圆锥曲线极点极线问题
圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学 ，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1 椭圆12222=+b y ax ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x .双曲线12222=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-by y a x x .抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px .命题 2圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性.以上结论在文[2]中有证明.如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12:22=+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线1200=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____.P 在椭圆内 P 在椭圆外解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为[)22,2.第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12:22=+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线1200=+y y xx 并不经过()00,y x P .还有学生看到1200=+y y xx 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.事实上，1200=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12:22=+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ⋅的值.解析：（I ）C 的标准方程为.1422=-y x C 的渐近线方程为.21x y ±= （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线MN的方程为.44=+y y x x E EMN 的方程求出后剩下工作属常规计算.设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=+,02,4402,44y x y y x x y x y y x x E E E E 及 解得.2224,22,24⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=E E N E E N E E C EE C y x y y x x y x y y x x 故44222222E E E E E E E E OG OG x y x y x y x y ⋅=⋅-⋅+-+-.41222EE y x -= 因为点E 在双曲线.44,142222=-=-E E y x y x 有上所以2212 3.4E E OG OH x y ⋅==- 分析：如果是常规方法求直线MN 的方程，只能是观察：由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+442=+E y y 故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E E 应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.题3、（2010江苏18）、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .（Ⅰ）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （Ⅱ）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （Ⅲ）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T 的坐标为(9,)m直线)3(12:+=x my TA ，与椭圆联立得)8040,80)80(3(222++--m m m M 直线)3(6:-=x my TB ，与椭圆联立得)2020,20)20(3(222+-+-m m m N 当12x x ≠时，直线MN 方程为：22222222220)20(380)80(320)20(3202080402020m m m m m m x m m m m m m y +--+-+--=+++++ 令0y =，解得：1x =.此时必过点D （1，0）；当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）. 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）.分析：怎么样？目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.如果知道点T 的坐标为()m ,9，事实上T 的轨迹是9=x ，可以看成是一条极线：15091=+y x ，所以它一定过定点D （1，0）. 题4、已知椭圆C的离心率e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。
试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()2222x y 1a b 0a b +=>>。
…………………1分∵a 2=，c e a ==c =222b a c 1=-=。
……………… 4分∴椭圆C 的方程为222x y 14+=。
……………………………………… 5分（Ⅱ）取m 0,=得P ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，直线1A P的方程是y =+ 直线2A Q的方程是y =交点为(1S .…………7分,若P 1,,Q ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知交点为(2S 4,. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。
…………………8分以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。
事实上，由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=， 记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3y y ,y y m 4m 4--+==++。
………… 9分设1A P 与交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=++得1016y y .x 2=+设2A Q 与交于点00S (4,y ),''由022y y ,42x 2'=--得2022y y .x 2'=-……… 10 1200126y 2y y y x 2x 2'-=-+-()()()()1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=+-()()()1212124my y 6y y x 2x 2-+=+- ()()221212m 12m m 4m 40x 2x 2---++==+-，……12分 ∴00y y '=，即0S 与0S '重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。
13分 解法二：（Ⅱ）取m 0,=得P ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，直线1A P的方程是y =+直线2A Q的方程是y =交点为(1S . ………………………………………… 7分取m 1,=得()83P ,,Q 0,155⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线1A P 的方程是11y x ,63=+直线2A Q 的方程是1y x 1,2=-交点为()2S 4,1.∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。
……………8分 以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。
事实上，由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=，记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3y y ,y y m 4m 4--+==++。
………………9分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22yy x 2,x 2=--消去y,得()()1212y yx 2x 2x 2x 2+=-+-… ①以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。
要证明①式恒成立，只需证明12126y 2y ,x 2x 2=+-即证()()12213y my 1y my 3,-=+即证()12122my y 3y y .=+……………… ②∵()1212226m 6m2my y 3y y 0,m 4m 4---+=-=++∴②式恒成立。
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。
解法三：（Ⅱ）由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=。
记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3y y ,y y m 4m 4--+==++。
