【中考数学15份试卷合集】天津市中考数学第六次调研试卷

2020年数学中考模拟试卷一、选择题1+1的值在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间2．某商品价格为a 元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（ ）A.0.96a 元B.0.972a 元C.1.08a 元D.a 元3．一元二次方程x 2﹣x+2=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根4．一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD 的度数为（ ）A.75°B.100°C.105°D.120° 5．若反比例函数2k y x -=的图象经过点(1,2)，则k 的值为（ ） A.2-B.0C.2D.4 6．下列运算正确的是（ ）A ．（﹣a 2）3＝﹣a 5B ．a 3•a 5＝a 15C ．a 5÷a 2＝a 3D ．3a 2﹣2a 2＝1 7．如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则cos ∠OBD ＝( )A ．12B ．34C ．45D ．35 8．如图，在矩形纸片ABCD 中，3AB =，点E 在BC 上，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上点F 处，且1CF =.则tan CFE ∠的值为（ ）A ．12B ．23C ．3D 9．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①abc ＞0；3b+2c ＜0；③4a+c ＜2b ；④当y ＞0时，﹣52＜x ＜12．其中结论正确的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．110．下列说法正确的是（）A．菱形的对角线垂直且相等B．到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上C．角的平分线就是角的对称轴D．形状相同的两个三角形就是全等三角形二、填空题11．十九大报告指出：十八大以来，我国就业状况持续改善，城镇新增就业年均一千三百万人以上，一千三百万人用科学计数法表示为__________人.12．计算：23-=____________.13．已知13a cb d==，则a cb d++的值是_____．14．设a为最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则a+b+c=_____．15．（2016四川省甘孜州）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为______________．16．计算(______________.17．若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为_____．18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象l与y轴交于点C，A1的坐标为（1，0），点B1在直线l上，且A1B1平行于y轴，连接CA1、OB1交于点P1，过点A1作A1B2∥OB1交直线l于点B2，过点B1作B1A2∥CA1交x轴于点A2，A1B2与B1A2交于点P2，……，按此进行下去，则点P2019的坐标为_____．19．不等式5﹣2x＞﹣3的解集是_____．三、解答题20．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝12，求AE的长．21．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）写出A、B两地之间的距离；（2）直接写出y甲、y乙与x之间的函数关系式，请求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．22．已知：如图，在平行四边形中，点E在BC边上，连接AE．O为AE中点，连接BO并延长交AD于F．（1）求证：△AOF≌△BOE，（2）判断当AE平分∠BAD时，四边形ABEF是什么特殊四边形，并证明你的结论．23．如图（1）是一款手机支架，忽略支管的粗细，得到它的简化结构图如图（2）所示．已知支架底部支架CD平行于水平面，EF⊥OE，GF⊥EF，支架可绕点O旋转，OE＝20cm，EF＝cm．如图（3）若将支架上部绕O点逆时针旋转，当点G落在直线CD上时，测量得∠EOG＝65°．（1）求FG的长度（结果精确到0.1）；（2）将支架由图（3）转到图（4）的位置，若此时F、O两点所在的直线恰好于CD垂直，点F的运动路线的长度称为点F的路径长，求点F的路径长．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，1.73）24．小丽家在装修，虽然房间比较小，但是小丽总想睡1.8米宽的大床，那样抱着她的大娃娃睡多好啊，妈妈说：“你已经八年级了，自己设计一下，怎样可以把1.8米宽的床放好，并且还比较美观？”下面是小丽的第一次设计图：1.8米宽的床一般长2.2米，床头柜一般需要50cm，门宽80cm，只能往房里开。

