山西省太原市2021届数学高二上学期期末检测试题
山西省高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．
【详解】由题意 ，圆 最新直线 对称，那么 ， ，即l方程为 ，
所求距离为 ．
应选：D.
【点睛】此题考查两平行线间的距离，解题时需由圆最新直线对称，即直线过圆心求出参数m，再那么平行间距离公式计算．
中， 平面 ， ， ，鳌臑 的四个顶点都在同一个球上，那么该球的外表积是〔 〕
，且过点 的直线 交圆 于 ， 两点，那么直线 的一般式方程__________， __________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．
【详解】由题意直线l的方程为： ，即 ，
圆标准方程为： ，圆心为 ，半径为 ，
4.刘徽注?九章商功?曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.〞其中的“斛、斗、升〞都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗〞，“方斗〞的形状是一种上大下小的正四棱台〔两个底面都是正方形的四棱台〕,如果一个方斗的三视图如下图，那么其容积为〔 〕
〔2〕假设 ， ，求四棱锥 的体积.
【答案】〔1〕证明见解析〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕由 及 得 ， ，从而有 平面 ，于是可得面面垂直．
〔2〕取 的中点 ，连接 ，证明 平面 ，同时说明底面是正方形，即可求体积．
第二卷〔共90分〕
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
为圆心，且与圆 外切的圆的标准方程是__________.
太原市2021届高二上学期数学期末学业水平测试试题
太原市2021届高二上学期数学期末学业水平测试试题一、选择题1．用反证法证明“,20xx ∀∈>R ”时，应假设（ ） A ．00,20x x ∃∈≤RB ．00,20x x ∃∈<RC ．,20xx ∀∈≤RD ．00,20x x ∃∈>R2．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹. 古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算， 算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把 各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示， 十位、千位、十万位用横式表示， 以此类推．例如 8455 用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（ ）A． B ．C． D ．3．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且()()03P P a ξξ<=>-，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．5D ．64．已知x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A.12B.1C.32D.25．2243A C -= （ ）A ．9B ．12C ．15D ．36．某市进行了一次法律常识竞赛，满分100分，共有N 人参赛，得分全在[]40,90内，经统计，得到如下的频率分布直方图，若得分在[]40,50的有30人，则N =（ ）A ．600B ．450C ．60D ．457．执行如图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是（ ）A ．15B ．105C ．120D ．7208．已知集合2A {x |x 4x 30}=-+<，B {x |2x 4}=<<，则A B (⋂= )A ．()1,3B ．()1,4C ．()2,3D ．()2,49．若命题“0x R ∃∈，使得200x mx 2m 30++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A.[]2,6B.[]6,2--C.()2,6D.()6,2--10．已知命题p ：∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≥0,则⌝p 是 A ．∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≤0 B ．∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≤0 C ．∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<0 D ．∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<011．设,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，给出下列四个命题: ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若m β⊥，//m α，则αβ⊥； ③若m ，βαβ⊂⊥，则m α⊥； ④若αγβγ⊥⊥，，则//αβ； 则真命题为（ ） A ．①②B ．③④C ．②D ．②④12．如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，其中茎为十位数，叶为个位数，甲、乙两人得分的中位数为X 甲、X 乙，则下列判断正确的是（ ）A ．X 乙﹣X 甲=5，甲比乙得分稳定B ．X 乙﹣X 甲=5，乙比甲得分稳定C ．X 乙﹣X 甲=10，甲比乙得分稳定D ．X 乙﹣X 甲=10，乙比甲得分稳定 二、填空题13．函数的定义域为__________．14．设22,,6a b R a b ∈+=，则3ba -的最大值是____15．已知π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α，则tan2α=__________．16．在中，，，则________．三、解答题 17．已知三点，，，曲线上任意一点满足．求的方程；已知点，动点在曲线C 上，曲线C 在Q 处的切线与直线PA,PB 都相交，交点分别为D,E ，求与的面积的比值． 18．某中学为弘扬优良传统，展示80年来的办学成果，特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。
山西省太原市2021-2022高二数学上学期期末考试试题 理(含解析).doc
【答案】C
【解析】
【分析】
取 的中点 ，连接 ，由向量的加法法则 ，进而 ，即 ，又 ，所以 ，在 中，由题意易知 和 ，再根据双曲线的性质，即可求出结果.
