2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A ．02y =与x y x=B ．1y =±与x xy x=C ．y =y =D ．1y x =+与y =【答案】D【解析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,逐项验证即可判断它们是否为同一个函数 【详解】对于A, 02y =定义域是R ,xy x=定义域是{|0}x x ≠定义域不同,故不是同一函数; 对于B, 1y =±定义域是R ,x xy x=定义域是{|0}x x ≠定义域不同,故不是同一函数;对于C, y ={|10}x x x ≤-≥或,y ={|0}x x ≥定义域不同,故不是同一函数;对于D, 1y t =+,1y x =+,两个函数的定义域和对应法则都相同,故二者是同一个函数. 故选:D. 【点睛】本题考查判断两个函数是否为同一函数,注意要从二个方面来分析:定义域、对应法则,只有二要素完全相同,才能判断两个函数是同一个函数,这是判定两个函数为同一函数的标准.2．设a b 、均为非零实数,则“1ba<”是“1a b >”的什么条件?( )A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q 当1,1b a =-=,满足1ba<,但1a b >不成立∴1ba<不能推出1a b >.Q 若1a b>,则0ab >∴01ba << 故1b a <成立∴ 1a b >能推出1b a <∴ “b 1a <”是“1ab >”的必要不充分.故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 3．如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可． 【详解】y ′22221222x x x xx ln xln --==， 令y ′＞0，解得：x 12ln ＜，令y ′＜0，解得：x 12ln ＞， 故函数在（﹣∞，12ln ）递增，在（12ln ，+∞）递减，而x ＝0时，函数值y ＝0，x →﹣∞时，y →﹣∞，x →+∞时，y →0， 故选A ． 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4．设函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得()f x 函数满足：（1）()f x 在[],a b 上是单调函数；（2）()f x 在[],a b 上的值域是[]2,2a b ，则称区间[],a b 是函数()f x 的“和谐区间”，下列结论错误的是（ ） A ．函数2()(0)f x x x =≥存在“和谐区间” B ．函数()()x f x e x R =∈不存在“和谐区间”C ．函数()f x 24(0)1xx x =≥+存在“和谐区间” D ．函数1()log ()8xa f x a =-（0a >，1a ≠）不存在“和谐区间”【答案】D【解析】试题分析：函数中存在“和谐区间”,则①()f x 在[],a b 内是单调函数；②()()2{2f a a f b b==或()()2{2f a b f b a==,若()()20f x xx =≥,若存在“和谐区间”[],a b ,则此时函数单调递增,则由()()2{2f a af b b ==,得()()22202{,{,022a a a f x x x b b b==∴∴=≥==存在“和谐区间”[]0,2,A ∴正确.若()()2f x ex R =∈,若存在“和谐区间”[],a b ,则此时函数单调递增,则由()()2{2f a af b b ==,得2{2a b e a e b==,即,a b 是方程2x e x =的两个不等的实根,构建函数()()2,'2x x g x e x g x e =-∴=-,所以函数在(),ln 2-∞上单调减,在()ln 2,+∞上单调增,∴函数在ln 2x =处取得极小值，且为最小值,()()ln 22ln 20,0,20xg g x e x =->∴>∴-=Q ,无解,故函数不存在“和谐区间”,B ∴正确.若函数()()2401xf x x x =≥+,()()()()()()22222414?2411'11x x xx x f x xx+-+-==++,若存在“和谐区间”[][],0,1a b ⊆,则由()()2{2f a a f b b==,得22421{,0,1421aaa ab b b b =+∴===+,即存在“和谐区间”[]0,1,C ∴正确.若函数()()1log 0,18xa f x a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭,不妨设1a >,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间”[],m n , 则由()()2{2f m m f n n==,得,即,m n 是方程1log 28xa a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的两个根,即,m n 是方程2108x x a a -+=的两个根,由于该方程有两个不等的正根，故存在“和谐区间”[],m n ,D ∴结论错误,故选D.【考点】1、函数的定义域、值域及函数的单调性；2、导数的应用及“新定义”问题. 【方法点睛】本题通过新定义“和谐区间”主要考查函数的定义域、值域及函数的单调性以及导数的应用，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题四个选项都围绕“和谐区间”的两个重要性质展开的，只要能正确运用这一条件，问题就能迎刃而解.二、填空题 5．函数2()1x f x x +=-的定义域是________. 【答案】{|2x x -…且1}x ≠【解析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解. 【详解】由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得，1x ≠且2x ≥-；故函数的定义域为：{|2x x -…且1}x ≠. 故答案为：{|2x x -…且1}x ≠. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知集合A={x|x 2-3x ＜0，x ∈N}，则用列举法表示集合A= ______ ．【答案】{1,2}【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用可得结果.【详解】 由集合，一元二次不等式的解法可得集合，故答案为.【点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么．集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或图进行处理．7．已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为____________________. 【答案】3 【解析】【详解】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力．因为12.3434123x y x y xy xy=+≥==所以3xy ≤，当且仅当34x y =，即3,22x y ==时取等号，所以xy 的最大值为3．8．函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠的图像恒过定点__________. 【答案】()2019,2021-【解析】根据01(0,1)a a a =>≠,结合条件,即可求得答案. 【详解】Q 01(0,1)a a a =>≠.∴ 函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠的图像恒过定点()2019,2021-，故答案为:()2019,2021-. 【点睛】本题的解题关键是掌握01(0,1)a a a =>≠,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．方程4260x x --=的解为______． 【答案】2log 3x =【解析】换元20x t =>，可得出260t t --=，解此方程，求出正数t 的值，即可得出x 的值.【详解】令20x t =>，由4260x x --=，可得260t t --=，解得3t =或2t =-（舍去）. 即23x =，解得2log 3x =. 故答案为2log 3x =. 【点睛】本题考查指数方程的求解，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题的关键就是利用换元法将方程变为二次方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．幂函数()y f x =的图像经过点142⎛⎫⎪⎝⎭，，则1()16f 的值为__________.【答案】4【解析】由题意得幂函数()y f x =的图像经过点142⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则将142⎛⎫ ⎪⎝⎭，,代入y x α=,得114,22αα==-,得12y x -=,即可求得1()16f 的值.【详解】Q 由题意得幂函数()y f x =的图像经过点142⎛⎫⎪⎝⎭，则将142⎛⎫ ⎪⎝⎭，,代入y x α=∴ 得114,22αα==- 12y x-∴=121141616f -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为:4. 【点睛】本题解题关键是掌握幂函数定义,考查了计算能力,属于基础题.11．若集合{}2=10A x ax ax -+==∅,则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[)0,4【解析】本题首先要理解{}2=10A x ax ax -+==∅,即210ax ax -+=无实数解,即可求得答案. 【详解】当0a =时,原不等式无实解,故符合题意. 当0a ≠时, 210ax ax -+=无实数解, 故∆<0,可得:240a a -< 解得:04a <<综上所述,实数a 的取值范围是:[)0,4. 故答案为:[)0,4. 【点睛】本题考查了根据集合为空集求参数,解题关键是掌握一元二次方程基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.12．已知函数()f x 的对应关系如下表：若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为________ 【答案】{}3,2,1,5-【解析】由已知可得：(2)3f -=，(1)2f -=-，(0)1f =，f （1）5=，f （2）m =，利用反函数的定义及其性质即可得出． 【详解】由已知可得：(2)3f -=，(1)2f -=-，(0)1f =，f （1）5=，f （2）m =，Q 函数()f x 不存在反函数，则m 的值只可以为：2-，1，3，5，否则存在反函数．∴实数m 的取值集合为{2-，1，3，5}．故答案为：{2-，1，3，5}． 【点睛】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞为减函数,且(2)0f =,则不等式()0x f x ⋅≤的解集为__________.【答案】(,2][2,){0}-∞-⋃+∞⋃【解析】根据函数()f x 为定义在R 上的奇函数,且在(),0-∞为减函数,若()20f =,画出函数的大致图像,结合图像即可求得答案. 【详解】作出函数()f x 的图像如图:Q 当0x <时,要保证()0x f x ⋅≤,需()0f x ≥∴ 根据图像可知,2x -≤ Q 当0x =,()0x f x ⋅=,满足题意.Q 当0x >时,要保证()0x f x ⋅≤,需()0f x ≤∴ 根据图像可知,2x ≥故答案为:(,2][2,){0}-∞-⋃+∞⋃ 【点睛】本题考查了根据函数图像求解函数不等式,解题关键是根据题意画出函数图像,结合单调性和奇偶性进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.14．已知函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+，对于任意的1[1,1]x ∈-都能找到2[1,1]x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围是 ．【答案】26a -≤≤【解析】分别求出函数()2f x x a =+、2()61g x x x =-+在[1,1]x ∈-上的值域，然后由题意可以求出实数a 的取值范围. 【详解】因为[1,1]x ∈-，所以()[2,2]f x a a ∈-++，又因为2()(3)8g x x =--，[1,1]x ∈-所以有()[4,8]g x ∈-，要想对于任意的1[1,1]x ∈-都能找到2[1,1]x ∈-，使得()()21g x f x =成立，则有282624a a a +≤⎧⇒-≤≤⎨-+≥-⎩. 【点睛】本题考查了对任意性和存在性的理解，考查了一次函数和二次函数在闭区间上的值域问题，考查了数学运算能力.15．已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________ 【答案】23a <≤.【解析】函数()f x 当0x >时是对勾函数，因为11122x x x x x x-+=+≥⨯=，当且仅当10x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩即1x =时，取最小值。
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题解析