…………… 6分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22yy x 2,x 2=-- ……7分由()()1122y y x 2,x 2y y x 2,x 2⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+- …………………9分即()()()()21122112y x 2y x 2x 2y x 2y x 2++-=+--()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=+--1221212my y 3y y 23y y +-=+ 112211232m 2m 3y y m 4m 424.2m 3y y m 4--⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭………………………………12分这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。
极点极线当极点在圆锥曲线内的写法
极点极线当极点在圆锥曲线内的写法圆锥曲线是高中数学学习中比较重要且难以学习的部分。
其中，极点极线是较为复杂的概念。
本文将介绍极点极线当极点在圆锥曲线内的写法。
一、极点极线的定义
极点极线是指在平面直角坐标系中，从一点向圆锥曲线上的所有点引一条直线，那么这条直线叫做极线，这个点就是极点。
二、圆锥曲线的分类
圆锥曲线一共有四种类型：圆、椭圆、双曲线和抛物线。
不同类型的圆锥曲线的性质不同。
本文主要介绍当极点在圆锥曲线内时的情况。
三、椭圆的情况
当极点在椭圆内部时，极线的两个端点分别交于椭圆的两个焦点上，且与椭圆的切线垂直。
四、双曲线的情况
当极点在双曲线内部时，极线的两个端点分别交于双曲线的两个焦点上，且与双曲线的渐近线垂直。
五、抛物线的情况
当极点在抛物线内部时，极线的两个端点分别交于抛物线的顶点和抛物线的对称轴上，且与抛物线的准线垂直。
六、圆的情况
当极点在圆内部时，极线是过圆心并垂直于圆的直径的直线。
总结：极点极线是圆锥曲线的一个重要概念，不同类型的圆锥曲线在极点极线方面会有不同的表现。
当极点在圆锥曲线内部时，可以根据不同的类型进行判断。
圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。
其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。
在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。
一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。
根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。
离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。
二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。
极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。
2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。
极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。
三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。
椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。
3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。
双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。
3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。
抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。
四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。
通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。
极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。
圆锥曲线极点极线应用篇5
圆锥曲线极点极线应用篇5一、引言圆锥曲线是高中数学的重要内容，极点极线是解决圆锥曲线问题的一种重要方法。
本篇文档将详细介绍如何应用极点极线解决圆锥曲线问题。
二、极点极线基本概念在解析几何中，一个点对于一个曲线而言，具有特殊的意义。
这个点被称为曲线的极点，而连接这个点和曲线上任何一点的直线被称为这条曲线的极线。
在圆锥曲线中，这个概念同样适用。
三、应用方法1.点与曲线的关系：通过寻找曲线的极点，可以找到曲线上某个点的位置。
通过已知点和曲线的极线，可以求出未知点的坐标。
2.曲线间的关系：不同曲线的极线可能交于一点，或者两曲线具有相同的极线。
这种情况下，可以通过研究这个共有的极线来研究两个曲线之间的关系。
3.最值问题：在解决最值问题时，可以考虑用极点极线的方法。
通过建立极线方程，可以将问题转化为求函数最值的问题。
四、实例解析1.已知抛物线方程为y^2=4x，求点(2,2)在抛物线上的位置。
解：根据抛物线的定义，可得到抛物线的极点为原点。
因为点(2,2)在抛物线上，所以它的极线与抛物线的交点就是所求。
通过解方程y^2-4y=0，可得到点(2,2)在抛物线上的位置为(1,0)。
2.求椭圆x^2/4+y^2/3=1上的点到直线x+y=0的距离最小时的椭圆方程。
解：这个问题的关键在于找到椭圆的极线和所求直线之间的关系。
椭圆的极线是两条射线，它们和坐标轴构成的两个三角形的面积越大，距离最小。
通过计算，可以得到当椭圆的长轴在$x$轴上时，距离最小。
此时，椭圆的方程为x^2/7+y^2/3=1。
五、总结通过极点极线的方法，我们可以更深入地理解圆锥曲线，找到解决问题的方法。
在解决具体问题时，要灵活运用基本概念和方法，通过建立方程、函数等方法，解决实际问题。
六、扩展阅读1.进一步了解极点和极线的性质和应用，可以阅读相关的数学文献和教材。
2.练习解一些更复杂的问题，以提高自己的解题能力。
3.参考一些优秀的数学解题视频和博客，获取更多的解题思路和方法。
圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题
摘要：
一、圆锥曲线的极点与极线的概念与定义
二、圆锥曲线极点与极线的重要结论
三、如何证明圆锥曲线中极点极线的性质
四、极点极线在圆锥曲线解题中的应用
正文：
一、圆锥曲线的极点与极线的概念与定义
圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它可以用来描述各种物理现象。
极点与极线是圆锥曲线中的两个重要概念。
极点是指圆锥曲线上某一点的切线与过该点的直径的交点，而极线则是指过圆锥曲线上一点的切线与该点关于直径的对称点的连线。
二、圆锥曲线极点与极线的重要结论
在研究圆锥曲线的极点与极线时，我们可以发现一些重要的结论。
例如，对于椭圆和双曲线，它们的极点与极线总是相互垂直的。
而对于抛物线，其极点与极线则共线。
这些结论对于理解和解决圆锥曲线的相关问题非常有帮助。
三、如何证明圆锥曲线中极点极线的性质
要证明圆锥曲线中极点极线的性质，我们需要运用一些几何和数学知识。
首先，我们可以通过画图和观察来发现一些初步的结论。
然后，我们可以运用数学的证明方法，如代数证明、几何证明等，来证明这些结论的正确性。
四、极点极线在圆锥曲线解题中的应用
在解决圆锥曲线的相关问题时，极点极线的概念和性质可以给我们提供很多帮助。
例如，在求解圆锥曲线的切线问题时，我们可以通过找到极点和极线来简化问题。
在解决圆锥曲线与直线的交点问题时，我们也可以通过极点极线来找到答案。
圆锥曲线的极点与极线问题(一)
圆锥曲线的极点与极线问题(一)圆锥曲线的极点与极线问题相关问题：•什么是圆锥曲线的极点和极线？•如何求解圆锥曲线的极点和极线的定义？•圆锥曲线的极点和极线有什么应用？•如何通过已知条件求解圆锥曲线上的极点和极线？•圆锥曲线的极点和极线与其他几何图形之间有何联系？解释说明：什么是圆锥曲线的极点和极线？圆锥曲线的极点是指在平面内选择一条直线（称为极线），通过该直线作圆锥曲线上任意一点的平行线，该平行线与直线的交点即为极点。
如何求解圆锥曲线的极点和极线的定义？•对于椭圆和双曲线，极点是无穷远处（在平行于直线与该曲线的交点），极线是直线。
•对于抛物线，极点是抛物线的焦点，极线是渐近线。
圆锥曲线的极点和极线有什么应用？•在几何图形的研究和推导中，通过极点和极线的概念可以简化问题，并有助于解决相关的几何性质与推论。
•在工程和设计领域中，圆锥曲线的极点和极线可以用于确定曲线上特定位置的要素，如焦点位置、切线方向等。
如何通过已知条件求解圆锥曲线上的极点和极线？•对于椭圆和双曲线，可以通过已知的焦点和直线方程，使用平行线性质找到对应的极线和极点。
•对于抛物线，可以通过已知的焦点和直线方程，使用渐近线的性质找到对应的极线和极点。
圆锥曲线的极点和极线与其他几何图形之间有何联系？•极点和极线可以看作是圆锥曲线上的一种特殊构造，与其他几何图形的焦点、渐近线等有类似的性质。
•极点和极线的概念也可以推广到其他几何图形中，例如超越曲线等。
不同类型的曲线可能有不同的极点和极线定义。
以上是关于圆锥曲线的极点与极线问题的相关问题和解释说明。
通过了解这些问题，可以更好地理解和应用圆锥曲线的极点和极线的概念。
高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式