【详解】取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
由向量的加法法则， ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又直线的斜率为 ，所以在 中， ，所以 ，
山西省太原市2021-2022高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据原命题为：若 ，则 ；则其逆否命题为若 ，则 ；即可得到结果.
【详解】命题“若 ，则 ”的逆否命题是：若 ，则 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了原命题和逆否命题之间的关系，属于基础题,
2.双曲线 的实轴长为（ ）
A.9B.6C. D.4
【答案】B
【解析】
分析】
根据双曲线实轴的概念，即可得到结果.
【详解】命题 函数 是增函数，∴ ；
命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，∴ ；
∵ 为真命题，
∴ 为真命题， 为假命题．
∴ ，解得 ．
∴实数 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一次函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上.
【答案】
【解析】
【分析】
山西省太原市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题
判断命题p的否定的真假；
若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．
18．已知椭圆C： 的左右焦点分别为 ， ，焦距为2，过 点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接 ， ，且 的周长为 ．
求椭圆C的标准方程；
【详解】
以点 为坐标原点， 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立空间直角坐标系，
因为点 是平面 的动点，所以设 ，因此 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ,
又因为点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，
所以 ，即 ，为双曲线.
故选B
【点睛】
本题主要考查立体几何中点的轨迹问题，由空间向量的方法，列等量关系即可，属于常考题型.
5．D
【分析】
由抛物线 的焦点到准线的距离等于p，可直接得出结果.
【详解】
因为抛物线的方程为 ，即 ，所以 ，
因此焦点到准线的距离是 .
故选D
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质，熟记性质即可，属于基础题型.
6．C
【解析】
【分析】
由题意，若 最小，只需 轴，进而可求出结果.
【详解】
因为 ，若在z轴上取一点 ，使得 最小，只需 轴，所以 点竖坐标为3，故点 的坐标为 .
【市级联考】山西省太原市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．椭圆 的焦距为（ ）
A．4B．5C．6D．9
2．命题：“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
山西省2021-2022高二数学上学期期末测评考试试题 理(II).doc
山西省2021-2022高二数学上学期期末测评考试试题理（II）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一．．．项．是符合题目要求的.1.设命题p：2≥1，命题q：{1}⊆{0，1，2}，则下列命题中为真命题的是A.p∧qB.⌝p∧qC.p∧⌝qD.⌝p∨⌝q2.与直线l1：x－1＝0垂直且过点(－1)的直线l2的方程为＋y＝0 B.x y－2＝0 C.x y－4＝x＋y－03.命题“∀x∈R，x2≠2x”的否定是A.∀x∈R，x2＝2xB.∃x0∉R，x02＝2x0C.∃x0∈R，x02≠2x0D.∃x0∈R，x02＝2x04.下列命题中，假命题．．．的是A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.C.平行于同一平面的两条直线一定平行.D.若直线l不平行于平面α，且l不在平面α内，则在平面α内不存在与l平行的直线.5.已知直线l：x－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，若△OAB为正三角形，则实数m的值为6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a2＋b2＞c2”是“△ABC是锐角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若1123AC xAB yBC zDD ＝－＋，则x ＋y ＋z ＝A.2/3B.5/6C.1D.7/68.曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的 A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等9.若双曲线221y x m -=的一个顶点在抛物线212y x =的准线上，则该双曲线的离心率为10.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于A.30°B.45°C.60°D.90°11.设椭圆22221(0,0)x y m n m n +=>>的一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，且离心率为12，则m －n ＝－4 B.4－8 D.8－12.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为棱CC 1的中点，点M 在正方形BCC 1B 1内运动，且直线AM∥平面A 1DE ，则动点M 的轨迹长度为A.4π C.2 D.π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为 .14.已知向量a ＝(2，4，x)，b ＝(1，y ，3)，若a∥b，则x ＋y ＝ .15.已知动点M 到点A(8，0)的距离等于点M 到点B(2，0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程为 .16.