妈妈看了设计图以后，怀疑地说：“像你这样设计，门好像打不开啊。

”请通过计算说明，此时门能否完全打开？小丽考虑将家具整体平移一下，她又设计了第二种方案，这时妈妈看了一会，问小丽：“你确定门能完全打开？”，小丽得意地笑了，请通过计算说明为什么这次可以了.25．（2011•重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD 在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．26．求解不等式组21211224x xx x-≥-⎧⎪⎨⎛⎫+>-⎪⎪⎝⎭⎩【参考答案】*** 一、选择题1．B2．B3．C4．C5．D6．C7．C8．D9．A10．B二、填空题11．3×10712．19；13．1 314．0 15．（8，0）．16．417．118．2020201922 1,33⎛⎫-+⎪⎝⎭19．x＜4 三、解答题20．（1）详见解析；（2）AE=【解析】【分析】（1）连接OE、EC，根据已知条件易证∠1+∠3＝∠2+∠4=90°，即可得∠OED＝90°，所以DE是⊙O的切线；（2）证明△BEC∽△BCA，根据相似三角形的性质可得BE BCBC BA=，即BC2＝BE•BA，设AE＝x，则BE ＝2x ，BA ＝3x ，代入可得122＝2x •3x ，解得x ＝，即可得AE ＝．【详解】（1）证明：连接OE 、EC ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC ＝∠BEC ＝90°，∵D 为BC 的中点，∴ED ＝DC ＝BD ，∴∠1＝∠2，∵OE ＝OC ，∴∠3＝∠4，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OED ＝∠ACB ，∵∠ACB ＝90°，∴∠OED ＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）由（1）知：∠BEC ＝90°，∵在Rt △BEC 与Rt △BCA 中，∠B ＝∠B ，∠BEC ＝∠BCA ，∴△BEC ∽△BCA ， ∴BE BC BC BA= ， ∴BC 2＝BE •BA ，∵AE ：EB ＝1：2，设AE ＝x ，则BE ＝2x ，BA ＝3x ，∵BC ＝12，∴122＝2x •3x ，解得：x ＝，即AE ＝．【点睛】本题考查了切线的判定及相似三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．21．（1）30；（2）y 甲=-15x+30， y 乙=30x ()01x ≤≤， y 乙=-30x+60()12x 〈≤，点M （2,203）甲乙经过23小时第一次相遇，此时离B 地20千米；（3）311925155x x 或≤≤≤≤【解析】【分析】（1）x=0时甲的y 值即为A 、B 两地的距离；（2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点M 的坐标以及实际意义；（3）分相遇前和相遇后两种情况求出x 的值，再求出最后两人都到达B 地前两人相距3千米的时间，然后写出两个取值范围即可.【详解】解：（1）由图像可知，x=0时，甲距离B地30千米，所以，A、B两地的距离为30千米；（2）由图可知，甲的速度：302=15千米/时，乙的速度：301=30千米/时，30÷（15+30）=23，23×30=20千米，所以，点M的坐标为（23，20），表示23小时后两车相遇，此时距离B地20千米；（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，①若是相遇前，则15x+30x=30-3，解得x=35，②若是相遇后，则15x+30x=30+3，解得x=11 15，③若是到达B地前，则15x-30（x-1）=3，解得x=95，所以，当311515x≤≤或925x≤≤时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系.【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难点在于（3）要分情况讨论.22．（1）求证：见解析；（2）四边形ABEF是菱形，见解析.