极点极线定义已知圆锥曲线С: Ax +By +Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y 0) [ 其中 A +B x0+x≠0,点．P．不．在．曲．线．中．心．和．渐．近．线．上．]. 则称点P 和直线L:A?x0x+B?y0y+C? 2 +D?y2+y+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线x0+x y0+y 即在圆锥曲线方程中, 以x0x 替换x ，以2替换x，以y0y 替换y , 以2替换y 则可得到极点P(x0,y 0) 的极线方程L.特别地：(1) 对于圆(x-a) +(y-b) =r , 与点P(x 0 ,y 0) 对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；x y x0x y0y(2) 对于椭圆+ =1，与点P(x0,y 0)对应的极线方程为0 + 0 =1 ；a b a bx y x 0x y 0y(3) 对于双曲线 a -b =1，与点 P(x 0,y 0)对应的极线方程为 a 0 -b 0 =1 ；(4) 对于抛物线 y =2px ，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 y 0y=p(x 0+x) ； 性质 一般地,有如下性质 [焦．点．所．在．区．域．为．曲．线．内．部． ]: ① 若极点 P 在曲线С上,则极线 L 是曲线С在P 点的切线；② 若极点 P 在曲线С外,则极线 L 是过极点 P 作曲线С的两条切线的切点连线；③ 若极点 P 在曲线С内,则极线 L 在曲线С外且与以极点 P 为中点的弦平行 [仅是 斜率相 等 ]( 若是 圆 , 则此时中 点 弦的 方程 为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=x 0x y 0y x 0 y 0；若是椭圆,则此时中点弦的方程为 a x x +b y y =x a +y bx 0x y 0y x 0 y 0双曲线,则此时中点弦的方程为 a x0x -b y0y =x a 0 -y b 0 ；若是抛物线 ,则此时中点弦的 方程为 y 0y-p(x 0+x)=y 0 -2px 0) ；(x 0-a) +(y 0-b) 若是④当P(x0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0) 时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图．Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P 关于曲线C的极线L 上[ 图．中．点．P．与．直．线．S．．T是．一．对．极．点．极．线．；．点．T．与．直．线．S．．P是．一．对．极．点．极．线．] ；即OP = OR OROQⅢ. 点 P 是曲线 C 的极点，它对应的极线为 L ，则有 :1）若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线 OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP?OQ=OR如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见” .由④可知椭圆x a +y b =1的焦点的极a线方程为: x= . 焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容, 它揭示了圆锥曲线c的统一定义, 更是高考的必考知识点. 正是因为它太常见了, 反而往往使我们“视”而不“见” .圆锥曲线基础必备1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴=2“，短轴= 2b,焦距= 2c.则：a2 =b2 -^c2 1、准线方程准焦距.〃方、"方涂以r..& 0・ 刁2sm —cos — sm 0_ 2 2 1 +cos0 2 cos 2—2 & 所以：椭圆的焦点三角形的面积为S 胚恶=b tail-.4.焦三角形计面积"半角正切進乘焦三角形：以椭圆的两个焦点巧・耳为顶点，另一个顶点」 在椭圆上的三角形称为焦三角形•半角是指—Z 与P 巧的一半. 则焦三角形的面积为： 证明：设阿| =小|昭| = S 由余弦定理:m 2 +n 2 - 2mn cos^= 4c 2=4a即：-2mn - = 2mn - 4b 2,故: Sgf =-m n sin0 =-』+ cos& l + cos0又:0 =tan —三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角, 切点连线求方程, 弦与中线斜率积, 细看中点弦方程,称为弦切角定理① 极线屯理须牢记② 准线去除准焦距③ 恰似弦中点轨迹④艮卩：2D = (1+ cos0)mn .1、 切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双 曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它 们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切 线是两个焦点弦的角平 分线.第6页2. 切点连线求方程，圾线定理须牢记若旳（X05）在椭圆卡+$ = 1外，则过昨作椭圆的两 条切线，切点、为P 』,巧，则点耳和切点弦马•勺分别称 为椭圆的极点和极线.切点弦耳乃的直线方程即极线方程是笫？页3、弦与中线斜■率积.准线去涂准焦距|弦指椭圆内的一弦•中线指弦AB 的中点M 与 原点O 的连线，即2AB 得中线•这两条直线的斜率的VY - Q 2於乘积，等于准线距离去除准焦^p= — .其k k_ p 结杲是：0M = T =~V第8页（称为极线定理）4、细看中点弦方程，恰似弦中点、轨迹|中点、弦AB 的方程:在椭圆中，若弦的中点、为弦仙称为中点弦，则中点弦的方程就是弦中点M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点 p 皿、m 的弦AB , 其中点、M 的方程就是 S . y o y … /( y 2. 一7*+矿二正+歹，仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞 混了.第9页是直线方程.圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义.差比交线反比何1、定义1:（差）平面内，到两个定点唇码的距离之差的绝对值为定值2“（小于这两个定点间的距离冈砂）的点的轨迹称为双曲线。
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线背景下的高考试题极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+= 211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简图1图2即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条 对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题图4 R【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③图5,)m图6x又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得 223ty x t-=④ 解由③④联立方程组得22654244542t x t t tx t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P . (1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4. 【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B 两点. (1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.图8图9设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.。
第07讲圆锥曲线论之极点极线速解（1）
第07讲 圆锥曲线论之极点极线速解【结论3圆锥曲线的以弦的端点为切点的两条切线的交点的轨迹方程】例1. （1）过点()1,2P 作曲线22:25C x y +=的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 作曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________；（2）过点()1,2M 作曲线22:184x y C +=的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 作曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________；（3）过点13,2M ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线22:184x y C -=的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 作曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________；（4）过点(M 作曲线2:4C y x =的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 点曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________.【题型1极线过定点】例2. （2010年江苏卷）已知椭圆22195x y +=的左右顶点为A ，B ，设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与椭圆分别交于()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <，（1）设动点P 满足224PF PB -=，求点P 的轨迹；（2）12x =，213x =，求点T 的坐标；（3）设9t =，求证直线MN 必过x 轴上的定点（其坐标与m 无关）．猿梦小店QQ2501241786例3. （2012年北京高考改）已知曲线C ：()()22528m x m y -+-=（m R ∈）．（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，连接AM ，BN 交于点G ，求证：G 点纵坐标为定值；例4. 如图，已知椭圆C 的离心率e =，长轴的左右端点分别为()12,0A -，()22,0A （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于,P Q 两点，直线1A P 与2A P 交于点S ，试问当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，证明你的结论；若不是，请说明理由；例5. （2011年四川卷理）椭圆有两顶点()1,0A -、()1,0B ,过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于C 、D两点,并与xP .