已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则椭圆的离心率为 .三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知p ：对任意的实数k ，函数f(k)＝log 2(k －a)(a 为常数)有意义，q ：存在实数k ，使方程22113x y k k+=+-表示双曲线.若⌝q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 18.(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0.(1)若直线l ：x －2y ＋t ＝0与圆C 相切，求t 的值；(2)若圆M ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝r 2与圆C 有3条公切线，求r 的值.19.(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1＝2，点Q ，R 分别为BC ，B 1C 1的中点.(1)求证：平面A 1BR∥平面AQC 1；(2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.20.(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0).(1)若直线x －y －2＝0经过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的准线方程；(2)若斜率为－1的直线经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，当|AB|＝2时，求抛物线C 的方程.21.(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且BM ＝13BC ，求二面角M －PA －C 的大小. 22.(12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，该椭圆经过点B(0，2)，且离心率为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设M 是圆x 2＋y 2＝12上任意一点，由M 引椭圆C 的两条切线MA ，MB ，当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值.。
山西省2021版数学高二上学期理数期末考试试卷(II)卷
山西省2021版数学高二上学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2018高二上·武汉期末) 已知抛物线方程为则焦点到准线的距离为（）A .B .C . 5D . 102. （2分） (2019高二上·会昌月考) 为创建文明城市，共建美好家园，某市教育局拟从3000名小学生，2500名初中生和1500名高中生中抽取700人参与“城市文明知识”问卷调查活动，应采用的最佳抽样方法是（）A . 简单随机抽样法B . 分层抽样法C . 系统抽样法D . 简单随机抽样法或系统抽样法3. （2分）设p:log2x<0,，则p是q的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） 12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（）A . 3个都是正品B . 至少有一个是次品C . 3个都是次品D . 至少有一个是正品5. （2分）以下说法错误的是（）A . 直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是B . 直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是C . 平面内两个非零向量的夹角的取值范围是D . 空间两条直线所成角的取值范围是6. （2分）已知命题，使得x2+x+1<0,，使得．以下命题为真命题的为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一上·兰州期末) 如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角B´-AD-C，此时∠B´AC=60°，那么这个二面角大小是（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°8. （2分）下列各组空间向量相互垂直的是（）A . =（0，1，﹣2），=（2，0，﹣1）B . =（3，﹣1，1），=（﹣1，0，3）C . =（0，﹣1，﹣2），=（0，﹣2，4）D . =（3，﹣1，1），=（﹣3，1，﹣1）9. （2分）四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点。
太原市2021届数学高二上学期期末检测试题
太原市2021届数学高二上学期期末检测试题一、选择题1．已知集合{}{}0,1,2,1,2,3A B ==，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2C ．{}1D ．{}22．若集合{|04}A x x =<<，{|42}B x x =-<≤，则A B =（ ）A.(0,4)B.(4,2]-C.(0,2]D.(4,4)-3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色是( )．A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大 4．命题“2R,220x x x ∀∈-+≤”的否定为（ ） A ．2R,220x x x ∃∈-+> B ．2R,220x x x ∀∈-+≥ C ．2R,220x x x ∀∉-+≤ D ．2R,220x x x ∃∉-+>5．已知全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知直线1:260l ax y ++=与()22:110l x a y a +-+-=平行，则实数a 的取值是 ( ) A ．－1或2 B ．0或1 C ．－1 D ．27．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ） A.96 B.144C.240D.2888．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（ ）A.B.C.20D.409．