【解析】【分析】(1)先利用平行四边形的性质得AD∥BC，则∠AFB＝∠CBF，然后根据“AAS”可判断△AOF≌△BOE；(2)利用△AOF≌△BOE得到FO＝BO，则可根据对角线互相平分可判定四边形ABEF是平行四边形，根据AE平分∠BAD，得∠BAE＝∠FAE，又∠FAE＝∠AEB，得∠BAE＝∠AEB，AB＝BE，有一组对边相等的平行四边形是菱形，得四边形ABEF是菱形．【详解】(1)∵O为AE中点，∴AO＝EO，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，在△AOF和△BOE中AFO EBO AOF EOB AO EO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOF ≌△BOE ；(2)四边形ABEF 是菱形，理由如下：∵△AOF ≌△BOE ，∴FO ＝BO ，而AO ＝EO ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∵∠FAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，菱形的判定等，熟练掌握相关的性质与判定定理是解题的关键.23．（1）FG 的长度约为3.8cm ；（2）1709cm π 【解析】【分析】（1）作GM ⊥OE 可得矩形EFGM ，设FG ＝xcm ，可知EF ＝GM ＝，OM ＝（20﹣x ）cm ，根据tan ∠EOG ＝GM OM列方程可求得x 的值； （2）RT △EFO 中求出OF 的长及∠EOF 的度数，由∠EOG 度数可得旋转角∠FOF′度数，根据弧长公式计算可得．【详解】解：（1）如图，作GM ⊥OE 于点M ，∵FE ⊥OE ，GF ⊥EF ，∴四边形EFGM 为矩形，设FG ＝xcm ，∴EF ＝GM ＝cm ，FG ＝EM ＝xcm ，∵OE ＝20cm ，∴OM ＝（20﹣x ）cm ，在RT △OGM 中，∵∠EOG ＝65°，∴tan ∠EOG ＝GM OM＝tan65°， 解得：x≈3.8cm；故FG 的长度约为3.8cm ．（2）连接OF ，在Rt △EFO 中，∵EF ＝，EO ＝20，∴FO ＝40，tan ∠EOF ＝20EF BO ==， ∴∠EOF ＝60°，∴∠FOG ＝∠EOG ﹣∠EOF ＝5°，又∵∠GOF′＝90°，∴∠FOF′＝85°， ∴点F 在旋转过程中所形成的弧的长度为：85401701809ππ⋅⋅=cm ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．24．门无法完全打开；门可以完全打开.【解析】【分析】第一种方案根据勾股定理计算即可.第二种方案根据根据定理计算后进行比较即可.【详解】经看图分析发现，门轴只能在左侧，于是第一种方案中，在Rt BAC 中，由勾股定理可得，BC 80，门无法完全打开；第二种方案中，在Rt △BAC 中，由勾股定理可得BC＝，门可以完全打开.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是能在实际问题中建立勾股定理的模型.25．（1）t ＝1；（2）详见解析；（3）当t ＝3，t ＝t ＝2，t ＝4，t ＝0时，△AOH 是等腰三角形．【解析】【分析】（1）当边FG 恰好经过点C 时，由∠CFB ＝60°得BF ＝3﹣t ，在Rt △CBF 中，根据三角函数求得t 的值；（2）根据运动的时间为t 不同的取值范围，求等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S 的值，当0≤t＜1时，重叠部分是直角梯形，面积S 等于梯形的面积，当1≤t＜3时，重叠部分是S 梯形MKFE ﹣S △QBF ，当3≤t＜4时，重叠部分是S 梯形MKFE ，当4≤t＜6时，重叠部分是正三角形的面积；（3）当AH ＝AO ＝3时，AM ＝12 AH ＝32 ，在R t △AME 中，由cos ∠MAE ＝AM AE 即cos30°＝32AE，得AE ，即3﹣t t ﹣3，求出t ＝3t ＝当AH ＝HO 时，∠HOA ＝∠HAO ＝30°，又因为∠HEO ＝60°得到∠EHO ＝90°EO＝2HE ＝2AE ，再由AE+2AE ＝3，求出AE ＝1，即3﹣t ＝1或t ﹣3＝1，求出t ＝2或t ＝4；当OH ＝OA ＝时∠HOB ＝∠OAH ＝30°，所以∠HOB ＝60°＝∠HEB ，得到点E 和点O 重合，从而求出t 的值【详解】如图1（1），当边FG 恰好经过点C 时，∵∠CFB ＝60°，∴BF ＝3﹣t ，在Rt △CBF 中，∵BC ＝tan ∠CFB ＝BC BF，∴tan60 ， 解得BF ＝2，即3﹣t ＝2，∴t ＝1，当边FG 恰好经过点C 时，t ＝1；（2）如图2，过点M 作MN ⊥AB 于N ，当0≤t＜1时，∵tan60°＝MN EN =， ∴EN ＝2，∵EB ＝3+t ，NB ＝3+t ﹣2＝1+t ，∴MC ＝1+t ，∴S ＝12（MC+EB ）•BC ＝； 如图3，当1≤t＜3时，∵MN ＝＝OP ＝6，GH ＝ ∴MK GH MN EF GH-=， ∴MK ＝2，∵EB ＝3+t ，BF ＝3﹣t ，BQ ＝t∴S ＝S 梯形MKFE ﹣S △QBF ＝﹣2 ；如图4，当3≤t＜4时，∵MN ＝EF ＝6﹣2（t ﹣3）＝12﹣2t ，∴GH ＝（12﹣2t ，∴MK GH MN EF GH -=， ∴MK ＝8﹣2t ，∴S ＝﹣； 当4≤t＜6时， ∵EF ＝12﹣2t ，∴高为：EFsin60°＝2EF ，∴S 2﹣； （3）存在．