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当CD 求直线l 的方程；(2)当点P 异于A 、B 两点时,求证:OP OQ ⋅u u u r u u u r为定值.例6. 如图，椭圆22:14y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ，(1)若CE FD =u u u r u u u r，求直线l 的方程；(2)设直线AD ，CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k=，求k 的值.例7. （2012年福建）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8，(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相较于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；例8. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的端点，△12A BA 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）2F 为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F ．例9. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线()1(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点，直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．类焦点(),0t ，类准线2a x t =，以MN 为直径的圆过x 轴上定点2a t ⎛⎫ ⎪⎝⎭例10. （2011年山东文）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点()3,D m -， （1）求22m k +的最小值； （2）若2OG OD OE =⋅； （i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG V 的外接圆方程；若不能，请说明理由例11.已知椭圆22:143x yE+=，过点()2,1P的直线l交椭圆E于()11,M x y，()22,N x y两点，过点N作斜率为32-的直线交椭圆E与另一点Q，求证：直线MQ过定点．。
圆锥曲线极点极线
圆锥曲线极点极线圆锥曲线极点极线是近古几何研究中的重要主题。
圆锥曲线，它是一类具有两个参数的曲线，它的极点极线是引力学重要的技术运用难点，为此，许多学者研究了它的极点极线。
英国数学家布洛克在1830年首次探讨了圆锥曲线的极点极线，提出“对称弯矩圆锥曲线的极点可以用三条曲线定义，这三条曲线在发散点相交，交点为圆锥曲线的极点；而定义同一极点的三条曲线分别代表极点极线。
”18th世纪末，法国数学家亨利·马洛完善了布洛克的理论，他提出：“把每条极点极线看作某种对称曲线，该曲线的驱动力与极点极线起点的距离有关，由此可推出该极点极线的方程。
”此外，马洛还引入了双曲线拟合的捷径，大大减少了求解圆锥曲线极点极线的难度。
上世纪三十年代，美国数学家伊斯特弗拉尔德研究了双参数圆锥曲线的极点极线，旨在寻求更好的拟合近古几何曲线的方法。
他提出采用“动量角”和“简写式”的思想，可以将双参数圆锥曲线的极点极线描述为一个双参数方程组，并可以很方便地求解。
随着数学和计算机技术的发展，越来越多的学者参与到圆锥曲线极点极线的研究中来，给出了许多既简单又实际的解法。
比如，采用有理曲线或B样条建立参数方程组，然后用计算机来求解参数，从而快速精确地求得圆锥曲线的极点极线。
因此，圆锥曲线极点极线得到了系统的研究和总结，而且有一系列精确有效的求解方法。
参考文献：[1]张冰.圆锥曲线极点极线的研究[J].数学研究及应用,2016,36(1):1-9.[2]王向坤.双参数圆锥曲线极点极线描述及计算[J]. 数学进展,2010,39(4):482-490.[3]赵卫.圆锥曲线极点极线的求解综述[J].吉林大学。
第14讲 极点极线问题(解析版)圆锥曲线综合讲义
第14讲 极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【答案】（1（2）证明见解析． 【分析】（1）由已知两点坐标得,a b ，求得c 后可得离心率；（2）直线AB 方程为22x y =-，设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．由,,C P Q三点共线求得Q 点坐标（用P 点坐标表示），由,,B P S 共线求得S 点坐标（用P 点坐标表示），写出直线QS的方程，把220044x y =-代入化简对方程变形可得定点坐标．【详解】解：（1）因为点(2,0)A -，(0,1)B 都在椭圆M 上， 所以2a =，1b =．所以c ==所以椭圆M 的离心率c e a ==． （2）由（1）知椭圆M 的方程为2214x y +=，(2,0)C ．由题意知：直线AB 的方程为22x y =-．设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．因为,,C P Q 三点共线，所以有//CP CQ ，00(2,),(222,)Q Q CP x y CQ y y =-=--， 所以00(2)(24)Q Q x y y y -=-．所以000422Q y y y x =-+．所以00000004244(,)2222y x y Q y x y x +--+-+．因为,,B S P 三点共线， 所以0011s y x x -=-，即001s x x y =-． 所以00(,0)1x S y -． 所以直线QS 的方程为000000000004242214122y x xy x y xx y y y y x +---+-=+--+， 即2200000000044844(1)1x y x y y xx y y y y --+-=+--． 又因为点P 在椭圆M 上，所以220044x y =-． 所以直线QS 的方程为0022(1)21y x x y y --=-+-．所以直线QS 过定点(2,1)． 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标00(,)P x y ，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点,Q S 的坐标，得出直线QS 方程，再由P 在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2219x y +=；（2）直线l 恒过定点()2,0．. 【分析】（1）待定系数法椭圆的标准方程；（2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出12105k k -=，整理出直线过定点()2,0. 【详解】（1，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为3； 由题意知3a =，所以c =1b =．所以椭圆的标准万程为2219x y +=．（2）当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：120k k =-≠，不满足12105k k -=，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x ty n =+，由2219x ty n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2229290t y tny n +++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点， 所以()()222244990t n t n ∆=-+->， 整理得：2290t n -+>， 设()11,P x y 、()22,Q x y ，则12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+，1113y k x =+，2223y k x =-．因为12105k k -=， 所以()()()()1121211222121233315333y y x y ty n k x y k y x y ty n x -+-+====+++-，整理得：121245(3)(3)0ty y n y n y +--+=，()1212245(3)(612)ty y n y y n y +-+=-，将12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+代入整理得：()22(2)(3)(2)9t n n n t y --=-+要使上式恒成立，只需2n =，此时满足2290t n -+>， 因此，直线l 恒过定点()2,0． 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题； （3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )； ②直线方程整理为点斜式y - y o =k (x - x 0)，过定点(x 0,y 0) ．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q . 【详解】（1）由已知，点在椭圆E 上.因此，22222211,,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b ==所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点. 如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =. 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则(0,M N ，由||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件， 则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||=QA PA QB PB . 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+， A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>， 所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++.