阿氏圆作法及应用(20201124095748)

阿氏圆几何画板作法及应用

我们知道，到两定点 F 1、F 2 的距离之和为定值（大于 F 1F 2）的点 M 的轨迹为椭圆，而距离之差为定值

（小于 F 1F 2）的点 M 的轨迹为双曲线，那么圆是否有相类似的结论呢？答案是肯定的，事实上满足到两定

点 F 1、F 2 的距离之比为定值 t(t>0 且 t ≠ 1) 点 M 的轨迹为圆， 这个结论是阿波罗尼 (Apollonius

，约前 260～

前 190) 发现的，所以往往称为阿波罗尼圆。但圆的这一性质比较“隐晦” ，为帮助学生直观理解需要我们

创设“所见即所得”的教学情境，本文以几何画板 5.0 为例谈谈在画板环境中阿波罗尼圆的构造方式，并

与读者分享画板中自定义工具功能的实现与应用。

一、阿波罗尼圆的画板实现

1. 几何构造法实现阿波罗尼圆

步骤 1、构造一直线上两点 F 、 F ，新建参数 t ，其初值赋为 2；

1

2

步骤 2、度量计算

t 并标记为比

值，双击

t

1

点 F 标记为中心， 选中 F 按标记比值缩放

得 到 点

1

2

P ；

步骤 3、度量计算

t 并标记为比

值，双击

t

1

点 F 标记为中心， 选中 F 按标记比值缩放

得到点得

1 2

到点 Q ；

图 1

步骤 4、构造线段 PQ 并构造线段 PQ

的 中 点

C ，以 C 为圆心以 P 为圆上一点构造圆 C 。

试试效果如何？取圆

C 上任意一点 M 构造线段 MF 1、MF 2，并先后选中两线段度量比值，拖动点 M 会

发

现比值不变并且与参数 t

值恒相等（如图 1 所示）。

2. 解析构造法实现阿波罗尼圆

步骤 1、在 x 轴上任取两点 F 1、 F 2，

度量其横

坐标将标签分别设为 x 1、 x 2，新建参数 t 初值赋为

3；

步骤 2、计算

x 1

tx 2 ，选中后点击 〖绘图〗

1 t

菜单中的〖在轴上绘制点〗命令，在弹出 窗口中选

择“绘制”按纽得到点

P ；

图 2

步骤 3、计算

x 1

tx 2 ，重复步骤 2 可得到点 Q ；

1 t

步骤 4、同方法一，以

PQ 为直径构造圆 C 。

我们也可仿照方法一验证效果（如图 2 所示）。

3. 实现方法构造详解及比较

从以上构造过程我们可以发现，确实阿波罗尼圆关键在于找到

圆与直线 F F 的交点 P 、Q （因为圆 C 以 PQ 为直径）。事实上， P 、 Q 两点一个在

线段 FF 内

1 2

1

2

一个在线段 F 1F 2 外，于是这两个点便称为圆的内分点、外分点；更进 一步地，如 果参数 t>1 ，则 Q 点在 F 1F 2 的延长线上，此时圆 C 偏向 F 2 一侧；如果

0

图3

点在 F1F2的反向延长线上，此时圆 C 偏向 F1一侧。这样，我们可以将实现阿波罗尼圆问题界定为“知三求

二”问题：三条件（定点 F1、F2、定值 t ）确实两结论（内分点 P、外分点 Q），而确定 P、 Q点的位置恰是构造的重点和难点。

【评注】方法一将点F2以 F1为中心进行放缩属于几何构造，而放缩比例分别确定为

t t

、却t 1t1

是考虑到F

1

P

1t 的缘故；方法二则是解析法计算，为将问题简化，我们将F

1、F2限定在了x轴上，

FQ

PF2QF2

设 F1(x 1,0) 、F2(x 2,0)、 P(x,0)，由F1 P x x11tx1

，这样便可确定点 P，同理可得PF2

t 可得

x

t 从而 x

t

x21

到点 Q。两种构造方法本质上是一致的，都用到了定比分点公式，相比较而言方法一略显繁琐。

二、自定义工具的创设及应用

1．自定义工具的创设

以方法 1 为例，先后选中参数值t 、点 F1、点 F2和圆 C，点击工具栏中的自定义工具选项，弹出窗口

中选择创建新工具（如图 3 所示）；在弹出“新建工具”窗口的〖工具名称〗中输入“阿波罗尼圆”点击

确实即可。

如果在“新建工具”窗口中勾选显示脚本视图（如图 4 所示），我们会发现“阿波罗尼圆”工具的

先决条件为度量结果t 、点 F1、 F2，只要给定这三个先决条件便可得到相应的阿波罗尼圆C，简而言之相当于由条件“度量结果t 、点 F 、 F ”便可得到结论“圆C”。需要强调的是：一方面创设工具时要关注 F 、

121 F2的选中的先后顺序，如果顺序错了得到的结果就“南辕北辙”了；另一方面如果在创建工具过程中同时

选中“点 C、线段

MF2”的话，我们会

也多了相应的结妨一

试；同时，对构造而

言，因为构赖于坐标

系，所以时选择对象

应包括样需要选中轴

x、

值t 、点 F1、点 F2

在“脚本视图”中条

件只有“轴 y、结果

t ”（如图 5 所

因在于在工具的操作步骤中画板将点2．自定义工具的应用举例案

例（ 2009 年江苏高考第

图4

F1、 F2设置为自由点了。

18 题的推广）：圆 C1和圆 C2的半径分别为

MF、线段

1

发现结论中

果，读者不

于方法二的

造过程中依

在创新工具

坐标轴，这

轴 y、参数

和圆 C，但

出现的先决

图 5

轴 x、度量

示），究其原

r 1、 r 2，则平面上存在两个点P

满足：过点 P 有无穷多对夹角为的直线 l 1和 l 2，它们分别与圆C1和圆 C2相交，且直线 l 1被圆 C1截得的

2

r1。

弦长与直线 l 2被圆 C2截得的弦长比值为

r2

步骤 1、构造线段 r 1、 r 2，点 C1、点 C2；以 C1为圆心 r 1为半径构造圆 C1，同理得到圆 C2，度量 r 1与

r 2的线段长的比值并将标签修改为t ；