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题一、单选题1）A BC D答案：C调区间，借助于自变量的大小，得到函数值的大小，从而得到结果解：项不正确；观察B、C、D三项很明显C项正确，故选：C.点评：该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.21）A B C D答案：D首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 解：设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 点评：该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 3．设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A ．120x x <B ．121=x xC ．121x x >D ．121x x <答案：D作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案. 解：作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==故选：D.点评：该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.4（）A B C D答案：B. 解：故选：B.点评：该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题5_________.在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案.解：点评：该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.6________.根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案.解：点评：该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目.7先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项.解：点评：该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.8；.解：.点评：本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握.9_________；.解：点评：本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.10_______.将0写成1. 解：点评：该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.11________.答案：奇函数 2数，得到结果. 解：2的周期函数，故答案为：奇函数. 点评：该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目. 12_______.结合复合函数的单调性法则，.解：递减，根据复合函数单调性法则，点评：该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.13__________..解：点评：该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目.14_________.根据式子的意义，只有一个正根，画出函数图象求得结果.解：可知所求m 的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.点评：该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 15．已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 答案：5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.解：当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x=+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解； 当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+， 当01a ≤≤时，()ag x x x=+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，点评：该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.16值范围为_______.会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.解：画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f ==，要使2(46)(4)f a a f a +=，则有以下几种情况：①246141a a a ⎧+≤⎨≤⎩，解得31331344x ---+≤≤； ②22146 2.514 2.5464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解； ③222.54632.543464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解. ④2214631434645a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解； ⑤246343a a a ⎧+≥⎨≥⎩，解得34a ≥，⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解； ⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =；所以a 的取值范围为31331313[,][,)4424---+⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U ， 故答案为：31331313[,][,)4424---+⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U . 点评：该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目.三、解答题17（1（2.答案：（1（2（1（2. 解：（1（2点评：该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目.18（1（2.答案：（1（2（1）（2. 解：（1（2点评：该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19．某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列车.（1（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？答案：（1（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车..（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围；（3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得.解：（1（2所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟； （3所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小. 点评：该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20（1（2（3答案：（1）属于；（2（3）证明见解析（1（2结果；（3解：（1此方程恒成立，（2（3点评：该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题.21（1点；（2（3.答案：（1（2）单调递增；（3（1（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果. 解：（1（2，（3点评：该题考查的是有关函数的综合题，涉及到的知识点有绝对值的意义，求函数的零点，应用导数研究函数的单调性，根据恒成立求参数的取值范围，属于难题.。
2020年上海市金山中学高一数学文上学期期末试卷含解析
2020年上海市金山中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 平面向量与的夹角为60°，，，则( )A. 9B.C. 3D. 7参考答案：B2. 已知函数，则的值为（）A.0B.C. 1D. 0或1参考答案：B3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．1 C． D．参考答案：C4. 函数是函数且的反函数，且图象经过点,则（）参考答案：B5. 如果函数在区间上是增函数，那么的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：B6. （3分）已知函数f（x）=lgx，若对任意的正数x，不等式f（x）+f（t）≤f（x2+t）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（0，4）B．（1，4] C．（0，4] D．，参考答案：C故选：C．点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档．7. 已知直线l1；2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1⊥l2，则a的值为（）A. 8B. 2C.D. －2参考答案：D试题分析：根据两直线平行的条件，可得，故选A.考点：1.两直线的位置关系；2.两直线平行的条件.8. 设，,若，则a值( )A.存在，且有两个值B.存在，但只有一个值C.不存在D.无法确定参考答案：C9. 已知非零向量与满足，且，则为A．三边都不等的三角形 B．直角三角形 B．等腰不等边三角形 D．等边三角形参考答案：D10. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知= ．参考答案：1【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】首先分析题目已知2x=5y=10，求的值，故考虑到把x和y用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．【解答】解：因为2x=5y=10，故x=log210，y=log510=1故答案为：1．【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．12. 已知圆C：x2+y2+6y﹣a=0的圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离等于圆C半径的，则a= ．参考答案：﹣1【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆心到已知直线的距离，根据圆C：x2+y2+6y﹣a=0的圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离等于圆C半径的，求出a的值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：x2+（y+3）2=a+9，∴圆心坐标为（0，﹣3），则圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离d==，∴a=﹣1故答案为﹣1．13. 若lg2 = a，lg3 = b，则lg=_____________．参考答案：解析：lg=lg(2×3) =( lg2＋3lg3) =a＋b．14. 已知幂函数的图象经过点（9，），则___________.参考答案：略15. （4分）比较大小：cos sin（﹣）（填“＞”或“＜”）参考答案：＞考点：三角函数线．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由诱导公式化简为同名函数后，根据正弦函数的单调性质即可比较．解答：∵cos=cos（）=sin，sin（﹣）=﹣sin（）=sin ∵＞＞＞0，且正弦函数在是单调递增的．∴sin＞sin故答案为：＞点评：本题主要考查了诱导公式的应用，正弦函数的单调性质，属于基础题．16. =_____________参考答案：17. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为．参考答案：1﹣2a【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数性质作出函数的图象，依次标出零点，根据对称性得到零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，运用对数求解x3满足：log2（x3+1）=﹣a，可出x3，可求解有根之和．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x＜0时，f（x）=作出图象：∵关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的根转化为f（x）的图象与y=﹣a（0＜a＜1）图象的交点问题．