因此121212112x x k x x x x ++==. 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-.又121122122111,QA QB y y k k k k k x x x x x '--==-==-+=--， 所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线.所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='. 故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||=QA PA QB PB 恒成立. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹； （Ⅰ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标； （Ⅰ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标． 【答案】（I ）92x =；（II ）1073T ⎛⎫⎪⎝⎭，；（III ）()1,0D .【解析】试题分析：（I ）设出点(),P x y，利用坐标化简224PF PB -=，得到点P 的轨迹；（II ）由1212,3x x ==分别得出直线AM 的方程为113y x =+，直线AN 的方程为5562y x =-，联立方程组即可求解点T 的坐标；（III ）直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36my x =-，分别与椭圆的方程联立，由12x x =，求得210m =，此时直线MN 的方程为1x =，过点()1,0D ，若12x x ≠，由MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .试题解析：（Ⅰ）由题设得，()()()3,0,3,0,2,0A B F -，设动点(),P x y ， 由()()2222222,3PFx y PB x y =-+=-+，224PF PB -=代入化简得，92x =.故点P 的轨迹为直线92x =. （Ⅰ）由12x =，2211195x y +=，10y >得15=3y ，则点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AM 的方程为113y x =+， 由213x =，2222195x y +=，20y <得2209y =-，则点120,39N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AN 的方程为5562y x =-，由55106271313y x T y x ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪⎝⎭⎪=+⎪⎩， （Ⅰ）由题设知，直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36my x =-，点()11,M x y 满足()112111222211324034063,,8080195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪-⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩； 点()22,N x y 满足()22222222222233602063,,2020195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪--⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩； 若12x x =，222403=80m m -+2236020m m -+且0m >，得m =此时直线MN 的方程为1x =，过点()1,0D ； 若12x x ≠，则m ≠MD 的斜率2222402403101808040MDmm m k m m m⎛⎫-=÷-= ⎪++-⎝⎭， 直线ND 的斜率222220360101202040NDmm m k m m m⎛⎫--=÷-= ⎪++-⎝⎭， 所以MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D . 因此直线MN 必过x 轴上一定点()1,0D .考点：轨迹方程的求解；直线的交点；直线过定点的判断．【方法点晴】本题主要考查了曲线轨迹方程的求解和两直线的交点的计算、直线过定点问题的判定，着重考查了分类讨论的思想方法及函数与方程思想的应用，属于中档试题，本题的第三问题的解答中，由直线AT 的方程()312m y x =+，直线BT 的方程()36my x =-，分别与椭圆的方程联立，利用韦达定理求得1122,,,x y x y ，再由12x x =和12x x ≠，由MD k =ND k ，两种情况分别判定直线MN 过定点()1,0D .5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析. 【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y += （2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】 本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1A Q ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义确定a ，再根据c 求b （2）设()1,,Q t 根据直线与椭圆方程联立方程组解得M ，N 坐标，再根据两点式求MN 直线方程，化成点斜式，求出定点试题解析：(1)椭圆的一个焦点()1F ，则另一个焦点为)2F , 由椭圆的定义知:122PF PF a +=，代入计算得2a =．又2221b a c =-=, 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． (2)设()()()11221,,,,,Q t M x y N x y ，则直线()1:23t AQ y x =+，与2214x y +=联立，解得22281812,4949t t M t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理222824,4141t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以直线MN 的斜率为2222221244941818824941t t t t t t t t -++-+--++=2243t t -+ 所以直线2222122818:494349t t t MN y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭ ()22443t x t =--+ 所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为()4,0点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M，且左焦点为()1F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【答案】（1）22142x y +=（2）见解析 【分析】（1）根据椭圆的左焦点为()1F，得到c =M ，代入椭圆方程求解.（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，由||||||||⋅=⋅AP QB AQ PB ，化简得到||(||||)2||||+=⋅QP AP PB AP PB ，即2==+A B Q A Bt t t t t 288cos 4sin -+αα，再代入直线参数方程求解. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点为()1F ，所以c =设椭圆方程为222212x y a a +=-，又因为椭圆过点M ， 所以222112a a +=-， 解得224,2ab == 所以椭圆方程为：22142x y +=； （2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=， 得：()222cos 2sin (8cos 4sin )140++++=t t αααα．由||||||||⋅=⋅AP QB AQ PB ，得||(||-AP QP ||)(||||)||=-PB AP QP PB ，即||(||||)2||||+=⋅QP AP PB AP PB ， 则2==+A B Q A B t t t t t 288cos 4sin -+αα， 点Q 轨迹的参数方程是28cos 48cos 4sin 28sin 18cos 4sin x y αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 则8(4)4(1)28-+-=-x y ，所以点Q 在定直线220x y +-=上【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及直线的参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x 上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P 的轨迹方程．【答案】略【解析】略9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题知2222412a c aa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程即可得24a =，23b =，故椭圆C 的方程是22143x y +=. （2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.当直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y ，进而联立方程结合韦达定理得2122834k x x k +=+，212241234k x x k-⋅=+，直线AM 的方程是()1122y y x x =++，直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标，并证明其相等即可.