在R t △ABC 中，tan BC CAB AB ==∠ ，∴∠CAB ＝30° ∵∠HEO ＝60°， ∴∠HAE ＝∠AHE 30°， ∴AE ＝HE ＝3﹣t 或t ﹣3， 如图5，当AH ＝AO ＝3时， 过点E 作EM ⊥AH 与M ， 则AM ＝12 AH ＝32， 在R t △AME 中，cos ∠MAE ＝AMAE即cos30°＝32AE，∴即3﹣t t ﹣3∴t ＝3t ＝如图6，当AH ＝HO 时，∠HOA ＝∠HAO ＝30°， ∵∠HEO ＝60°，∴∠EHO ＝90°，EO ＝2HE ＝2AE ， ∵AE+2AE ＝3，∴AE ＝1，即3﹣t ＝1或t ﹣3＝1， ∴t ＝2或t ＝4； 如图7，当OH ＝OA ＝时， ∠HOB ＝∠OAH ＝30°， ∴∠HOB ＝60°＝∠HEB ， ∴点E 和点O 重合， ∴AE ＝AO ＝3，当E 刚开始时，3﹣t ＝3， 当E 返回时t ﹣3＝3， ∴t ＝0，t ＝6（舍去），综上所述当t ＝3t ＝t ＝2，t ＝4，t ＝0时，△AOH 是等腰三角形．【点睛】此题主要考查了 平行四边形的性质、平行四边形的判定、矩形、矩形的性质、矩形的判定、菱形、菱形的性质、菱形的判定 等知识点 26．11x -≤< 【解析】 【分析】根据题意将不等式一一解出，求解集的公共部分即可 【详解】21211224x x x x -≥-⎧⎪⎨⎛⎫+>- ⎪⎪⎝⎭⎩①②由①得2x-x≥-2+1，所以x≥-1 由②得11222x x ---＞ 所以x ＜1∴解集为11x -≤< 【点睛】此题考查解不等式组，难度不大2020年数学中考模拟试卷一、选择题1．太阳的直径约为1 390 000千米，这个数用科学记数法表示为（）A.0.139×107千米B.1.39×106千米C.13.9×105千米D.139×104千米2．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．120°D．110°3．如图所示的正三棱柱，它的主视图、俯视图、左视图的顺序是（）A.①③②B.②①③C.③①②D.①②③4．下列由阴影构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.5．将一图形绕着点O顺时针方向旋转70后，再绕着点O逆时针方向旋转120，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O什么方向旋转多少度?（）A．逆时针方向，50B．顺时针方向，50C．顺时针方向，190D．逆时针方向，1906．如图，在△ABC中，D、F分别是AB、BC上的点，且DF∥AC，若S△BDF：S△DFC=1：4，则S△BDF：S△DCA=（）A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：247．在半径为8cm的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A．4cm B．C．8cm D．8．如图，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA的度数为( ).A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°9．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（ ）A ．（a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2B ．a 2﹣b 2＝（a+b ）（a ﹣b ）C ．a 2+b 2＝（a+b ）2D ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 210．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x 尺，根据题意，可列方程为 （ ） A ．82﹢x 2 = (x ﹣3)2 B ．82﹢(x+3)2= x 2 C ．82﹢(x ﹣3)2= x 2 D ．x 2﹢(x ﹣3)2= 82二、填空题11．把多项式3mx ﹣6my 分解因式的结果是_____．12．