从图象上依次零点为：x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得到零点的值满足x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3满足：log（1﹣x3）=﹣a，解得：故得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a故答案为：1﹣2a．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年上海市金山中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市金山中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ．()()2,f x x g x ==B ．()()01,f x g x x ==C ．()()3,f x x g x ==D ．()()222,x f x x g x x== 【答案】C【分析】比较四个选项中，每两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为同一函数，即可得正确答案.【详解】对于选项A ：()f x x =定义域为R ，()2g x =定义域为[)0,+∞，不是同一函数；对于选项B ：()1f x =定义域为R ，()0g x x =定义域为{}|0x x ≠，不是同一函数；对于选项C ：()f x x =，()3g x x ==两个函数定义域都是R ，对应关系相同，是同一函数；对于选项D ：()2f x x =定义域为R ，()22x g x x=定义域为{}|0x x ≠，不是同一函数； 故选：C【点睛】本题主要考查了同一函数的判断方法，先看定义域是否相同，若定义域相同再看对应关系是否一致，定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数，属于基础题. 2．“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由不等式的性质，得：由a b >且c d >可得到a c b d +>+，但反之不成立（如：125(5)-+>+-，不能得到15->且25>-，所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要而不充分条件；故选B ．【解析】充分条件与必要条件的判定．3．若函数2()34f x x x =--的定义域为[]0,m ，值域为2544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]0,4 B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】D【分析】运用配方法求出函数的最小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域进行求解即可. 【详解】223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，当32x =时，254y =-；当0x =或3时，4y =-. 因此当332m ≤≤时，函数234y x x =--在区间[]0,m 上的最小值为254-，最大值为4-，所以，实数m 的取值范围是3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D4．用()C A 表示非空集合A 中的元素的个数，定义()()A B C A C B *=-，已知集合A 有三个真子集，()(){}22320,B x ax x x ax x R =+++=∈，若1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】由已知条件求得()2C A =，可得出()1C B =或3，然后对实数a 的取值进行分类讨论，确定方程()()22320ax xxax +++=的解的个数，由此可求得实数a 的所有可能取值，即可得出()C S 的值.【详解】由题意可知，集合A 的真子集个数为()213C A -=，解得()2C A =， 由题中定义可得()()()21A B C A C B C B *=-=-=，()1C B ∴=或3. 由题意可知，0为关于x 的方程()()22320ax xxax +++=的一根.当()1C B =时，则{}0B =，则方程230ax x +=只有一个实根0，可得0a =，此时，方程220x +=无实根，则{}0B =满足条件； 当()3C B =时，则关于x 的方程()()22320ax xxax +++=有三个根，必有0a ≠，此时，关于x 的方程230ax x +=的两根分别为10x =，23x a=-，分以下两种情况讨论：①若3a -是方程220x ax ++=的一根时，则22339210a a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =±.当3a =-时，则()(){}{}22333200,1,2B x x x xx =--+==，合乎题意；当3a =时，则()(){}{}22333202,1,0B x x xxx =+++==--，合乎题意；②当方程220x ax ++=有两个相等的实根，则280a ∆=-=，解得a =±.当a =()(){}223204B x x x ⎧⎫⎪⎪=+++==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，合乎题意；当a =-()(){}223200,4B x x x ⎧⎪=--+==⎨⎪⎩，合乎题意.因此，{}3,S =--，即()5C S =. 故选：D.【点睛】以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数a 的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解.二、填空题5．若集合{}1,A a =，集合{}21,B a =，且A B =，则实数a =____________【答案】0【分析】根据集合相等和集合中元素的互异性，即可直接求解. 【详解】解：集合{1A =，}a ，集合{1B =，2}a ，且A B =，∴21a a a ⎧=⎨≠⎩，解得：0a =. 故答案为：0.【点睛】本题考查集合相等和集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．函数()f x =的定义域为____________【答案】[)(]2,11,2--⋃-【分析】要使函数有意义，只要24010x x ⎧-⎨+≠⎩即可．【详解】要使函数有意义，须满足24010x x ⎧-⎨+≠⎩，解得22x -≤≤且1x ≠-，故函数()f x 的定义域为[)(]2,11,2--⋃-． 故答案为：[)(]2,11,2--⋃-．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题，若函数解析式为偶次根式，被开方数大于等于0；若解析式为分式，分母不为0． 7．函数[]3,x 2,41x y x +=∈-的最大值为____________ 【答案】5【分析】化简函数得411y x =+-，然后利用单调性求最大值即可． 【详解】化简函数314411111x x y x x x x +-==+=+----在[]2,4上递减，所以当2x =时，最大值为5. 故答案为：5【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意应用其单调性，属于基础题． 8．若全集{}{}|0,|1U x x A x x =>=>，则UA____________【答案】{}|01x x <≤【分析】直接根据补集的定义进行计算，即可得答案. 【详解】解：{}0U x x =>，{}1A x x =>，∴{}01UA x x =<≤.故答案为：{}|01x x <≤.【点睛】本题考查集合的补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题.9．若函数()2,12,1x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦____________【答案】36【分析】根据自变量的值代入相应解析式求出()3f -，再求()3f f -⎡⎤⎣⎦. 【详解】()()()3236f -=-⨯-=，()()236636f f f ∴-===⎡⎤⎣⎦.故答案为：36【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.10．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______ 【答案】12【详解】设两者都喜欢的人数为x 人， 则只喜爱篮球的有(15-x )人， 只喜爱乒乓球的有(10-x )人, (15-x )+(10-x )+x +8= 30 解得x =3, 所以15- x = 12故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12人.11．幂函数()f x 、()g x 的图象分别经过点()3,9和()32,8，则不等式()()f x g x ≥的解集为____________. 【答案】(][),01,-∞⋃+∞【分析】求出幂函数()f x 、()g x 的解析式，然后分0x ≤、0x >解不等式()()f x g x ≥，进而可求得不等式()()f x g x ≥的解集.【详解】设()af x x =，()bg x x =，则()339af ==，可得2a =，()2f x x ∴=.()5323228bbg ===，53b ∴=，解得35=b ，()35g x x ∴==.①当0x ≤时，()20f x x =≥，()0g x =≤，此时()()f x g x ≥恒成立；②当0x >时，由()()f x g x ≥可得325x x ≥，751x ∴≥，由于幂函数()75h x x =在区间()0,∞+上单调递增，由751x ≥可得()()1h x h ≥，所以1≥x .综上所述，不等式()()f x g x ≥的解集为(][),01,-∞⋃+∞. 故答案为：(][),01,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查利用幂函数的单调性解不等式，关键是求出两个幂函数的解析式.本题在解幂函数不等式时，注意对x 分0x ≤和0x >两种情况讨论，在0x >时，借助了幂函数的单调性来求解，考查了学生的计算能力，属于中等题.12．若函数243y x x a =-+-有两个零点，则实数a 的取值范围是____________【答案】1a >或0a =【分析】由题意知：243y x x =-+与y a =图象有两个交点，数形结合即可得答案.【详解】由题意知：243y x x =-+与y a =图象有两个交点，作243y x x =-+图象如图：若243y x x =-+与y a =图象有两个交点，则1a >或0a =，所以实数a 的取值范围是：1a >或0a = 故答案为：1a >或0a =【点睛】本题主要考查了函数的零点个数转化为对应方程的根的个数，转化为两个函数图象交点的个数，采用了数形结合的方法，属于中档题.13．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22522a f m m f m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>-+-，则m 的取值范围是______.【答案】1122m ≤<. 【分析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可.【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---<所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m ≤<. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题. 14．已知正实数,a b 满足23a b +=，则2b a+的最小值为____________ 【答案】83【分析】由23a b +=得22123b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=+ +⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开后利用基本不等式，即可得出结果.【详解】因为正实数,a b 满足23a b+=，所以212141822423333b b ab a a ab a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+⎝⎭， 当且仅当4ab ab =，即3243a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立.故答案为：83. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的两项之积转化为定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化为定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是容易发生错误的地方. 15．已知函数()f x =，若对于任意不相等的实数(]12,0,1x x ∈，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是____________【答案】()(],01,2-∞⋃【分析】由题可得()f x 在(]0,1x ∈单调递减，讨论a 的范围判断函数的单调性即可求出.