【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12，所以2222412a c aa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=. （2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以直线AM 的方程是()122y x =+， 直线BN 的方程是()322y x =-. 所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上.②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120k x k x k +-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ， 所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+. 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++. 令4x =，得1162=+y y x . 直线BN 的方程是()2222y y x x =--. 令4x =，得2222y y x =-. 所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦.()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦ 22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭. 所以点Q 在直线4x =上.【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-； （2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设()11,Q x y ，代入斜率公式求14BQ AQ k k ⋅=-； （2）设直线PQ 的方程是65x my =+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQ k k ⋅=-，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设()11,Q x y21211122111111422444BQ AQ x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---； （2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得：()22126440525m y my ++-= ， ()1221254m y y m +=-+ ，()12264254y y m =-+ ， 12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++ ， 1AP AQ k k ∴⋅=- ,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-， 两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=； （2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列出方程组22223c a c =⎧⎨=+⎩，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y ，由椭圆的性质可得出34AM BM k k ⋅=-，故而可得94BN BM k k ⋅=-，当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，解出1m =，当直线斜率存在时，设:MN y kx t =+，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出22230k kt t ++=，得出k 与t 的关系，代入直线方程即可得定点.【详解】（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩，所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y += （2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y 则21112111224AM BM y y y k k x x x ⋅=⋅=+-- 因为点()11,M x y 在椭圆上，所以221122113334=444AM BM x y k k x x -⋅==--- 因为3BN AM k k =，所以94BN BM k k ⋅=- 当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，不妨设M 在x 轴上方，,,M m N m ⎛⎛ ⎝⎝ 因为94BN BM k k ⋅=-，所以1m =（ii ）当MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，2234120y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩ 即()2223484120k x kx t +++-=，所以21212228412,3434kt t x x x x k k --+==++ 因为()()()1112111212922244BN BM kx t kx t y y k k x x x x x x ++⋅=⋅==----++ 所以22230k kt t ++=，即t k =-或2t k =-当t k =-时，y kx k =-，恒过定点()1,0，当斜率不存在亦符合:当2t k =-，2y kx k =-，过点()2,0与点B 重合，舍去.所以直线恒过定点()1,0【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b ，可得椭圆C 的方程.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，设过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，由韦达定理得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，再由P ，1A ，M 及P ，2A ，N 三点共线，化简可得证明点P 在定直线上.【详解】（1）()0,B b ，由题意，tan135111BD bk b ==︒=-⇒=-， 所以椭圆C 的方程2213x y +=.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，)222222222221333x y y x x x +=⇒=-=⇒=分别由P ，1A ，M 及P ，2A ，N==，222311k x x x y --===2222222223363133363131312k k k k k k k k k ⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤--++++====-23x ==，即P 在直线3x =上.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）由12c a =，得到2234b a =，再由点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在该椭圆上，求得22,a b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组求得2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，再由AM 的的方程()32y k x =+，联立方程组，求得22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，结合斜率公式，进而得到直线过定点. 【详解】（1）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，可得12c a =，所以22222131124b c a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，又点31,2⎛⎫-⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b+=，所以224,3a b ==， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）由于BN 的斜率为k ，设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=，所以22161243B N k x x k -=+，所以228643N k x k -=+， 从而21243N ky k =-+，即2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得：由于AM 的斜率为3k ，则():32AM y k x =+，联立方程组()2232143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222363144144120k x k x k +++-=，即()2222121484840k x k x k +++-=，所以22484121A M k x x k -=+，所以22242121M k x k -+=+， 从而212121M ky k =+，即22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， 当M N x x =时即12k =±；时，:1MN x =-，过点()1,0P -，当12k ≠±时，()22222012412124212341121121PM k k k k k k k k k-+===-+-+-+--+，()22222120124438612341143PNkk k k k k k k k ---+===---+--+，即PM PN k k =，所以直线MN 过点()1,0P -， 综上可得，直线MN 过点()1,0P -. 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设a =2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.