小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入________小球时有水溢出．13．（2017云南省）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，若DE ∥BC ，AD AB =13，则AD DE AEAB BC AC++++=______．14．已知P 1(1－a ，y 1)，P 2(a －1，y 2)两点都在反比例函数y ＝－2x的图象上，则y 1与y 2的数量关系是____________．15．如图，AB 是⊙O 的直径，OB=3，BC 是⊙O 的弦，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，连接OD ，若∠BAC=20°，则的长等于 ．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上.若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是______.17．计算：6_____．18．二次函数y＝﹣x2+x+m的图象如图所示，则抛物线的顶点坐标为___．19．-8的相反数是 .三、解答题20．如图1，△ABC和△BDE都是等腰三角形，AB＝BC，DB＝DE，且∠ABC＝∠BDE＝120°，其中腰BD与BC共线，点C是BD的中点．（1）如图2，点F是BE的中点，连接DF、AF．①证明：OA＝OD；②证明：四边形ABDF是平行四边形；（2）如图3，连接AE，点G是AE的中点，连接CG，求的值．21．如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形．如图②，乔宽AB为8米，水面BC宽16米，表示的是主桥拱在水面以上的部分，点P表示主桥拱拱顶．小明乘坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶．（1）图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影．（保留作图痕迹，不写作法）．（2）已知小明眼睛距离水平1.6米，游船的速度为0.2米/秒．某一时刻，小明看拱顶P 的仰角为37°，4秒后，小明看拱顶P 的仰角为45°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．） ①求桥拱P 到水面的距离；②船上的旗杆高1米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所在直线与航线平行且长为2米．请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积（需画出示意图并标注必要数据）．22．先化简，再求值：211211a a a a ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中1a =．23．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，点A ，B 是格点，根据要求，选择格点，画出符合要求的图形．(1)在图1、图2中分别找出符合要求的1个格点C ，并画出相应的格点三角形，使得∠ACB ＝45°． (2)在图3中画出符合要求的1个格点D ，并画出相应的格点三角形使得tan ∠ADB ＝12，并求出△ABD 的面积．24．已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得△OA 1B 1，再以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2； （2）直接写出点A 1的坐标，点A 2的坐标．25．精准扶贫”是巩固温饱成果，加快脱贫致富步伐，实现中华民族伟大复兴“中国梦”的重要保障某驻村帮扶小组因地制宜，积极筹集资金帮助所驻村建起了一个民族工艺品加工厂．现在，工厂计划加工100件A 、B 两种工艺品，现有生产这两种工艺品所需的甲种材料445米，乙种材料510米，毎生产1件A 工艺品和1件B 工艺品所需甲、乙两种材料及生产成本、利润如表1题（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围（2）若要使加工成本不超过53400元，则有几种加工方案？那种方案的利润最大？最大利润是多少？26．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙O是△ABC的外接圆．（1）如图①，过A作MN∥BC，求证：MN与⊙O相切；（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求⊙O的半径和AE的长．【参考答案】***一、选择题1．B2．C3．A4．B5．