人教版八年级数学下册第十七章勾股定理
2023-2024学年人教版八年级数学下册课件17.1 勾股定理第1课时 勾股定理
( D ) .
A.6
32
B.
5
18
C.
5
24
D.
5
图17.1-3
5.如图17.1-4，在Rt △ 中，∠ = 90∘ ，
∠ = 30∘ ，垂直平分斜边，交于点，是
垂足，连接.若 = 2，则的长是( C ) .
A.4
B.8
C.4 3
D.2 3
图17.1-4
6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是
我国古代数学的骄傲.如图17.1-5所示的“赵爽弦图”是由
四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正
方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长
为，若 +
2
图17.1-5
= 21，小正方形的面积为5，则大正
2 41或6
9.已知直角三角形的两边长分别为8，10，则第三边长为_________.
10.如图17.1-7，已知△ 和△ 都是等腰直角
三角形，∠ = ∠ = 90∘ ，为边上一点，
求证：22 = 2 + 2 .
提示：证明△ ≌△ SAS ，得 = ．证
学习过程中，我们已经学会了运
用如图17.1-9所示的图形，验证
著名的勾股定理，这种根据图形
直观推论或验证数学规律和公式
图17.1-9
的方法，简称为“无字证明”．实际
上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规
律，它体现的数学思想是 ( C ) .
A.统计思想
B.分类思想
C.数形结合思想
轻松达标
1.在△ 中，∠，∠，∠的对应边分别是，，，若∠ = 90∘ ，
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT课件
b
a
c b
a
c a
b
证明：∵S大正方形＝c2，
cb
S小正方形＝(b - a)2，
a b- a
赵爽弦图
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
∴c2 4 1 ab b a2 a2 b2.
2
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案
被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把 直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
勾股
勾2 + 股2 = 弦2
利用勾股定理进行计算
例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
(1) 若 a = b = 5，求 c；
(2) 若 a = 1，c = 2，求 b.
问题1 试问正方形 A、B、 C 面积之间有什么样的数 量关系？
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三 角形三边之间有什么特殊关系？
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
C A
B
C A
B
左图：SC
4
1 2
2
3
11
13
右图： SC
4
1 2
4
3
11
25
你还有其 他办法求C 的面积吗？
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
最新人教版数学八年级下册第十七章 -勾股定理
第十七章—勾股定理一、勾股定理1. 概念：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a2+b 2=c 2.2. 公式变形： ①：a2=c 2-b 2,b 2=c 2-a 2②:c=22b a + ,a=22b c - ,b=22a c -勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3.勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题.b acbac cabcab a bccbaED CBA5.勾股定理的常见类型：（1）勾股定理在实际问题中的应用一般情况下，遇到高度、长度、距离、面积等实际问题时，可以构造直角三角形、运用勾股定理求解。
第十七章勾股定理(教案)2023-2024学年人教版数学八年级下册
6.增强学生的合作交流意识，通过小组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通技巧。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表述及其在直角三角形中的应用，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b.通过实际案例和练习题，指导学生识别直角三角形的特征，强调在实际问题中如何定位直角三角形，并准确应用勾股定理。
c.对于勾股定理逆定理的理解，教师可以通过构造非直角三角形和直角三角形的对比，让学生通过观察和分析，总结出直角三角形的特性，从而掌握判断方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量旗杆的高度或者计算建筑物与地面的距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述及其计算方法。对于难点部分，如定理的证明，我会通过直观的图形演示和逐步的逻辑推理来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理勾股定理的应用立体图形中的最短路程问题优秀教学案例
（三）小组合作
1.分组合作：将学生分成小组，鼓励学生进行合作学习和讨论交流。每个小组共同解决问题，共同思考和探讨。
2.小组讨论：鼓励学生发表自己的观点和思考，培养学生的团队合作精神和沟通能力。学生可以通过讨论、辩论等方式，共同解决问题。
（3）通过实际问题，感受数学与生活的联系。
2.方法目标：通过本节课的学习，使学生掌握以下方法：
（1）观察分析法：观察立体图形，发现最短路程问题；
（2）勾股定理运用法：运用勾股定理，解决最短路程问题；
（3）实际问题解决法：将数学知识运用到实际生活中，解决实际问题。
（三）情感态度与价值观
1.情感目标：通过本节课的学习，使学生能够对数学产生浓厚的兴趣，激发学生学习数学的积极性。具体包括：
本节课的教学目标是通过解决立体图形中的最短路程问题，巩固学生对勾股定理的理解，提高学生运用勾股定理解决实际问题的能力。同时，通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
在教学过程中，我以生活中的实际问题为切入点，引导学生运用勾股定理解决立体图形中的最短路程问题。在解决问题的过程中，学生需要充分运用空间想象能力和逻辑思维能力，从而达到提高学生数学素养的目的。
为了更好地实施本节课的教学，我采用了多媒体教学手段，通过动画、图片等形式，直观地展示立体图形和最短路程问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。同时，在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现规律，培养学生自主探究的能力。
在课堂拓展环节，我设计了一些具有挑战性的练习题，让学生在课后进行思考和探索，进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。通过对本节课的学习，学生不仅掌握了勾股定理在立体图形中的应用，还提高了空间想象能力和解决问题的能力，为今后的数学学习奠定了坚实的基础。
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》复习教案
第17章勾股定理全章复习教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：(一)知识结构图：见PPT(二)基础知识：1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2 + b2 = c2几何语言：在Rt △ABC 中, ∠C=90°∴a2+b2=c2练习：1.求出下列直角三角形中未知的边．2.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X=3. 三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC8A 15B 30° 2C B A 2 45° A CB2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 几何语言： 在△ABC 中,∵a2+b2=c2∴ △ABC 是直角三角形，∠C=90°互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.基础练习二：1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )A 5，12，13B 2，3，3C 4，7，5D 1， 2 ， 52.若△ABC 中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC 边上的高.三、典例分析：例1、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD 的面积变式 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
121334归纳： 转化思想例2、下图是学校的旗杆,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他D BA C归纳： 方程思想 例3、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
人教版八年级下册数学《勾股定理》教学说课复习课件巩固
C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么数量关系？
AB C
S正方形A S正方形B S正方形C
一直角边2 +
另一直角边2 =
斜边2
等腰直角三角形三边的关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
探究新知
问题3 网格中为一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系？(每个小正方形的面积为单位1)：
A C
、地面构成的两个直角三角形，
什么量没有发生变化?
O
BD
问题3 下滑后梯子底端外移的距离是哪条线段的长度?
如何计算?
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1. OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
二 用勾股定理巧证明“HL”
思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一 条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后 ，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C= ∠C ′=90°，AB=A′ B ′，AC=A′ C′ ．
求证：△ABC≌△A ′B ′C′ ．
12
3 4 5 ，…
1
12
3
4
5
“数学海螺”
归纳总结
利用勾股定理表示无理数的方法 （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 整数的直角三角形的斜边. （2）以原点O为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数 轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点 右边的点表示是正无理数.
八年级下册数学知识点归纳：第十七章勾股定理
人教版八年级下册数学知识点归纳第十七章勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a, b, c满足a2＋b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°1AB可表示如下：∠C=90°⇒BC=2（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°1AB=BD=AD 可表示如下： D为AB的中点⇒CD=25、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°BD2=CD•AD⇒AB2=ADAC•CD⊥AB AB2=BC•BD6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB•CD=AC•BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系2c22a=+，那么这个三角形是直角三角形。
b8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。