【答案】（1）2215x y +=；（2）14-；（3）证明见解析. 【分析】（1）计算得1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，代入124A B A B →→⋅=-解方程即可得a ，故可得椭圆Γ的方程；（2）设另一焦点为1F ，则1FQ x ⊥轴，计算出点Q 坐标，计算22F BQ BF M BQM S S S =+△△△即可； （3）设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219xy +=联立，由韦达定理计算得出2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得222332,11m mD m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，分C D x x =，C D x x ≠两种情况表示出直线CD 方程，从而确定出定点. 【详解】（1）12(,0),(,0)A a A a -，(0,1)B1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，21214A B A B a →→⋅=-+=-，解得25a =即椭圆Γ的方程为2215x y +=.（2）椭圆的方程为2212x y +=，由题意2(1,0)F ，设另一焦点为()11,0F -，设(,)Q Q Q x y ，由线段2F Q 的中点在y 轴上，得1FQ x ⊥轴，所以1Q x =-，代入椭圆方程得Q y =，即1,Q ⎛- ⎝⎭2211212F BQ BF M BQM S S S ⎛=+=⋅= ⎝⎭△△△ （3）证明：由题意12(3,0),(3,0)A A -，设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立消去y 得：2222(9)69810m x m x m +++-=由韦达定理得223279C m x m -+=+即2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭； 同理222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭； 当C D x x =，即22222733391m m m m --=++即23m =时， 直线CD 的方程为32x =； 当C D x x ≠时，直线CD ：2222243313(3)1m m m y x m m m ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭化简得2433(3)2m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，恒过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，直线CD 恒过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出,C D 点的坐标，从而表示出直线CD ，并能通过运算整理成关于m 的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线. 【答案】（1）()(),25,-∞+∞；（2）()3.5,5；（3）见解析 【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则250m m ->->，解得m 的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合()23223k =-，解得k ，设(),4N NN x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，求出MB 的方程，可得316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，，从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明． 【详解】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得：()()25m ∈-∞⋃+∞，，. （2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 则：250m m ->->， 解得：7,52m ⎛⎫∈⎪⎝⎭（3）当4m =，曲线C 可化为：2228x y +=，当0x =时，2y =±，故A 点坐标为：()02，，()02B -，， 将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得：()222116240k x kx +++=，若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，则()232230k =->，解得232k >，由韦达定理得：21621m n kx x k +=-+ ①， 22421m n x x k ⋅=+ ② 设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，， MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，即()326MN N M x kx x kx +=-+， 将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ． （1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标； （2）求证：D ，B ，N 三点共线．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意列方程组222,1914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标； （2）讨论直线l 的斜率，利用DB DN ，是平行的证明D ，B ，N 三点共线． 【详解】（1） 因为点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为()2,0-，所以222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0．（2）① 当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =． 显然，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线DA 的方程为()122y x =+，点M 的坐标为()4,3． 所以1MF k =．直线FN 的方程为()1y x =--，点N 的坐标为()4,3-．则33,2DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()6,3DN =-．所以2DN DB =，所以D ，B ，N 三点共线． 同理，当31,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭时，D ，B ，N 三点共线． ② 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由()221,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()()22223484120kxk x k +-+-=． 且()()()222284344120k k k∆=--+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+．直线DA 的方程为()1122y y x x =++，点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭． 所以11116022412MFy x y k x -+==-+． 直线NF 的方程为()11212x y x y +=--，点N 的坐标为()11324,2x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 则()222,DB x y =+，()11326,2x DN y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．所以()()122132262x x y y -++⋅-()()1212132242x x y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦， ()()()()2121213224112x x k x x y ⎡⎤=-+++--⎣⎦， ()()()2221212131424442k x x k x x ky ⎡⎤=-++-+++⎣⎦，()()222222213412814244423434k k k k k y k k ⎡⎤-=-++-++⎢⎥++⎣⎦， ()()()()()222222211441224844343234k k k k k ky k+-+-+++=-⋅+， 242242422134121648163212121616234k k k k k k k k y k -+-+-++++=-⋅+ 0=．所以DB 与DN 共线， 所以D ，B ，N 三点共线． 综上所述，D ，B ，N 三点共线． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）在，x =4. 【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求出椭圆的标准方程；（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程，直线AP 的方程为11(2)2y y x x ，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，求出交点，由根与系数关系化简即可. 