一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度()201241v t t t =-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位：m ）是（ ） A.1620ln 4+B.1620ln5+C.3220ln 4+D.3220ln5+10．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段11A D 、BC 上的动点，设直线EF 与平面AC 、平面1BC 所成角分别是,θϕ，则（ ）A.()min,tan θϕθ>= B.0max ,45θϕθ== C.0max ,45θϕθ<=D.0min ,45θϕθ==11．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m12．对两个变量x ，y 进行回归分析，得到一组样本数据：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ），则下列说法中不正确的是A.由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1. 二、填空题13．已知抛物线28y x =的焦点F 和()1,2A ，点P 为抛物线上的动点，则PAF 的周长取到最小值时点P 的坐标为______，14．微信支付诞生于微信红包，早期知识作为社交的一部分“发红包”而诞生的，在发红包之余才发现，原来微信支付不仅可以用来发红包，还可以用来支付，现在微信支付被越来越多的人们所接受，现从某市市民中随机抽取300为对是否使用微信支付进行调查，得到下列22⨯的列联表：其中2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 15．将一边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当x 等于__________时，方盒的容积最大．16．正方体1111ABCD A B C D -的 棱长为a ，在正方体内随机取一点M ，则点M 落在三棱锥111B A BC -内的概率为______． 三、解答题 17．已知数列的前n 项和．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前n 项和；对于中的，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．18．已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）设函数，证明时，.19．已知函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.20．已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）记，设数列的前项和，求最小的正整数，使得. 21．已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值.22．某学生对某小区30位居民的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的，饮食以肉类为主).（1）根据茎叶图，说明这30位居民中50岁以上的人的饮食习惯；（2）根据以上数据完成如下2×2列联表；独立性检验的临界值表参考公式：，其中．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．1,2 2⎛⎫ ⎪⎝⎭14．95%15．6a16．1 6三、解答题17．（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由，可得当时，，两式相减结合，即可求出数列的通项公式；（2），结合等比数列的求和公式，利用错位相减法求出数列的和；（3）利用（2）的结论，进一步利用函数的单调性和恒成立问题求出参数的范围．【详解】数列的前n项和．当时，，得：．当时，，符合上式，故：．由于：，则：，则：，，得：，故：．由于不等式对一切恒成立，所以：不等式对一切恒成立．由于在为递增函数．若n为偶数时，，所以，当n为奇数时，所以：，故：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18．(1) ;函数的单调递减区间为，单调递增区间为;(2)详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由题得，根据曲线在点处的切线方程，列出方程组，求得的值，得到的解析式，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）得根据由，整理得，设，转化为函数的最值，即可作出证明.试题解析：（1）由题得，函数的定义域为，，因为曲线在点处的切线方程为，所以解得.令，得，当时，，在区间内单调递减；当时，，在区间内单调递增.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）得，.由，得，即.要证，需证，即证，设，则要证，等价于证：.令，则，∴在区间内单调递增，,即，故.19．（1）或（2）【解析】【分析】(1) 利用零点区分区间，在每个区间内解不等式，等不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求函数的最小值，因为存在，使得，所以的最小值小于，解得的取值范围【详解】（1）当时，，所以或或，解得或，因此不等式的解集的或（2），易知，由题意，知，，解得，所以实数的取值范围是【点睛】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有：1利用绝对值的几何意义；2利用绝对值三角不等式，即；3利用零点区分区间，求每个区间内最值再求函数最值20．（1），（2）【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2），运用裂项相消求和法求和，解不等式可得n的最小值．【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意有，即因为，所以解得，，从而的通项公式为，.（2）因为，所以令，解得，故【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（I）当时,，所以函数的增区间是，当且时,，所以函数的单调减区间是;（II）【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数g′（x）=，得当时，；当时，且，从而得单调性；（2）由在上恒成立，得，从而，故当，即时，，即可求解.试题解析：（I）由已知得函数的定义域为,函数,当时,，所以函数的增区间是;当且时,，所以函数的单调减区间是, .....6分（II）因f(x)在上为减函数，且.故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．22．（1）饮食多以蔬菜为主（2）详见解析（3）有把握【解析】【分析】（1）由茎叶得出30位居民中50岁以上的人的饮食习惯；（2）填写2×2列联表即可；（3）利用公式计算K2的观测值，对照临界值得出结论．【详解】（1）由茎叶图可知，30位居民中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主；（2）2×2列联表如下表所示：（3）由题意,随机变量的观测值，故有99％的把握认为居民的饮食习惯与年龄有关.【点睛】本题考查了茎叶图与独立性检验的应用问题，是基础题．。
