原子物理第1章例题和习题

第一章 卢瑟福模型例题和习题

【1-1】速度为V 的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4rad 。

证明：设α粒子的质量为M α，沿X 方向入射；碰撞后，速度为V ’，沿θ方向散射。电子质量为m e ，静止在坐标原点O 处，碰撞后以速度v 沿φ方向反冲。 由能量与动量守恒有：

(1)

(2)

(3)

由（2）（3）式可得：

(4)

(5)

由（1）（4）（5）联立得

若记上式可写为

(6)

视θ为φ的函数θ（φ），对（6）式求θ的极值，有

令则

sin2(θ+φ)-sin2φ=0 2cos(θ+2φ)sinθ=0

θϕϕθα

sin sin )(sin e

m M +

=+)(sin sin )(sin sin ϕθθ

ϕθϕααα+++

=V

m M V

M V M

e 21

2121v m V M V M e +'=ααϕθααcos cos v m V M V M e +'=ϕθαsin sin v m V M e -'=0)

sin(sin ϕθθ

α+=V M v m e )

sin(sin ϕθϕ

αα+='V M V M α

μM m e

=θϕμϕθμsin sin )(sin +=+)](sin sin [)]sin([sin ϕθϕμϕθμθϕ

θ

++-=+-222d d 0=ϕ

θ

d d - υ -

【1-3】 4.5MeV 的α粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少？若改为7Li 核结果如何？

解：α粒子与金核对心碰撞的最小距离

()

m

E

e Z Z Mv e Z Z r m 1401962

199

2

2102

2

2101006.5)2

180sin

1

1(106.1105.42106.1792109)

2

sin

11(241

)

2

sin 11(41

---⨯=+

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=+

=θ

πεθ

πε

α粒子与7Li 核对心碰撞的最小距离（考虑质心系运动）

()

m

E m m m e Z Z E e Z Z v e Z Z r c

m 140

1962

199

22102

2102

2

21010302.0)2

180sin 1

1(106.1105.41172106.132109)

2

sin 1

1(241

)

2

sin

11(241)

2

sin 11(41

---⨯=+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+'+'=+=+

=θπεθ

πεθ

ηπε

【1-6】一束α粒子垂直射到一重金属箔上，求α粒子被金属箔散射后，散射角θ≥600的α粒子数与散射角θ≥900的α粒子数之比。

解：由22

221204)2()41(2sin Mv

e Z Z Nnt d dN πεθ=Ω可得散射角︒

≥90θ的α粒子数为 Ω==∆⎰

⎰d Mv e Z Z Nnt dN N 2

sin

1)2()41

(42

22212

0πε

θθ

ππεd Mv e Z Z Nnt 2

sin 2cos 4)2(

)41(

3

180902

2

2

2120

⎰︒

︒

=

ππε4)2()41

(2

2

2212

0Mv

e Z Z Nnt = 散射角︒

≥60θ的α粒子数

散射角︒

≥60θ的α粒子数与散射角︒

≥90θ的α粒子数之比

3=∆'

∆n

n

第一章 习题1-1解

sin2(θ+φ)-sin2φ=0 2cos(θ+2φ)sin θ=0 (1) 若 sin θ=0,

则 θ=0（极小） （8） （2）若 cos(θ+2φ)=0

则 θ=90º-2φ （9） 将（9）式代入（7）式，有

θ

ϕμϕμ2202)(90sin sin sin +=- 由此可得

1836

41

⨯==

=αμθM m e sin θ~10-4弧度（极大） 此题得证。

1．2 （1）动能为5.00MeV 的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？

Ω

=='∆⎰

⎰d Mv e Z Z Nnt dN N 2

sin

1)2()41

(4

2

22212

0θ

πεθθθ

ππεd Mv e Z Z Nnt 2

sin

2cos

4)2(

)41(

31806022

2

2120

⎰︒

︒=34)2()41

(2

2

2212

0⨯=ππεMv

e Z Z Nnt