【全国市级联考】河南省新乡市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题

新乡市2020届高三第一次模拟测试

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{|24}x

A x =>，{|015}

B x x =<-≤，则()=R

C A B I （ ） A ．{|25}x x <≤ B ．{|5}x x ≤ C ．{|12}x x <≤

D ．{|1}x x > 2.若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则z 的实部为（ ） A ．-5 B ． 5 C ．-8 D ．8

3.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑

5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（ ）

A ．39200m

B ．39300m

C ．39400m

D ． 39500m 4.若二项式7

1()n

x x -

的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ． 7 B ．8 C. 14 D ．16 5.设函数()5x

x f x e

e x -=--，则不等式2()(6)0

f x f x +--<的解集为（ ）

A ．(3,2)-

B ．(,3)(2,)-∞-+∞U C. (2,3)- D ．(,2)(3,)-∞-+∞U

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A ． 28

B ．30 C. 36 D ．42

7.设不等式组40310x x y y -≤⎧⎪

+≥⎨⎪-≥⎩

，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则

2z x y =+的最小值为（ ）

A ． -9

B ．9 C. -7 D ．7

8.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．

1191077 B ．160359 C. 9581077 D ．289

359

9.已知点(,)M x y 是抛物线2

4y x =

（ ）

A ．3

B ． 4 C. 5 D ．6 10.将函数4

4

()sin cos f x x x =+的图像向左平移

8

π

个单位长度后，得到()g x 的图像，则()g x =（ ）

A ．

31sin 444x - B ．13sin 444x - C. 31cos 444x - D ．13

cos 244

x - 11.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）

A ．a b c >>

B ．a c b >> C. c a b >> D ．c b a >>

12.已知函数1

,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪

=⎨⎪+≤⎩，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于

-4，则a 的取值范围是（ ）

A ．(,1)-∞-

B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞

第Ⅱ卷

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若向量,a b r r 满足||3a =r ，且()()4a b a b +-=r r r r g

，则||b =r

．

14.设P 为曲线224x y =+上一点，(5,0)A -，(5,0)B ，若||2PB =，则||PA = ． 15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S = ．

16.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体

积为86π，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-.

（1）试问：,,a b c 是否可能依次成等差数列？为什么？

（2）若3b c =，且ABC ∆的周长为45+，求ABC ∆的面积.

18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3AB AC ==，2CE EA =u u u r u u u r ，BD DC =u u u r u u u r

.

（1）证明：平面PBC ⊥平面PAD ； （2）若三棱锥P ABD -的体积为

9

4

，且AB AC ⊥，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.

19. 某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：

（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方

程；

（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）.

（ⅰ）若日需求量为15个，求X ；

（ⅱ）求X 的分布列及其数学期望.

相关公式：∑∑==---=

n i

i n

i i

i

x x y y

x x b 1

21

^

)()

)((∑∑==--=

n i i n

i i

i x

n x y

x n y

x 1

2

21 ， x b

y a ^^-= 20. 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭

圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.

（1）求C 的离心率及方程；

（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得PM PB u u u u r u u u r

g 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.

21. 已知函数()ln (0)a

f x x a x a a =--≠. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）对0a >时，对任意121

,[,]x x e e

∈，12|()()|2f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程