山西省太原市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
山西省太原市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题理年级：姓名：山西省太原市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理考试时间：上午8：00—9：30说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分．一、选择题（本题共12小题，每小题3分，36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“若3x =，则3x =”的否命题是 A ．若3x =，则3x ≠ B ．若3x =-，则3x =C ．若3x ≠，则3x ≠D ．若3x ≠，则3x ≠2．已知抛物线22y px =的焦点为()1,0F ，则p =A ．4B ．2C ．1D ．123．已知空间两点()0,1,1A ，()1,2,1B -，则线段AB 的中点坐标是A ．11(,,1)22-B ．131(,,)222C ．13(,,0)22-D ．11(,,0)22-4．已知a R ∈，则“1a >”是“21a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为13y x =，则该双曲线的离心率为AB ．2C ．D 6．已知平面α的一个法向量为()1,1,2n =-，A α∈，且(4,0,2)AB =-，则下列结论正确的是 A ．//AB αB ．AB α⊥，垂足为AC ．AB A α⋂=，但不垂直D ．AB α⊂7．已知命题:p x R ∀∈，2230ax x ++>的否定是真命题，那么实数a 的取值范围是A ．13a <B ．103a <≤C ．13a ≤D ．13a ≥8．已知()1,1,0a t =-，()2,,b t t =，则b a -的最小值是A ．1BC ．D 9．从椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点1F ，点A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点．若//OP AB （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为A B ．12C ．D 10．设正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，AC '与BD '相交于点O ，则 A ．22AB AC a ⋅= B ．22AB AC a '⋅=C ．212AB AO a ⋅=D ．2BC DA a '⋅=11．已知曲线[)()22:cos 10,E x y ααπ+=∈，则下列结论正确的是①当2παπ<<时，曲线E 表示双曲线．焦点在x 轴上；②当2πα=时，曲线E 表示以原点为圆心，半径为1的圆；③当02πα≤<时，曲线E 围成图形的面积的最小值为π．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．已知()2,0,1A ，()2,2,1B ，()0,0,2C ()2,,2M λ，（0λ>），那么点M 到平面ABC 的距离为A BC ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上） 13．命题“存在实数0x ，使得2“大于3”用符号语言可表示为__________．14．已知双曲线的离心率为22184x y +=有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为________．15．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，M 是C 上一点，FM 的延长线交x 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ACB 为等腰直角三角形，2PA AC BC ===，点D 在PC 上，且:1:2CD DP =，则PB 与平面ABD 所成角的正弦值为三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题8分）已知命题:211p x -≤；():120q a x a a -≤≤>．（1）若1a =，写出命题“若P 则q ”的逆否命题，并判断真假； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．（本小题10分）如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，1160A AB A AC ∠=∠=︒，点H 为ABC △的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接1A M ．设AB a =，AC b =，1A A c =（1）用a ，b ，c 表1A M ； （2）证明：1A M AB ⊥ 19．（本小题10分）已知抛物线()2:20C y px p =>，斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点()()1,0P y y >在抛物线C 上，证明点P 关于直线7y x =-的对称点Q 也在抛物线C 上．20．（本小题10分）说明：请考生在（A ），（B ）两个小题中任选一题作答．（A ）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，SA ⊥平面ABCD ，2SA AB BC ===，1AD =．