【详解】由题20ax -≥在(]0,1x ∈恒成立且1a ≠，则20a -≥，故2a ≤且1a ≠， 又对于任意不相等的实数(]12,0,1x x ∈，都有()()12120f x f x x x -<-成立，∴()f x 在(]0,1x ∈单调递减，当0a =时，()f x =当0a <时，y =10a -<，故()f x 单调递减，满足题意；当01a <<时，y =10a -<，故()f x 单调递增，不满足题意；当12a <≤时，y =10a ->，故()f x 单调递减，满足题意；综上，0a <或12a <≤. 故答案为：()(],01,2-∞⋃.【点睛】本题考查函数单调性的判断，考查根据函数单调性求参数范围，属于中档题. 16．已知集合{}2019,12,6,10,5,1,0,1,8,15H =---，记集合H 的非空子集为121023,,,M M M ，且记每个子集中各元素的乘积依次为121023,,,m m m ，则121023m m m +++的值为____________【答案】1- 【分析】造出函数()()()()()()2019126105(1)(1)(8)(15)f x x x x x x x x x x x =+++---+++，()11f -即为所求.【详解】设十个元素为1210,,...,a a a .1210121391012391011212100231...............a a a a a a a a a a a a a a a m a a a m m =+++++++++++++++.则121023m m m +++即为函数()()()()()()2019126105(1)(1)(8)(15)f x x x x x x x x x x x =+++---+++展开式中所有项数之和1T -；因为()10T f ==，所以11T -=-．故答案为：1-.【点睛】本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题．本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数()()()()()()2019126105(1)(1)(8)(15)f x x x x x x x x x x x =+++---+++，这种转化思想是本题的难点．三、解答题17．已知集合5|02x M x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，集合{}|2N x x m =-<． （1）当m =4时，求M N ⋃；（2）当N M ⊆时，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()2,6-；（2）[]0,3m ∈【分析】（1）利用分式不等式的解法可求出(2,5)M =-，利用绝对值不等式的解法可得(2,2)N m m =-+，从而得出4m =时，(2,6)N =，然后进行并集的运算即可；（2）根据N M ⊆即可得出2225m m --⎧⎨+⎩，然后解出m 的范围即可．【详解】（1）()()50520252x x x x x -<⇔-+<⇔-<<+，可求出(2,5)M =-， 22222x m x m m x m -<⇔-<-<⇔-<<+，可得(2,2)N m m =-+，4m =时，(2,6)N =，(2,6)M N ∴⋃=-；（2）因为22m m -<+，所以N ≠∅N M ⊆，∴2225m m --⎧⎨+⎩，解得03m ，m ∴的取值范围为[0，3]．【点睛】本题考查了描述法的定义，分式不等式和绝对值不等式的解法，并集的运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．已知命题p ：“1x =是不等式2260x ax a +->的解”，命题q ：“函数()12xa f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是R 上的减函数”，若命题p 与q 中有且仅有一个是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(][)2,23,4-⋃【分析】先求出命题,p q 对应的a 的取值范围，再讨论p 真q 假和p 假q 真时a 的范围，即可求解.【详解】对于命题p ，1x =是不等式2260x ax a +->的解，则260a a +->，解得23a -<<，对于命题q ，函数()12x a f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是R 上的减函数，则0112a <-<，解得24a <<， 命题p 与q 中有且仅有一个是真命题，若p 真q 假，则2324a a a -<<⎧⎨≤≥⎩或，解得22a -<≤， 若p 假q 真，则2324a a a ≤-≥⎧⎨<<⎩或，解得34a ≤<， 综上，实数a 的取值范围为(][)2,23,4-⋃.故答案为：(][)2,23,4-⋃.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，属于基础题.19．《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本y （元）与每月分类处理量x （吨）之间的函数关系式可近似表示为220040000y x x =-+，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.（1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低； （2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？【答案】（1）200吨；（2）[100,300].【分析】（1）先列出每吨垃圾分类处理的平均成本关于分类处理量x 的函数关系，再结合重要不等式求最值即可，再运算取等的条件；（2）先列出每月获利S 元与分类处理量x 的函数关系，再求解0S ≥即可得解.【详解】解：（1）由题意可知，每吨垃圾分类处理的平均成本为月处理成本除以月处理量， 即(]40000200,0,300y x x x x=+-∈，又40000400x x +≥= ，当且仅当40000x x =，即200x =时取等号，故200x =时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；（2）设该小区每月获利为S 元，则该小区每月获利为月分类处理垃圾的利润减去月处理成本，22300300(20040000)50040000S x y x x x x x =-=--+=-+-，令2500400000x x -+-≥，解得100400x ≤≤，又0300x <≤，即100300x ≤≤，故要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在[]100,300.【点睛】本题考查了重要不等式的应用及二次不等式的解法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.20．已知函数()()121x f x a a R =-∈+为奇函数． （1）求a 的值；（2）证明：()f x 是R 上的单调递减函数；（3）解不等式：()()2212230f x x f x x x +-+++-->． 【答案】（1）12；（2）证明见解析；（3）()(),13,-∞-+∞.【分析】（1）利用()f x 是R 上的奇函数，知()00f =，即可求得a 的值；（2）用单调性定义证明()f x 是R 上的单调递减，按步骤:一取值，二作差，三定号，四下结论；（3）构造函数()()g x f x x =-，利用()f x 是R 上的奇函数，又是减函数，即可得 ()()212g x x g x +->--，可得212x x x +-<--，解不等式即可.【详解】（1）因为函数()()121x f x a a R =-∈+为奇函数， 所以()010021f a =-=+，解得12a =， （2）由（1）知()()11212x f x a R =-∈+， 设任意的12x x <，()()1212121111112221212121x x x x f x f x ⎛⎫-=---=- ⎪++++⎝⎭()()()()()2121121221212221212121x x x x x x x x +-+-==++++， 因为12x x <，所以21220x x ->，()()1221210x x ++>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >所以()f x 是R 上的单调递减函数；（3）由()()2212230f x x f x x x +-+++--> 得()()()()2211220f x x x x f x x +--+-++-+> 令()()g x f x x =-，则()g x 为R 上的奇函数，且为减函数，所以()()2120g x xg x +-++>， 所以()()()2122g x x g x g x +->-+=--， 因为()g x 为R 上的减函数，所以212x x x +-<--，整理得：2230x x -->，解得：3x >或1x <- 所以不等式的解集为：()(),13,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数的值，考查了利用单调性定义证明函数的单调性，考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.21．设集合G 由所有满足如下条件的函数()f x 组成：对于定义域中的任意x ，都有()f x x ≥成立．（1）试判断()21f x x x =-+是否属于集合G ，并说明理由； （2）已知函数()124224x x g x m x m +=+⋅++-，若函数()g x G ∈，求实数m 的取值范围；（3）已知函数()()21h x x b x c =+++，若对任意的实数b ，都有()h x G ∉，求实数c 的取值范围．【答案】（1）属于，理由见解析；（2）(]),2-∞-⋃+∞；（3）(),2-∞-. 【分析】（1）由221(1)0x x x x -+--≥=恒成立，结合新定义即可判断，从而得出结论； （2）由题意可得124224x x m x m x ++++-恒成立，运用换元法和二次函数的性质，解不等式可得所求范围；（3）考虑()h x G ∈，得出2(1)0x b x b c +-++对任意的x ∈R 恒成立，由0∆≤，可得b ，c 的关系式，再由对任意的实数b ，都有()h x G ∉，可得26140b b c -+->恒成立，结合∆<0，解不等式可得所求范围.【详解】解：（1）2()1f x x x =-+属于集合G ，理由：221(1)0x x x x -+--≥=恒成立，可得21x x x -+≥对x ∈R 成立，所以2()1f x x x =-+属于集合G .（2）函数12()4224x x g x m x m +=+++-，若函数()g x G ∈，则124224x x m x m x ++++-≥，即1242240x x m m +++-，由x ∈R ，可得20x >，可令20x t =>，则222240t mt m ++-，即22()40t m m ++-对0t >恒成立， 可得20240m m -<⎧⎨-⎩或2040m m -⎧⎨-⎩， 解得：2m 或2m -，则m 的取值范围是(]),2-∞-⋃+∞.（3）函数2()(1)h x x b x c =+++，若()h x G ∈，即2(1)x b x c x +++，也即2(1)0x b x b c +-++对任意的x ∈R 恒成立，可得2(1)4()0b b c ∆=--+，化为26140b b c -+-，由于对任意的实数b ，都有()h x G ∉，可得26140b b c -+->恒成立，则364(14)0c ∆=--<，解得：2c <-．-∞-.则实数c的取值范围是(,2)【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，以及一元二次不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2022-2023学年上海金山中学高一(上)期末数学试题及答案
【分析】由题可得 m, n 为方程 x2 − 5x + 1 = 0 的两个不等根，然后根据韦达定理即得.
【详解】因为 m n ，且 m2 − 5m +1 = 0 ， n2 − 5n + 1 = 0 ，
所以 m, n 为方程 x2 − 5x + 1 = 0 的两个不等根，
所以 m + n = 5,mn = 1，
A 赵，钱
B. 钱，孙
C. 孙，李
D. 李，赵
15. 对函数 f ( x) ，如果存在 x0 0 ，使得 f ( x0 ) = − f ( (−x0 ) ，则称 x0, f ( x0 )) 与 (−x0, f (−x0 )) 为函
数图象的一组奇对称点.若 f ( x) = ex − ax + ln a （ e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数 a 的取值范
B. x = 1, y = 2
C. (1, 2)
D. ( x, y) x =1或 y = 2
. 的 14. 四个人做一道选项为 ABCD的选择题，四个同学对话如下：
赵：我选 A ；钱：我选 BCD 当中 一个；孙：我选 C ；李：我选 D ；
四个人每人选了一个选项，而且各不相同，其中只有一个人说谎，则说谎的人可能是谁？（ ）
11. 函数 y = x2 − loga ( x +1) − 4x + 4 ，若 x (1, 2) 时，函数值均小于 0，则实数 a 的取值范围为______. 12. 若函数 g ( x) = 2x2 − x − t ( x − t ) 在区间0, 2 上是严格减函数，则实数 t 的取值范围是______.
围是（ ）
A.