B6．C7．D8．C9．B10．C二、填空题11．3m（x﹣2y）12．1013．13．14．y1+ y2=0 15．．16．17．618．（2，﹣3）．19．8三、解答题20．(1)见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）①由△BDE是等腰三角形，∠BDE＝120°知∠DBE＝30°，DF＝BD，由点C是BD的中点知AB＝BC＝BD，从而得DF＝AB，再证△DOF≌△AOB可得答案；②由等腰三角形的底边上的高线与中线重合，结合①知DF∥AB，且DF＝AB可得证；（2）取BE的中点F，连接FG、FC，知CF是△BDE的中位线，得且CF∥DE，∠BFC＝∠BED＝30°，同理FG∥AB，，再证△ABD∽△GFC可得．【详解】（1）①∵△BDE是等腰三角形，∠BDE＝120°，∴∠DBE＝30°，则DF＝BD，又∵点C是BD的中点，∴AB＝BC＝BD，∴DF＝AB，∵点F为等腰△BDE底边上的中点，∴∠DFO＝∠ABO＝90°，在△DOF和△AOB中，∵，∴△DOF≌△AOB（AAS），∴OA＝OD；②由等腰三角形的底边上的高线与中线重合，再①知DF∥AB，且DF＝AB，∴四边形ABDF是平行四边形；（2）如图，取BE的中点F，连接FG、FC，∵点C、F分别是BD、BE的中点，∴CF是△BDE的中位线，∴，且CF∥DE，则∠BFC＝∠BED＝30°，同理，FG是△ABE的中位线，∴FG∥AB，，∴∠BFG+∠ABE＝180°，∴∠BFG＝90°，∴∠CFG＝∠BFC+∠BFG＝120°＝∠DBA，∴△ABD∽△GFC，∴．【点睛】本题是相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定等．21．（1）见解析；（2）①4（米），②．【解析】【分析】（1）在上取一点D，作线段BD，BC的垂直平分线交于点O，作点O关于BC的对称点O′，以O′为圆心，O′B为半径画弧即可解决问题．（2）①如图2中，当小明刚到拱顶正下方时，设拱顶P到小明的眼睛距离即PC为x米．构建方程求出x即可解决问题．②如图红色曲线与BC构成的图形即可所求的区域（面积为S），与阴影部分弓形相比，水平长度相同，竖着高度变为其两倍，所以可以认为S为弓形面积的两倍．【详解】解：（1）如图所示：（2）①如图2中，当小明刚到拱顶正下方时，设拱顶P到小明的眼睛距离即PC为x米．∵tan37°＝，∴AC＝x，∵tan45°＝＝1，∴BC＝PC＝x，∴AB＝AC﹣BC＝x﹣x＝0.2×4，解得x＝2.4，∴PE＝2.4+1.6＝4（米）．②如图红色曲线与BC构成的图形即可所求的区域（面积为S），与阴影部分弓形相比，水平长度相同，竖着高度变为其两倍，所以可以认为S 为弓形面积的两倍．由①可知：OB ＝10，∠BOC ＝106°， ∴S 弓形＝，∴S ＝2S 弓形＝．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22．11a +，2. 【解析】 【分析】原始第一项先化简括号里面的，再利用除法法则变形，约分后利用同分母分式得到最简结果，将a 的值代入即可 【详解】 解：21(1)211a a a a ÷-+++ ＝211(1)1a a a a +-÷++＝21(1)a a aa ++＝1+1a ，当a＝2．【点睛】此题考察分式的化简求值，关键在于约分 23．(1)见解析；(2)画图见解析，在，面积为10. 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想构造等腰直角三角形即可． （2）利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】(1)如图1，2中，点C 即为所求．(2)如图3中，点D 即为所求，S △ABD ＝12×BD×AH＝12⨯＝10．【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 24．(1)见解析；（2）点A 1的坐标为：（﹣1，3），点A 2的坐标为：（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用（1）中所画图形进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：△OA 1B 1，△OA 2B 2，即为所求；（2）点A 1的坐标为：（﹣1，3），点A 2的坐标为：（2，﹣6）． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．25．（1）y ＝5x+20000（550≤x≤700）；（2）在足条件的11种方案中，当A 种工艺品加工560，B 种工艺品加工440个时，可获得最大利润22800元． 【解析】 【分析】（1）由题意即可列出y 与x 的关系式，化简可得y=5x+20000。