（1）设点M 为SC 的中点，求异面直线AM ，CD 所成角的余弦值； （2）求二面角D SC B --的大小．（B ）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，SA ⊥平面ABCD ，2SA AB BC ===，设点M 为SC 的中点．（1）若四棱锥S ABCD -的体积为2，求异面直线AM ，CD 所成角的余弦值； （2）若二面角A DM C --的余弦值为33-，求AD 的长．21．（本小题10分）说明：请考生在（A ），（B ）两个小题中任选一题作答．（A ）已知圆22:4O x y +=，点P 为圆O 上的动点，DP x ⊥轴，垂足为D ，若32DM DP =，设点M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）设直线:2l y x =+与曲线E 交于A ，B 两点，点N 为曲线上不同于A ，B 的一点，求NAB△面积的最大值．（B ）已知圆22:4O x y +=，点P 为圆O 上的动点，DP x ⊥轴，垂足为D ，若32DM DP =，设点M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程； （2）直线1:52l y x =+与曲线E 交于A ，B 两点，N 为曲线E 上任意一点，且(,)ON OA OB R λμλμ=+∈，证明：22λμ+为定值．2020—2021学年第一学期高二年级期末考试数学理科参考答案与评分建议一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBAADDCBCCBA二、填空题13．0x R ∃∈，023x x > 14．22122x y -= 15．3 16．23三、解答题17．（1）当1a =时，:02q x ≤≤，逆否命题为：若0x <或2x >，则211x ->． 它是一个真命题．（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以集合1|}0{x x ≤≤是集合1{|}2x a x a -≤≤的真子集，所以{1021a a -≤⎧⎨≥⎩，且等号不能同时取到，解得112a ≤≤，所以有实数a 的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 18．（1）因为ABC △为正三角形，点M 为ABC △的重心，所以N 为BC 的中点，所以1122AN AB AC =+，23AM AN =， 所以11112111133333A M A A AM AA AN AA AB AC a b c =+=-+=-++=+-．（2）设三棱柱的棱长为m ，则222211111111()033333322AM AB a b c a a a b c a m m m ⋅=+-⋅=+⋅-⋅=+⨯-⨯=，所以1A M AB ⊥．19．（1）由已知，设直线l 为2py x =-代入22y px =，得22304p x px -+=． 显然0∆>，设11(),A x y ，22(),B x y ，则123x x p +=，则由抛物线的定义，得1148AB x x p p =++==，解得2p =， 则有抛物线C 的方程为24y x =．（2）因为(1,)P y ()0y >在抛物线C 上，所以有()1,2P ．设点P 关于直线7y x =-的对称点的坐标为11(),Q x y则111121121722y x y x -⎧=--++=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1196x y =⎧⎨=-⎩，又因为2–6()49=⨯，所以点Q 在抛物线C 上．20．A （1）由已知AS AB ⊥，AS AD ⊥，AB AD ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -．则()0,2,0B ，()2,2,0C ，()1,0,0D ，()0,0,2S ，()1,1,1M ， 则(1,1,1)AM =，(1,2,0)DC =， 则15cos ,5||||AM DC AM CD AM DC ⋅==， 所以异面直线AM ，CD 所成角的余弦值为155．（2）设平面DCS 的一个法向量为(,,)m x y z =，由(1,2,0)DC =，(1,0,2)DS =-，得2020m DC x y m DS x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取(2,1,1)m =-； 设平面BCS 的一个法向量为(,,)n x y z =，由(2,0,0)BC =，(0,2,2)BS =-，得20220n BC x n BS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取(0,1,1)n = 则cos(,)0||||m nm n m n ⋅==，所以二面角D SC B --的大小为90︒．B （1）由已知AS AB ⊥，AS AD ⊥，AB AD ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -． 则()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2S ，()1,1,1M ，又11(2)22232V AD =⨯⨯+⨯⨯=，得1AD =，则()1,0,0D ，则(1,1,1)AM =，(1,2,0)DC =， 则15cos(,)5||||AM DC AM CD AM DC ⋅==， 所以异面直线AM ，CD 所成角的余弦值为155．（2）设(),0,0D a ，平面ADM 的一个法向量为(,,)m x y z =，由(1,1,1)AM =，(,0,0)AD a =，得0m AM x y z m AD ax ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取(0,1,1)m =-； 设平面CDM 即平面DSC 一个法向量为(,,)n x y z =，由(2,2,0)DC a =-，(2,2,2)SC =-得(2)202220n DC a x y n SC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，可取(2,2,)n a a =-． 则有223cos(,)|||24(2)m nm n m n a a ⋅===+-+，解得1a +． 所以1AD =．21．A （1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则0x x =，032y y =． 