0,
1 e
上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷及答案
上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷一、填空题（本题共36分）1. 已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合{}R x x x B ∈≤-=,012，则=B A _______． 2.已知扇形的圆心角为43π，半径为4，则扇形的面积=S ． 3. 函数12)(-+=x x x f 的定义域是___________. 4. 已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.5.已知31sin =α（α在第二象限），则=++)tan()2cos(απαπ. 6. 已知x x g x x x f -=-=1)(,1)(,则=⋅)()(x g x f . 7. 方程2)54(log 2+=-x x 的解=x . 8. 若函数3212++=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是___________.9.若3132)(--=x x x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围 . 10. 若函数2+-=x bx y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为(2,)+∞，则b a += . 11. 设a 为正实数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，7)(++=xax x f ，若a x f -≥1)( 对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________ .12． 定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合UB A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 . （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()U A A f x f x =-ð （3）()()()A B A B f x f x f x =+ （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅ 二、选择题（本题共12分）13．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是 （ ）A.22)(,)(x x g x x f == B. 22)()(,)()(x xx g x x x f == C. 0)1()(,1)(-==x x g x fD. 3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f14.已知11:<-x α，a x ≥:β，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.0≥aB.0≤aC.2≥aD. 2≤a15．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是 （ ）A. B. C. D.16.定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a b b a a b a ，已知函数x x x f 22)(⊗=，若函数k x f x g -=)()(恰有两个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A.(0,1)B.C.),2[+∞D. ),2(+∞三、解答题（本题共8+8+10+12+14分）17．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--221062x x x x .18.已知不等式）R m mx x ∈<+-(022的解集为{}1,x x n n R <<∈，函数)(2)(2R a ax x x f ∈+-=. （1）求,m n 的值；（2）若()y f x =在]1,(-∞上单调递减，解关于x 的不等式0)23(log 2<-++m x nx a .19. 某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x 件．，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80件时，21()103C x x x =+（万元）.当年产量不小于80件时，10000()511450C x x x=+-（万元）.每件．．商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （件．）的函数解析式； （2）年产量为多少件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20. 设幂函数),()1()(Q k R a x a x f k ∈∈-=的图像过点)2,2(. (1)求a k ,的值;(2) 若函数()()21h x f x b =-+-在]2,0[上的最大值为3，求实数b 的值．21. 已知函数()1log 1ax f x x -=+（其中0a >且1a ≠），()g x 是()2f x +的反函数. （1）已知关于x 的方程()()()log 17amf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当01a <<时，讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）当01a <<，0x >时，关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围.参考答案一、填空题（本题共36分）1. 已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合{}R x x x B ∈≤-=,012，则=B A _{}1,0,1-_． 2.已知扇形的圆心角为43π，半径为4，则扇形的面积Sπ16 ．8. 若函数3212++=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_____.)3,0[9.若3132)(--=x x x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围 .)1,0(10. 若函数2+-=x bx y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为(2,)+∞，则b a += .10- 11. 设a 为正实数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，7)(++=xax x f ，若a x f -≥1)( 对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________ .4≥a12． 定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合UB A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 .（1）（2）（4） （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()UA A f x f x =-ð（3）()()()A B A B f x f x f x =+ （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅二、选择题（本题共12分）13．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是 （ B ）A.22)(,)(x x g x x f == B. 22)()(,)()(x xx g x x x f == C. 0)1()(,1)(-==x x g x f D. 3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f 14.已知11:<-x α，a x ≥:β，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是( B ) A.0≥aB.0≤aC.2≥aD. 2≤a15．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是 （ A ）A. B. C. D. 16.定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a b b a a b a ，已知函数xx x f 22)(⊗=，若函数k x f x g -=)()(恰有两个零点，则实数k 的取值范围为 （ D ） A.(0,1) B.]2,1( C.),2[+∞ D. ),2(+∞ 三、解答题（本题共8+8+10+12+14分）17．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--221062x x x x .解：解062≥--x x 得：2-≤x 或3≥x ；解221>-+x x 得52<<x ；即不等式组的解集为)5,3[。
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。
2019-2020学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，1-6题每空填对得4分，7-12题每空填对得5分，否则一律得0分．1．（3分）函数()f x =的定义域是 ． 2．（3分）已知集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈，则用列举法表示集合A = ． 3．（3分）已知x ，y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ． 4．（3分）函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点 ． 5．（3分）方程4260x x --=的解为 ．6．（3分）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为 ．7．（3分）若集合2{|10}A x ax ax =-+==∅，则实数a 的取值范围是 ． 8．（3分）已知函数()f x 的对应关系如表：若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为 ．9．（3分）已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞为减函数，且f （2）0=，则不等式()0x f x g …的解集为 ．10．（3分）已知函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+，对于任意的[]11,1x ∈-都能找到[]21,1x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围是 ．11．（3分）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-⎩…，若函数(43)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．12．（3分）将函数11|1||2|122y x x =-+-+的图象绕原点顺时针方向旋转角(0)2πθθ剟得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．02y =与x y x=B ．1y =±与||x x y x=C ．2y x x =+与1y x x =+D ．1y x =+与33(1)y t =+14．（5分）设a 、b 均为非零实数，则“1b a <”是“1ab>”的什么条件？( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象( ) A ． B ．C ．D ．16．（5分）设函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[a ，]b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[a ，]b 上是单调函数；②()f x 在[a ，]b 上的值域是[2a ，2]b ，则称区间[a ，]b 是函数()f x 的“和谐区间”．下列结论错误的是( ) A ．函数2()(0)f x x x =…存在“和谐区间” B ．函数()()x f x e x R =∈不存在“和谐区间” C ．函数24()(0)1xf x x x =+…存在“和谐区间” D ．函数1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠不存在“和谐区间”三、解答题（本大题共有5题，满分38分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（8分）已知集合{|2x A y y ==-，[2x ∈，3]}，{|()(3)0}B x x a x a =-++>， （1）当4a =时，求A B I ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．18．（8分）已知不等式230x x m -+<的解集为{|1x x n <<，}n R ∈，函数2()1f x x ax =-++．（1）求出m ，n 的值；（2）若()y f x =在(-∞，1]上递增，解关于x 的不等式2log (32)0a nx x m -++-<． 19．（8分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元），若年产量不足80千件，()C x 的图象是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30,0)-，且()C x 的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完； （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．（6分）设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值（2）判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[2，4]上的每一个x 值，不等式1()()3x f x x m +>+恒成立，求实数m 的取值范围．21．