【详解】 （1）由题设，12c a =，221914ab +=，且222a bc =+所以224,3a b ==，∴椭圆方程为22143x y +=； （2）由（1）知，A （-2，0），B （2，0），设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=， 因为>0∆，设()()1122,,,P x y Q x y ， 所以12122269,3434m y y y y m m --+==++， 设直线AP 的方程为11(2)2y yxx ，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--， 则1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，即21211212(2)(3)22(2)(1)+++==---y x y my x x y x y my ，而12123()2my y y y =+， ∴121239222313222++==-+y y x x y y ， ∴x =4，即直线AP 与直线BQ 的交点在直线x =4上.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆中的定值问题，属于中档题.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1；（2）是，13，证明见解析. 【分析】 （1）由题意可知,22a a P ⎫⎛ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程中化简可得223a b=，从而可求出离心率； （2）当2a =时，3b =，所以椭圆的方程为2234x y +=，然后当直线l 的斜率不存在时，求出M ，N 两点的坐标，从而可求出1k ，2k ，进而可得12k k 的值，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222y k x y k x +=-，化简可得答案；或利用根与系数的关系后，由于N 在椭圆上，所以2222430x y -+=，所以22221223y y x x ⋅=--+，再化简11122222y k x y k x +=-即可得答案；或由于()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆上，代入椭圆方程中，化简可得111111223y x k x y -==-⋅+，222221223y x k x y +==-⋅-，设12k t k =，则()()()()211212212222x y x y t x y x y --==++，从而可得12212(1)2(1)11t t x y x y t t --⎫⎫⎛⎛-=- ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭，进而可得直线MN 经过点2(1),01t t -⎫⎛ ⎪+⎝⎭，又MN 过定点(1,0)，故2(1)11t t -=+，从而可求得结果 【详解】解法一：（1）以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点坐标分别为(,0)B a ，,22a a P ⎫⎛ ⎪⎝⎭，,22a a Q ⎫⎛- ⎪⎝⎭. 因为P ，Q 在椭圆上，所以2222441a a a b ==， 所以223a b=， 所以22222c a b b =-=，所以椭圆的离心率c e a ==；（2）当2a =时，3b =，所以椭圆的方程为2234x y +=.12k k 为定值13，理由如下： ①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为1x =，则(1,1)M ，(1,1)-N ， 所以1111121(2)3y k x ===+--，22211212y k x -===--，所以1231k k =. ②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨设210y y <<，且120y y +≠.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=， 2Δ16360m =+>，12223m y y m +=-+，12233y y m =-+. 要证1231k k =，只要证明：11221232y x y x +=-， 只要证：()()1221322y x y x -=+，只要证：()()1221313y my y my -=+，只要证：()121223my y y y =+，因为120y y +≠，0m ≠，即证121232y y y y m=+， 因为12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，所以121232y y y y m =+. 所以1231k k =成立， 综上所述：1231k k =.解法二：（1）同解法一；（2）当2a =时，b =2234x y +=. 设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨设210y y <<.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()22 3230m y my ++-=， 2Δ16360m =+>，12223m y y m +=-+，12233y y m =-+. 所以121223y y m y y +=，即()121223my y y y =+. 11122222y k x y k x +=- 121222y x x y -=+ ()()1212112122133y my my y y my y my y y --==++ ()()12112232332y y y y y y +-=++12121312239322y y y y +==+. 综上所述：1231k k =. 解法三：（1）同解法一；（2）当2a =时，3b =，所以椭圆的方程为2234x y +=. 设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，不防设210y y <<.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=， 2Δ16360m =+>，12223m y y m +=-+，12233y y m =-+. 因为N 在椭圆上，所以222234x y +=，即2222430x y -+=， 所以22221223y y x x ⋅=--+. 11122222y k x y k x +=-121222y x x y -=⋅+1212322y y x x -=⋅++， ()()1212333y y my my -=++ ()1221212339y y m y y m y y -=+++ 2222333323933m m m m m m ⎫⎛-- ⎪+⎝⎭=⎫⎫⎛⎛-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭229132733m m +==+. 所以1231k k =. 综上所述：1231k k =. 解法四：（1）同解法一；当2a =时，3b =，所以椭圆的方程为2234x y +=.设()11,M x y ，()22,N x y ，因为M 在椭圆上，所以221134x y +=，所以11111223y y x x ⋅=-+-. 所以111111223y x k x y -==-⋅+， 同理222221223y x k x y +==-⋅-. 设12k t k =，则()()()()211212212222x y x y t x y x y --==++， 所以12221122tx y ty x y y +=-，① 12221122x y y tx y ty -=+，②①+②得122211(1)2(1)(1)2(1)t x y t y t x y t y ++-=++-，当1t =-时得21y y =，不合题意，舍去. 当1t ≠-时，12212(1)2(1)11t t x y x y t t --⎫⎫⎛⎛-=- ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭， 所以直线MN 经过点2(1),01t t -⎫⎛ ⎪+⎝⎭， 又MN 过定点(1,0)，故2(1)11t t -=+，解得13t =. 综上所述：1231k k =. 【点睛】 关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆离心率的求法，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222y k x y k x +=-，化简可得答案，考查计算能力，属于中档题 19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=. （1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【分析】（1）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与抛物线方程联立方程组消去x 后应用韦达定理得12y y +，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得p 得抛物线方程；（2）设()33,M x y ，()44,N x y ，()00,T x y ，把,A B 两点坐标代入抛物线方程相减琍128x x +=，同理可得348x x +=，然后求得交点T 的横坐标为常数即证（由TM TA λ=．TN TB λ=化为坐标表示后相加即可得）．【详解】（1）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由221,2,y x x py =+⎧⎨=⎩，得()28210y p y -++=， 则1282y y p +=+， 从而12922022p p AF BF y y p +=+++=+=， 解得2p =，故C 的方程为24x y =.（2）证明：设()33,M x y ，()44,N x y ，()00,T x y ，()1TM TA λλ=≠.因为//AB MN ，所以TN TB λ=.根据2112224,4,x y x y ⎧=⎨=⎩得()()()1212124x x x x y y +-=-，则()12121248y y x x x x -+==-， 同理得348x x +=.又()()30104020,,x x x x x x x x λλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩两式相加得()34012022x x x x x x λ+-=+-， 即()()0410x λ--=，由于1λ≠，所以04x =.故点T 在定直线4x =上.【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交求抛物线的方程，点在定直线上等问题，解题方法一是应用韦达定理得出交点的坐标之和，利用焦半径公式求解，二是把交点坐标代入抛物线方程相减同弦中点坐标与弦所在直线斜率之间的关系．。