所以有0x x =，023y y =，因为点P 在圆上，所以2200 4.x y += 则有22449x y +=，即22194y x +=，所以曲线E 的方程为22194y x +=． （2）由22194y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有21316200x x +-=，显然0∆>，设11(),A x y ，22(),B x y ， 则121613x x +=-，122013x x =-， 则有||AB ==设与直线l 平行的直线1:l y x m =+与曲线E 相切，则由22194y x m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有221384360x mx m ++-=，由0∆=解得m m == 则直线l ，1l之间的距离d =， 所以NAB △面积的最大值为118||(2213AB ⨯=．B （1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则有0x x =，032y y =， 所以有0x x =，023y y =因为点P 在圆上，所以22004x y +=． 则有22449x y +=，即22194y x +=， 所以曲线E 的方程为22194y x +=． （2）由12194y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，有2580x +-=，显然0∆>，设11(),A x y ，22(),B x y ，则12x x +=1285x x =-，设(),N x y ，则1212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，又点N 在曲线E 上，则22222211221212(49)(49)2(49)36y x y x y y x x λμλμ+++++=，又1212121211494(5)(922y y x x x x x x +=+++121210)20x x x x =+++810()(2005=⨯-++=，22114936y x +=，22224936y x +=则22363636λμ+=， 所以221λμ+=为定值．。
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山西省太原市2021届数学高二上学期期末检测试题一、选择题1．已知随机变量()21,N ～ξσ，若(3)0.2P ξ>=，则()1(P ξ≥-=)A ．0.2B ．0.8C ．0.1D ．0.92．命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是 A ．00010,ln 1x x x ∃><- B ．00010,ln 1x x x ∃≤≥- C ．00010,ln 1x x x ∃>≥- D ．00010,ln 1x x x ∃≤<- 3．若集合，，则是 （ ）A．或B ． C．D ．4．已知点(2,0,1)A ，(4,2,3)B ，P 是AB 中点，则点P 的坐标为（ ） A.(3,1,2)PB.(3,1,4)PC.(0,2,1)P --D.(6,4,5)P5．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 满足2sin coc sin B C A =，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形6．在4次独立重复试验中,事件A 发生的概率相同,若事件A 至少发生1次的概率为6581,则事件A 在1次试验中发生的概率为( ) A ．23B ．13C ．59D ．497．有这样一个有规律的步骤：对于数25，将组成它的数字2和5分别取立方再求和为133，即3325133+=；对于133也做同样操作：33313355++=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（ ） A.25B.250C.55D.1338．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.2B.4C.6D.89．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．710．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域（ ）A.()0,∞+B.()1,-+∞C.()0,1D.()()0,11,+∞11．若圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x ﹣y+m ＝0的距离为，则m 的取值范围是（ ）A．B．C．[﹣2，2] D．（﹣2，2）12．以下四个命题中，真命题的是（）A．()0,,sin tanx x xπ∃∈=B．“对任意的2,10x R x x∈++>”的否定是“存在2000,10x R x x∈++<”C．∀∈θR，函数()()sin2f x xθ=+都不是偶函数D．ABC∆中，“sin sin cos cosA B A B+=+”是“2Cπ=”的充要条件二、填空题13．双曲线{}2|1 4A x x=<<的焦点坐标是____，渐近线方程是____.14．奇函数()f x定义域为()(),00,ππ-U，其导函数是()f x'.当0πx<<时，有()()sin cos0f x x f x x'-<，则关于x的不等式()sin4f x xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为__________．15．已知曲线:sinxCyφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩，O为坐标原点，M是曲线C上的一点，OM与x轴的正半轴所成的角为3π，则tanϕ=_____．16．已知抛物线2:C y x=，过C的焦点的直线与C交于A，B两点。