（8分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x=． （1）求a ，b 的值（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -…在[2x ∈，4]上有解，求实数k 的取值范围； （3）若2(|21|)30|21|x x f k k -+-=-g 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．2019-2020学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，1-6题每空填对得4分，7-12题每空填对得5分，否则一律得0分．1．（3分）函数()f x =的定义域是 {|2x x -…且1}x ≠ ． 【解答】解：由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+⎩…，解得，1x ≠且2x -…；故函数的定义域为：{|2x x -…且1}x ≠， 故答案为：{|2x x -…且1}x ≠．2．（3分）已知集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈，则用列举法表示集合A = {1，2} ． 【解答】解：由集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈可得， 条件等价于集合{|03A x x =<<，*}{1x N ∈=，2}． 故填：{1，2}．3．（3分）已知x ，y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 3 ．【解答】解：因为0x >，0y >，所以1234x y =+厖34x y =，即32x =，2y =时取等号），1，3xy …． 故答案为：34．（3分）函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点 (2019,2021)- ． 【解答】解：对于函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠， 令20190x +=，求得2019x =-，2020y =， 可得它的图象恒过定点(2019,2020)-， 故答案为：(2019,2020)-．5．（3分）方程4260x x --=的解为 2log 3x = ． 【解答】解：由4260x x --=，得2(2)260x x --=，解得23x =，或22x =-（舍去）， 2log 3x ∴=．故答案为：2log 3x =．6．（3分）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为 4 ．【解答】解：设幂函数()y f x x α==，R α∈； 其图象过点1(4,)2，所以142α=，解得12α=-；所以12()f x x -=，所以112211()()1641616f -===．故答案为：4．7．（3分）若集合2{|10}A x ax ax =-+==∅，则实数a 的取值范围是 [0，4) ． 【解答】解：由题意知，△240a a =-<或0a =． 解得04a <…．即实数a 的取值范围是[0，4)． 故答案是：[0，4)．8．（3分）已知函数()f x 的对应关系如表：若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为 {2-，1，3，5} ．【解答】解：由已知可得：(2)3f -=，(1)2f -=-，(0)1f =，f （1）5=，f （2）m =，Q 函数()f x 不存在反函数，则m 的值只可以为：2-，1，3，5，否则存在反函数． ∴实数m 的取值集合为{2-，1，3，5}．故答案为：{2-，1，3，5}．9．（3分）已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞为减函数，且f （2）0=，则不等式()0x f x g …的解集为 {|2x x …或2x -…或0}x = ．【解答】解：因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞为减函数，且f （2）0=， 所以函数在(0,)+∞上单调递减且(2)0f -=，(0)0f =， 由不等式()0x f x g …可得，0()0x f x >⎧⎨⎩…或0()0x f x <⎧⎨⎩…或0x =，解可得，2x …或2x -…或0x =．故不等的解集为{|2x x …或2x -…或0}x =， 故答案为：{|2x x …或2x -…或0}x =．10．（3分）已知函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+，对于任意的[]11,1x ∈-都能找到[]21,1x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围是 [2-，6] ． 【解答】解：Q 函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+， 1[1x ∴∈-，1]时，()f x 的值域就是[2a -，2]a +要使上述范围内总能找到2x 满足21()()g x f x =， 即()g x 的值域要包含[2a -，2]a +，()g x Q 是一个二次函数，在[1-，1]上单调递减，∴值域为[4-，8]，因此2428a a --⎧⎨+⎩……，解得26a -剟． 故答案为：[2-，6]．11．（3分）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-⎩…，若函数(43)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 (2，3] ． 【解答】解：当0x >时，1()f x x x=+，由对勾函数的性质可得函数在(0,1)上单调递减， 在区间(1,)+∞上单调递增，当1x =时，函数取到极小值f （1）2=；当0x …时，1()4()2x f x =-，函数()f x 单调递增，则()(0)3f x f =…，令43t x =-，结合一次函数的性质，满足题意时，()y f t a =-恰好有三个不同的零点，原问题可转化为函数()y f t =与函数y a =的图象有3个不同的交点，据此可得实数a 的取值范围是23a <…． 故答案为：23a <…．12．（3分）将函数11|1||2|122y x x =-+-+的图象绕原点顺时针方向旋转角(0)2πθθ剟得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是 [0，)4π．【解答】解：先画出函数11|1||2|122y x x =-+-+的图象由图可知当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于4π时， 曲线C 都不是一个函数的图象 故答案为：[0，)4π．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是( ) A ．02y =与xy x=B ．1y =±与||x x y x=C ．2y x x =+与1y x x =+D ．1y x =+与33(1)y t =+【解答】解：A ．021y ==，定义域为R ，1xy x==，(0)x ≠，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B ．||||x x y x x==，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数； C ．由20x x +…得0x …或1x -…，即定义域为(-∞，1][0-U ，)+∞， 由010x x ⎧⎨+⎩……得01x x ⎧⎨-⎩……，得0x …，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．D ．33(1)1y t t =+=+，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；故选：D ．14．（5分）设a 、b 均为非零实数，则“1b a <”是“1ab>”的什么条件？( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：当1b =-，1a =时，满足1b a <，但1ab>不成立． 若1ab>，则0a b >，∴01ba<<， ∴1ba<成立． ∴ “1b a <”是“1ab>”成立的必要不充分条件． 故选：B ．15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：22221222x x x x x ln xln y --'==， 令0y '>，解得：12x ln <，令0y '<，解得：12x ln >，故函数在1(,)2ln -∞递增，在1(2ln ，)+∞递减， 而0x =时，函数值0y =，x →-∞时，y →-∞，x →+∞时，0y →，故选：A ．16．（5分）设函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[a ，]b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[a ，]b 上是单调函数；②()f x 在[a ，]b 上的值域是[2a ，2]b ，则称区间[a ，]b 是函数()f x 的“和谐区间”．下列结论错误的是( ) A ．函数2()(0)f x x x =…存在“和谐区间” B ．函数()()x f x e x R =∈不存在“和谐区间” C ．函数24()(0)1xf x x x =+…存在“和谐区间” D ．函数1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠不存在“和谐区间”【解答】解：函数中存在“倍值区间”，则：①()f x 在[a ，]b 内是单调函数；②()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩或()2()2f a b f b a=⎧⎨=⎩． A ．若2()(0)f x x x =…，若存在“倍值区间” [a ，]b ， 则此时函数单调递增，则由()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩，得2222a a b b ⎧=⎨=⎩，∴02a b =⎧⎨=⎩，2()(0)f x x x ∴=…存在“倍值区间” [0，2]，A ∴正确．B 若()()x f x e x R =∈，若存在“倍值区间” [a ，]b ，则此时函数单调递增，则由()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩，得22a b e a e b ⎧=⎨=⎩，即a ，b 是方程2x e x =的两个不等的实根， 构建函数()2x g x e x =-，()2x g x e ∴'=-，∴函数在(,2)ln -∞上单调减，在(2,)ln +∞上单调增， ∴函数在2x ln =处取得极小值，且为最小值．(2)220g ln ln =->Q ， ()0g x ∴>，20x e x ∴-=无解，故函数不存在“倍值区间”， B ∴正确． C ．若函数24()(0)1xf x x x =+…， 222224(1)424(1)(1)()(1)(1)x x x x x f x x x +-+-'==++g ， 若存在“倍值区间” [a ，][0b ⊆，1]， 则由()2()2f a a f b b =⎧⎨=⎩，得22421421aa ab b b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，0a ∴=，1b =，即存在“倍值区间” [0，1]，C ∴正确．D ．若函数1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠．不妨设1a >，则函数在定义域内为单调增函数， 若存在“倍值区间” [m ，]n ，则由()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩，得1()281()28ma n alog a m log a n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即m ，n 是方程1log ()28x a a x -=的两个根，即m ，n 是方程2108x x a a -+=的两个根， 由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间” [m ，]n ，D ∴结论错误． 故选：D ．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知集合{|2x A y y ==-，[2x ∈，3]}，{|()(3)0}B x x a x a =-++>，（1）当4a =时，求A B I ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）{|84}A y y =--剟，4a =时，{|(4)(7)0}{|7B x x x x x =-+>=<-或4}x >， [8A B ∴=-I ，7)-；（2）{|()[(3)]0}B x x a x a =---->，且A B ⊆，①3a a =--，即32a =-时，3{|}2B x x =≠-，满足A B ⊆； ②3a a >--，即32a >-时，{|3B x x a =<--或}x a >， ∴3237a a ⎧>-⎪⎨⎪---⎩…，解得342a -<…， ③3a a <--，即32a <-时，{|B x x a =<或3}x a >--， ∴32738a a a ⎧<-⎪⎨⎪---<-⎩或…，解得372a -<-…， ∴综上得，实数a 的取值范围为[7-，4]．18．（8分）已知不等式230x x m -+<的解集为{|1x x n <<，}n R ∈，函数2()1f x x ax =-++． （1）求出m ，n 的值；（2）若()y f x =在(-∞，1]上递增，解关于x 的不等式2log (32)0a nx x m -++-<．【解答】解：（1）不等式230x x m -+<的解集为{|1x x n <<，}n R ∈，所以1和n 是方程230x x m -+=的两根，所以13013m n -+=⎧⎨+=⎩， 解得2m =，2n =；（2）若2()1y f x x ax ==-++在(-∞，1]上递增， 所以12a …，解得2a …； 所以关于x 的不等式2log (32)0a nx x m -++-<可化为2023221x x<-++-<，等价于22230 2310x xx x⎧-<⎨-+>⎩，解得3 02112xx x⎧<<⎪⎪⎨⎪⎪⎩或；所以不等式的解集是13(0,)(1,)22U．19．