力集中在那些主要变元上，会思维受阻，若能注意在某种特定的条件下，变换思维角度，反客为主，常能取得解题突破。
九、反例否定
证明一个命题需进行严格的逻辑推理，而否定一个命题仅需举出一个反例即可。
举反例否定某一命题是一种逆反思维形式。