弦AB长为2，则线段AB的中垂线与x轴交点的横坐标为__________．三、解答题17．已知函数（1）当函数在点处的切线与直线垂直时，求实数的值；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.18．某单位为了了解用电量(度)与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程，其中.现预测当气温为－时，用电量的度数约为多少？用电量气温候车情况，交通主管部门从在某站台等车的名候车乘客中随机抽取人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成组，如下表所示：（1）估计这名乘客中候车时间少于分钟的人数；（2）若从上表第四、五组的人中随机抽取人做进一步的问卷调查，求抽到的人恰好来自不同组的概率．20．如图，一张坐标纸上已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与轨迹交于、两点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．21．某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为人，每位员工的培训费为元，培训机构的利润为元.（1）写出与之间的函数关系式；（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润. 22．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．(0, 2y x =± 14．,0,44πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15 16．54三、解答题 17．(1)1;(2).【解析】分析：（1）根据导函数的几何意义应求，进而得函数在点处的切线的斜率。
由函数在点处的切线与直线垂直，可得两直线的斜率乘积等于-1。
进而解得。
（2）由时，恒成立，可得不等式在时恒成立，用分离参数法可得在时恒成立.所以即可。
所以构造。
转化为求函数的最值问题。
求导可得函数在上为减函数，进而可得，进而可得。
详解：(1)函数在点处的切线的斜率函数在点处的切线与直线垂直，又因为直线的斜率为。
（2）依题意可得不等式在时恒成立，即在时恒成立.设则函数在上为减函数，。
点睛：本题考查导函数的几何意义及不等式的恒成立问题。
有关曲线的切线问题，应注意曲线在某点处的切线的斜率等于该点处的导函数值。
不等式的恒成立问题一般有两种方法：⑴分离参数法：把参数移到不等式的一边，求另一边代数式对应的函数的最值；⑵直接构造不等式对应的函数，求函数的最值。
18．.【解析】分析：先求均值，代入求得，再求自变量为-4所对应函数值即可.详解：由题意可知＝ (18＋13＋10－1)＝10，＝ (24＋34＋38＋64)＝40，＝－2.又回归方程＝－2x＋过点(10,40)，故＝60.所以当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.故当气温为－4℃时，用电量的度数约为68度．点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.19．（1）27；（2）【解析】【分析】（1）由图表得到人中候车时间少于分钟的人数为，由分层抽样中每层抽取的比例数相等列式求出名乘客中候车时间少于分钟的人数；（2）利用枚举法列出从第四组和第五组人中随机抽取人的不同结果，查出两人恰好来自两组的情况数，由古典概型概率计算公式得答案．【详解】（1）由图表得到人中候车时间少于分钟的人数为，设名乘客中候车时间少于分钟的人数为，由，得．则名乘客中候车时间少于分钟的人数为人；（2）记第四组的人为、、，第五组的个人为、，则从这人中随机抽取人的不同结果，，，，，，，，，共种，两人恰好来自两组的情况有共种，则抽到的人恰好来自不同组的概率．【点睛】这个题目考查了古典概型的概念，古典概型的公式，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.20．（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）根据垂直平分线的性质可得的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，的轨迹的方程为；（2）与以为直径的圆相切，则到的距离：，即，由，消去，得，由平面向量数量积公式可得，由三角形面积公式可得，换元后，利用单调性可得结果.详解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，∴，∴M的轨迹C的方程为．（2）与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到的距离：，即，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又，∴，∴，设μ=k4+k2，则，∴，…10分∵S△AOB关于单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是点睛：本题主要考查利用定义求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.21．（1）；（2）【解析】分析：（1）根据题意，只要注意超过30人时，每多1人才能减少10元，因此可分类，和（），在时，培训费用为；（2）利润是用每人的培训费用乘以培训人数减去成本12000，根据一次函数与二次函数的性质分类求得最大值，然后比较即得．详解：（1）依题意得，当时，；当时，..（2）当时，,时, 取得最大值.当时,,,当或时, 取得最大值.因为，当公司参加培训的员工人数为或时，培训机构可获得最大利润元.点睛：本题考查分段函数模型的实际应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，这只要认真审题，仔细阅读题目就可得出．函数应用题中关系式一般在题中都有给出，关键是要读懂题意．22．（1）当时，在为增函数，在为减函数；当时,在为增函数，在为减函数；（2）.【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，对分类讨论，根据导数的正负即可得出函数的单调性；（2）法一：对任意，都有恒成立等价于在上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，即可求得，从而可得实数的取值范围；法二：要使恒成立，只需，对进行和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求出，即可实数的取值范围.试题解析：（1）由题知： ,当时,在时恒成立∴在上是增函数.当时, ,令，得；令,得.∴在上为增函数，在上为减函数.（2）法一：由题知：在上恒成立，即在上恒成立.令，所以令得；令得.∴在上单调递增，在上单调递减.∴ ,∴.法二：要使恒成立，只需,当时，在上单调递增.∴,即，这与矛盾，此时不成立. 当时,（i）若即时，在上单调递增，∴，即，这与矛盾，此时不成立.（ii）若即时，在上单调递增，在上单调递减 .∴即，解得.又∵∴ ,（iii）即时，在递减，则,∴又∵∴；综上所述可得： .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可构造新函数，转化为.。