（8分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本()C x （万元），若年产量不足80千件，()C x的图象是如图的抛物线，此时()0C x<的解集为(30,0)-，且()C x的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x xx=+-，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润()L x（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）Q每件商品售价为0.005万元，x∴千件商品销售额为0.0051000x⨯万元，①当080x<<时，根据年利润=销售收入-成本，2211()(0.051000)102504025033L x x x x x x∴=⨯---=-+-；②当80x…时，根据年利润=销售收入-成本，1000010000()(0.051000)5114502501200()L x x x xx x∴=⨯--+-=-+．综合①②可得，2140250,0803()100001200(),80x x xL xx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩…；（2）由（1）可知，2140250,0803()100001200(),80x x xL xx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩…；①当080x <<时，2211()40250(60)95033L x x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，()L x 取得最大值(60)950L =万元；②当80x …时，10000()1200()120012002001000L x x x =-+--=…， 当且仅当，即100x =时，()L x 取得最大值(100)1000L =万元．综合①②，由于9501000<，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．20．（6分）设131()log 1ax f x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值 （2）判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[2，4]上的每一个x 值，不等式1()()3x f x x m +>+恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由131()log 1ax f x x -=-为奇函数，可得()()0f x f x -+=， 即1113331111log log log 01111ax ax ax ax x x x x +-+-+==------g ， 即11111ax ax x x +-=---g ，即有22211a x x -=-， 则21a =，可得1a =±，当1a =时，131()log 1x f x x -=-不存在，舍去1a =， 故1a =-；（2）函数131()log 1x f x x +=-在(1,)x ∈+∞上为增函数， 理由：由132()log (1)1f x x =+-，可令211t x =+-，13()log f x t =， 由于211t x =+-在(1,)+∞上递减，而13()log f x t =在0t >递减， 则131()log 1x f x x +=-在(1,)x ∈+∞上为增函数； （3）对于区间[2，4]上的每一个x 值，不等式1()()3x f x x m +>+恒成立， 即为1()()3x m f x x <+-在[2，4]恒成立， 可令1311()log ()13x x g x x x +=+--，由131()log 1x f x x +=-在[2x ∈，4]上为增函数，1()3x y x =-在[2x ∈，4]上为增函数， 故()y g x =在[2x ∈，4]上为增函数，可得()g x 的最小值为g （2）213118log 32()12399=+-=-+-=， 则89m <． 21．（8分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x=． （1）求a ，b 的值（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -…在[2x ∈，4]上有解，求实数k 的取值范围；（3）若2(|21|)30|21|x x f k k -+-=-g 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解答】解：（1）函数22()21(1)1g x ax ax b a x b a =-++=-++-，因为0a >，所以()g x 在区间[2，3]上是增函数，故(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩，即11314b a b +=⎧⎨++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩； （2）由（1）可得2211()2x x f x x x x-+==+-， 不等式22(log )2log 0f x k x -…在[2x ∈，4]上有解， 等价为2221log 22log x k x log x +-…在[2x ∈，4]上有解， 即2221221()k log x log x -+…在[2x ∈，4]上有解， 令21t log x =，则2221k t t -+…，[2x ∈Q ，4]，1[2t ∴∈，1]， 则函数2()21m t t t =-+在1[2t ∈，1]递减，可得()m t 的最大值为11()24m =， 则124k …，即18k …； （3）原方程可化为2|21|(32)|21|(21)0x x k k --+-++=，可令|21|x t =-，则0t >，由题意可得2(32)(21)0t k t k -+++=有两个不等实根1t ，2t ， 其中101t <<，21t >或101t <<，21t =，设2()(32)(21)h t t k t k =-+++，则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩， 解得0k >或k ∈∅，则k 的取值范围是(0,)+∞．。
上海市金山中学2019_2020学年高一数学上学期9月月考试题(含解析)
上海市金山中学2019-2020学年高一数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题 1.函数32y x =-的定义域是______【答案】{|2}x R x ∈≠【解析】 【分析】利用分母不为0，列不等式求解。
【详解】解：由已知20x -≠，即2x ≠， 故答案为：{|2}x R x ∈≠.【点睛】本题考查函数的定义域，注意分母不为0，是基础题。
2.不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是______． 【答案】310【解析】 【分析】直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一个球恰好为红球的概率．【详解】∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同， ∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：3323510=++，故答案为：310．【点睛】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比． 3.如图，AB 是O 直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与O 相切于点D ，若25A ∠=︒，则C ∠的度数是______.【答案】40【解析】【分析】由OA＝OD可得∠ODA，根据三角形外角性质可得∠COD，由切线的性质可得∠CDO，即可求∠C 的度数．【详解】连接OD，∵AO＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A＋∠ADO，∴∠COD＝50°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C＋∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故答案为：40．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．4.某班的中考英语口语考试成绩如表：则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多______分． 【答案】1 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，找出众数和中位数即可．【详解】解：这组数出现次数最多的是29； ∴这组数的众数是29． ∵共40人，∴中位数应是第20和第21人的平均数， 位于最中间的数是28，28， ∴这组数的中位数是28，∴该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多29−28＝1分， 故答案为：1．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．5.若二次函数21y ax bx =--的图象经过点()2,1，则代数式20192a b -+的值等于______．【答案】2018 【解析】 【分析】首先根据二次函数21y ax bx =--的图象经过点()2,1得到,a b 关系，再整体代值计算即可．【详解】解：∵二次函数21y ax bx =--的图象经过点()2,1，4211a b ∴--=，21a b ∴-=，201922019(2)201912018a b a b -+=--=-=，故答案为：2018．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算，此题比较简单．6.如图，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，2AB km =．若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为______km ．（结果保留根号）【答案】13+ 【解析】 【分析】作CD AB ⊥，设CD x =，根据45CBD BCD ∠=∠=，知BD CD x ==，2AD AB BD x =+=+，由tan CDCAD AD∠=列出关于x 的方程，解之可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=，设BD CD x ==， 又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=，23x x ∴=+，解得：1x =+ 所以船C 离海岸线l距离为(1+，故答案为：1+【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义及其应用来解题． 7.在实数范围内分解因式5416m m -=______． 【答案】()(242m m m m +【解析】 【分析】首先提取公因式，然后利用公式进行分解因式。
上海市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．若扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的面积是__________ 2π【答案】2π【分析】根据扇形面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，扇形的面积为.12π22π2⨯⨯=故答案为：2π2．已知一元二次方程的两个实根为，则____ 20(0)x ax a a --=>12x x 、1211x x +=【答案】1-【分析】先利用韦达定理得到，再由代入即可求解.1212,x x x x +12121211x xx x x x ++=【详解】因为一元二次方程的两个实根为， 20(0)x ax a a --=>12x x 、所以. 1212,x x a x x a +==-故121212111x x a x x x x a++===--故答案为： 1-3．函数的定义域是__________. 22log 1x y x +=-【答案】(,2)(1,)-∞-+∞ 【分析】先利用对数式中真数为正得到，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解. 201x x +>-【详解】要使有意义，须， 22log 1x y x +=-201x x +>-即，解得或， (2)(1)0x x +->1x ><2x -即函数的定义域是. 22log 1x y x +=-(,2)(1,)-∞-+∞ 故答案为：.(,2)(1,)-∞-+∞4．已知，则__________cos160m = tan20= 【答案】【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求得的值，进而求得的值. sin20 cos20 【详解】因为，所以， cos160m = cos20cos160m=-=-所以，sin 20=== 所以sin 20tan 20cos 20===故答案为：5．定义且，若，则______{A B xx A -=∈∣}x B ∉{}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B ==()()A B B A -⋃-=【答案】{}1,2,7,9【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果.{}1,7,9A B -={}2B A -=【详解】根据集合且的定义可知， {A B xx A -=∈∣}x B ∉当时，可得，； {}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B =={}1,7,9A B -={}2B A -=所以 ()(){}1,2,7,9A B B A -⋃-=故答案为：{}1,2,7,96．将函数的图象向左平移__________个单位可得到函数的图象. 2x y =32x y =⋅【答案】2log 3【分析】根据指数对数的运算知，即可求解. 22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅【详解】因为，22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅所以将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象. 2x y =2log 332x y =⋅故答案为：2log 37．当，时，则的最小值是__________． lg lg a b =()a b ≠13a b+【答案】【分析】由且，得出，用均值不等式即可得出答案． lg lg a b =a b ¹1ab =【详解】，且，而函数在上单调递增，lg lg a b = a b ¹lg y x =()0,+∞，即，且，，lg lg lg 0ab a b ∴=+=1ab =0a >0b >， 13a b ∴+≥=当且仅当，即13a b =b =a =故答案为：8．已知关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围___________.x 265x x a -+=a 【答案】.(0,4)【分析】由题知转化为函数与有个不同的交点，画出函数的图265y x x =-+y a =4265y x x =-+像即可求出的取值范围.a 【详解】方程有四个不相等的实数根，265x x a -+=等价于函数与有个不同的交点.265y x x =-+y a =4由函数的图像知：265y x x =-+的取值范围为：.a 04a <<故答案为：(0,4)【点睛】本题主要考查方程的根的问题，转化为函数的交点问题为解题的关键，属于中档题.9．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数．若存在三个点、、，使得为等边三角11(,())A x D x 22(,())B x D x 33(,())C x D x ABC A 形，则________． 123()()()D x D x D x ++=【答案】1【分析】由狄利克雷函数分析得出的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案．ABC A 【详解】，1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数或1，∴()0D x =存在三个点、、，使得为等边三角形，11(,())A x D x 22(,())B x D x 33(,())C x D x ABC A 不同时为0或1，∴123(),(),()D x D x D x 不妨设，123x x x <<分析得的位置有两种情况，ABC A第一种情况：当为有理数时，即，如图，1x 1()1D x =过点作，垂足为，得，，B BD AC ⊥D 1BD =AD =AB AC BC ===可知，为无理数， 211x x AD x =+=31x x =即，，与图形不一致，舍去； 2()0D x =3()0D x =第二种情况：当为无理数时，即，如图，1x 1()0D x =过点作，垂足为，得，，B BD AC ⊥D 1BD =AD =AB AC BC ===可知，， 211x x AD x =+=31x x =存在，且 1x =210Q x x ==∈31x x ==即，与图形一致，符合题意， 2()1D x =3()0D x =此时，，123()()()0101D x D x D x ++=++=故答案为：1． 10．已知函数在是严格增函数，在上为严格减函数，若对任意()1ln xf x x+=(]0,1[)1,+∞，都有，则k 的取值范围是_________()0,x ∞∈+e x x k ≤【答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出的最大值，对两边取自然对数，ln x x -e x x k ≤分离，利用不等式恒成立求解即可. ln k 【详解】因为在是严格增函数，在上为严格减函数， ()1ln xf x x+=(]0,1[)1,+∞所以. 1ln ()(1)1xf x f x+=≤=由，可得，0x >ln 1x x -≤- 又时，由可得， ()0,x ∞∈+e x x k ≤ln ln(e )ln x x k k x ≤=+即恒成立， ln ln x x k -≤所以，即.ln 1k ≥-1ek ≥故答案为：1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二、单选题11．若为第三象限角，则（ ） αA ． B ． C ． D ．cos 20α>cos20α<sin 20α>sin 20α<【答案】C【解析】利用为第三象限角，求所在象限，再判断每个选项的正误. α2α【详解】因为为第三象限角，所以， α3222k k πππαπ+<<+()k Z ∈可得 ， 24234k k ππαππ+<<+()k Z ∈所以是第第一，二象限角， 2α所以，不确定， sin 20α>cos 2α故选：C【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.12．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若R ()y f x =,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅则.以下选项表述不正确的是（ ）x y ≠()()f x f y ≠A ．在上是严格增函数 B ．若，则()y f x =R (3)10f =(6)100f =C ．若，则 D ．函数的最小值为2(6)100f =1(3)10f -=()()()F x f x f x =+-【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不()f x 等式求解判断D 作答.【详解】任意，恒成立，,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅且，假设，则有，R a ∈0a ≠()0f a =(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，，2a a ≠x y ≠()()f x f y ≠R a ∈0a ≠()0f a ≠取，有，则，于是得，，0,0x a y =≠=()()(0)f a f a f =⋅(0)1f =R x ∀∈()0f x ≠，，，R x ∀∈2()([()]0222x x x f x f f =+=>()()(0)1f x f x f ⋅-==对于A ，函数，，，1()()2xf x =,x y ∀∈R 111()()()()()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，x y ≠()()f x f y ≠1()()2xf x =R A 不正确；对于B ，，则，B 正确；(3)10f =(6)(3)(3)100f f f =⋅=对于C ，，则，而，有，又，因此(6)100f =(3)(3)100f f ⋅=(3)0f >(3)10f =(3)(3)1f f ×-=，C 正确； 1(3)10f -=对于D ，，，则有，()()1f x f x ⋅-=()0f x >()()()1F x f x f x =+-³=当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D 正确. ()()1f x f x =-=0x =()()()F x f x f x =+-故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.13．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒感染累计人数（的单位:天）的Logistic 模型:其中为最大病毒感()I t t ()()0.23531e t K I t --=+K 染数.当时，标志着该地区居民工作生活进入稳定窗口期.在某地区若以2022年12月()0.95I t K ≥15日为天，以Logistic 模型为判断依据，以下表述符合预期的选项是（ ） 1t =A ．该地区预计2023年元旦期间进入稳定窗口期; B ．该地区预计2023年1月底进入稳定窗口期; C ．该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期; D ．该地区预计2023年某时刻不起再有新冠病毒感染者. 【答案】C【分析】根据条件列不等式，解指数型不等式即可. 【详解】由题意知，，0.23(53)0.951et K K --≥+即：， 0.23(53)201e19t --+≤所以， ln19353535313660.230.23t ≥+≈+≈+=因为以2022年12月15日为天，所以天，即预计2023年2月18日后该地区进入稳定窗1t =66t ≥口期，即该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期.故选：C.14．已知函数，定义域为，值域为.则以下选项正确的是（ ）()()23log 2f x mx x m =-+A B A ．存在实数使得 m R A B ==B ．存在实数使得 m R A B =⊆C ．对任意实数 10,m A B -<<⋂≠∅D ．对任意实数 0,m A B >⋂≠∅【答案】D【分析】设，考虑，，，，，几种情22y mx x m =-+1m >1m =01m <<0m =10m -<<1m ≤-况，分别计算集合和，再对比选项得到答案..A B 【详解】设，当，即时， 22y mx x m =-+2440m ∆=->11m -<<设对应方程的两根为，，不妨取，1x 2x 12x x <当时，，，且； 1m >2440m ∆=-<R A =R B ≠B ≠∅当时，，；1m =()(),11,A =-∞+∞ R B =当时，，，； 01m <<2440m ∆=->()()12,,A x x =-∞+∞ R B =当时，，；0m =(),0A =-∞R B =当时，，，，故；10m -<<2440m ∆=->()12,A x x =max 1y m m =-31,log B m m ⎛⎤⎛⎫=-∞- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦当时，函数无意义.1m ≤-对选项A ：根据以上情况知不存在的情况，错误； R A B ==对选项B ：根据以上情况知不存在的情况，错误； R A B =⊆对选项C ：假设任意实数，， 10m -<<A B ⋂≠∅取，解得，则， 119m m -=m =(],2B =-∞-对于，有220mx x m -+=1x =此时应满足，解得， 12x =<-405m -<<易得，错误； m =A B ⋂=∅对选项D ：根据以上情况知对任意实数，正确； 0,m A B >⋂≠∅故选：D【点睛】关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和的正负讨论的范围，进而计算集合∆a A 和是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握.B三、解答题15．如图所示：角为锐角，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点ααx ，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 2,cos 3P α=OP O π2()11,Q x y(1)求的值; tan α(2)求的值. 1y【答案】 (2) 23【分析】（1）确定，计算得到答案.sin 0α>sin α=sin tan cos ααα=（2）设终边对应的角度为，则，，计算得到答案. OQ βπ2βα=+1cos y α=【详解】（1）角为锐角，，，则， αsin 0α>2cos 3α=sin α===sin tan cos ααα==（2）设终边对应的角度为，，OQ βπ,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，π2βα=+1π2sin sin cos 23y βαα⎛⎫==+== ⎪⎝⎭16．集合{为严格增函数}.S =()()(),0,f x f x x y x∈+∞=∣()()2121(0),(0)f x x x f x x x =+>=>(1)直接写出是否属于集合 ()()12,f x f x ;S (2)若.解不等式：()m x S ∈()()223223ee e e xxxx m m -+⋅<⋅(3)证明：“”的充要条件是“” ()()()()120H x af x bf x ab =+≠()H x S ∈0,0b a ><【答案】(1)不属于集合，属于集合 ()1f x S ()2f x S (2) ()3,1-(3)证明见解析【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）由，可得函数为增函数，不等式，即为不等式()m x S ∈()m x y x=()()223223e ee e x x xx m m -+⋅<⋅，再根据函数的单调性解不等式即可；()()222332e e e e x xxxm m ++<（3），即函数在定义域内为增函数，根据函数的单调性结合充分条件和必要条()H x S ∈()H x y x=件的定义证明即可. 【详解】（1）因为在定义域内为减函数， ()()1110f x y x x x==+>所以不属于集合， ()1f x S 因为在定义域内为增函数， ()()20f x y x x x==>所以属于集合； ()2f x S （2）不等式，()()223223ee ee xxxx m m -+⋅<⋅即为不等式，()()222332e e e e x xxxm m ++<因为， ()m x S ∈所以函数为增函数， ()m x y x=所以，223e e xx+<所以，解得， 223x x +<31x -<<所以不等式的解集为；()()223223ee ee xxxx m m -+⋅<⋅()3,1-（3），()()()()2120H x af x bf x bx ax a ab =+=++≠则， ()()0H x abx a x x x=++>令， ()()0ag x bx a x x=++>当，则在上递增， ()H x S ∈()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+令，120x x <<则对任意的恒成立，()()210g x g x -≥12,x x ()()2121212112a x x a abx a bx a b x x x x x x -⎛⎫++-++=-- ⎪⎝⎭恒成立，()()211212x x bx x a x x --=≥即恒成立， 120bx x a -≥因为，所以， 0ab ≠0,0a b ≠≠当时，恒成立， 0b >12ax x b ≥因为，所以， 120x x >0ab≤又，所以， 0,0b a >≠a<0当时，恒成立， 0b <12ax x b≤因为没有最大值，所以不恒成立，与题意矛盾， 120x x >12ax x b≤综上所述，当在上递增时，， ()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+0,0b a ><当时， 0,0b a ><则函数在上都是增函数， ,ay bx y a x==+()0,∞+所以函数在上是增函数， ()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+综上所述，“”的充要条件是“”.()H x S ∈0,0b a ><【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于把握新定义的含义，以及函数单调性的判定及利用函数的单调性解不等式.。